Este documento discute os sistemas de numeração ao longo da história humana, desde as primeiras formas de contagem até os sistemas posicionais atuais. Ele explica como os números surgiram da necessidade de contar no passado e apresenta alguns dos principais sistemas de numeração como o egípcio, babilônico e indo-arábico. O documento também discute conceitos-chave como bases numéricas e conversão entre sistemas.

1. Noções básicas de computação
– Sistemas de Numeração
Profª Jocelma Rios
Mar/2012

2. O que pretendemos hoje:
● Contar um pouco sobre a origem dos números e
dos sistemas de numeração
● Apresentar alguns sistemas de numeração
utilizados no passado e atualmente
● Mostrar as possibilidades de conversão entre
os sistemas de numeração vinculados à
computação
● Refletir sobre a relação entre os sistemas
de numeração estudados e o processamento
computacional

3. A origem dos números
Na pré- história, será
que os homens já
contavam?

4. A origem dos números
● Para descobrir sobre a origem dos números,
precisamos conhecer um pouco da história
humana, que pode ser feito através de:
– estudo das ruínas de antigas civilizações
– estudo de fósseis
– estudo da linguagem escrita
– avaliação do comportamento de diversos
grupos étnicos desde o princípio dos
tempos

5. A origem dos números
A necessidade de contar começou com o
desenvolvimento das atividades humanas,
voltadas para sua “civilização”, quando o
homem foi deixando de ser pescador e coletor
de alimentos para fixar-se no solo
O homem começou a produzir alimentos,
construir casas e domesticar animais,
aproveitando-se dos mesmos através do uso da
lã e do leite, tornando-se criador e
desenvolvendo o pastoreio... tudo isso
trouxe profundas modificações na vida humana

6. A origem dos números
Olhando ao redor, podemos observar como é
grande a presença dos números...

7. A origem dos números
● As primeiras formas de agricultura de que se
tem notícia, desenvolveram-se há cerca de 10
mil anos na região que hoje fica o Oriente
Médio
● A agricultura passou a exigir o conhecimento
do tempo, das estações do ano e das fases da
Lua, e assim começaram a surgir as primeiras
formas de calendário

8. A origem dos números
No pastoreio, o pastor usava várias formas
para controlar o seu rebanho. Pela manhã,
ele soltava os seus carneiros e analisava ao
final da tarde se algum tinha sido roubado,
fugido, se perdido do rebanho ou se havia
sido acrescentado um novo carneiro ao
rebanho.
Assim, eles tinham a correspondência um a
um, onde cada carneiro correspondia a uma
pedrinha que era armazenada em um saco.

9. A origem dos números
No caso das pedrinhas, cada animal que saía
para o pasto de manhã correspondia a uma
pedra que era guardada em um saco de couro.
No final do dia, quando os animais voltavam
do pasto, era feita a correspondência
inversa, onde, para cada animal que
retornava, era retirada uma pedra do saco.
Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é
porque faltava algum dos animais, e se algum
fosse acrescentado ao rebanho, era só
acrescentar mais uma pedra.

10. A origem dos números
● A palavra que usamos hoje, cálculo, é
derivada da palavra latina calculus, que
significa “pedrinha”
● A correspondência
unidade a unidade não
era feita somente com
pedras, mas eram usados
também nós em cordas,
marcas nas paredes,
talhes em ossos,
desenhos nas cavernas e
outros tipos de marcação

11. Representação numérica
Com o passar do tempo, as quantidades
foram representadas por expressões,
gestos, palavras e símbolos, sendo
que cada povo tinha a sua maneira
de representação
A faculdade humana natural de
reconhecimento imediato de
quantidades se resume a,
no máximo, quatro elementos
O senso numérico não pode ser
confundido com contagem, que é um
atributo exclusivamente humano que
necessita de um processo mental

12. Numeração egípcia
Os egípcios usavam um sistema de agrupamento
simples, com base 10.

13. Numeração Maia

14. Senso numérico
● Este senso numérico que é a faculdade que
permite reconhecer que alguma coisa mudou em
uma pequena coleção quando, sem seu
conhecimento direto, um objeto foi tirado ou
adicionado, à coleção
● O senso numérico não pode ser confundido com
contagem, que é um atributo exclusivamente
humano que necessita de um processo mental
"Distinguimos, sem erro e numa rápida vista um, dois, três e mesmo
quatro elementos. Mas aí para nosso poder de identificação dos números."
História Universal dos Algarismos, Georges Ifrah.

15. Senso numérico
Temos também alguns animais, ditos irracionais,
como os rouxinóis e os corvos, que possuem este
senso numérico onde reconhecem quantidades
concretas que vão de um até três ou quatro
unidades
Existe um exemplo célebre sobre um corvo que
tinha capacidade de reconhecer quantidade...

16. Um corvo que sabia contar...
Um fazendeiro estava disposto a matar um corvo que
fez seu ninho na torre de observação de sua
mansão. Por diversas vezes, tentou surpreender o
pássaro, mas em vão: à aproximação do homem, o
corvo saía do ninho.
Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro,
mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saía
do ninho.
De uma árvore distante, ele esperava atentamente
até que o homem saísse da torre e só então voltava
ao ninho.

17. Um corvo que sabia contar...
Um dia, o fazendeiro tentou uma nova tática: 2
homens entraram na torre, um ficou dentro e o
outro saiu e se afastou. Mas o pássaro não foi
enganado: manteve-se afastado até que o outro
homem saísse da torre. A experiência foi repetida
nos dias subsequentes com 3 e 4 homens, ainda sem
sucesso.
Finalmente, foram utilizados 5 homens como antes,
todos entraram na torre e um permaneceu lá dentro
enquanto os outros quatro saíam e se afastavam.
Desta vez, o corvo perdeu a conta. Incapaz de
distinguir entre 4 e 5, voltou imediatamente ao
ninho e foi surpreendido.

18. Sistema de numeração egípcio
● Um dos sistemas de numeração mais antigos que
se tem notícia é o egípcio. É um sistema de
numeração de base dez e era composto pelos
seguintes símbolos numéricos:

19. Saiba mais: http://nucibmlenematematica.blogspot.com.br/2009/06/um-pouco-da-historia-da-matematuca.html
Sistema de numeração egípcio
● Algumas das primeiras formas de contagem foram
utilizadas com as partes do corpo humano, sendo
que em algumas aldeias os indivíduos chegavam a
contar até o número 33

20. Sistema de numeração babilônico
● Outro sistema de numeração muito importante
foi o da Babilônia, criado há,
aproximadamente, 4 mil anos

21. Sistema de numeração indo-
arábico
● Nosso sistema de numeração surgiu na Ásia,
há muitos séculos no Vale do rio Indo, onde
hoje é o Paquistão
● O primeiro número inventado foi o 1 e ele
significava o homem e sua unicidade; o
segundo número 2, significava a mulher da
família, a dualidade; e o número 3
significava muitos, multidão
Saiba mais: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm

22. Sistema de numeração hindu
● Evolução aos longo da história

23. Sistema de numeração -
comparativo

24. Ábaco
● Antigo instrumento de cálculo, formado por uma
moldura com bastões ou arames paralelos,
dispostos no sentido vertical, correspondentes
cada um a uma posição digital (unidades,
dezenas,...) e nos quais estão os elementos de
contagem que podem fazer-se deslizar livremente
● Teve origem provavelmente na Mesopotâmia, há
mais de 5.500 anos, apesar dos chineses também
serem apontados como seus inventores
● Emprega um processo de cálculo com
sistema decimal, atribuindo a cada
haste um múltiplo de dez
Saiba um pouco mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81baco

25. Ábaco
● No princípio, os sistemas de
numeração não facilitavam os
cálculos, logo, um dos
instrumentos utilizados para
facilitar os cálculos foi o
ábaco muito usado por diversas
civilizações orientais e
ocidentais
● No Japão, o ábaco é chamado de
soroban e na China de suánpan,
que significa bandeja de
calcular

26. Sistemas de numeração
● Como existem infinitas quantidades, não é
possível criar um símbolo para cada uma.
Assim, para resolver este problema, foram
desenvolvidos os sistemas de numeração
● Portanto, um sistema de numeração é um conjunto
finito de símbolos somado a uma lei de formação
que permite representar qualquer quantidade
● Podem ser classificados em:
– Sistemas de Numeração Posicionais
– Sistemas de Numeração Não Posicionais

27. Sistema de numeração não-
posicional
● Neles, cada símbolo, independente da
posição, representa um único valor, como é o
caso do sistema romano
É composto de um
conjunto de sete
símbolos {I,V,L,C,D,M}
capazes de representar
uma grande variedade
de números, com base
numa lei de formação,
porém não é possível
representar qualquer
quantidade como o zero
por exemplo

28. Sistema de numeração não-
posicional
● Sistema romano
– é dito não-posicional...por exemplo, IV e
VI representam 4 e 6 respectivamente,
contudo I e V representam 1 e 5 em ambos
os numerais
– No número XX, vinte em decimal, o valor
do dígito X à esquerda é o mesmo daquele
à direita. Neste caso, a representação é
aditiva, com X representando a quantidade
decimal 10, e com a combinação XX
associada a 10+10=20. Por outro lado, em
IX (nove em decimal) a representação é
subtrativa

29. Sistemas de numeração posicional
● Nos sistemas de numeração posicional, o valor
posicional
do dígito em um número depende da posição que
ele ocupa neste mesmo número
– 1989 = 1000 + 900 + 80 + 9
– 1989 = 1*103 + 9*102 + 8*101 + 9*100
● Há um peso para cada posição ocupada pelo
dígito
● Os pesos crescem para esquerda na parte inteira
e decrescem para a direita na parte fracionária
– 1989,4 = 1*103 + 9*102 + 8*101 + 9*100 + 4*10-1

30. Sistemas de numeração posicional
● A representação posicional fornece uma forma
simplificada para a escrita de números e permite
a representação de qualquer número com um
alfabeto (uma coleção de símbolos) restrito de
dígitos

31. Bases de sistemas de numeração
● A base de um sistema é a quantidade de
algarismos disponível na representação
● A base 10 é hoje a mais usualmente empregada,
embora não seja a única utilizada
● No comércio, pedimos uma dúzia de rosas ou uma
grosa de parafusos (base 12) e também marcamos
o tempo em minutos e segundos (base 60)
● Os computadores utilizam a base 2 (sistema
binário) e os programadores, por facilidade,
usam em geral uma base que seja uma potência de
2, tal como a base 16 ou sistema hexadecimal ou
eventualmente ainda a base 8 ou sistema octal

32. Bases de sistemas de numeração
● Na base 10, dispomos de 10 algarismos para a
representação do número: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
e 9
● Na base 2, seriam apenas 2 algarismos: 0 e 1
● Na base 16, seriam 16: os 10 algarismos aos quais
estamos acostumados, mais os símbolos A, B, C, D,
E e F, representando respectivamente 10, 11, 12,
13, 14 e 15 unidades
● Generalizando, temos que uma base b qualquer
disporá de b algarismos, variando entre 0 e (b-1)

33. Bases de sistemas de numeração
posicional
● Sistema Decimal → Base 10
→ alfabeto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
● Sistema Binário → Base 2
→ alfabeto {0, 1}
● Sistema Octal → Base 8
→ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
● Sistema Hexadecimal → Base 16
→ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E,
F}

34. Bases de sistemas de numeração
posicional

35. Conversão de base
Passagem de uma Base R para a base Z
● Consiste em decompor o número de acordo com a
estrutura posicional, usando operações de
produtos, divisão e somas
● Para facilitar o cálculo das operações de
conversão de base, vale a pena relembrar as
potências das bases numéricas mais utilizadas
na teoria da computação
– 2
– 10
– 8
– 16

36. Conversão de base
● Potência de 2: ● Potência de 8:
20 1 80 1
21 2 81 8
22 4 82 64
23 8 83 512
24 16 84 4.096
25 32 85 32768
26 64 86 262.144
2 7
128 87 2.097.152
2 8
256 88 16.777.216
89 134.217.728
2 9
512
10 810 10.73.741.824
2 1.024

37. Conversão de base
● Potência de 10: ● Potência de 16:
100 1 160 1
101 10 161 16
102 100 162 256
103 1.000 163 4.096
104 10.000 164 65.536
105 100.000 165 1.048.576
106 1.000.000 166 16.777.216
107 10.000.000 167 268.435.456
108 100.000.000 168 4.294.967.296
109 1.000.000.000 169 68.719.476.736
1010 10.000.000.000 1610 1.099.511.627.776

38. Conversão de base
Passagem de uma Base R para a base 10
● Converte-se a base e cada dígito do número para
o equivalente decimal
● Decompõe-se o número de acordo com a estrutura
posicional e, usando aritmética decimal,
efetua-se as operações de produtos e somas
Notação: (...)R ler como o número do parêntesis
expresso na base R
– (1101)2=1*23 + 1*22+ 0*21 + 1*20 = 8+4+0+1=>13
– (2B0)16=2*162 + (11)*161+ 0*160= 512+176+0=>688

39. Conversão de base
Passagem de uma Base 2 para base 10
● Basta multiplicar cada dígito pela potência e
10 correspondente a sua posição

40. Conversão de base
Passagem de uma Base 16 para base 10
● Basta multiplicar cada dígito pela potência e
16 correspondente a sua posição

41. Conversão de base
Passagem de uma Base 10 para a base R
● Parte inteira: algoritmo da divisão repetida
● Divide-se o inteiro decimal repetidamente
pela base R até que se obtenha um quociente
inteiro igual a zero
● Os restos das divisões sucessivas, lidos do
último para o primeiro, constituem o número
transformado para a base R
(341)10 = (2331)5

42. Conversão de base
Passagem de uma Base 10 para base 2
● Basta dividir o número repetidas vezes por 2,
até que não seja mais possível efetuar a
divisão para obter número maior ou igual a 1

43. Conversão de base
Passagem de uma Base 10 para base 16
● Basta dividir o número repetidas vezes por 16,
até que não seja mais possível efetuar a
divisão para obter número maior ou igual a 1

44. Conversão de base
Passagem de uma Base 10 para a base R
● Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação
repetida
● A parte fracionária é multiplicada por R. A
parte inteira desse produto é guardada e a
parte fracionária é novamente multiplicada por
R. O processo é repetido até que se obtenha um
número com parte fracionária nula ou até que se
considere a aproximação suficiente.
● As partes inteiras dos produtos sucessivos,
lidas da primeira para a última, formam a parte
fracionária do número transformado

45. Conversão de base
Passagem de uma Base R para a base 10
● Parte fracionária: Algoritmo da multiplicação
repetida
● Exemplo: transformar 0,4375 para a Base 2
– 0,4375*2 = 0,8750
– 0,8750*2 = 1,7500
– 0,7500*2 = 1,1500
– 0,5000*2 = 1,0000
resultado → 0,01112

46. Conversão de base
Passagem de uma Base 2 para base de
potência 2 (8 ou 16 p.ex.)
● A base para a qual se quer a transformação é
expressa no formato 2n
– Se essa base for 8, por exemplo, o valor
de “n” é 3 porque 8 = 23
● Formam-se grupos, a partir da direita do número
binário, contendo uma quantidade de dígitos
igual ao número “n”. Esses grupos de “n”
dígitos são lidos e representados como os
dígitos do sistema para o qual se quer a
transformação.

47. Para refletir...
Por que o sistema de
numeração hexadecimal é
também largamente utilizado
na computação, se os
computadores só conseguem
compreender 0 e 1?

48. Referências
● BROOKSHEAR, J. Ciência da computação: uma visão
abrangente. 3. ed. Rio de Janeiro: Bookman, 2005.
● Gongora, Miriam; SODRÉ, Ulysses. Introdução sobre
a origem dos números. Disponível em: <
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/numeros/numeros.htm>.
Acesso em: 01 ago 2011.