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Licenciatura em Educação Básica
UC: Matemática Cultura e Realidade
2º Semestre; 1º ano; Turma A
Docente: Catarina Delgado
Matemática Cultura e Realidade
Sistemas de numeração
Discentes: Ana Margarida Gouveia Pereira, Catarina Isabel Gonçalves de Carvalho,
Cláudia Sofia Raposo Matos
2
Índice
Introdução
História
Conceitos
Sistema de numeração Egípcio
Sistema de numeração Chinês
Sistema de numeração Babilónico
Sistema de numeração Indo-Árabe
Comparação entre os sistemas
Importância do zero
Conclusão
Referências
3
4
5
6
10
14
17
19
20
21
22
3
Introdução
Há milhares de anos, tudo era bastante diferente daquilo que é atualmente. Não
existia a necessidade de contar, nem sequer existia dinheiro.
Com o passar do tempo tudo se foi desenvolvendo, o homem começou a sentir a
necessidade de contar.
Com o dia-a-dia, cada vez mais complexo, e o aparecimento das primeiras
civilizações, existiu, por consequência, um grande desenvolvimento das sociedades.
Com isto, os registos e as contagens passaram a ser fundamentais no dia-a-dia,
desenvolvendo assim os símbolos (para escrever os números) e métodos para fazer os
cálculos.
Aos símbolos chamou-se números e aos métodos algoritmos, estes dois em
conjunto originaram os sistemas de numeração.
Os sistemas de numeração foram evoluindo com os povos ao longo do tempo.
Um dos primeiros sistemas de que há conhecimento, foi à 3400 a.C. e trata-se no
sistema de numeração Egípcio.
Seguiram-se, entre vários, o sistema de numeração Babilónico, o Maia, o
Romano e o Indo-Árabe, sendo estes dos mais conhecidos hoje em dia.
Foi devido a todas as curiosidades sobre o surgimento e evolução da matemática
que decidimos trabalhar o tema dos sistemas de numeração, e assim aprofundar
conhecimentos acerca de sistemas já lecionados na aula, mas também descobrir o
funcionamento de um outro sistema.
No presente trabalho, serão abordados os sistemas de numeração Babilónico, o
Egípcio, o Chinês e o Indo-Árabe, indicando a sua escrita bem como as operações
subjacentes a cada um. Iremos também apresentar alguns conceitos, como número e
sistema de numeração.
Para finalizar será elaborada uma breve comparação dos vários sistemas
trabalhados, com o sistema atual em vários países, o Indo-Árabe.
4
História
É através da necessidade de contar e associar a expressão escrita a essa
contagem que era realizada pelo homem através de pedras e outros objetos encontrados
que nasceu a matemática no período primitivo.
Ainda assim, esta ciência foi descoberta no século XX, na região do Congo
devido à descoberta de um osso que continha gravado algarismos com cerca de 2000
anos, e foi desta forma que se percebeu que as populações locais, na sua maioria, já
tinham adquirido a capacidade de adicionar e multiplicar.
Os gregos foram o primeiro povo a abordar a matemática, baseando-se,
principalmente, na geometria. Os vestígios comprovam que este interesse surge desde o
Paleolítico. Há 2300 anos, este povo desenvolveu a geometria através de matemáticos
que se deslocaram ao Egipto com o objetivo de adquirirem novos conhecimentos na
área.
A 250 a.C. foram encontrados vestígios da numeração indo-árabe na civilização
hindu, onde o algarismo zero ainda não tinha representação. Quando este sistema surgiu
na Europa veio facilitar as trocas comerciais e as viagens dos Árabes que se deslocavam
pelo Mediterrâneo.
Com o nascimento do Império Romano e com a dificuldade que este povo tinha
de contabilizar os seus bens surgiu a necessidade de criar o seu próprio sistema de
numeração, para isso utilizaram as letras do seu alfabeto para representar os seus
dígitos.
Em 2000 a.C. na Mesopotâmia surge o povo babilónico desenvolve o seu
próprio sistema de numeração, mais complexo que os anteriores.
(Fig. 1 – Contagem de
animais)
(Fig. 2 – Numeração atual Indo-
Árabe)
5
Conceitos
Sistema de numeração
“Conjunto de regras que permitem escrever qualquer número inteiro.”
(Dicionário Elementar da Matemática)
É um sistema de representação de números, ao qual cada algarismo apresenta
uma única representação, recorrendo a símbolos e regras.
Um sistema de numeração pode ser posicional ou não posicional.
Número
Foi um dos primeiros conceitos matemáticos a ser utilizado pelos povos devido à
necessidade de contagem.
O número é utilizado na matemática para representar uma quantidade, ordem ou
medida.
Algarismo ou dígito
É um símbolo utilizado em combinações que pretendem representar números em
sistemas de numeração posicionais.
(Fig. 3 – Exemplo de símbolos da numeração
Egípcia)
6
Sistema Egípcio
Os egípcios da Antiguidade tiveram a necessidade de criar um sistema de
numeração baseado em conjuntos. Este é um sistema não posicional, pois os números
podem ser escritos da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda que o
significado do número se mantêm inalterável.
Este povo tinha símbolos para representar os algarismos 1, 10, 100, 1000,
100000 e 1000000 sempre de uma forma aditiva.
O número 1 é representado por um bastão |, o 2 era representado por ||bastões e o
3 por ||| bastões, e assim sucessivamente até ao número 9 que era representado por nove
figuras das apresentadas anteriormente.
Quando chega ao número 10 o símbolo muda para um calcanhar, ∩. Assim, o
número 11 era representado por um calcanhar e um bastão, o 12 com um calcanhar e
dois bastões, o 20 por dois calcanhares, e assim seria até ao 99 que seria representado
por nove calcanhares e nove bastões.
O número 100 era representado por uma corda até ao 999, representado por nove
cordas, nove calcanhares e nove bastões).
(Fig. 4 – Representação egípcia dos números
de 1 a 9)
(Fig. 5 – Representação egípcia dos números
de 10 a 90)
7
Quando queriam representar o número 1000 o símbolo voltava a mudar, desta
vez para uma flor de lótus. Utilizando este símbolo e os anteriormente apresentados
representavam os números até ao algarismo 10000.
Assim, o símbolo para o número 10000 seria um dedo. Este símbolo e todos os
anteriores eram utilizados até à representação do 100000 que será representado por um
peixe.
Por fim, o número 1000000 é representado pela imagem de um homem.
Os egípcios, como verificamos anteriormente, escreviam os números que
pretendiam apenas utilizando sete símbolos, adicionando os mesmos de forma a
obterem o número que tinham necessidade de representar.
Para além de ser um sistema não posicional, é também um sistema aditivo, cuja
base é 10. Como também é possível verificar este povo não têm representação para o
número zero.
Os egípcios tal como todos os povos tinham uma maneira específica de calcular,
ou seja, quando se tratava da adição representavam cada símbolo em separado,
agrupando depois os algarismos da mesma ordem de grandeza.
Por exemplo:
(Fig. 6 – Representação egípcia do número
100)
(Fig. 7 – Representação egípcia do número
1000)
(Fig. 8 – Representação egípcia dos números
10000 e 100000)
(Fig. 9 – Representação egípcia do número
1000000)
8
Relativamente à multiplicação, esta era feita tendo como base a adição, ou seja,
no caso de 23X35, o 35 teria que ser adicionado a este vinte e três vezes. Mas para
facilitar o cálculo o que os egípcios faziam era construir duas colunas em que na
primeira punham o número 1 e iam multiplicando por dois cada número consecutivo, na
coluna seguinte colocavam o resultado e os números seguintes seriam o dobro dos
anteriores. A multiplicação terminava quando fosse encontrado o multiplicador, a este
método de multiplicação egípcia damos o nome de Método da duplicação.
Por exemplo:
23X35
 1
 2
 4
8
 16
35
70
140
280
560
9
Depois de verificarmos que os números dão o multiplicador, somamos o
resultado de cada parcela assinalada, neste caso 1+2+4+16 = 23. Assim, o 23 representa
o resto da multiplicação.
Caraterísticas deste sistema
 É aditivo;
 Não é posicional;
 Recorre a 7 símbolos
 Não tem símbolo para o zero;
 Escreve-se à custa de potências de base 10, logo é um sistema decimal
Curiosidade:
Como sabemos os egípcios escreviam em papiros, que é o tipo de papel
fabricado pela planta do papiro. Estes documentos conservam-se até aos nossos dias
devido ao clima quente e seco.
É através do Papiro de Rhind e do Papiro de Moscovo que conseguimos ter
conhecimento da matemática egípcia. O primeiro documento descoberto em 1858
contém 85 problemas e o segundo contém 25.
(Fig. 10 – Síntese dos 7 símbolos do sistema
de numeração egípcio)
(Fig. 11 – Papiro de Rhind) (Fig. 12 – Papiro de Moscovo)
10
Sistema Chinês
O sistema de numeração chinês é dos sistemas de numeração mais antigo e
complexo da história, julga-se que tenha surgido durante o Império Romano devido à
necessidade de transações de bens para algumas regiões da Ásia.
Este sistema é constituído por diversas formas abstratas que apresenta
representação para o zero e onde um traço na horizontal simboliza a unidade, dois traços
duas unidades e assim sucessivamente até ao número 4.
Do número 5 até ao 9 os símbolos apresentam formas aleatória. O sistema chinês
têm símbolo para os números de 0 a 9, para as dezenas, para as centenas e assim
sucessivamente.
(Fig. 13 – Representação chinesa
dos números de 1 a 4)
(Fig. 14 – Representação chinesa
para o número 0)
(Fig. 15 – Representação chinesa
dos números de 5 a 9)
(Fig. 16 – Representação chinesa dos
números de 10, 100, 1000, 10000)
11
As dezenas, as centenas e os milhares, neste sistema, são representados segundo
o princípio multiplicativo, ou seja, agrupando os sinais que correspondem aos números
pretendidos, todos os outros números são obtidos a partir do princípio aditivo.
O sistema Chinês é um sistema posicional pois a leitura do número depende da
posição que cada algarismo ocupa. Utiliza-se um sistema de representação que consiste
em utilizar nove dígitos, numa combinação de barras horizontais e verticais.
Este método levantou vários inequívocos, pois existiam muitos números em que
a sua representação era semelhante, como no caso do 3 e do 12, assim houve
necessidade de reformular a representação.
Para distinguir as unidades, representava-se as ordens de grandeza,
intervaladamente, isto é com barras verticais e horizontais
(Fig. 17 – Representação do número
234 pelo método multiplicativo)
(Fig. 18 – Representação das barras
horizontais e verticais de 1 a 9)
(Fig. 19 – Nova representação do
número 3 e 12)
(Fig. 20 – Nova representação
dos números de 1 e 9)
12
No entanto, a representação do zero continuava a levantar muitas dúvidas, pois
as representações eram apresentadas da seguinte:
Para ultrapassar este problema foram introduzidos, no lugar do zero, os símbolos
de potências de base 10, os algarismos passaram a ser representados dentro de um
quadrado, deixando vazio aquele que correspondia ao zero ou introduzindo o círculo
que simbolizava, primeiramente, o zero.
Para representar um número era necessário decompor o mesmo em potências de
base 10 e agrupar os seus símbolos. Por exemplo para representar o número 752,
devemos decompô-lo da seguinte forma: 752 = 7X100 + 5X10 + 2X1. Para o
representar escreve-se, os símbolos, na ordem, dos números 7, 100, 5, 10, 2. Esta
representação tem por base o modelo multiplicativo, referido anteriormente.
Para além do método multiplicativo, este povo utilizava também o método
aditivo.
(Fig. 21 – Nova representação dos números, por ordens)
(Fig. 22 – Representação dos números 40906 e 25
utilizando o método multiplicativo)
13
Se quisessem efetuar 50+1, representavam-no da seguinte forma:
Tendo como resultado 51
Para números maiores passa-se para o método multiplicativo. No cálculo de
5000 + 200 + 40 + 2, que se representa da seguinte forma:
Obtém-se como resultado 5242
O cálculo multiplicativo é necessário ter em conta os números de base 10, ou
seja,
5X1000 + 2X100 + 4X10 + 2, sendo estes os números representados acima.
Caraterísticas deste sistema
 É aditivo e multiplicativo;
 Utiliza 12 símbolos para representar os números;
 Por vezes, utilizam símbolo para o zero;
 Sistema posicional;
 Escreve-se à custa de potências de base 10.
(Fig. 23 – Síntese dos 10 símbolos chineses)
14
Sistema Babilónico
O sistema de numeração babilónico foi desenvolvido pelo povo babilónico, na
Mesopotâmia no ano 2000 a.C..
Tratava-se de um sistema cuneiforme, visto que os seus símbolos eram escritos
em forma de cunha e gravados em placas de argila.
Apesar da antiguidade destas placas, só no século XIX é que os investigadores
foram capazes de decifrar a linguagem em que o sistema era escrito.
Este povo usufruía apenas de um símbolo para o número 1 e outro para o
número 10, sendo que todos os outros era escritos à custa destes.
Este era um sistema simples, que utilizava apenas dois símbolos (para o 1 e para
o 10) e tinha como base 60, logo era um sistema sexagesimal, ou seja, em que todos os
números se escrevem à custa de potências de base 60.
Como podemos observar na figura 26, o número 60 escrevia-se da mesma forma
que o número 1, porém este não era caso único visto que o 62 se escrevia de forma
semelhante ao 2. Este tipo de representação levantava várias ambiguidades, ainda que
para este povo não fosse sentida pois estes conseguiam facilmente perceber o algarismo
que se tratava no contexto do problema.
(Fig. 24 – Placa de argila utilizada pelos babilónicos na
sua escrita cuneiforme)
(Fig. 25 – Representação babilónica dos números 1 e 10)
15
Assim, o significado de cada símbolo era marcado pela posição que ocupava na
representação do número, tendo diferentes valores consoante a posição ocupada, trata-se
por isso de um sistema posicional, a partir da base.
Os Babilónicos já tinham conhecimento do número zero, mas como este não
indicava qualquer tipo de quantidade, optavam por deixar espaços em branco para o
representar.
Vejamos a diferença do sistema de numeração decimal e do sistema babilónico.
No sistema decimal o número 640 é representado da seguinte forma:
640 = (6X602
) + (4X601
) + (0X600
) = 600 + 40 + 0 = 640
Na numeração babilónica
seria representado da seguinte forma:
Apesar de ter sido um sistema considerado bastante simples, pois era constituído
apenas por dois símbolos, o facto de não existir símbolo para representar o zero (apenas
representado por um espaço em branco), dificultava bastante a representação de cálculos
e do próprio número, existindo dificuldades que poderiam provocar erros ou até mesmo
um duplo sentido da representação de algarismos, quando lido por alguém que não
soubesse o contexto.
(Fig. 26 – Representação babilónica)
640
640 = (10X601
) + (4X600
) = 600 + 4 = 604
60
10
04
(Fig. 27 – Representação babilónica de
diferentes números)
16
Quando era necessário um espaço adjacente na representação, não era certo se
seria apenas um espaço mais amplo ou a representação de dois espaços.
Foi com a consciências destas dificuldades que, mais tarde, foi inventado um
novo símbolo para substituir o espaço e assim representar o zero.
Na atualidade este sistema não está esquecido, muito pelo contrário, este está
bastante presente no nosso quotidiano, por exemplo, nas horas e na medição dos
ângulos.
Curiosidades:
O relógio Big Ben tem gravado 12 divisões de uma hora e 60 divisões de um
minuto. O uso do número 60 como base para contar e identificar aos seus divisores era
utilizado pelos babilónicos há milhares de anos nos seus cálculos quotidianos.
Caraterísticas deste sistema:
 Apresenta apenas dois símbolos, uma para a unidade outro para a dezena;
 Sistema sexagesimal (base 60), ou seja, todos os números superiores a 60 são
escritos à custa deste número;
 Apesar de existir o zero, este não tem símbolo para representar o mesmo,
utilizando assim um espaço em branco;
 Sistema posicional, a partir da base;
 Aditivo antes da base
(Fig. 28 – Big Ben)
(Fig. 29 – Síntese dos 2 símbolos
babilónicos)
17
Sistema Indo-árabe
O sistema indo-árabe, os seus símbolos e regras foram criados pelos hindus e
aperfeiçoado e divulgado pelos Árabes. Este é também denominado por sistema de
numeração decimal ou de base 10. É um sistema que recorre a dez símbolos para
representar todos os numerais existentes.
Este é um sistema posicional, ou seja, os diferentes algarismos representam
quantidades diferentes consoante a posição que ocupam. O zero vem, marcar a ausência
de quantidades numa determinada posição.
Se observarmos os números 135 e 531 verificamos que apesar de conterem os
mesmos algarismos o número em si é diferente, ora vejamos:
O número 135 é constituído por 1
centenas, 3 dezenas e 5 unidades,
ou seja:
135 = 100+30+5 =
= 1X102 + 3X101 + 5X100
O número 531é constituído por 5
centenas, 3 dezenas e 1 unidade, ou
seja:
531 = 500+30+1 =
= 5X102 + 3X101+1X100
(Fig. 30 – Representação dos 10 símbolos
do sistema decimal)
18
Se estivermos perante um algarismo com maior número de casa decimais, para
facilitar devemos multiplicar cada número pela base 10 correspondente.
Por exemplo, se pensarmos no número 325 678
O número 3 terá ordem 5, o número2 ordem 4, o dígito 5 ordem 3, o algarismo 6 ordem
2, o número 7 ordem 1 e por fim o algarismo 8 terá ordem 0.
325 678 = 3X105
+ 2X104
+ 5X103
+ 6X102
+ 7X101
+ 8X100
=
= 300000 + 20000 + 5000 + 600 + 70 + 8
Caraterísticas deste sistema:
 Os símbolos representam numerais;
 Inicialmente não havia representação para o zero, sendo este representado por
um espaço, traço ou ponto;
 Tem 10 símbolos;
 É um sistema decimal, ou seja, todos os algarismos são escritos à custa de
potenciais de 10;
 Posicional;
 Tem símbolo para o zero;
 A sua representação oral é fundamentalmente aditiva e multiplicativa.
(Fig.31 – Evolução do sistema
Indo-Árabe)
19
Comparação entre os sistemas
• Aditivo;
• Não posicional;
• 7 símbolos
• Escreve-se à custa de
potencias de base 10
Sistema Egípcio
• Aditiva e
multiplicativa;
• 12 símbolos;
• Posicional;
• Escreve-se à custa de
potências de base 10
Sistema Chinês
• Aditivo antes da base;
• 2 símbolos;
• Posicional;
• Escreve-se à custa de
potências de base 60
Sistema
Babilónico
• Aditivo e
multiplicativo;
• 10 símbolos;
• Posicional;
• Escreve-se à custa de
potências de base 10
Sistema Decimal
20
Importância do zero
A maioria dos sistemas de numeração surgem, como já foi referido devido à
necessidade de contagem, e a sua origem está na contagem pelos dedos.
Os babilónicos ao terem necessidade de representar números superiores a 60
enfrentaram duas dificuldades que muitas vezes levavam a erros e ambiguidades. Por
exemplo, o número 601 era representado por o que podia ser confundido
com o número 2.
Para ultrapassar esta dificuldade passou-se a deixar um espaço em branco, para
representar o vazio. Mas quando era necessário mais do que um espaço tornava-se
difícil perceber se esse foi deixado de forma intencional ou não. Mais tarde, esta
barreira foi ultrapassada com o surgimento de um novo símbolo para o zero, como hoje
em dia é conhecido.
Inicialmente, os babilónicos não utilizavam este símbolo no final do número o
que continuou a ser um problema.
O valor do zero como número só veio a ser aplicado mais tarde pelos
astrónomos gregos que herdaram, o sistema babilónico e o utilizaram, juntamente com
os árabes durante inúmeros séculos.
Ainda assim, para os babilónicos o zero, não era o que é hoje, este era apenas
representado por um espaço em branco. Ao subtrair-se 100-100 este povo não utilizava
o zero, mas sim o conceito de nada.
21
Conclusão
No presente trabalho foram trabalhados quatro sistemas de numeração, bem
como as suas características e semelhanças entre si.
Para isso foi necessário compreender a história do aparecimento de algarismos
ou símbolos de contagem.
Os vários povos apresentam diferentes características, logo cada povo adaptou as
suas necessidades á sua maneira própria de contar.
Posto isto, neste trabalho é inicialmente apresentado o sistema de numeração do
povo Egípcio. Este tratava-se de um sistema decimal e era baseado em conjuntos em
que os números podiam ser escritos da esquerda para a direita ou da direita para a
esquerda, sendo o seu sentido igual. Este sistema tinha também uma maneira bastante
específica de calcular.
O segundo sistema de numeração a ser trabalhado foi do povo Chinês, este é um
dos sistemas mais antigos e mais complexos da história, é constituído por diversas
formas abstratas. Ao contrário do sistema Egípcio este é um sistema posicional que
também se escreve à custa de potências de base 10.
Já o terceiro sistema trabalhado é um pouco diferente dos dois acima
mencionados, pois trata-se de um sistema simples que utilizava apenas dois símbolos, e
em que os números se escreviam à custa de potências de base 60, logo é um sistema
sexagesimal. Era posicional apenas a partir da base, e aditivo antes da base. O sistema
Babilónico foi desenvolvido pelo seu povo e tratava-se de um sistema cuneiforme em
que símbolos eram escritos em forma de cunha e gravados em placas de argila.
Por fim, foi apresentado o sistema Indo-árabe, que é o atual sistema utilizado. Os
seus símbolos e regras foram criados pelos hindus e mais tarde aperfeiçoados e
divulgados pelos Árabes. Trata-se de um sistema de numeração decimal, logo tem base
10, que consiste em dez símbolos diferentes, para representam os numerais. Este é
também um sistema posicional.
Finalmente achamos bastante pertinente elaborar um pequeno resumo sobre o
zero e a sua importância, pois este é um símbolo que nem sempre existiu, havendo
vários sistemas que não o utilizavam.
22
Durante a elaboração deste trabalho foram existiram algumas dificuldades, pois
tratam-se de sistemas bastante diferentes entre si. A principal dificuldade foi
compreender o sistema de numeração Chinês, pois não conhecia-mos e trata-se de um
sistema bastante complexo.
23
Referências:
 Ponte, João Pedro, Serrazina, Maria de Lurdes, (2000). Didática da matemática
no 1º ciclo, Universidade Aberta
 Palhares, P. (coord.). (2004). Elementos de Matemática. Lisboa: Lidel
 Dicionário Elementar da Matemática
 Documento fornecidos pela docente
 Numeração egípcia
 Numeração Babilónica
 Sistematização das caraterísticas dos sistemas de numeração
 Texto – o sistema de numeração posicional e a invenção do zero
 http://www.ipb.pt/~cmca/sistemas%20de%20numeracao.pdf
 http://producao.virtual.ufpb.br/books/camyle/introducao-a-computacao-
livro/livro/livro.chunked/ch03s01.html
 http://www.fc.up.pt/fcup/contactos/teses/t_000369009.pdf
 http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/numeracao_arabe.htm
 http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/numeracao_egipcia.htm
 http://pt.scribd.com/doc/20264219/Sistema-de-Numeracao-Babilonico
 http://www.mundoeducacao.com/matematica/numeracao-chinesa.htm

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Sistema de Numeração: Babilónico, Egípcio, Chinês e Decimal

  • 1. Licenciatura em Educação Básica UC: Matemática Cultura e Realidade 2º Semestre; 1º ano; Turma A Docente: Catarina Delgado Matemática Cultura e Realidade Sistemas de numeração Discentes: Ana Margarida Gouveia Pereira, Catarina Isabel Gonçalves de Carvalho, Cláudia Sofia Raposo Matos
  • 2. 2 Índice Introdução História Conceitos Sistema de numeração Egípcio Sistema de numeração Chinês Sistema de numeração Babilónico Sistema de numeração Indo-Árabe Comparação entre os sistemas Importância do zero Conclusão Referências 3 4 5 6 10 14 17 19 20 21 22
  • 3. 3 Introdução Há milhares de anos, tudo era bastante diferente daquilo que é atualmente. Não existia a necessidade de contar, nem sequer existia dinheiro. Com o passar do tempo tudo se foi desenvolvendo, o homem começou a sentir a necessidade de contar. Com o dia-a-dia, cada vez mais complexo, e o aparecimento das primeiras civilizações, existiu, por consequência, um grande desenvolvimento das sociedades. Com isto, os registos e as contagens passaram a ser fundamentais no dia-a-dia, desenvolvendo assim os símbolos (para escrever os números) e métodos para fazer os cálculos. Aos símbolos chamou-se números e aos métodos algoritmos, estes dois em conjunto originaram os sistemas de numeração. Os sistemas de numeração foram evoluindo com os povos ao longo do tempo. Um dos primeiros sistemas de que há conhecimento, foi à 3400 a.C. e trata-se no sistema de numeração Egípcio. Seguiram-se, entre vários, o sistema de numeração Babilónico, o Maia, o Romano e o Indo-Árabe, sendo estes dos mais conhecidos hoje em dia. Foi devido a todas as curiosidades sobre o surgimento e evolução da matemática que decidimos trabalhar o tema dos sistemas de numeração, e assim aprofundar conhecimentos acerca de sistemas já lecionados na aula, mas também descobrir o funcionamento de um outro sistema. No presente trabalho, serão abordados os sistemas de numeração Babilónico, o Egípcio, o Chinês e o Indo-Árabe, indicando a sua escrita bem como as operações subjacentes a cada um. Iremos também apresentar alguns conceitos, como número e sistema de numeração. Para finalizar será elaborada uma breve comparação dos vários sistemas trabalhados, com o sistema atual em vários países, o Indo-Árabe.
  • 4. 4 História É através da necessidade de contar e associar a expressão escrita a essa contagem que era realizada pelo homem através de pedras e outros objetos encontrados que nasceu a matemática no período primitivo. Ainda assim, esta ciência foi descoberta no século XX, na região do Congo devido à descoberta de um osso que continha gravado algarismos com cerca de 2000 anos, e foi desta forma que se percebeu que as populações locais, na sua maioria, já tinham adquirido a capacidade de adicionar e multiplicar. Os gregos foram o primeiro povo a abordar a matemática, baseando-se, principalmente, na geometria. Os vestígios comprovam que este interesse surge desde o Paleolítico. Há 2300 anos, este povo desenvolveu a geometria através de matemáticos que se deslocaram ao Egipto com o objetivo de adquirirem novos conhecimentos na área. A 250 a.C. foram encontrados vestígios da numeração indo-árabe na civilização hindu, onde o algarismo zero ainda não tinha representação. Quando este sistema surgiu na Europa veio facilitar as trocas comerciais e as viagens dos Árabes que se deslocavam pelo Mediterrâneo. Com o nascimento do Império Romano e com a dificuldade que este povo tinha de contabilizar os seus bens surgiu a necessidade de criar o seu próprio sistema de numeração, para isso utilizaram as letras do seu alfabeto para representar os seus dígitos. Em 2000 a.C. na Mesopotâmia surge o povo babilónico desenvolve o seu próprio sistema de numeração, mais complexo que os anteriores. (Fig. 1 – Contagem de animais) (Fig. 2 – Numeração atual Indo- Árabe)
  • 5. 5 Conceitos Sistema de numeração “Conjunto de regras que permitem escrever qualquer número inteiro.” (Dicionário Elementar da Matemática) É um sistema de representação de números, ao qual cada algarismo apresenta uma única representação, recorrendo a símbolos e regras. Um sistema de numeração pode ser posicional ou não posicional. Número Foi um dos primeiros conceitos matemáticos a ser utilizado pelos povos devido à necessidade de contagem. O número é utilizado na matemática para representar uma quantidade, ordem ou medida. Algarismo ou dígito É um símbolo utilizado em combinações que pretendem representar números em sistemas de numeração posicionais. (Fig. 3 – Exemplo de símbolos da numeração Egípcia)
  • 6. 6 Sistema Egípcio Os egípcios da Antiguidade tiveram a necessidade de criar um sistema de numeração baseado em conjuntos. Este é um sistema não posicional, pois os números podem ser escritos da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda que o significado do número se mantêm inalterável. Este povo tinha símbolos para representar os algarismos 1, 10, 100, 1000, 100000 e 1000000 sempre de uma forma aditiva. O número 1 é representado por um bastão |, o 2 era representado por ||bastões e o 3 por ||| bastões, e assim sucessivamente até ao número 9 que era representado por nove figuras das apresentadas anteriormente. Quando chega ao número 10 o símbolo muda para um calcanhar, ∩. Assim, o número 11 era representado por um calcanhar e um bastão, o 12 com um calcanhar e dois bastões, o 20 por dois calcanhares, e assim seria até ao 99 que seria representado por nove calcanhares e nove bastões. O número 100 era representado por uma corda até ao 999, representado por nove cordas, nove calcanhares e nove bastões). (Fig. 4 – Representação egípcia dos números de 1 a 9) (Fig. 5 – Representação egípcia dos números de 10 a 90)
  • 7. 7 Quando queriam representar o número 1000 o símbolo voltava a mudar, desta vez para uma flor de lótus. Utilizando este símbolo e os anteriormente apresentados representavam os números até ao algarismo 10000. Assim, o símbolo para o número 10000 seria um dedo. Este símbolo e todos os anteriores eram utilizados até à representação do 100000 que será representado por um peixe. Por fim, o número 1000000 é representado pela imagem de um homem. Os egípcios, como verificamos anteriormente, escreviam os números que pretendiam apenas utilizando sete símbolos, adicionando os mesmos de forma a obterem o número que tinham necessidade de representar. Para além de ser um sistema não posicional, é também um sistema aditivo, cuja base é 10. Como também é possível verificar este povo não têm representação para o número zero. Os egípcios tal como todos os povos tinham uma maneira específica de calcular, ou seja, quando se tratava da adição representavam cada símbolo em separado, agrupando depois os algarismos da mesma ordem de grandeza. Por exemplo: (Fig. 6 – Representação egípcia do número 100) (Fig. 7 – Representação egípcia do número 1000) (Fig. 8 – Representação egípcia dos números 10000 e 100000) (Fig. 9 – Representação egípcia do número 1000000)
  • 8. 8 Relativamente à multiplicação, esta era feita tendo como base a adição, ou seja, no caso de 23X35, o 35 teria que ser adicionado a este vinte e três vezes. Mas para facilitar o cálculo o que os egípcios faziam era construir duas colunas em que na primeira punham o número 1 e iam multiplicando por dois cada número consecutivo, na coluna seguinte colocavam o resultado e os números seguintes seriam o dobro dos anteriores. A multiplicação terminava quando fosse encontrado o multiplicador, a este método de multiplicação egípcia damos o nome de Método da duplicação. Por exemplo: 23X35 1 2 4 8 16 35 70 140 280 560
  • 9. 9 Depois de verificarmos que os números dão o multiplicador, somamos o resultado de cada parcela assinalada, neste caso 1+2+4+16 = 23. Assim, o 23 representa o resto da multiplicação. Caraterísticas deste sistema  É aditivo;  Não é posicional;  Recorre a 7 símbolos  Não tem símbolo para o zero;  Escreve-se à custa de potências de base 10, logo é um sistema decimal Curiosidade: Como sabemos os egípcios escreviam em papiros, que é o tipo de papel fabricado pela planta do papiro. Estes documentos conservam-se até aos nossos dias devido ao clima quente e seco. É através do Papiro de Rhind e do Papiro de Moscovo que conseguimos ter conhecimento da matemática egípcia. O primeiro documento descoberto em 1858 contém 85 problemas e o segundo contém 25. (Fig. 10 – Síntese dos 7 símbolos do sistema de numeração egípcio) (Fig. 11 – Papiro de Rhind) (Fig. 12 – Papiro de Moscovo)
  • 10. 10 Sistema Chinês O sistema de numeração chinês é dos sistemas de numeração mais antigo e complexo da história, julga-se que tenha surgido durante o Império Romano devido à necessidade de transações de bens para algumas regiões da Ásia. Este sistema é constituído por diversas formas abstratas que apresenta representação para o zero e onde um traço na horizontal simboliza a unidade, dois traços duas unidades e assim sucessivamente até ao número 4. Do número 5 até ao 9 os símbolos apresentam formas aleatória. O sistema chinês têm símbolo para os números de 0 a 9, para as dezenas, para as centenas e assim sucessivamente. (Fig. 13 – Representação chinesa dos números de 1 a 4) (Fig. 14 – Representação chinesa para o número 0) (Fig. 15 – Representação chinesa dos números de 5 a 9) (Fig. 16 – Representação chinesa dos números de 10, 100, 1000, 10000)
  • 11. 11 As dezenas, as centenas e os milhares, neste sistema, são representados segundo o princípio multiplicativo, ou seja, agrupando os sinais que correspondem aos números pretendidos, todos os outros números são obtidos a partir do princípio aditivo. O sistema Chinês é um sistema posicional pois a leitura do número depende da posição que cada algarismo ocupa. Utiliza-se um sistema de representação que consiste em utilizar nove dígitos, numa combinação de barras horizontais e verticais. Este método levantou vários inequívocos, pois existiam muitos números em que a sua representação era semelhante, como no caso do 3 e do 12, assim houve necessidade de reformular a representação. Para distinguir as unidades, representava-se as ordens de grandeza, intervaladamente, isto é com barras verticais e horizontais (Fig. 17 – Representação do número 234 pelo método multiplicativo) (Fig. 18 – Representação das barras horizontais e verticais de 1 a 9) (Fig. 19 – Nova representação do número 3 e 12) (Fig. 20 – Nova representação dos números de 1 e 9)
  • 12. 12 No entanto, a representação do zero continuava a levantar muitas dúvidas, pois as representações eram apresentadas da seguinte: Para ultrapassar este problema foram introduzidos, no lugar do zero, os símbolos de potências de base 10, os algarismos passaram a ser representados dentro de um quadrado, deixando vazio aquele que correspondia ao zero ou introduzindo o círculo que simbolizava, primeiramente, o zero. Para representar um número era necessário decompor o mesmo em potências de base 10 e agrupar os seus símbolos. Por exemplo para representar o número 752, devemos decompô-lo da seguinte forma: 752 = 7X100 + 5X10 + 2X1. Para o representar escreve-se, os símbolos, na ordem, dos números 7, 100, 5, 10, 2. Esta representação tem por base o modelo multiplicativo, referido anteriormente. Para além do método multiplicativo, este povo utilizava também o método aditivo. (Fig. 21 – Nova representação dos números, por ordens) (Fig. 22 – Representação dos números 40906 e 25 utilizando o método multiplicativo)
  • 13. 13 Se quisessem efetuar 50+1, representavam-no da seguinte forma: Tendo como resultado 51 Para números maiores passa-se para o método multiplicativo. No cálculo de 5000 + 200 + 40 + 2, que se representa da seguinte forma: Obtém-se como resultado 5242 O cálculo multiplicativo é necessário ter em conta os números de base 10, ou seja, 5X1000 + 2X100 + 4X10 + 2, sendo estes os números representados acima. Caraterísticas deste sistema  É aditivo e multiplicativo;  Utiliza 12 símbolos para representar os números;  Por vezes, utilizam símbolo para o zero;  Sistema posicional;  Escreve-se à custa de potências de base 10. (Fig. 23 – Síntese dos 10 símbolos chineses)
  • 14. 14 Sistema Babilónico O sistema de numeração babilónico foi desenvolvido pelo povo babilónico, na Mesopotâmia no ano 2000 a.C.. Tratava-se de um sistema cuneiforme, visto que os seus símbolos eram escritos em forma de cunha e gravados em placas de argila. Apesar da antiguidade destas placas, só no século XIX é que os investigadores foram capazes de decifrar a linguagem em que o sistema era escrito. Este povo usufruía apenas de um símbolo para o número 1 e outro para o número 10, sendo que todos os outros era escritos à custa destes. Este era um sistema simples, que utilizava apenas dois símbolos (para o 1 e para o 10) e tinha como base 60, logo era um sistema sexagesimal, ou seja, em que todos os números se escrevem à custa de potências de base 60. Como podemos observar na figura 26, o número 60 escrevia-se da mesma forma que o número 1, porém este não era caso único visto que o 62 se escrevia de forma semelhante ao 2. Este tipo de representação levantava várias ambiguidades, ainda que para este povo não fosse sentida pois estes conseguiam facilmente perceber o algarismo que se tratava no contexto do problema. (Fig. 24 – Placa de argila utilizada pelos babilónicos na sua escrita cuneiforme) (Fig. 25 – Representação babilónica dos números 1 e 10)
  • 15. 15 Assim, o significado de cada símbolo era marcado pela posição que ocupava na representação do número, tendo diferentes valores consoante a posição ocupada, trata-se por isso de um sistema posicional, a partir da base. Os Babilónicos já tinham conhecimento do número zero, mas como este não indicava qualquer tipo de quantidade, optavam por deixar espaços em branco para o representar. Vejamos a diferença do sistema de numeração decimal e do sistema babilónico. No sistema decimal o número 640 é representado da seguinte forma: 640 = (6X602 ) + (4X601 ) + (0X600 ) = 600 + 40 + 0 = 640 Na numeração babilónica seria representado da seguinte forma: Apesar de ter sido um sistema considerado bastante simples, pois era constituído apenas por dois símbolos, o facto de não existir símbolo para representar o zero (apenas representado por um espaço em branco), dificultava bastante a representação de cálculos e do próprio número, existindo dificuldades que poderiam provocar erros ou até mesmo um duplo sentido da representação de algarismos, quando lido por alguém que não soubesse o contexto. (Fig. 26 – Representação babilónica) 640 640 = (10X601 ) + (4X600 ) = 600 + 4 = 604 60 10 04 (Fig. 27 – Representação babilónica de diferentes números)
  • 16. 16 Quando era necessário um espaço adjacente na representação, não era certo se seria apenas um espaço mais amplo ou a representação de dois espaços. Foi com a consciências destas dificuldades que, mais tarde, foi inventado um novo símbolo para substituir o espaço e assim representar o zero. Na atualidade este sistema não está esquecido, muito pelo contrário, este está bastante presente no nosso quotidiano, por exemplo, nas horas e na medição dos ângulos. Curiosidades: O relógio Big Ben tem gravado 12 divisões de uma hora e 60 divisões de um minuto. O uso do número 60 como base para contar e identificar aos seus divisores era utilizado pelos babilónicos há milhares de anos nos seus cálculos quotidianos. Caraterísticas deste sistema:  Apresenta apenas dois símbolos, uma para a unidade outro para a dezena;  Sistema sexagesimal (base 60), ou seja, todos os números superiores a 60 são escritos à custa deste número;  Apesar de existir o zero, este não tem símbolo para representar o mesmo, utilizando assim um espaço em branco;  Sistema posicional, a partir da base;  Aditivo antes da base (Fig. 28 – Big Ben) (Fig. 29 – Síntese dos 2 símbolos babilónicos)
  • 17. 17 Sistema Indo-árabe O sistema indo-árabe, os seus símbolos e regras foram criados pelos hindus e aperfeiçoado e divulgado pelos Árabes. Este é também denominado por sistema de numeração decimal ou de base 10. É um sistema que recorre a dez símbolos para representar todos os numerais existentes. Este é um sistema posicional, ou seja, os diferentes algarismos representam quantidades diferentes consoante a posição que ocupam. O zero vem, marcar a ausência de quantidades numa determinada posição. Se observarmos os números 135 e 531 verificamos que apesar de conterem os mesmos algarismos o número em si é diferente, ora vejamos: O número 135 é constituído por 1 centenas, 3 dezenas e 5 unidades, ou seja: 135 = 100+30+5 = = 1X102 + 3X101 + 5X100 O número 531é constituído por 5 centenas, 3 dezenas e 1 unidade, ou seja: 531 = 500+30+1 = = 5X102 + 3X101+1X100 (Fig. 30 – Representação dos 10 símbolos do sistema decimal)
  • 18. 18 Se estivermos perante um algarismo com maior número de casa decimais, para facilitar devemos multiplicar cada número pela base 10 correspondente. Por exemplo, se pensarmos no número 325 678 O número 3 terá ordem 5, o número2 ordem 4, o dígito 5 ordem 3, o algarismo 6 ordem 2, o número 7 ordem 1 e por fim o algarismo 8 terá ordem 0. 325 678 = 3X105 + 2X104 + 5X103 + 6X102 + 7X101 + 8X100 = = 300000 + 20000 + 5000 + 600 + 70 + 8 Caraterísticas deste sistema:  Os símbolos representam numerais;  Inicialmente não havia representação para o zero, sendo este representado por um espaço, traço ou ponto;  Tem 10 símbolos;  É um sistema decimal, ou seja, todos os algarismos são escritos à custa de potenciais de 10;  Posicional;  Tem símbolo para o zero;  A sua representação oral é fundamentalmente aditiva e multiplicativa. (Fig.31 – Evolução do sistema Indo-Árabe)
  • 19. 19 Comparação entre os sistemas • Aditivo; • Não posicional; • 7 símbolos • Escreve-se à custa de potencias de base 10 Sistema Egípcio • Aditiva e multiplicativa; • 12 símbolos; • Posicional; • Escreve-se à custa de potências de base 10 Sistema Chinês • Aditivo antes da base; • 2 símbolos; • Posicional; • Escreve-se à custa de potências de base 60 Sistema Babilónico • Aditivo e multiplicativo; • 10 símbolos; • Posicional; • Escreve-se à custa de potências de base 10 Sistema Decimal
  • 20. 20 Importância do zero A maioria dos sistemas de numeração surgem, como já foi referido devido à necessidade de contagem, e a sua origem está na contagem pelos dedos. Os babilónicos ao terem necessidade de representar números superiores a 60 enfrentaram duas dificuldades que muitas vezes levavam a erros e ambiguidades. Por exemplo, o número 601 era representado por o que podia ser confundido com o número 2. Para ultrapassar esta dificuldade passou-se a deixar um espaço em branco, para representar o vazio. Mas quando era necessário mais do que um espaço tornava-se difícil perceber se esse foi deixado de forma intencional ou não. Mais tarde, esta barreira foi ultrapassada com o surgimento de um novo símbolo para o zero, como hoje em dia é conhecido. Inicialmente, os babilónicos não utilizavam este símbolo no final do número o que continuou a ser um problema. O valor do zero como número só veio a ser aplicado mais tarde pelos astrónomos gregos que herdaram, o sistema babilónico e o utilizaram, juntamente com os árabes durante inúmeros séculos. Ainda assim, para os babilónicos o zero, não era o que é hoje, este era apenas representado por um espaço em branco. Ao subtrair-se 100-100 este povo não utilizava o zero, mas sim o conceito de nada.
  • 21. 21 Conclusão No presente trabalho foram trabalhados quatro sistemas de numeração, bem como as suas características e semelhanças entre si. Para isso foi necessário compreender a história do aparecimento de algarismos ou símbolos de contagem. Os vários povos apresentam diferentes características, logo cada povo adaptou as suas necessidades á sua maneira própria de contar. Posto isto, neste trabalho é inicialmente apresentado o sistema de numeração do povo Egípcio. Este tratava-se de um sistema decimal e era baseado em conjuntos em que os números podiam ser escritos da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, sendo o seu sentido igual. Este sistema tinha também uma maneira bastante específica de calcular. O segundo sistema de numeração a ser trabalhado foi do povo Chinês, este é um dos sistemas mais antigos e mais complexos da história, é constituído por diversas formas abstratas. Ao contrário do sistema Egípcio este é um sistema posicional que também se escreve à custa de potências de base 10. Já o terceiro sistema trabalhado é um pouco diferente dos dois acima mencionados, pois trata-se de um sistema simples que utilizava apenas dois símbolos, e em que os números se escreviam à custa de potências de base 60, logo é um sistema sexagesimal. Era posicional apenas a partir da base, e aditivo antes da base. O sistema Babilónico foi desenvolvido pelo seu povo e tratava-se de um sistema cuneiforme em que símbolos eram escritos em forma de cunha e gravados em placas de argila. Por fim, foi apresentado o sistema Indo-árabe, que é o atual sistema utilizado. Os seus símbolos e regras foram criados pelos hindus e mais tarde aperfeiçoados e divulgados pelos Árabes. Trata-se de um sistema de numeração decimal, logo tem base 10, que consiste em dez símbolos diferentes, para representam os numerais. Este é também um sistema posicional. Finalmente achamos bastante pertinente elaborar um pequeno resumo sobre o zero e a sua importância, pois este é um símbolo que nem sempre existiu, havendo vários sistemas que não o utilizavam.
  • 22. 22 Durante a elaboração deste trabalho foram existiram algumas dificuldades, pois tratam-se de sistemas bastante diferentes entre si. A principal dificuldade foi compreender o sistema de numeração Chinês, pois não conhecia-mos e trata-se de um sistema bastante complexo.
  • 23. 23 Referências:  Ponte, João Pedro, Serrazina, Maria de Lurdes, (2000). Didática da matemática no 1º ciclo, Universidade Aberta  Palhares, P. (coord.). (2004). Elementos de Matemática. Lisboa: Lidel  Dicionário Elementar da Matemática  Documento fornecidos pela docente  Numeração egípcia  Numeração Babilónica  Sistematização das caraterísticas dos sistemas de numeração  Texto – o sistema de numeração posicional e a invenção do zero  http://www.ipb.pt/~cmca/sistemas%20de%20numeracao.pdf  http://producao.virtual.ufpb.br/books/camyle/introducao-a-computacao- livro/livro/livro.chunked/ch03s01.html  http://www.fc.up.pt/fcup/contactos/teses/t_000369009.pdf  http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/numeracao_arabe.htm  http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/numeracao_egipcia.htm  http://pt.scribd.com/doc/20264219/Sistema-de-Numeracao-Babilonico  http://www.mundoeducacao.com/matematica/numeracao-chinesa.htm