conjuntos numericos os numeros reais conteudo de 9 ano

1- A História dos Números
2- Conjuntos Numéricos
Números Reais – Parte 1

A história dos números
O número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de
contar objetos e seres.

Nos primeiros tempos da humanidade, para
contar eram utilizados:
• os dedos,
• as pedras,
• os nós de uma corda,
• marcas num
osso/varas/paus/rochas...

• Mais tarde aparecem os símbolos
•Símbolos egípcios
•Simbolos Romanos
• Aparecimento do número zero
• Ao longo dos séculos foram aparecendo novos
números
Começamos com os números naturais para contar objetos:
1, 2, 3, 4, …
IN={ 1, 2, 3, 4, …}
IN0={ 1, 2, 3, 4, …}

• Aparecimento dos número inteiros relativos










 ...
,
3
,
2
,
1
,
0
,
1
,
2
,
3
...,
• Aparecimento dos números racionais
 
racionais
números
Q 


Revê
Números racionais são os números que
podem ser escritos na forma de fração
entre dois números inteiros. Podem ser
representados por dizimas finitas
numeros que subdividem e contem fim
com partes decimais e dizimas infinitas
periódicas números que subdividem
que não tem fim.
 Lê-se “reunião”

Dízimas
Infinitas
Não
Periódicas
Periódicas
Finitas
Números Racionais
2
1
;
3
0
;
3
6

11
1
;
7
2
;
3
1


3
;
2
; 


5
,
0
2
1
 Dizima finita ou infinita de período zero.
...
3333333
,
0
3
1

Dizima infinita periódica de período três.
)
3
(
,
0
3
1

Ou seja,

2 ...
414213562
,
1
Dizima infinita não
periódica.
Uma dizima finita pode ser
considerada como infinita de
período zero.
O período de uma dizima
infinita periódica pode ser
formado por um ou mais
algarismos que se repetem.
...

Tarefa 1
Agrupa os números
nos respectivos
conjuntos.
Considera os
seguintes números:
IN  Q Dizimas infinitas
não periódicas
Sugestão: relativamente aos números fracionários (representados
por frações) representa-os em forma de dizima, ou seja, na
calculadora efetua a divisão.
2
1
3
1
4
1
6
5
2
- 4
2
- 8
2
8
37
21 7
22

0

25
,
0
4
1

)
3
(
8
,
0
6
5

4
2
8

...
141592654
,
3


5
,
0
2
1

Dízima infinita não periódica
Dízima finita
Dízima finita
Dízima finita
Dízima infinita periódica

...
414213562
,
1
2 
)
675
(
5
,
0
37
21

...
142857143
,
3
7
22

)
3
(
,
0
3
1
 Dízima infinita periódica

Resolução - Tarefa 1
N  Q
2
2
8
2
8
2
8
2
2
- 4
- 4
- 8
- 8
0
2
1
3
1
4
1
6
5
2
- 4
0
2
- 8
2
8
37
21 7
22

0
37
21
7
22
6
5
2
3
1

2
1
4
1
Dizimas infinitas
não periódicas
37
21

Dizimas
infinitas não
periódicas
Um número irracional é um número cuja dízima é
________________________.
Nota: os números do conjunto, designado por outros, representam
dizimas infinitas não periódicas. São considerados os números
___________________.
37
21
7
22
2

irracionais
infinita não periódica
Não pode ser representado sob a forma de fração.

• Números reais
 
s
irracionai
números
Q 


IN  Z Q 
 
IN
Z
Q

Um número irracional é um número
cuja dízima é infinita não periódica.
Não pode ser representado sob a
forma de fração.
 Lê-se “está contido”

• Números reais
Irracionais
Racionais - Podem ser representadas
por dizimas finitas ou
infinitas periódicas
- Podem ser representadas
por dizimas infinitas não
periódicas

Tarefa 1+.
Agora continua a resolver a tarefa 1. Se tiver dúvidas consulte o
powerpoint.
Tarefa 1+ Resolução.
Para acederes à tarefa 1 clica em:
Para consultares a resolução da tarefa 1 clica em:

Tarefa 1 +
Usando a calculadora
2.1. Representa por uma dizima cada um dos números e
classifica-a.
a) b) c)
d) e) f)
5
7

8
1
9
17

11
57
13 64
,
0
4
,
1


Dízima finita
125
,
0

Dízima finita
)
8
(
,
1


Dízima infinita
periódica
Dízima infinita
não periódica
Dízima finita
)
18
(
,
5
 ...
605551275
,
3
 8
,
0

Resolução

g)
h) i)
j)
l)
m)
n)
12
7
6
59
99
32
7
 110
312
7
13 2
3
Dízima infinita
periódica
Dízima infinita
periódica
Dízima infinita
periódica
Dízima infinita não
periódica
Dízima infinita
periódica
periódica
periódica
)
3
(
58
,
0
 )
3
(
8
,
9

)
32
(
,
0

...
645751311
,
2

 )
36
(
8
,
2

...
857142857
,
1

...
8660254038
,
0


2.2. Relativamente às dízimas infinitas periódicas, indica o seu período.
c)
d)
9
17
 11
57
)
8
(
,
1


Período 8
)
18
(
,
5

Dízima infinita
periódica Período 18
g)
i)
l)
12
7
6
59
99
32
110
312
Dízima infinita
periódica
Dízima infinita
periódica
Dízima infinita
periódica
Dízima infinita
periódica
)
3
(
58
,
0

)
3
(
8
,
9

)
32
(
,
0

)
36
(
8
,
2

Período 3
h)
Período 3 Período 32
Período 36

2.3. Dos números anteriores indica quais são racionais e irracionais.
a) b)
d) e) f)
5
7

8
1
9
17

11
57
13 64
,
0
4
,
1


Dízima finita
125
,
0

Dízima finita
)
8
(
,
1


Dízima infinita
periódica
Dízima infinita
não periódica
Dízima finita
)
18
(
,
5
 ...
605551275
,
3
 8
,
0

Número Racional
Número Racional
Número Racional
Número Racional Número Irracional
Número Racional

g)
h) i)
j)
l)
m)
n)
12
7
6
59
99
32
7
 110
312
7
13 2
3
Dízima infinita
periódica
Dízima infinita
periódica
Dízima infinita
periódica
periódica
Dízima infinita
periódica
periódica
periódica
)
3
(
58
,
0
 )
3
(
8
,
9

)
32
(
,
0

...
645751311
,
2

 )
36
(
8
,
2

...
857142857
,
1

...
8660254038
,
0

Número Racional
Número Racional Número Racional
Número Irracional
Número Racional
Número Irracional
Número Irracional

Dízimas
Infinitas
Periódicas
Números
Reais
Números
Racionais
Completa
Resolução
Finitas
não
periódicas
Números
irracionais

4. Completa o quadro, marcando uma cruz quando o número pertence ao
respetivo conjunto.
Números Naturais Inteiros
Relativos
Racionais Reais
3
5
 × ×
16
5
10
20

0
-1,7
Resolução
× × ×
×
×
×
× × ×
× × ×
×

5. Completa os espaços de modo a obter afirmações
verdadeiras, utilizando:
5.1. Os símbolos de (pertence) e (não pertence).
N
..........
3 ; N
.........
7
 ;
Q
..
..........
5
3
;


..........
7 ; 
 Z
.........
4 ; 
Q
..........
9
,
0 ;
Z
..........
5
,
1
 ; Z
.........
16 ; Q
........
7 ;

.........
0 ; 
.........
 ;

0
.........
4
0
.
 







 



Resolução

5.2. os símbolos 
ou
Q
Z
N ,
,
.....
3
5
 ; .....
5 
 ; .....
9 
 ;
.....;
0003
,
0  ; .....
7
,
5 
 ; .....
9
,
1  .

ou
Q
Z
ou
N


ou
Q

ou
Q
ou
Z


6. Escreva:
6.1. Três números naturais maiores que 15;
6.2. três números inteiros consecutivos não naturais;
6.3. três números reais negativos e não inteiros;
6.4. três números reais positivos não racionais.
Resolução
Por exemplo: 20, 30 e 40
Por exemplo:
Por exemplo:
Por exemplo:
-4, -3 e -2
, 30 e 40
20, 30

7. Diga, justificando, se são verdadeiras ou falsas as
seguintes afirmações:
7.1. Todo o número real é racional.
7.2. Todo o número natural é inteiro.
7.3. Todo o número real é irracional.
Resolução
FALSO, Por exemplo pi é um número irracional logo real,
mas não é um número racional.
Verdadeiro.
Verdadeiro.
IN  Z
 
s
irracionai
números
Q 



IN={ 1, 2, 3, 4, …}










 ...
,
3
,
2
,
1
,
0
,
1
,
2
,
3
...,
• Números inteiros relativos
 
racionais
números
Q 


• Números naturais
• Números racionais
Números racionais são os números que podem ser escritos na
forma de razão entre dois números inteiros. Podem ser
representados por dizimas finitas e infinitas periódicas.
Dizima finita
Dizima infinita periódica
Exemplos
5
,
0
2
1

...
3333
,
0
3
1

)
3
(
,
0
3
1

É o mesmo que
É uma dizima infinita
periódica de
período 3
Conjuntos Numéricos


e
Q
Z,
 
,...
4
,
3
,
2
,
1


Z
dividem-se, ainda, em subconjuntos:
 
,...
4
,
3
,
2
,
1
,
0
0 

Z
 
1
,
2
,
3
,
4
..., 





Z
 
0
,
1
,
2
,
3
,
4
...,
0 





Z
 
positivos
racionais
números
Q 

 
negativos
não
racionais
números
Q 

0
 
negativos
racionais
números
Q 

 
positivos
não
racionais
números
Q 

0
 
positivos
não
reais
números


0
 
negativos
reais
números


 
negativos
não
reais
números


0
 
positivos
reais
números



Tarefa 2 – Os números Reais
1. Na figura está desenhada uma recta numérica.
1.1. Identifica na forma de dízima e de fracção a abcissa dos
pontos assinalados na recta.
1.2. Assinala na recta os pontos de abcissa , , e
50
25

2
1
5
15
8
2


Resolução - Tarefa 2 – Os números Reais
1. Na figura está desenhada uma recta numérica.
1.1. Identifica na forma de dízima e de fração a abcissa dos
pontos assinalados na reta.
5
,
4
2
9


 5
,
4
4
3



)
3
(
8
,
0
6
5

2
,
3
5
16

-3 5

1.2. Assinala na reta os pontos de abcissa , , e
50
25

2
1
5
15
8
2

5
,
0
2
1
 3
5
15

2
1
50
25


 4
1
8
2




• A cada número real corresponde um ponto na reta e a cada
ponto da reta real corresponde um número real (a abcissa do
ponto).
Representação na reta real (exemplo)
1
1
?
Pelo Teorema de Pitágoras
2
2
2
1
1
? 

1
1
?2



2
? 


2
? 

2
?2


2. Represente na reta real o número irracional .2
O comprimento é um número
positivo.

0 1 2 3
-1
-2
-3
1
2
2
Representação na reta real
Com o compasso, transfere o
comprimento 2 para a reta real.

3. Indica a medida de cada um dos segmentos da figura e
identifica aqueles cuja medida é um número irracional.
2
2
2
1
1 

a
1
1
2


 a
2


 a
2

 a
2
2

 a
Resolução:
2
2
2
1

 a
b
3
3
3
1
2
1
2
2
2
2
2













b
b
b
b
b
2
2
2
1

 b
c
2
4
4
1
3
1
3
2
2
2
2













c
c
c
c
c
O comprimento é um número
positivo.
a, b e c são números irracionais

4. Desenha segmentos de recta que meçam exatamente: e (em
cm).
5 13
2
2
2
1
2 

a
1
4
2


 a
5


 a
5

 a
5
2

 a
Resolução: 5
0 1 2 3
-1
-2
-3
1
5
5

2
2
2
2
3 

a
4
9
2


 a
13


 a
13

 a
13
2

 a
Resolução:
0 1 2 3
-1
-2
-3
3
13
13
13

3
4
4
,
1
5
8
2
)
6
(
,
1 

5. Coloca por ordem crescente
Resolução:
Primeiro separa os números positivos dos números negativos e
representa-os na forma de dízima.
•Números negativos: •Números positivos:
• Por ordem crescente:
....
4142
,
1
2 

 ...
6666
,
1
)
6
(
,
1 
40
,
1
4
,
1 


...
5874
,
1
4
3

6
,
1
5
8

)
6
(
,
1
5
8
4
4
,
1
2 3







6. Indicar valores aproximados do número irracional .

...
141592
,
3

 Mas podemos escrever:
Enquadramento de  à unidade
Enquadramento de  à décima
Enquadramento de  à centésima
4
3 

2
,
3
1
,
3 
 
15
,
3
14
,
3 
 
Por defeito
Por defeito
Por defeito
Por excesso
Por excesso
Por excesso
Resolução:

7. Completa com os símbolos >, < ou = de modo a obteres
afirmações verdadeiras.
7.1 -8 …….-9
7.2. -8 ….. 9
7.3. 7.4. 1,33……1,4
7.5. 9 …..-8
7.6
2
...
..........

2
...
.......... 

414213562
,
1
2
141592654
,
3



414213562
,
1
2
141592654
,
3






Resolução:
>
>
>
<
<
<

8. Indica três números irracionais compreendidos entre 6 e 7.
Resolução:
6
36 
Escreve o número 6 e o número 7 em forma de raiz quadrada.
7
49 
Seja x um número real tal que: 7
6 
 x
49
36 
 x
Entre dois números reais, por
mais próximos que estejam,
existem infinitos números
racionais e irracionais.
Três números irracionais
podem ser, por exemplo:
38
37 45

Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas
aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze.
As aldeias situadas nas margens dos rios transformaram-se em
cidades.
Surgiram novas actividades, devido ao desenvolvimento do
comércio.

Com isso algumas pessoas puderam dedicar-se a
outras actividades, tornando-se artesãos, comerciantes,
sacerdotes, administradores...
Os agricultores passaram a produzir alimentos em
quantidades superiores às suas necessidades.
Com as trocas comerciais surge o número zero e os
números negativos.

Como conseguiam efetuar cálculos rápidos e precisos com
pedras, nós ou riscos num osso?
Foi por necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egipto
passaram a representar a quantidade de objetos de uma colecção
através de desenhos – os símbolos.
A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o
desenvolvimento da Matemática.
Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para
obter 8 bastões.
Hoje sabemos representar esta operação por meio de
símbolos.
3 + 5 = 8

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-
chave:
Os egípcios usavam símbolos para representar esses números.
Um traço vertical representava 1 unidade:
Um osso de calcanhar invertido representava o número 10:
Um laço valia 100 unidades:

Uma flor de lótus valia 1.000:
Um dedo dobrado valia 10.000:
Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades:
Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000:

Todos os outros números eram escritos combinando os números-
chave.
Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a
ordem dos símbolos.

A necessidade de criação de números irracionais surgiu no tempo de
Pitágoras.
Os pitagóricos descobriram que existia um segmento de reta e que não
existia nenhum número que representasse o seu comprimento.
O segmento de reta era a diagonal de um quadrado de lado unitário.
Como eles só conheciam os números inteiros e os números
fraccionários, não conseguiam representar com estes números o
comprimento da referida diagonal.

Os incomensuráveis ou irracionais
As grandezas geométricas que não correspondiam a qualquer
número conhecido no tempo dos Gregos foram chamadas
incomensuráveis. Uma das mais célebres é a diagonal do
quadrado de lado 1, que hoje representamos por... (raiz
quadrada de 2).
Existem várias maneiras de demonstrar a impossibilidade de
exprimir essa medida usando um número inteiro ou fraccionário.
A mais simples de todas baseia-se no teorema de Pitágoras.

Um outro comprimento de representação geométrica simples e ao
qual não corresponde nenhum número da matemática grega é
o perímetro da circunferência (com diâmetro igual a 1 ou a outro
valor inteiro).
O valor desse perímetro é actualmente representado por pi.
Estas duas medidas, a da diagonal do quadrado de lado 1 e a do
perímetro da circunferência de diâmetro 1 têm valores
irracionais.
A definição rigorosa de número irracional foi dada só no
século XIX.

O número pi é um número irracional e representa a razão entre o
perímetro e o diâmetro de qualquer círculo. Em seguida dá-se um valor
aproximado de
Com as primeiras 50 casas decimais.

3751
69399
41971
50288
83279
26433
23846
89793
26535
14159
,
3


Tarefa 3
O número é um número com história. Utiliza-se, por exemplo,
quando se quer determinar a área ou o perímetro de um círculo. Ao
longo dos tempos foram utilizadas diferentes aproximações para o
valor de .



1.Na tabela estão indicados alguns desses valores.
1.1.Qual das aproximações da tabela se aproxima mais do valor de
pi?
Origem/ autor Data Aproximação Valor
Babilónia 2000 a.C.
8
1
3 
3, 125
Egito
Papiro de Ahmes
1650 a. C. 2
9
16






3,(160493827)
Arquimedes 250 a. C.
7
22 3,(142857)
Ptolomeu 150 d. C.
120
377 3,141(6)
Tsu Chung Chih 480 d. C.
113
355 3,141593 (valor aproximado)
Simon Duchesne 1583 2
22
39





 3,142562 (valor aproximado)
1.2. E qual se afasta mais?
Resolução:
Adaptado (Professores das turmas piloto do 9º ano de escolaridade, 2011)
Tsu Chung Chih
Egito, Papiro de Ahmes

2. A avó da Joana vai colocar renda em volta da sua toalha redonda.
A toalha tem um metro de diâmetro. A Joana para saber qual o
comprimento de renda que a avó precisa de comprar, calculou o
perímetro da toalha. Verifica que a Joana obteve para o comprimento
da renda . Quantos metros deve a Joana comprar?
Resolução:
A Joana calculou o perímetro do círculo utilizando a seguinte fórmula:


 D
Pcírculo
Então

 

1
toalha
P
é o valor exacto da medida da renda a comprar.


No entanto, nestes problemas de ordem prática, não se usam os valores
exatos dos números irracionais, mas valores aproximados.

O que significa então metros de renda?

A Joana pega na calculadora e obtém:
141593
,
3

 valor aproximado a 6 casas decimais (10-6).
Porém, para comprar a renda não são necessárias tantas casas
decimais!
Vamos ajudar a Joana!!!

•Podemos pensar em duas casas decimais. É fácil verificar que
está entre 3,14 e 3,15, ou seja
15
,
3
14
,
3 
  , enquadramento de , às centésimas.
Repara que
• 3,14 m de renda não chega;
• 3,15 m de renda é um pouco mais, mas já chega.
Nota:
•3,14m=314cm
•3,15m=315cm

Podemos pensar noutros enquadramentos.
No nosso caso não interessa pois o “metro”da loja está graduado em
cm.
O valor que serve e o valor por excesso: 3,15 m.
Em cada situação é preciso ponderar qual é a aproximação mais
convenientes.

3. Complete:
3.1.
3.1.1. utilizando uma casa decimal
3.1.2. utilizando duas casas decimais
3.1.3. utilizando três casas decimais
.......;
13
....... 

.......;
13
....... 

.
..........
13
..
.......... 

Resolução:
605551275
,
3
13 
6
,
3 7
,
3
60
,
3 61
,
3
605
,
3 606
,
3

605551275
,
3
13 
3.2. Indique um valor aproximado de , por defeito, a menos
de 0,1.
13
3.3. Indique um valor aproximado de , por excesso, a menos de
0,01.
13
Resolução:
6
,
3
13  1 c.d.
61
,
3
13  2 c.d.

Sites que podes
consultar
http://upf.tche.br/~pasqualotti/hiperdoc/natural.htm
Clica sobre o site e consulta agora…
http://matematica.no.sapo.pt/nconcreto.htm
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2001/icm34/indice.htm
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm11/tab%20cron.ht
m

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