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Sistemas Numéricos:
                      Evolução
                                                     Inscrição numa fonte
                                                                São Pedro das Águias (velhas), Granjinha




                                   Escrita egípcia




 Papiro Rhind, Museu de Londres.

                                                      Contando nas cavernas,. Foto: © Alek
                                                      Baptista/MUHPAN.
Introdução: origem dos números

                1. Como surgiram os números?
                2. Quais as eram as primeiras formas de contagem?
                3. Como é que os números foram criados, ou, será que
                   eles sempre existiram?
                                            l




                                                         Pintura Rupestre
                                       © Celeste Duque
April 1, 2010
                                                                            2
Introdução: origem dos números

                – Os homens primitivos não tinham necessidade de
                  contar, pois o que necessitavam para a sua
                  sobrevivência era retirado da própria natureza - povos
                  recolectores, porque viviam da pesca, caça e recolha de
                  frutos e raízes...
                                             l




                                        © Celeste Duque
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Introdução: origem dos números

                – A necessidade de contar começou com o
                  desenvolvimento das actividades humanas, quando
                  deixou de ser nómada:
                    •   E sentiu necessidade de se fixar em determinada área
                        geográfica fosse pela abundância de recursos ou por
                        uma questão de melhor sobreviver aos sucessivos
                                              l
                        ataques de tribos inimigas...




                                          © Celeste Duque
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                                                                               4
Introdução: origem dos números

    – Ao tornar-se sedentário viu-se na necessidade de efectuar
      trocas de produtos.
                •   Teve de encontrar uma forma de contar os objectos que iria
                    trocar por outros
                •   Foi nessa altura que a humanidade começou a construir o
                    conceito de número matemático.
                                             l




                                          © Celeste Duque
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                                                                                 5
Introdução: origem dos números

    – As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia,
      foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje
      é denominada Oriente Médio.
                •   A agricultura passou então a exigir o conhecimento
                     –   do tempo,
                     –   das estações do ano le
                     –   das fases da Lua e
                     –   assim começaram a surgir as primeiras formas de
                         calendário.




April 1, 2010
                                           © Celeste Duque    Calendário Lunar
                                                                                 6
Sistemas numéricos

Diversas civilizações da Antiguidade
desenvolveram os seus próprios sistemas
de numeração.
            – São inúmeros os vestígios deixados ao
              longo dos tempos, por exemplo os sistemas
                                          l
              de numeração dos Egípcios, Gregos,
              Romanos, Chineses...
            – Alguns destes sistemas perderam
              completamente a sua utilidade, outros, como
              é o caso da numeração romana continuam a
              ser utilizados, embora com menor
              frequência.
                                                            Mesopotâmia, a escrita cuneiforme registava
                                                            os números como conjuntos de incisões em
                                                            placas de argila: triângulos cursivos
                                                            representando as dezenas e traços em forma
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                                       © Celeste Duque      de Y para as unidades
                                                                                               7
Sistemas numéricos: vestígios da Antiguidade
Diversas civilizações da Antiguidade, além da egípcia, desenvolveram seus
próprios sistemas de numeração. Muitos são os vestígios deixados pelos
povos primitivos, por ex.: desenhados (pinturas rupestres, papiros), traçados
em barro, esculpidos em madeira, pedra ou metal (moedas...).




                                                                   Moeda Chinesa, época Medieval
                Moeda Romana com 1700 anos




   Época Ptolomaica, esfinge de Alexandre “O   Calendário Maia
   Grande”, 323-305 a.C - Egipto                                    Tablete mesopotâmico.
                                                 © Celeste Duque
April 1, 2010                                                       Foto: The British Museum.
                                                                                                   8
Sistemas numéricos: vestígios da Antiguidade

        – Assim, por exemplo, na contagem do tempo, agrupamos segundo a
          base sexagesimal (60 segundos compõem 1 minuto; e 60 minutos
          compõem 1 hora) e isso é consequência da numeração desenvolvida na
          Mesopotâmia, há mais de 4000 anos.




                      Para saber mais: http://www.biotrust-eco-
                      energy.com/473.html

                                                    © Celeste Duque
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                                                                           9
Uso de sistemas numéricos da Antiguidade,
                                                    na actualidade

            – Outros vestígios de sistemas numéricos antigos - por. ex.: a
              numeração Romana - podem ser observados nos mostradores
              de relógios, na indicação de datas, na numeração de
              capítulos de livros ou mesmo para diferenciar pessoas famosas
              cujo nome é igual (reis, papas...).




                                                                                              Papa Benedicto XV   Papa Benedicto XVI




Relógio de fachada. Pormeno: IIII em
vez do convencional IV.
                                       Relógio Big Ben, Palácio de Westminster, Londres, que tem
                                       a numeração romana em minúsculas, “script” gótico. Com o
                                       4 convencional: iv.
                                                                © Celeste Duque
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Uso de sistemas numéricos da Antiguidade,
                na actualidade




                    © Celeste Duque
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                                         11
Sítio arqueológico, cidade histórica da Babilónia
     Para saber mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/Babil%C3%B4nia
                                                                                      Sistema numérico
                                                                                          Babilónico
O Império Babilónico durou de 1950 a.C. a1200 a.C.).
Habitaram na Ásia e são um dos primeiros povos da Antiguidade a
utilizar símbolos numéricos.
     – O seu sistema numérico baseava-se num sistema sexagesimal.
     – Os números eram representados por caracteres cuneiformes, i.e., em
       forma de cunha, que eram gravados em placas de argila que depois eram
       cozidas, podendo ser reaproveitadas caso os dados nelas contidos não
       fossem de extrema importância.
                • A escrita cuneiforme era de difícil execução e interpretação, já que possuía
                  mais de 2000 sinais.




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Sistema numérico Babilónico

Os babilónios usavam seu
conhecimento de aritmética e
álgebra simples para expressar
    – comprimentos e pesos,
    – trocar moedas e mercadorias,
    – calcular juros simples e
      compostos,
    – impostos, e a
    – proporção de uma colheita que
      deveria ir para o fazendeiro,
      para a igreja e para o Estado.




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Sistema numérico Babilónico

Também usavam a matemática na
        – divisão de campos e de
        – heranças, e em
                • projectos de canais,
                • represas e
                • sistemas de irrigação;
        – Pensa-se que os problemas
          económicos que enfrentaram foram o
          estímulo para desenvolvimento da
          matemática. (Kine, 1990)

                                                             Numbers on a land purchased, 2400 a.C., Babilónia




                                           © Celeste Duque
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Sistema numérico Babilónico

A grande utilidade desta escrita foi ao
nível da:
        – contabilidade e administração, pois
                • facilitava o registo de bens,
                • marcas de propriedade,
                • cálculos e transacções comerciais.
        – Os símbolos numéricos utilizados eram
          os que se podem observar na figura:




                                              © Celeste Duque
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Sistema numérico Babilónico

Tinham um símbolo diferente para a
    – Unidade;
    – Dezena;
    – Mas não tinham um símbolo para o zero, assim, por
      exemplo:
                • O número 60 escrevia-se exactamente como o 1,
                • o que para nós é muito confuso.
                   – Por exemplo, 61 escreve-se como 2.




                                                                  Detalhe, portal Ishtar
                                          © Celeste Duque
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                                                                           16
Sistema numérico Babilónico


    – Pensa-se que os Babilónios sabiam
      distinguir o número a que se referiam
      de acordo com o contexto do
      problema.
                • Escritos Babilónicos provam que esta
                  civilização já possuía conhecimentos
                  matemáticos avançados.
                • Neles aparecem uma série de
                  notações que se inserem num sistema
                  de numeração sexagesimal.




                                         © Celeste Duque
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Sistema numérico Babilónico

    – O uso do número 60 como base
      para contar e dos seus divisores
                • como a dúzia: 12 = 60/5
    – era utilizado pelos babilónios há
      milhares de anos nos seus cálculos
      quotidianos e também pelos
      sacerdotes nos seus cálculos
      astronómicos e de quem dependia a
      contagem do tempo.
    – Mais um exemplo:




                                            © Celeste Duque
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Símbolos Numéricos Babilónicos (1-59)




                                © Celeste Duque
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                                                        19
Símbolos Numéricos Babilónicos (1-1000)




                                 © Celeste Duque
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                                                          20
Sistema numérico Babilónico: Exemplos

Por exemplo, 1,45,29,36 representam números do sistema
sexagesimal.
        1x60! + 45x60" + 29x60 + 36
        = 1 x 216000 + 45 x 3600 + 29 x 60 + 36
        = 216000 + 162000 + 1740 + 36
        A notação decimal é: 379776




                                  © Celeste Duque
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Sistema numérico Babilónico: Exemplos

        – Exemplo:
                1,45,29,36 em numerais Babilónicos



        – Uma vez que não tinham o número zero, os babilónios, em
          sua substituição, utilizavam um espaço em branco para
          marcar a não existência de um dígito num determinado
          lugar do montante.
                • Exemplo:
                   – 4,0,8 em numerais da Babilónia




                                         © Celeste Duque
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Sistema numérico Babilónico: Exemplos

        – Outro exemplo:




                           © Celeste Duque
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                                                23
Sistema numérico Babilónico: Exemplos

        – Um exemplo muito simples:




                                  © Celeste Duque
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                                                    24
Sistema numérico Babilónico: Regras




                   Para saber mais: http://scienceray.com/mathematics/the-mayan-and-babylonian-ancient-number-systems/


                                                              © Celeste Duque
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                                                                                                                         25
Tabela de multiplicação babilónica do 9




                   Para Saber mais: http://depts.clackamas.cc.or.us/banyan/1.2/grant.htm
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Cálculo do quadrado de números
babilónicos > 59 e do cubo de números > 32
        – Entre algumas das tábuas encontradas perto do rio Eufrades, datadas
          de cerca de 2000 a.C., durante o período Hamurábico. Encontram-se as
          que apresentavam o cálculo do quadrado de números maiores que 59. E
          o Cubo de números maiores que 32.
                82 = 1,4 [(1 x 601) + (4 x 600)] até chegar a
                592 = 58,1 [(58 x 601) + (1 x 600)] (ver imagem).




                                                        The famous 'root (2)' tablet from the Yale
                                                        Babylonian Collection.
                                                        Para Saber mais:
                                                        http://depts.clackamas.cc.or.us/banyan/1.2/gra
                                                        nt.htm




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                                                                                               27
Sistema numérico Maia

Perdidas há séculos nas florestas tropicais e matas da
América Central, algumas dezenas de cidades mortas
ilustram um dos mais misteriosos episódios da História.
        – Os historiadores e arqueólogos designaram-nas de
          Civilização Maia.




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Sistema numérico Maia

Os Maias tinham como base não a dezena, mas a vintena
e as potências de vinte.
                   Ex.: 365 representado numa base de 10


        – Ao usar a vintena a cultura Maia conseguiu representar por
          meio de símbolos figurativos realidades numéricas,
                • foram eles quem escreveram as datas mais antigas que se
                  registam na história da humanidade.



   Números Maia de 0 a 10


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Sistema numérico Maia

Criaram um sistema
baseado na posição dos
símbolos, que incluía a
utilização do zero 0
    – para indicar que não
      existem unidades deste
      valor,
                • um símbolo ovalado que
                  aparece em numerosos
                  vestígios ou códices maias
                   – bastante semelhante ao
                     símbolo zero, da notação
                     científica: !.

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Sistema numérico Maia

A razão, desta contagem, é
devida ao hábito que os seus
ancestrais tinham de contar não
apenas com
  – os dez dedos das mãos, e
    com
  – os dez dedos dos pés.
                • A escrita é orientada na
                  horizontal até ao número 19.




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                                                           31
Sistema numérico Maia

    – A partir do 20 os números eram representados considerando
      a posição do algarismo, parecido com o sistema de
      numeração que utilizamos,
                • com uma diferença importante,
                   – eram escritos na vertical, o número 20 escreve-se:




                                                                          (Imenes, 2002)




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Sistema numérico Maia: Exemplos

        – Se tivéssemos mais posições verticais continuaríamos a multiplicar
          da mesma forma, ficamos com:




                • Outro exemplo:




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                                                                               33
Sistema numérico Maia: Exercício

    – E os números seguintes consegue dizer quais são?



                                                                        (Imenes, 2002)




                • Os dois pontos, podiam ser o 2... mas não é!
                     – Repare que na figura com números de 1 a 19 o dois é
                       representado com dois pontos lado a lado.
                • Quais são então estes números?




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Sistema numérico Maia: Exemplos

    – Trata-se dos números 21, 25, 28 e 30:
                                                                                  (Imenes, 2002)




                                          (1+1x20)   (5+1x20)   (8+1x20)   (5+5+1x20)




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Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360)

Os Maias tinham um vasto conhecimento de astronomia e,
para facilitar cálculos nesta área,
        – fizeram uma mudança a partir da terceira casa do seu
          sistema numérico, i.,e. do
                • número 360 em diante os agrupamentos deixam de ser de
                  vinte em vinte. A terceira casa passa a ser o produto de 18
                  por 20 (18x20)
                    – que é igual a 360,
                    – Ao invés de 20 x 20.




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                                                                                36
Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360)

   Isto porque:
      – O ano Maia estava dividido em 18 meses com 20 dias cada. Então,
         não consideravam as posições 200, 201, 202,... mas sim
                • 200, 201, e a partir daí salta para:
                • 201#18 (=360), 202#18 (=7 200), 203#18 (=144 000)




                • Os numerais eram escritos verticalmente e nos lugares "vazios"
                  punham o sinal ovalado:


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Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360)

Se comparado com o nosso sistema, que é decimal, o
número
        482 # 4 x 10" + 8 x 10$ + 2 x 100 = 482.
                • Para os Maias a base era 20, logo, multiplica-se por uma
                  potência de 20.




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Curiosidades Matemáticas: Os 24 factores de 360

1 x 360 = 360
2 x 360 = 180
3 x 120 = 360
4 x 90 = 360
5 x 72 = 360
6 x 60 = 360
8 x 45 = 360
9 x 40 = 360
10 x 36 = 360
12 x 30 = 360
15 x 24 = 360
18 x 20 = 360          © DJ Jeffery, ULV, 2003 (Para saber mais: http://www.nhn.ou.edu/~jeffery/astro/astlec/lec004.html )


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Sistema numérico Maia: Exercício

Vejamos o exemplo de um número de três dígitos. Vamos
partir para a terceira ordem da numeração Maia. Dê um
palpite: como você acha que os maias escreviam 467?
        – Não sabe?




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Sistema numérico Maia: Exercício

Então vamos juntos:
        – Na terceira casa, acima das duas que já vimos até aqui, os Maias
          escreviam os números que eram produto da multiplicação de 20
          por 20. Dessa forma, para representar o número 467, por
          exemplo,
                • Na casa de cima (1ª casa) colocavam um ponto, que significava
                    – 1x20x20, ou seja, 400.
                • Na casa do meio (2ª casa), desenhavam três pontos,
                    – o que significava 3x20, ou seja, 60.
                • E, por fim, na última casa (3ª casa), desenhavam uma barra (5) e
                  dois pontos (2), o que representava sete (7). Veja na figura a
                  seguir:




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Sistema numérico Maia: Exercício

E este número, qual é?




                • 2012




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                                                    42
Sistema numérico Maia: Regra geral

Sabendo que os números se representam da seguinte
forma:




        E que a regra é:




                Torna-se fácil representar o número abaixo:



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Calendário Maia

A mudança de contagem a partir
da 3ª casa surgiu, provavelmente,
porque os sacerdotes –
astrónomos – quiseram que esta
tivesse um número aproximado
ao número de dias do Ano Maia.
                – O uso da potência de base 20
                  corresponde ao factor
                  multiplicativo de cada casa.


                                                                    Calendário Maia
                                                        Para saber mais:
                                                        http://livroenigmadosdeuses.blogspot.com/2009/
                                                        09/2012-verdade-sobre-as-profecias-e-o.html




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                                                                                                         44
Espiral da Numeração Maia




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                                            45
Sistema numérico Maia

No desenho ao lado:
    – A segunda coluna da esquerda, de cima
      para baixo, contém os números 9,9,16,0,0,
      que indicam
                • 9 à 144.000+ 9x7.200 + 16X360+ 0 + 0 =
                  1.366.560.
                • Na terceira coluna estão os números
                  9,9,9,16,0 representando 1.364.360.
                  Imagem original de cor preta e vermelha
                                                      (Morley, 1915, p. 266)




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Sistema numérico Maia: Símbolos (1-7200)




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                                                     47
Sistema numérico Maia: Exemplos




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                                                  48
Sistema numérico Maia: Exemplos




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                                                  49
Sistema numérico Maia: Exemplos

Número representado numa base de 20
                5125 = 12x202 + 16x201 + 5x100




                         Para saber mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/Civiliza%C3%A7%C3%A3o_maia



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                                                                                                    50
Sistema numérico Chinês: Primitivo

       “Em 1899 foi feita a maior descoberta arqueológica na aldeia de Xiao Dun,
       no distrito da província de An-Yang.
       Descobriram-se centenas de ossos e carapaças de tartaruga que tinham
       inscrições em caracteres chineses antigos.
       A localidade tinha sido a capital dos reis da última dinastia Shang (também
       conhecida como dinastia Yin), do século XIV a.C..
       Os últimos doze reis governaram ali até cerca de 1045 a.C. e os ossos de
       tartaruga eram utilizados em rituais de cerimónias religiosas.
       Eram colocadas questões num dos lados da carapaça da tartaruga e no
       lado da carapaça eram então sujeitos ao calor do fogo e as rachas que
       surgiam eram interpretadas como as respostas, dadas pelos antepassados,
       às questões colocadas.”
         (Para saber mais: http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/Chinese_numerals.html)




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Sistema numérico Chinês: Primitivo

A importância desta descoberta, foi
permitir um maior conhecimento sobre
o sistema numérico da antiga China.
        – Muitas das inscrições eram numéricas
          e registavam o número de homens
          que perderam a vida na guerra, que
          foram feitos prisioneiros, o número de
          sacrifícios feitos, o número de animais
          mortos numa caçada, etc. O sistema
          numérico utilizado baseava-se no
          sistema decimal e permitia a adição e
          a multiplicação. Nesta imagem podem
          ver-se os símbolos utilizados naquela
          época.

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Sistema numérico Chinês: Primitivo -Exemplos

O número 4359 é a representação
gráfica da natureza aditiva, senão veja-
se, utiliza o
 – símbolo que equivale a 4000;
                • Adiciona-lhe
                                                   4000 + 300 + 50 + 9
    – Símbolo que equivale a 300;
                • Adiciona-lhe
    – Símbolo que equivale a 50;
                • Adiciona-lhe
                                                   5000 + 80 + 10
    – Símbolo que equivale a 9;
Mas por não contemplar o zero veja
como se representa o número 5080.

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Sistema numérico Chinês: Primitivo - Evolução

•Tal como já foi afirmado, acredita-se que este sistema de
numérico tinha uma segunda finalidade, talvez mais
profunda, ligada à religião e profecias muito utilizada pelos
sacerdotes da época.
        – Em finais do séc. IV a.C. surge uma segunda forma de
          escrita que visa colmatar algumas falhas em termos
          numéricos,
                • mas também esta não contemplava o zero.




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Sistema numérico Chinês: Primitivo - Evolução

Os Chineses Primitivos usavam numerais que escreviam em
folhas de bambu com tinta preta.
        – Como se pode observar na imagem abaixo, a
                • unidade é representada por um traço que tanto pode estar orientado na
                  horizontal como na vertical o que leva à confusão entre o 3 e o 21, ou 12
                  ou mesmo 111.




                                                                      Numeração chinesa, séc. IV a.C.




Representação do número 1234
                                      Representação do número 45698                  Representação do número 60390


                                Saiba mais em : http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/Chinese_numerals.html
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Sistema numérico Japonês/Chinês

Entre os sistemas de numeração mais antigos encontra-se
o utilizado pelos chineses e adoptado mais tarde pelos
japoneses.
        – No que diz respeito às matemáticas chinesas, seria errado
          considerá-las um fenómeno isolado.




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Sistema numérico Japonês/Chinês

Existiram sempre, pelo menos desde a Dinastia Han
(contemporâneo do Império Romano), relações comerciais e
culturais consideráveis com outras regiões da Ásia e mesmo com a
Europa.
     – A ciência Indiana e, mais tarde, a ciência árabe tiveram influência
       sobre a China e, por outro lado, a ciência chinesa deixou a sua marca
       na ciência de outras sociedades.
                • Considera-se, por exemplo, que o sistema decimal e os números
                  negativos, que podem ter vindo da China para a Índia.




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Sistema numérico Japonês/Chinês

Actualmente, o sistema decimal dos Chineses apresenta treze sinais
fundamentais, respectivamente associados às nove unidades e às
quatro primeiras potências de dez (10, 100, 1000, 10000).
   – Sinais numéricos cujo traçado mais simples e mais comummente
     empregue é o seguinte:




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Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos

Por exemplo:                                       Mais exemplos:

                        1000

                        3x 100



                        4x 10


                        7



        Isto é, 1347.



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Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos




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Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos




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Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual




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                                               62
Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual




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                                               63
Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual




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Sistema numérico Egípcio

Os Egípcios inventaram uma escrita e um sistema de
numeração escrita.
        – Essa escrita foi autóctone e desprovida de qualquer
          influência estrangeira.
        – "Não apenas os sinais hieroglíficos que ela utiliza são todos
          tirados da fauna e da flora do Nilo”;
        – Tratava-se de um sistema numérico décimal.




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Sistema numérico Egípcio: Símbolos numéricos




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Sistema numérico Egípcio




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Sistema numérico Egípcio

    – A origem do algarismo 1 foi
      "natural": a barra é o sinal
      gráfico mais elementar que o
      ser humano possa imaginar
      para a representação da
      unidade.
    – A dezena constituiu o
      desenho de um cordão que,
      outrora, deve ter servido para
      unir os bastonetes num
      pacote de dez unidades.



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                                                  68
Sistema numérico Egípcio

A numeração escrita egípcia foi fundada numa
base rigorosamente decimal.




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Sistema numérico Egípcio

•Outra designação para cada um dos símbolos




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                                              70
Sistema numérico Egípcio

Mais tarde, os egípcios inventaram um sistema de
numerais, sem usar hieróglifos, que
        – registavam da direita para a esquerda.




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                                                   71
Sistema numérico Egípcio: Potências




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                                                      72
Sistema numérico Egípcio: Exemplos




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Técnica de cálculo dos Egípcios

Com a ajuda deste sistema de numeração, os
egípcios conseguiam efectuar todos os cálculos que
envolviam números inteiros.
        – Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito
          especial: todas as operações matemáticas eram
          efectuadas através de uma adição.
                • Por exemplo, a multiplicação
                    – 13 x 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes.
                    13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9




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Técnica de cálculo dos Egípcios

A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a
multiplicação:
   – Eles procuravam na tabela um total de 13 parcelas;
                • era simplesmente a soma das três colunas destacadas:
        – 1 + 4 + 8 = 13
                • O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta
                  três colunas:
                    – 9 + 36 + 72 = 117
        – Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos
          cálculos com números inteiros.
                • Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de
                  expressar um pedaço de alguma coisa através de um número.
        – E para isso os números inteiros não serviam.



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                                                                                    75
Sistema numérico Egípcio: Fracções




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Sistema numérico Hindu

O desenvolvimento do sistema numérico actual começou
no vale Hindu.
        – Encontram-se testemunhos com 2200 anos gravados em pilares.
        – Existiam os nove símbolos diferentes, que não se baseavam em
          letras de nenhum alfabeto nem em pictogramas.
            • Tal como os restantes dígitos, o zero também foi evoluindo.
                – No início era apenas um ponto que representava uma coluna
                  vazia num ábaco.




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Sistema numérico Hindu

Actualmente aceitamos naturalmente os números que
conhecemos. No entanto, nem sempre foi assim.
        – Um milhão, um bilião, um trilião...
                • Sabemos que é possível contar para além de um milhão e
                  que podemos exprimir qualquer número que queiramos.
                  Contudo, isto desconcertou os eruditos durante milhares de
                  anos.
                    – A chave consiste em usar o símbolo para o zero, 0,
                • inventado pelos hindus na Índia, provavelmente, entre 400 e
                  800 d.C..




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Sistema numérico Hindu:
                                          O Ábaco

Foi a partir do ábaco que os hindus desenvolveram o
sistema posicional de numeração.
                    – $%$& ' abax, que significa “mesa de cálculo”, pensa-se que a
                      sua origem provável foi na Mesopotâmia, há mais de 5.500
                      anos.
        – Colunas imaginárias baseadas em potências de dez
          representavam as colunas do ábaco
        – O valor posicional permite que qualquer dos dígitos represente
          um valor diferente.
                • O algarismo 5 pode representar cinco unidades;
                • 50 unidades (cinco dezenas),
                • 500 unidades (cinco centenas), e assim sucessivamente.


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Sistema numérico Hindu: O Ábaco

        – O ábaco mais antigo e sofisticado, foi usado por mercadores
          babilónios. Consistia numa simples tábua onde pequenas pedras
          se dispunham em colunas paralelas para representar os
          números.




                                                     Ex.: Representando o número 6302715408

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Sistema numérico Hindu: O Ábaco

        – O ábaco romano, mais sofisticado, era formado por uma base
          em metal, com ranhuras paralelas nas metades superior e inferior
          e pequenas bolas: uma em cada um das ranhuras superiores e
          quatro em cada uma das ranhuras inferiores. Cada bola numa
          ranhura superior valia 5 e cada bola numa ranhura inferior valia
          1.




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                                                                        81
Numeração Hindu - O Ábaco

A partir da posição inicial (a), o registo dos números era feito
deslocando-se bolas para a zona central do ábaco (b) – neste
exemplo está representado o número 5648.




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                                                                   82
O Ábaco: alguns exemplares




                                                       Ábaco Chinês - Suan Pan




                Ábaco chinês




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Evolução do Sistema numérico Hindu/Árabe

Foram os Hindus (do
Norte da índia) que
começaram a usar os
     • símbolos numéricos
       que deram origem aos
         • numerais que
           utilizamos,
           actualmente.




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                                                84
Evolução do Sistema numérico Hindu/Árabe




                Numerais Brahami (fila inferior), Índia, séc. I a.C.




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Sistema numérico Hindu: Nome dos algarismos

        – Cada algarismo tinha um nome:



        – Quando foi criada pelos hindus a base 10, cada dezena,
          cada centena e cada milhar, recebeu um nome individual:




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Sistema numérico Hindu: Evolução das técnicas
                                    de Cálculo

Com o desenvolvimento dos nove dígitos, do zero e do
valor posicional surgiram os cálculos com os símbolos sem
o auxílio do ábaco.
        – Nas suas relações comerciais com os árabes, os Hindus
          terão usado esses sinais numéricos, que os árabes
          adoptaram e espalharam pelo mundo, chegando à Europa.
        – Contudo, no início, este sistema ainda não era perfeito.
          Efectuavam cálculos facilmente, mas não tinham símbolo
          para designar o zero.
                • Por exemplo, o número 507 era representado por 5 7,
                  ficando um espaço entre o 5 e o 7 que correspondia ao
                  “nada” das dezenas.

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Expansão do Sistema numérico Hindu

O matemático árabe Musa Al-Khwarizmi estudou o sistema hindu e em
825 d.C. explicou-o num livro intitulado “Um livro sobre adição e
subtracção segundo o método hindu” (tradução livre).
  – Contudo, este conhecimento adquirido pelos Árabes apenas
     chegou à Europa ocidental trezentos anos mais tarde.
  – Os primeiros símbolos dos números indianos, descobertos numa
     gruta em Nasik, perto de Bombaim, na Índia, têm, pelo menos,
     1800 anos. Em baixo observa-se o resultado da evolução desses
     números na Europa em 1300 d.C..




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Sistema numérico Grego

Os números que usamos no nosso sistema chegaram à Europa
ocidental através da civilização árabe.
        – Inicialmente os Árabes escreviam os números palavra a palavra, mesmo nos
          cálculos complexos. Alguns matemáticos usavam um antigo método grego
          de representação de números com letras, que puseram de lado quando
          descobriram o sistema hindu de numeração.




                                                          Panteão, Templo dedicado à deusa Atenas, Atenas - Grécia
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Sistema numérico Grego: Símbolos numéricos

Como se pode observar das figuras, o princípio de contagem é muito
similar ao utilizado pelo sistema numérico Romano.
        – Os número conseguem-se por adição atribuindo-se um sinal gráfico a
          cada um deles.
        – Sendo a sequência a seguinte:


                • a sequência é a mesma: 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000,
                  50000.




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Sistema numérico Grego: Exemplo




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                                                  91
Sistema numérico Grego: Tabuada



“This is a multiplication table dating from ca.100
AD. The ancient Greek numbering system was
based on their alphabet of 24 letters plus three
other symbols borrowed from the alphabets of
trading partners.
The numbers 1 through 10 are written across the
top and down the left column in the same pattern
we often see today. They continued using
additional letters for multiples of 10 and 100.
See if you can find these examples in the table.”




                                                     Ancient greek numbers, 100 d.C. (Para saber mais:
                                                     http://curvebank.calstatela.edu/popdowns/th/th12/th12.htm))
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Sistema numérico Grego: Tabuada de Pitágoras

Trata-se da tabuada de multiplicação que permanece actual.




     Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo,inventou esta tabela, na qual é possível efetuar todas as operações de multiplicação
     existentes na velha tabuada. Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/
                                                                         © Celeste Duque
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Sistema numérico Grego: Fibonacci

O italiano Fibonacci foi o responsável pela introdução do
sistema de numeração hindu na Europa.
        – Viveu entre 1170 e 1250.
        – Na sua juventude viajou bastante pela África, Médio
          Oriente e, provavelmente, pela Índia.
        – Anos mais tarde, Fibonacci participou em vários concursos
          de matemática e tornou-se famoso como matemático.
                • Em 1202 Fibonacci publicou o livro “Liber abaci”. Iniciou o seu
                  livro demonstrando como
                    – "com os nove símbolos hindus e com o símbolo árabe 0 se
                      escreve qualquer número" e a seguir explicou como podem ser
                      usados na aritmética.


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Sistema numérico Grego: Fibonacci

Sequência de Fibonaci
        Qual é o número?
                • Fibonacci introduziu na Europa uma sequência de números
                  que viria a ter seu nome. Estes são alguns dos primeiros
                  números de Fibonacci.
                     – Consegue descobrir a regra de formação desta sequência?




1,              1,       2,       3,      5,                 8,   13, ...




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Sistema numérico Romano

Os Romanos foram um povo que, em poucos séculos,
atingiu um elevado nível técnico, que foi desenvolvendo
porque ao conquistar territórios aprendia com os
colonizados. Apesar disso,
        – ao nível da numeração e, durante toda a sua existência,
          manteve um sistema de contagem que se revelou
          profundamente complicado e pouco operacional, o que
          denota um certo arcaísmo ao nível do pensamento.




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                                                                    96
Sistema numérico Romano-Romano

        – Mais antigo documento Romano que exibe a representação
          da escrita de número muito grande. (Sistema Romano-
          Romano)




                                Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/


                • Algarismo (((I))) representava 100.000
                • Sofrendo alterações
                    Sistema Romano Moderno                          C = 100.000


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Sistema numérico Romano: Evolução
                                                Tanto quanto se sabe, este era o único sistema de
                                                escrita numérica usado na antiga Roma e Europa, até
                                                por volta de 900 d.C., altura em que a numeração
                                                árabe, originada pelos Hindus, começou a ser usada.
                                                Pensa-se que isso se deve ao facto de os Árabes terem
                                                alargado as suas Rotas Comerciais e posteriormente
                                                expandido o seu domínio territorial.




Para saber mais:
http://www.skypoint.com/members/waltzmn/Mathematic
s.html#Ancient



                                                                         Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/
                                                           © Celeste Duque
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Sistema numérico Romano: Primórdios

Apesar destes numerais serem suficientes para escrever
qualquer número sem confusões, acontecia haver números
com um elevado uso de símbolos gráficos
  • A título de exemplo apresenta-se o número: 5878
      MMMMMDCCCLXXVIII.
  • As multiplicações e divisões eram praticamente
    impossíveis




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                                                      99
Sistema numérico Romano

Como a maioria dos sistemas da Antiguidade, a
numeração Romana foi regida, sobretudo, pelo princípio da
adição dos seus algarismos
                1           5         10           50           100   500         1000
                &           %         $             #           "     D            !

                    • eram independentes uns dos outros. A sua justaposição
                      implicava geralmente na soma dos valores correspondentes:
                       CLXXXVII = 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 187
                       MDCXLIX = 1000 + 500 + 100 + (50-10) + (10-1) + 1 = 1649




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Sistema numérico Romano: Regras

Sistema numérico Romano, tornou-se bastante mais complexo
quando se introduziram as regras que ainda hoje vigoram:
    1. Qualquer símbolo numérico apenas se pode repetir num máximo
       de três vezes.
    2. Para obter um algarismo maior, deve-se adicionar à direita, os
       símbolo numérico respectivo. Por ex.:

        6           7         8                      60   600     1100
     VI            VII      VIII                     #X   DC      MC
    3. Pelo que tem de se subtrair (colocado à esquerda) o valor
       numérico conveniente para perfazer o total pretendido. Por ex.:
        4           9        40                      90   400     900
     IV            IX        XL                  XC       CD      CM
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                                                                         101
Regras: Numeração Romana

•          Todo símbolo numérico:
        – com um traço horizontal sobre ele representa o milhar e
•          o símbolo numérico que apresenta
        – dois traços sobre ele representa o milhão.




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                                                               102
Sistema numérico Romano: Símbolos

Os romanos usaram o alfabeto para representar números.
        – Ainda hoje a numeração romana é usada.


   1             2   3      4       5                6    7     8     9    10

   &             0   -      ,      %               +      *    )     (      $

 11             12   13     14     15              16     17   18    19    20

 /              .    $-    $,     $%              $+      $*   $)    $(    $$

  30            40   50     60     70              80     90   100   500   1000

$$$             $#   #     #$     #$$           #$$$      $"   "     '      !


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                                                                            103
Numeração Romana: Exemplos

        • Exemplos:
                   !!"### = 28
                   !!!#! = 39
                   $$$!$"## = 397
                   %&$$$!"###'= 1818
                   %%!'= 2010




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                                                   104
Numeração Romana: Cálculos

Efectuar cálculos com numeração romana, com múltiplos
dígitos, é uma árdua tarefa, extremamente trabalhosa.
        • Apesar disso “o sistema de numeração romana era o
          sistema predominante na Itália até o século XVIII e em
          outros países da Europa Ocidental ele persistiu até o
          século XVI."




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                                                                   105
Numeração Romana: Cálculos


Os algarismos Romanos não são sinais que sirvam para
efectuar operações aritméticas.
        – São abreviaturas destinadas a inscrever e reter os números.
          Assim, e tal como já foi referido os Romanos utilizavam os
          Ábacos para efectuar os seus cálculos.
                   • Introduzindo algumas alterações no formato inicial,
                     nomeadamente dotaram o Ábaco de um pé de suporte,
                     tornando-o numa mesa de cálculo ainda mais prática de
                     utilizar...




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                                                                             106
Numeração Árabe versus Babilónica




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                                                    107
Evolução sistemas de numeração




                             © Celeste Duque
April 1, 2010
                                                 108
Sistema Numérico Hindu/Árabe: Evolução

        – Na primeira linha da imagem, numerais de há
          1000 anos.
        – Na segunda, há 800 anos.
        – Na terceira, há 600 anos.
        – Na última, numeração actual.




                             © Celeste Duque
April 1, 2010
                                                        109
Evolução:
                Sistema de numeração Hindu/Árabe




                              © Celeste Duque
April 1, 2010
                                                   110
Sistemas numéricos: Comparação (séc. VI- XV)




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April 1, 2010
                                              111
Evolução da Numeração Árabe:
                             Escrita cursiva

        – Na seguinte imagem podemos observar a escrita cursiva dos
          algarismos de 1 a 4 e a sua respectiva explicação:




                                   © Celeste Duque
April 1, 2010
                                                                      112
Evolução da Numeração Árabe:
                                Escrita cursiva

        – Na imagem abaixo apresenta-se o quadro de escrita dos algarismos
          árabes de 1 a 9, incluindo o 0, onde se pode observar a contagem dos
          respectivos ângulos:




                                       © Celeste Duque
April 1, 2010
                                                                                 113
Numeração Árabe:
                Representação gráfica/fonética




                             © Celeste Duque
April 1, 2010
                                                 114
Numeração Árabe:
                Representação Polinomial




                          © Celeste Duque
April 1, 2010
                                            115
Referências bibliográficas

Badiou, A. (2008). Number and Numbers. Cambridge: Polity Press.
Boye, C. B. (1915). An Introduction on the Study of Maya Hyeroglyphics.
      Washington: Carnegie Institution.
Crato, N. (2008). A Matemática das Coisas. Lisboa: Gradiva.
Imenes, L. M. P. (2002). A numeração indo-arábica. Colecção “Vivendo a
      matemática”. São Paulo: Scipione.
Jesus Caraça, B. (1984). Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa:
      Livraria Sá da Costa Editora.
Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Vol. 1.
      New York: Oxford University Press.
Morley, S. G. (1915). História da Matemática.Ed. Edgard Blücher Ltda., pág.
      146.
Vygodsky, M. (1972). Mathematical Handbook: Elementary Mathematics.
      Moscow: MIR Publishers.
Wikipédia (2010). Maias. URL: http://pt.wikipedia.org/wiki/Civilização_maia


                                   © Celeste Duque
April 1, 2010
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Sistemas numéricos: Evolução

  • 1. Sistemas Numéricos: Evolução Inscrição numa fonte São Pedro das Águias (velhas), Granjinha Escrita egípcia Papiro Rhind, Museu de Londres. Contando nas cavernas,. Foto: © Alek Baptista/MUHPAN.
  • 2. Introdução: origem dos números 1. Como surgiram os números? 2. Quais as eram as primeiras formas de contagem? 3. Como é que os números foram criados, ou, será que eles sempre existiram? l Pintura Rupestre © Celeste Duque April 1, 2010 2
  • 3. Introdução: origem dos números – Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza - povos recolectores, porque viviam da pesca, caça e recolha de frutos e raízes... l © Celeste Duque April 1, 2010 3
  • 4. Introdução: origem dos números – A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das actividades humanas, quando deixou de ser nómada: • E sentiu necessidade de se fixar em determinada área geográfica fosse pela abundância de recursos ou por uma questão de melhor sobreviver aos sucessivos l ataques de tribos inimigas... © Celeste Duque April 1, 2010 4
  • 5. Introdução: origem dos números – Ao tornar-se sedentário viu-se na necessidade de efectuar trocas de produtos. • Teve de encontrar uma forma de contar os objectos que iria trocar por outros • Foi nessa altura que a humanidade começou a construir o conceito de número matemático. l © Celeste Duque April 1, 2010 5
  • 6. Introdução: origem dos números – As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje é denominada Oriente Médio. • A agricultura passou então a exigir o conhecimento – do tempo, – das estações do ano le – das fases da Lua e – assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário. April 1, 2010 © Celeste Duque Calendário Lunar 6
  • 7. Sistemas numéricos Diversas civilizações da Antiguidade desenvolveram os seus próprios sistemas de numeração. – São inúmeros os vestígios deixados ao longo dos tempos, por exemplo os sistemas l de numeração dos Egípcios, Gregos, Romanos, Chineses... – Alguns destes sistemas perderam completamente a sua utilidade, outros, como é o caso da numeração romana continuam a ser utilizados, embora com menor frequência. Mesopotâmia, a escrita cuneiforme registava os números como conjuntos de incisões em placas de argila: triângulos cursivos representando as dezenas e traços em forma April 1, 2010 © Celeste Duque de Y para as unidades 7
  • 8. Sistemas numéricos: vestígios da Antiguidade Diversas civilizações da Antiguidade, além da egípcia, desenvolveram seus próprios sistemas de numeração. Muitos são os vestígios deixados pelos povos primitivos, por ex.: desenhados (pinturas rupestres, papiros), traçados em barro, esculpidos em madeira, pedra ou metal (moedas...). Moeda Chinesa, época Medieval Moeda Romana com 1700 anos Época Ptolomaica, esfinge de Alexandre “O Calendário Maia Grande”, 323-305 a.C - Egipto Tablete mesopotâmico. © Celeste Duque April 1, 2010 Foto: The British Museum. 8
  • 9. Sistemas numéricos: vestígios da Antiguidade – Assim, por exemplo, na contagem do tempo, agrupamos segundo a base sexagesimal (60 segundos compõem 1 minuto; e 60 minutos compõem 1 hora) e isso é consequência da numeração desenvolvida na Mesopotâmia, há mais de 4000 anos. Para saber mais: http://www.biotrust-eco- energy.com/473.html © Celeste Duque April 1, 2010 9
  • 10. Uso de sistemas numéricos da Antiguidade, na actualidade – Outros vestígios de sistemas numéricos antigos - por. ex.: a numeração Romana - podem ser observados nos mostradores de relógios, na indicação de datas, na numeração de capítulos de livros ou mesmo para diferenciar pessoas famosas cujo nome é igual (reis, papas...). Papa Benedicto XV Papa Benedicto XVI Relógio de fachada. Pormeno: IIII em vez do convencional IV. Relógio Big Ben, Palácio de Westminster, Londres, que tem a numeração romana em minúsculas, “script” gótico. Com o 4 convencional: iv. © Celeste Duque April 1, 2010 10
  • 11. Uso de sistemas numéricos da Antiguidade, na actualidade © Celeste Duque April 1, 2010 11
  • 12. Sítio arqueológico, cidade histórica da Babilónia Para saber mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/Babil%C3%B4nia Sistema numérico Babilónico O Império Babilónico durou de 1950 a.C. a1200 a.C.). Habitaram na Ásia e são um dos primeiros povos da Antiguidade a utilizar símbolos numéricos. – O seu sistema numérico baseava-se num sistema sexagesimal. – Os números eram representados por caracteres cuneiformes, i.e., em forma de cunha, que eram gravados em placas de argila que depois eram cozidas, podendo ser reaproveitadas caso os dados nelas contidos não fossem de extrema importância. • A escrita cuneiforme era de difícil execução e interpretação, já que possuía mais de 2000 sinais. © Celeste Duque April 1, 2010 12
  • 13. Sistema numérico Babilónico Os babilónios usavam seu conhecimento de aritmética e álgebra simples para expressar – comprimentos e pesos, – trocar moedas e mercadorias, – calcular juros simples e compostos, – impostos, e a – proporção de uma colheita que deveria ir para o fazendeiro, para a igreja e para o Estado. © Celeste Duque April 1, 2010 13
  • 14. Sistema numérico Babilónico Também usavam a matemática na – divisão de campos e de – heranças, e em • projectos de canais, • represas e • sistemas de irrigação; – Pensa-se que os problemas económicos que enfrentaram foram o estímulo para desenvolvimento da matemática. (Kine, 1990) Numbers on a land purchased, 2400 a.C., Babilónia © Celeste Duque April 1, 2010 14
  • 15. Sistema numérico Babilónico A grande utilidade desta escrita foi ao nível da: – contabilidade e administração, pois • facilitava o registo de bens, • marcas de propriedade, • cálculos e transacções comerciais. – Os símbolos numéricos utilizados eram os que se podem observar na figura: © Celeste Duque April 1, 2010 15
  • 16. Sistema numérico Babilónico Tinham um símbolo diferente para a – Unidade; – Dezena; – Mas não tinham um símbolo para o zero, assim, por exemplo: • O número 60 escrevia-se exactamente como o 1, • o que para nós é muito confuso. – Por exemplo, 61 escreve-se como 2. Detalhe, portal Ishtar © Celeste Duque April 1, 2010 16
  • 17. Sistema numérico Babilónico – Pensa-se que os Babilónios sabiam distinguir o número a que se referiam de acordo com o contexto do problema. • Escritos Babilónicos provam que esta civilização já possuía conhecimentos matemáticos avançados. • Neles aparecem uma série de notações que se inserem num sistema de numeração sexagesimal. © Celeste Duque April 1, 2010 17
  • 18. Sistema numérico Babilónico – O uso do número 60 como base para contar e dos seus divisores • como a dúzia: 12 = 60/5 – era utilizado pelos babilónios há milhares de anos nos seus cálculos quotidianos e também pelos sacerdotes nos seus cálculos astronómicos e de quem dependia a contagem do tempo. – Mais um exemplo: © Celeste Duque April 1, 2010 18
  • 19. Símbolos Numéricos Babilónicos (1-59) © Celeste Duque April 1, 2010 19
  • 20. Símbolos Numéricos Babilónicos (1-1000) © Celeste Duque April 1, 2010 20
  • 21. Sistema numérico Babilónico: Exemplos Por exemplo, 1,45,29,36 representam números do sistema sexagesimal. 1x60! + 45x60" + 29x60 + 36 = 1 x 216000 + 45 x 3600 + 29 x 60 + 36 = 216000 + 162000 + 1740 + 36 A notação decimal é: 379776 © Celeste Duque April 1, 2010 21
  • 22. Sistema numérico Babilónico: Exemplos – Exemplo: 1,45,29,36 em numerais Babilónicos – Uma vez que não tinham o número zero, os babilónios, em sua substituição, utilizavam um espaço em branco para marcar a não existência de um dígito num determinado lugar do montante. • Exemplo: – 4,0,8 em numerais da Babilónia © Celeste Duque April 1, 2010 22
  • 23. Sistema numérico Babilónico: Exemplos – Outro exemplo: © Celeste Duque April 1, 2010 23
  • 24. Sistema numérico Babilónico: Exemplos – Um exemplo muito simples: © Celeste Duque April 1, 2010 24
  • 25. Sistema numérico Babilónico: Regras Para saber mais: http://scienceray.com/mathematics/the-mayan-and-babylonian-ancient-number-systems/ © Celeste Duque April 1, 2010 25
  • 26. Tabela de multiplicação babilónica do 9 Para Saber mais: http://depts.clackamas.cc.or.us/banyan/1.2/grant.htm © Celeste Duque April 1, 2010 26
  • 27. Cálculo do quadrado de números babilónicos > 59 e do cubo de números > 32 – Entre algumas das tábuas encontradas perto do rio Eufrades, datadas de cerca de 2000 a.C., durante o período Hamurábico. Encontram-se as que apresentavam o cálculo do quadrado de números maiores que 59. E o Cubo de números maiores que 32. 82 = 1,4 [(1 x 601) + (4 x 600)] até chegar a 592 = 58,1 [(58 x 601) + (1 x 600)] (ver imagem). The famous 'root (2)' tablet from the Yale Babylonian Collection. Para Saber mais: http://depts.clackamas.cc.or.us/banyan/1.2/gra nt.htm © Celeste Duque April 1, 2010 27
  • 28. Sistema numérico Maia Perdidas há séculos nas florestas tropicais e matas da América Central, algumas dezenas de cidades mortas ilustram um dos mais misteriosos episódios da História. – Os historiadores e arqueólogos designaram-nas de Civilização Maia. © Celeste Duque April 1, 2010 28
  • 29. Sistema numérico Maia Os Maias tinham como base não a dezena, mas a vintena e as potências de vinte. Ex.: 365 representado numa base de 10 – Ao usar a vintena a cultura Maia conseguiu representar por meio de símbolos figurativos realidades numéricas, • foram eles quem escreveram as datas mais antigas que se registam na história da humanidade. Números Maia de 0 a 10 © Celeste Duque April 1, 2010 29
  • 30. Sistema numérico Maia Criaram um sistema baseado na posição dos símbolos, que incluía a utilização do zero 0 – para indicar que não existem unidades deste valor, • um símbolo ovalado que aparece em numerosos vestígios ou códices maias – bastante semelhante ao símbolo zero, da notação científica: !. © Celeste Duque April 1, 2010 30
  • 31. Sistema numérico Maia A razão, desta contagem, é devida ao hábito que os seus ancestrais tinham de contar não apenas com – os dez dedos das mãos, e com – os dez dedos dos pés. • A escrita é orientada na horizontal até ao número 19. © Celeste Duque April 1, 2010 31
  • 32. Sistema numérico Maia – A partir do 20 os números eram representados considerando a posição do algarismo, parecido com o sistema de numeração que utilizamos, • com uma diferença importante, – eram escritos na vertical, o número 20 escreve-se: (Imenes, 2002) © Celeste Duque April 1, 2010 32
  • 33. Sistema numérico Maia: Exemplos – Se tivéssemos mais posições verticais continuaríamos a multiplicar da mesma forma, ficamos com: • Outro exemplo: © Celeste Duque April 1, 2010 33
  • 34. Sistema numérico Maia: Exercício – E os números seguintes consegue dizer quais são? (Imenes, 2002) • Os dois pontos, podiam ser o 2... mas não é! – Repare que na figura com números de 1 a 19 o dois é representado com dois pontos lado a lado. • Quais são então estes números? © Celeste Duque April 1, 2010 34
  • 35. Sistema numérico Maia: Exemplos – Trata-se dos números 21, 25, 28 e 30: (Imenes, 2002) (1+1x20) (5+1x20) (8+1x20) (5+5+1x20) © Celeste Duque April 1, 2010 35
  • 36. Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360) Os Maias tinham um vasto conhecimento de astronomia e, para facilitar cálculos nesta área, – fizeram uma mudança a partir da terceira casa do seu sistema numérico, i.,e. do • número 360 em diante os agrupamentos deixam de ser de vinte em vinte. A terceira casa passa a ser o produto de 18 por 20 (18x20) – que é igual a 360, – Ao invés de 20 x 20. © Celeste Duque April 1, 2010 36
  • 37. Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360) Isto porque: – O ano Maia estava dividido em 18 meses com 20 dias cada. Então, não consideravam as posições 200, 201, 202,... mas sim • 200, 201, e a partir daí salta para: • 201#18 (=360), 202#18 (=7 200), 203#18 (=144 000) • Os numerais eram escritos verticalmente e nos lugares "vazios" punham o sinal ovalado: © Celeste Duque April 1, 2010 37
  • 38. Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360) Se comparado com o nosso sistema, que é decimal, o número 482 # 4 x 10" + 8 x 10$ + 2 x 100 = 482. • Para os Maias a base era 20, logo, multiplica-se por uma potência de 20. © Celeste Duque April 1, 2010 38
  • 39. Curiosidades Matemáticas: Os 24 factores de 360 1 x 360 = 360 2 x 360 = 180 3 x 120 = 360 4 x 90 = 360 5 x 72 = 360 6 x 60 = 360 8 x 45 = 360 9 x 40 = 360 10 x 36 = 360 12 x 30 = 360 15 x 24 = 360 18 x 20 = 360 © DJ Jeffery, ULV, 2003 (Para saber mais: http://www.nhn.ou.edu/~jeffery/astro/astlec/lec004.html ) © Celeste Duque April 1, 2010 39
  • 40. Sistema numérico Maia: Exercício Vejamos o exemplo de um número de três dígitos. Vamos partir para a terceira ordem da numeração Maia. Dê um palpite: como você acha que os maias escreviam 467? – Não sabe? © Celeste Duque April 1, 2010 40
  • 41. Sistema numérico Maia: Exercício Então vamos juntos: – Na terceira casa, acima das duas que já vimos até aqui, os Maias escreviam os números que eram produto da multiplicação de 20 por 20. Dessa forma, para representar o número 467, por exemplo, • Na casa de cima (1ª casa) colocavam um ponto, que significava – 1x20x20, ou seja, 400. • Na casa do meio (2ª casa), desenhavam três pontos, – o que significava 3x20, ou seja, 60. • E, por fim, na última casa (3ª casa), desenhavam uma barra (5) e dois pontos (2), o que representava sete (7). Veja na figura a seguir: © Celeste Duque April 1, 2010 41
  • 42. Sistema numérico Maia: Exercício E este número, qual é? • 2012 © Celeste Duque April 1, 2010 42
  • 43. Sistema numérico Maia: Regra geral Sabendo que os números se representam da seguinte forma: E que a regra é: Torna-se fácil representar o número abaixo: © Celeste Duque April 1, 2010 43
  • 44. Calendário Maia A mudança de contagem a partir da 3ª casa surgiu, provavelmente, porque os sacerdotes – astrónomos – quiseram que esta tivesse um número aproximado ao número de dias do Ano Maia. – O uso da potência de base 20 corresponde ao factor multiplicativo de cada casa. Calendário Maia Para saber mais: http://livroenigmadosdeuses.blogspot.com/2009/ 09/2012-verdade-sobre-as-profecias-e-o.html © Celeste Duque April 1, 2010 44
  • 45. Espiral da Numeração Maia © Celeste Duque April 1, 2010 45
  • 46. Sistema numérico Maia No desenho ao lado: – A segunda coluna da esquerda, de cima para baixo, contém os números 9,9,16,0,0, que indicam • 9 à 144.000+ 9x7.200 + 16X360+ 0 + 0 = 1.366.560. • Na terceira coluna estão os números 9,9,9,16,0 representando 1.364.360. Imagem original de cor preta e vermelha (Morley, 1915, p. 266) © Celeste Duque April 1, 2010 46
  • 47. Sistema numérico Maia: Símbolos (1-7200) © Celeste Duque April 1, 2010 47
  • 48. Sistema numérico Maia: Exemplos © Celeste Duque April 1, 2010 48
  • 49. Sistema numérico Maia: Exemplos © Celeste Duque April 1, 2010 49
  • 50. Sistema numérico Maia: Exemplos Número representado numa base de 20 5125 = 12x202 + 16x201 + 5x100 Para saber mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/Civiliza%C3%A7%C3%A3o_maia © Celeste Duque April 1, 2010 50
  • 51. Sistema numérico Chinês: Primitivo “Em 1899 foi feita a maior descoberta arqueológica na aldeia de Xiao Dun, no distrito da província de An-Yang. Descobriram-se centenas de ossos e carapaças de tartaruga que tinham inscrições em caracteres chineses antigos. A localidade tinha sido a capital dos reis da última dinastia Shang (também conhecida como dinastia Yin), do século XIV a.C.. Os últimos doze reis governaram ali até cerca de 1045 a.C. e os ossos de tartaruga eram utilizados em rituais de cerimónias religiosas. Eram colocadas questões num dos lados da carapaça da tartaruga e no lado da carapaça eram então sujeitos ao calor do fogo e as rachas que surgiam eram interpretadas como as respostas, dadas pelos antepassados, às questões colocadas.” (Para saber mais: http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/Chinese_numerals.html) © Celeste Duque April 1, 2010 51
  • 52. Sistema numérico Chinês: Primitivo A importância desta descoberta, foi permitir um maior conhecimento sobre o sistema numérico da antiga China. – Muitas das inscrições eram numéricas e registavam o número de homens que perderam a vida na guerra, que foram feitos prisioneiros, o número de sacrifícios feitos, o número de animais mortos numa caçada, etc. O sistema numérico utilizado baseava-se no sistema decimal e permitia a adição e a multiplicação. Nesta imagem podem ver-se os símbolos utilizados naquela época. © Celeste Duque April 1, 2010 52
  • 53. Sistema numérico Chinês: Primitivo -Exemplos O número 4359 é a representação gráfica da natureza aditiva, senão veja- se, utiliza o – símbolo que equivale a 4000; • Adiciona-lhe 4000 + 300 + 50 + 9 – Símbolo que equivale a 300; • Adiciona-lhe – Símbolo que equivale a 50; • Adiciona-lhe 5000 + 80 + 10 – Símbolo que equivale a 9; Mas por não contemplar o zero veja como se representa o número 5080. © Celeste Duque April 1, 2010 53
  • 54. Sistema numérico Chinês: Primitivo - Evolução •Tal como já foi afirmado, acredita-se que este sistema de numérico tinha uma segunda finalidade, talvez mais profunda, ligada à religião e profecias muito utilizada pelos sacerdotes da época. – Em finais do séc. IV a.C. surge uma segunda forma de escrita que visa colmatar algumas falhas em termos numéricos, • mas também esta não contemplava o zero. © Celeste Duque April 1, 2010 54
  • 55. Sistema numérico Chinês: Primitivo - Evolução Os Chineses Primitivos usavam numerais que escreviam em folhas de bambu com tinta preta. – Como se pode observar na imagem abaixo, a • unidade é representada por um traço que tanto pode estar orientado na horizontal como na vertical o que leva à confusão entre o 3 e o 21, ou 12 ou mesmo 111. Numeração chinesa, séc. IV a.C. Representação do número 1234 Representação do número 45698 Representação do número 60390 Saiba mais em : http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/Chinese_numerals.html © Celeste Duque April 1, 2010 55
  • 56. Sistema numérico Japonês/Chinês Entre os sistemas de numeração mais antigos encontra-se o utilizado pelos chineses e adoptado mais tarde pelos japoneses. – No que diz respeito às matemáticas chinesas, seria errado considerá-las um fenómeno isolado. © Celeste Duque April 1, 2010 56
  • 57. Sistema numérico Japonês/Chinês Existiram sempre, pelo menos desde a Dinastia Han (contemporâneo do Império Romano), relações comerciais e culturais consideráveis com outras regiões da Ásia e mesmo com a Europa. – A ciência Indiana e, mais tarde, a ciência árabe tiveram influência sobre a China e, por outro lado, a ciência chinesa deixou a sua marca na ciência de outras sociedades. • Considera-se, por exemplo, que o sistema decimal e os números negativos, que podem ter vindo da China para a Índia. © Celeste Duque April 1, 2010 57
  • 58. Sistema numérico Japonês/Chinês Actualmente, o sistema decimal dos Chineses apresenta treze sinais fundamentais, respectivamente associados às nove unidades e às quatro primeiras potências de dez (10, 100, 1000, 10000). – Sinais numéricos cujo traçado mais simples e mais comummente empregue é o seguinte: © Celeste Duque April 1, 2010 58
  • 59. Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos Por exemplo: Mais exemplos: 1000 3x 100 4x 10 7 Isto é, 1347. © Celeste Duque April 1, 2010 59
  • 60. Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos © Celeste Duque April 1, 2010 60
  • 61. Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos © Celeste Duque April 1, 2010 61
  • 62. Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual © Celeste Duque April 1, 2010 62
  • 63. Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual © Celeste Duque April 1, 2010 63
  • 64. Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual © Celeste Duque April 1, 2010 64
  • 65. Sistema numérico Egípcio Os Egípcios inventaram uma escrita e um sistema de numeração escrita. – Essa escrita foi autóctone e desprovida de qualquer influência estrangeira. – "Não apenas os sinais hieroglíficos que ela utiliza são todos tirados da fauna e da flora do Nilo”; – Tratava-se de um sistema numérico décimal. © Celeste Duque April 1, 2010 65
  • 66. Sistema numérico Egípcio: Símbolos numéricos © Celeste Duque April 1, 2010 66
  • 67. Sistema numérico Egípcio © Celeste Duque April 1, 2010 67
  • 68. Sistema numérico Egípcio – A origem do algarismo 1 foi "natural": a barra é o sinal gráfico mais elementar que o ser humano possa imaginar para a representação da unidade. – A dezena constituiu o desenho de um cordão que, outrora, deve ter servido para unir os bastonetes num pacote de dez unidades. © Celeste Duque April 1, 2010 68
  • 69. Sistema numérico Egípcio A numeração escrita egípcia foi fundada numa base rigorosamente decimal. © Celeste Duque April 1, 2010 69
  • 70. Sistema numérico Egípcio •Outra designação para cada um dos símbolos © Celeste Duque April 1, 2010 70
  • 71. Sistema numérico Egípcio Mais tarde, os egípcios inventaram um sistema de numerais, sem usar hieróglifos, que – registavam da direita para a esquerda. © Celeste Duque April 1, 2010 71
  • 72. Sistema numérico Egípcio: Potências © Celeste Duque April 1, 2010 72
  • 73. Sistema numérico Egípcio: Exemplos © Celeste Duque April 1, 2010 73
  • 74. Técnica de cálculo dos Egípcios Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efectuar todos os cálculos que envolviam números inteiros. – Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efectuadas através de uma adição. • Por exemplo, a multiplicação – 13 x 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes. 13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 © Celeste Duque April 1, 2010 74
  • 75. Técnica de cálculo dos Egípcios A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a multiplicação: – Eles procuravam na tabela um total de 13 parcelas; • era simplesmente a soma das três colunas destacadas: – 1 + 4 + 8 = 13 • O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta três colunas: – 9 + 36 + 72 = 117 – Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros. • Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número. – E para isso os números inteiros não serviam. © Celeste Duque April 1, 2010 75
  • 76. Sistema numérico Egípcio: Fracções © Celeste Duque April 1, 2010 76
  • 77. Sistema numérico Hindu O desenvolvimento do sistema numérico actual começou no vale Hindu. – Encontram-se testemunhos com 2200 anos gravados em pilares. – Existiam os nove símbolos diferentes, que não se baseavam em letras de nenhum alfabeto nem em pictogramas. • Tal como os restantes dígitos, o zero também foi evoluindo. – No início era apenas um ponto que representava uma coluna vazia num ábaco. © Celeste Duque April 1, 2010 77
  • 78. Sistema numérico Hindu Actualmente aceitamos naturalmente os números que conhecemos. No entanto, nem sempre foi assim. – Um milhão, um bilião, um trilião... • Sabemos que é possível contar para além de um milhão e que podemos exprimir qualquer número que queiramos. Contudo, isto desconcertou os eruditos durante milhares de anos. – A chave consiste em usar o símbolo para o zero, 0, • inventado pelos hindus na Índia, provavelmente, entre 400 e 800 d.C.. © Celeste Duque April 1, 2010 78
  • 79. Sistema numérico Hindu: O Ábaco Foi a partir do ábaco que os hindus desenvolveram o sistema posicional de numeração. – $%$& ' abax, que significa “mesa de cálculo”, pensa-se que a sua origem provável foi na Mesopotâmia, há mais de 5.500 anos. – Colunas imaginárias baseadas em potências de dez representavam as colunas do ábaco – O valor posicional permite que qualquer dos dígitos represente um valor diferente. • O algarismo 5 pode representar cinco unidades; • 50 unidades (cinco dezenas), • 500 unidades (cinco centenas), e assim sucessivamente. © Celeste Duque April 1, 2010 79
  • 80. Sistema numérico Hindu: O Ábaco – O ábaco mais antigo e sofisticado, foi usado por mercadores babilónios. Consistia numa simples tábua onde pequenas pedras se dispunham em colunas paralelas para representar os números. Ex.: Representando o número 6302715408 © Celeste Duque April 1, 2010 80
  • 81. Sistema numérico Hindu: O Ábaco – O ábaco romano, mais sofisticado, era formado por uma base em metal, com ranhuras paralelas nas metades superior e inferior e pequenas bolas: uma em cada um das ranhuras superiores e quatro em cada uma das ranhuras inferiores. Cada bola numa ranhura superior valia 5 e cada bola numa ranhura inferior valia 1. © Celeste Duque April 1, 2010 81
  • 82. Numeração Hindu - O Ábaco A partir da posição inicial (a), o registo dos números era feito deslocando-se bolas para a zona central do ábaco (b) – neste exemplo está representado o número 5648. © Celeste Duque April 1, 2010 82
  • 83. O Ábaco: alguns exemplares Ábaco Chinês - Suan Pan Ábaco chinês © Celeste Duque April 1, 2010 83
  • 84. Evolução do Sistema numérico Hindu/Árabe Foram os Hindus (do Norte da índia) que começaram a usar os • símbolos numéricos que deram origem aos • numerais que utilizamos, actualmente. © Celeste Duque April 1, 2010 84
  • 85. Evolução do Sistema numérico Hindu/Árabe Numerais Brahami (fila inferior), Índia, séc. I a.C. © Celeste Duque April 1, 2010 85
  • 86. Sistema numérico Hindu: Nome dos algarismos – Cada algarismo tinha um nome: – Quando foi criada pelos hindus a base 10, cada dezena, cada centena e cada milhar, recebeu um nome individual: © Celeste Duque April 1, 2010 86
  • 87. Sistema numérico Hindu: Evolução das técnicas de Cálculo Com o desenvolvimento dos nove dígitos, do zero e do valor posicional surgiram os cálculos com os símbolos sem o auxílio do ábaco. – Nas suas relações comerciais com os árabes, os Hindus terão usado esses sinais numéricos, que os árabes adoptaram e espalharam pelo mundo, chegando à Europa. – Contudo, no início, este sistema ainda não era perfeito. Efectuavam cálculos facilmente, mas não tinham símbolo para designar o zero. • Por exemplo, o número 507 era representado por 5 7, ficando um espaço entre o 5 e o 7 que correspondia ao “nada” das dezenas. © Celeste Duque April 1, 2010 87
  • 88. Expansão do Sistema numérico Hindu O matemático árabe Musa Al-Khwarizmi estudou o sistema hindu e em 825 d.C. explicou-o num livro intitulado “Um livro sobre adição e subtracção segundo o método hindu” (tradução livre). – Contudo, este conhecimento adquirido pelos Árabes apenas chegou à Europa ocidental trezentos anos mais tarde. – Os primeiros símbolos dos números indianos, descobertos numa gruta em Nasik, perto de Bombaim, na Índia, têm, pelo menos, 1800 anos. Em baixo observa-se o resultado da evolução desses números na Europa em 1300 d.C.. © Celeste Duque April 1, 2010 88
  • 89. Sistema numérico Grego Os números que usamos no nosso sistema chegaram à Europa ocidental através da civilização árabe. – Inicialmente os Árabes escreviam os números palavra a palavra, mesmo nos cálculos complexos. Alguns matemáticos usavam um antigo método grego de representação de números com letras, que puseram de lado quando descobriram o sistema hindu de numeração. Panteão, Templo dedicado à deusa Atenas, Atenas - Grécia © Celeste Duque April 1, 2010 89
  • 90. Sistema numérico Grego: Símbolos numéricos Como se pode observar das figuras, o princípio de contagem é muito similar ao utilizado pelo sistema numérico Romano. – Os número conseguem-se por adição atribuindo-se um sinal gráfico a cada um deles. – Sendo a sequência a seguinte: • a sequência é a mesma: 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000, 50000. © Celeste Duque April 1, 2010 90
  • 91. Sistema numérico Grego: Exemplo © Celeste Duque April 1, 2010 91
  • 92. Sistema numérico Grego: Tabuada “This is a multiplication table dating from ca.100 AD. The ancient Greek numbering system was based on their alphabet of 24 letters plus three other symbols borrowed from the alphabets of trading partners. The numbers 1 through 10 are written across the top and down the left column in the same pattern we often see today. They continued using additional letters for multiples of 10 and 100. See if you can find these examples in the table.” Ancient greek numbers, 100 d.C. (Para saber mais: http://curvebank.calstatela.edu/popdowns/th/th12/th12.htm)) © Celeste Duque April 1, 2010 92
  • 93. Sistema numérico Grego: Tabuada de Pitágoras Trata-se da tabuada de multiplicação que permanece actual. Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo,inventou esta tabela, na qual é possível efetuar todas as operações de multiplicação existentes na velha tabuada. Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/ © Celeste Duque April 1, 2010 93
  • 94. Sistema numérico Grego: Fibonacci O italiano Fibonacci foi o responsável pela introdução do sistema de numeração hindu na Europa. – Viveu entre 1170 e 1250. – Na sua juventude viajou bastante pela África, Médio Oriente e, provavelmente, pela Índia. – Anos mais tarde, Fibonacci participou em vários concursos de matemática e tornou-se famoso como matemático. • Em 1202 Fibonacci publicou o livro “Liber abaci”. Iniciou o seu livro demonstrando como – "com os nove símbolos hindus e com o símbolo árabe 0 se escreve qualquer número" e a seguir explicou como podem ser usados na aritmética. © Celeste Duque April 1, 2010 94
  • 95. Sistema numérico Grego: Fibonacci Sequência de Fibonaci Qual é o número? • Fibonacci introduziu na Europa uma sequência de números que viria a ter seu nome. Estes são alguns dos primeiros números de Fibonacci. – Consegue descobrir a regra de formação desta sequência? 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... © Celeste Duque April 1, 2010 95
  • 96. Sistema numérico Romano Os Romanos foram um povo que, em poucos séculos, atingiu um elevado nível técnico, que foi desenvolvendo porque ao conquistar territórios aprendia com os colonizados. Apesar disso, – ao nível da numeração e, durante toda a sua existência, manteve um sistema de contagem que se revelou profundamente complicado e pouco operacional, o que denota um certo arcaísmo ao nível do pensamento. © Celeste Duque April 1, 2010 96
  • 97. Sistema numérico Romano-Romano – Mais antigo documento Romano que exibe a representação da escrita de número muito grande. (Sistema Romano- Romano) Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/ • Algarismo (((I))) representava 100.000 • Sofrendo alterações Sistema Romano Moderno C = 100.000 © Celeste Duque April 1, 2010 97
  • 98. Sistema numérico Romano: Evolução Tanto quanto se sabe, este era o único sistema de escrita numérica usado na antiga Roma e Europa, até por volta de 900 d.C., altura em que a numeração árabe, originada pelos Hindus, começou a ser usada. Pensa-se que isso se deve ao facto de os Árabes terem alargado as suas Rotas Comerciais e posteriormente expandido o seu domínio territorial. Para saber mais: http://www.skypoint.com/members/waltzmn/Mathematic s.html#Ancient Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/ © Celeste Duque April 1, 2010 98
  • 99. Sistema numérico Romano: Primórdios Apesar destes numerais serem suficientes para escrever qualquer número sem confusões, acontecia haver números com um elevado uso de símbolos gráficos • A título de exemplo apresenta-se o número: 5878 MMMMMDCCCLXXVIII. • As multiplicações e divisões eram praticamente impossíveis © Celeste Duque April 1, 2010 99
  • 100. Sistema numérico Romano Como a maioria dos sistemas da Antiguidade, a numeração Romana foi regida, sobretudo, pelo princípio da adição dos seus algarismos 1 5 10 50 100 500 1000 & % $ # " D ! • eram independentes uns dos outros. A sua justaposição implicava geralmente na soma dos valores correspondentes: CLXXXVII = 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 187 MDCXLIX = 1000 + 500 + 100 + (50-10) + (10-1) + 1 = 1649 © Celeste Duque April 1, 2010 100
  • 101. Sistema numérico Romano: Regras Sistema numérico Romano, tornou-se bastante mais complexo quando se introduziram as regras que ainda hoje vigoram: 1. Qualquer símbolo numérico apenas se pode repetir num máximo de três vezes. 2. Para obter um algarismo maior, deve-se adicionar à direita, os símbolo numérico respectivo. Por ex.: 6 7 8 60 600 1100 VI VII VIII #X DC MC 3. Pelo que tem de se subtrair (colocado à esquerda) o valor numérico conveniente para perfazer o total pretendido. Por ex.: 4 9 40 90 400 900 IV IX XL XC CD CM © Celeste Duque April 1, 2010 101
  • 102. Regras: Numeração Romana • Todo símbolo numérico: – com um traço horizontal sobre ele representa o milhar e • o símbolo numérico que apresenta – dois traços sobre ele representa o milhão. © Celeste Duque April 1, 2010 102
  • 103. Sistema numérico Romano: Símbolos Os romanos usaram o alfabeto para representar números. – Ainda hoje a numeração romana é usada. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 & 0 - , % + * ) ( $ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 / . $- $, $% $+ $* $) $( $$ 30 40 50 60 70 80 90 100 500 1000 $$$ $# # #$ #$$ #$$$ $" " ' ! © Celeste Duque April 1, 2010 103
  • 104. Numeração Romana: Exemplos • Exemplos: !!"### = 28 !!!#! = 39 $$$!$"## = 397 %&$$$!"###'= 1818 %%!'= 2010 © Celeste Duque April 1, 2010 104
  • 105. Numeração Romana: Cálculos Efectuar cálculos com numeração romana, com múltiplos dígitos, é uma árdua tarefa, extremamente trabalhosa. • Apesar disso “o sistema de numeração romana era o sistema predominante na Itália até o século XVIII e em outros países da Europa Ocidental ele persistiu até o século XVI." © Celeste Duque April 1, 2010 105
  • 106. Numeração Romana: Cálculos Os algarismos Romanos não são sinais que sirvam para efectuar operações aritméticas. – São abreviaturas destinadas a inscrever e reter os números. Assim, e tal como já foi referido os Romanos utilizavam os Ábacos para efectuar os seus cálculos. • Introduzindo algumas alterações no formato inicial, nomeadamente dotaram o Ábaco de um pé de suporte, tornando-o numa mesa de cálculo ainda mais prática de utilizar... © Celeste Duque April 1, 2010 106
  • 107. Numeração Árabe versus Babilónica © Celeste Duque April 1, 2010 107
  • 108. Evolução sistemas de numeração © Celeste Duque April 1, 2010 108
  • 109. Sistema Numérico Hindu/Árabe: Evolução – Na primeira linha da imagem, numerais de há 1000 anos. – Na segunda, há 800 anos. – Na terceira, há 600 anos. – Na última, numeração actual. © Celeste Duque April 1, 2010 109
  • 110. Evolução: Sistema de numeração Hindu/Árabe © Celeste Duque April 1, 2010 110
  • 111. Sistemas numéricos: Comparação (séc. VI- XV) © Celeste Duque April 1, 2010 111
  • 112. Evolução da Numeração Árabe: Escrita cursiva – Na seguinte imagem podemos observar a escrita cursiva dos algarismos de 1 a 4 e a sua respectiva explicação: © Celeste Duque April 1, 2010 112
  • 113. Evolução da Numeração Árabe: Escrita cursiva – Na imagem abaixo apresenta-se o quadro de escrita dos algarismos árabes de 1 a 9, incluindo o 0, onde se pode observar a contagem dos respectivos ângulos: © Celeste Duque April 1, 2010 113
  • 114. Numeração Árabe: Representação gráfica/fonética © Celeste Duque April 1, 2010 114
  • 115. Numeração Árabe: Representação Polinomial © Celeste Duque April 1, 2010 115
  • 116. Referências bibliográficas Badiou, A. (2008). Number and Numbers. Cambridge: Polity Press. Boye, C. B. (1915). An Introduction on the Study of Maya Hyeroglyphics. Washington: Carnegie Institution. Crato, N. (2008). A Matemática das Coisas. Lisboa: Gradiva. Imenes, L. M. P. (2002). A numeração indo-arábica. Colecção “Vivendo a matemática”. São Paulo: Scipione. Jesus Caraça, B. (1984). Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Livraria Sá da Costa Editora. Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Vol. 1. New York: Oxford University Press. Morley, S. G. (1915). História da Matemática.Ed. Edgard Blücher Ltda., pág. 146. Vygodsky, M. (1972). Mathematical Handbook: Elementary Mathematics. Moscow: MIR Publishers. Wikipédia (2010). Maias. URL: http://pt.wikipedia.org/wiki/Civilização_maia © Celeste Duque April 1, 2010 116