Teoria de conjuntos

Teoria de Conjuntos
Métodos Matemáticos em Engenharia de Produção
Professor: Luciano Bittencourt de Abreu

1.1 Conjunto e Elementos,
Subconjuntos
Um conjunto pode ser entendido como qualquer coleção bem definida de
objetos, conhecidos como os elementos ou membros do conjunto.
Pertinência em um conjunto é denotada como segue:
 a ∈ S denota que a pertence a um conjunto S
 a, b ∈ S denota que a e b pertencem a um conjunto

Subconjuntos
Especificando Conjuntos
Considere os seguintes conjuntos:
1. 𝐴 = 1, 3, 5, 7, 9
2. 𝐵 = 𝑥 𝑥 é 𝑢𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟, 𝑥 > 0}
Em 1 é estabelecido os elementos pertencentes ao conjunto. Já em 2, são
definidas propriedades que caracterizam os elementos no conjunto.
Exemplo 1.1
a) Como o conjunto A poderia ser representado através de suas
propriedades?
𝑨 = 𝒙 𝒙 é 𝒖𝒎 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒊𝒓𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 í𝒎𝒑𝒂𝒓, 𝒙 < 𝟏𝟎}

Subconjuntos
b) Sejam 𝐸 = 𝑥 𝑥2
− 3𝑥 + 2 = 0}, 𝐹 = {2,1} 𝑒 𝐺 = {1, 2, 2, 1}. Então 𝐸 = 𝐹 = 𝐺.
Um conjunto permanece o mesmo se seus elementos são repetidos ou
rearranjados.
SUBCONJUNTOS
Suponha que todo elemento de um conjunto A é́ também elemento de um
conjunto B, ou seja, suponha que a ∈ A implique a ∈ B. Então A é dito um
subconjunto de B. Também dizemos que A está contido em B ou que B
contem A. Esta relação é escrita
𝑨 ⊆ 𝑩 ou 𝑩 ⊇ 𝑨

Subconjuntos
𝐴 = 𝐵 se, e somente se, 𝐴 ⊆ 𝐵 e 𝐵 ⊆ 𝐴
Exemplo 1.2 Considere os conjuntos
𝑨 = 𝟏, 𝟑, 𝟒, 𝟕, 𝟖, 𝟗 , 𝑩 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓 , 𝑪 = {𝟏, 𝟑}
Então 𝐶 ⊆ 𝐴 e 𝐶 ⊆ 𝐵. Mas B ⊈ 𝐴 e 𝐴 ⊈ B

Subconjuntos
TEOREMA 1.1
i. A ⊆ A
ii. Se A ⊆ B e B ⊆ A, então A = B
iii. Se A ⊆ B e B ⊆ C, então A ⊆ C

Subconjuntos
SÍMBOLOS ESPECIAIS
Diversos conjuntos ocorrem muito frequentemente no texto, e usamos símbolos
especiais para eles. Alguns desses símbolos são:
 N é o conjunto dos números naturais inteiros positivo: 1, 2, 3,...
 Z é o conjunto de todos os números inteiros: ..., -2, -1, 0, 1, 2,...
 Q é o conjunto dos números racionais, que são aqueles que podem ser
representado por frações, ou
𝑄 =
𝑎
𝑏
| 𝑎 ∈ 𝑍 𝑒 𝐵 ∈ 𝑍∗
 R é o conjunto dos números reais, que é uma expansão dos números racionais
que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas
também todos os números irracionais (não podem ser obtidos pela divisão de
dois números inteiros, como 2 ).

Subconjuntos
CONJUNTO UNIVERSO
Todos os conjuntos sob investigação em qualquer aplicação da teoria de
conjuntos são considerados como membros de um grande conjunto fixo
chamado de conjunto universo, o qual denotamos por 𝑈
CONJUNTO VAZIO
Conjunto vazio é aquele que, dadas suas propriedades, não possui
elementos. Por exemplo, 𝑆 = 𝑥 𝑥 é 𝑢𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖𝑜, 𝑥2
= 3}. O conjunto
vazio, também chamado de conjunto nulo, é representado por ∅.
CONJUNTO DISJUNTO
São chamados de conjunto disjunto os conjuntos que não possuem elemento
em comum. Por exemplo 𝐴 = {1, 2, 4} e 𝐵 = 3, 4, 5 . 𝐴 e 𝐵 são disjuntos, ie.,
nenhum dos dois conjuntos está contido no outro.

1.2 Diagramas de Venn
Os Conjuntos podem ser representados pelo diagrama de Venn, como
mostrado a seguir.

1.3 Operações Conjuntistas
Esta seção introduz algumas operações conjuntistas, incluindo as operações
básicas de união, interseção e complementar.
UNIÃO
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}
A palavra “ou” é utilizada como e/ou.
INTERSEÇÃO
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵}

Exemplo 1.3 Sejam 𝐴 = {1, 2, 3, 4}, 𝐵 = {3, 4, 5, 6, 7}, 𝐶 = {2, 3, 8, 9}. Determine 𝐴 ∩
𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐶, 𝐴 ∪ 𝐶, B ∩ 𝐶, 𝑒 𝐵 ∪ 𝐶.
Exemplo 1.4 Verifique se as seguintes proposições são verdadeiras:
a) 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐴
b) 𝐴 ∪ 𝐵 ⊆ 𝐴
c) 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝐴 ⊆ 𝐴 ∪ 𝐵

COMPLEMENTAR ABSOLUTO
𝐴 𝐶
= 𝑥 𝑥 ∈ 𝑈, 𝑒 𝑥 ∉ 𝐴

COMPLEMENTAR RELATIVO
𝐴B = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ∉ 𝐵}

DIFERENÇA SIMÉTRICA
𝐴 ⊕ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵 (𝐴 ∩ 𝐵) ou 𝐴⨁𝐵 = 𝐴B 𝑈(𝐵A)

1.4 Álgebra de Conjuntos de
Dualidade
Conjuntos sob operações de união, intersecção e complementar satisfazem a
varias leis (identidades) que são listadas na tabela a seguir.

Dualidade
DUALIDADE
As identidades na tabela são arranjadas em pares como, por exemplo, (2a) e
(2b). Consideramos agora o principio por trás desse arranjo. Suponha que E é
uma equação de álgebra conjuntista. O dual 𝐸∗
de 𝐸 é a equação obtida
pela substituição de cada ocorrência de ∪, ∩, 𝑼 𝒆 ∅ por ∩, ∪, ∅ 𝑒 𝑼.

Dualidade
CONTANDO ELEMENTOS EM CONJUTOS FINITOS
A notação 𝑛(𝑆) ou |𝑆| denota quantidade de elementos do conjunto 𝑆.
𝑛 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑛 𝐴 + 𝑁 𝐵
𝑛 𝑆 = 𝑛 𝐴 + 𝑛(𝐵)

Dualidade
PRINCÍPIO DA INCLUSÃO- EXCLUSÃO
Suponha que 𝐴 e 𝐵 são conjuntos finitos. Então 𝐴 ∪ 𝐵 e 𝐴 ∩ 𝐵 são finitos e
𝑛 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐵 − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵
Estendendo o conceito para mais conjuntos, supondo 𝐴, 𝐵 𝑒 𝐶 conjuntos
finitos,
𝑛 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐵 + 𝑛 𝐶 − 𝑛 𝐴 ∩ 𝐵 − 𝑛 𝐴 ∩ 𝐶 − 𝑛 𝐵 ∩ 𝐶 − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)

Dualidade
Exemplo 1.5 Suponha que uma lista A contem os 30 estudantes de uma
turma de matemática e que uma lista B contem os 35 estudantes de uma
turma de inglês, e assuma que há 20 nomes em ambas as listas. Encontre o
número de estudantes: (a) apenas na lista A, (b) apenas na lista B, (c) na lista
A ou B (ou ambas), (d) em exatamente uma lista.

1.5 Classe de Conjuntos, Potências
Uma classe de conjuntos ou coleção de conjuntos refere-se a um conjunto 𝑆
composto por outros subconjuntos. Suponha 𝑆 = 1, 2, 3, 4 .
a) Seja 𝐴 a classe de subconjuntos de 𝑆 que contém exatamente três
elementos de 𝑆, então 𝐴 = 1, 2, 3 , 1, 2, 4 , 1, 3, 4 , 2, 3, 4
b) Seja 𝐵 a classe de subconjuntos de 𝑆 sendo que cada um contém o 2 e
dois outros elementos de 𝑆. Então 𝐵 = [ 1, 2, 3 , 1, 2, 4 , {2, 3, 4}]
Note que 𝐵 é um subconjunto de 𝐴.

1.5 Classe de Conjuntos, Potências
Para um dado conjunto S, podemos falar da classe de todos os subconjuntos
de S. Essa classe é chamada de potência de S, e é denotada por P(S). Se S é
finito, então P(S) também o é. De fato, o número de elementos em P(S) é 2
elevado à potência n(S). Ou seja,
𝑛 𝑃 𝑠 = 2 𝑛 𝑠
Exemplo 1.6 Suponha 𝑆 = 1, 2, 3 . Logo
𝑃 𝑠 = [ ∅ , 1 , 2 , 3 , 1, 2 , 1,3 , 2,3 , {𝑆}]
Note que 𝑛 𝑝 𝑠 = 8, ou 23
= 8.

2. Indução Matemática
PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA
Seja 𝑃 uma proposição definida sobre os inteiros positivos ℕ; isto é, 𝑃(𝑛) é
verdadeira ou falsa para cada 𝑛 ∈ ℕ. Suponha que 𝑃 tem as duas
propriedades a seguir:
1. 𝑃 1 é verdadeira
2. 𝑃(𝑘 + 1) é verdadeira sempre que 𝑃(𝑘) for verdadeira.
Então 𝑃 é verdadeira para todo inteiro positivo 𝑛 ∈ ℕ.

 A indução matemática é um método de prova matemática utilizado para
demonstrar a verdade de um número infinito de proposições. Podemos
entender melhor a aplicação baseando-se no efeito domino:
Se você tem uma longa fila de dominós e
for possível assegurar que:
1. O primeiro dominó cairá.
2. Sempre que um dominó cair, o próximo
vizinho cairá.
Desta forma, conclui-se que todos os
dominós cairão.

Exemplo 2.1 Seja 𝑃 a proposição de que a soma dos primeiros 𝑛 números
ímpares é 𝑛2, ou seja,
P n = 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2n − 1 = n2
Solução
Note que para 𝑛 = 3, 𝑃 3 = 1 + 3 + 5 = 9 e que 𝑛2
= 32
= 9
• 𝑃 𝑘 = 2𝑘 − 1
• 𝑃 𝑘 + 1 = 2 𝑘 + 1 − 1 = 2𝑘 + 1
• 𝑃 1 = 2.1 − 2 = 1 = 12 Proposição verdadeira

• 𝑃 𝑘 = 2𝑘 − 1
• 𝑃 𝑘 + 1 = 2 𝑘 + 1 − 1 = 2𝑘 + 1
• 𝑃 1 = 2.1 − 1 = 1 = 12 Proposição verdadeira
• P n = 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2n − 1 = n2
• P k = 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2k − 1 = k2 somando 𝑃 𝑘 + 1 em ambos os lados
• 1 + 3 + 5 + ⋯ + 2𝑘 − 1 + 2𝑘 + 1 = 𝑘2
+ 2𝑘 + 1 = 𝑘 + 1 2
Note que em 𝑃 𝑛 = 𝑛2
, 𝑃 𝑘 + 1 = 𝑘 + 1 2
. Sendo assim, 𝑃 é verdadeira
para todo 𝑛.

EXEMPLO 2.2 Verifique se a seguinte proposição é verdadeira.
5 + 10 + 15 + ⋯ + 5𝑛 = 5𝑛(𝑛 + 1)/2
EXEMPLO 2.3 Demonstre a proposição 𝑃 𝑛 que afirma que a soma dos 𝑛
inteiros positivos é
1
2
𝑛(𝑛 + 1), ou seja, 𝑃 𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =
1
2
𝑛(𝑛 + 1).
EXEMPLO 2.4 Prove a seguinte proposição para 𝑛 ≥ 0
𝑃 𝑛 = 1 + 22 + 23 + ⋯ + 2 𝑛 = 2 𝑛+1 − 1

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