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Teoria dos Conjuntos
www.coens.com.br
Conceito Primitivo
A teoria dos conjuntos é a teoria matemática capaz
de agrupar elementos.
Exemplo: Um time de basquete é um conjunto; onde
cada jogador do time é um elemento desse conjunto.
Representação de um Conjunto
• Representação Tabular;
• Através de Propriedade Caraterística;
• Representação Gráfica (Diagrama de Venn).
Representação Tabular
• Podemos representar um conjunto na forma de
tabela, escrevendo seus elementos entre chaves { }
e separados por vírgula.
• É usual representarmos os conjuntos por letras
maiúsculas A, B, C, D, ...
• A = {a, e, i, o, u}
• B = {1, 2, 3, 4}
Propriedade Característica
• Nesse modelo de representação, um conjunto pode
ser enunciado por uma propriedade ou condição
relacionada aos seus elementos
• :
A = { x | x tem a propriedade p }.
"A é o conjunto formado por todos os elementos x tal
que x tem a propriedade p".
Propriedade Característica
Exemplos:
• A = {x | x é país da Ásia} - o conjunto A é formado
por todos os países da Europa.
• B = {x | x é cor da bandeira de Patos de Minas} - o
conjunto B é formado por verde, amarelo, azul e
branco.
Representação Gráfica
(Diagrama de Venn)
• Esse diagrama é a maneira de
representar graficamente um
conjunto.
• Os elementos de um conjunto
são representados por pontos
interiores a uma região plana,
limitada por uma linha fechada
simples, isto é, uma linha que
não se entrelaça.
Exercícios Teoria dos Conjuntos
(PUC- PR) Em um levantamento com 100 vestibulandos da PUC, verificou-se que o
número de alunos que estudou para as provas de Matemática, Física e Português foi o
seguinte: Matemática, 47; Física, 32; Português, 21; Matemática e Física, 7; Matemática e
Português, 5; Física e Português, 6; as três matérias, 2. Quantos dos 100 alunos incluídos
no levantamento não estudaram nenhuma das três matérias?
Relação de pertinência
Dado o conjunto A = {a, e, i, o, u}.
• Note que a letra ”u” é elemento do conjunto A;
• A letra ”f” não é elemento do conjunto A.
• ”u” ∈ A (lê-se ”u pertence a A”)
• ”f” ∉ B (lê-se ”f não pertence a A")
 a
 e
 i
 o
 u
A
Exercício Teoria dos Conjuntos
(MACKENZIE-SP) Se A e B são dois conjuntos tais que A ⊂ B e A ≠ ∅, então:
(A) sempre existe x ∈ A tal que x ∉ B.
(B) sempre existe x ∈ B tal que x ∉ A.
(C) se x ∈ B então x ∈ A.
(D) se x ∉ B então x ∉ A.
(E) A ∩ B = ∅.
Tipos de Conjuntos
1) Conjunto unitário
2) Conjunto vazio
3) Conjunto finito
4) Conjunto infinito
5) Conjuntos iguais
6) Conjunto universo
7) Conjuntos disjuntos
Conjunto Unitário
• Conjunto unitário é aquele formado por um único
elemento.
Exemplos:
• A = { 2 }
• C = { x | x ∈ N | x < 4 } = { 3 }
Conjunto Vazio
• Conjunto vazio é o conjunto que não possui nenhum
elemento.
• Conjunto vazio é representado por Ø ou { }.
Exemplo:
• D = {x | x é um número ímpar múltiplo de 6} = Ø
Conjunto Finito
• Conjunto finito representa uma quantidade limitada
de elementos ou é aquele que conseguimos chegar
ao "fim" da contagem de seus elementos.
Exemplos:
• B = {1, 2, 3, 4}
• H = {x | x é uma cidade do estado da Bahia}
Conjunto Infinito
• Conjunto infinito Apresenta uma quantidade infinita
(ilimitada de termos) ou é aquele que, se contarmos
seus elementos um a um, jamais chegaremos ao
"fim" da contagem.
Exemplos:
• N = { 0, 1, 2, 3, 4, ... }
• A = { x ∈ N | x é par } = { 2, 4, 6, ... }
Conjuntos Iguais
• Conjuntos são iguais quando possuem os mesmos
elementos, podem ser dois ou mais conjuntos.
Exemplo:
• A = {m, a, r, e} e B = {r, e, m, a}, temos A = B
• Pois os conjuntos possuem os mesmos elementos,
não importando a ordem em que os elementos
foram escritos.
Conjunto Universo
• É um conjunto ao qual pertencem todos os
elementos de um estudo
• Exemplo: Quais são os números menores que 5?
• Se o conjunto universo for = {0, 1, 2, 3, 4}
• Se o conjunto universo for = {..., -1, 0, 1, 2, 3, 4}
Tipos de Conjuntos
Conjuntos Disjuntos
• São conjuntos que não possuem nenhum elemento
em comum.
Exemplo:
• Sendo os conjuntos A = {x | x é par} e B = {x | x é
ímpar} ➪ A e B são conjuntos disjuntos.
• Sendo A e B, diz-se que A é subconjunto de B se,
e somente se, todo elemento de A pertence a B.
• A ⊂ B (lê-se "A está contido em B")
• B ⊃ A (lê-se "B contém A”)
Exemplos:
• {2, 5, 3} ⊂ {2, 5, 3, 8, 9}
• {6, 9, 8, 5} ⊃ {9, 6}
Conjunto das Partes
• Sendo A = {c, d}. Vamos determinar os
subconjuntos de A:
P(A) = { Ø, {p}, {h}, {p, h} }
• Chamamos conjunto das partes de um conjunto H
ao conjunto cujos elementos são todos os
subconjuntos de H.
• Notação: P(H) (lê-se P de H)
Número de elementos de P(A)
• De um modo geral, se um conjunto A tem n
elementos, os números de elementos
(subconjuntos) de P(A) = 2n.
Exemplos:
• A = {a, b} ➪ P(A) = 22 = 4 subconjuntos.
• B = {a, b, c} ➪ P(B) = 23 = 8 subconjuntos.
Operações com Conjuntos
Operações com Conjuntos
• União
• Interseção
• Diferença
• Complementar
União de conjuntos (∪)
• A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que
contém os elementos que pertencem a A ou a B ou
a ambos.
A∪B = { x | x ∈ A ou x ∈ B }
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Exemplos de União (∪)
• Dados os conjuntos A={ 2,3,5,6,8 } e B={ 3,5,8,9 }
A U B = { 2, 3, 5, 6, 8, 9 }
• Dados os conjuntos A={ 3,5 } e B={ 2,3,4,5,6 }
A U B = { 2, 3, 4, 5, 6 } = B
U = União
Interseção de conjuntos (∩)
• A interseção de dois conjuntos A e B é um conjunto
que contém os elementos de A que também são
elementos de B.
A ∩ B = { x | x ∈ A e x ∈ B }
A B
Exemplos de Interseção (∩)
• Dados os conjuntos A={2,3,5,6,8} e B={3,5,8,9}
A ∩ B = {3, 5, 8}
• Dados os conjuntos A={3,5} e B={2,3,4,5,6}
A ∩ B = {3,5} = A
∩ = Interseção
Diferença de conjuntos (−)
• A diferença de dois conjuntos A e B, nessa ordem, é
um conjunto que contém os elementos de A que
não pertencem a B.
A − B = { x | x ∈ A e x ∉ B }
A B
Exemplo de Diferença (−)
• Dados os conjuntos A={2,3,5,6,8} e B={3,5,8,9}
A − B = {2, 6}
B − A = {9}
• Dados os conjuntos A={3,5} e B={2,3,4,5,6}
A − B = { } = Ø
B − A = {2, 4, 6}
Complementar de um conjunto
• O conjunto complementar de A (denotado por CA) é
o conjunto que contém todos os elementos do
conjunto universo U que não pertencem a A.
CA = U − A = { x | x ∈ U e x ∉ A }
A
U
Exemplo de Complementar
• Dados os conjuntos A={3, 5} e B={2,3,4,5,6}. Existe
o complementar 𝐶 𝐵
𝐴
, pois A⊂B.
𝑪 𝑩
𝑨
= B − A = {2, 4, 6}.
Conjuntos Numéricos
Números Naturais ( )
• = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
• * = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
• - Naturais sem o zero.
• Operações em :
• Adição
• Multiplicação
Números Inteiros ( )
• = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
• Z* = {... -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}
- Inteiros sem o zero
• Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
• - Inteiros somente com números positivos
• Operações em :
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• Multiplicação
• Divisão Exata
Números Racionais ( )
• São todos aqueles que podem ser expressos na
forma de fração:
= {
𝒂
𝒃
, onde a ∈ Z e b ∈ Z* }
Números Irracionais (I)
• Conjunto de números que não podem ser expressos
na forma de uma fração de dois inteiros.
• Decimais infinitos não-periódicos (Inexato).
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• Raiz quadrada de números primos:
2 = 1,4142 …
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Números Reais (R)
• Conjunto numérico que é a união do conjunto dos
racionais (Q) com os irracionais (I)
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  • 2. Conceito Primitivo A teoria dos conjuntos é a teoria matemática capaz de agrupar elementos. Exemplo: Um time de basquete é um conjunto; onde cada jogador do time é um elemento desse conjunto.
  • 3. Representação de um Conjunto • Representação Tabular; • Através de Propriedade Caraterística; • Representação Gráfica (Diagrama de Venn).
  • 4. Representação Tabular • Podemos representar um conjunto na forma de tabela, escrevendo seus elementos entre chaves { } e separados por vírgula. • É usual representarmos os conjuntos por letras maiúsculas A, B, C, D, ... • A = {a, e, i, o, u} • B = {1, 2, 3, 4}
  • 5. Propriedade Característica • Nesse modelo de representação, um conjunto pode ser enunciado por uma propriedade ou condição relacionada aos seus elementos • : A = { x | x tem a propriedade p }. "A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade p".
  • 6. Propriedade Característica Exemplos: • A = {x | x é país da Ásia} - o conjunto A é formado por todos os países da Europa. • B = {x | x é cor da bandeira de Patos de Minas} - o conjunto B é formado por verde, amarelo, azul e branco.
  • 7. Representação Gráfica (Diagrama de Venn) • Esse diagrama é a maneira de representar graficamente um conjunto. • Os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples, isto é, uma linha que não se entrelaça.
  • 8. Exercícios Teoria dos Conjuntos (PUC- PR) Em um levantamento com 100 vestibulandos da PUC, verificou-se que o número de alunos que estudou para as provas de Matemática, Física e Português foi o seguinte: Matemática, 47; Física, 32; Português, 21; Matemática e Física, 7; Matemática e Português, 5; Física e Português, 6; as três matérias, 2. Quantos dos 100 alunos incluídos no levantamento não estudaram nenhuma das três matérias?
  • 9. Relação de pertinência Dado o conjunto A = {a, e, i, o, u}. • Note que a letra ”u” é elemento do conjunto A; • A letra ”f” não é elemento do conjunto A. • ”u” ∈ A (lê-se ”u pertence a A”) • ”f” ∉ B (lê-se ”f não pertence a A")  a  e  i  o  u A
  • 10. Exercício Teoria dos Conjuntos (MACKENZIE-SP) Se A e B são dois conjuntos tais que A ⊂ B e A ≠ ∅, então: (A) sempre existe x ∈ A tal que x ∉ B. (B) sempre existe x ∈ B tal que x ∉ A. (C) se x ∈ B então x ∈ A. (D) se x ∉ B então x ∉ A. (E) A ∩ B = ∅.
  • 11. Tipos de Conjuntos 1) Conjunto unitário 2) Conjunto vazio 3) Conjunto finito 4) Conjunto infinito 5) Conjuntos iguais 6) Conjunto universo 7) Conjuntos disjuntos
  • 12. Conjunto Unitário • Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento. Exemplos: • A = { 2 } • C = { x | x ∈ N | x < 4 } = { 3 }
  • 13. Conjunto Vazio • Conjunto vazio é o conjunto que não possui nenhum elemento. • Conjunto vazio é representado por Ø ou { }. Exemplo: • D = {x | x é um número ímpar múltiplo de 6} = Ø
  • 14. Conjunto Finito • Conjunto finito representa uma quantidade limitada de elementos ou é aquele que conseguimos chegar ao "fim" da contagem de seus elementos. Exemplos: • B = {1, 2, 3, 4} • H = {x | x é uma cidade do estado da Bahia}
  • 15. Conjunto Infinito • Conjunto infinito Apresenta uma quantidade infinita (ilimitada de termos) ou é aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais chegaremos ao "fim" da contagem. Exemplos: • N = { 0, 1, 2, 3, 4, ... } • A = { x ∈ N | x é par } = { 2, 4, 6, ... }
  • 16. Conjuntos Iguais • Conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos, podem ser dois ou mais conjuntos. Exemplo: • A = {m, a, r, e} e B = {r, e, m, a}, temos A = B • Pois os conjuntos possuem os mesmos elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos.
  • 17. Conjunto Universo • É um conjunto ao qual pertencem todos os elementos de um estudo • Exemplo: Quais são os números menores que 5? • Se o conjunto universo for = {0, 1, 2, 3, 4} • Se o conjunto universo for = {..., -1, 0, 1, 2, 3, 4}
  • 18. Tipos de Conjuntos Conjuntos Disjuntos • São conjuntos que não possuem nenhum elemento em comum. Exemplo: • Sendo os conjuntos A = {x | x é par} e B = {x | x é ímpar} ➪ A e B são conjuntos disjuntos.
  • 19. • Sendo A e B, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B. • A ⊂ B (lê-se "A está contido em B") • B ⊃ A (lê-se "B contém A”) Exemplos: • {2, 5, 3} ⊂ {2, 5, 3, 8, 9} • {6, 9, 8, 5} ⊃ {9, 6}
  • 20. Conjunto das Partes • Sendo A = {c, d}. Vamos determinar os subconjuntos de A: P(A) = { Ø, {p}, {h}, {p, h} } • Chamamos conjunto das partes de um conjunto H ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de H. • Notação: P(H) (lê-se P de H)
  • 21. Número de elementos de P(A) • De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, os números de elementos (subconjuntos) de P(A) = 2n. Exemplos: • A = {a, b} ➪ P(A) = 22 = 4 subconjuntos. • B = {a, b, c} ➪ P(B) = 23 = 8 subconjuntos.
  • 22. Operações com Conjuntos Operações com Conjuntos • União • Interseção • Diferença • Complementar
  • 23. União de conjuntos (∪) • A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém os elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. A∪B = { x | x ∈ A ou x ∈ B } A B
  • 24. Exemplos de União (∪) • Dados os conjuntos A={ 2,3,5,6,8 } e B={ 3,5,8,9 } A U B = { 2, 3, 5, 6, 8, 9 } • Dados os conjuntos A={ 3,5 } e B={ 2,3,4,5,6 } A U B = { 2, 3, 4, 5, 6 } = B U = União
  • 25. Interseção de conjuntos (∩) • A interseção de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém os elementos de A que também são elementos de B. A ∩ B = { x | x ∈ A e x ∈ B } A B
  • 26. Exemplos de Interseção (∩) • Dados os conjuntos A={2,3,5,6,8} e B={3,5,8,9} A ∩ B = {3, 5, 8} • Dados os conjuntos A={3,5} e B={2,3,4,5,6} A ∩ B = {3,5} = A ∩ = Interseção
  • 27. Diferença de conjuntos (−) • A diferença de dois conjuntos A e B, nessa ordem, é um conjunto que contém os elementos de A que não pertencem a B. A − B = { x | x ∈ A e x ∉ B } A B
  • 28. Exemplo de Diferença (−) • Dados os conjuntos A={2,3,5,6,8} e B={3,5,8,9} A − B = {2, 6} B − A = {9} • Dados os conjuntos A={3,5} e B={2,3,4,5,6} A − B = { } = Ø B − A = {2, 4, 6}
  • 29. Complementar de um conjunto • O conjunto complementar de A (denotado por CA) é o conjunto que contém todos os elementos do conjunto universo U que não pertencem a A. CA = U − A = { x | x ∈ U e x ∉ A } A U
  • 30. Exemplo de Complementar • Dados os conjuntos A={3, 5} e B={2,3,4,5,6}. Existe o complementar 𝐶 𝐵 𝐴 , pois A⊂B. 𝑪 𝑩 𝑨 = B − A = {2, 4, 6}.
  • 32. Números Naturais ( ) • = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} • * = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} • - Naturais sem o zero. • Operações em : • Adição • Multiplicação
  • 33. Números Inteiros ( ) • = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} • Z* = {... -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} - Inteiros sem o zero • Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} • - Inteiros somente com números positivos • Operações em : • Adição • Multiplicação • Divisão Exata
  • 34. Números Racionais ( ) • São todos aqueles que podem ser expressos na forma de fração: = { 𝒂 𝒃 , onde a ∈ Z e b ∈ Z* }
  • 35. Números Irracionais (I) • Conjunto de números que não podem ser expressos na forma de uma fração de dois inteiros. • Decimais infinitos não-periódicos (Inexato). • Pi =  = 3,14159265358979... • Raiz quadrada de números primos: 2 = 1,4142 … I
  • 36. Números Reais (R) • Conjunto numérico que é a união do conjunto dos racionais (Q) com os irracionais (I) • Operações em R: • Adição e Subtração • Multiplicação e Divisão