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iguais); como ˆ 37DAC = ° então 2 37 74DC = × ° = ° ; 180 180 38 142AE ED= ° − = ° − ° = °;
74 38 112DB DC CB= + = ° + ° = °, deste modo como AFE é um ângulo excêntrico com o vértice no
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= = = ° .
3333....2222.... 2,5OF cm= . Nota: os triângulos [ ]ACD e [ ]AGF são semelhantes (critério aa), logo os
comprimentos dos lados correspondentes são diretamente proporcionais. Deste modo
AD CD
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=
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10
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AF
×
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3333....3333....
2
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numa semicircunferência, o triângulo [ ]ACD é retângulo e como tal podemos usar o Teorema de
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2 2 2 2 22 2
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4444.... 4444....1111.... 99 quadrados brancos. Nota: o termo geral da sequência de quadrados cinzentos é 3 1n − , logo
3 1 299 3 300 100n n n− = ⇔ = ⇔ = , ou seja, é o 100.º termo que tem 299 quadrados cinzentos. Como
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9 mat prep_ti_pf_iii_mar2014_sol

  • 1. 9Ano FT Prep TI/PF III - Mar2014 - SoluçõesSoluçõesSoluçõesSoluções Mais fichas de trabalho em www.www.www.www.portalmath.portalmath.portalmath.portalmath.ptptptpt SoluçõesSoluçõesSoluçõesSoluções 9.º Ano9.º Ano9.º Ano9.º Ano Preparação Teste IntermédioPreparação Teste IntermédioPreparação Teste IntermédioPreparação Teste Intermédio / Prova Final/ Prova Final/ Prova Final/ Prova Final ---- IIIIIIIIIIII Março 2014 2012012012013333/201/201/201/2014444 1111.... 1111....1111.... 12 2 24k = × = e representa o custo, em euros, da prenda que será oferecida ao bebé da professora de Espanhol. 1111....2222.... 24a v× = ou 24 v a = ou 24 a v = 1111....3333.... 1,60€ . Nota: 24 1,6 1,60€ 15 v = = = . 2222.... 2222....1111.... 12AB cm= . Nota: seja BJ x= , logo 2 3 BF x= e 2AB x= . 32 4 2 3 3 prismaV c l a x x x x= × × = × × =▭ , 3 2 13 2 3 prisma x x V A h x x × = × = × =△ △ . Tendo em conta que: 360 360sólido prisma prismaV V V= ⇔ + = ⇔▭ △ 3 3 3 3 3 34 1 5 360 360 5 1080 216 216 6 3 3 3 x x x x x x x cm⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = , logo 2 2 6 12AB BF cm= × = × = . 2222....2222.... ADF (por exemplo) – este é o plano que divide o prisma em duas partes iguais (diagonal) e que contém as arestas [ ]AD e [ ]FG . 2222....3333.... (D)(D)(D)(D). Nota: 4 2 6 3 p = = . 3333.... 3333....1111.... ˆ 127AFE = ° . Nota: 38ED CB= = ° (arcos compreendidos entre retas paralelas são geometricamente iguais); como ˆ 37DAC = ° então 2 37 74DC = × ° = ° ; 180 180 38 142AE ED= ° − = ° − ° = °; 74 38 112DB DC CB= + = ° + ° = °, deste modo como AFE é um ângulo excêntrico com o vértice no interior da circunferência podemos concluir que 142 112ˆ 127 2 2 AE DB AFE + °+ ° = = = ° . 3333....2222.... 2,5OF cm= . Nota: os triângulos [ ]ACD e [ ]AGF são semelhantes (critério aa), logo os comprimentos dos lados correspondentes são diretamente proporcionais. Deste modo AD CD AF GF = 15 9 15 6 10 6 9 AF AF cm AF × ⇔ = ⇔ = ⇔ = , e como tal 10 7,5 2,5OF AF AO cm= − = − = . 3333....3333.... 2 28,125 54SombreadaA cmπ= − . Nota: como ACD é um ângulo reto, dado que é um ângulo inscrito numa semicircunferência, o triângulo [ ]ACD é retângulo e como tal podemos usar o Teorema de Pitágoras para determinar AC ( 2 2 2 2 22 2 15 9 144AC CD AD AC AC+ = ⇔ = − ⇔ = 144AC⇔ = ± 12 12AC AC cm⇔ = ± ⇒ = dado que é um comprimento). 2 7,5 56,25A π π= × =⊙ ; 12 9 54 2 A × = =△ logo 2 28,125 54 2 Sombreada A A A cmπ= − = −⊙ △ . www.portalmath.pt
  • 2. 9Ano FT Prep TI/PF III - Mar2014 - SoluçõesSoluçõesSoluçõesSoluções Mais fichas de trabalho em www.www.www.www.portalmath.portalmath.portalmath.portalmath.ptptptpt 4444.... 4444....1111.... 99 quadrados brancos. Nota: o termo geral da sequência de quadrados cinzentos é 3 1n − , logo 3 1 299 3 300 100n n n− = ⇔ = ⇔ = , ou seja, é o 100.º termo que tem 299 quadrados cinzentos. Como o número de quadrados brancos é sempre igual à ordem do termo menos uma unidade, o 100.º termo tem 99 quadrados brancos (100 1− ). 4444....2222.... 4444....2.1.2.1.2.1.2.1. 343CuboV = . Nota: Considera que a aresta do cubo mede x . Usando o Teorema de Pitágoras podemos determinar o valor da aresta do cubo: ( ) ( ) 22 2 2 2 2 245 4 245x x x x+ = ⇔ + = 2 2 2245 5 245 49 49 7 7 5 x x x x x x⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± ⇒ = porque se trata de um comprimento. Deste modo, 3 7 343CuboV = = . 4444....2.2.2.2.2.2.2.2. ( ) 21 3 f x x= . Nota: se a área de cada quadrado é 36 então o comprimento do lado vale 6, ou seja, (6,12)A . Como o ponto A pertence ao gráfico da função f , podemos concluir que a imagem do objeto 6 é 12 nesta função. Substituindo na expressão algébrica obtemos: 2 12 1 (6) 12 6 12 36 3 f a a a= ⇔ × = ⇔ = ⇔ = , logo ( ) 21 3 f x x= ou ( ) 2 3 x f x = . 5555.... O conjunto de pontos correspondentes aos locais onde pode ser instalado o router está representado a laranja na figura acima (é um segmento de reta). Corresponde à interseção do círculo de centro em E e raio 10m, com o círculo de centro em C e raio 8m e com a mediatriz de [ ]EO . www.portalmath.pt