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AULA 2
MATEMÁTICA
Equações de 1º. grau
• É uma sentença matemática que exprime uma relação de
igualdade e que contém, pelo menos, uma incógnita
(representada por uma letra).
• A palavra equação tem o prefixo “equa”, que em latim quer dizer
"igual".
Raízes de uma equação
• São os elementos do conjunto verdade de uma equação.
• Verificação se um número é raiz de uma equação:
1) Substituir a incógnita por esse número.
2) Determinar o valor de cada membro da equação.
3) Verificar a igualdade, se ela for uma sentença verdadeira, o
número considerado é raiz da equação.
TREINANDO
c) O quádruplo de um número resulta 90.
d) A diferença entre um número e dois faz 36.
a) O triplo de um número é igual a 10. 3x = 10
b) A soma de um número com três é igual a 15. x + 3 = 15
4x = 90
x - 2 = 36
e) A terça parte de um número é igual a 66.
f) Os três quartos de um número é igual a 20.
x_
3
= 66
3x__
4
= 20
g) A soma de um número com sua metade
resulta 45.
h) A soma de cinco com o triplo de um número
é igual a 67.
5 + 3x = 67
_
2
= 45
x+x
Para as atividades que se seguem imaginem uma balança de dois braços
em equilíbrio!
1) Qual é o peso do cachorro?
x + 16 = 25
9kg
2) Desenvolva a Equação.
3) Os dois sacos tem pesos iguais.
Quanto pesa cada saco?
2x = 12
6kg
4) Desenvolva a Equação.
Exemplo:
Exemplo:
2x2 - 3x + 5 = 0
a = 2
b = -3
c = 5
-x2 + 4x - 3 = 0
a = -1
b = 4
c = -3
4x + 8x2 - 4 = 0
a = 8
b = 4
c = -4
3x - 6x2 = 0
a = -6
b = 3
c = 0
Chama-se FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ou FUNÇÃO
QUADRÁTICA qualquer função de R em R dada por uma lei da
forma:
com a, b e c números reais e
f
  cbxaxxf  2
a
acbb
xcbxaxxf
2
4
00)(
2
2 

∆ = b2 – 4.a.c
• ∆ > 0 → duas raízes reais e diferentes
• ∆ < 0 → não tem raiz real
• ∆ = 0 → duas raízes reais e iguais
∆ > 0 ∆ < 0 ∆ = 0
a > 0
a < 0
Fórmula da equação do 2º grau
a
acbb
x
2
4² 

x = - 30 ± 302 – 4 . 1 . (- 2800)
2 . 1
x = - 30 ± 900+ 11200
2
x = - 30 ± 12100
2
x = - 30 ± 110
2
x = - 30 + 110 = 80 = 40
2 2
x = - 30 - 110 = - 140 = - 70
2 2
Largura ... x = 40
Comprimento ... x + 30 = 70
Razão
Razão é o quociente indicado (exato) entre dois
números racionais, cujo segundo número é
diferente de zero.
A razão entre dois números a e b, com b ≠ 0
, nessa ordem, é o quociente .
b
a
RAZÕES EQUIVALENTES
Veja o exemplo:
16
12
12
9
8
6
4
3

lIrredutíveForma
5
4
15
12
30
24
60
48

PROPORÇÃO
A PROPORÇÃO É UMA IGUALDADE
ENTRE DUAS OU MAIS RAZÕES.
Quando temos a igualdade só de duas razões,
chamamos essa igualdade de proporção simples.
Dessa forma, temos que:
simplesproporção
y
x
5
2

1) Razão é uma comparação entre dois elementos. Por
exemplo: Observe a altura da menina em relação à árvore.
Vamos fazer uma comparação entre a altura de uma das meninas e a da árvore.
300cm
120cm
Imagem: Author Unknow/US National Archives bot /
Public Domain.
1) Resolução:
Vamos fazer uma comparação entre a altura de
uma das meninas e a da árvore.
Pode ser simplificada (dividir o numerador e o denominador pelo mesmo
número). Assim, concluímos que
300
120 Altura da menina
Altura da árvore
5
2
300
120
60:
60:
(Nessa simplificação, dividimos o numerador e o denominador por 60).
Podemos dizer que a razão entre a altura da menina e a altura da árvore é 2 para
5, indicado por ou 2 : 5, significando que a cada 2 cm da menina a árvore tem 5
cm.
5
2
300cm
Imagem: Author Unknow/US
National Archives bot / Public Domain.
2) Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a
cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. Então, o produto
dos dois números é:
a) 90
b) 96
c) 180
d) 72
e) 124
5
3
2
2



y
x
3
2

y
x
Resolução :
em que
axa
x
.2
2
 aya
y
.3
3
e
Substituindo x e y na outra proporção, teremos:
5
3
2.3
2.2



a
a
 3)23(5)22(  aa
691010  aa 106910  aa
106910  aa  4a
Substituindo o valor de a em x e y, temos:
8)4(2 x e 12)4(3 y
96)12()8(x:log  yo
a) 96
b) 90
c) 180
d) 72
e) 124
Exercícios de aplicação
1. Descobre o termo que falta em cada uma das proporções:
?
6
3
2

20
25
?
5

?
12
9
2

5 x 20 = ? x 25
100 = ? X 25
? = 100 : 25
? = 4
2. A idade do Rui está para a da avó assim como 2 está para 9.
O Rui tem 12 anos. Que idade tem a avó?
2 x ? = 9 x 12
2 x ? = 108
? = 108 : 2
? = 54
2 x ? = 3 x 6
2 x ? = 18
? = 18 : 2
? = 9
Porcentagem
Taxa de Porcentagem é fração com denominador 100.
100
15
%15 
100
27
%27 
100
192
%192 
Aplicações do dia a dia
20% de 60? 12:60
100
20
 xLogo
20 é 80% de quanto?
12 é quanto por cento de 30?
25........20
100
80
 xx
%401230
100
 x
x
Vamos ver um outro exemplo?
1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 45 faltas, transformando
em gols 20% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?
Neste caso você deverá realizar da seguinte formar:
20% = 0,20 pois ao dividir 20/100 terá um resultado de 0,20.
Então, 0,20 x 45 = 9.
Logo, neste campeonato de futebol este jogador fez 9 gols.
Perceberam como é fácil?
Vamos aprofundar nossos conhecimentos?
Clique no link abaixo para assistir a um vídeo do Youtube que refere-se a um vídeo
do Telecurso 2000, com a temática sobre: Novo Telecurso - E. Fundamental -
Matemática - Aula 27 (1 de 2)
Link: http://www.youtube.com/watch?v=nfoyBVrbGX8
O que você já sabe sobre...
TAXA
JUROS
CAPITAL
Chamamos de taxa ou de taxa de juros a porcentagem paga
por um empréstimo ou por uma compra a prazo
(financiamento).
 Juro é a remuneração paga (ou recebida) por quem realiza uma
compra ou um empréstimo, durante certo tempo, a uma certa
taxa percentual.
 Capital é o valor financiado na realização de uma compra ou de
um empréstimo.
Existem dois tipos de juros, os JUROS SIMPLES e os JUROS
COMPOSTOS. A maioria das operações financeiras são realizadas
utilizando juros compostos.
Juros Simples são sempre calculados em relação ao
valor inicial (capital inicial). O valor dos juros é
constante em cada período de tempo.
JUROS
SIMPLES
Juros Compostos são os juros produzidos em cada
período e depois somados ao valor anterior (capital)
para o cálculo de novos juros nos tempos seguintes.
JUROS
COMPOSTOS
A taxa é dada em porcentagem, por isso podemos
reescrever a expressão anterior da seguinte forma:
100
.. tic
J 
Resolvendo problema
• César aplicou R$ 2.000,00, durante um
ano, à taxa de 6 % ao ano. Qual o juro
recebido por ele?
J = C . I . T
J = 2 000 . 6/100 . 12
J = 1440
O juro foi de R$ 1 440,00.
Sendo,
M: montante C: capital i: taxa de juros
t: período de tempo
Diferente dos juros simples, neste tipo de capitalização, a fórmula
para o cálculo do montante envolve uma variação exponencial. Daí
se explica que o valor final aumente consideravelmente para
períodos maiores.
Exemplo
Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00 aplicado à taxa de
4% ao trimestre, após um ano, no sistema de juros compostos.
Identificando as informações dadas, temos:
C = 2 000
i = 4% ou 0,04 ao trimestre
t = 1 ano = 4 trimestres
M = ?
Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, temos:
M = 2000 (1 + 0,04)4
M = 2000 x 1,1698
M = 2339,71
Portanto, ao final de um ano o montante será igual a R$ 2 339,71.
EXEMPLO: Um pequeno investidor aplicou R$ 200,00 (duzentos
reais) com rendimento de 1% (um por cento) de juros compostos
ao mês. O valor total em dinheiro dessa aplicação, ao final de três
meses, é:
a)R$ 206,00
b)R$ 206,06
c)R$ 206,46
d)R$ 206,86
Determine o montante aproximado da aplicação de um capital de
R$ 12.000,00 no regime de juros compostos, com uma taxa de 1%
ao mês, após três meses de aplicação.
a)R$ 12.305,75
b)R$ 12.276,54
c)R$ 12.363,61
d)R$ 12.234,98
e)R$ 12.291,72
João obteve um empréstimo de R$ 5.000,00 para pagá-lo 3 meses
depois. Sabendo que a taxa de juros compostos cobrada pela
instituição foi de 2,0% ao mês, o valor que João pagou para quitar o
empréstimo foi, em reais, de
a)5.100,00
b)5.202,00
c)5.300,00
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e)5.314,20
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  • 2. Equações de 1º. grau • É uma sentença matemática que exprime uma relação de igualdade e que contém, pelo menos, uma incógnita (representada por uma letra). • A palavra equação tem o prefixo “equa”, que em latim quer dizer "igual".
  • 3. Raízes de uma equação • São os elementos do conjunto verdade de uma equação. • Verificação se um número é raiz de uma equação: 1) Substituir a incógnita por esse número. 2) Determinar o valor de cada membro da equação. 3) Verificar a igualdade, se ela for uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.
  • 4. TREINANDO c) O quádruplo de um número resulta 90. d) A diferença entre um número e dois faz 36. a) O triplo de um número é igual a 10. 3x = 10 b) A soma de um número com três é igual a 15. x + 3 = 15 4x = 90 x - 2 = 36 e) A terça parte de um número é igual a 66. f) Os três quartos de um número é igual a 20. x_ 3 = 66 3x__ 4 = 20 g) A soma de um número com sua metade resulta 45. h) A soma de cinco com o triplo de um número é igual a 67. 5 + 3x = 67 _ 2 = 45 x+x
  • 5. Para as atividades que se seguem imaginem uma balança de dois braços em equilíbrio! 1) Qual é o peso do cachorro? x + 16 = 25 9kg 2) Desenvolva a Equação.
  • 6. 3) Os dois sacos tem pesos iguais. Quanto pesa cada saco? 2x = 12 6kg 4) Desenvolva a Equação.
  • 9. 2x2 - 3x + 5 = 0 a = 2 b = -3 c = 5 -x2 + 4x - 3 = 0 a = -1 b = 4 c = -3 4x + 8x2 - 4 = 0 a = 8 b = 4 c = -4 3x - 6x2 = 0 a = -6 b = 3 c = 0 Chama-se FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ou FUNÇÃO QUADRÁTICA qualquer função de R em R dada por uma lei da forma: com a, b e c números reais e f   cbxaxxf  2
  • 10. a acbb xcbxaxxf 2 4 00)( 2 2   ∆ = b2 – 4.a.c • ∆ > 0 → duas raízes reais e diferentes • ∆ < 0 → não tem raiz real • ∆ = 0 → duas raízes reais e iguais ∆ > 0 ∆ < 0 ∆ = 0 a > 0 a < 0
  • 11.
  • 12.
  • 13. Fórmula da equação do 2º grau a acbb x 2 4²  
  • 14. x = - 30 ± 302 – 4 . 1 . (- 2800) 2 . 1 x = - 30 ± 900+ 11200 2 x = - 30 ± 12100 2 x = - 30 ± 110 2 x = - 30 + 110 = 80 = 40 2 2 x = - 30 - 110 = - 140 = - 70 2 2 Largura ... x = 40 Comprimento ... x + 30 = 70
  • 15. Razão Razão é o quociente indicado (exato) entre dois números racionais, cujo segundo número é diferente de zero. A razão entre dois números a e b, com b ≠ 0 , nessa ordem, é o quociente . b a RAZÕES EQUIVALENTES Veja o exemplo: 16 12 12 9 8 6 4 3  lIrredutíveForma 5 4 15 12 30 24 60 48 
  • 16. PROPORÇÃO A PROPORÇÃO É UMA IGUALDADE ENTRE DUAS OU MAIS RAZÕES. Quando temos a igualdade só de duas razões, chamamos essa igualdade de proporção simples. Dessa forma, temos que: simplesproporção y x 5 2 
  • 17. 1) Razão é uma comparação entre dois elementos. Por exemplo: Observe a altura da menina em relação à árvore. Vamos fazer uma comparação entre a altura de uma das meninas e a da árvore. 300cm 120cm Imagem: Author Unknow/US National Archives bot / Public Domain.
  • 18. 1) Resolução: Vamos fazer uma comparação entre a altura de uma das meninas e a da árvore. Pode ser simplificada (dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número). Assim, concluímos que 300 120 Altura da menina Altura da árvore 5 2 300 120 60: 60: (Nessa simplificação, dividimos o numerador e o denominador por 60). Podemos dizer que a razão entre a altura da menina e a altura da árvore é 2 para 5, indicado por ou 2 : 5, significando que a cada 2 cm da menina a árvore tem 5 cm. 5 2 300cm Imagem: Author Unknow/US National Archives bot / Public Domain.
  • 19. 2) Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. Então, o produto dos dois números é: a) 90 b) 96 c) 180 d) 72 e) 124 5 3 2 2    y x 3 2  y x Resolução : em que axa x .2 2  aya y .3 3 e Substituindo x e y na outra proporção, teremos: 5 3 2.3 2.2    a a  3)23(5)22(  aa 691010  aa 106910  aa
  • 20. 106910  aa  4a Substituindo o valor de a em x e y, temos: 8)4(2 x e 12)4(3 y 96)12()8(x:log  yo a) 96 b) 90 c) 180 d) 72 e) 124
  • 21. Exercícios de aplicação 1. Descobre o termo que falta em cada uma das proporções: ? 6 3 2  20 25 ? 5  ? 12 9 2  5 x 20 = ? x 25 100 = ? X 25 ? = 100 : 25 ? = 4 2. A idade do Rui está para a da avó assim como 2 está para 9. O Rui tem 12 anos. Que idade tem a avó? 2 x ? = 9 x 12 2 x ? = 108 ? = 108 : 2 ? = 54 2 x ? = 3 x 6 2 x ? = 18 ? = 18 : 2 ? = 9
  • 22. Porcentagem Taxa de Porcentagem é fração com denominador 100. 100 15 %15  100 27 %27  100 192 %192 
  • 23. Aplicações do dia a dia 20% de 60? 12:60 100 20  xLogo 20 é 80% de quanto? 12 é quanto por cento de 30? 25........20 100 80  xx %401230 100  x x
  • 24. Vamos ver um outro exemplo? 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 45 faltas, transformando em gols 20% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? Neste caso você deverá realizar da seguinte formar: 20% = 0,20 pois ao dividir 20/100 terá um resultado de 0,20. Então, 0,20 x 45 = 9. Logo, neste campeonato de futebol este jogador fez 9 gols. Perceberam como é fácil? Vamos aprofundar nossos conhecimentos? Clique no link abaixo para assistir a um vídeo do Youtube que refere-se a um vídeo do Telecurso 2000, com a temática sobre: Novo Telecurso - E. Fundamental - Matemática - Aula 27 (1 de 2) Link: http://www.youtube.com/watch?v=nfoyBVrbGX8
  • 25. O que você já sabe sobre... TAXA JUROS CAPITAL Chamamos de taxa ou de taxa de juros a porcentagem paga por um empréstimo ou por uma compra a prazo (financiamento).
  • 26.  Juro é a remuneração paga (ou recebida) por quem realiza uma compra ou um empréstimo, durante certo tempo, a uma certa taxa percentual.  Capital é o valor financiado na realização de uma compra ou de um empréstimo. Existem dois tipos de juros, os JUROS SIMPLES e os JUROS COMPOSTOS. A maioria das operações financeiras são realizadas utilizando juros compostos.
  • 27. Juros Simples são sempre calculados em relação ao valor inicial (capital inicial). O valor dos juros é constante em cada período de tempo. JUROS SIMPLES Juros Compostos são os juros produzidos em cada período e depois somados ao valor anterior (capital) para o cálculo de novos juros nos tempos seguintes. JUROS COMPOSTOS A taxa é dada em porcentagem, por isso podemos reescrever a expressão anterior da seguinte forma: 100 .. tic J 
  • 28.
  • 29.
  • 30. Resolvendo problema • César aplicou R$ 2.000,00, durante um ano, à taxa de 6 % ao ano. Qual o juro recebido por ele? J = C . I . T J = 2 000 . 6/100 . 12 J = 1440 O juro foi de R$ 1 440,00.
  • 31.
  • 32.
  • 33. Sendo, M: montante C: capital i: taxa de juros t: período de tempo Diferente dos juros simples, neste tipo de capitalização, a fórmula para o cálculo do montante envolve uma variação exponencial. Daí se explica que o valor final aumente consideravelmente para períodos maiores. Exemplo Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00 aplicado à taxa de 4% ao trimestre, após um ano, no sistema de juros compostos. Identificando as informações dadas, temos: C = 2 000 i = 4% ou 0,04 ao trimestre t = 1 ano = 4 trimestres M = ?
  • 34. Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, temos: M = 2000 (1 + 0,04)4 M = 2000 x 1,1698 M = 2339,71 Portanto, ao final de um ano o montante será igual a R$ 2 339,71. EXEMPLO: Um pequeno investidor aplicou R$ 200,00 (duzentos reais) com rendimento de 1% (um por cento) de juros compostos ao mês. O valor total em dinheiro dessa aplicação, ao final de três meses, é: a)R$ 206,00 b)R$ 206,06 c)R$ 206,46 d)R$ 206,86
  • 35. Determine o montante aproximado da aplicação de um capital de R$ 12.000,00 no regime de juros compostos, com uma taxa de 1% ao mês, após três meses de aplicação. a)R$ 12.305,75 b)R$ 12.276,54 c)R$ 12.363,61 d)R$ 12.234,98 e)R$ 12.291,72 João obteve um empréstimo de R$ 5.000,00 para pagá-lo 3 meses depois. Sabendo que a taxa de juros compostos cobrada pela instituição foi de 2,0% ao mês, o valor que João pagou para quitar o empréstimo foi, em reais, de a)5.100,00 b)5.202,00 c)5.300,00 d)5.306,04 e)5.314,20