seja intelectual leia

1. A EXPLORAÇÃO DAS
INTELIGÊNCIAS MÚLTIPLAS
COMO UMA NOVA
METODOLOGIA PARA O ENSINO
DA MATEMÁTICA
NOÇÕES DE PROBABILIDADENOÇÕES DE PROBABILIDADE
ICD – INSTITUTO DA CULTURA E DESENVOLVIMENTO
CAMPO MOURÃO
ABRIL- 2010
PROFESSOR: JOÃO ALESSANDRO
•EMAIL/MSN: jalmat@hotmail.com
•GMAIL/GOOGLE TALK: jalmat.utfpr@gmail.com
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2. PROBABILIDADE
INTRODUÇÃO
• A palavra probabilidade deriva do Latim probare (provar
ou testar).
• Informalmente, provável é uma das muitas palavras
utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo
também substituída por algumas palavras como “sorte”,
“risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, dependendo do
contexto.

3. PROBABILIDADE
2.Conceitos essenciais:
1.1 Espaço Amostral
Consideremos uma experiência onde pode ocorrer n
resultados possíveis. Cada um dos n resultados possíveis
será chamado ponto amostral, e o conjunto S de todos os
resultados possíveis, ou seja, o conjunto S de todos os
pontos amostrais será chamado espaço amostral da
experiência.

4. PROBABILIDADE
1.1 Espaço Amostral (continuação)
Exemplo 1:
Lançamento de uma moeda:
Existem dois resultados possíveis, portanto
S = {“cara”, “coroa”}

5. PROBABILIDADE
1.1 Espaço Amostral (continuação)
Exemplo 2:
Lançamento de um dado:
Existe 6 resultados possíveis, portanto:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

6. PROBABILIDADE
1.2 Evento
Chama-se evento qualquer subconjunto A do
espaço amostral S.
A está contido em S.

7. PROBABILIDADE
1.2 Evento (continuação)
A está contido em S.
Exemplo 1:
No lançamento de um dado, o evento
“número ímpar” é A = { 1; 3; 5}

8. PROBABILIDADE
1.2.1 Evento Impossível:
O conjunto vazio também é um subconjunto
de S, portanto, também é um evento; o conjunto
vazio é chamado evento impossível, pois nunca
ocorre.
Exemplo: Sair o número 7 no lançamento de
um dado é um evento impossível.
{ } φou
6}5,4,3,2,{1,S
==
=
AA

9. PROBABILIDADE
1.2.2 Evento Certo:
O conjunto S é subconjunto de si próprio,
portanto S também é um evento; S é chamado de
evento certo, pois sempre acontece.
Exemplo: Sair o número 1 a 6 no
lançamento de um dado é um evento certo.
6}5,4,3,2,{1,
6}5,4,3,2,{1,S
=
=
A

10. PROBABILIDADE
1.2.3 Eventos Complementares:
– A.S=AquetalAeventoao
S,amostralespaçonumAeventoumde
arcomplementeventodese-Chama
Exemplo:
No lançamento de um dado, o evento
complementar do evento “número ímpar” é o
evento “número par”.
6}4,{2,=A
5}3,1,{=A

11. PROBABILIDADE
1.2.4 Eventos Mutuamente Exclusivos:
vazio)conjuntoaigualBeA:se-(lê
BAquando
exclusivosmutuamentesãoBeAeventosDois
φ=∩
Exemplo:
No lançamento de um dado:
A: Sair número par.
B: Sair número ímpar.
versa.-viceeímparnúmeroumsair
comohánãoparnúmeroumsairsePois
BA φ=∩

12. PROBABILIDADE
2. Probabilidade de Um Evento:
É calculada pela fórmula:
)(
)(
)(
Sn
An
AP =
Seventodoelementosdenúmerooén(S)
Aeventodoelementosdenúmerooén(A)
Aeventooocorrerdeadeprobabilidaé)(
:
AP
Onde

13. Exercícios
Probabilidade
de um
Evento

14. RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9
1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
determine a probabilidade de ocorrer:
a) A: um número primo.
Resolução:
A = { 2, 3, 5} são os números primos retirados S.
n(A) = 3 é o número de elementos do evento A.
n(S) = 6 é o número de elementos do espaço amostral.
%,)(
)(
)(
)(
5050
2
1
6
3
===
=
ouAP
Sn
An
AP

15. b) B: um número múltiplo de 3.
Resolução:
B = { 3, 6} são os números múltiplos de 3 retirados S.
n(B) = 2 é o número de elementos do evento B.
n(S) = 6 é o número de elementos do espaço amostral.
%,,)(
)(
)(
)(
333330
3
1
6
2
===
=
ouAP
Sn
Bn
BP
RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9
1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
determine a probabilidade de ocorrer:

16. 2. Em uma urna há 18 bolas numeradas de 1 a 18.
Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de
obter um múltiplo de 3?
RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9
Resolução:
A = { 3, 6, 9, 12, 15, 18} são os números múltiplos de 3
retirados de S.
n(B) = 6 é o número de elementos do evento A.
n(S) = 18
%,...,)(
)(
)(
)(
33333330
3
1
18
6
===
=
ouAP
Sn
An
AP
Observação:
Este
exercício
está resolvido
de forma
incorreta na
apostila!!!

17. PROBABILIDADE
3. Soma de Probabilidades:
É calculada pela fórmula:
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪
BeAeventooocorrerdeadeprobabilidaéB)P(A
BeventooocorrerdeadeprobabilidaéP(B)
AeventooocorrerdeadeprobabilidaéP(A)
BouAeventooocorrerdeadeprobabilidaé)B(
:
∩
∪AP
Onde
Dica esperta:
Em problemas
de “soma de
probabilidades”
sempre
encontramos a
palavra OU.

18. Exercícios
SOMA DE
PROBABILIDADES

19. RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9
Lançando-se um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, qual é a
probabilidade de se obter um número par ou múltiplo de 3:
amostral.espaçodoelementosdenúmero)(
A.eventodoelementosdenúmerooé3n(A)
S.retiradosparesnúmerosossão6}4,2,{A
:parnúmeroumretiradoser:AeventooSendo
P(A).Calculando:1Passo
:partesporfazerVamos
:Resolução
oéSn 6=
=
=
2
1
6
3
==
=
)(
)(
)(
)(
AP
Sn
An
AP
2
1
=)(AP

20. RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9
amostral.espaçodoelementosdenúmero)(
B.eventodoelementosdenúmerooé2n(B)
S.deretirados3demúltiplosnúmerosossão6}3,{B
:3demúltiplonúmeroumretiradoser:BeventooSendo
P(B).Calculando:2Passo
oéSn 6=
=
=
3
1
6
2
==
=
)(
)(
)(
)(
BP
Sn
Bn
BP
3
1
=)(BP

21. RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9
amostral.espaçodoelementosdenúmero)(
B.Aeventodoelementosdenúmerooé1B)n(A
S.deretirado3demúltiploeparnúmerooé6}{BA
:3demúltiploeparnúmeroumretiradoser:BAeventooSendo
B).P(ACalculando:3Passo
oéSn 6=
∩=∩
=∩
∩
∩
6
1
=∩
∩
=∩
)(
)(
)(
)(
BAP
Sn
BAn
BAP
6
1
=∩ )( BAP

22. RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9
B).P(ACalculando:(FINAL)4Passo ∪
6
1
3
1
=∩
=
=
)(
)(
2
1
P(A)
:
BAP
BP
Sendo
%,...,)(
)(
:temosoperaçõesas
fazendoeresdenominadodosmmcotirando
)(
)()()()(
:adesprobabiliddassomaaCalculando
676666660
3
2
6
4
6
123
6
1
3
1
2
1
===∪
−+
=∪
−+=∪
∩−+=∪
ouBAP
BAP
BAP
BAPBPAPBAP

23. PROBABILIDADE
2.PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES:
Multiplicação das probabilidades.
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostra S.
A e B são ditos independentes se a probabilidade de
um deles ocorrer não afetar a probabilidade do outro
ocorrer, isto é, se:
)/()()( ABPxAPBAP =∩
Aeventoo
ocorridotendoBeventooocorrerdeadeprobabilidaéP(B/A)
AeventooocorrerdeadeprobabilidaéP(A)
BeAeventooocorrerdeadeprobabilidaé)B(
:
∩AP
Onde
Dica esperta:
Em problemas
de “multiplicação
de
probabilidades”
sempre
encontramos a
vogal E, escrita
ou
subentendida.

24. Exercício
MULTIPLICAÇÃO DE
PROBABILIDADES

25. RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA
10Uma urna contém 6 bolas amarelas e 9 bolas brancas.
Calcule a probabilidade de, ao retirar sucessivamente 2
bolas, sem reposição, obtermos a 1ª amarela e 2ª branca.
A.eventodoelementosdenúmerooé6n(A)
S.deretiradasseremdepossíveisamarelasbolasassãoamarelas}bolas6{A
amarelabolaumaretiradoser:AeventooSendo
amostral.espaçodoelementosdenúmero)(
brancas}bolas9amarelas,bolas{6S
P(A).Calculando:1Passo
:partesporfazerVamos
:Resolução
=
=
=
=
oéSn 15
5
2
15
6
==
=
)(
)(
)(
)(
AP
Sn
An
AP
5
2
=)(AP

26. RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA
10
A.eventodoelementosdenúmerooé9n(B/A)
S.deretiradasseremdepossíveisbrancasbolasassãobrancas}bolas9{B/A
amostral.espaçodoelementosdenúmero)(
amarela!bolaumaretiradafoipois
,modificadofoiamostralespaçoo,brancas}bolas9amarelas,bolas{5S
:iaConsequênc
amarela.1ªa
retiradatendobranca,bola2ªaretirar:B/AeventooSendo
P(B/A).Calculando:2Passo
=
=
=
=
oéSn 14
14
9
=
=
)(
)(
)(
)(
AP
Sn
An
AP
14
9
=)/( ABP

27. RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA
10 B).P(ACalculando:(FINAL)3Passo ∩
14
9
=
=
)/(
5
2
P(A)
:
ABP
Sendo
%,,)(
:
)(
)(
)/()()(
:adesprobabiliddas
çãomultiplicaaCalculando
712525710
35
9
70
18
14
9
5
2
==∩
=∩
=∩
=∩
ouBAP
temosfraçãoandoSimplifica
BAP
xBAP
ABPxAPBAP

28. LEMBRETE
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