O documento discute conceitos fundamentais de matemática financeira aplicados a decisões financeiras, incluindo valor do dinheiro no tempo, juros, montante, fluxo de caixa e métodos de avaliação de projetos como valor presente líquido (VPL) e taxa interna de retorno (TIR).

1. Parte 2
Matemática financeira aplicada a decisões
financeiras

2. Tópicos Abordados:
• Valor do dinheiro no tempo;
• Juros;
• Montante;
• Sistema de Capitalização dos Juros;
• Tipos de Taxas de Juros;
• Fluxo de caixa.

3. • Primeiro pilar das finanças
• Decisões financeiras envolvem custos e benefícios que
estão espalhados sobre o tempo.
• Tomadores de decisão financeira têm que avaliar se
investir o dinheiro hoje é justificado pelos benefícios
esperados no futuro
• Eles devem, então, comparar os valores das somas de
dinheiro em diferentes datas.

4. • se refere ao fato que dinheiro na mão hoje vale mais do
que a esperança dessa mesma quantia ser recebida no
futuro.
• Três razões do porquê isto é verdadeiro:
• Dinheiro na mão hoje pode ser investido, rendendo juros, de modo
que você terminará com mais dinheiro no futuro;
• O poder de compra do dinheiro pode mudar no tempo devido a
inflação;
• A receita de dinheiro esperada no futuro é, em geral, incerta.

5. • Há dois momentos distintos que envolvem as decisões de
investimentos:
• Antes: Matemática Financeira;
• Depois: Contabilidade.
Análise da Viabilidade
Econômica de Projetos
Decisão de
Investir
Análise dos Relatórios
Contábeis
Antes Depois
Matemática
Financeira
Contabilidade

6. • se refere ao fato que dinheiro na mão hoje vale mais do
que a esperança dessa mesma quantia ser recebida no
futuro.
• Três razões do porquê isto é verdadeiro:
• Dinheiro na mão hoje pode ser investido, rendendo juros, de modo
que você terminará com mais dinheiro no futuro;
• O poder de compra do dinheiro pode mudar no tempo devido a
inflação;
• A receita de dinheiro esperada no futuro é, em geral, incerta.

7.  A maioria das decisões financeiras envolve custos e benefícios que se
disseminam pelo tempo.
 Conceito básicos:
◦ Fluxos de caixa:
 Instrumento de gestão financeira que projeta para períodos futuros todas
as entradas e as saídas de recursos financeiros da empresa, indicando
como será o saldo de caixa para o período projetado.
◦ Valor presente:
 Valor no início da Linha do tempo.
◦ Valor futuro:
 composição ou crescimento ao longo do tempo.
◦ Linhas de tempo:
 ajuda visualizar o que está acontecendo dentro de um problema específico.

8. • Ferramenta muito valiosa na análise VDT.
Linha de Tempo
• Exemplo:
• Investimento, no instante inicial zero, de R$ 5.000,00; no instante
1 e 2 receber, respectivamente, R$ 2.000,00 e R$ 4.000,00; no
instante 3 investir R$ 1.000,0 e, no instante 4, receber R$
9.000,00.
• Fluxo de Caixa analítico:
Instantes Entradas Saídas
0 - 5.000
1 2.000
2 4.000
3 1.000
4 9.000

9. Linha de Tempo
• Exemplo:
• Convencionando:
• entradas de dinheiro são positivas; e
• as saídas negativas.
Instantes Entradas (+)
Saídas (-)
0 -5.000
1 2.000
2 4.000
3 -1.000
4 9.000
5.000
T0
2.000
T1
4.000
T2
9.000
T4
1.000
T3
Ts

10. ◦ É o dinheiro pago pelo uso do dinheiro emprestado ou como
remuneração do capital empregado em atividades produtivas.
 Fatores que determinam existência dos juros:
◦ Inflação (desgaste da moeda)
 diminuição do poder aquisitivo da moeda exige que o investimento produza
retorno maior que o capital investido.
◦ Utilidade
 investir significa deixar de consumir hoje para consumir amanhã, o que só é
atraente quando o capital recebe remuneração adequada
◦ Risco
 Havendo a possibilidade do investimento não corresponder às expectativas.
Então, quanto maior o risco, maior a taxa de juros inserida
◦ Oportunidade
 os recursos disponíveis para investir são limitados, motivo pelo qual ao se
aceitar determinado projeto perde-se oportunidades de ganhos em outros; e
é preciso que o primeiro ofereça retorno satisfatório.

11.  Para o investidor,
◦ o juro é a remuneração do investimento.
 Para o tomador,
◦ o juro é o custo do capital obtido por empréstimo.
 O capital inicialmente empregado (principal) pode crescer devido aos juros
segundo duas modalidades:
 Juros Simples: só o principal rende juros, ao longo da vida do investimento.
 Juros Compostos: após cada período, os juros são incorporados ao capital e
passam, por sua vez, a render juros. O período de tempo considerado é,
então, denominado período de capitalização.

12.  É o regime segundo o qual os juros produzidos no final de cada período,
têm sempre como base de cálculo o Capital Inicial empregado
 Calculado a partir da seguinte expressão:
J = P x i x n
 Onde:
◦ J = valor dos juros expresso em unidades monetárias
◦ P = valor ou quantidade de dinheiro
◦ i = taxa de juros (do inglês, interest rate, taxa de juros)
◦ n = prazo

13. Juros Simples
• Exemplo:
• Um investidor aplica $ 100,00 a juros simples durante quatro
meses à taxa de 10% ao mês.
• A incorporação dos juros ao principal ocorre em progressão
aritmética
Mês Base Juros Montante
0 100 0 100
1 100 10 110
2 100 10 120
3 100 10 130
4 100 10 140

14.  considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao
capital, formando, assim, o montante (capital + juros) do período.
 Este montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte
formando um novo montante, e assim por diante
 Simbologia
◦ VP = Valor presente (PV = Present Value)
◦ VF = Valor futuro (FV = Future Value)
◦ i = taxa de juros
◦ n = período de tempo
 Fórmulas:
Valor Futuro Valor Presente
Fator de
capitalização
Fator de
descapitalização

15. Juros Compostos
• Exemplo:
• Um investidor aplica $ 100,00 a juros compostos durante quatro
meses à taxa de 10% ao mês.
• A incorporação dos juros ao principal ocorre em progressão
geométrica
Mês Base Juros Montante
0 100 0 100
1 100 10 110
2 110 11 121
3 121 12,1 133,1
4 133,1 13,31 146,41

16. Payback
Payback consiste no período (anos ou meses) em que ocorre a
recuperação do investimento inicial, ou seja, é o tempo necessário para
que o fluxo de caixa fique positivo (ou, atinja o breakeven). No nosso
exemplo, temos o seguinte fluxo...
O payback se dá antes do final do 4º. Ano.
Admitindo-se que as entradas líquidas
ocorrem de maneira uniforme durante o ano,
fazemos:
O payback é, portanto, de 3 anos e 10
meses.
meses1,1012
000.260
000.220


17. Payback
• É um método muito simples de avaliação e muito fácil de se calcular.
• No caso de uma anuidade, pode ser encontrado dividindo-se o
investimento inicial pela entrada de caixa anual
• Para uma série mista, as entradas de caixas devem ser
acumuladas até que o investimento inicial seja recuperado
• Porém, tem limitações para tomada de decisão por não considerar:
• o valor do dinheiro no tempo;
• o fluxo de caixa após o payback, o que não permite a avaliação ao
longo de todo o período do projeto.
• Entretanto, esse método permite avaliar a velocidade com que ocorre
o retorno do investimento, particularmente importante quando o foco
é a liquidez.

18.  Exemplo:
 Calcular o valor presente de duas alternativas possíveis para a aquisição
de um equipamento
 Custo do Dinheiro: 3% ao mês.
 Fornecedor A
◦ valor total do equipamento = $ 6.500,00
◦ 30% no pedido
◦ 30% na entrega (após 6 meses)
◦ Saldo em 4 parcelas iguais a partir do 7º mês
 Fornecedor B
◦ valor total do equipamento = $ 6.700,00
◦ 20% no pedido
◦ 40% na entrega (após 6 meses)
◦ 40% 120 dias após a entrega

19. • Fluxo de Caixa
Mês A B
0 1.950 1.340
1 0 00
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
6 1.950 2.680
7 650 0
8 650 0
9 650 0
10 650 2.680
Total 6.500 6.700

20. 109876
(0,03)1
950.1
(0,03)1
950.1
(0,03)1
950.1
(0,03)1
950.1
(0,03)1
950.1
950.1VP(a)










55,606.5VP(a) 
106
(0,03)1
680.2
(0,03)1
680.2
340.1VP(b)




60,578.5VP(b) 

21. 6500,03)1(6500,03)1(6500,03)1(950.10,03)1(950.1VF(a) 23410

74,534.7VF(a) 
680.20,03)(1680.20,03)(1340.1VF(b) 410

20,497.7VF(b) 

22.  O VPL (Valor Presente Líquido) ou o NPV (Net Present Value) é a
diferença entre o valor descontado do fluxo de caixa para a data do
investimento inicial (I.I.) e o valor do investimento inicial de um projeto
0 1 2 3 4 65
VP1
VP2
VP3
VP4
VP5
VP6
I.I Linha do tempo
 VPII.VPL

23.  Então, o VPL pode ser calculado por meio da seguinte
equação:
 VPII.VPL
 Se:
n
n
k
FC
k
FC
k
FC
k
FC
II
)(1
...
)(1)(1)(1
.VPL 3
3
2
2
1
1









24. • Exemplo:
• A empresa Rio Grande S.A . decidirá, com base no VPL, entre dois
projetos mutuamente excludentes, A e B, cujos fluxos de caixa são
apresentados no quadro a seguir. O custo de capital para esses
projetos é de 18% ao ano
Ano A B
0 -140.000 -180.000
1 40.000 50.000
2 40.000 55.000
3 45.000 60.000
4 45.000 65.000
5 50.000 70.000
6 60.000 70.000

25.  Calculando...
)18,0(1
000.60
)18,0(1
000.50
)18,0(1
000.45
)18,0(1
000.45
)18,0(1
000.40
)18,0(1
000.40
000.140VPL 654321
(a)












17.306,00157.306000.140VPL(a) 
)18,0(1
000.70
)18,0(1
000.70
)18,0(1
000.65
)18,0(1
000.60
)18,0(1
000.55
)18,0(1
000.50
000.180VPL 654321
(b)












28.445,00208.445000.180VPL(b) 
A empresa deve optar pelo Projeto B, pois apresenta VPL maior.

26.  Também chamada de IRR (Internal Rate of Return)
 É uma taxa de desconto que iguala o valor presente do fluxo de caixa ao
valor do investimento inicial de um projeto.
 Se utilizarmos a TIR para descontar o fluxo de caixa, o VPL de um projeto
se iguala a zero.
 A taxa interna de retorno pode ser calculada com o emprego da seguinte
equação:
n
n
Tir
FC
Tir
FC
Tir
FC
Tir
FC
II
)(1
...
)(1)(1)(1
.0 3
3
2
2
1
1








Um projeto somente é atrativo quando sua TIR for maior ou igual a seu
custo de capital. Quando um projeto apresenta TIR menor que seu custo
de capital, ele deixa de ser atrativo.

27.  De acordo com Gitman (2002) a TIR pode ser calculada tanto por
tentativa e erro como se recorrendo a uma calculadora financeira
sofisticada ou a um computador.
 Exemplo: empresa Rio Grande S.A., decidirá, com base na TIR, entre dois
projetos mutuamente excludentes, X e Y, cujos fluxos de caixa são
apresentados no quadro a seguir. O custo de capital para esses projetos é
de 22% ao ano.
Ano X Y
0 -180.000 -150.000
1 50.000 30.000
2 60.000 50.000
3 70.000 70.000
4 80.000 90.000
5 90.000 110.000

28.  Calculando por tentativa e erro:
)22,0(1
000.90
)22,0(1
000.80
)22,0(1
000.70
)22,0(1
000.60
)22,0(1
000.50
000.180VPL 54321
)(X 0,22i










9.256,69-189.256,69000.180VPL(X) 
)23,0(1
000.90
)23,0(1
000.80
)23,0(1
000.70
)23,0(1
000.60
)23,0(1
000.50
000.180VPL 54321
)(X 0,23i










4.846,12-184.846,12000.180VPL(X) 
)24,0(1
000.90
)24,0(1
000.80
)24,0(1
000.70
)24,0(1
000.60
)24,0(1
000.50
000.180VPL 54321
)(X 0,24i










596,13-180.596,13000.180VPL(X) 
)25,0(1
000.90
)25,0(1
000.80
)25,0(1
000.70
)25,0(1
000.60
)25,0(1
000.50
000.180VPL 54321
)(X 0,25i










3.500,80176.499,20000.180VPL(X) 
A TIR situa-se entre 24% e 25%. São os mais próximos de zero, com sinais opostos

29.  Acabou? nãããããão.....
 Temos que achar a taxa que iguala a zero.
3.500,80
25,0
13,596
24,0 ii 


13,59625,03.500,8024,0  ii
0
014,24i
 Calcule agora a taxa interna de retorno da opção Y

30. • Limitações:
• TIR não representa uma medida correta do retorno do investimento.
• Somente nos casos onde ocorrem fluxos convencionais, que se
caracterizam por um desembolso inicial e um recebimento final, a
TIR representaria o retorno sobre o capital investido.
• Estes fluxos são típicos de certas aplicações financeiras, mas raros
no âmbito dos projetos das áreas de produção e operações.
• Os fluxos de caixa intermediários, que ocorrem com muita
frequência em projetos dessas áreas, retiram da TIR a condição de
medida de retorno sobre o investimento

31. • Forma alterada da taxa interna de retorno que procura corrigir
problemas como raízes múltiplas enfrentados pelo cálculo da TIR.
• Cálculo:
• Os valores de cada fluxo de caixa (exceto do ano zero) devem ser
capitalizados para a data final do projeto, empregando seu custo de
capital.
• Próximo passo é encontrar a taxa de desconto que iguala esse
montante capitalizado com o valor do investimento inicial.
• Exemplo:
• projetos P e Q
• custo de capital de 18%
• TIRs são 25,75% e 20,76%, respectivamente.
• •

32. Ano P Q
0 -200.000 -250.000
1 60.000 85.000
2 70.000 85.000
3 80.000 85.000
4 90.000 85.000
5 100.000 85.000
200.000
60.000 70.000 80.000 90.000 100.000
100.000
106.200
111.392
115.012
116.327
548.931FV =
Projeto P
VPL = -200 + 200 = 0

33. )1(VF n
iPV 
)1(
000.200
548.931 5
i
)1(
VF n
i
PV

)1(
000.200
548.931 5
i
000.200
548.931 5
1
i





%38,22 i

34. • Taxa Anual Nominal:
• taxa anual de juros contratada e cobrada por um credor ou prometida
por um tomador.
• Taxa Anual Efetiva (TAE):
• taxa anual de juros efetivamente paga ou recebida.
• Em geral, a taxa efetiva > taxa nominal sempre que a composição
ocorrer mais de uma vez ao ano.
• Sendo:
• TAE = Taxa Anual Efetiva
• m = Período
• i = Taxa de juros nominal
1
i
1 








n
m
TAE

35. • São aquelas taxas que aplicadas ao mesmo capital P, durante o
mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo montante S.
• Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia .
• O montante S ao final do período de 1 ano será igual a
• S = P(1 + i a )
• Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma
taxa mensal im.
• O montante S’ ao final do período de 12 meses será igual a
• S’ = P(1 + im)12
• Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter
• S = S’
• Portanto, P(1 + i a ) = P(1 + im)12
 12
11 ma ii 

36. • Generalizando a Conclusão:
• Se:
• ia = taxa de juros anual
• is = taxa de juros semestral
• im = taxa de juros mensal
• id = taxa de juros diária
• As conversões das taxas podem ser feitas de acordo com as
seguintes fórmulas:
• 1 + im = (1 + id)30 [porque 1 mês = 30 dias]
• 1 + ia = (1 + im)12 [porque 1 ano = 12 meses]
• 1 + ia = (1 + is)2 [porque 1 ano = 2 semestres]
• 1 + is = (1 + im)6 [porque 1 semestre = 6 meses]
• 1 + ia = (1 + iq)3 [porque 1 ano = 3 quadrimestres]