Pós - Matemática Financeira

Matemática Financeira
Prof. Milton Henrique miltonhenrique@mhempresarial.com

Prof. Milton Henrique
miltonhenrique@mhempresarial.com

Quem sou eu?
Prof. Milton Henrique do Couto Neto
miltonhenrique@mhempresarial.com
Administração, Estácio
Engenharia Mecânica, UFF
MBA em Gestão Empresarial, UVV
MBA em Marketing Empresarial, UVV
Mestrado Acadêmico em Administração, UFES
Pós-MBA em Inteligência Empresarial, FGV
http://lattes.cnpq.br/8394911895758599
https://br.linkedin.com/in/miltonhenrique

Experiência como Professor Universitário
(graduação e pós-graduação)

Disciplinas Lecionadas
Graduação
 Administração de Materiais
 Economia da Engenharia
 Economia Empresarial
 Empreendedorismo
 Engenharia de Manutenção e Confiabilidade
 Engenharia de Métodos
 Fundamentos da Administração
 Gestão de Marketing
 Gestão de Processos e Empresas
 Gestão de Vendas
 Gestão Financeira e Orçamentária
 Marketing de Relacionamento
 Matemática Básica
 Matemática Financeira
 Novas Abordagens em Administração
 Planejamento Estratégico da Produção
 Plano de Negócios
 Tópicos Especiais em Administração
Pós-Graduação
 Comportamento do Consumidor
 Consultoria de RH
 E-commerce e Marketing Digital
 Endomarketing e Comunicação Corporativa
 Estratégia Competitiva de Preços
 Estudo de Viabilidade Econômico Financeira
 Formação do Preço de Venda no Varejo
 Gestão de Tesouraria
 Marketing Competitivo, Criatividade e
Inovação
 Pesquisa de Marketing
 Políticas e Modelos de Financiamento
 Teoria do Desenvolvimento Organizacional

Experiência como Gestor
Empresário de
diversos setores
... 2006
2006 2012
2012 2013
2013
20152014
2008
2016

Cursos,
Palestras,
Treinamentos e
Consultorias

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Roteiro
1. Introdução a Matemática Financeira
2. Juros Simples
3. Juros Compostos
4. Operações de Descontos
5. Taxa de Juros
6. Séries Uniformes de Pagamento
7. Perpetuidade
8. Sistemas de Amortização
9. Análise de Investimentos

Introdução a
Matemática
Financeira

Tempo e Dinheiro
Alguém aí me empresta
R$ 1.000,00 para eu
pagar no mês que
vem???

Dinheiro tem um custo associado ao tempo
Fatores que influenciam a preferência pela
posse atual do dinheiro:
• RISCO: Sempre haverá o risco de não recer os
valores programados em decorrência de
imprevistos;
• UTILIDADE: O investimento implica em não
consumir hoje para consumir no futuro;
• OPORTUNIDADE: A posse do dinheiro permite
aproveitar as oportunidades mais rentáveis que
aparecerem.

Conjunto de técnicas e formulações extraídas da matemática, com
o objetivo de resolver problemas relacionados às Finanças de
modo geral e, que, basicamente, consistem no estudo do valor do
dinheiro no tempo.

Juro
Remuneração do capital, a
qualquer título.
a) Remuneração do capital empregado em atividades produtivas;
b) Custo do capital de terceiros;
c) Remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capial
nelas empregado.

Juro
O Juro J também é o resultado da diferença do capital
final F e do capital inicial P da operação financeira
conhecida:
J = F - P
O resultado do cálculo de J é um
valor monetário, um dado absoluto
que não identifica o prazo de
geração de J

Taxa de Juros
É a velocidade com que o Juros aumenta!
A taxa unitária I é o juro gerado
por uma unidade de capital inicial
$ 1 associado com o período de
tempo de geração do juro.

Taxa de Juros – Unidade de Medida
Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual
que sempre se refere a uma unidade de tempo (ano,
semestre, trimestre, mês, dia, etc.).
 Exemplo:
 12% a.a. = 12 % ao ano;
 4% a.s. = 4 % ao semestre;
 1% a.m. = 1 % ao mês

Variáveis Importantes
• Capital, Principal ou Valor Presente (C, P ou VP)
• É o recurso aplicado;
• Taxa (i)
• É o coeficiente obtido da relaçãoo dos juros (J) com o capital (C), que pode
ser representado em forma percentual ou unitária.
• Prazo ou Tempo ou Períodos (n)
• É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i),
necessita para produzir um montane (M).
• Montante ou Valor Futuro (M ou VF)
• É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação
comercial ou financeira após um determinado período de tempo.

Diagrama de
Fluxo de Caixa
(+) entradas
(-) saídas
Tempo (n)

(+) entradas
(-) saídas
Tempo (n)
VP
VF
Calcular o valor do dinheiro no futuro
Por exemplo: Pedindo prazo para pagar

(+) entradas
(-) saídas
Tempo (n)
VP
VF
Calcular o valor atual do dinheiro
Por exemplo: Antecipando um pagamento

Regime de Capitalização dos Juros
Juros Simples
Juros Compostos

Regimes de Capitalização
• Suponha que você tenha investido R$ 10.000,00 pelo
prazo de 12 meses com pagamento mensal de juro
calculado com a taxa de juro de 2% ao mês.

Sem reinvestir os juros
Meses Juro Mensal
(2%)
Juros
acumulados
Valor Futuro
1 200,00 200,00 10.200,00
2 200,00 400,00 10.400,00
3 200,00 600,00 10.600,00
4 200,00 800,00 10.800,00
5 200,00 1.000,00 11.000,00
6 200,00 1.200,00 11.200,00
7 200,00 1.400,00 11.400,00
8 200,00 1.600,00 11.600,00
9 200,00 1.800,00 11.800,00
10 200,00 2.000,00 12.000,00
11 200,00 2.200,00 12.200,00
12 200,00 2.400,00 12.400,00

Reinvestindo os juros
Meses Juro Mensal
(2%)
Juros
acumulados
Valor Futuro
1 200,00 200,00 10.200,00
2 204,00 404,00 10.404,00
3 208,08 612,08 10.612,08
4 212,24 824,32 10.824,32
5 216,49 1.040,81 11.040,81
6 220,81 1.261,62 11.261,62
7 225,24 1.486,86 11.486,86
8 229,73 1.716,59 11.716,59
9 234,34 1.950,93 11.950,93
10 239,01 2.189,94 12.189,94
11 243,80 2.433,74 12.433,74
12 248,68 2.682,42 12.682,42

Sem reinvestir os juros Reinvestindo os juros
Meses Juro Mensal
(2%)
Juros
acumulados
Valor Futuro Juro Mensal
(2%)
Juros
acumulados
Valor Futuro
1 200,00 200,00 10.200,00 200,00 200,00 10.200,00
2 200,00 400,00 10.400,00 204,00 404,00 10.404,00
3 200,00 600,00 10.600,00 208,08 612,08 10.612,08
4 200,00 800,00 10.800,00 212,24 824,32 10.824,32
5 200,00 1.000,00 11.000,00 216,49 1.040,81 11.040,81
6 200,00 1.200,00 11.200,00 220,81 1.261,62 11.261,62
7 200,00 1.400,00 11.400,00 225,24 1.486,86 11.486,86
8 200,00 1.600,00 11.600,00 229,73 1.716,59 11.716,59
9 200,00 1.800,00 11.800,00 234,34 1.950,93 11.950,93
10 200,00 2.000,00 12.000,00 239,01 2.189,94 12.189,94
11 200,00 2.200,00 12.200,00 243,80 2.433,74 12.433,74
12 200,00 2.400,00 12.400,00 248,68 2.682,42 12.682,42

JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS
Meses Juro Mensal
(2%)
Juros
acumulados
Valor Futuro Juro Mensal
(2%)
Juros
acumulados
Valor Futuro
1 200,00 200,00 10.200,00 200,00 200,00 10.200,00
2 200,00 400,00 10.400,00 204,00 404,00 10.404,00
3 200,00 600,00 10.600,00 208,08 612,08 10.612,08
4 200,00 800,00 10.800,00 212,24 824,32 10.824,32
5 200,00 1.000,00 11.000,00 216,49 1.040,81 11.040,81
6 200,00 1.200,00 11.200,00 220,81 1.261,62 11.261,62
7 200,00 1.400,00 11.400,00 225,24 1.486,86 11.486,86
8 200,00 1.600,00 11.600,00 229,73 1.716,59 11.716,59
9 200,00 1.800,00 11.800,00 234,34 1.950,93 11.950,93
10 200,00 2.000,00 12.000,00 239,01 2.189,94 12.189,94
11 200,00 2.200,00 12.200,00 243,80 2.433,74 12.433,74
12 200,00 2.400,00 12.400,00 248,68 2.682,42 12.682,42

Característica Principal
Os juros gerados durante a operação são acumulados
SEM REMUNERAÇÃO até o final da operação, quando
são capitalizados.

Crescimento Linear
Ano Saldo Início do Ano Juros no Ano Saldo no final do Ano
1 1.000,00R$ 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 1.080,00R$
2 1.080,00R$ 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 1.160,00R$
3 1.160,00R$ 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 1.240,00R$
4 1.240,00R$ 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 1.320,00R$
R$ 500.000
R$ 600.000
R$ 700.000
R$ 800.000
R$ 900.000
R$ 1000.000
R$ 1100.000
R$ 1200.000
R$ 1300.000
R$ 1400.000
R$ 1500.000
1 2 3 4
Saldo

Fórmulas
Fórmula para Valor Futuro
Fórmula para Valor Presente
Fórmula para Taxa de Juros
Fórmula para Prazo
JurosSimples

Exercícios
1. Foram aplicados R$ 8.500,00 durante 5 meses com taxa de
juros de 2,14% ao mês. Calcule o valor do resgate no regime de
juros simples.
2. Suponha que você aplicou R$ 5.500,00 com taxa de juros de
1,45% ao mês (considere juro simples). Calcule o prazo
necessário para que a aplicação alcance R$ 6.058,25.
3. Foram aplicados R$ 3.000,00 durante 5 meses, no regime de
juros simples. Ao final do quinto mês foram resgatados R$
3.850,50. Calcule a taxa de juros da operação.

Fórmulas - Juros Compostos
JurosCompostos

Logaritmo
Logaritmo Neperiano
Também conhecido como Logaritmo Natural

Como calculo
o ln?
Assim...
ln 2 =

Exercício / Exemplo
• Qual o montante acumulado ao final de 8 meses de
uma aplicação de R$ 6.000,00 a uma taxa de juros
compostos de 1,2% a.m.?

Exemplo
• Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para
possibilitar um resgate de R$ 10.000,00 daqui a um
ano, a uma taxa de juros compostos constante de
2,2%a.m.

Exemplo
• Sabendo que R$ 1.000,00 foram transformados em R$
2.000,00, graças a uma taxa de 4% a.m., calcule o prazo
dessa operação.

Exemplo
• Um investimento de R$ 100.000,00 por 6 meses
rendeu R$ 41.852,00 de juros. Calcule a taxa a que
este capital estava aplicado.

Exercícios
1) Um investimento de R$ 650.000,00 será remunerado a uma taxa de
juros composto de 1,35% a.m. durante os 4 primeiros meses e com a
taxa de 1,24% a.m. durante os oito meses restantes da operação.
Calcule o valor do resgate após um ano de aplicação.
2) João vai necessitar de R$ 12.000,00 para a compra de um equipamento
daqui a 5 meses. O banco em que João possui conta oferece
remuneração de 2,5%a.m. para aplicação. Quanto João terá que
investir hoje para garantir a compra do equipamento tão esperado?

Exercícios
3) Qual a taxa de juro composto que permite dobrar o capital ao final de
2 anos?
4) Uma aplicação de R$ 3.600,00, com taxa de juro de 1,69% a.m. gerou
um resgate de R$ 4.116,50. Calcule quanto tempo foi necessário para
isso.

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FINANCEIRA

Descontos
• As operações de desconto representam a antecipação
do recebimento (ou pagamento) de valores futuros,
representados por títulos.

Desconto
• Como o dinheiro tem um valor no tempo, para
antecipar um valor futuro deve-se deduzir o custo de
oportunidade aplicando um desconto.
Capitalização
Levar do Presente para o Futuro
≠
Desconto
Trazer do Futuro para o Presente
VP
VF

Desconto
Desconto
Valor Futuro
Valor Nominal
Valor Presente
Valor Líquido

Desconto Por Dentro e Desconto Por Fora
100 11099
+ 10 %
- 10 %
Por
Dentro
Por Fora

Desconto Racional (Por Dentro)
• No Desconto Racional, ou por Dentro, a taxa incide
sobre o Valor Presente da operação.
JurosSimples

Desconto Comercial (Por Fora)
• No Desconto Comercial, ou por Fora, a taxa incide
sobre o Valor Futuro da operação.
JurosSimples

Exercícios
1. Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2
meses antes de seu vencimento à taxa de juros simples de
2,5% a.m.. Qual o valor recebido, considerando o desconto
bancário?
2. Qual o valor do desconto comercial de título de R$ 3.000,00
descontado 90 dias antes do vencimento à taxa de 2,5%a.m?

Desconto Racional (“por dentro”)
JurosCompostos

Desconto Comercial (“por fora”)
JurosCompostos

Exercícios
1. Qual o desconto racional de um título no valor de R$ 20.000,00 se ele
for pago 2 meses antes do vencimento a uma taxa de 3,5 % a.m. no
regime de juros compostos? Qual o valor a ser recebido?
2. Um título será quitado 6 meses antes de seu vencimento. Sabendo que
a taxa de juros cobrada “por dentro” é de 5 % a.m. e que o valor líquido
recebido foi de R$ 880,50, informe o valor nominal do título.

Exercícios
3. João comprou um imóvel na construção prometendo pagar R$
100.000,00 na entrega das chaves. Agora, faltando 4 meses para a
entrega das chaves, João recebeu um dinheiro extra e resolveu quitar
logo essa dívida. A construtora propõe um desconto bancário de 2% a.m..
Quanto João terá que desembolsar hoje?
4. Um cheque de R$ 15.000 descontado 3 meses antes do prazo a uma taxa
por fora de 7% a.m. resulta em que valor líquido?

Taxa Efetiva
• Taxa Efetiva é a taxa de juros em que a unidade
referencial de seu tempo coincide com a unidade de
tempo dos períodos de capitalização.
• Exemplos:
• 2% ao mês, capitalizados mensalmente;
• 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;
• 6% ao semestre, capitalizados semestralmente;
• 12% ao ano, capitalizados anualmente.

Taxas Proporcionais – Juros Simples
• Taxas Proporcionais são taxas de juros fornecidas
em unidade de tempo diferentes que, ao serem
aplicadas a um mesmo principal durante um
mesmo prazo, produzem um mesmo montante
acumulado no final daquele prazo, no regime de
juros simples.
12% ao ano = 6% ao semestre = 3% ao trimestre = 1% ao mês
Isso só vale para Juros Simples!!!

Exemplos
• Calcule as taxas proporcionais em
meses:
• 1% ao dia → 30% ao mês
• 12% ao ano → 1% ao mês
• 6% ao mês → 6% ao mês

Exercícios
• Calcule as Taxas Proporcionais:
• 2% ao mês, em anos;
• 1,5% ao dia em semestres;
• 30% ao ano, em trimestres;
• 60% ao semestre em dias.

Taxas Equivalentes – Juros Compostos
• Taxas Equivalentes são taxas de juros fornecidas
em unidades de tempo diferentes que ao serem
aplicadas a um mesmo principal durante um
mesmo prazo produzem um mesmo montante
acumulado no final daquele prazo, no regime de
juros compostos.
12,6825% ao ano = 6,1520% ao semestre = 1,0000% ao mês
Isso só vale para Juros Compostos!!!
(1+iano) = (1+isemestre)2 = (1+itrimestre)4 = (1+imês)12 = (1+idia)360

Taxas Equivalentes
Método de Cálculo
Encontre a taxa equivalente anual de 3% am.
Mês Ano
De mês para ano eu devo aumentar a taxa, pois o período aumentou
Relação entre mês e ano: 1 ano tem 12 meses

Taxas Equivalentes
Método de Cálculo
Encontre a taxa equivalente semestral de 36% aa.
Ano Semestre
De mês para ano eu devo diminuir a taxa, pois o período diminuiu
Relação entre ano e semestre: 1 ano tem 2 semestres

Resumo
Se o período AUMENTA:
Se o período DIMINUI:
Potência AUMENTA
Raiz DIMINUI

Exercícios
• Calcule as Taxas Equivalentes:
• 2% ao mês, em anos;
• 1,5% ao dia em semestres;
• 30% ao ano, em trimestres;
• 60% ao semestre em dias.

Taxa Nominal
• Taxa Nominal é a taxa de juros em que a unidade
referencial de seu tempo não coincide com a unidade de
tempo dos períodos de capitalização.
• Exemplo
• 12% ao ano, capitalizados mensalmente;
• 24% ao ano, capitalizados semestralmente;
• 10% ao ano, capitalizados trimestralmente;
• 18% ao ano, capitalizados diariamente.

Taxa Efetiva e Taxa Nominal
• 12% ao ano, capitalizados mensalmente; Nominal
Efetiva
• 18% ao ano, capitalizados diariamente; Nominal
Efetiva
Não se faz conta com Taxa Nominal.
Deve-se sempre encontrar a Taxa Efetiva.

Exercícios
• Calcule a taxa equivalente mensal a 15% am
capitalizados diariamente.
• Calcule a taxa anual equivalente a 20% as
capitalizados mensalmente.
• Calcule a taxa trimestral equivalente a 100%aa
capitalizados mensalmente.

Taxa Real
• A Taxa Real é aquela que expurga o efeito da
inflação no período. Dependendo dos casos, a
taxa real pode assumir valores negativos.
Podemos afirmar que a taxa real corresponde à
taxa efetiva corrigida pelo índice inflacionário do
período.

Exemplo – Taxa Real
Certa aplicação financeira obteve rendimento efetivo
de 6% ao ano. Sabendo que a taxa de inflação no
período foi de 4,9%, determine o ganho real dessa
aplicação.

Exemplo – Taxa Real
Certa categoria profissional obteve reajuste salarial de
7% ao ano. Sabendo que a inflação no período foi de
10%, determine o valor do reajuste real e interprete o
resultado.
Houve perda salarial!

Exercícios
• Um capital foi aplicado, por um ano, à taxa de juros
igual a 22% a.a. No mesmo período, a taxa de inflação
foi de 12%. Qual a taxa real de juros?
• Um capital foi aplicado por seis meses a uma taxa de
7% a.s. No mesmo período, a taxa de inflação foi de
9%. Qual a taxa real da aplicação?

Séries
Uniformes de
Pagamento

Fluxo de Caixa – Séries Uniformes

Tipos de Séries de Pagamento
• Postecipadas
• São aquelas em que os pagamentos ocorrem no final de
cada período e não na origem.
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
É a mais comum!

• Antecipadas
• Os pagamentos são feitos no início de cada período
respectivo.
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n

• Diferidas
• O período de carência constitui-se em um prazo que separa o
início da operação do período de pagamento da primeira
parcela.
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
Período de Carência

Fórmulas
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
VP
PMT

Exemplo
R$ 1.000,00 = 36 x R$ 42,53
taxa de 2,45% a.m.

Exemplo
Quanto custa este veículo se o
dono pede 24 x de R$ 499,00,
sem entrada, e a taxa de juros
média cobrada neste setor está
atualmente em 1,99% a.m.?

Exercícios
1. O Banco XYZ está oferecendo um empréstimo de R$
10.000,00 para pagar em 36 x com taxa de 3 % a.m. Qual
o valor da prestação?
2. A Caixa Econômica cobra 1,75% a.m. nos financiamentos
imobiliários. Se podemos pagar prestações de até R$
700,00 e o prazo máximo disponível é de 360 meses, qual
o valor que podemos pegar emprestado?

Exercícios
3. Quanto custa uma TV de LED que é
anunciada em 12 parcelas de R$ 220,00
a 4,5% a.m.?
4. Considerando a mesma taxa de juros,
quanto custaria se o parcelamento da
mesma TV fosse feito em 18 meses?

Séries Diferidas
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
Período de Carência
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
VP
VPcorrigido
0 1

Fórmulas
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
VPcorrigido
0 1
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
VP Período de Carência

Fórmulas
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
VPcorrigido
0 1
tempo
0 1 … n - 1 n
Uma vez corrigido o VP resolve-se como uma série Postecipada normal!

Exemplos
Um curso oferece uma promoção de inicie o curso agora e
só comece a pagar daqui a 3 meses.
Se o valor do curso é de R$ 3.000,00, a taxa de juros cobrada
é de 2,0 % a.m. e o curso deve ser pago em 6 parcelas,
determine o valor dessas parcelas.

Fluxo de Caixa do Exemplo
tempo
0 1 2 3 … 8 9
VP = R$ 3.000,00
Período de Carência = 3 meses
Período de Pagamento = 6 meses

tempo
0 1 2 3 … 8 9
VP = R$ 3.000,00
Período de Pagamento = 6 meses
VPcorrigido
0 1 5 6

tempo
0 1 2 3 4 5 6
R$ 3.121,20

Exercício
1. O BNDES financia caminhões com carência de 6 meses.
Se um caminhão custa R$ 120.000,00, podendo ser
financiado até 70% com juros de 2,85%a.m. em 36
meses após a carência, quanto custará a prestação?

Perpetuidade
R$ 10.000,00 10% R$ 11.000,00
R$ 1.000,00
R$ 10.000,00
Retiro
Sobra
Aplico

Perpetuidade
𝑉𝑃𝑃 =
𝑃𝑀𝑇
𝑖
No exemplo anterior... 𝑉𝑃𝑃 =
1.000
0,10
= 𝑅$ 10.000,00
VPP = Valor Presente da Anuidade
Plano de Previdência

Pagamento de Dívidas
R$ 1.000,00
R$
100,00
R$ 600,00
R$
100,00
Imagine a situação:
Você pegou R$ 1.000,00 emprestado para pagar
em 2 x R$ 600,00
R$ 600,00

R$ 1.000,00
R$ 500,00
R$
100,00
R$ 500,00
R$
100,00
Nos dois pagamentos de R$ 600,00 você deve devolver
os R$ 1.000,00 que foram emprestados e ainda
remunerar a pessoa pelo empréstimo (juros)
Devolver JUROS Devolver JUROS

Mas os dois pagamentos de R$ 600,00 também podem
ser feitos da seguinte forma:
R$
100,00
R$ 600,00
R$
100,00
Devolver Devolver JUROS
R$ 200,00R$ 400,00
Devolver JUROS
R$ 200,00R$ 400,00 R$ 600,00
Devolver
Ou ainda...

Sistema de Amortização
Como será paga a dívida!
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Sistema Price
Sistema de Amortização Mista (SAM)
Sistema Americano
Sistema Alemão

Conceito Básico
AMORTIZAÇÃO JUROS
PRESTAÇÃO
Prestação = Amortização + Juros

Sistema de Amortização Constante
VP = R$ 1.000,00
i = 3% am
n = 4 meses
período Saldo Devedor Juros Amortização PMT
0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ -
1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ 250,00 R$ 280,00
2 R$ 750,00 R$ 22,50 R$ 250,00 R$ 272,50
3 R$ 500,00 R$ 15,00 R$ 250,00 R$ 265,00
4 R$ 250,00 R$ 7,50 R$ 250,00 R$ 257,50
TOTAL R$ 1.000,00
Amortização = VP / n
PMT = Juros + Amortização

Sistema PRICE
VP = R$ 1.000,00
i = 3% am
n = 4 meses
0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ -
1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ 239,03 R$ 269,03
2 R$ 760,97 R$ 22,83 R$ 246,20 R$ 269,03
3 R$ 514,78 R$ 15,44 R$ 253,58 R$ 269,03
4 R$ 261,19 R$ 7,84 R$ 261,19 R$ 269,03
TOTAL R$ 1.000,00
Cálculo do PMT como em séries uniformes
Amortização = PMT - Juros

Sistema de Amortização Mista
VP = R$ 1.000,00
i = 3% am
n = 4 meses
0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ -
1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ 244,51 R$ 274,51
2 R$ 755,49 R$ 22,66 R$ 248,10 R$ 270,76
3 R$ 507,39 R$ 15,22 R$ 251,79 R$ 267,01
4 R$ 255,60 R$ 7,67 R$ 255,60 R$ 263,26
TOTAL R$ 1.000,00
Valores médios entre o SAC e o PRICE

Sistema de Amortização Americano
VP = R$ 1.000,00
i = 3% am
n = 4 meses
0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ -
1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ - R$ 30,00
2 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ - R$ 30,00
3 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ - R$ 30,00
4 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ 1.000,00 R$ 1.030,00
TOTAL R$ 1.000,00
Pagamento mensal de juros, com pagamento do principal no
final

Sistema de Pagamento Único
VP = R$ 1.000,00
i = 3% am
n = 4 meses
0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ -
1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ - R$ -
2 R$ 1.030,00 R$ 30,90 R$ - R$ -
3 R$ 1.060,90 R$ 31,83 R$ - R$ -
4 R$ 1.092,73 R$ 32,78 R$ 1.000,00 R$ 1.032,78
TOTAL R$ 1.000,00
Não há pagamento mensal. Tudo é acumulado e pago de uma
única vez, ao final do plano.

Payback
O método de avaliação do Payback informa o prazo necessário para o retorno do
investimento.
Esse método deve ser utilizado quando avaliamos projetos que não possuem
muita representatividade no patrimônio total.
Isso se deve ao fato de que o Payback possui alguns problemas:
• Desconsidera os fluxos de caixa posteriores ao retorno do investimento
• Desconsidera o valor do dinheiro no tempo
• Arbitrariedade da gerência
Necessidade de escolher o investimento
que dê retorno mais rápido, mas que
não dá o melhor retorno

Payback
• É o prazo de recuperação do investimento, isto é, o prazo no qual o
FC acumulado é igual a zero.
payback tempo

Payback Descontado
• Irá medir o prazo de retorno de um investimento. No entanto,
passará a considerar o valor do dinheiro no tempo, mas
continuará a ter os outros dois problemas existentes no Payback

VPL - Valor Presente Líquido
O valor presente líquido é a forma mais usual de se
avaliar um investimento.
Enquanto no Payback Descontado vamos trazendo a
valor presente todos os fluxos de caixa até o momento
da inversão de sinal, no valor presente líquido devemos
levar todos os fluxos de caixa para a data zero e efetuar
o somatório.
Utilizamos sinal positivo para os valores recebidos e
negativo para os valores aplicados.

VPL – Valor Presente Líquido
Tempo
Investimento Inicial
Fluxos de Caixa
Incrementais

VPL – Valor Presente Líquido
• Traduzindo a fórmula: O Valor Presente Líquido de um projeto será
a soma do valor presente de todos os fluxos de caixa do projeto,
desde a data zero (investimento) até o final do projeto;
• Caso o VPL seja um número positivo, isso significa que o valor
presente dos valores aplicados foi inferior ao valor presente dos
valores recebidos e, portanto, o investidor estaria ficando “mais
rico” a dinheiro de hoje do que se estivesse deixando de aplicar
naquele projeto;
• Por outro lado, se o VPL for um número negativo, isso significa que
o valor presente dos valores aplicados foi superior ao valor presente
dos valores recebidos e, portanto, o investidor estaria ficando “mais
pobre” a dinheiro de hoje do que se estivesse deixando de aplicar
naquele projeto.

TIR – Taxa Interna de Retorno
• É a taxa de juros que “zera” o Valor Presente Líquido – VPL de um
projeto qualquer

TIR – Taxa Interna de Retorno

Problemas com a TIR
a de existir mais de uma TIR ou mesmo não existir
nenhuma TIR
a de se supor que os fluxos de caixa são reinvestidos
à própria TIR
a de se supor que os investimentos (fluxos de caixa
negativos) são financiados a uma taxa igual à TIR
necessidade de se trabalhar com investimento
incremental quando se tem projetos mutuamente
excludentes, entre outros problemas

TIRM – Taxa Interna de Retorno
Modificada
Tempo
Leva os desembolsos para o
valor presente
Leva os recebimentos para o
valor futuro
VP
VF
i = TIRM

Na HP 12 C
n i VP PMT VF
VPL
TIR

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