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Matemática Financeira
Prof. Milton Henrique miltonhenrique@mhempresarial.com
Matemática Financeira
Prof. Milton Henrique
miltonhenrique@mhempresarial.com
Quem sou eu?
Prof. Milton Henrique do Couto Neto
miltonhenrique@mhempresarial.com
Administração, Estácio
Engenharia Mecânica, UFF
MBA em Gestão Empresarial, UVV
MBA em Marketing Empresarial, UVV
Mestrado Acadêmico em Administração, UFES
Pós-MBA em Inteligência Empresarial, FGV
http://lattes.cnpq.br/8394911895758599
https://br.linkedin.com/in/miltonhenrique
Experiência como Professor Universitário
(graduação e pós-graduação)
Disciplinas Lecionadas
Graduação
 Administração de Materiais
 Economia da Engenharia
 Economia Empresarial
 Empreendedorismo
 Engenharia de Manutenção e Confiabilidade
 Engenharia de Métodos
 Fundamentos da Administração
 Gestão de Marketing
 Gestão de Processos e Empresas
 Gestão de Vendas
 Gestão Financeira e Orçamentária
 Marketing de Relacionamento
 Matemática Básica
 Matemática Financeira
 Novas Abordagens em Administração
 Planejamento Estratégico da Produção
 Plano de Negócios
 Tópicos Especiais em Administração
Pós-Graduação
 Comportamento do Consumidor
 Consultoria de RH
 E-commerce e Marketing Digital
 Endomarketing e Comunicação Corporativa
 Estratégia Competitiva de Preços
 Estudo de Viabilidade Econômico Financeira
 Formação do Preço de Venda no Varejo
 Gestão de Tesouraria
 Marketing Competitivo, Criatividade e
Inovação
 Pesquisa de Marketing
 Políticas e Modelos de Financiamento
 Teoria do Desenvolvimento Organizacional
Experiência como Gestor
Empresário de
diversos setores
... 2006
2006 2012
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2013
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Outras Formas de Contato
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E vocês, quem são?
Roteiro
1. Introdução a Matemática Financeira
2. Juros Simples
3. Juros Compostos
4. Operações de Descontos
5. Taxa de Juros
6. Séries Uniformes de Pagamento
7. Perpetuidade
8. Sistemas de Amortização
9. Análise de Investimentos
Introdução a
Matemática
Financeira
Tempo e Dinheiro
Alguém aí me empresta
R$ 1.000,00 para eu
pagar no mês que
vem???
Dinheiro tem um custo associado ao tempo
Fatores que influenciam a preferência pela
posse atual do dinheiro:
• RISCO: Sempre haverá o risco de não recer os
valores programados em decorrência de
imprevistos;
• UTILIDADE: O investimento implica em não
consumir hoje para consumir no futuro;
• OPORTUNIDADE: A posse do dinheiro permite
aproveitar as oportunidades mais rentáveis que
aparecerem.
Matemática Financeira
Conjunto de técnicas e formulações extraídas da matemática, com
o objetivo de resolver problemas relacionados às Finanças de
modo geral e, que, basicamente, consistem no estudo do valor do
dinheiro no tempo.
Juro
Remuneração do capital, a
qualquer título.
a) Remuneração do capital empregado em atividades produtivas;
b) Custo do capital de terceiros;
c) Remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capial
nelas empregado.
Juro
O Juro J também é o resultado da diferença do capital
final F e do capital inicial P da operação financeira
conhecida:
J = F - P
O resultado do cálculo de J é um
valor monetário, um dado absoluto
que não identifica o prazo de
geração de J
Taxa de Juros
É a velocidade com que o Juros aumenta!
A taxa unitária I é o juro gerado
por uma unidade de capital inicial
$ 1 associado com o período de
tempo de geração do juro.
Taxa de Juros – Unidade de Medida
Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual
que sempre se refere a uma unidade de tempo (ano,
semestre, trimestre, mês, dia, etc.).
 Exemplo:
 12% a.a. = 12 % ao ano;
 4% a.s. = 4 % ao semestre;
 1% a.m. = 1 % ao mês
Variáveis Importantes
• Capital, Principal ou Valor Presente (C, P ou VP)
• É o recurso aplicado;
• Taxa (i)
• É o coeficiente obtido da relaçãoo dos juros (J) com o capital (C), que pode
ser representado em forma percentual ou unitária.
• Prazo ou Tempo ou Períodos (n)
• É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i),
necessita para produzir um montane (M).
• Montante ou Valor Futuro (M ou VF)
• É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação
comercial ou financeira após um determinado período de tempo.
Diagrama de
Fluxo de Caixa
(+) entradas
(-) saídas
Tempo (n)
Matemática Financeira
(+) entradas
(-) saídas
Tempo (n)
VP
VF
Calcular o valor do dinheiro no futuro
Por exemplo: Pedindo prazo para pagar
Matemática Financeira
(+) entradas
(-) saídas
Tempo (n)
VP
VF
Calcular o valor atual do dinheiro
Por exemplo: Antecipando um pagamento
Regime de Capitalização dos Juros
Juros Simples
Juros Compostos
Regimes de Capitalização
• Suponha que você tenha investido R$ 10.000,00 pelo
prazo de 12 meses com pagamento mensal de juro
calculado com a taxa de juro de 2% ao mês.
Regimes de Capitalização
Sem reinvestir os juros
Meses Juro Mensal
(2%)
Juros
acumulados
Valor Futuro
1 200,00 200,00 10.200,00
2 200,00 400,00 10.400,00
3 200,00 600,00 10.600,00
4 200,00 800,00 10.800,00
5 200,00 1.000,00 11.000,00
6 200,00 1.200,00 11.200,00
7 200,00 1.400,00 11.400,00
8 200,00 1.600,00 11.600,00
9 200,00 1.800,00 11.800,00
10 200,00 2.000,00 12.000,00
11 200,00 2.200,00 12.200,00
12 200,00 2.400,00 12.400,00
Regimes de Capitalização
Reinvestindo os juros
Meses Juro Mensal
(2%)
Juros
acumulados
Valor Futuro
1 200,00 200,00 10.200,00
2 204,00 404,00 10.404,00
3 208,08 612,08 10.612,08
4 212,24 824,32 10.824,32
5 216,49 1.040,81 11.040,81
6 220,81 1.261,62 11.261,62
7 225,24 1.486,86 11.486,86
8 229,73 1.716,59 11.716,59
9 234,34 1.950,93 11.950,93
10 239,01 2.189,94 12.189,94
11 243,80 2.433,74 12.433,74
12 248,68 2.682,42 12.682,42
Regimes de Capitalização
Sem reinvestir os juros Reinvestindo os juros
Meses Juro Mensal
(2%)
Juros
acumulados
Valor Futuro Juro Mensal
(2%)
Juros
acumulados
Valor Futuro
1 200,00 200,00 10.200,00 200,00 200,00 10.200,00
2 200,00 400,00 10.400,00 204,00 404,00 10.404,00
3 200,00 600,00 10.600,00 208,08 612,08 10.612,08
4 200,00 800,00 10.800,00 212,24 824,32 10.824,32
5 200,00 1.000,00 11.000,00 216,49 1.040,81 11.040,81
6 200,00 1.200,00 11.200,00 220,81 1.261,62 11.261,62
7 200,00 1.400,00 11.400,00 225,24 1.486,86 11.486,86
8 200,00 1.600,00 11.600,00 229,73 1.716,59 11.716,59
9 200,00 1.800,00 11.800,00 234,34 1.950,93 11.950,93
10 200,00 2.000,00 12.000,00 239,01 2.189,94 12.189,94
11 200,00 2.200,00 12.200,00 243,80 2.433,74 12.433,74
12 200,00 2.400,00 12.400,00 248,68 2.682,42 12.682,42
Regimes de Capitalização
JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS
Meses Juro Mensal
(2%)
Juros
acumulados
Valor Futuro Juro Mensal
(2%)
Juros
acumulados
Valor Futuro
1 200,00 200,00 10.200,00 200,00 200,00 10.200,00
2 200,00 400,00 10.400,00 204,00 404,00 10.404,00
3 200,00 600,00 10.600,00 208,08 612,08 10.612,08
4 200,00 800,00 10.800,00 212,24 824,32 10.824,32
5 200,00 1.000,00 11.000,00 216,49 1.040,81 11.040,81
6 200,00 1.200,00 11.200,00 220,81 1.261,62 11.261,62
7 200,00 1.400,00 11.400,00 225,24 1.486,86 11.486,86
8 200,00 1.600,00 11.600,00 229,73 1.716,59 11.716,59
9 200,00 1.800,00 11.800,00 234,34 1.950,93 11.950,93
10 200,00 2.000,00 12.000,00 239,01 2.189,94 12.189,94
11 200,00 2.200,00 12.200,00 243,80 2.433,74 12.433,74
12 200,00 2.400,00 12.400,00 248,68 2.682,42 12.682,42
Juros Simples
Característica Principal
Os juros gerados durante a operação são acumulados
SEM REMUNERAÇÃO até o final da operação, quando
são capitalizados.
Crescimento Linear
Ano Saldo Início do Ano Juros no Ano Saldo no final do Ano
1 1.000,00R$ 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 1.080,00R$
2 1.080,00R$ 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 1.160,00R$
3 1.160,00R$ 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 1.240,00R$
4 1.240,00R$ 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 1.320,00R$
R$ 500.000
R$ 600.000
R$ 700.000
R$ 800.000
R$ 900.000
R$ 1000.000
R$ 1100.000
R$ 1200.000
R$ 1300.000
R$ 1400.000
R$ 1500.000
1 2 3 4
Saldo
Fórmulas
Fórmula para Valor Futuro
Fórmula para Valor Presente
Fórmula para Taxa de Juros
Fórmula para Prazo
JurosSimples
Exercícios
1. Foram aplicados R$ 8.500,00 durante 5 meses com taxa de
juros de 2,14% ao mês. Calcule o valor do resgate no regime de
juros simples.
2. Suponha que você aplicou R$ 5.500,00 com taxa de juros de
1,45% ao mês (considere juro simples). Calcule o prazo
necessário para que a aplicação alcance R$ 6.058,25.
3. Foram aplicados R$ 3.000,00 durante 5 meses, no regime de
juros simples. Ao final do quinto mês foram resgatados R$
3.850,50. Calcule a taxa de juros da operação.
Juros
Compostos
Juros sobre Juros
Fórmulas - Juros Compostos
JurosCompostos
Logaritmo
Logaritmo Neperiano
Também conhecido como Logaritmo Natural
Como calculo
o ln?
Assim...
ln 2 =
Exercício / Exemplo
• Qual o montante acumulado ao final de 8 meses de
uma aplicação de R$ 6.000,00 a uma taxa de juros
compostos de 1,2% a.m.?
Exemplo
• Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para
possibilitar um resgate de R$ 10.000,00 daqui a um
ano, a uma taxa de juros compostos constante de
2,2%a.m.
Exemplo
• Sabendo que R$ 1.000,00 foram transformados em R$
2.000,00, graças a uma taxa de 4% a.m., calcule o prazo
dessa operação.
Exemplo
• Um investimento de R$ 100.000,00 por 6 meses
rendeu R$ 41.852,00 de juros. Calcule a taxa a que
este capital estava aplicado.
Exercícios
1) Um investimento de R$ 650.000,00 será remunerado a uma taxa de
juros composto de 1,35% a.m. durante os 4 primeiros meses e com a
taxa de 1,24% a.m. durante os oito meses restantes da operação.
Calcule o valor do resgate após um ano de aplicação.
2) João vai necessitar de R$ 12.000,00 para a compra de um equipamento
daqui a 5 meses. O banco em que João possui conta oferece
remuneração de 2,5%a.m. para aplicação. Quanto João terá que
investir hoje para garantir a compra do equipamento tão esperado?
Exercícios
3) Qual a taxa de juro composto que permite dobrar o capital ao final de
2 anos?
4) Uma aplicação de R$ 3.600,00, com taxa de juro de 1,69% a.m. gerou
um resgate de R$ 4.116,50. Calcule quanto tempo foi necessário para
isso.
Na HP 12 C
n i VP VF
No Excel Inserir Funções
Selecionar
FINANCEIRA
No Excel - VP
No Excel - VF
No Excel - i
No Excel - n
Operações de
Descontos
Descontos
• As operações de desconto representam a antecipação
do recebimento (ou pagamento) de valores futuros,
representados por títulos.
Desconto
• Como o dinheiro tem um valor no tempo, para
antecipar um valor futuro deve-se deduzir o custo de
oportunidade aplicando um desconto.
Capitalização
Levar do Presente para o Futuro
≠
Desconto
Trazer do Futuro para o Presente
VP
VF
Desconto
Desconto
Valor Futuro
Valor Nominal
Valor Presente
Valor Líquido
Desconto Por Dentro e Desconto Por Fora
100 11099
+ 10 %
- 10 %
Por
Dentro
Por Fora
Desconto Racional (Por Dentro)
• No Desconto Racional, ou por Dentro, a taxa incide
sobre o Valor Presente da operação.
JurosSimples
Desconto Comercial (Por Fora)
• No Desconto Comercial, ou por Fora, a taxa incide
sobre o Valor Futuro da operação.
JurosSimples
Exercícios
1. Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2
meses antes de seu vencimento à taxa de juros simples de
2,5% a.m.. Qual o valor recebido, considerando o desconto
bancário?
2. Qual o valor do desconto comercial de título de R$ 3.000,00
descontado 90 dias antes do vencimento à taxa de 2,5%a.m?
Desconto Racional (“por dentro”)
JurosCompostos
Desconto Comercial (“por fora”)
JurosCompostos
Exercícios
1. Qual o desconto racional de um título no valor de R$ 20.000,00 se ele
for pago 2 meses antes do vencimento a uma taxa de 3,5 % a.m. no
regime de juros compostos? Qual o valor a ser recebido?
2. Um título será quitado 6 meses antes de seu vencimento. Sabendo que
a taxa de juros cobrada “por dentro” é de 5 % a.m. e que o valor líquido
recebido foi de R$ 880,50, informe o valor nominal do título.
Exercícios
3. João comprou um imóvel na construção prometendo pagar R$
100.000,00 na entrega das chaves. Agora, faltando 4 meses para a
entrega das chaves, João recebeu um dinheiro extra e resolveu quitar
logo essa dívida. A construtora propõe um desconto bancário de 2% a.m..
Quanto João terá que desembolsar hoje?
4. Um cheque de R$ 15.000 descontado 3 meses antes do prazo a uma taxa
por fora de 7% a.m. resulta em que valor líquido?
Taxas de Juros
Taxa Efetiva
• Taxa Efetiva é a taxa de juros em que a unidade
referencial de seu tempo coincide com a unidade de
tempo dos períodos de capitalização.
• Exemplos:
• 2% ao mês, capitalizados mensalmente;
• 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;
• 6% ao semestre, capitalizados semestralmente;
• 12% ao ano, capitalizados anualmente.
Taxas Proporcionais – Juros Simples
• Taxas Proporcionais são taxas de juros fornecidas
em unidade de tempo diferentes que, ao serem
aplicadas a um mesmo principal durante um
mesmo prazo, produzem um mesmo montante
acumulado no final daquele prazo, no regime de
juros simples.
12% ao ano = 6% ao semestre = 3% ao trimestre = 1% ao mês
Isso só vale para Juros Simples!!!
Exemplos
• Calcule as taxas proporcionais em
meses:
• 1% ao dia → 30% ao mês
• 12% ao ano → 1% ao mês
• 6% ao mês → 6% ao mês
Exercícios
• Calcule as Taxas Proporcionais:
• 2% ao mês, em anos;
• 1,5% ao dia em semestres;
• 30% ao ano, em trimestres;
• 60% ao semestre em dias.
Taxas Equivalentes – Juros Compostos
• Taxas Equivalentes são taxas de juros fornecidas
em unidades de tempo diferentes que ao serem
aplicadas a um mesmo principal durante um
mesmo prazo produzem um mesmo montante
acumulado no final daquele prazo, no regime de
juros compostos.
12,6825% ao ano = 6,1520% ao semestre = 1,0000% ao mês
Isso só vale para Juros Compostos!!!
(1+iano) = (1+isemestre)2 = (1+itrimestre)4 = (1+imês)12 = (1+idia)360
Taxas Equivalentes
Método de Cálculo
Encontre a taxa equivalente anual de 3% am.
Mês Ano
De mês para ano eu devo aumentar a taxa, pois o período aumentou
Relação entre mês e ano: 1 ano tem 12 meses
Taxas Equivalentes
Método de Cálculo
Encontre a taxa equivalente semestral de 36% aa.
Ano Semestre
De mês para ano eu devo diminuir a taxa, pois o período diminuiu
Relação entre ano e semestre: 1 ano tem 2 semestres
Resumo
Se o período AUMENTA:
Se o período DIMINUI:
Potência AUMENTA
Raiz DIMINUI
Exemplos
Exercícios
• Calcule as Taxas Equivalentes:
• 2% ao mês, em anos;
• 1,5% ao dia em semestres;
• 30% ao ano, em trimestres;
• 60% ao semestre em dias.
Taxa Nominal
• Taxa Nominal é a taxa de juros em que a unidade
referencial de seu tempo não coincide com a unidade de
tempo dos períodos de capitalização.
• Exemplo
• 12% ao ano, capitalizados mensalmente;
• 24% ao ano, capitalizados semestralmente;
• 10% ao ano, capitalizados trimestralmente;
• 18% ao ano, capitalizados diariamente.
Taxa Efetiva e Taxa Nominal
• 12% ao ano, capitalizados mensalmente; Nominal
Efetiva
• 18% ao ano, capitalizados diariamente; Nominal
Efetiva
Não se faz conta com Taxa Nominal.
Deve-se sempre encontrar a Taxa Efetiva.
Exercícios
• Calcule a taxa equivalente mensal a 15% am
capitalizados diariamente.
• Calcule a taxa anual equivalente a 20% as
capitalizados mensalmente.
• Calcule a taxa trimestral equivalente a 100%aa
capitalizados mensalmente.
Taxa Real
• A Taxa Real é aquela que expurga o efeito da
inflação no período. Dependendo dos casos, a
taxa real pode assumir valores negativos.
Podemos afirmar que a taxa real corresponde à
taxa efetiva corrigida pelo índice inflacionário do
período.
Exemplo – Taxa Real
Certa aplicação financeira obteve rendimento efetivo
de 6% ao ano. Sabendo que a taxa de inflação no
período foi de 4,9%, determine o ganho real dessa
aplicação.
Exemplo – Taxa Real
Certa categoria profissional obteve reajuste salarial de
7% ao ano. Sabendo que a inflação no período foi de
10%, determine o valor do reajuste real e interprete o
resultado.
Houve perda salarial!
Exercícios
• Um capital foi aplicado, por um ano, à taxa de juros
igual a 22% a.a. No mesmo período, a taxa de inflação
foi de 12%. Qual a taxa real de juros?
• Um capital foi aplicado por seis meses a uma taxa de
7% a.s. No mesmo período, a taxa de inflação foi de
9%. Qual a taxa real da aplicação?
Séries
Uniformes de
Pagamento
Fluxo de Caixa – Séries Uniformes
Tipos de Séries de Pagamento
• Postecipadas
• São aquelas em que os pagamentos ocorrem no final de
cada período e não na origem.
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
É a mais comum!
Tipos de Séries de Pagamento
• Antecipadas
• Os pagamentos são feitos no início de cada período
respectivo.
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
Tipos de Séries de Pagamento
• Diferidas
• O período de carência constitui-se em um prazo que separa o
início da operação do período de pagamento da primeira
parcela.
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
Período de Carência
Fórmulas
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
VP
PMT
Exemplo
R$ 1.000,00 = 36 x R$ 42,53
taxa de 2,45% a.m.
Exemplo
Quanto custa este veículo se o
dono pede 24 x de R$ 499,00,
sem entrada, e a taxa de juros
média cobrada neste setor está
atualmente em 1,99% a.m.?
Na HP 12 C
n i VP PMT VF
No Excel Inserir Funções
Selecionar
FINANCEIRA
No Excel - PMT
Exercícios
1. O Banco XYZ está oferecendo um empréstimo de R$
10.000,00 para pagar em 36 x com taxa de 3 % a.m. Qual
o valor da prestação?
2. A Caixa Econômica cobra 1,75% a.m. nos financiamentos
imobiliários. Se podemos pagar prestações de até R$
700,00 e o prazo máximo disponível é de 360 meses, qual
o valor que podemos pegar emprestado?
Exercícios
3. Quanto custa uma TV de LED que é
anunciada em 12 parcelas de R$ 220,00
a 4,5% a.m.?
4. Considerando a mesma taxa de juros,
quanto custaria se o parcelamento da
mesma TV fosse feito em 18 meses?
Séries Diferidas
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
Período de Carência
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
VP
VPcorrigido
0 1
Fórmulas
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
VPcorrigido
0 1
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
VP Período de Carência
Fórmulas
tempo
0 1 2 3 … n - 1 n
VPcorrigido
0 1
tempo
0 1 … n - 1 n
Uma vez corrigido o VP resolve-se como uma série Postecipada normal!
Exemplos
Um curso oferece uma promoção de inicie o curso agora e
só comece a pagar daqui a 3 meses.
Se o valor do curso é de R$ 3.000,00, a taxa de juros cobrada
é de 2,0 % a.m. e o curso deve ser pago em 6 parcelas,
determine o valor dessas parcelas.
Fluxo de Caixa do Exemplo
tempo
0 1 2 3 … 8 9
VP = R$ 3.000,00
Período de Carência = 3 meses
Período de Pagamento = 6 meses
Fluxo de Caixa do Exemplo
tempo
0 1 2 3 … 8 9
VP = R$ 3.000,00
Período de Pagamento = 6 meses
VPcorrigido
0 1 5 6
Fluxo de Caixa do Exemplo
tempo
0 1 2 3 4 5 6
R$ 3.121,20
Exercício
1. O BNDES financia caminhões com carência de 6 meses.
Se um caminhão custa R$ 120.000,00, podendo ser
financiado até 70% com juros de 2,85%a.m. em 36
meses após a carência, quanto custará a prestação?
Perpetuidade
Perpetuidade
R$ 10.000,00 10% R$ 11.000,00
R$ 1.000,00
R$ 10.000,00
Retiro
Sobra
Aplico
Perpetuidade
𝑉𝑃𝑃 =
𝑃𝑀𝑇
𝑖
No exemplo anterior... 𝑉𝑃𝑃 =
1.000
0,10
= 𝑅$ 10.000,00
VPP = Valor Presente da Anuidade
Plano de Previdência
Sistemas de
Amortização
Pagamento de Dívidas
R$ 1.000,00
R$
100,00
R$ 600,00
R$
100,00
Imagine a situação:
Você pegou R$ 1.000,00 emprestado para pagar
em 2 x R$ 600,00
R$ 600,00
Pagamento de Dívidas
R$ 1.000,00
R$ 500,00
R$
100,00
R$ 500,00
R$
100,00
Nos dois pagamentos de R$ 600,00 você deve devolver
os R$ 1.000,00 que foram emprestados e ainda
remunerar a pessoa pelo empréstimo (juros)
Devolver JUROS Devolver JUROS
Pagamento de Dívidas
Mas os dois pagamentos de R$ 600,00 também podem
ser feitos da seguinte forma:
R$
100,00
R$ 600,00
R$
100,00
Devolver Devolver JUROS
R$ 200,00R$ 400,00
Devolver JUROS
R$ 200,00R$ 400,00 R$ 600,00
Devolver
Ou ainda...
Sistema de Amortização
Como será paga a dívida!
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Sistema Price
Sistema de Amortização Mista (SAM)
Sistema Americano
Sistema Alemão
Conceito Básico
AMORTIZAÇÃO JUROS
PRESTAÇÃO
Prestação = Amortização + Juros
Sistema de Amortização Constante
VP = R$ 1.000,00
i = 3% am
n = 4 meses
período Saldo Devedor Juros Amortização PMT
0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ -
1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ 250,00 R$ 280,00
2 R$ 750,00 R$ 22,50 R$ 250,00 R$ 272,50
3 R$ 500,00 R$ 15,00 R$ 250,00 R$ 265,00
4 R$ 250,00 R$ 7,50 R$ 250,00 R$ 257,50
TOTAL R$ 1.000,00
Amortização = VP / n
PMT = Juros + Amortização
Sistema PRICE
VP = R$ 1.000,00
i = 3% am
n = 4 meses
período Saldo Devedor Juros Amortização PMT
0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ -
1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ 239,03 R$ 269,03
2 R$ 760,97 R$ 22,83 R$ 246,20 R$ 269,03
3 R$ 514,78 R$ 15,44 R$ 253,58 R$ 269,03
4 R$ 261,19 R$ 7,84 R$ 261,19 R$ 269,03
TOTAL R$ 1.000,00
Cálculo do PMT como em séries uniformes
Amortização = PMT - Juros
Sistema de Amortização Mista
VP = R$ 1.000,00
i = 3% am
n = 4 meses
período Saldo Devedor Juros Amortização PMT
0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ -
1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ 244,51 R$ 274,51
2 R$ 755,49 R$ 22,66 R$ 248,10 R$ 270,76
3 R$ 507,39 R$ 15,22 R$ 251,79 R$ 267,01
4 R$ 255,60 R$ 7,67 R$ 255,60 R$ 263,26
TOTAL R$ 1.000,00
Valores médios entre o SAC e o PRICE
Sistema de Amortização Americano
VP = R$ 1.000,00
i = 3% am
n = 4 meses
período Saldo Devedor Juros Amortização PMT
0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ -
1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ - R$ 30,00
2 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ - R$ 30,00
3 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ - R$ 30,00
4 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ 1.000,00 R$ 1.030,00
TOTAL R$ 1.000,00
Pagamento mensal de juros, com pagamento do principal no
final
Sistema de Pagamento Único
VP = R$ 1.000,00
i = 3% am
n = 4 meses
período Saldo Devedor Juros Amortização PMT
0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ -
1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ - R$ -
2 R$ 1.030,00 R$ 30,90 R$ - R$ -
3 R$ 1.060,90 R$ 31,83 R$ - R$ -
4 R$ 1.092,73 R$ 32,78 R$ 1.000,00 R$ 1.032,78
TOTAL R$ 1.000,00
Não há pagamento mensal. Tudo é acumulado e pago de uma
única vez, ao final do plano.
Análise de
Investimentos
Payback
O método de avaliação do Payback informa o prazo necessário para o retorno do
investimento.
Esse método deve ser utilizado quando avaliamos projetos que não possuem
muita representatividade no patrimônio total.
Isso se deve ao fato de que o Payback possui alguns problemas:
• Desconsidera os fluxos de caixa posteriores ao retorno do investimento
• Desconsidera o valor do dinheiro no tempo
• Arbitrariedade da gerência
Necessidade de escolher o investimento
que dê retorno mais rápido, mas que
não dá o melhor retorno
Payback
• É o prazo de recuperação do investimento, isto é, o prazo no qual o
FC acumulado é igual a zero.
payback tempo
Payback Descontado
• Irá medir o prazo de retorno de um investimento. No entanto,
passará a considerar o valor do dinheiro no tempo, mas
continuará a ter os outros dois problemas existentes no Payback
VPL - Valor Presente Líquido
O valor presente líquido é a forma mais usual de se
avaliar um investimento.
Enquanto no Payback Descontado vamos trazendo a
valor presente todos os fluxos de caixa até o momento
da inversão de sinal, no valor presente líquido devemos
levar todos os fluxos de caixa para a data zero e efetuar
o somatório.
Utilizamos sinal positivo para os valores recebidos e
negativo para os valores aplicados.
VPL – Valor Presente Líquido
Tempo
Investimento Inicial
Fluxos de Caixa
Incrementais
VPL – Valor Presente Líquido
• Traduzindo a fórmula: O Valor Presente Líquido de um projeto será
a soma do valor presente de todos os fluxos de caixa do projeto,
desde a data zero (investimento) até o final do projeto;
• Caso o VPL seja um número positivo, isso significa que o valor
presente dos valores aplicados foi inferior ao valor presente dos
valores recebidos e, portanto, o investidor estaria ficando “mais
rico” a dinheiro de hoje do que se estivesse deixando de aplicar
naquele projeto;
• Por outro lado, se o VPL for um número negativo, isso significa que
o valor presente dos valores aplicados foi superior ao valor presente
dos valores recebidos e, portanto, o investidor estaria ficando “mais
pobre” a dinheiro de hoje do que se estivesse deixando de aplicar
naquele projeto.
TIR – Taxa Interna de Retorno
• É a taxa de juros que “zera” o Valor Presente Líquido – VPL de um
projeto qualquer
TIR – Taxa Interna de Retorno
Problemas com a TIR
a de existir mais de uma TIR ou mesmo não existir
nenhuma TIR
a de se supor que os fluxos de caixa são reinvestidos
à própria TIR
a de se supor que os investimentos (fluxos de caixa
negativos) são financiados a uma taxa igual à TIR
necessidade de se trabalhar com investimento
incremental quando se tem projetos mutuamente
excludentes, entre outros problemas
TIRM – Taxa Interna de Retorno
Modificada
Tempo
Leva os desembolsos para o
valor presente
Leva os recebimentos para o
valor futuro
VP
VF
i = TIRM
Na HP 12 C
n i VP PMT VF
VPL
TIR
No Excel Inserir Funções
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FINANCEIRA
No Excel - VPL
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  • 2. Matemática Financeira Prof. Milton Henrique miltonhenrique@mhempresarial.com
  • 3. Quem sou eu? Prof. Milton Henrique do Couto Neto miltonhenrique@mhempresarial.com Administração, Estácio Engenharia Mecânica, UFF MBA em Gestão Empresarial, UVV MBA em Marketing Empresarial, UVV Mestrado Acadêmico em Administração, UFES Pós-MBA em Inteligência Empresarial, FGV http://lattes.cnpq.br/8394911895758599 https://br.linkedin.com/in/miltonhenrique
  • 4. Experiência como Professor Universitário (graduação e pós-graduação)
  • 5. Disciplinas Lecionadas Graduação  Administração de Materiais  Economia da Engenharia  Economia Empresarial  Empreendedorismo  Engenharia de Manutenção e Confiabilidade  Engenharia de Métodos  Fundamentos da Administração  Gestão de Marketing  Gestão de Processos e Empresas  Gestão de Vendas  Gestão Financeira e Orçamentária  Marketing de Relacionamento  Matemática Básica  Matemática Financeira  Novas Abordagens em Administração  Planejamento Estratégico da Produção  Plano de Negócios  Tópicos Especiais em Administração Pós-Graduação  Comportamento do Consumidor  Consultoria de RH  E-commerce e Marketing Digital  Endomarketing e Comunicação Corporativa  Estratégia Competitiva de Preços  Estudo de Viabilidade Econômico Financeira  Formação do Preço de Venda no Varejo  Gestão de Tesouraria  Marketing Competitivo, Criatividade e Inovação  Pesquisa de Marketing  Políticas e Modelos de Financiamento  Teoria do Desenvolvimento Organizacional
  • 6. Experiência como Gestor Empresário de diversos setores ... 2006 2006 2012 2012 2013 2013 20152014 2008 2016
  • 9. Este e outros arquivos estão disponíveis para download no www.slideshare.net/miltonh
  • 10. E vocês, quem são?
  • 11. Roteiro 1. Introdução a Matemática Financeira 2. Juros Simples 3. Juros Compostos 4. Operações de Descontos 5. Taxa de Juros 6. Séries Uniformes de Pagamento 7. Perpetuidade 8. Sistemas de Amortização 9. Análise de Investimentos
  • 13. Tempo e Dinheiro Alguém aí me empresta R$ 1.000,00 para eu pagar no mês que vem???
  • 14. Dinheiro tem um custo associado ao tempo Fatores que influenciam a preferência pela posse atual do dinheiro: • RISCO: Sempre haverá o risco de não recer os valores programados em decorrência de imprevistos; • UTILIDADE: O investimento implica em não consumir hoje para consumir no futuro; • OPORTUNIDADE: A posse do dinheiro permite aproveitar as oportunidades mais rentáveis que aparecerem.
  • 15. Matemática Financeira Conjunto de técnicas e formulações extraídas da matemática, com o objetivo de resolver problemas relacionados às Finanças de modo geral e, que, basicamente, consistem no estudo do valor do dinheiro no tempo.
  • 16. Juro Remuneração do capital, a qualquer título. a) Remuneração do capital empregado em atividades produtivas; b) Custo do capital de terceiros; c) Remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capial nelas empregado.
  • 17. Juro O Juro J também é o resultado da diferença do capital final F e do capital inicial P da operação financeira conhecida: J = F - P O resultado do cálculo de J é um valor monetário, um dado absoluto que não identifica o prazo de geração de J
  • 18. Taxa de Juros É a velocidade com que o Juros aumenta! A taxa unitária I é o juro gerado por uma unidade de capital inicial $ 1 associado com o período de tempo de geração do juro.
  • 19. Taxa de Juros – Unidade de Medida Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo (ano, semestre, trimestre, mês, dia, etc.).  Exemplo:  12% a.a. = 12 % ao ano;  4% a.s. = 4 % ao semestre;  1% a.m. = 1 % ao mês
  • 20. Variáveis Importantes • Capital, Principal ou Valor Presente (C, P ou VP) • É o recurso aplicado; • Taxa (i) • É o coeficiente obtido da relaçãoo dos juros (J) com o capital (C), que pode ser representado em forma percentual ou unitária. • Prazo ou Tempo ou Períodos (n) • É o tempo necessário que um certo capital (C), aplicado a uma taxa (i), necessita para produzir um montane (M). • Montante ou Valor Futuro (M ou VF) • É a quantidade monetária acumulada resultante de uma operação comercial ou financeira após um determinado período de tempo.
  • 21. Diagrama de Fluxo de Caixa (+) entradas (-) saídas Tempo (n)
  • 22. Matemática Financeira (+) entradas (-) saídas Tempo (n) VP VF Calcular o valor do dinheiro no futuro Por exemplo: Pedindo prazo para pagar
  • 23. Matemática Financeira (+) entradas (-) saídas Tempo (n) VP VF Calcular o valor atual do dinheiro Por exemplo: Antecipando um pagamento
  • 24. Regime de Capitalização dos Juros Juros Simples Juros Compostos
  • 25. Regimes de Capitalização • Suponha que você tenha investido R$ 10.000,00 pelo prazo de 12 meses com pagamento mensal de juro calculado com a taxa de juro de 2% ao mês.
  • 26. Regimes de Capitalização Sem reinvestir os juros Meses Juro Mensal (2%) Juros acumulados Valor Futuro 1 200,00 200,00 10.200,00 2 200,00 400,00 10.400,00 3 200,00 600,00 10.600,00 4 200,00 800,00 10.800,00 5 200,00 1.000,00 11.000,00 6 200,00 1.200,00 11.200,00 7 200,00 1.400,00 11.400,00 8 200,00 1.600,00 11.600,00 9 200,00 1.800,00 11.800,00 10 200,00 2.000,00 12.000,00 11 200,00 2.200,00 12.200,00 12 200,00 2.400,00 12.400,00
  • 27. Regimes de Capitalização Reinvestindo os juros Meses Juro Mensal (2%) Juros acumulados Valor Futuro 1 200,00 200,00 10.200,00 2 204,00 404,00 10.404,00 3 208,08 612,08 10.612,08 4 212,24 824,32 10.824,32 5 216,49 1.040,81 11.040,81 6 220,81 1.261,62 11.261,62 7 225,24 1.486,86 11.486,86 8 229,73 1.716,59 11.716,59 9 234,34 1.950,93 11.950,93 10 239,01 2.189,94 12.189,94 11 243,80 2.433,74 12.433,74 12 248,68 2.682,42 12.682,42
  • 28. Regimes de Capitalização Sem reinvestir os juros Reinvestindo os juros Meses Juro Mensal (2%) Juros acumulados Valor Futuro Juro Mensal (2%) Juros acumulados Valor Futuro 1 200,00 200,00 10.200,00 200,00 200,00 10.200,00 2 200,00 400,00 10.400,00 204,00 404,00 10.404,00 3 200,00 600,00 10.600,00 208,08 612,08 10.612,08 4 200,00 800,00 10.800,00 212,24 824,32 10.824,32 5 200,00 1.000,00 11.000,00 216,49 1.040,81 11.040,81 6 200,00 1.200,00 11.200,00 220,81 1.261,62 11.261,62 7 200,00 1.400,00 11.400,00 225,24 1.486,86 11.486,86 8 200,00 1.600,00 11.600,00 229,73 1.716,59 11.716,59 9 200,00 1.800,00 11.800,00 234,34 1.950,93 11.950,93 10 200,00 2.000,00 12.000,00 239,01 2.189,94 12.189,94 11 200,00 2.200,00 12.200,00 243,80 2.433,74 12.433,74 12 200,00 2.400,00 12.400,00 248,68 2.682,42 12.682,42
  • 29. Regimes de Capitalização JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTOS Meses Juro Mensal (2%) Juros acumulados Valor Futuro Juro Mensal (2%) Juros acumulados Valor Futuro 1 200,00 200,00 10.200,00 200,00 200,00 10.200,00 2 200,00 400,00 10.400,00 204,00 404,00 10.404,00 3 200,00 600,00 10.600,00 208,08 612,08 10.612,08 4 200,00 800,00 10.800,00 212,24 824,32 10.824,32 5 200,00 1.000,00 11.000,00 216,49 1.040,81 11.040,81 6 200,00 1.200,00 11.200,00 220,81 1.261,62 11.261,62 7 200,00 1.400,00 11.400,00 225,24 1.486,86 11.486,86 8 200,00 1.600,00 11.600,00 229,73 1.716,59 11.716,59 9 200,00 1.800,00 11.800,00 234,34 1.950,93 11.950,93 10 200,00 2.000,00 12.000,00 239,01 2.189,94 12.189,94 11 200,00 2.200,00 12.200,00 243,80 2.433,74 12.433,74 12 200,00 2.400,00 12.400,00 248,68 2.682,42 12.682,42
  • 31. Característica Principal Os juros gerados durante a operação são acumulados SEM REMUNERAÇÃO até o final da operação, quando são capitalizados.
  • 32. Crescimento Linear Ano Saldo Início do Ano Juros no Ano Saldo no final do Ano 1 1.000,00R$ 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 1.080,00R$ 2 1.080,00R$ 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 1.160,00R$ 3 1.160,00R$ 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 1.240,00R$ 4 1.240,00R$ 8% x R$ 1.000,00 = R$ 80,00 1.320,00R$ R$ 500.000 R$ 600.000 R$ 700.000 R$ 800.000 R$ 900.000 R$ 1000.000 R$ 1100.000 R$ 1200.000 R$ 1300.000 R$ 1400.000 R$ 1500.000 1 2 3 4 Saldo
  • 33. Fórmulas Fórmula para Valor Futuro Fórmula para Valor Presente Fórmula para Taxa de Juros Fórmula para Prazo JurosSimples
  • 34. Exercícios 1. Foram aplicados R$ 8.500,00 durante 5 meses com taxa de juros de 2,14% ao mês. Calcule o valor do resgate no regime de juros simples. 2. Suponha que você aplicou R$ 5.500,00 com taxa de juros de 1,45% ao mês (considere juro simples). Calcule o prazo necessário para que a aplicação alcance R$ 6.058,25. 3. Foram aplicados R$ 3.000,00 durante 5 meses, no regime de juros simples. Ao final do quinto mês foram resgatados R$ 3.850,50. Calcule a taxa de juros da operação.
  • 37. Fórmulas - Juros Compostos JurosCompostos
  • 40. Exercício / Exemplo • Qual o montante acumulado ao final de 8 meses de uma aplicação de R$ 6.000,00 a uma taxa de juros compostos de 1,2% a.m.?
  • 41. Exemplo • Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para possibilitar um resgate de R$ 10.000,00 daqui a um ano, a uma taxa de juros compostos constante de 2,2%a.m.
  • 42. Exemplo • Sabendo que R$ 1.000,00 foram transformados em R$ 2.000,00, graças a uma taxa de 4% a.m., calcule o prazo dessa operação.
  • 43. Exemplo • Um investimento de R$ 100.000,00 por 6 meses rendeu R$ 41.852,00 de juros. Calcule a taxa a que este capital estava aplicado.
  • 44. Exercícios 1) Um investimento de R$ 650.000,00 será remunerado a uma taxa de juros composto de 1,35% a.m. durante os 4 primeiros meses e com a taxa de 1,24% a.m. durante os oito meses restantes da operação. Calcule o valor do resgate após um ano de aplicação. 2) João vai necessitar de R$ 12.000,00 para a compra de um equipamento daqui a 5 meses. O banco em que João possui conta oferece remuneração de 2,5%a.m. para aplicação. Quanto João terá que investir hoje para garantir a compra do equipamento tão esperado?
  • 45. Exercícios 3) Qual a taxa de juro composto que permite dobrar o capital ao final de 2 anos? 4) Uma aplicação de R$ 3.600,00, com taxa de juro de 1,69% a.m. gerou um resgate de R$ 4.116,50. Calcule quanto tempo foi necessário para isso.
  • 46. Na HP 12 C n i VP VF
  • 47. No Excel Inserir Funções Selecionar FINANCEIRA
  • 53. Descontos • As operações de desconto representam a antecipação do recebimento (ou pagamento) de valores futuros, representados por títulos.
  • 54. Desconto • Como o dinheiro tem um valor no tempo, para antecipar um valor futuro deve-se deduzir o custo de oportunidade aplicando um desconto. Capitalização Levar do Presente para o Futuro ≠ Desconto Trazer do Futuro para o Presente VP VF
  • 56. Desconto Por Dentro e Desconto Por Fora 100 11099 + 10 % - 10 % Por Dentro Por Fora
  • 57. Desconto Racional (Por Dentro) • No Desconto Racional, ou por Dentro, a taxa incide sobre o Valor Presente da operação. JurosSimples
  • 58. Desconto Comercial (Por Fora) • No Desconto Comercial, ou por Fora, a taxa incide sobre o Valor Futuro da operação. JurosSimples
  • 59. Exercícios 1. Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes de seu vencimento à taxa de juros simples de 2,5% a.m.. Qual o valor recebido, considerando o desconto bancário? 2. Qual o valor do desconto comercial de título de R$ 3.000,00 descontado 90 dias antes do vencimento à taxa de 2,5%a.m?
  • 60. Desconto Racional (“por dentro”) JurosCompostos
  • 61. Desconto Comercial (“por fora”) JurosCompostos
  • 62. Exercícios 1. Qual o desconto racional de um título no valor de R$ 20.000,00 se ele for pago 2 meses antes do vencimento a uma taxa de 3,5 % a.m. no regime de juros compostos? Qual o valor a ser recebido? 2. Um título será quitado 6 meses antes de seu vencimento. Sabendo que a taxa de juros cobrada “por dentro” é de 5 % a.m. e que o valor líquido recebido foi de R$ 880,50, informe o valor nominal do título.
  • 63. Exercícios 3. João comprou um imóvel na construção prometendo pagar R$ 100.000,00 na entrega das chaves. Agora, faltando 4 meses para a entrega das chaves, João recebeu um dinheiro extra e resolveu quitar logo essa dívida. A construtora propõe um desconto bancário de 2% a.m.. Quanto João terá que desembolsar hoje? 4. Um cheque de R$ 15.000 descontado 3 meses antes do prazo a uma taxa por fora de 7% a.m. resulta em que valor líquido?
  • 65. Taxa Efetiva • Taxa Efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. • Exemplos: • 2% ao mês, capitalizados mensalmente; • 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente; • 6% ao semestre, capitalizados semestralmente; • 12% ao ano, capitalizados anualmente.
  • 66. Taxas Proporcionais – Juros Simples • Taxas Proporcionais são taxas de juros fornecidas em unidade de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples. 12% ao ano = 6% ao semestre = 3% ao trimestre = 1% ao mês Isso só vale para Juros Simples!!!
  • 67. Exemplos • Calcule as taxas proporcionais em meses: • 1% ao dia → 30% ao mês • 12% ao ano → 1% ao mês • 6% ao mês → 6% ao mês
  • 68. Exercícios • Calcule as Taxas Proporcionais: • 2% ao mês, em anos; • 1,5% ao dia em semestres; • 30% ao ano, em trimestres; • 60% ao semestre em dias.
  • 69. Taxas Equivalentes – Juros Compostos • Taxas Equivalentes são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos. 12,6825% ao ano = 6,1520% ao semestre = 1,0000% ao mês Isso só vale para Juros Compostos!!! (1+iano) = (1+isemestre)2 = (1+itrimestre)4 = (1+imês)12 = (1+idia)360
  • 70. Taxas Equivalentes Método de Cálculo Encontre a taxa equivalente anual de 3% am. Mês Ano De mês para ano eu devo aumentar a taxa, pois o período aumentou Relação entre mês e ano: 1 ano tem 12 meses
  • 71. Taxas Equivalentes Método de Cálculo Encontre a taxa equivalente semestral de 36% aa. Ano Semestre De mês para ano eu devo diminuir a taxa, pois o período diminuiu Relação entre ano e semestre: 1 ano tem 2 semestres
  • 72. Resumo Se o período AUMENTA: Se o período DIMINUI: Potência AUMENTA Raiz DIMINUI
  • 74. Exercícios • Calcule as Taxas Equivalentes: • 2% ao mês, em anos; • 1,5% ao dia em semestres; • 30% ao ano, em trimestres; • 60% ao semestre em dias.
  • 75. Taxa Nominal • Taxa Nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. • Exemplo • 12% ao ano, capitalizados mensalmente; • 24% ao ano, capitalizados semestralmente; • 10% ao ano, capitalizados trimestralmente; • 18% ao ano, capitalizados diariamente.
  • 76. Taxa Efetiva e Taxa Nominal • 12% ao ano, capitalizados mensalmente; Nominal Efetiva • 18% ao ano, capitalizados diariamente; Nominal Efetiva Não se faz conta com Taxa Nominal. Deve-se sempre encontrar a Taxa Efetiva.
  • 77. Exercícios • Calcule a taxa equivalente mensal a 15% am capitalizados diariamente. • Calcule a taxa anual equivalente a 20% as capitalizados mensalmente. • Calcule a taxa trimestral equivalente a 100%aa capitalizados mensalmente.
  • 78. Taxa Real • A Taxa Real é aquela que expurga o efeito da inflação no período. Dependendo dos casos, a taxa real pode assumir valores negativos. Podemos afirmar que a taxa real corresponde à taxa efetiva corrigida pelo índice inflacionário do período.
  • 79. Exemplo – Taxa Real Certa aplicação financeira obteve rendimento efetivo de 6% ao ano. Sabendo que a taxa de inflação no período foi de 4,9%, determine o ganho real dessa aplicação.
  • 80. Exemplo – Taxa Real Certa categoria profissional obteve reajuste salarial de 7% ao ano. Sabendo que a inflação no período foi de 10%, determine o valor do reajuste real e interprete o resultado. Houve perda salarial!
  • 81. Exercícios • Um capital foi aplicado, por um ano, à taxa de juros igual a 22% a.a. No mesmo período, a taxa de inflação foi de 12%. Qual a taxa real de juros? • Um capital foi aplicado por seis meses a uma taxa de 7% a.s. No mesmo período, a taxa de inflação foi de 9%. Qual a taxa real da aplicação?
  • 83. Fluxo de Caixa – Séries Uniformes
  • 84. Tipos de Séries de Pagamento • Postecipadas • São aquelas em que os pagamentos ocorrem no final de cada período e não na origem. tempo 0 1 2 3 … n - 1 n É a mais comum!
  • 85. Tipos de Séries de Pagamento • Antecipadas • Os pagamentos são feitos no início de cada período respectivo. tempo 0 1 2 3 … n - 1 n
  • 86. Tipos de Séries de Pagamento • Diferidas • O período de carência constitui-se em um prazo que separa o início da operação do período de pagamento da primeira parcela. tempo 0 1 2 3 … n - 1 n Período de Carência
  • 87. Fórmulas tempo 0 1 2 3 … n - 1 n VP PMT
  • 88. Exemplo R$ 1.000,00 = 36 x R$ 42,53 taxa de 2,45% a.m.
  • 89. Exemplo Quanto custa este veículo se o dono pede 24 x de R$ 499,00, sem entrada, e a taxa de juros média cobrada neste setor está atualmente em 1,99% a.m.?
  • 90. Na HP 12 C n i VP PMT VF
  • 91. No Excel Inserir Funções Selecionar FINANCEIRA
  • 92. No Excel - PMT
  • 93. Exercícios 1. O Banco XYZ está oferecendo um empréstimo de R$ 10.000,00 para pagar em 36 x com taxa de 3 % a.m. Qual o valor da prestação? 2. A Caixa Econômica cobra 1,75% a.m. nos financiamentos imobiliários. Se podemos pagar prestações de até R$ 700,00 e o prazo máximo disponível é de 360 meses, qual o valor que podemos pegar emprestado?
  • 94. Exercícios 3. Quanto custa uma TV de LED que é anunciada em 12 parcelas de R$ 220,00 a 4,5% a.m.? 4. Considerando a mesma taxa de juros, quanto custaria se o parcelamento da mesma TV fosse feito em 18 meses?
  • 95. Séries Diferidas tempo 0 1 2 3 … n - 1 n Período de Carência tempo 0 1 2 3 … n - 1 n VP VPcorrigido 0 1
  • 96. Fórmulas tempo 0 1 2 3 … n - 1 n VPcorrigido 0 1 tempo 0 1 2 3 … n - 1 n VP Período de Carência
  • 97. Fórmulas tempo 0 1 2 3 … n - 1 n VPcorrigido 0 1 tempo 0 1 … n - 1 n Uma vez corrigido o VP resolve-se como uma série Postecipada normal!
  • 98. Exemplos Um curso oferece uma promoção de inicie o curso agora e só comece a pagar daqui a 3 meses. Se o valor do curso é de R$ 3.000,00, a taxa de juros cobrada é de 2,0 % a.m. e o curso deve ser pago em 6 parcelas, determine o valor dessas parcelas.
  • 99. Fluxo de Caixa do Exemplo tempo 0 1 2 3 … 8 9 VP = R$ 3.000,00 Período de Carência = 3 meses Período de Pagamento = 6 meses
  • 100. Fluxo de Caixa do Exemplo tempo 0 1 2 3 … 8 9 VP = R$ 3.000,00 Período de Pagamento = 6 meses VPcorrigido 0 1 5 6
  • 101. Fluxo de Caixa do Exemplo tempo 0 1 2 3 4 5 6 R$ 3.121,20
  • 102. Exercício 1. O BNDES financia caminhões com carência de 6 meses. Se um caminhão custa R$ 120.000,00, podendo ser financiado até 70% com juros de 2,85%a.m. em 36 meses após a carência, quanto custará a prestação?
  • 104. Perpetuidade R$ 10.000,00 10% R$ 11.000,00 R$ 1.000,00 R$ 10.000,00 Retiro Sobra Aplico
  • 105. Perpetuidade 𝑉𝑃𝑃 = 𝑃𝑀𝑇 𝑖 No exemplo anterior... 𝑉𝑃𝑃 = 1.000 0,10 = 𝑅$ 10.000,00 VPP = Valor Presente da Anuidade Plano de Previdência
  • 107. Pagamento de Dívidas R$ 1.000,00 R$ 100,00 R$ 600,00 R$ 100,00 Imagine a situação: Você pegou R$ 1.000,00 emprestado para pagar em 2 x R$ 600,00 R$ 600,00
  • 108. Pagamento de Dívidas R$ 1.000,00 R$ 500,00 R$ 100,00 R$ 500,00 R$ 100,00 Nos dois pagamentos de R$ 600,00 você deve devolver os R$ 1.000,00 que foram emprestados e ainda remunerar a pessoa pelo empréstimo (juros) Devolver JUROS Devolver JUROS
  • 109. Pagamento de Dívidas Mas os dois pagamentos de R$ 600,00 também podem ser feitos da seguinte forma: R$ 100,00 R$ 600,00 R$ 100,00 Devolver Devolver JUROS R$ 200,00R$ 400,00 Devolver JUROS R$ 200,00R$ 400,00 R$ 600,00 Devolver Ou ainda...
  • 110. Sistema de Amortização Como será paga a dívida! Sistema de Amortização Constante (SAC) Sistema Price Sistema de Amortização Mista (SAM) Sistema Americano Sistema Alemão
  • 112. Sistema de Amortização Constante VP = R$ 1.000,00 i = 3% am n = 4 meses período Saldo Devedor Juros Amortização PMT 0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ - 1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ 250,00 R$ 280,00 2 R$ 750,00 R$ 22,50 R$ 250,00 R$ 272,50 3 R$ 500,00 R$ 15,00 R$ 250,00 R$ 265,00 4 R$ 250,00 R$ 7,50 R$ 250,00 R$ 257,50 TOTAL R$ 1.000,00 Amortização = VP / n PMT = Juros + Amortização
  • 113. Sistema PRICE VP = R$ 1.000,00 i = 3% am n = 4 meses período Saldo Devedor Juros Amortização PMT 0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ - 1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ 239,03 R$ 269,03 2 R$ 760,97 R$ 22,83 R$ 246,20 R$ 269,03 3 R$ 514,78 R$ 15,44 R$ 253,58 R$ 269,03 4 R$ 261,19 R$ 7,84 R$ 261,19 R$ 269,03 TOTAL R$ 1.000,00 Cálculo do PMT como em séries uniformes Amortização = PMT - Juros
  • 114. Sistema de Amortização Mista VP = R$ 1.000,00 i = 3% am n = 4 meses período Saldo Devedor Juros Amortização PMT 0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ - 1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ 244,51 R$ 274,51 2 R$ 755,49 R$ 22,66 R$ 248,10 R$ 270,76 3 R$ 507,39 R$ 15,22 R$ 251,79 R$ 267,01 4 R$ 255,60 R$ 7,67 R$ 255,60 R$ 263,26 TOTAL R$ 1.000,00 Valores médios entre o SAC e o PRICE
  • 115. Sistema de Amortização Americano VP = R$ 1.000,00 i = 3% am n = 4 meses período Saldo Devedor Juros Amortização PMT 0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ - 1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ - R$ 30,00 2 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ - R$ 30,00 3 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ - R$ 30,00 4 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ 1.000,00 R$ 1.030,00 TOTAL R$ 1.000,00 Pagamento mensal de juros, com pagamento do principal no final
  • 116. Sistema de Pagamento Único VP = R$ 1.000,00 i = 3% am n = 4 meses período Saldo Devedor Juros Amortização PMT 0 R$ 1.000,00 R$ - R$ - R$ - 1 R$ 1.000,00 R$ 30,00 R$ - R$ - 2 R$ 1.030,00 R$ 30,90 R$ - R$ - 3 R$ 1.060,90 R$ 31,83 R$ - R$ - 4 R$ 1.092,73 R$ 32,78 R$ 1.000,00 R$ 1.032,78 TOTAL R$ 1.000,00 Não há pagamento mensal. Tudo é acumulado e pago de uma única vez, ao final do plano.
  • 118. Payback O método de avaliação do Payback informa o prazo necessário para o retorno do investimento. Esse método deve ser utilizado quando avaliamos projetos que não possuem muita representatividade no patrimônio total. Isso se deve ao fato de que o Payback possui alguns problemas: • Desconsidera os fluxos de caixa posteriores ao retorno do investimento • Desconsidera o valor do dinheiro no tempo • Arbitrariedade da gerência Necessidade de escolher o investimento que dê retorno mais rápido, mas que não dá o melhor retorno
  • 119. Payback • É o prazo de recuperação do investimento, isto é, o prazo no qual o FC acumulado é igual a zero. payback tempo
  • 120. Payback Descontado • Irá medir o prazo de retorno de um investimento. No entanto, passará a considerar o valor do dinheiro no tempo, mas continuará a ter os outros dois problemas existentes no Payback
  • 121. VPL - Valor Presente Líquido O valor presente líquido é a forma mais usual de se avaliar um investimento. Enquanto no Payback Descontado vamos trazendo a valor presente todos os fluxos de caixa até o momento da inversão de sinal, no valor presente líquido devemos levar todos os fluxos de caixa para a data zero e efetuar o somatório. Utilizamos sinal positivo para os valores recebidos e negativo para os valores aplicados.
  • 122. VPL – Valor Presente Líquido Tempo Investimento Inicial Fluxos de Caixa Incrementais
  • 123. VPL – Valor Presente Líquido • Traduzindo a fórmula: O Valor Presente Líquido de um projeto será a soma do valor presente de todos os fluxos de caixa do projeto, desde a data zero (investimento) até o final do projeto; • Caso o VPL seja um número positivo, isso significa que o valor presente dos valores aplicados foi inferior ao valor presente dos valores recebidos e, portanto, o investidor estaria ficando “mais rico” a dinheiro de hoje do que se estivesse deixando de aplicar naquele projeto; • Por outro lado, se o VPL for um número negativo, isso significa que o valor presente dos valores aplicados foi superior ao valor presente dos valores recebidos e, portanto, o investidor estaria ficando “mais pobre” a dinheiro de hoje do que se estivesse deixando de aplicar naquele projeto.
  • 124. TIR – Taxa Interna de Retorno • É a taxa de juros que “zera” o Valor Presente Líquido – VPL de um projeto qualquer
  • 125. TIR – Taxa Interna de Retorno
  • 126. Problemas com a TIR a de existir mais de uma TIR ou mesmo não existir nenhuma TIR a de se supor que os fluxos de caixa são reinvestidos à própria TIR a de se supor que os investimentos (fluxos de caixa negativos) são financiados a uma taxa igual à TIR necessidade de se trabalhar com investimento incremental quando se tem projetos mutuamente excludentes, entre outros problemas
  • 127. TIRM – Taxa Interna de Retorno Modificada Tempo Leva os desembolsos para o valor presente Leva os recebimentos para o valor futuro VP VF i = TIRM
  • 128. Na HP 12 C n i VP PMT VF VPL TIR
  • 129. No Excel Inserir Funções Selecionar FINANCEIRA
  • 130. No Excel - VPL
  • 131. No Excel - TIR
  • 132. No Excel - mTIR