O documento aborda conceitos fundamentais de matemática financeira, como capital (valor presente), juros, taxa de juros, prazo e valor futuro, além de diferenciar entre capitalização simples e composta. Apresenta fórmulas básicas e exercícios práticos para entender a aplicação de juros em diversas situações, como capitalização e cálculos de fluxo de caixa. Discussões sobre taxas equivalentes e decisões financeiras, incluindo a escolha entre empréstimos e investimentos, também são exploradas.

1. MATEMÁTICA
FINANCEIRA
COMO
OS
NÚMEROS
PODEM
AJUDAR
A
SUA
EMPRESA
VERSÃO
3.0

4. • Capital ou Valor Presente (VP ou PV)
Capital
ou
Valor
Presente
(VP)
é
o
Capital
Inicial
em
uma
transação
financeira,
referenciado,
geralmente,
na
escala
horizontal
do
tempo,
na
data
inicial
(n=0).
É,
ainda,
o
valor
a
vista
quando
nos
referimos,
nos
termos
comerciais,
àquele
valor
"com
desconto"
dado
como
opção
às
compras
a
prazo.
É
considerado
também
como
o
investimento
inicial
feito
em
um
projeto
de
investimento.

5. • Juros (J)
Os
juros
(J)
representam
a
remuneração
pela
utilização
de
capitais
de
terceiros,
ou
por
prazos
concedidos.
Podem
ser,
também,
a
remuneração
por
capital
aplicado
nas
instituições
financeiras:
o
custo
do
dinheiro.
São
considerados
rendimento
se
você
os
recebe,
e
são
considerados
despesa
se
você
os
paga.

6. • Taxa de Juros (i)
Taxa
de
juros
(i)
é
o
valor
do
juro
em
determinado
tempo,
expresso
como
porcentagem
do
capital
inicial.
Pode
ser
expresso
da
forma
unitária
ou
percentual
(0,15
ou
15%,
respectivamente).
Veja:
Se
um
banco
me
paga
R$
400,00
de
juros
sobre
um
capital
de
R$
4.000,00
aplicado
durante
um
ano,
a
taxa
de
juros
nada
mais
é
do
que:
Isso
significa
que
esse
banco
está
pagando
uma
taxa
de
juros
de
10%
ao
ano.

7. • Prazo ou Periodo (n )
As
transações
financeiras
são
feitas
tendo-­‐se
como
referência
uma
unidade
de
tempo
(como
um
dia,
um
mês,
um
semestre
e
etc.)
e
a
taxa
de
juros
cobrada
nesse
determinado
tempo.

8. • Valor Futuro ou Montante (VF ou FV ou M )
Montante
é
o
capital
acrescido
do
rendimento
obtido
durante
o
período
de
aplicação
e
representado
pela
letra“M”
ou“FV”
–
(future
value).

9. FÓRMULAS BÁSICAS
basicas mesmo!

10. M=C+J J=C . i
Onde:
M: Montante
C: Capital Inicial
J: Juros
i: Taxa de Juros

11. EXEMPLO
Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa de 12% a.m. Calcule os
juros e o valor do Montante ao final do primeiro mês.

12. EXERCÍCIO
Suponhamos que você aplicou R$ 1.500,00 a uma taxa de juros de 25% a.a.
Qual seria o rendimento de juros e quanto seria resgatado em 1 ano?

13. EXERCÍCIO 2
Você tem R$ 2.346,00 hoje, mas daqui a um mês terá que pagar uma
dívida de R$ 3.123,00. Para honrar a sua dívida, alguém sugere que você
aplique seu dinheiro para que, no futuro, tenha o que precisa.
A qual taxa de juros você precisaria aplicar esse capital?

14. M=C+J J=C . i
i = - 1
M
C

16. Fluxo
de
Caixa
é
o
conjunto
de
entradas
e
saídas
monetárias
(pagamentos
e
recebimentos)
referentes
a
uma
transação
financeira
de
uma
empresa
ou
projeto
de
investimento.
• DEFINIÇÃO

17. • REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

18. • REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
• As
setas
não
são
necessariamente
proporcionais
ao
valor
das
entradas
e
saídas.
•
O
fluxo
de
caixa
é
muito
útil
na
análise
de
problemas
com
séries
de
capital.
•
Os
intervalos
de
tempo
entre
os
períodos
são
todos
iguais.
•
Os
valores
serão
colocados
no
início
e
final
de
cada
período,
dependendo
da
convenção
utilizada,
mas
nunca
durante
o
período.

19. EXERCICIO
Um investidor compra um título hoje por R$ 1.000,00. Esse título lhe dá o
direito de receber, durante 5 anos, a quantia de 10 % a.a (ao ano) sobre o
valor inicial pago, mais o capital inicial de volta no final do quinto ano.
Represente o fluxo de caixa da operação
1000
100
100
100
100
1100

20. EXERCÍCIO
Sua startup acessou uma linha de crédito para capital de giro no Banco do
Brasil e se capitalizou em R$ 20.000 para iniciar sua operação. A carência
do empréstimo é de 3 meses e a amortização será feita em 1 ano. com
uma intermediária de R$ 5.000 a ser paga 1 ano após a aquisição. Desenhe
o fluxo de caixa da operação.

22. • CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
Os
juros
são
sempre
iguais
e
incidem
somente
sobre
o
capital
inicial
durante
todo
o
período.
O
montante,
dessa
forma,
cresce
de
maneira
linear.
Nessa
forma
de
capitalização,
geralmente
os
juros
são
pagos
no
final
da
operação.

23. EXEMPLO
Aplica-se um capital de R$ 2.000,00 no início do primeiro ano e espera-se
resgatá-lo daqui a 3 anos. Sabendo que o regime é de capitalização simples
e que os juros são de 17% a.a., veja como fica o fluxo de caixa:
2000
340
340
3020
340

24. Normalmente
temos
que
transformar
a
taxa
de
juros
de
um
período
para
outro
período.
Esse
cálculo
é
muito
usado
em
transações
financeiras
em
geral
e
as
taxas
que
procuramos
são
denominadas
taxas
equivalentes,
isto
é,
que
produzem
o
mesmo
montante
se
aplicadas
sobre
um
mesmo
capital
em
um
mesmo
intervalo
de
tempo.
• TAXAS EQUIVALENTES (JUROS SIMPLES)

25. No
caso
dos
juros
simples,
o
cálculo
é
muito
fácil
e
simplificado
pelo
caráter
linear
desse
tipo
de
capitalização.
Pode
sempre
ser
feito
por
meio
da
proporcionalidade
(usando
regra
de
três
simples,
por
exemplo).
Se
quisermos
calcular,
por
exemplo,
a
taxa
anual
em
juros
simples,
equivalente
à
taxa
mensal
de
2,5
%
a.m.,
teremos:

26. FÓRMULAS
capitalização simples

27. M=C+J J=C . i . n
M=C (1 + i . n)Onde:
M: Montante
C: Capital Inicial
J: Juros
i: Taxa de Juros
n: periodo

28. EXERCÍCIO 5 (grupo)
Suponhamos que você tenha uma aplicação de R$ 120.000,00, que rende, a
juros simples, 15% a.t. Quanto esperaria ter no final do ano, se aplicou seu
dinheiro no primeiro dia do ano?

29. EXERCÍCIO 7 (grupo)
Uma quantia foi aplicada a juros simples de 6% ao mês, durante 5 meses e,
em seguida, o montante foi aplicado durante mais 5 meses, a juros simples
de 4% ao mês. No final dos 10 meses, o novo montante foi de R$ 234,00.
Qual o valor da quantia aplicada inicialmente?

30. EXERCÍCIO 8 (grupo)
Um investidor aplicou a quantia de R$ 500,00 em um fundo de
investimento que opera no regime de juros simples. Após 6 meses o
investidor verificou que o montante era de R$ 560,00. Qual a taxa de juros
desse fundo de investimento?

31. • CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Nesse
modelo,
o
capital
é
remunerado
a
cada
período
e
os
juros
incidem
sobre
o
capital
inicial,
acrescido
dos
juros
acumulados
até
a
referida
data.
Sendo
assim,
o
montante,
ao
final
da
data
1
(n
=
1),
por
exemplo,
é
o
capital
inicial
da
data
2
(n
=
2)
e
sobre
ele
incidirão
juros
novamente.
O
montante,
neste
caso,
cresce
em
progressão
geométrica,
ou
seja,
o
crescimento
é
exponencial.

32. EXEMPLO
Aplica-se um capital de R$ 2.000,00 no início do primeiro ano e espera-se
resgatá-lo daqui a 3 anos. Sabendo que o regime é de capitalização
composta e que os juros são de 17% a.a., veja como fica o fluxo de caixa:
2000
2340
2737,43
3023,23

33. FÓRMULAS
capitalização composta

34. M = C . (1 + i)
n
Onde:
M: Montante ou Valor Futuro
C: Capital Inicial ou Valor Presente
J: Juros
i: Taxa de Juros
n: periodo

35. C = M / (1 + i)
n
Onde:
M: Montante ou Valor Futuro
C: Capital Inicial ou Valor Presente
J: Juros
i: Taxa de Juros
n: periodo

36. i = (M/C)
1/n
-1
Onde:
M: Montante ou Valor Futuro
C: Capital Inicial ou Valor Presente
J: Juros
i: Taxa de Juros
n: periodo

37. n = (LnM – LnC) / Ln (1 + i )
Onde:
M: Montante ou Valor Futuro
C: Capital Inicial ou Valor Presente
J: Juros
i: Taxa de Juros
n: periodo

38. i = (M/C)
1/n
-1
M = C . (1 + i)
n
n = (LnM – LnC) / Ln (1 + i )
C = M / (1 + i)
n

39. EXEMPLO
Qual a taxa mensal de juros compostos que está embutida em um produto
que tem preço à vista de R$ 1.500,00 e a prazo, para pagamento daqui a 90
dias, de R$ 1.900,00

40. EXERCICIO 9 (grupo)
Quanto tempo você precisaria para duplicar um capital de R$ 3.500,00 à
taxa de juros compostos de 12% a.m.?

41. EXERCICIO 10 (grupo)
Um empréstimo deve ser pago em 60 dias. O valor a ser pago é de R$
15.000,00. Os juros (compostos) do empréstimo são de 12% a.m. Qual o
valor desse empréstimo se ele fosse pago hoje?

42. Diferentemente
das
taxas
equivalentes
para
juros
simples,
aqui
nao
existe
proporcionalidade
e
portanto
não
podemos
utilizar
regras
de
três.
• TAXAS EQUIVALENTES (JUROS COMPOSTOS)

43. Utilizaremos
a
formula
abaixo
para
obtermos
taxas
equivalentes
em
cálculos
de
juros
compostos:
• TAXAS EQUIVALENTES (JUROS COMPOSTOS)
i1 = (1 + i2)
n1/n2
- 1
i1:
Taxa
equivalente
i2:
taxa
conhecida
n1:
periodo
proposto
para
equivalencia
n2:
periodo
da
taxa
conhecida

44. EXEMPLO
Qual
seria
a
taxa
mensal
de
juros
compostos
de
uma
aplicação
que
remunera
o
capital
à
taxa
de
42
%
a.a.?

45. HP
12c

46. EXERCICIO 11
Aplicando hoje na caderneta de poupança a quantia de R$ 20.000,00, qual
será o montante gerado ao final de 4 anos, sabendo que a rentabilidade
mensal é de 0,5%?

47. EXERCICIO 12
Quanto terei de aplicar hoje num fundo de renda fixa para que, ao final de
10 anos a uma taxa de 1,3%a.m., haja um montante de R$ 100.000,00?

48. MEGA PROBLEMA (grupo)
Para abrir minha startup preciso de um capital inicial de R$ 60 mil hoje. Os sócios dispõem de R$
35 mil aplicados em fundos e o restante deve ser obtido no mercado. O único banco que tem
interesse em me emprestar o montante é o Banco do Brasil, segundo as condições a seguir:
Emprestimo Banco do Brasil:
acima de R$ 23 mil, sem carência, e juros de 1,5% a.m
Abaixo de R$ 23 mil, carência de 6 meses e juros de 7,1% a.s.
Dados Complementares:
Taxa de Inflação: 0,8% a.m. (no calculo, considere a desvalorização do capital inicial ao longo do
tempo)
Fundo Aplicado rende 11,35% a.a., mas o resgate só é permitido agora ou a cada 6 meses.
O que será mais recomendável financeiramente para abrir minha startup nos próximos 12
meses? Fazer um empréstimo agora ou postergá-lo visando obter melhores condições de
financiamento? Nesse caso, quando seria conveniente fazê-lo e quais os montantes e
condições envolvidas?

49. LUIZ
FERNANDO