Slide - Matemática- Teoria dos conjuntos

O clube de matemática criativa da Professora Amanda Saito

Habilidade Objetos de conhecimento
Compreender a noção de conjunto; utilizar a simbologia matemática
para compreender proposições e enunciados; resolver problemas
significativos envolvendo operações com conjuntos.
Teoria dos conjuntos
Conteúdo deste slide

Coleção de coisas que compartilham uma mesma característica.
Definição de conjunto
Conjunto dos estados que formam a região sudeste do Brasil
S = {MG, ES, SP, RJ}

Representação
Existem três maneiras de representar matematicamente um conjunto.
Listagem dos
elementos
Diagrama de
Veen
Lei de
formação

A primeira letra
representa o nome do
conjunto, deve ser escrito
com letra maiúscula.
Sinal de igualdade
Abertura das chaves
para indicar que se
inicia o conjunto
Fechamento das chaves para
indicar que encerrou conteúdo
do conjunto
Elementos que podem ser números, palavras, letras,
símbolos desde que sejam separados por vírgula.
Listagem dos elementos

S
O nome do conjunto
continua com letra maiúscula
do lado de fora do conjunto.
Os elementos
ficam inseridos
dentro dessa
forma oval.
MG
SP
ES
RJ
John Veen
Esse é o
Foi um matemático inglês que estudou e
ensinou lógica e teoria das probabilidades.
Diagrama de Veen

Lei de formação
É uma espécie de ordem que caracteriza o conjunto sendo possível
determinar quais são os seus elementos sem os escrever.
S = {x | x são estados da região
sudeste do Brasil}
O conjunto S é igual a x, tal que x são os estados da região sudeste do Brasil.
X representa todos os elementos e em seguida temos a sua lei de formação.

Lei de formação
A = {x | 12 < x < 23}
A lei de formação indica que os elementos
são maiores que 12 e menores que 23.
A = { 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22}
Vamos acompanhar outros exemplos de conjuntos por lei de formação:
B = {x | 52 < x}
A lei de formação indica que os elementos
são maiores e iguais a 52.
B = {52, 53, 54, 55, 56 ...}
Neste exemplo temos um conjunto
de elementos infinito, e sim isso
pode acontecer!

1) Escreva os conjuntos que são solicitados abaixo:
a) Dias da semana na representação por listagem de
elementos.
b) Notas musicais na representação por diagrama.
c) Meses do ano que não possuem a vogal a por lei de
formação.

2) Dado o conjunto A = {3,4,5,6,7,8} escreva uma lei de
formação para ele.

Elementos Descrevemos a quantidade de elementos de um conjunto por:
1 2 3 4
N(S)=4
Só é possível determinar a quantidade de elementos de um conjunto se ele for finito.

1) Liste os múltiplos positivos de 5.
2) Lista os divisores de 20.
3) Indique o número de elementos de todos os
conjuntos do exercício anterior.

Pertinência
Para determinar se um elemento faz parte daquele conjunto
ou não. Utilizamos os seguintes símbolos
Pertence Não pertence
A = {x | 12 < x < 23}
O elemento 16 ∈ A.
O elemento 31 ∉ A.

B = {x | x ∈ ℝ e -5 ≤ x ≤ 3}
Uma dica: sempre que for analisar um conjunto descrito por lei de
formação se preciso reescreva em listagem de elementos para tornar
a análise mais fácil.
Analisando os elementos abaixo podemos afirmar que:
-2 -7 0 5
Pertinência

1) Relacione os elementos com os conjuntos A = {1, 3, 5,
7} e B ={-1, -3, -5, -7} usando os símbolos de pertence
ou não pertence.
a) 3 e A.
b) 5 e B.
c) -1 e A.
d) 7 e A.
e) -3 e B.
f) -7 e A.

2) Classifique como verdadeiro ou falso as afirmações
sobre os conjuntos:
A={0, 1, 2, 3, 4,...} B={x | x é divisor positivo de 8}
C={x | x é múltiplo de 5 compreendido entre 0 e 30}
a) 12 ∈ A
b) 4 ∉ B
c) 5 ∉ C
d) 2 ∈ B
e) 21 ∉ A
f) 11 ∈ C

Igualdade
Conjuntos possuem definições equivalentes.
C = {x | x é um número
par maior que 0}
D = {2, 4, 6, 8, 10, ...}
Os conjuntos
possuem
exatamente os
mesmos
elementos.
C = D
Dizemos então que

Desigualdade
Conjuntos não possuem definições equivalentes.
E = {1, 2, 3, 4}
F = {2, 4, 6, 8}
Mesmo tento
elementos em
comum os conjuntos
possuem elementos
diferentes.
E = F
Dizemos então que

Conjunto unitário
Possui apenas um elemento.
R = {x | x é o elemento
neutro da adição}
N(A)=1
R = {0}
P = {x | x é um número
primo par}
P = {2}
N(P)=1

Conjunto vazio
Não possui elementos.
W = {x | x é um número natural ímpar
divisível por 2}
Utilizamos os seguintes símbolos para indicar que se trata de um
conjunto vazio:
{ }
ou
É para usar um símbolo ou o outro.
Não existe { 0 } para indicar conjunto
vazio.

Conjunto universo
São todos os elementos de determinada situação.
N = {x | x ∈ ℕ e x ≤ 3}
O conjunto universo se N será:
U(N) = {0,1,2,3}

Qual é a solução da equação 2x + 8 = 0:
a) U = ℕ Resolvendo a equação temos:
2x = -8
x = -8/2
x = -4
Mas -4 ∉ ao conjunto dos números naturais! Portanto nesse
universo o conjunto solução será um conjunto vazio.
S = { }
b) U = ℤ
S = {-4}
Sendo o conjunto universo a dos números inteiros o
conjunto solução será um conjunto unitário.

A equação x2 + 5x + 6 = 0 tem solução se o conjunto
universo U for formado pelos inteiros positivos? E pelos
inteiros negativos?

Subconjuntos
Um conjunto pode estar contido em outro.
A = {-4, -1, 0, 3}
B = {-4, -1, 0, 3, 12, 26}
A ⊂ B
B ⊃ A
A está contido em B.
B contém A.
ou
Símbolo de contém
Símbolo de está contido
Não confundam os símbolos com a
letra C. O símbolo é mais achatado.
B A
-4
-1 0
3
12
26

Subconjuntos
Para ser subconjunto todos os elementos de um precisam estar
no outro.
V = {a, e, i, o, u}
C = {a, b, c, d, i}
V
a
i
Temos apenas os elementos a e i
do conjunto V em C.
C ⊂ V
Pelo diagrama de Veen
conseguimos observar melhor
C
e
o
u
b
c
d
C ⊃ V

Conjunto vazio
Ele está contido em todos os conjuntos.
N
4
3
0
1
2
6
7
8
6 0 ⊂ N

Reflexiva
Todo conjunto está contido em si mesmo.
N
4
3
1
2
6
7
8
6
N ⊂ N

Assimétrica
Se um conjunto contém e também está contido no outro
então eles são iguais.
A ⊂ B B ⊂ A Portanto B = A
A
4
3
1
2
6
7
8
6
B
A = {1,2,3,4,5,6,7,8}
B = {x | 0 < x < 9}

Transitiva
Se um conjunto está contido em outro e esse outro contido
em um terceiro então o primeiro também está contido.
G = {gatos}
F = {felinos}
M = {mamíferos}
1º: Todo gato é felino, ou seja:
G ⊂ F
2º: Todo felino é mamífero, ou seja:
F ⊂ M
Conclusão: todo gato é mamífero.
G ⊂ M

Transitiva
N
4
1
3
6
7
8 5
2
E ⊂ J
E
J
E = {1,2}
J = {1,2,3,4,5}
N = {1,2,3,4,5,6,7,8}
J ⊂ N Portanto E ⊂ N

1. Considerando os conjuntos abaixo marque (V) para
verdadeiro ou (F) para falso:
A={ x | x é primo maior que 2}
B={ x | x é ímpar}
C={ x | x é divisor de 21 maior que 1}
a) ( ) A ⊂ B
b) ( ) A ⊃ B
c) ( ) B ⊃ C
d) ( ) C ⊂ A
e) ( ) A ⊄ C
f) ( ) ∅ ⊃ B

2. Considerando os conjuntos abaixo marque (V) para
verdadeiro ou (F) para falso:
a) ( ) P ⊂ M
b) ( ) N ⊄ P
c) ( ) P ⊄ M
d) ( ) N ⊃ P
e) ( ) M ⊄ N
f) ( ) P ⊂ N
g) ( ) N ⊂ P
h) ( ) P ⊃ M
P
M N

Conjuntos das partes
Todos os subconjuntos de um conjunto.
A = { 4 }
P(A) = { 0, {4} }
Conjunto das
partes de A Conjunto vazio é
subconjunto de todos
= N(P(A)) = 2
Número de elementos
do conjunto das
partes de A

Conjuntos das partes
B = { 1, 2, 3}
P(B) = { 0, {1}, {2}, {3}, {1,2},
{1,3}, {2,3}, {1,2,3} }
N(P(B)) = 8
É possível determinar o número de elementos do conjunto
das partes sem precisar escrever todos eles:
N(P(x)) = 2n nº de elementos do conjunto No caso de B que possui 3
elementos o N(P(B)) = 23 = 8

1. A={1,2,3} e B={4,5,6,7,8} então N(P(B) - N(P(A)) é:
a) 0
b) 1
c) 16
d) 24
e) 32

2. A={ x | x é primo maior que 5 e menor que 30}:
a) Complete com V ou F
( ) 15 ∈ A ( ) A ⊃ {7,29} ( ) {21} ⊄ A ( ) 13 ∉ A
b) Calcule:
N(A) = N(P(A))=

União ou reunião
Junção de conjuntos podendo apresentar ou não elementos
em comum.
A = {1,2,3,4}
B = {4,5,6,7}
C = {1,2,3,4,5,6,7}
C é A ∪ B
1º caso: com elemento em comum
A B
4
1
2
3
5
6
7
C
Símbolo de união

Junção de conjuntos podendo apresentar ou não elementos
em comum.
D = {a, b, c}
E = {d, e, f}
F = {a, b, c, d, e, f}
F é D ∪ E
2º caso: sem elementos em comum
D E
a
b c
d
f
e
F
União ou reunião

Propriedades da união
União com ele mesmo é ele próprio.
A ∪ A = A
Um conjunto A unido com B é
igual a B unido com A.
A ∪ B = B ∪ A
Se tivermos três conjuntos A,B e C e formos unir todos,
então: “Unir A e B e depois unir com C dá o mesmo
resultado que unir B e C e depois unir com A.”
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Um conjunto A unido com o elemento neutro
( que é o conjunto vazio) é ele próprio.
A ∪ ∅ = A

Intersecção
É o conjunto formado pelos elementos em comum de outros
conjuntos.
A = {1,2,3,4}
B = {3,4,5,6}
C = {3,4}
C é A ∩ B
A B
1
2
5
6
C
Símbolo de intersecção
4
3
Se não houver
elementos em
comum a
intersecção entre
dois conjuntos
será um
conjunto
vazio.

Propriedades da intersecção
Intersecção com ele mesmo é ele próprio.
A ∩ A = A
A intersecção de um conjunto A com
B é igual a intersecção de B com A.
A ∩ B = B ∩ A
Se tivermos três conjuntos A,B e C e for intersectar
todos, então: “A intersecção de A e B e depois a
intersecção com C dá o mesmo resultado que a
intersecção B e C e depois com A.”
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
A intersecção de um conjunto A com o elemento
neutro ( que é o conjunto universo) é ele próprio.
A ∩ U= A

União e Intersecção
Número de elementos da intersecção será sempre:
N (A∪B) = N(A) + N(B) – N(A∩B)
A soma do número de elementos dos conjuntos menos a sua
intersecção.
A = {0,1,2} à N(A)=3
B = {2,3,4,5}à N(B)=4
A∩B = {2} à N(A∩B)=1
N(A∪B)= 4 + 3 – 1 = 6
A∪B = {0,1,2,3,4,5}

Propriedade distributiva da união e intersecção
= (A∪B) ∩ (A∪C)
A distributiva da união de um conjunto com interseção de outros dois é
igual a união da primeira distribuição com a intersecção da segunda
união.
A = {4,6,8}
B = {8, 10, 12}
C = {12, 14, 16}
(A∪B) = {4, 6, 8, 10, 12}
(A∪C) = {4, 6, 8, 12, 14, 16}
(A∪B) ∩ (A∪C) = {4, 6, 8, 12}
A∪(B∩C)

Propriedade distributiva da união e intersecção
= (A∩B) ∪ (A∩C)
A distributiva da intersecção de um conjunto com a união de outros dois é
igual a intersecção da primeira distribuição com a união da segunda
intersecção.
A = {4,6,8}
B = {8, 10, 12}
C = {12, 14, 16}
(A∩B) = {8}
(A∩C) = { }
(A∩B) ∪ (A∩C) = {8}
A∩(B∪C)

Propriedade da união e intersecção
A união de um conjunto A
com a sua intersecção de B
é igual a A.
A intersecção de um
conjunto A com a sua união
a B é igual a A.
A = {4,6,8} B = {8, 10, 12}
a) A∪ (A∩B) =
b) A∩(A∪B) =
A∩(A∪B) = A
A∪(A∩B) = A
{4,6,8} ∪ {8} =
{4,6,8}
{4,6,8} ∩ {4,6,8,10,12} =
{4,6,8}

Considerando os conjuntos abaixo resolva as operações:
a) A ∪ B =
b) B ∩ C =
c) (A ∪ B) - C =
d) (B ∩ C ) - A =
e) A ∩ B ∩ C =
f) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)=
A B
C
1
2 5
7
3
4
8
6

Diferença
Os elementos que estão no conjunto A, e não fazem parte do conjunto B,
formam o conjunto diferença entre A e B (A – B).
A = {1,2,3,4}
B = {4,5,6,7}
A-B= {1,2,3}
1º caso: com elemento em comum
A B
4
1
2
3
5
6
7

Diferença
A = {1,2,3,4}
B = {2,3}
A-B = ∅
2º caso: um conjunto inserido no outro
A
B
4
1
2
3
Como todos os elementos de B estão em A não
há diferença.

Diferença
A = {1,2,3,4}
B = {5,6,7}
A-B = A
3º caso: com conjuntos distintos
A B
4
1
2
3
Nesse caso a diferença será o
próprio conjunto.
5
6 7
B-A = B

Complementar
São os elementos que faltam para que um conjunto seja idêntico ao
outro.
A = {1,2,3,4}
B = {1,2}
B ∁ A
A B
4
1
2
3
São os elementos que faltam em
B para que eles seja igual a A.
∁A B = A - B
∁A B = {3,4}
Complementar de um conjunto com
relação ao universo é sinalizado como:
Ele considera todo o universo menos o
conjunto.
∁𝑼𝑨 = '
𝑨 𝒐𝒖 *
𝑨 𝒐𝒖 𝑨𝒄

Considerando o diagrama abaixo qual das
afirmações representa a parte em destaque:
a) (E ∩ F ) ∩ G
b) E ∩ G
c) E ∪ F
d) (E ∩ G) - F
e) E - G
E
F
G

Fonte bibliográfica
NOVA ESCOLA, disponível em https://novaescola.org.br/ BIANCHINI, Edwaldo. Matemática.
7. ed. São Paulo: Moderna, 2011. ( 6º ao 9º ano) CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI, Jose Ruy;
GIOVANNI JR., José Ruy. Conquista da Matemática. 3.ed.São Paulo: FTD, 2015 ( 6º ao 9º ano)
DANTE. Tudo é Matemática. São Paulo: Ática, 2011. (7º ano) GIOVANNI, José Ruy ;
GIOVANNI, José Ruy. Pensar & descobrir. São Paulo: FTD, 2010. (8º e 9º ano) IMENES, Luiz
Marcio; LELLIS, Marcelo. Matemática. São Paulo: Moderna, 2012. (6º, 7º e 9º ano) IEZZI,
Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e Realidade. São Paulo: Atual,
2013. RIBEIRO, Jackson da Silva. Projeto Radix: matemática. São Paulo: Scipione, 2013. (6º
ano) TOSATTO, Claudia Mirian, et al. Matemática. Curitiba: Positivo, 2005. (6º ao 9º ano).
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática ideias e desafios.16. ed. São Paulo:
Saraiva, 2011,

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