O documento introduz os conceitos básicos de teoria de conjuntos, incluindo: (1) definição de conjunto e representações; (2) relações de pertinência e inclusão; (3) conjunto vazio e conjunto unitário. Também apresenta operações básicas com conjuntos como união, interseção, diferença e complementar.
(1) O documento introduz os conceitos básicos de teoria de conjuntos, incluindo definição de conjunto, representação de conjuntos, relações de pertinência e inclusão, e operações básicas com conjuntos como união e interseção; (2) Apresenta os conjuntos numéricos naturais, inteiros e racionais e como surgem da necessidade de realizar operações matemáticas; (3) Explica as representações de números racionais como exatos e periódicos.
O documento discute conjuntos e suas propriedades. Em três frases ou menos:
O documento apresenta os conceitos básicos de teoria dos conjuntos, incluindo definição de conjunto, elementos, pertinência, inclusão e operações entre conjuntos. Explica como representar conjuntos através de listagem dos elementos ou por meio de propriedades comuns a todos os elementos. Discutem conjuntos vazios, unitários e as partes de um conjunto.
Conjuntos Autor Antonio Carlos Carneiro Barrosoguestbf5561
O documento resume conceitos fundamentais sobre operações com conjuntos, incluindo união, interseção, diferença, complementar e partição. Também aborda conjuntos numéricos como naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Por fim, apresenta exercícios sobre o tema.
1) O documento discute os conceitos básicos da teoria dos conjuntos, incluindo relação de pertinência, formação de conjuntos, subconjuntos e conjuntos vazios.
2) Apresenta as operações de união e intersecção de conjuntos e suas propriedades.
3) Explica o produto cartesiano de conjuntos e os conjuntos numéricos naturais, inteiros, racionais e reais.
1. O documento descreve os conceitos fundamentais da teoria de conjuntos desenvolvida por Georg Cantor, incluindo conjuntos, elementos, relações de pertinência e operações entre conjuntos como união, intersecção e diferença.
2. A teoria de conjuntos é apresentada por meio de suas noções primitivas, formas de representação de conjuntos e operações entre conjuntos como união, intersecção e diferença.
3. Exemplos ilustram os principais conceitos como subconjuntos, conjunto das partes, cardinalidade e resolução de problemas envolvendo
O documento descreve os principais conjuntos numéricos:
(1) Os números naturais, representados por N, incluindo o zero;
(2) Os números inteiros, representados por Z, incluindo os naturais e seus opostos;
(3) Os números racionais, representados por Q, incluindo os inteiros e frações.
O documento apresenta os principais tópicos da teoria dos conjuntos matemáticos, incluindo definições de conjunto, elemento, pertinência e notações. Também descreve propriedades e operações básicas com conjuntos como união, interseção, diferença e complemento.
O documento apresenta alguns conceitos básicos sobre conjuntos, incluindo:
1) Conjuntos são coleções de objetos que podem ser definidos por letras maiúsculas. Um elemento pode pertencer ou não a um conjunto.
2) Operações com conjuntos incluem união, interseção, diferença e complemento.
3) Exemplos de conjuntos numéricos são os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais.
(1) O documento introduz os conceitos básicos de teoria de conjuntos, incluindo definição de conjunto, representação de conjuntos, relações de pertinência e inclusão, e operações básicas com conjuntos como união e interseção; (2) Apresenta os conjuntos numéricos naturais, inteiros e racionais e como surgem da necessidade de realizar operações matemáticas; (3) Explica as representações de números racionais como exatos e periódicos.
O documento discute conjuntos e suas propriedades. Em três frases ou menos:
O documento apresenta os conceitos básicos de teoria dos conjuntos, incluindo definição de conjunto, elementos, pertinência, inclusão e operações entre conjuntos. Explica como representar conjuntos através de listagem dos elementos ou por meio de propriedades comuns a todos os elementos. Discutem conjuntos vazios, unitários e as partes de um conjunto.
Conjuntos Autor Antonio Carlos Carneiro Barrosoguestbf5561
O documento resume conceitos fundamentais sobre operações com conjuntos, incluindo união, interseção, diferença, complementar e partição. Também aborda conjuntos numéricos como naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Por fim, apresenta exercícios sobre o tema.
1) O documento discute os conceitos básicos da teoria dos conjuntos, incluindo relação de pertinência, formação de conjuntos, subconjuntos e conjuntos vazios.
2) Apresenta as operações de união e intersecção de conjuntos e suas propriedades.
3) Explica o produto cartesiano de conjuntos e os conjuntos numéricos naturais, inteiros, racionais e reais.
1. O documento descreve os conceitos fundamentais da teoria de conjuntos desenvolvida por Georg Cantor, incluindo conjuntos, elementos, relações de pertinência e operações entre conjuntos como união, intersecção e diferença.
2. A teoria de conjuntos é apresentada por meio de suas noções primitivas, formas de representação de conjuntos e operações entre conjuntos como união, intersecção e diferença.
3. Exemplos ilustram os principais conceitos como subconjuntos, conjunto das partes, cardinalidade e resolução de problemas envolvendo
O documento descreve os principais conjuntos numéricos:
(1) Os números naturais, representados por N, incluindo o zero;
(2) Os números inteiros, representados por Z, incluindo os naturais e seus opostos;
(3) Os números racionais, representados por Q, incluindo os inteiros e frações.
O documento apresenta os principais tópicos da teoria dos conjuntos matemáticos, incluindo definições de conjunto, elemento, pertinência e notações. Também descreve propriedades e operações básicas com conjuntos como união, interseção, diferença e complemento.
O documento apresenta alguns conceitos básicos sobre conjuntos, incluindo:
1) Conjuntos são coleções de objetos que podem ser definidos por letras maiúsculas. Um elemento pode pertencer ou não a um conjunto.
2) Operações com conjuntos incluem união, interseção, diferença e complemento.
3) Exemplos de conjuntos numéricos são os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais.
O documento introduz os conceitos básicos de teoria dos conjuntos, incluindo definição de conjunto, elementos, pertinência, igualdade, subconjuntos, conjunto das partes e operações básicas como interseção, união e diferença.
O documento define e explica os cinco conjuntos numéricos fundamentais: números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Os números naturais contém apenas números positivos e são um subconjunto dos inteiros. Os números racionais incluem frações, enquanto os irracionais não podem ser expressos como frações. Os números reais são a união dos conjuntos racionais e irracionais.
1) O documento apresenta notas de aula sobre conjuntos numéricos e funções reais para o pré-cálculo diferencial e integral. 2) É fornecido um índice com os principais tópicos abordados, incluindo conjuntos numéricos, sistemas de coordenadas e relações e funções no plano cartesiano. 3) A professora pede que eventuais erros sejam comunicados e que o material possa ser usado por outros estudantes desde que citada a fonte.
O documento apresenta conceitos fundamentais da teoria dos conjuntos, incluindo definições de conjunto, elemento, pertinência, operações com conjuntos como união e interseção, além de exemplos ilustrativos.
1) O documento fornece uma introdução sobre notação matemática, incluindo símbolos, números, conjuntos numéricos e outros conceitos matemáticos básicos.
2) É fornecida uma lista de palavras-chave com definições sobre notação científica, matemática, ciência, entre outros termos.
3) Vários símbolos matemáticos são explicados, como o alfabeto grego, algarismos, conjuntos numéricos e tipos de números.
1) O documento discute conceitos básicos de conjuntos, incluindo formas de determinar conjuntos, diagramas de Venn e conjuntos especiais.
2) É explicado que um conjunto pode ser determinado através da listagem ou propriedade de seus elementos.
3) Conjuntos especiais como vazio, unitário, finito e infinito são definidos com exemplos.
Segue a apostila comum aos cargos de Assistente Operacional - Part #3
conteúdo extra :
https://mega.co.nz/#!LE1EGRyJ!yxfNUZtcYEUfQ89G4l3xBTQdAPxmd-oZIcXRfLA8bCk
1) O documento discute conceitos básicos de conjuntos, incluindo elementos, representação, igualdade, pertinência e subconjuntos.
2) Há diferentes formas de representar conjuntos, como lista de elementos, diagrama de Venn e compreensão.
3) Operações com conjuntos como união, interseção e diferença são explicadas com exemplos.
1) O documento discute conceitos básicos de conjuntos, incluindo elementos, representação, igualdade, pertinência e subconjuntos.
2) Há diferentes formas de representar conjuntos, como lista de elementos, diagrama de Venn e compreensão.
3) Operações com conjuntos como união, interseção e diferença são explicadas com exemplos.
O documento descreve os cinco conjuntos numéricos fundamentais: 1) Números naturais, 2) Inteiros, 3) Racionais, 4) Irracionais e 5) Reais. Explica que os números naturais contém apenas números positivos e são representados por N. Já os números inteiros incluem também os negativos e são representados por Z. Por fim, os números reais são a união dos conjuntos racionais e irracionais.
Este documento apresenta os conceitos básicos de teoria de conjuntos, incluindo: (1) Definição de conjunto como uma coleção de objetos e notação; (2) Relação de pertinência entre elementos e conjuntos; (3) Tipos de conjuntos como vazio, unitário e numéricos. Operações entre conjuntos como união, interseção e diferença também são explicadas.
Este documento discute conjuntos numéricos, incluindo sua representação em extensão, compreensão e diagramas de Venn. Aprendemos que um conjunto é uma coleção bem definida de elementos, geralmente designado por uma letra maiúscula. Conjuntos podem ser finitos ou infinitos, singulares ou vazios.
O documento discute os conjuntos numéricos naturais, inteiros, racionais e suas propriedades. Apresenta os conjuntos N, Z, Q e suas operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão. Explica também os conceitos de número natural, inteiro, racional, decimal exato e periódico.
Segundo 2500 cientistas de 130 países, a temperatura global aumentará entre 1,1°C e 6,4°C até 2100 e o nível dos oceanos subirá entre 18cm e 59cm, devido ao aumento das emissões de gases do efeito estufa como o CO2. Isso trará inundações, ondas de calor e ciclones mais frequentes e violentos, além do desaparecimento de ilhas e espécies.
O documento apresenta noções básicas de conjuntos, incluindo definições de conjunto, elementos, subconjuntos, conjunto universal, conjunto vazio e operações com conjuntos como união, interseção e diferença.
O documento descreve os conceitos básicos de conjuntos, incluindo elementos, representação de conjuntos, pertinência, igualdade, subconjuntos, conjunto vazio, conjunto unitário, conjunto universo, conjunto das partes e operações com conjuntos como união, interseção e diferença. É apresentado um problema sobre consumo de margarinas para ilustrar o cálculo do tamanho de um conjunto universo.
O documento descreve os principais conjuntos numéricos e suas propriedades, incluindo:
(1) Os conjuntos naturais, inteiros, racionais e reais, assim como suas definições matemáticas;
(2) A história dos conjuntos numéricos desde a Antiguidade e o papel fundamental de Cantor na teoria dos conjuntos no século XIX;
(3) Conceitos básicos da teoria dos conjuntos como pertinência, igualdade, subconjuntos, conjunto potência e operações entre conjuntos.
Matemática Discreta - Parte IV teoria dos-conjuntosUlrich Schiel
Este documento apresenta os principais conceitos da teoria dos conjuntos, incluindo:
1) Definição de conjunto e notação;
2) Descrição de conjuntos através de listagem, indução ou propriedades características;
3) Conjunto vazio e paradoxo de Russel;
4) Relações entre conjuntos como inclusão, igualdade, interseção e união.
1) A aula abordou o Princípio da Inclusão-Exclusão e o Princípio da Casa de Pombos para contar elementos em conjuntos.
2) Exemplos ilustraram como aplicar os princípios para determinar o tamanho da interseção e união de conjuntos.
3) O documento forneceu a formula geral do Princípio da Inclusão-Exclusão para n conjuntos e explicou a lógica por trás da fórmula.
O documento define conjuntos, elementos, pertinência e símbolos relacionados. Um conjunto representa uma coleção de objetos e é denotado por letras maiúsculas. Um elemento é um componente de um conjunto, denotado por letras minúsculas. O símbolo ∈ indica que um elemento pertence a um conjunto.
O documento introduz os conceitos básicos de teoria dos conjuntos, incluindo: (1) conjuntos são coleções de objetos definidos por uma propriedade comum; (2) notação para representar conjuntos como listas ou descrições; (3) relações entre elementos e conjuntos como pertencimento.
1. O documento apresenta os conceitos básicos de conjuntos, incluindo definição de conjunto, representação de conjuntos, pertencimento, igualdade, subconjuntos, conjunto vazio e conjunto unitário.
2. São definidas operações com conjuntos como união, interseção e diferença.
3. São apresentados os principais conjuntos numéricos: números naturais, inteiros, racionais e reais.
O documento introduz os conceitos básicos de teoria dos conjuntos, incluindo definição de conjunto, elementos, pertinência, igualdade, subconjuntos, conjunto das partes e operações básicas como interseção, união e diferença.
O documento define e explica os cinco conjuntos numéricos fundamentais: números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Os números naturais contém apenas números positivos e são um subconjunto dos inteiros. Os números racionais incluem frações, enquanto os irracionais não podem ser expressos como frações. Os números reais são a união dos conjuntos racionais e irracionais.
1) O documento apresenta notas de aula sobre conjuntos numéricos e funções reais para o pré-cálculo diferencial e integral. 2) É fornecido um índice com os principais tópicos abordados, incluindo conjuntos numéricos, sistemas de coordenadas e relações e funções no plano cartesiano. 3) A professora pede que eventuais erros sejam comunicados e que o material possa ser usado por outros estudantes desde que citada a fonte.
O documento apresenta conceitos fundamentais da teoria dos conjuntos, incluindo definições de conjunto, elemento, pertinência, operações com conjuntos como união e interseção, além de exemplos ilustrativos.
1) O documento fornece uma introdução sobre notação matemática, incluindo símbolos, números, conjuntos numéricos e outros conceitos matemáticos básicos.
2) É fornecida uma lista de palavras-chave com definições sobre notação científica, matemática, ciência, entre outros termos.
3) Vários símbolos matemáticos são explicados, como o alfabeto grego, algarismos, conjuntos numéricos e tipos de números.
1) O documento discute conceitos básicos de conjuntos, incluindo formas de determinar conjuntos, diagramas de Venn e conjuntos especiais.
2) É explicado que um conjunto pode ser determinado através da listagem ou propriedade de seus elementos.
3) Conjuntos especiais como vazio, unitário, finito e infinito são definidos com exemplos.
Segue a apostila comum aos cargos de Assistente Operacional - Part #3
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1) O documento discute conceitos básicos de conjuntos, incluindo elementos, representação, igualdade, pertinência e subconjuntos.
2) Há diferentes formas de representar conjuntos, como lista de elementos, diagrama de Venn e compreensão.
3) Operações com conjuntos como união, interseção e diferença são explicadas com exemplos.
1) O documento discute conceitos básicos de conjuntos, incluindo elementos, representação, igualdade, pertinência e subconjuntos.
2) Há diferentes formas de representar conjuntos, como lista de elementos, diagrama de Venn e compreensão.
3) Operações com conjuntos como união, interseção e diferença são explicadas com exemplos.
O documento descreve os cinco conjuntos numéricos fundamentais: 1) Números naturais, 2) Inteiros, 3) Racionais, 4) Irracionais e 5) Reais. Explica que os números naturais contém apenas números positivos e são representados por N. Já os números inteiros incluem também os negativos e são representados por Z. Por fim, os números reais são a união dos conjuntos racionais e irracionais.
Este documento apresenta os conceitos básicos de teoria de conjuntos, incluindo: (1) Definição de conjunto como uma coleção de objetos e notação; (2) Relação de pertinência entre elementos e conjuntos; (3) Tipos de conjuntos como vazio, unitário e numéricos. Operações entre conjuntos como união, interseção e diferença também são explicadas.
Este documento discute conjuntos numéricos, incluindo sua representação em extensão, compreensão e diagramas de Venn. Aprendemos que um conjunto é uma coleção bem definida de elementos, geralmente designado por uma letra maiúscula. Conjuntos podem ser finitos ou infinitos, singulares ou vazios.
O documento discute os conjuntos numéricos naturais, inteiros, racionais e suas propriedades. Apresenta os conjuntos N, Z, Q e suas operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão. Explica também os conceitos de número natural, inteiro, racional, decimal exato e periódico.
Segundo 2500 cientistas de 130 países, a temperatura global aumentará entre 1,1°C e 6,4°C até 2100 e o nível dos oceanos subirá entre 18cm e 59cm, devido ao aumento das emissões de gases do efeito estufa como o CO2. Isso trará inundações, ondas de calor e ciclones mais frequentes e violentos, além do desaparecimento de ilhas e espécies.
O documento apresenta noções básicas de conjuntos, incluindo definições de conjunto, elementos, subconjuntos, conjunto universal, conjunto vazio e operações com conjuntos como união, interseção e diferença.
O documento descreve os conceitos básicos de conjuntos, incluindo elementos, representação de conjuntos, pertinência, igualdade, subconjuntos, conjunto vazio, conjunto unitário, conjunto universo, conjunto das partes e operações com conjuntos como união, interseção e diferença. É apresentado um problema sobre consumo de margarinas para ilustrar o cálculo do tamanho de um conjunto universo.
O documento descreve os principais conjuntos numéricos e suas propriedades, incluindo:
(1) Os conjuntos naturais, inteiros, racionais e reais, assim como suas definições matemáticas;
(2) A história dos conjuntos numéricos desde a Antiguidade e o papel fundamental de Cantor na teoria dos conjuntos no século XIX;
(3) Conceitos básicos da teoria dos conjuntos como pertinência, igualdade, subconjuntos, conjunto potência e operações entre conjuntos.
Matemática Discreta - Parte IV teoria dos-conjuntosUlrich Schiel
Este documento apresenta os principais conceitos da teoria dos conjuntos, incluindo:
1) Definição de conjunto e notação;
2) Descrição de conjuntos através de listagem, indução ou propriedades características;
3) Conjunto vazio e paradoxo de Russel;
4) Relações entre conjuntos como inclusão, igualdade, interseção e união.
1) A aula abordou o Princípio da Inclusão-Exclusão e o Princípio da Casa de Pombos para contar elementos em conjuntos.
2) Exemplos ilustraram como aplicar os princípios para determinar o tamanho da interseção e união de conjuntos.
3) O documento forneceu a formula geral do Princípio da Inclusão-Exclusão para n conjuntos e explicou a lógica por trás da fórmula.
O documento define conjuntos, elementos, pertinência e símbolos relacionados. Um conjunto representa uma coleção de objetos e é denotado por letras maiúsculas. Um elemento é um componente de um conjunto, denotado por letras minúsculas. O símbolo ∈ indica que um elemento pertence a um conjunto.
O documento introduz os conceitos básicos de teoria dos conjuntos, incluindo: (1) conjuntos são coleções de objetos definidos por uma propriedade comum; (2) notação para representar conjuntos como listas ou descrições; (3) relações entre elementos e conjuntos como pertencimento.
1. O documento apresenta os conceitos básicos de conjuntos, incluindo definição de conjunto, representação de conjuntos, pertencimento, igualdade, subconjuntos, conjunto vazio e conjunto unitário.
2. São definidas operações com conjuntos como união, interseção e diferença.
3. São apresentados os principais conjuntos numéricos: números naturais, inteiros, racionais e reais.
O documento descreve os conceitos básicos de conjuntos, incluindo definições de conjunto, elemento, relação de pertinência e formas de representar conjuntos através de lista, diagrama de Venn ou propriedade característica. Também apresenta operações básicas com conjuntos como união, interseção e diferença.
O documento descreve conceitos básicos de conjuntos numéricos e suas operações. Ele define o que é um conjunto, formas de representá-lo e tipos como finito, infinito e vazio. Também explica as relações entre conjuntos como inclusão, igualdade, subconjunto, união, interseção e diferença. Por fim, apresenta exemplos de conjuntos numéricos como naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
O documento discute a teoria dos conjuntos, definindo conjuntos, elementos, operações entre conjuntos como união, intersecção e diferença. A teoria dos conjuntos foi desenvolvida por Georg Cantor em 1872 e forneceu uma base unificada para a linguagem da matemática.
O documento apresenta os seguintes conceitos fundamentais da Teoria dos Conjuntos:
1) Define o que é um conjunto e apresenta exemplos de representação de conjuntos utilizando chaves;
2) Apresenta os conceitos primitivos da teoria dos conjuntos como elemento, pertinência, inclusão e cardinalidade;
3) Discorre sobre tipos de conjuntos como finitos, infinitos, unitários e vazios.
1) O documento apresenta notas de aula sobre conjuntos numéricos e funções reais para o pré-cálculo diferencial e integral. 2) Aborda tópicos como noção de conjunto, operações com conjuntos, sistemas de coordenadas e relações e funções no plano cartesiano. 3) Tem o objetivo de auxiliar os estudantes na revisão de conteúdos básicos para o estudo do cálculo diferencial e integral.
1) O documento apresenta notas de aula sobre conjuntos numéricos e funções reais. 2) Aborda conceitos básicos de conjuntos como conjunto, subconjunto, conjunto das partes, operações com conjuntos e conjuntos numéricos. 3) Também discute sistemas de coordenadas, relações e funções no plano cartesiano.
Este documento apresenta os conceitos básicos da teoria de conjuntos, incluindo definições de termos como conjunto, elementos, pertinência, notação de conjuntos, subconjuntos, igualdade de conjuntos, união, interseção e diferença de conjuntos. Explica como representar conjuntos por extensão e entendimento e como diagramas de Venn podem ser usados para ilustrar relações entre conjuntos.
- DEFINIÇÃO
- RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
- IGUALDADE DE CONJUNTOS
- CONJUNTO VAZIO
- CONJUNTO UNITÁRIO
- CONJUNTO UNIVERSO
- SUBCONJUNTOS
CONJUNTOS NUMÉRICOS
- Conjunto dos números naturais
- Conjunto dos números inteiros
- Conjunto dos números racionais
- Conjunto dos números irracionais
- Conjunto dos números reais.
I NTERVALOS
1. O documento apresenta os conceitos básicos de teoria dos conjuntos, incluindo definição de conjunto, descrição de conjuntos, conjunto unitário, conjunto vazio, subconjuntos, conjunto das partes, união de conjuntos, interseção de conjuntos e diferença de conjuntos.
2. São dados exemplos ilustrativos para cada um dos conceitos apresentados.
3. As principais operações com conjuntos são definidas: união, interseção e diferença.
O documento apresenta os seguintes conceitos fundamentais da Teoria dos Conjuntos:
1) Define o que é um conjunto e apresenta exemplos de conjuntos;
2) Apresenta os conceitos primitivos da Teoria dos Conjuntos como elemento, pertinência, inclusão e cardinalidade;
3) Explica as representações gráficas dos conjuntos utilizando símbolos como chaves e vírgula.
Este documento fornece um resumo sobre teoria elementar de conjuntos, definindo conjuntos e elementos, operações entre conjuntos como união e interseção, e propriedades como leis fundamentais de conjuntos.
1) O documento discute conceitos básicos de teoria dos conjuntos, incluindo definições de conjunto, representações de conjuntos, operações entre conjuntos e exemplos.
2) São apresentadas noções como conjunto unitário, conjunto vazio, igualdade e inclusão de conjuntos, subconjuntos e conjunto de partes.
3) Exercícios são fornecidos para aplicar os conceitos aprendidos, como determinar relações entre conjuntos e calcular interseções e uniões.
1) O documento apresenta conceitos básicos de matemática, incluindo conjuntos, números, operações com conjuntos e frações.
2) É definido o que são conjuntos, subconjuntos, união, interseção e diferença de conjuntos. Também são explicados os conjuntos numéricos fundamentais.
3) O texto descreve intervalos numéricos, partição de conjuntos e a fórmula para calcular o número de elementos da união de dois conjuntos. Por fim, é apresentada a definição de fração.
Material sobre Conjuntos, Relação de Pertinência, Representação de Conjuntos, Tipos de Conjuntos, Igualdade de Conjuntos, Subconjuntos e Partes de um Contuntos. Possui exercícios, onde a parte em azul são as respostas de tais.
1. O documento descreve o conteúdo de uma disciplina de matemática básica, incluindo tópicos como conjuntos numéricos, álgebra elementar, funções, trigonometria e cálculo.
2. Os principais tópicos abordados são conjuntos numéricos, expressões algébricas, equações, funções do primeiro e segundo grau, exponenciais e logaritmos, e trigonometria.
3. A bibliografia inclui livros didáticos de matemática básica, cálculo e á
1) O documento apresenta conceitos básicos de teoria de conjuntos e operações entre conjuntos como união, interseção, diferença e complemento.
2) São definidos os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais e suas propriedades.
3) São apresentados os conceitos de subconjuntos, partes de um conjunto e intervalos na reta real.
1) O documento apresenta os conjuntos numéricos: números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Define seus subconjuntos e relações de inclusão entre eles.
2) Apresenta os intervalos reais, definindo intervalos abertos, fechados, fechados à esquerda/direita e infinitos.
3) Explica como representar graficamente esses intervalos na reta real.
A festa junina é uma tradicional festividade popular que acontece durante o m...ANDRÉA FERREIRA
Os historiadores apontam que as origens da Festa Junina estão diretamente relacionadas a festividades pagãs realizadas na Europa no solstício de verão, momento em que ocorre a passagem da primavera para o verão.
Atividade letra da música - Espalhe Amor, Anavitória.Mary Alvarenga
A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em Cristo, 1Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Revista ano 11, nº 1, Revista Estudo Bíblico Jovens E Adultos, Central Gospel, 2º Trimestre de 2024, Professor, Tema, Os Grandes Temas Do Fim, Comentarista, Pr. Joá Caitano, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
1. 1
INTRODUÇÃO A TEORIA DE CONJUNTOS
Professora Laura Aguiar
Conjunto
Admitiremos que um conjunto seja uma coleção de objetos chamados elementos e que
cada elemento é um dos componentes do conjunto.
Geralmente, para dar nome aos conjuntos, usaremos uma letra maiúscula do nosso
alfabeto, e os elementos por letras minúsculas. Para representação de um conjunto, utilizaremos
uma das três formas seguintes:
- Listagem dos elementos: Nesta representação, todos os elementos do conjunto são
apresentados numa lista, envolvidos por um para de chaves e separados por ponto-e-
vírgula ou por vírgula. Ex: Conjunto dos algarismos pares. A={0; 2; 4; 6; 8}
- Propriedade dos elementos: Quando, pela quantidade, não for conveniente escrever todos
os elementos que formam o conjunto, o descreveremos por uma propriedade possuída por
todos os seus elementos. Ex: A={ x I x é um algarismo par } Lê-se: O conjunto A é
formado pelos elementos x, tal que x é um algarismo par.
- Diagrama de Euler – Venn: Representamos o conjunto por um recinto plano limitado por
uma curva fechada. Ex:
Relação de Pertinência
A relação de pertinência indica se um determinado elemento pertence ou não a um
determinado conjunto.
Simbologia: Considerando A={0; 2; 4; 6; 8} , Assim:
SIMBOLOGIA TRADUÇÃO
2A O elemento 2 pertence ao conjunto A.
3A O elemento 3 não pertence ao conjunto A.
Quando fazemos uso da relação de pertinência, estamos, necessariamente, relacionando
um elemento a um conjunto, nesta ordem.
“elemento” “conjunto”
ou
“elemento” “conjunto”
Observação: Um elemento pertence a um conjunto se ele é “visível” ou listado no conjunto.
Relação de Inclusão
A relação de inclusão indica se um determinado conjunto está contido ou não em um outro
conjunto.
Se todos os elementos de um conjunto pertencem a outro, então o primeiro conjunto está
contido no segundo. Basta um único elemento do primeiro conjunto não pertencer ao segundo para
que o primeiro conjunto não esteja contido no segundo.
Simbologia:
SIMBOLOGIA TRADUÇÃO
A B O conjunto A está contido no conjunto B.
D E O conjunto D não está contido no conjunto E.
B A O conjunto B contém o conjunto A.
E D O conjunto E não contém o conjunto D.
2. 2
Quando fazemos uso da relação de inclusão estamos, necessariamente, relacionando um
conjunto a outro conjunto.
“ conjunto” “ conjunto” ou
“ conjunto” “ conjunto” ou
“ conjunto” “ conjunto” ou
“ conjunto” “ conjunto”
Se um conjunto A está contido no conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B.
Conjunto Vazio
O Conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos. Para representarmos o conjunto
vazio usaremos os símbolos: { } ou .
Atenção: Quando os símbolos { } ou , aparecerem listados ou visíveis, dentro de um conjunto,
o conjunto vazio deverá ser tratado como elemento desse conjunto especificado.
Ex. : Seja o conjunto A={ ; 1; 2; 3}, é correto afirmar para o conjunto A listado, que A , pois
é um elemento do conjunto A.
Também sempre será verdade que:
i) A para qualquer que seja o conjunto A.
ii) AA para qualquer que seja o conjunto A.
Conjunto Unitário
É o conjunto que possui apenas um elemento.
Conjunto das Partes
O Conjunto das partes de um conjunto A, denotado por P(A), é o conjunto formado por
todos os subconjuntos do conjunto A. Assim o conjunto das partes é o conjunto dos subconjuntos.
Atenção: Lembre-se que dentre os subconjuntos de um dado conjunto, estão o conjunto vazio e o
próprio conjunto.
Ex.: Seja X = {a, e, i} , encontre P( A ).
Numero de elementos do conjunto das partes
Para indicarmos o número de elementos de um conjunto A, usaremos a notação n(A). E o
número de elementos do conjunto das partes será indicado por n[P(A)].
Daí :
)(
2)]([ An
APn
Assim, um conjunto com 4 elementos, terá
4
2 elementos o seu conjunto das partes, ou seja, o
conjunto A terá no total 16 subconjuntos.
Igualdade de Conjuntos
Dois ou mais conjuntos são iguais quando apresentam os mesmos elementos, em
qualquer ordem, sendo que elementos iguais, num mesmo conjunto, serão considerados uma
única vez. Daí, podemos afirmar que é verdadeira a igualdade dada por:
A= { a; b; c} = { c; b; a} = { a; a; a; b; b; b; c; c}
Simbolicamente a igualdade entre conjuntos fica definida como: ABeBABA
Operações com conjuntos
União de Conjuntos: A união de dois conjuntos A e B, é o conjunto de todos os elementos que
pertencem a A ou B. Indicaremos a união pelo símbolo . Matematicamente:
}|{ BxouaxxBA
3. 3
isto é:
BxeAxseja
BxeAxseja
BxeAxseja
BAx
Nos diagramas abaixo BA ,é a região hachurada:
Interseção de conjuntos: A interseção de dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos
elementos comuns a A e B. Indicaremos a interseção pelo símbolo . Matematicamente:
}|{ BxeaxxBA
Nos diagramas abaixo BA , é região hachurada:
Quando a interseção de dois conjuntos é o conjunto vazio, eles são chamados de conjuntos
disjuntos.
Diferença de conjuntos: A diferença entre dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos
elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Matematicamente:
}|{ BxeaxxBA
Nos diagramas abaixo BA ,é a região hachurada:
Conjunto complementar: Dados os conjuntos A e U, se o conjunto A está contido no conjunto U,
a diferença U – A, é chamada complementar de A em relação a U. Chamaremos o conjunto U
conjunto universo.
Ao complementar de A em relação a U usaremos a notação: C
A
U , ou
C
A , ou A .
Então:
4. 4
}|{ AxeUxxC
A
U
No diagrama abaixo C
A
U é a região hachurada:
Ex: Seja U={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} e A={ 1, 3, 5, 7} daí
}9,8,6,4,1,0{ AUC
A
U
Diferença Simétrica : a diferença simétrica entre os conjuntos A e B, é o conjunto dos elementos
que pertencem a A e não pertencem a B ou, os elementos que pertencem a B e não pertencem A.
Indicaremos a diferença simétrica entre A e b por: BA . Daí:
)()(}|{ ABBAABxouBAxxBA
No diagrama abaixo BA , é região hachurada:
Número de elementos da união de conjuntos: O número de elementos da união de :
- dois conjuntos A e B será: )()()()( BAnBnAnBAn
- três conjuntos A, B e C será:
)()()()()()()()( CBAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn
Dedução:
zyBn
yBAn
yxAn
Seja
)(
)(
)(
pelo diagrama temos q zyxBAn )( , fazendo as
substituições de x, y e z teremos a fórmula, para o número de elementos da união dos dois
conjuntos.
Conjuntos Numéricos
5. 5
Os conjuntos numéricos foram surgindo, à medida que foi se tornando necessário apresentar
resultados para algumas operações matemáticas.
Com a necessidade de contar quantidades, surgiu o conjunto dos números naturais.
Conjunto dos números naturais (N): É o conjunto N = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}. Um subconjunto
importante de N é o N*: N* = {1; 2; 3; 4; 5; ...} ou N* = N - { 0 }. Em N é sempre possível efetuar a
adição e a multiplicação, ou seja, a soma e o produto de dois números naturais resultam sempre
em um número natural. Já a divisão ou subtração entre dois números naturais nem sempre é um
número natural; a subtração 2 -3, por exemplo, não é possível em N. Daí a necessidade de ampliar
o conjunto N introduzindo os números negativos.
Conjunto dos números inteiros (Z): Ou conjunto dos números relativos, é o conjunto Z = { ...; -3;
-2; -1; 0; 1; 2; 3; ...} , Podemos destacar os seguintes subconjuntos de Z:
- N, pois N Z.
- Z* = Z – { 0 } ou Z* = { ...; -3; -2; -1; 1; 2; 3; ...}
Geometricamente temos:
Observe que há uma simetria em relação ao zero. O oposto ou simétrico de 3 é –3, oposto ou
simétrico de –3 é o 3, valendo 3 + ( - 3) = -3 + 3 = 0.
Quando os números têm o mesmo sinal basta conservá-lo e adicionar os números; quando
os sinais são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal que prevalece é o deste último. É
bom lembrar também que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai alterar o sinal do número
que está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parêntese for o de (–). Se
não houver nenhum sinal antes do parêntese estará implícito que o sinal será o de mais (+).
Para as operações de multiplicação e divisão que virão logo a seguir vale a seguinte regra:
“Números de mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrários
conduzem sempre à resultados negativos”.
No conjunto Z, sempre é possível efetuar a adição, a multiplicação e a subtração, ou seja,
a soma, o produto e a diferença de dois números inteiros resultam sempre um número inteiro. E
todas as propriedades das operações em N continuam válidas em Z.
Já da divisão de dois números inteiros nem sempre resulta um número inteiro:
(-8) : (+2) = -4 é possível em Z.
(-7) : (+2) = ? não é possível em Z.
Daí a necessidade de ampliar o conjunto Z.
Conjuntos dos números racionais(Q): Ao acrescentarmos as frações não aparentes positivas e
negativas ao conjunto Z, obtemos o conjunto dos números racionais Q. Assim, por exemplo, são
números racionais:
,...2,
3
5
,1,
4
3
,
2
1
,0,
4
1
,
2
1
,1,
2
3
,2
Observe que todo número racional pode ser escrito na forma
b
a
, com aZ, bZ*. Assim,
escreveremos:
Q =
*, ZbeZacom
b
a
6. 6
Perceba que a restrição *Zb , nos obriga a termos 0b , pois
b
a
, a divisão de a por b, só tem
significado com 0b . A designação racional, surgiu porque
b
a
pode ser vista como uma razão
entre os inteiro a e b. A letra Q, que representa o conjunto dos números racionais, é a primeira
letra da palavra quociente. Os números racionais podem ser encontrados de três maneiras:
- Número inteiro: Se b = 1, temos Za
a
b
a
1
, o que implica que Z é subconjunto de Q. Assim:
QZN
- Número decimal exato: Dado um número racional
b
a
, a representação decimal desse número é
obtida dividindo-se a por b. Se esse resultado possui uma quantidade finita de casas decimais
após a vírgula, este resultado é um número decimal exato. Exemplos:
247,0
1000
247
;8,0
5
4
;625,0
8
5
;25,0
4
1
- Número decimal periódico ou dízima periódica: É o resultado da divisão
b
a
, que possui uma
quantidade infinita e periódica de casas decimais após a vírgula. Este resultado é chamado de
dízima periódica, e a fração
b
a
que gera a dízima, é a fração geratriz. Exemplos:
51,2...515151,2
33
83
;781,0...1787878,0
990
177
;6,0...666,0
3
2
No conjunto Q, as quatro operações fundamentais são possíveis e valem todas as
propriedades que valem para os inteiros. Certamente devemos nos lembrar de que a divisão por
zero é impossível!
Geometricamente temos:
Entre dois números inteiros nem sempre existe outro número inteiro. Entre dois racionais
sempre existe outro racional. Por exemplo, entre os racionais 5,0
2
1
e 75,0
4
3
podemos
encontrar infinitos racionais; entre eles 625,0
8
5
. Mas isso não significa que os racionais
preenchem toda a reta. Os números racionais são insuficientes para medir todos os segmentos
de reta. Por exemplo a medida da hipotenusa, de um triângulo retângulo, de catetos medindo uma
unidade, é um número não racional. Embora as quatro operações fundamentais (adição,
subtração, multiplicação e divisão por um número diferente de zero) sejam sempre definidas em Q,
7. 7
uma equação como 22
x não pode ser resolvida em Q, pois não existe racional
b
a
tal que
2
2
b
a
. Surge então a necessidade de outro tipo de número, o número não racional ou
irracional.
Conjunto dos números irracionais(R/Q): São os números que não podem ser escrito na forma
fracionária, com numerador inteiro e denominador inteiro ( diferente de zero). São as decimais
infinitas e não periódicas. Exemplos:
...4142135,12 ; ...7320508,13 ; ...1415926535,3
Representação de alguns irracionais na reta:
Conjunto dos números reais(R): Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto
dos números irracionais obtemos o conjunto dos números reais R. Simbolicamente:
irracionaléxouracionaléxxQRxouQxQRQR |//
Os números racionais não eram suficientes para esgotar os pontos da reta. Por exemplo, os
pontos da reta correspondente aos números 3 , 2 , , , e não eram preenchidos com os
números racionais. Agora, os números reais esgotam todos os pontos da reta, ou seja, a cada
ponto da reta corresponde um único número real e, reciprocamente, a cada número real
corresponde um único ponto da reta.
Por isso dizemos que existe uma correspondência biunívoca entre os números reais e os
pontos da reta. Temos assim a reta real, que é construída desta forma: numa reta, escolhemos
uma origem (e associamos a ela o zero), um sentido de percurso e uma unidade de escala.
O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numéricos vistos até aqui:
RQZN
RRQ /
RRQQ /
RQQ /
QRRQ /
8. 8
Assim com os números reais toda equação do tipo ax 2
com Na , pode ser resolvida e todos
os segmentos de reta podem ser medidos.
Existem outros números além dos reais, a raiz de índice par e radicando negativo é
impossível em R, pois, por exemplo, não existe número real que, elevado ao quadrado, dê um
número negativo. Assim, 4 não é um número real; é um número complexo ou imaginário.
Podemos usar as seguintes notações para alguns subconjuntos de R:
R real positivo ou nulo
*
R real positivo
R real negativo ou nulo
*
R real negativo
O mesmo pode ser feito com Z e Q.
Relação de ordem em R: Sejam dois números reais quaisquer a e b,entre a e b poderá ocorrer
uma, e somente uma, das relações: a = b ou a > b ou a < b.
A desigualdade representada por a < b significa que o número real a é menor que o
número real b.Geometricamente se a < b, então a está situado à esquerda de b na reta real.
A desigualdade representada por a > b significa que o número real a é maior que o
número real b. Geometricamente , se a > b, então a está situado à direita de b na reta real.
Também usaremos a notação:
ba baouba (a é menor que b ou a é igual a b)
ba baouba (a é maior que b ou a é igual a b)
cba
cb
ba
cbeba
Será muito útil percebermos que se tivermos x R, e escrevermos:
x > 0 x é positivo
x < 0 x é negativo
0x x é não positivo
0x x é não negativo
Algumas propriedades importantes das desigualdades:
As simbologias <, >, chamaremos de sentido da desigualdade.Vejamos algumas propriedades
muito úteis:
1ª)Podemos adicionar membro a membro, desigualdades de mesmo sentido:
-2<x<3 e 1<y<5 -2+1 < x+y < 3+5
2ª) Podemos somar ou subtrair um número real a ambos os membros de uma desigualdade sem
alterá-la ou transpor um termo de um membro para o outro, trocando o sinal deste termo.
x+7 < 9 x > 9-7 x > 2 que é o mesmo que fazer x+7 < 9 x +7-7 > 9-7 x > 2
3ª) Podemos multiplicar ou dividir ambos os membros de uma desigualdade por um real diferente
de zero, mas com o seguinte cuidado:
-Se o número for positivo, conservamos o sinal da desigualdade;
-Se o número for negativo invertemos o sinal da desigualdade.
Observe: -3 < 2 multiplicando por 5 toda a desigualdade -15 < 10. Mas se multiplicarmos por -5, 15
> -10 .
9. 9
Intervalos Reais: Certos subconjuntos de R, determinados por desigualdades, têm grande
importância na Matemática; são os intervalos reais.
Representação na reta real Sentença matemática Notações simbólicas
Intervalo aberto:
{x R | a < x < b} ]a,b[ (a,b)
Intervalo fechado:
{x R | bxa } [a,b] [a,b]
Intervalo semi-aberto à direita:
{x R | bxa } [a,b[ [a,b)
Intervalo semi-aberto à esquerda:
{x R | bxa } ]a,b] (a,b]
Intervalos “infinitos”:
Representação na reta real Sentença matemática Notações simbólicas
{x R | ax } ]a, [ ( a, )
{x R | ax } [a, [ [a, )
{x R | ax } ] ,a[ ( ,a)
{x R | ax } ] ,a] ( ,a]
Considera-se como intervalo ] , [ = R.
Observações:
1) A “bolinha fechada” ( ) indica que o extremo do intervalo pertence a ele. A “bolinha aberta” ( )
indica que o extremo do intervalo não pertence a ele.
2) e , simbolizam apenas a ausência de extremidades pela esquerda ou pela direita no
intervalo, sendo sempre abertos. Portanto e não são números reais!
3)Como definimos, intervalos são subconjuntos dos números reais. Assim os seguintes exemplos
não são intervalos:
S={x Z | -5< x < 2}; L= {x N | x >3 }; T = {x Z | 13 x }
Operações com intervalos
Exercícios de aplicação:
10. 10
1) Dado A = }11|{ xRx e B= )5,0[ , determine:
a) BA
b) BA
c) BA
d) AB
e)
B
AC
2) Dados A = [2, 5] e B = ( 3, 6], calcule para U = R:
a) A
b) B
c) BA
d) BA
e) BA
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
Parte I
1) Sendo A={a, b, {a}, 2}, determine as afirmações falsas e verdadeiras.
i) Aa
ii) Aa }{
iii) Aa }}{{
iv) Aba },{
v) Aa }{
Então:
a) todas são falsas
b) i e iv são falsas
c) ii e v são falsas
d) somente a iii é falsa
e) todas são verdadeiras
2) Sejam A e B subconjuntos de um conjunto X, tais que AX ={0, 1, 5, 6} e BX ={0, 4, 6}. Se
BA ={2, 3}, o conjunto BA é igual a:
a) {1, 4, 5}
b){0, 2, 3, 5}
c){1, 2, 3, 4}
d){1, 2, 3, 4, 5}
e){0, 2, 4, 5, 6}
3) (FCMSC-SP) Se A, B e C são conjuntos tais que CCA e BC , então:
a) AB
b) ACC
B
c) BBA
d) ABC
e) ACB
4)(Cesgranrio) Sejam M, N e P conjuntos. Se NM ={1, 2, 3, 5} e PM ={1, 3, 4}, então
PNM é :
a)
11. 11
b ){1, 3}
c){1, 3, 4}
d){1, 2, 3, 5}
e){1, 2, 3, 4, 5}
5) (MACK) Se A e B são dois conjuntos tais que BA e A , então:
a) sempre existe Ax tal que Bx
b) sempre existe Bx tal que Ax
c) se Bx então Ax
d) se Bx então Ax
e) BA
6) (UFRN) Se A, B e C são conjuntos tais que )( BAC ={6, 7} e )( BAC ={4, 5}, então, C
é igual a:
a) {4,5}
b) {6, 7}
c) {4, 5, 6}
d) {5, 6, 7}
e) {4, 5, 6, 7}
7) Se A={3, 7} e B={7, 8, 9}, então o número de elementos do conjunto M tal que MA ={3} ,
MB ={8} e MBA ={3, 7, 8, 9,10} é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
8) O número de conjuntos A que satisfaz }4,3,2,1{}2,1{ A é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
9) (U.Uberaba) No diagrama, a parte hachurada representa:
a) GFE )(
b) )( GE
c) )( FEG
d) )()( GFFE
e) GFE )(
12. 12
10) (PUC) A região assinalada no diagrama representa:
a) CBA )(
b) )()( CBBA
c) )()( CBCA
d) )()( BCBA
e) )()( CBCA
11) Num grupo de 400 pessoas, 30% são homens e 65% das mulheres têm mais de 20 anos.
Quantas mulheres ainda não comemoraram se 20º aniversário?
a) 260
b) 182
c) 120
d) 105
e) 98
12) Suponha que numa equipe de 10 estudantes, 6 usam óculos e 8 usam relógio. O número de
estudantes que usam, ao mesmo tempo, óculos e relógio é?
a) exatamente 6.
b) exatamente 2.
c) no mínimo 6.
d) no máximo 5.
e) no mínimo 4.
13) (PUC-SP) Dentre os inscritos em um concurso público, 60% são homens e 40% são mulheres.
Já têm emprego 80% dos homens e 30 % das mulheres. Qual a porcentagem dos candidatos que
já tem emprego?
a) 60% b) 40% c) 30% d) 24% e) 12%
14) (CESESP) Numa universidade são lidos apenas dois jornais X e Y, 80% dos alunos lêem o
jornal X e 60 % lêem o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos dois
jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que lêem ambos.
a) 80% b) 14% c) 40% d) 60% e) 48
15) Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
A – Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
B – Quando chove de manhã não chove à tarde;
C – Houve 5 tardes sem chuva;
D - Houve 6 manhãs sem chuva.
Então n é igual a:
a) 7 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12