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FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA
FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ
COLÉGIO: C.E. GENERAL DUTRA
PROFESSOR: LUCIANE OLIVEIRA DA SILVA
MATRÍCULA: 09512377
SÉRIE: 9º ANO – E. FUNDAMENTAL
TUTOR (A): DANUBIA DE ARAUJO MACHADO



  PLANO DE TRABALHO SOBRE EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AO 2º GRAU

                                                            Luciane Oliveira da Silva
                                                         Lucyanne_uff@yahoo.com.br

1. Introdução:

         As primeiras noções do que é uma equação surgem logo nos primeiros anos do
Ensino Fundamental, onde se estudam as equações algébricas dos primeiro e segundo
graus. Fora o caráter formativo de tais conceitos, a verdade é que a grande maioria dos
alunos que prosseguem seus estudos ingressando no Ensino Superior, onde a
Matemática continua a ser estudada, não voltam mais a abordar o aperfeiçoamento do
que vem lá de trás, especialmente as equações do tipo algébrico, completas e de grau
superior ao segundo.
         A resolução de problemas que envolvam equações do primeiro e segundo graus
já é de conhecimento dos alunos do 9º ano do Ensino Fundamental no terceiro bimestre.
Para estas equações é possível encontrar os valores das incógnitas à custa de operações
elementares – adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raiz de índice
inteiro – sobre os coeficientes das equações, usando o que se designa por fórmulas
resolventes. Sabe-se que existem equações de graus superiores, mas estas possuem suas
fórmulas resolventes, mas estas são muito complicadas, o que leva à resolução dessas
equações por outros meios, que não sejam estas fórmulas.
         Neste plano de trabalho, utilizaremos objetos situações cotidianas do aluno
como modelo para conhecer e explorar algumas atividades matemáticas tornando as
aulas mais atrativas de dinâmicas.
         Para a realização desta atividade, o professor deve estimular o aluno para que
este seja o agente ativo da construção do novo conhecimento que lhe está sendo
apresentado.


2. Estratégias adotadas no Plano de Trabalho:

         Este Plano de Trabalho está organizado em 2 (duas) etapas. Em cada uma
delas, os alunos são convidados, através de atividades dinâmicas, a lembrar a forma de
resolver equações do segundo grau e na descoberta de como resolver uma equação
biquadrada. Tudo isso resultará em um aprendizado significativo.


Atividade 1:
   Habilidade relacionada:
       - Resolver equações biquadradas e irracionais;
       - Identificar situações-problemas que são resolvidas através de equações do 2º
       grau;
       - Resolver problemas significativos envolvendo equações e sistemas do 2º grau.

      Pré-requisitos:
       Para a realização desta atividade, é necessário que os alunos tenham o
       conhecimento prévio de resolução de equação polinomial do segundo grau.

      Tempo de Duração:
       100 minutos (2 aulas).

      Recursos Educacionais Utilizados:
       Para a realização destas atividades, serão necessários os seguintes recursos:

         Quadro branco;
         Caneta para quadro branco;
         Calculadora;
         Lápis e folha de aula;

      Organização da turma:
       Esta tarefa será realizada em pequenos grupos (2 ou 3 participantes) para que o
       trabalho seja colaborativo e que ninguém fique ocioso durante a aula e sim
       participando e descobrindo o conteúdo apresentado.

      Objetivos:
        Ao término das aulas, o aluno deverá ser capaz de:

         Relembrar a resolução de equações do segundo grau;
         Resolver equação polinomial do segundo grau;
         Identificar uma equação biquadrada;
         Resolver equação biquadrada;
         Perceber quantas raízes reais uma equação biquadrada pode ter;

      Metodologia adotada:
        Esta atividade está dividida em duas etapas com duração de 50 minutos cada
(uma aula).

        1ª etapa:

         Propor o seguinte questionamento para que a turma relembre a resolução de
equações do segundo grau:

        “Um ourives vai utilizar um fio de ouro de 20 mm de comprimento para fazer
um pingente, formado por dois quadrados, conforme mostra a figura abaixo.
Ele precisa fazer isto com apenas um corte neste fio, para evitar desperdício de
material. Desprezando a espessura dos fios, a soma das áreas dos quadrados limitados
pelo fio é 13 mm2. Qual deve ser o comprimento dos dois fios obtidos do corte no fio de
ouro?”
         O professor deve determinar um tempo para que a turma pense sobre as
possíveis soluções e levante suas hipóteses. O professor deve acompanhar o raciocínio
deles.
         Este problema explora uma situação geométrica que será modelada por meio
da álgebra, particularmente por uma equação do 2º grau. O professor deve verificar as
hipóteses dos alunos e, logo após, resolver o problema juntamente com eles.
         Se chamarmos de x o comprimento de uma das partes em que o fio for
dividido, a outra parte terá comprimento 20 – x. Note que estes comprimentos são o
perímetro de cada um dos quadrados que serão formados. Isso significa que os lados de
                                       x           20 − x
cada um dos quadrados serão            4
                                             e       4
                                                            e, consequentemente, suas áreas serão
     2         2
 x   20 − x 
   +
 4   4 
                =13   , que tem solução            x1 =8
                                                            e   x2 =12
                                                                         que são as medidas dos dois
pedaços de fios.

         2ª etapa:

         Para essa etapa a turma deve ser disposta em grupos de 2 ou 3 alunos,
propiciando trabalho organizado e colaborativo.
         O professor deve apresentar diversas equações polinomiais tais como:
  x4 − x2 +
      13   36 =0   ,   3x 4 − x 2 − =
                             5     1 0,                3   6   e pedir que verifiquem
                                                   x4 −x3 + x − =
                                                               4 0


quais equações são semelhantes e porquê.
         O professor deve explicar à turma que equações biquadradas são equações do
4º grau incompletas, onde os coeficientes das variáveis de expoente ímpar são nulos.
         Exemplos:
          3x 4 − x 2 − =
                5     1 0


          7x4 + x2 + =
               3    2 0




         O professor deve estimular o aluno a experimentar, conjecturar e concluir
quantas são as raízes de uma equação biquadrada. Nesta etapa, aluno será convidado a
verificar as soluções de equações biquadradas. Cada aluno receberá uma lista de
exercícios:


                              EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

1. Considere as equações e os números que aparecem ao lado de cada uma delas e
verifique se estes últimos são ou não raízes da equação.
         a)  x4 − x2 +
                 13   36 =0    ,       e
                                      x =2         x = 2
                                                      −



         b)  x4 + x2 − =
                 4    5 0    , x =1
                                    e            x =1
                                                    −
c)    x4 − x2 + =
                  6    8 0                   ,       x = 2
                                                              e       x =−2



        d)    x   4
                      +x
                       5        2
                                    −24 =0       ,    x = 3
                                                                  e        x =−3




2. Observando os resultados do item anterior, podemos supor que toda vez que um
número real r é raiz de uma equação biquadrada, seu simétrico também é raiz desta
equação? Por quê?

3. Efetue, em cada equação, a multiplicação dos binômios e verifique se esta
multiplicação transforma-a em uma equação biquadrada.
         a) (  x −)
                  2(   ) (    )(x +2)   x −3           x +3       =0



         b) ( )   1(  1)(
                x + x − x −2  )
                              (     )                  x +2       =0



         c) (  x −)
                  3(   )(     )
                              ( x +3)   x −5           x +5       =0



         d) ( )    (
                x − x −
                  1    )
                       2(     )(    )   x +2           x −2       =0




4. Discuta com seus colegas:
         Será que é possível resolver uma equação biquadrada, utilizando a fórmula de
                       resolução da equação do segundo grau?


5. Resolva em             ℜ
                                as equações biquadradas a seguir:
         a)   4x      4
                              − x2 + =
                               5    1 0


         b)   2t 4 − x 2 + =
                    3     1 0


         c)   5x 4 = 2 + =
                    x   4 0


         d)   y4 =16



         e)   3z 4 + z 2 − =
                    4     7 0


         f)  x4 =3x 2




        Após corrigir as atividades de 1 a 3, o professor deve discutir com a turma a
questão 4. Deverá ouvir a opinião dos alunos e, depois, explicar que esse tipo de
equação pode ser resolvida mudando-se a variável a fim de que forme-se equações do 2º
grau. Basta substituir a variável  por    e     por     . Desta maneira, obtemos:
                                                         x4           y2       x2   y


          ax 4 + 2 + =
                bx  c 0
                                                     ay 2 + + =
                                                            by c 0




        Então:

          S ={ y1 , y 2 }



        A seguir basta conduzi-la à equação biquadrada. Para tanto, faz-se:
 x1 +=       y1
                                          x ±= y1 → 
                                                      x2 −=      y1
                                                        x3 +=    y2
                                          x ±= y2 → 
                                                         x4 −=   y2
         O professor deve resolver uma equação juntamente com a turma ou pedir que
escolham uma equação biquadrada para que o professor resolva juntamente com eles,
explicando e demonstrando cada passo da resolução. Após a demonstração, o professor
deve solicitar que os alunos resolvam o exercício 5 da lista, que deve ser corrigida e
discutida após um tempo determinado pelo professor que acompanhará resolução de
cada atividade auxiliando sempre que surgirem quaisquer dúvidas.


3. Avaliação:

         A avaliação levará em conta a participação de cada aluno na execução de cada
tarefa proposta, tentativa de resolução dos exercícios de fixação e entendimento do
aluno perante os conteúdos apresentados.


4. Referências:

BOSQUILHA, Alessandra & AMARAL, João Tomás. Minimanual Compacto de
Matemática: Teoria e Prática. 2. ed. São Paulo: Rideel, 2003.

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental.
Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília – DF: MEC/SEF, 1998.

IEZZI, Gelson. Matemática e Realidade. 8ª série, 5 ed. São Paulo: Atual, 2005.

LOPES, Hélio Bernardo. A resolução de equações. Disponível em:
<http://www.ipv.pt/millenium/Millenium29/28.pdf> Acesso em: 03 set. 2011.

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Plano de trabalho - Equações redutíveis ao 2º grau

  • 1. FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ COLÉGIO: C.E. GENERAL DUTRA PROFESSOR: LUCIANE OLIVEIRA DA SILVA MATRÍCULA: 09512377 SÉRIE: 9º ANO – E. FUNDAMENTAL TUTOR (A): DANUBIA DE ARAUJO MACHADO PLANO DE TRABALHO SOBRE EQUAÇÕES REDUTÍVEIS AO 2º GRAU Luciane Oliveira da Silva Lucyanne_uff@yahoo.com.br 1. Introdução: As primeiras noções do que é uma equação surgem logo nos primeiros anos do Ensino Fundamental, onde se estudam as equações algébricas dos primeiro e segundo graus. Fora o caráter formativo de tais conceitos, a verdade é que a grande maioria dos alunos que prosseguem seus estudos ingressando no Ensino Superior, onde a Matemática continua a ser estudada, não voltam mais a abordar o aperfeiçoamento do que vem lá de trás, especialmente as equações do tipo algébrico, completas e de grau superior ao segundo. A resolução de problemas que envolvam equações do primeiro e segundo graus já é de conhecimento dos alunos do 9º ano do Ensino Fundamental no terceiro bimestre. Para estas equações é possível encontrar os valores das incógnitas à custa de operações elementares – adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raiz de índice inteiro – sobre os coeficientes das equações, usando o que se designa por fórmulas resolventes. Sabe-se que existem equações de graus superiores, mas estas possuem suas fórmulas resolventes, mas estas são muito complicadas, o que leva à resolução dessas equações por outros meios, que não sejam estas fórmulas. Neste plano de trabalho, utilizaremos objetos situações cotidianas do aluno como modelo para conhecer e explorar algumas atividades matemáticas tornando as aulas mais atrativas de dinâmicas. Para a realização desta atividade, o professor deve estimular o aluno para que este seja o agente ativo da construção do novo conhecimento que lhe está sendo apresentado. 2. Estratégias adotadas no Plano de Trabalho: Este Plano de Trabalho está organizado em 2 (duas) etapas. Em cada uma delas, os alunos são convidados, através de atividades dinâmicas, a lembrar a forma de resolver equações do segundo grau e na descoberta de como resolver uma equação biquadrada. Tudo isso resultará em um aprendizado significativo. Atividade 1:
  • 2. Habilidade relacionada: - Resolver equações biquadradas e irracionais; - Identificar situações-problemas que são resolvidas através de equações do 2º grau; - Resolver problemas significativos envolvendo equações e sistemas do 2º grau.  Pré-requisitos: Para a realização desta atividade, é necessário que os alunos tenham o conhecimento prévio de resolução de equação polinomial do segundo grau.  Tempo de Duração: 100 minutos (2 aulas).  Recursos Educacionais Utilizados: Para a realização destas atividades, serão necessários os seguintes recursos:  Quadro branco;  Caneta para quadro branco;  Calculadora;  Lápis e folha de aula;  Organização da turma: Esta tarefa será realizada em pequenos grupos (2 ou 3 participantes) para que o trabalho seja colaborativo e que ninguém fique ocioso durante a aula e sim participando e descobrindo o conteúdo apresentado.  Objetivos: Ao término das aulas, o aluno deverá ser capaz de:  Relembrar a resolução de equações do segundo grau;  Resolver equação polinomial do segundo grau;  Identificar uma equação biquadrada;  Resolver equação biquadrada;  Perceber quantas raízes reais uma equação biquadrada pode ter;  Metodologia adotada: Esta atividade está dividida em duas etapas com duração de 50 minutos cada (uma aula). 1ª etapa: Propor o seguinte questionamento para que a turma relembre a resolução de equações do segundo grau: “Um ourives vai utilizar um fio de ouro de 20 mm de comprimento para fazer um pingente, formado por dois quadrados, conforme mostra a figura abaixo.
  • 3. Ele precisa fazer isto com apenas um corte neste fio, para evitar desperdício de material. Desprezando a espessura dos fios, a soma das áreas dos quadrados limitados pelo fio é 13 mm2. Qual deve ser o comprimento dos dois fios obtidos do corte no fio de ouro?” O professor deve determinar um tempo para que a turma pense sobre as possíveis soluções e levante suas hipóteses. O professor deve acompanhar o raciocínio deles. Este problema explora uma situação geométrica que será modelada por meio da álgebra, particularmente por uma equação do 2º grau. O professor deve verificar as hipóteses dos alunos e, logo após, resolver o problema juntamente com eles. Se chamarmos de x o comprimento de uma das partes em que o fio for dividido, a outra parte terá comprimento 20 – x. Note que estes comprimentos são o perímetro de cada um dos quadrados que serão formados. Isso significa que os lados de x 20 − x cada um dos quadrados serão 4 e 4 e, consequentemente, suas áreas serão 2 2 x   20 − x    + 4   4   =13 , que tem solução x1 =8 e x2 =12 que são as medidas dos dois pedaços de fios. 2ª etapa: Para essa etapa a turma deve ser disposta em grupos de 2 ou 3 alunos, propiciando trabalho organizado e colaborativo. O professor deve apresentar diversas equações polinomiais tais como: x4 − x2 + 13 36 =0 , 3x 4 − x 2 − = 5 1 0, 3 6 e pedir que verifiquem x4 −x3 + x − = 4 0 quais equações são semelhantes e porquê. O professor deve explicar à turma que equações biquadradas são equações do 4º grau incompletas, onde os coeficientes das variáveis de expoente ímpar são nulos. Exemplos: 3x 4 − x 2 − = 5 1 0 7x4 + x2 + = 3 2 0 O professor deve estimular o aluno a experimentar, conjecturar e concluir quantas são as raízes de uma equação biquadrada. Nesta etapa, aluno será convidado a verificar as soluções de equações biquadradas. Cada aluno receberá uma lista de exercícios: EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Considere as equações e os números que aparecem ao lado de cada uma delas e verifique se estes últimos são ou não raízes da equação. a) x4 − x2 + 13 36 =0 , e x =2 x = 2 − b) x4 + x2 − = 4 5 0 , x =1 e x =1 −
  • 4. c) x4 − x2 + = 6 8 0 , x = 2 e x =−2 d) x 4 +x 5 2 −24 =0 , x = 3 e x =−3 2. Observando os resultados do item anterior, podemos supor que toda vez que um número real r é raiz de uma equação biquadrada, seu simétrico também é raiz desta equação? Por quê? 3. Efetue, em cada equação, a multiplicação dos binômios e verifique se esta multiplicação transforma-a em uma equação biquadrada. a) ( x −) 2( ) ( )(x +2) x −3 x +3 =0 b) ( ) 1( 1)( x + x − x −2 ) ( ) x +2 =0 c) ( x −) 3( )( ) ( x +3) x −5 x +5 =0 d) ( ) ( x − x − 1 ) 2( )( ) x +2 x −2 =0 4. Discuta com seus colegas: Será que é possível resolver uma equação biquadrada, utilizando a fórmula de resolução da equação do segundo grau? 5. Resolva em ℜ as equações biquadradas a seguir: a) 4x 4 − x2 + = 5 1 0 b) 2t 4 − x 2 + = 3 1 0 c) 5x 4 = 2 + = x 4 0 d) y4 =16 e) 3z 4 + z 2 − = 4 7 0 f) x4 =3x 2 Após corrigir as atividades de 1 a 3, o professor deve discutir com a turma a questão 4. Deverá ouvir a opinião dos alunos e, depois, explicar que esse tipo de equação pode ser resolvida mudando-se a variável a fim de que forme-se equações do 2º grau. Basta substituir a variável por e por . Desta maneira, obtemos: x4 y2 x2 y ax 4 + 2 + = bx c 0  ay 2 + + = by c 0 Então: S ={ y1 , y 2 } A seguir basta conduzi-la à equação biquadrada. Para tanto, faz-se:
  • 5.  x1 += y1 x ±= y1 →   x2 −= y1  x3 += y2 x ±= y2 →   x4 −= y2 O professor deve resolver uma equação juntamente com a turma ou pedir que escolham uma equação biquadrada para que o professor resolva juntamente com eles, explicando e demonstrando cada passo da resolução. Após a demonstração, o professor deve solicitar que os alunos resolvam o exercício 5 da lista, que deve ser corrigida e discutida após um tempo determinado pelo professor que acompanhará resolução de cada atividade auxiliando sempre que surgirem quaisquer dúvidas. 3. Avaliação: A avaliação levará em conta a participação de cada aluno na execução de cada tarefa proposta, tentativa de resolução dos exercícios de fixação e entendimento do aluno perante os conteúdos apresentados. 4. Referências: BOSQUILHA, Alessandra & AMARAL, João Tomás. Minimanual Compacto de Matemática: Teoria e Prática. 2. ed. São Paulo: Rideel, 2003. BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília – DF: MEC/SEF, 1998. IEZZI, Gelson. Matemática e Realidade. 8ª série, 5 ed. São Paulo: Atual, 2005. LOPES, Hélio Bernardo. A resolução de equações. Disponível em: <http://www.ipv.pt/millenium/Millenium29/28.pdf> Acesso em: 03 set. 2011.