ESTATÍSTICA INFERENCIAL

ESTATÍSTICA INFERENCIAL
Ranilson Paiva
Ranilson Paiva ranilsonpaiva@ic.ufal.br
Probabilidade Condicional
Teorema de Bayes

Conteúdo Programático
• Probabilidade
• Introdução
• Teoremas (Regras) Fundamentais da Probabilidade
• Teorema de Bayes
• Exemplos
• População e Amostra
• Introdução
• Problemas de Inferência
• Amostragem aleatória
• Distribuição amostral da média
• Intervalos de Confiança
• Introdução
• Análise de regressão
• Análise de correlação
• Distribuições Discretas de Probabilidade
• Introdução
• Função de probabilidade
• Gráfico da função de probabilidade
• Função de distribuição Cumulativa
• Distribuições Contínuas de Probabilidade
• Introdução
• Distribuição de probabilidade
• Função densidade de probabilidade
• Gráfico da função de probabilidade
• Teorema do limite central
Probabilidade Condicional e Teorema de Bayes

Agenda
 TEORIA
 Probabilidade Condicional
 Eventos Independentes
 Lei da Multiplicação
 Lei da Multiplicação para Eventos Independentes
 Exemplos
 Teorema de Bayes
 Abordagem Tabular
 Exemplos
• EXERCÍCIOS
• LEITURA RECOMENDADA
• PERGUNTAS E RESPOSTAS
• REFERÊNCIAS

PROBABILIDADE CONDICIONAL
ranilsonpaiva@ic.ufal.brRanilson Paiva
DEFINIÇÃO
 É, basicamente, a probabilidade de
ocorrência de um evento (A), dado que
sabemos que um outro evento (B) já ocorreu
(SWEENEY, 2014).
 Representado por: P(A | B)
 Lido como: ”Probabilidade de A, dado B”
 Probabilidade de ocorrência do evento A, dada
a condição de o evento B ter ocorrido.
 Cálculo: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

EXEMPLO 1
 Em um departamento de polícia dos EUA, uma comissão
das oficiais femininas fez uma acusação de discriminação,
baseada na diferença de oficiais masculinos e femininos
que receberam promoção. Avaliemos se a acusação é
procedente.
Homens Mulheres Total
Promovidos 288 36 324
Não Promovidos 672 204 876
Total 960 240 1200

EXEMPLO 1
 Sejam:
 H = O evento de o oficial ser um homem.
 M = O evento de o oficial ser uma mulher.
 A = O evento de o oficial ser um promovido.
 Ac = O evento de o oficial ser um não ser promovido.
 Queremos:
 Avaliar se há uma probabilidade maior do evento Ac (oficial ser
promovido), dado que o mesmo é um homem (evento H).
 Inicialmente:
 Calculamos as probabilidades conjuntas
 P(H ∩ A), P(M ∩ A), P(H ∩ Ac) e P(M ∩ Ac)

EXEMPLO 1
 Cálculo das probabilidades conjuntas:
 P(H ∩ A) = 288/1200 = 0.24
 P(H ∩ Ac) = 672/1200 = 0.56
 P(M ∩ A) = 36/1200 = 0.03
 P(M ∩ Ac) = 204/1200 = 0.17
 Tabela de probabilidades conjuntas:
Homens (H) Mulheres (M) Total
Promovidos (A) 0.24 0.03 0.27
Não Promovidos (Ac) 0.56 0.17 0.73
Total 0.80 0.20 1.00

EXEMPLO 1
 Cálculo da probabilidade condicional
 Probabilidade de um oficial ser promovido, dado que é um homem.
 P(A | H) = P(A ∩ H) / P(H) = 0.24/0.80 = 0.30
 Probabilidade de um oficial ser promovido, dado que é uma
mullher.
 P(A | M) = P(A ∩ M) / P(M) = 0.03/0.20 = 0.15
 Qual a conclusão que as probabilidades condicionais
sustentam?
 As probabilidades condicionais provam que há
discriminação?
 Os eventos Promoção e Sexo do Oficial são dependentes?
 Como avaliar?

EVENTOS INDEPENDENTES
 Ocorrem quando a probabilidade de
ocorrência de um evento A não se alterar em
função da existência de um evento B. Em
caso contrário, os eventos são ditos
dependentes (SWEENEY, 2014).
 Representado por: P(A | B) = P(A)

EVENTOS INDEPENDENTES – EXEMPLO 2
 Lançar uma moeda 2 vezes, e determinar a
probabilidade de se obter um resultado no
segundo lançamento depende do resultado
do primeiro lançamento.

 Temos:
 Espaço Amostral e Número de Eventos
 S = {(ca,ca), (ca,co), (co,ca), (co,co)}
 N(E) = 4
 Queremos:
 Avaliar se a obtenção de qualquer face da moeda,
no primeiro lançamento, influencia o segundo
lançamento da mesma moeda.
 Consideremos:
 A face cara para o segundo lançamento.

 Evento de interesse:
 Espaço Amostral, Evento e Número de Eventos
 S = {(ca,ca), (ca,co), (co,ca), (co,co)}
 A = {(ca,ca), (co,ca)}
 N(A) = 2
 P(A) = n(A) / n(E) = 2/4 = 0.5

 Calcular:
 A probabilidade de obtermos cara no segundo
lançamento, dado que obtivemos cara no
primeiro.
 Evento de interesse:
 A = {(ca,ca), (co,ca)} *Cara no segundo lançamento
 B = {(ca,ca), (ca,co)} *Cara no primeiro lançamento
 P(A|B) = n(A∩B) / n(B) = 1/2 = 0.5
 P(A) = P(A|B) *Os eventos são independentes

LEI DA MULTIPLICAÇÃO
 É utilizada para calcular a probabilidade de uma
intersecção de dois eventos (SWEENEY, 2014).
 Cálculo:
 Para eventos dependentes: P(A∩B) = P(B) * P(A|B)
 Para eventos independentes: P(A∩B) = P(B) * P(B)
 Verificação de Dependência:
 Se P(A∩B) = P(B) * P(B), A e B são independentes.
 Se P(A∩B) ≠ P(B) * P(B), A e B são dependentes.

LEI DA MULTIPLICAÇÃO – EXEMPLO 3
 Uma editora sabe que 84% dos moradores
de um determinado edifício assinam a
revista A. Sabe, também, que a
probabilidade de um morador nesse edifício,
que já é cliente, assinar a revista B é de
75%. Qual a probabilidade de um morador
assinar as duas revistas?

 Temos:
 P(A) = 0.84 e P(B) = 0.75
 Queremos:
 P(A∩B)
 Sabemos que há chance de um morador, já
cliente da editora, assinar uma outra revista.
Sendo assim, os eventos são dependentes.
P(A∩B) = P(A) * P(A|B)
 0.84 * 0.75 = 0.63

 O gerente de uma loja estima, por
experiência, que 2/3 de seus clientes
utilizam o cartão de crédito para pagamento
de suas compras. Qual a probabilidade de
os dois próximos clientes pagarem suas
contas com cartão de crédito?

 Temos:
 P(A) = 1º cliente pagar com cartão de crédito =
0.75
 P(B) = 2º cliente pagar com cartão de crédito =
0.75
 Queremos:
 P(A∩B)
 Não sabemos nenhuma outra informação que
possa influenciar na forma de pagamento dos
clientes. Sendo assim, devemos considerar os

TEOREMA DE BAYES
DEFINIÇÃO
 É o cálculo de uma probabilidade posterior
P(Aj|B) a partir das probabilidades a priori P(Ai)
e condicional P(B|Ai).
 Representado por: P(A | B)
 Cálculo: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
 P(A ∩ B) = P(B|Aj) P(Aj) .: j = 1, …, n
 P(B) = ∑ P(B|Ai) · P(Ai)
 Eventos mutuamente exclusivos e exaustivos (A1,
A2, …, An)
 Conhecemos probabilidades a priori P(Ai)

TEOREMA DE BAYES
DEFINIÇÃO
 Eventos Mutuamente Exclusivos
 São eventos que não possuem em comum.
 Eventos Exaustivos
 São eventos cuja união corresponde à
população/espaço amostral.
 Ou seja: A1 U A2 U A3 U … U An = S

TEOREMA DE BAYES
DEFINIÇÃO
 Ocorrência de um outro evento (B)
 Eventos Mutuamente Exclusivos e Exaustivos
 Espaço amostral (S) = (A1∩B) U (A2∩B) U … U
(An∩B)
 Representação Visual

TEOREMA DE BAYES
EXEMPLOS
Apenas 1 em 1000 adultos é afligido com uma
doença rara para o qual foi desenvolvido um teste
de diagnóstico. O teste é tal que, quando um
indivíduo tem, de fato, a doença um resultado
positivo irá ocorrer 99%, enquanto que um
indivíduo sem a doença irá mostrar um resultado
de teste positivo apenas 2%. Se uma pessoa
selecionada aleatoriamente é testada e o resultado
for positivo, qual a probabilidade de o indivíduo
realmente ter a doença?

TEOREMA DE BAYES
EXEMPLOS

Exercício (INF01)
Suponha que um indivíduo é selecionado
aleatoriamente da população de todos os
adultos, do sexo masculino, que vivem nos
Estados Unidos. Seja A o evento que o
indivíduo selecionado ter mais de 1.80 m de
altura, e B ser o evento que o indivíduo
selecionado é um jogador de basquete
profissional. Qual você acha que é maior do P
(A | B) ou P (B | A)? Por quê?

Exercício (INF02)
Há uma grande controvérsia ao longo dos últimos anos sobre
quais os tipos de vigilância são apropriadas para prevenir o
terrorismo. Suponha que um sistema de vigilância particular
tem uma chance de 99% de identificar corretamente um
terrorista futuro e uma chance de 99,9% de identificar
corretamente alguém que não é um terrorista futuro. Se
houverem 1000 futuros terroristas em uma população de
300 milhões, e um indivíduo desses 300 milhões é
selecionado aleatoriamente, examinado pelo sistema, e
identificado como um terrorista futuro, qual é a
probabilidade de que ele/ela na verdade ser um terrorista
futuro? O valor desta probabilidade torna desconfortável o
uso do sistema de vigilância? Explique.

LINKS RECOMENDADOS
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ranilsonpaiva@ic.ufal.br
Obrigado!
Dúvidas?
Ranilson Paiva

REFERÊNCIAS
 DEVORE, J. L. Probability and Statistics for
Engineering and the Sciences.
 SWEENEY, D.; WILLIAMS, T.; ANDERSON, D.
Estatística Aplicada à Administração e Economia,
6ª Edição.
 SOARES, J. F.; FARIAS, A. A.; CESAR, C. C.
Introdução à Estatística Básica.
 BUSSAD, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística
Básica.

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