SlideShare uma empresa Scribd logo
COLÉGIO OPÇÃO
                                        MATEMÁTICA




                                NÚMEROS E OPERAÇÕES
Atividades investigadoras: Responda em sala.
1-Complete a tabela:
  Problema                                              Resultado
  Um número somado a 30 que seja 35
  Um número que somado com 5 seja 50
  Em número somado a 60 que seja igual a 20
  Um número que somado a 120 seja igual a 100

2-Um termômetro foi colocado na cidade de Campos do Jordão e marcou dez graus acima de zero
durante o dia e um grau abaixo de zero durante a noite. Como posso representar as temperaturas
registradas nesta cidade, utilizando símbolos e algarismos matemáticos?

3-Imagine que uma pessoa tem R$500,00 depositados em um banco e faça sucessivos saques:
1º saque: R$200,00
2º saque: R$100,00
3º saque: R$300,00
Qual o saldo no banco dessa pessoa após os saques?Como você
O representaria matematicamente?



1. INTRODUÇÃO:
Em um determinado momento da história da humanidade houve a necessidade de representar números
na sua forma negativa. *Os números naturais não previam situações como a de medir temperaturas
abaixo de zero, como de altitudes abaixo do nível do mar e muitas outras situações. Surgia então a
necessidade de se criar um conjunto numérico mais abrangente que suprisse tais necessidades da
humanidade.*você ainda lembra dos números Naturais?

Vejamos algumas situações que mostram a necessidade de representar números negativos:

  A figura mostra os pontos mais altos e mais baixos da superfície terrestre:



                                                                 Perceba que sem a representação
                                                             negativa não teríamos como representar o
                                                             ponto mais profundo da terra, a Challenger
                                                             Deep, que se encontra a 11.000 metros
                                                             abaixo do nível do mar, ou seja, a – 11.000
                                                             metros.




                                                  128
                                                                                 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO

  A tabela mostra a previsão do tempo em algumas cidades da região sul:
                  TEMPO NO SUL DO BRASIL
            Cidade          Tempo       Temperatura
                                          mínima
  Curitiba (PR)             Chuvoso         0° C
  São Joaquim (SC)          Nublado        - 3° C
  Porto Alegre (RS)          Claro          4° C
  Gramado (RS)              Nublado        -1° C
  Bento Gonçalves (RS)      Chuvoso        - 5° C


Veja que temos necessidade de representar temperaturas na forma negativa.


  O termômetro registra a temperatura em uma cidade da Europa durante o inverno.




                Veja a importância de se representar
            números na sua forma negativa, sem eles não
            poderíamos representar temperaturas abaixo de
            zero.


Trabalho em sala: em duplas pesquise em revistas e jornais outras ultilizaçõe de números negativos.
Use colagem e cartolina.

VAMOS JOGAR!

                                                            Jogo do baralho: em grupo
                         Jogo das varetas: em grupo         Sem descarte ganha quem conseguir
                         Com varetas coloridas              mais pontos: as cartas pretas são
                         ganha quem obter mais              positivas e as vermelhas são negativas.
                         pontos :Amarelas -                 Rei, rainha, valete preto: 3, 2, 1
                         10,vermelhas -5, azuis 1,          respectivamente
                         verde 5 e preto vale 10            Rei, rainha, valete vermelho: 3, 2, 1
                         Material: varetas de 25 cm         respectivamente
                                                            Material: 1 baralho por equipe




                                                    129
                                                                                6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO


2. NÚMEROS
INTEIROS:
O conjunto formado pelos inteiros positivos, pelos inteiros negativos e pelo zero é chamado de
conjunto dos números inteiros e é representado pela letra Z.

            Z = {..., -10, -9, -8, -7, -6, -5, - 4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, +9, +10,...}


2.1. A RETA DOS NÚMEROS INTEIROS:
Para visualizarmos melhor a seqüência dos números inteiros, vamos representá-los na reta numerada
dos números inteiros.




2.3 Subconjunto de Z
Veremos agora alguns subconjuntos importantes de Z e suas representações:
Conjunto dos números inteiros não nulos: Z* = {..., -3, - 2, - 1, 1, 2, 3, ...}
Conjunto dos números inteiros não negativos: Z + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Conjunto dos números inteiros positivos Z *+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
Conjunto dos números inteiros não positivos Z - {..., - 4, - 3, - 2, - 1, 0}
Conjunto dos números inteiros negativos Z *- = {..., - 4, - 3, - 2, - 1}

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1- O lugar mais alto da terra é o pico do Everest, na Ásia: 8.882 m acima do nível do mar. O lugar
   mais baixo é a fossa de sonda, no Oceano Pacífico 10. 790 m abaixo do nível do mar.
       a) Represente essas altitudes, usando números positivos e negativos
      b) Quantos metros o Everest é mais alto que a fossa de Sonda?

2- Um palácio começou a ser construído no ano 9 a.C e foi concluído 8 anos depois. Em que ano
    ficou pronto?
3. Heródoto, historiador grego, nasceu no ano 484 antes de Cristo. Usando números inteiros positivos
ou negativos, indique o ano em que ele nasceu.

4-Desenhe um termômetro e represente nele as temperaturas registradas nas cidades:
a) Aracaju: 20°C
b) Campos do Jordão: -5°C
c) São Paulo: 15°C




                                                                130
                                                                                                        6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO

                                       TEXTO COMPLEMENTAR

                                          CONFUSÃO NEGATIVA

Os números negativos (como também o zero e os números imaginários) passaram tempos difíceis ao
longo da História da Matemática. Durante séculos, foram considerados absurdos e inconcebíveis. Os
números serviam para contar ou para exprimir medidas, e não há rebanhos com número negativo de
carneiros, nem campos com número negativo de comprimento… Enquanto a noção de número estiver
     .
ligada a noções de grandeza ou de quantidade, os números negativos não podiam ser naturalmente,
concebidos nem aceites.

Mas eles teimavam em aparecer nas soluções dos problemas. E os matemáticos davam cabo da cabeça
para encontrar métodos para resolver esses problemas sem usar os disparatados números negativos. Por
exemplo, se procurava o valor de um número x que, somado a 100, desse 50, e se encontrava -50, isso
queria dizer que era o problema que estava mal formulado, e que em vez de somar, se deveria ter
subtraído… Como não havia “quantidades negativas”, a subtração de “quantidades positivas” era o
expediente mais utilizado para conseguir “ignorar” os números negativos. Curiosamente, isto fez com
que as regras de cálculo dos números negativos se tivessem desenvolvido antes de eles serem aceites na
selecta sociedade dos sábios.




Hoje, os números negativos fazem parte do nosso quotidiano. Basta ligar a TV e ouvir os Boletins
Metereológicos de Inverno para sabermos que, no Norte da Europa, ou na Sibéria, as temperaturas
foram de -5, -10 ou -50 graus (negativos, isto é, abaixo de zero)… Sem que isso nos faça confusão.

                                                                       susymcmarques.googlepages.com


 Exercício:
 1-Represente os conjuntos listando seus elementos:
 a){x ∈ Z | x > - 2}
 b){x ∈ Z* | - 5 ≤ x < 2}
 c) {x ∈Z + | x ≥ - 2 }

 2-Responda:
 a)Qual o oposto de – 5?
 b)Qual o simétrico de 10?
 c)Qual o oposto do oposto de 9?

     1- Qual o módulo?
     a) | 18 |  b) |- 15 |      c) | 10 - | 5 ||   d) ||- 50 ||    e) ||-5 | - | 9 ||


     2- Complete com os símbolos < ou >.
                                                       131
                                                                                        6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO

   a) – 5     3       b) 0    -1        c) 9   -9       d) – 10   -3
   6-O matemático grego Euclides escrever um livro sobre geometria no ano – 290, isto é, no ano 290
   a.C. O matemático grego Eratóstenes estudou os números primos no ano – 240. O livro de Euclides
   foi escrito antes ou depois dos estados de Eratóstenes? Quantos anos antes ou depois?

                         3. OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS INTEIROS
3.1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO:
      A adição e a subtração de números inteiros é chamada de soma algébrica e é feita através de dois
casos:
EXEMPLOS:
Vamos calcular as seguintes somas algébricas:
a) + 2 + 7 =?         c) – 11 + 17 =?               e) – 14 + 18 =? b) – 3 – 12 =?
d) + 12 – 17 =?       f) + 19 – 16 =?

 NOTA DO PROFESSOR: podemos “encarar” soma de números inteiros fazendo o sinal de
 ( - ) como se fosse uma divida e o de ( + ) como pagamento, por exemplo:
 Caso1
 i -5+2 Zezinho deve 5 e pagou 2, ou seja , ainda deve 3 portanto o resultado é -3
 ii -5+8 huguinho devia 5 e pagou 8, portanto tem um saldo positivo o resultado é +3
 iii -5-5 ou -5+(-5) em ambos casos temos a soma de duas dividas, portanto deve 5 duas
 vezes resultado -10
 Caso2
 Às vezes ( - ) pode significar descer e ( + ) subir por exemplo:
 Em uma cidade do Alasca, o termômetro marcou –15o pela manhã.
 Se a temperatura descer mais 13o, o termômetro devei marcar?
 Temperatura -15 desceu (-13), portanto -15 com -13 =-28, voltamos ao caso anterior
 Agora é com vocês!!


Situações problemas:

1 Certa pessoa possui em sua conta bancaria R$300,00 e precisou debilitar (subtraídos) R$400,0 e uma
semana depois essa mesma pessoa depositou uma quantia igual a primeira retirada ,de R$300,00
quanto está o saldo desta pessoa ?
2 um submarino se encontra à 150 m abaixo do nível do mar e numa manobra de emergência precisou
desce mais 35. Onde se encontra o submarino com relação ao nível do mar?
3 Ontem a temperatura em new York era de 5 graus abaixo de zero, mas hoje a temperatura aumentou
6 graus ficando em?
4 A temperatura no deserto pode chegar a 40º de dia e -10º de noite. Qual a diferença entre essas duas
temperaturas?
6 um submarino que viaja às profundezas do oceano (22600 m) é atacado pelo mostro submarino
Zoarg tendo que retornar 300m para a superfície para fugir do ataque. Qual a nova posição desse
submarino?
7 Um alpinista se encontrava à 8848m do pico Everest, devido uma tempestade teve que descer 150m
para então no dia seguinte subir 240m. Qual a nova posição deste alpinista?

8 Cíntia conduzia um carrinho de brinquedo por controle remoto em linha reta. Ela anotou em uma
tabela os metros que o carrinho andava cada vez que ela acionava o controle. Escreveu valores
positivos para as idas e negativos para as vindas.

                                                   132
                                                                              6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO

 Vez           Metros               Após Cíntia acionar o controle pela sexta vez, a distância entre
 Primeira         17                ela e o carrinho era de
 Segunda          -8
 Terceira         13                (A) -11 m.     (B) 11 m.        (C) -27 m.                 (D) 27 m
 Quarta            4
 Quinta          -22
 Sexta             7

 3.2MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS
 Vamos calcular as multiplicações e divisões de números inteiros:
 a) (– 4) x (+ 7) = + 28
 b) (+ 15) ÷ ( + 5) = + 3


Nota do professor:
Caso1-Uma dica que ajuda muito na hora de multiplicar ou dividir é você se lembrar das operações
fundamentais: por exemplo, 3x(-5)= (-5)+ (-5)+ (-5)= -15(três dívidas de 5)

Caso2-você pode pensar também que o (-) significa contrário, por exemplo:
i (-3)x+5 (na conta normal 3x5=15, os dois sinais um de – e outro de + fica assim;contrario de “mais”
é “menos”assim (-3)x+5=-15




ii (-3)x(-4)x(-2) fica 3x4x2=24, contrario de menos + contrario de novo – portanto fica menos no
final. (-3)x(-4)x(-2)=-24




Caso 3
(−15) ÷ (+3) 15 ÷ 3 =5, novamente – e + significa: contrario de + que é igual a menos, portanto
(−15) ÷ (+3) = -3




                                                       133
                                                                                      6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
EXERCICIO
1. Efetue as multiplicações entre números naturais:

a) (+ 8). (– 9)              i) (– 6).(– 18)
b) (– 6). (– 5)              j) (+ 3). (+ 21)
c) (+ 7). (+ 4)              k) (– 8). 0
d) (+ 9). (+ 7)              l) (– 11). (– 21)
e) (– 8). (+ 6)              m) (– 20). (+ 17)
f) (+ 5). (– 11)             n) (+ 17). (+ 17)
g) 0. (+ 13)                 o) (– 5). (– 32)
h) (– 12). (–12)             p) (+ 15). (–17)

2. Calcular as divisões de números naturais:

a) (– 9)÷ (+ 3)              i) (– 65)÷ (– 5)
b) (– 11)÷ (– 11)            j) (– 90)÷ (+ 6)
c) (+ 21)÷ (+ 7)             k) (+64)÷ (+ 16)
d) (+ 36)÷ (– 4)             l) (– 39)÷ (– 13)
e) 0÷ (+ 20)                 m) (+ 96)÷ (– 24)
f) (– 31)÷ (+ 31)            n) (– 200)÷ (+ 25)
g) (+ 45)÷ (– 3)             o) (+ 63 )÷ (+ 21)
h) (+ 52) ÷ (+ 2)            p) (+ 81) ÷ (– 27)


4-POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS

OPERANDO COM POTENCIAS NA CALCULADORA

Vamos agora fazer os primeiros contatos com a operação de potenciação, para isso faremos uso de
uma calculadora comum: siga os passos
digite na calculadora 3x2 e aperte a tecla de igual repetidas vezes preenchendo a tabela a seguir:
T         3         X   2      =      =        =         =   =    =      =        =         =         =
E
C
L
A
V         3         3   2      6      1
I
S                                     2
O
R




                                                   149
                                                                          6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
agora seguindo o mesmo raciocínio faremos as dez primeiras potencias de 2 para isso digite na
calculadora 1x2 e novamente aperte a tecla de igual repetidas vezes completando a tabela

T      1   X     2   =       =   =   =   =    =      =   =     =   =
E
C
L
A
V      1   1     2   2       4   8
I
S
O
R

Outra maneira de expressar esse problema é usando uma tabela de potência
           Expoente Potencia
                                             Onde n é chamado de expoente e

            n                                      é chamado de resultado da
            1            2                   potência.
            2            4
            3            8
            4            16
            5            32
            6            64
            7            128
            8            256
            9            512
            10           1024

                                               Exercício de fixação
1-Façamos uma tabela de potencias, com a ajuda da calculadora, com as potencias de 3 e de 5, de
1 até 16.

2-Explore outras seqüências de teclas, o que você descobriu?
a) 2 + 3 = = = = = =
b) 5 + 2 = = = = = =
c) 10 x 10 = = = = = = = . .
d) 2 x 3 = = = = = = ..
e) 3 x 2 = = = = = = ..

3- Sem calculadora, faca uma tabela de potencia do numero -2 e do -3 de 1 ate 16, o que você
   observa junto aos sinais que surgem?



                                               150
                                                                         6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO

ATIVIDADE INVESTIGADORA
Baseado no que você aprendeu encontre soluções para os exercícios a seguir.
a) (+ 8)2      b) (- 5 )2 c) (- 6 )3        d) (+ 17 )0   e) (+ 18 )1               f) (- 2 )3
          3        1                 2      1       0             6        2
g) (+ 10) . (+ 10)         h) (- 3 ) . (- 3) . (- 3)     i) (- 5 ) : (- 5 )
         5          3                  2 2
j) (+ 10) : (+ 10 )        l) [ (+ 10 ) ]                   m) (- 1 )0 . (- 1 )2 . (- 1 )3 . (- 1 )4
Que dificuldades você sentiu nos exercícios anteriores?Comente em sala antes de passarmos
para o próximo assunto:

4.1PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
1°) Multiplicação de potencias de mesma base
   Para multiplicar as potências de mesma base, basta conservar a base e somar os expoentes.
Ex:
(+ 2 )5 . ( + 2 )4 = (+ 2 )9 ou também                 (- 3 )3 . (- 3 )5 = (- 3 )8 ou também




4.2 Divisão de potências de mesma base
   Para dividir potências de mesma base, não nula, basta conservar a base e subtrair os expoentes.
Ex:
   (+ 4 )3 : (+ 4 )1 = (+ 4 )2  ou também                 (- 5 )8 : (- 5 )4 = (- 5 )4 ou também




4.3 Potência de uma potência
    Para elevar uma potencia a um novo expoente, basta conservar a base e multiplicar os
expoentes.
Ex:
[ (- 3 )2]3 = (- 3 )6                       [ (+ 2 )5]- 2 = (+ 2 ) – 10


4.4- RADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
   A raiz quadrada aritmética de um número inteiro quadrado perfeito è o número positivo cujo
quadrado é igual ao número dado.

                                                 151
                                                                            6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
   Observe o conjunto dos inteiros quadrados perfeitos:
   {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 121, 144, 169, 196,..}
   A operação pela qual calculamos a raiz de um número é chamada radiciação. O símbolo √ é
chamado radical.
Ex:         25 = 5, porque 5 é positivo e 52 = 25
            49 = 7, porque 7 é positivo e 72 = 49


EXERCÍCIO:
1- De o valor de cada expressão:
a)    225         b) 169          c) - 36       d) - 1        e)    0     f) 1600

4.5- EXPRESSÕES NUMÉRICAS EM Z
   Nas expressões numéricas, as potências e as raízes quadradas são efetuas antes das
multiplicações e divisões. E essas, antes das adições e subtrações. Além disso, devem ser
respeitados os respeitados os parênteses, colchetes e chaves.

EXERCÍCIO:
1) Calcules as seguintes expressões:
    a) 11 + ( - 7 + 15)
    b) 16 – (15 – 6)
    c) – 7 – (- 6 + 4)
    d) (- 3 – 7) + (- 4 + 8)
    e) – 2 + (3 – 8) – (- 3 + 5)
    f) – 6 . 2 – (3 . 4 – 1)
    g) (- 2 ) . (- 3 ) . (- 4 ) - (- 2 ) . (- 3 ) - (- 2 )
    h) (- 1440 ): (- 9 - 5 + 2 ) – 16 . (- 5 )
    i) [4 . 17 + 5 . (- 11 )] : [- 17 + 16]
    j) 18 . [(- 42 ) : ( - 14) + 11 . (- 2 )] : (- 2 . 4 – 7 . 7 )
    k) (- 4 )3 + 2 . (- 4 )2 – 3 . (- 2 )3
    l) (3 . 25 – 70 ) : [(- 2 )4 - (- 3 )1]
    m) – 72 – {(- 2 )3 – [(- 3 )2 – 52 – 4]4 + 1} - (- 3 )3
    n) 72 - (2 . 5 + 1)0 + [26 + (- 3 )4 - (21 – 60)] : [(- 2 )4 - (- 2 )3 ]
    o) ( 23 )2 + 37 – 2 . 3 - (- 3 )5 : 9 2
    p) 90 - 9
    q) 3 . 64 64 - 36 – 4 . 50
2) Observe a tabela referente a exportações e importações brasileiras de 1993 a 1997 (valores em
milhões de dólares)
                             Ano            Exportação     Importação
                             1993           38.597         5.480
                             1994           43.558         33.168
                             1995           46.506         49.858
                             1996           47.747         53.301
                             1997           52.986         61.358

                                                     152
                                                                          6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
  a) Em que período a balança comercial brasileira teve um desempenho negativo?
  b) Em que período o desempenho foi positivo?

3) Responda:

  a) Como são chamados os números precedidos do sinal + ?
  b) Como são chamados os números precedidos do sinal - ?
  c) Qual é o número inteiro que não é nem positivo nem negativo?

5) O esquema abaixo mostra o relevo de uma região. Dê altitude de cada ponto assinalado:




6) Já vivos o que se entende por sucessor e antecessor de números naturais. Os números inteiros
também têm sucessores e a antecessor. Copie e complete a tabela substituindo as estrelinhas.
                           Número        Antecessor       Sucessor
                           - 10          *                *
                           *             0                *
                           *             *                -2
8) Calcule:

    a) (+ 14) – (+ 21)
    b) (- 18) – (- 24)
    c) (- 20) – (+ 25)
    d) (+ 3,8) – (+ 5,7)
    e) (+ 13,6) – (+ 13,6)
9) A Fossa Subglacial Bentley é a maior atitude negativa. (depressão) de que se tem noticia. Ele se
encontra na Antártida e tem – 2.538 metros. A maior altitude positiva é o pico Everest e se
encontra na China. Ele tem 8.848 metros. Qual é a diferença de altitude entre o pico Everest e a
Fossa Subglacial Bentley?
10) A tabela abaixo refere-se a balança comercial do Brasil, no período de 1995 a 1997, em
milhões de dólares. Calcule o saldo em cada um desses anos.
                            Ano          Exportação Importação
                            1995         46.506        49.859
                            1996         47.747        53.301
                            1997         52.986        61.358
                                                153
                                                                          6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO

11) Observando o extrato bancário, determine os saldos que estão faltando.

          Extrato integrado                          Contas n° 33716
                 Histórico / n° do documento                                 Saldo em
          Dia                                    Debito        Crédito
                 Saldo em 29/03                                              R$ 0,00
          01     Cheque                78114     100,00                      ?
          01     Saque                           30,00                       ?
          02     Cheque                78115     60,00                       ?
          02     Depósito                                      300,00        ?
          02     D.O.C. recebido                               20,00         ?
          03     Cheque                78116     500,00                      ?
          03                           Saldo                                 ?
                                       atual
14) Vamos imaginar um inseto caminhando sobre uma reta numérica. Partindo do ponto de
abscissa – 8, ele caminha 3 unidades para a direita, a seguir 6 unidades para a esquerda e
finalmente 9 unidades para direita. Em que abscissa da reta ele parou?




16) Um submarino está a 20 m abaixo do nível do mar. Para fazer uma manobra, ele desce mais 13
m. No momento da manobra, a quantos metros ele esta a baixo do nível do mar?




17) Ao consultar seu extrato bancário, Silvia notou que estava com um saldo devedor de R$
397,50 em sua conta corrente. Ela fez um deposito no valor de R$ 258,30. Com quanto ela ficou
de saldo?




                                               154
                                                                         6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
   18)Um prédio tem 25 andares. O elevador esta no 4° andar, sobe 5 andares desce 2, sobe 8,
   desce7, e finalmente sob 3. Fazendo corresponder o zero ao andar térreo, determine a posição final
   do elevador.



   5 NÚMEROS
   RACIONAIS

   5.1 RECONHECENDO OS NÚMEROS RACIONAIS
   ATIVIDADE INVESTIGADORA:
   Em equipes vamos discutir as seguintes situações:
   1-Tenho 5 doces para repartir em partes iguais entre 3 crianças. Quanto cada uma receberá?
   2-Para fazer uma jarra de suco, misturo 1 copo do líquido concentrado com 5 medidas de água. Se
   eu quiser fazer menos bebida conservando o mesmo sabor, que doses devo usar? E se quiser fazer
   mais suco?
   3-Na planta de minha casa, 2 centímetros representam 3 metros. Minha cozinha mede 4 x 5
   metros. Como ela será representada? Quais as dimensões de um galpão que na planta é um
   retângulo de 5 x 10 centímetros?
   4-Se o retângulo mede 1, quanto mede a parte em destaque?




                                              Para que servem as frações?
Os números naturais, que abordamos nos quatro módulos anteriores, são aqueles com os quais as crianças têm o primeiro
contato:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...
No entanto, esses números não conseguem resolver certos problemas que as frações resolvem. Vejamos um exemplo:
Pelo telefone, Dona Maria dá uma receita de bolo a Dona Lúcia.
-Use 2 xícaras de farinha e menos que a metade de uma xícara de requeijão... Não. É menos que a metade, mas é mais que a
metade da metade.Ficou complicado, não é mesmo? É provável que Dona Maria estivesse pensando numa quantidade
equivalente à fração (um terço):




Se tivesse dito "um terço", Dona Lúcia teria entendido melhor a receita..., se soubesse frações.
Este foi um pequeno exemplo da utilidade das frações. Veremos outros no decorrer dessa lição.
Note que, na maneira de Dona Maria dar a receita, há um outro problema: as xícaras em geral têm um formato que torna
difícil saber o que é exatamente a metade. Por isso, na ilustração representamos uma caneca, na qual é fácil marcar a
metade.

                                                           155
                                                                                         6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
                                                                     a
Os números racionais ou fracionários são sempre da forma a/b ou        , ou seja, formados, por dois
                                                                     b
números inteiros como por exemplo a caixa do desenho foi dividida em 4 partes , então a
                             1
quantidade pintada representa do tamanho total
                             4




São exemplos de números fracionários ou racionais 5/3 ½ 6/8 9/3, e podem ser positivos ou
negativos.

Observe que os números racionais podem ser representados por pontos de uma reta, usando-se o
mesmo processo de representação dos inteiros.

                                                                                     Q
      -2        3      -1         1              1       1       3
            -                 -          0                              2
                2                 2              2               2

A direita de zero representamos os números positivos, e a esquerda, os negativos.
Responda: todo numero fracionário é um numero inteiro?
Trabalho de pesquisa: o que são frações próprias, impróprias e aparentes?
Nota do professor:
Podemos encarar frações como divisões. Assim, por exemplo, a fração 10/5 pode ser
Que é igual a 2.Isto prova que 10/5 e mesma coisa que 2 um numero inteiro.



                                       5.2 NOME DAS FRAÇÕES




"denominador" significa "aquele que dá o nome" (no exemplo acima, estamos lidando com
"terços") e "numerador" significa "aquele que dá o número de partes consideradas". Portanto, os
nomes das frações dependem do número de partes em que a unidade é dividida e do número de
partes que estamos considerando. Vejamos alguns exemplos:




                                                 156
                                                                             6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
FRAÇÕES COM DENOMINADORES 10, 100, 1000, 10000, etc. :
3/10                                                                    Três décimos
37/100                                                                  Trinta e sete centésimos
4/1000                                                                  Quatro milésimos
71/10000                                                                Setenta e um sobre dez mil




EXERCÍCIOS
1 Copie e represente, apenas em uma reta, os números:
   3                       2                    3                   3
a)                    b) −                 c) −                d)
   2                       5                    2                   5

2 Qual o maior número?
    2     2                              5                    6   5                                 5
a) ou −                      b) 0 ou −                    c) − ou                             d)      ou
    7     7                              2                    7   6                                 8
  4    1    1
− e) ou
  3    3    2

3 Verdadeiro ou falso?
a) Todo número racional negativo é menor que zero
b) Todo número racional positivo é menor que zero
                     7      −7         7
4- Os números A = - , B =        e C=      são iguais ?
                     2       2        −2

5 diga se são iguais ou diferentes os números :
   +7       7                            −1 1
a)      e−                            c)    e
   −3       3                            −9 9
   +5       5                            15     15
b)      e+                            d)    e−
   −8       8                            −2      2
                        1                7
7-o que vem depois de ? E depois de ?
                         2               8

             3
8. O número − esta compreendido entre:
             6
                                               157
                                                                           6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
a) 0 e 1                    b) 3 e 6                    c) –1 e 0                 d) –6 e –3
                     5 2 1 8
9. Dadas as frações: , , , − , a ordenação ela em ordem crescente é:
                     7 3 4 5
     2 8 1 5                           1 2 8 5
a) − , − , ,                        c) ,− , − ,
     3 5 4 7                           4 3 5 7
     8 2 1 5                            8 2 5 1
b) − ,− , ,                         d) − ,− , ,
     5 3 4 7                            5 3 7 4
10-Por que a parte sombreada da figura não corresponde a 2/3?




5.3 FRAÇÕES EQUIVALENTES
Atividade investigadora
Em grupo discutam as seguintes questões
1-Tenho de comprar 2 quilos e 1/4 de café. No supermercado, há pacotes de 1/2, 1/4 e 1 quilo.
Que pacotes devo levar? Quais as possibilidades? Quais escolho para levar a menor quantidade de
pacotes?
2-quanto é a metade de 12/8? e se quisermos o dobro de 12/8?
3-Quanto devemos adicionar à balança para equilibrá-la




Podemos observar com o exercício 1 a cima que ½ quilo equivale a 2 quantidades de ¼
Ou seja, ½=1/4+1/4 ou também ½=2/4
Chamamos de frações equivalentes (equi- igual valente- valor) frações que apesar de diferentes
na forma tem na verdade o mesmo significado, mesmo “peso” observe a fração
  Observe a obtenção de uma fração equivalente
                                               158
                                                                         6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO




Atividade em sala

Obtenha algumas frações equivalentes para os números 2/3, 4/5 e 8/5. Compare seus resultados
com outros alunos.

Exercícios
Faça no seu caderno.
1 - Verdadeiro ou falso?
    0 0                            − 72 144
a) =                          b)       =
    5 6                            − 43 86

2 - Quais das sentenças abaixo são verdadeiras ( lembre-se que fração também pode ser uma
divisão )
 17                      16                             1                           1
     = 1, 7           b)     = − 8, 5               c) − = 0, 4                d) − = 0, 125
100                      −2                             4                           8


3. Qual é a igualdade falsa?(regra de sinal pag. 133)
   −3 3                    3 −3                  −3    3                +3 3
a)    =               b)      =              c)     =−             d)     =
    5 −5                  −5 5                   −5    5                +5 5

                                    19
4. Ache uma fração equivalente à       .
                                    38
                                                          1
5. Qual entre as frações seguintes é a equivalente a
                                                          4
     12             40             48                12
a)             b)             c)              d) −
     48             10             12                 3

6. Cada parte de uma figura, corresponde à fração 1/5. Responda:
a) Qual é a fração que representa a figura toda?
b) Qual é a fração que representa duas dessas figuras?




7. O tanque de gasolina do carro estava vazio. Colocamos 48 litros de combustível. O marcador
ficou assim:
                                                   159
                                                                          6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO



Quantos litros de combustível cabem nesse tanque?      Litros.
Se 2/5 da minha fortuna correspondem a 200 reais, qual é toda a minha fortuna?            Reais

Será que    é mesmo igual a      ?Afinal,    é um pedaço só e       são dois pedaços.

                              5.4 OPERAÇÕES COM RACIONAIS
Atividade investigadora:
Responda quanto é ½ quilo mais1/4 de café?
Qual é o resultado de 2 + 2/3?

                                            ADIÇÃO


A idéia de juntar corresponde, na Matemática, à adição. Podemos então somar frações
representando-as em figuras e juntando as partes indicadas. Vejamos a adição:




Este exemplo justifica a regra utilizada para somar frações:
Para somar frações de mesmo denominador, somamos os numeradores e conservamos o
denominador.

No entanto, quando as frações têm denominadores diferentes, aparece uma dificuldade.
Como vamos somar 1/4 e 1/6, por exemplo?




Agora precisamos descobrir a que fração corresponde à parte sombreada que representa


                                              160
                                                                        6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
                                                          1
A solução do problema está no fato de que é possível escreverde muitas outras maneiras, o
                                                          4
                      1                                           1      1
mesmo ocorrendo com . Procuraremos, então, nas várias escritas de   e de , aquelas que têm
                      6                                           4      6
denominadores iguais:




                                                1               3              1
Agora, sim, podemos somar: em vez de escrever     , escrevemos    , e em vez de ,
                                                4              12              6
             2
escrevemos     . Este processo se chama "reduzir frações ao mesmo denominador".
            12
Depois que as frações estão com o mesmo denominador, efetuamos a adição:



Para visualizar esta adição, desenhamos novamente o retângulo e o dividimos em 12 partes:




Podemos, então, formular a regra:
Para somar frações com denominadores diferentes, reduzimos as frações ao mesmo
denominador e aplicamos a regra anterior.

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
Considere as frações 5/8 e 7/12.
a) Escreva-as de outra maneira para que fiquem com um mesmo denominador.(Utilize o menor
denominador possível)
5/8:
7/12:
b) Diga qual das duas é maior:
c) Subtraia a menor da maior:
1. Efetue as adições:
    1  3                    5  1
a)  +  +  +             c)  −  +  + 
    2  7                    6  2
                                               161
                                                                        6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
    1  2                      2  4
b)  −  +  +               d)  −  +  + 
    3  5                      3  9

2. Efetue as adições:
     2  1                       2  5
a)    + −                   b)  +  +  − 
     5  2                       3  3
     5  1
b)    + − 
     3  2
    5  1
c) − +  − 
    6  4

3. Efetua as adições. Veja o exemplo:
    2    2 15 + 2 17
5+ +  =5+ =      =
    3    3   3     3
        1                       5
a) 2 +  +                   b)  −  + (+2)
        7                       7
        2
b) 4 +  − 
        3
        1
c) 4 +  − 
        5
4. Efetue as adições:
     3  1  1 
a)    + −  + − 
     5  2   10 


    3         7  1
b)  −  +  + −  +  + 
    5        10   15 

                                          SUBTRAÇÃO
Para subtrair frações, usa-se um processo semelhante ao da adição. Vejamos, por exemplo, como
                                                4 1
                                         efetuar − :
                                                5 5


      4        1
Dos     tiramos :
      5        5




                                                 162
                                                                      6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
        3
Restam    .
        5
          4 1 3
Portanto: − =
          5 5 5
Quando os denominadores são diferentes, podemos torná-los iguais usando o mesmo
procedimento utilizado na adição. Por exemplo, vamos efetuar a subtração:



Procuramos frações que sejam iguais a estas, mas que tenham o mesmo denominador:




e efetuamos a subtração:




Podemos representar esta subtração por meio de um retângulo dividido em 16 partes:




                  1      8           7
         Tirando     de    , restam    .
                 16     16          16
Portanto, as regras para a subtração são análogas às da adição:
Para subtrair frações que têm o mesmo denominador, subtraímos os numeradores e
conservamos o denominador.
Para subtrair frações que têm denominadores diferentes, reduzimos as frações ao mesmo
denominador, subtraímos os numeradores e conservamos o denominador.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Faça no seu caderno.
1. Efetue as subtrações:
    1  1              1  4
a)  +  −  +       d)  −  −  − 
    3  4              3  5 
    7  1              2  3
b)  +  −  +       f)  −  −  + 
    5  2              5  5

                                              163
                                                                        6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO

3. Calcule:
        2                  3 7 1
a) –1 −               d) − + −
        5                  2 4 6
     5 3                    1 2
b) − +                c) 2 − −
     6 4                    2 5
4-Observe a figura e responda:
Quanto é (1/5 - 1/15)?




                                       MULTIPLICAÇÃO

Sabemos que 3 x 5 = 5 + 5 + 5 =15.
                          2 2 2 2
 Da mesma forma. 3 X = + +
                          5 5 5 5
Nestes dois exemplos estamos utilizando a idéia de que multiplicar por 3 é somar 3 parcelas
iguais.
                                                                                        2 4
O problema é que não podemos utilizar essa mesma idéia para efetuar, por exemplo, X .
                                                                                        3 9
Esta multiplicação não é uma adição de parcelas iguais. Em casos como este devemos considerar a
multiplicação de outra maneira.
Sabemos que expressões como "o dobro de", "o triplo de", etc., estão relacionadas com
multiplicações. Estas expressões são expressões multiplicativas.
Analogamente, as expressões "a metade de", "a terça parte de", "a quarta parte de",
   1       1      1
ou    de, de,        de, conduzem a divisões. Para se ter a metade, é necessário dividir por 2.
   2       3      4
Para se ter a terça parte, é necessário dividir por 3.E assim por diante.
Vamos utilizar essas idéias e nos apoiar em desenhos para interpretar a multiplicação de frações.
                                      2 4
Comecemos pelo exemplo citado: X
                                      3 9
                                                                      4
O que queremos saber é quanto vale "o dobro" da "terça parte" de .
                                                                      9
                                4
Começamos por representar :
                                9




                                      4
Depois, marcamos "a terça parte" de     :
                                      9




                                               164
                                                                         6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO

                                                      4
Por último, marcamos "o dobro" da "terça parte" de      :
                                                      9




Agora, vamos repetir o desenho destacando apenas o resultado:




Quanto vale a parte marcada, em relação ao retângulo todo?
                                8
A parte marcada corresponde a      do retângulo todo.
                                27
                 2 4 8
Concluímos que X =           .
                 3 9 27
Podemos resumir tudo isso numa regra simples:
Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre
si.
Para confirmar esta regra, podemos testá-la em outras multiplicações:
                            1 1           3 1
. Faça a mesma coisa com X e com X e conclua:
                            2 4           4 3

TESTE DE REVISÃO

                     1
 1. O produto (-5).  −  . (+3) é igual a:
                     3
a) 3           b) 5 c) -5 d)15

               1  3   10  2
2. O produto    .  −  .  −  . é igual a:
               6  4   13  5
      5             1                 1                        3
a)             b)              c) −                  d) −
     13             26                26                      26

                         4 3     1
3. O valor da expressão  −         é
                         5 5     7
   1              7                1                     1
a)             b)           c)                       −
   6              5                35                    35


                                               165
                                                                    6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
                            1 1 
4. O valor da expressão  2 −  .  − 1 é
                            2 3 
                          9                                             4
a) 1                  b)                   c) –1                 d) −
                          4                                             9

            3        1
5. Se x =     , y = − e z = 7, então x.y.z é igual a:
            2        4
      3                    21                        3                  21
a)                     b)                      c) −              d) −
     36                    8                        56                  8

                            1 1 4
6. O valor da expressão       − . é
                            3 10 3
     1                       1                     4                  14
a)                       b)                   c)                 d)
     5                       9                     21                 15

                                         3 2 3
7. O valor numérico da expressão 1 − 5 .  −  + é
                                         4 5 4
                        3                                             1
a) 0                 b)                     c) 1                 d)
                        4                                             20
                       1  1  1
8. Valor da expressão 1 −  . 1 −  . 1 −  é
                       2  3  4
                         1                                              1
a) 4                  b)                     c) - 4              d) −
                         4                                              4

              5
9. Se x = -     , então 2x + 8 vale:
              2
a) 1                     b) 3                 c) –1              d) –3

10. A expressão numérica
3 2       2
 −  x 1 equivale a :
7 3      5
   1                     7                           1                  35
a)                  b)                        c) −               d) −
   3                   20                            3                  21

DIVISÃO


Temos três caminhos para chegar ao resultado de uma divisão de frações.
1° caminho: REPARTINDO
Podemos encontrar o resultado de algumas divisões de frações utilizando a idéia de repartir.




                                                   166
                                                                             6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
                             1
Por exemplo, se repartimos     de uma barra de chocolate entre 2 crianças, cada uma receberá
                             3
            1
metade de     da barra:
            3




                                  1         1               1     1
Então, o resultado da divisão de     por 2 é . Escrevemos: ÷ 2 = .
                                   3        6               3     6
2° caminho: QUANTAS VEZES CABE?
Em outros casos encontramos o resultado verificando quantas vezes um número cabe no outro.
Com números naturais estamos acostumados a fazer isto. Por exemplo, se queremos achar o
resultado de 8 dividido por 4, procuramos quantas vezes 4 cabe em 8. Como 4 cabe 2 vezes em 8
(2 x 4 = 8), dizemos que 8 : 4 = 2.
                                                                       1 1
Podemos aplicar esta idéia a frações. Quando procuramos o resultado de ÷ , estamos querendo
                                                                       2 4
                     1            1
saber quantas vezes     cabe em . Um desenho responde imediatamente:
                     4            2




                                  1 1
       Então podemos escrever:     ÷ =2
                                  2 4
Como se pode perceber, as idéias de "repartir" e de "quantas vezes cabe" são equivalentes. É uma
questão de se achar mais fácil ou mais difícil usar cada uma delas, em cada caso.

Encontre os resultados das divisões abaixo. Para isto, comece escolhendo um dos dois caminhos já
apresentados.
(a) 1/3: 1/6 =                                            (b) 4 : 4/5 =

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. Efetue as divisões:
   3  2                             3  6
a  +  : +                       c)  −  :  − 
   8  5                             5  7
                                               167
                                                                          6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
    2  1                              5  3
b)  +  :  −                       d)  +  :  − 
    7   3                             6  5

                                       3            3  1         3
2. Efetue as adições. Veja o exemplo:  +  : (−4) =  +  .  −  = −
                                       5            5  4         20
    2                                     4
a)  +  : (−3)                     d) 5 :  − 
    7                                     3
    2
b)  −  : (−3)
    9
    5
c)  −  : (+6)
    7

4. Calcule:
         7                                5 1
     1−                               −     −
         8                                6 4
a) −   3                     b) 1 +        1
       4                                   2

5. Calcule:
   1 3                                      1
     −                                        −1 +
a)  2 4                               b)    7
       2                                 1 3
   1−                                     −
       5                                 3 2

5.5 POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS

Da mesma forma que nos números inteiros a potenciação de números fracionários é a
multiplicação de “n” fatores iguais. Por exemplo:
     3
2                     3
  da mesma forma que 2 é igual à 2 X 2 X 2 =8
5 
      3
2  2  2  2                                                                8
  = X   X COMO visto na multiplicação de racionais o resultado é igual a
5  5  5  5                                                               125
                  3
         2    8
portanto   =
          5  125


EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. Calcule o valor de cada expressão:
              2                           2
  2  1                         4
a) +  −                    c)  −  − 1
  3  3                         3

                                                     168
                                                                            6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
                                                        2
  3  1
                       2
                                            1     
b) +  −  − 4                          d)  −
                                            2
                                                    − 32
                                                   
  2  2                                          

2. Calcule o valor da expressão:
         2                 1        0
 2  2  2
−  + −  + − 
 3  3  3
3. Calcule as potencias:
              1                                         2
    5                                     1
a)  −                                 b)  − 
    6                                     10 
                  0                                     3
    8                                     1
c)  −                                 d)  − 
    15                                    10 
         −2                                        −2
   8                                      7
e)                                    f)  − 
   9                                      4
         −1                                        −2
   3                                      1
g)                                    h)  − 
   5                                      8
         −3                                        −3
   2                                      2
i)                                    j)  − 
   3                                      5



5.6 RADICIAÇÃO
Raiz quadrada exata de números racionais
Vamos recordar:
                               2
  9 3          3   9
    = , porque   =
  25 5          5  25
                               2
  9 3          3   9
    = , porque   =
  25 5          5  25

Exemplos:
              9                                  9
A) +                                    B) −
              25                                 25
                  64                        64
C)       +                     D)       −
                  49                        49

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. Calcule:


                                                            169
                                                                  6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
       1                9           16
  a)             e) −          i)
       4                64            25
       4                1           16
  b)             f) −          j)
       9                81          25
       25               121            81
  c)             g) −          l) −
       36               100           64
       36               169              81
  d)             h) −          m) −
       25               144                64

                    6 TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO
  INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA:

Noções de Estatística são importantes para todas as
pessoas. Vivemos cercados por informações: a média de
salários de tal categoria, a média do boletim anual de um
aluno, o aumento médio de preços, a probabilidade de tal
candidato passar para o segundo turno de uma eleição e a
de fulano vencer a tal eleição, entre outras. E uma pessoa
que entenda e avalie tais informações pode atuar de
maneira mais crítica e bem sucedida em nossa sociedade
e em sua vida profissional




  O termo Estatístico, em sua origem, estava relacionado com ações atrelados ao estado (status),
  como o censo populacional, a descrição de propriedades etc. Um estatístico era quase um relator
  (escriba) das coisas do estado.Hoje, como um ramo da Matemática Aplicada, podemos dizer que a
  Estatística trata das distintas formas de coletar, organizar, representar, analisar e interpretar os
  dados associados a um estudo qualquer.
  .
  ATIVIDADE INVESTIGADORA
  A estatística basicante estuda a distribuição de dado de uma pesquisa ou de um determinado
  estudo. Em equipes faça o seguinte trabalho de “equipe”: na sua sala, ou em outras séries faça uma
  “tabulação”(confecção tabelas) de alunos, pesquisando dados como; altura, idade, peso renda
  salarial familiar.. Traga estes dados para a sala onde faremos o estudo da média aritmética.
  Média aritmética
  Imagine o boletim de um aluno da 6ª série do colégio opção ao final de ano letivo na disciplina
  geografia
  Geografia 1ª avaliação           2ª avaliação 3ª avaliação 4ª avaliação
  Notas         4,0                3,3              4,5            6,0



  Para obter aprovação no colégio é necessário que o aluno obtenha media igual ou superior a 5,0
                                                  170
                                                                             6ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
Ou seja, podemos calcular a media aritmética do aluno fazendo o seguinte procedimento:
4, 0 + 3, 5 + 4,5 + 6, 0
                         Que é a média da notas do aluno em geografia, obtemos então o resultado
            4
4,5.

Exercícios
1-imagine que em determinada família as idades do pai e da mãe sejam respectivamente iguais à
35 e 42 anos e que a de seus dois filhos sejam de 17 e 13 anos. Qual é a média de idade dessa
família? O que significa este dado?
2-Num determinada pesquisa sobre estatura na quinta série foi verificada que a média das alturas
dos alunos foi de 1,37 m. Isto significa que todos os alunos possuem esta altura? Poderia um aluno
da quinta série medir mais que 1,70 m de altura?
3-Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9 e 13.
 4-Comprei 5 doces a R$ 1,80 cada um, 3 doces a R$ 1,50 e 2 doces a R$ 2,00 cada. O preço
médio, por doce, foi de:
  a) R$ 1,75
   b) R$ 1,85
   c) R$ 1,93
   d) R$ 2,00
   e) R$ 2,40
4- A média de 5 números é igual a 25. Se somarmos a estes números 19 a nova média será?

Atividade em sala de aula
Com os dados obtidos com a atividade investigadora deste capítulo desenvolva gráficos que
mostrem o comportamento de cada situação
Com recortes de jornais ou revistas exponha o resultado de uma pesquisa graficamente




                                                      Bibliografia, fontes e recursos utilizados
                                                      http://educar.sc.usp.br
                                                      http://revistaescola.abril.com.br




                                                171
                                                                                6ª Série – Matemática – 1º Semestre

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

I lista de exercícios de matemática 7ano - gabarito
I lista de exercícios de matemática   7ano - gabaritoI lista de exercícios de matemática   7ano - gabarito
I lista de exercícios de matemática 7ano - gabarito
jonihson
 
matematica
matematica matematica
Potências raízes
Potências raízesPotências raízes
Potências raízes
Nivea Neves
 
Matemática 8ª classe lição 4
Matemática 8ª classe lição 4 Matemática 8ª classe lição 4
Matemática 8ª classe lição 4
Nivea Neves
 
Apostila Matemática Básica Parte 1
Apostila Matemática Básica Parte 1Apostila Matemática Básica Parte 1
Apostila Matemática Básica Parte 1
gustavoniedermayerwagner
 
Exercicios numeros inteiros
Exercicios numeros inteirosExercicios numeros inteiros
Exercicios numeros inteiros
PT
 
Conjuntos numericos 6
Conjuntos numericos 6Conjuntos numericos 6
Conjuntos numericos 6
gendersonkaio
 
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Conjuntos Numéricos
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Conjuntos Numéricoswww.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Conjuntos Numéricos
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Conjuntos Numéricos
Clarice Leclaire
 
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematicaExercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
trigono_metria
 
Numeros racionais
Numeros racionaisNumeros racionais
Numeros racionais
con_seguir
 
Apostila
ApostilaApostila
www.CentroApoio.com - Matemática - Expressões Algébricas e Numéricas
www.CentroApoio.com - Matemática - Expressões Algébricas e Numéricaswww.CentroApoio.com - Matemática - Expressões Algébricas e Numéricas
www.CentroApoio.com - Matemática - Expressões Algébricas e Numéricas
Vídeo Aulas Apoio
 
Lista Resolvida de Números racionais
Lista Resolvida de Números racionaisLista Resolvida de Números racionais
Lista Resolvida de Números racionais
Professora Andréia
 
Matematica aplicada
Matematica aplicadaMatematica aplicada
Matematica aplicada
Waleska Alencar
 
16 aula conjuntos numericos
16 aula    conjuntos numericos16 aula    conjuntos numericos
16 aula conjuntos numericos
jatobaesem
 
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricosConjuntos numéricos
Conjuntos numéricos
Alexandre Cirqueira
 
15032014
1503201415032014
Conjunto dos números complexos
Conjunto dos números complexosConjunto dos números complexos
Conjunto dos números complexos
rosania39
 
Lista de Exercícios – Equação do 1° grau
Lista de Exercícios – Equação do 1° grauLista de Exercícios – Equação do 1° grau
Lista de Exercícios – Equação do 1° grau
Everton Moraes
 
Ap matemática m1
Ap matemática m1Ap matemática m1
Ap matemática m1
trigono_metrico
 

Mais procurados (20)

I lista de exercícios de matemática 7ano - gabarito
I lista de exercícios de matemática   7ano - gabaritoI lista de exercícios de matemática   7ano - gabarito
I lista de exercícios de matemática 7ano - gabarito
 
matematica
matematica matematica
matematica
 
Potências raízes
Potências raízesPotências raízes
Potências raízes
 
Matemática 8ª classe lição 4
Matemática 8ª classe lição 4 Matemática 8ª classe lição 4
Matemática 8ª classe lição 4
 
Apostila Matemática Básica Parte 1
Apostila Matemática Básica Parte 1Apostila Matemática Básica Parte 1
Apostila Matemática Básica Parte 1
 
Exercicios numeros inteiros
Exercicios numeros inteirosExercicios numeros inteiros
Exercicios numeros inteiros
 
Conjuntos numericos 6
Conjuntos numericos 6Conjuntos numericos 6
Conjuntos numericos 6
 
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Conjuntos Numéricos
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Conjuntos Numéricoswww.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Conjuntos Numéricos
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Conjuntos Numéricos
 
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematicaExercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
 
Numeros racionais
Numeros racionaisNumeros racionais
Numeros racionais
 
Apostila
ApostilaApostila
Apostila
 
www.CentroApoio.com - Matemática - Expressões Algébricas e Numéricas
www.CentroApoio.com - Matemática - Expressões Algébricas e Numéricaswww.CentroApoio.com - Matemática - Expressões Algébricas e Numéricas
www.CentroApoio.com - Matemática - Expressões Algébricas e Numéricas
 
Lista Resolvida de Números racionais
Lista Resolvida de Números racionaisLista Resolvida de Números racionais
Lista Resolvida de Números racionais
 
Matematica aplicada
Matematica aplicadaMatematica aplicada
Matematica aplicada
 
16 aula conjuntos numericos
16 aula    conjuntos numericos16 aula    conjuntos numericos
16 aula conjuntos numericos
 
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricosConjuntos numéricos
Conjuntos numéricos
 
15032014
1503201415032014
15032014
 
Conjunto dos números complexos
Conjunto dos números complexosConjunto dos números complexos
Conjunto dos números complexos
 
Lista de Exercícios – Equação do 1° grau
Lista de Exercícios – Equação do 1° grauLista de Exercícios – Equação do 1° grau
Lista de Exercícios – Equação do 1° grau
 
Ap matemática m1
Ap matemática m1Ap matemática m1
Ap matemática m1
 

Semelhante a 6ª SéRie MatemáTica 1º Semestre

7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
PROFESSOR FABRÍCIO
 
Matematica3ef
Matematica3efMatematica3ef
Matematica3ef
educaedil
 
Ceesvo (ensino fundamental) apostila 3
Ceesvo (ensino fundamental)   apostila 3Ceesvo (ensino fundamental)   apostila 3
Ceesvo (ensino fundamental) apostila 3
Nome Sobrenome
 
03_Matematica Banco do Brasil.pdf
03_Matematica Banco do Brasil.pdf03_Matematica Banco do Brasil.pdf
03_Matematica Banco do Brasil.pdf
ConcurseiroSilva4
 
CADERNO DO FUTURO - MAT - 7° ANO.pdf
CADERNO DO FUTURO - MAT - 7° ANO.pdfCADERNO DO FUTURO - MAT - 7° ANO.pdf
CADERNO DO FUTURO - MAT - 7° ANO.pdf
aline628737
 
Números Inteiros
Números InteirosNúmeros Inteiros
Números Inteiros
milla_matematica
 
Numeros Inteiros 2
Numeros Inteiros 2Numeros Inteiros 2
Numeros Inteiros 2
Antonio Carneiro
 
Sf1n2 2013 gabarito
Sf1n2 2013 gabaritoSf1n2 2013 gabarito
Sf1n2 2013 gabarito
edmildo
 
Sf1n2 2013
Sf1n2 2013Sf1n2 2013
Sf1n2 2013
Mariza Roberto
 
Obmep2 2
Obmep2 2Obmep2 2
Obmep2 2
Gabriel Robert
 
Matemática básica
Matemática básicaMatemática básica
Matematica vol3
Matematica vol3Matematica vol3
Matematica vol3
Blaunier Matheus
 
Apostila CBTU-Raciocínio Lógico-Part#3
Apostila CBTU-Raciocínio Lógico-Part#3Apostila CBTU-Raciocínio Lógico-Part#3
Apostila CBTU-Raciocínio Lógico-Part#3
Thomas Willams
 
OBMEP 2 2013
OBMEP 2  2013OBMEP 2  2013
OBMEP 2 2013
Marcelino Jose
 
3 matemática
3   matemática3   matemática
3 matemática
afrodite2007
 
Binarios
BinariosBinarios
Operações em Z - adição e subtração
Operações em Z - adição e subtraçãoOperações em Z - adição e subtração
Operações em Z - adição e subtração
João Batista Barbosa Filho
 
Números negativos
Números negativosNúmeros negativos
Números negativos
leilamaluf
 
Números negativos
Números negativosNúmeros negativos
Números negativos
leilamaluf
 
Números negativos
Números negativosNúmeros negativos
Números negativos
leilamaluf
 

Semelhante a 6ª SéRie MatemáTica 1º Semestre (20)

7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
 
Matematica3ef
Matematica3efMatematica3ef
Matematica3ef
 
Ceesvo (ensino fundamental) apostila 3
Ceesvo (ensino fundamental)   apostila 3Ceesvo (ensino fundamental)   apostila 3
Ceesvo (ensino fundamental) apostila 3
 
03_Matematica Banco do Brasil.pdf
03_Matematica Banco do Brasil.pdf03_Matematica Banco do Brasil.pdf
03_Matematica Banco do Brasil.pdf
 
CADERNO DO FUTURO - MAT - 7° ANO.pdf
CADERNO DO FUTURO - MAT - 7° ANO.pdfCADERNO DO FUTURO - MAT - 7° ANO.pdf
CADERNO DO FUTURO - MAT - 7° ANO.pdf
 
Números Inteiros
Números InteirosNúmeros Inteiros
Números Inteiros
 
Numeros Inteiros 2
Numeros Inteiros 2Numeros Inteiros 2
Numeros Inteiros 2
 
Sf1n2 2013 gabarito
Sf1n2 2013 gabaritoSf1n2 2013 gabarito
Sf1n2 2013 gabarito
 
Sf1n2 2013
Sf1n2 2013Sf1n2 2013
Sf1n2 2013
 
Obmep2 2
Obmep2 2Obmep2 2
Obmep2 2
 
Matemática básica
Matemática básicaMatemática básica
Matemática básica
 
Matematica vol3
Matematica vol3Matematica vol3
Matematica vol3
 
Apostila CBTU-Raciocínio Lógico-Part#3
Apostila CBTU-Raciocínio Lógico-Part#3Apostila CBTU-Raciocínio Lógico-Part#3
Apostila CBTU-Raciocínio Lógico-Part#3
 
OBMEP 2 2013
OBMEP 2  2013OBMEP 2  2013
OBMEP 2 2013
 
3 matemática
3   matemática3   matemática
3 matemática
 
Binarios
BinariosBinarios
Binarios
 
Operações em Z - adição e subtração
Operações em Z - adição e subtraçãoOperações em Z - adição e subtração
Operações em Z - adição e subtração
 
Números negativos
Números negativosNúmeros negativos
Números negativos
 
Números negativos
Números negativosNúmeros negativos
Números negativos
 
Números negativos
Números negativosNúmeros negativos
Números negativos
 

Mais de PROFESSOR FABRÍCIO

Simulado 1 gabarito
Simulado 1 gabaritoSimulado 1 gabarito
Simulado 1 gabarito
PROFESSOR FABRÍCIO
 
Lógica inss gabaritado
Lógica inss gabaritadoLógica inss gabaritado
Lógica inss gabaritado
PROFESSOR FABRÍCIO
 
Soluções
SoluçõesSoluções
Lista01
Lista01 Lista01
Matematica eletromecanica
Matematica eletromecanicaMatematica eletromecanica
Matematica eletromecanica
PROFESSOR FABRÍCIO
 
5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
5ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre5ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
PROFESSOR FABRÍCIO
 
6ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
6ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre6ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
6ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
PROFESSOR FABRÍCIO
 
5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
5ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre5ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
PROFESSOR FABRÍCIO
 
5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
5ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre5ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
PROFESSOR FABRÍCIO
 
Calendário 2010 OPÇÃO
Calendário 2010 OPÇÃOCalendário 2010 OPÇÃO
Calendário 2010 OPÇÃO
PROFESSOR FABRÍCIO
 
Sexta RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
Sexta RECUPERAÇÃO FINAL PdfSexta RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
Sexta RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
PROFESSOR FABRÍCIO
 
4 Em1 RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
4 Em1 RECUPERAÇÃO FINAL Pdf4 Em1 RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
4 Em1 RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
PROFESSOR FABRÍCIO
 
Semelhanca Triang Blogg Pdf
Semelhanca Triang Blogg PdfSemelhanca Triang Blogg Pdf
Semelhanca Triang Blogg Pdf
PROFESSOR FABRÍCIO
 
5 Serie RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
5 Serie RECUPERAÇÃO FINAL Pdf5 Serie RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
5 Serie RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
PROFESSOR FABRÍCIO
 
Semelhanca Triangulos Sétima SÉRIE
Semelhanca Triangulos Sétima SÉRIESemelhanca Triangulos Sétima SÉRIE
Semelhanca Triangulos Sétima SÉRIE
PROFESSOR FABRÍCIO
 
4 Em1 Recuperação Final
4 Em1 Recuperação Final4 Em1 Recuperação Final
4 Em1 Recuperação Final
PROFESSOR FABRÍCIO
 
Setima Série Recuperação FINAL
Setima Série Recuperação FINALSetima Série Recuperação FINAL
Setima Série Recuperação FINAL
PROFESSOR FABRÍCIO
 
Sexta Série Recuperação Final
Sexta Série Recuperação FinalSexta Série Recuperação Final
Sexta Série Recuperação Final
PROFESSOR FABRÍCIO
 
5 Série Recuperação Final
5 Série Recuperação Final5 Série Recuperação Final
5 Série Recuperação Final
PROFESSOR FABRÍCIO
 
ApresentaçãOteodolito AplicaçõEs
ApresentaçãOteodolito AplicaçõEsApresentaçãOteodolito AplicaçõEs
ApresentaçãOteodolito AplicaçõEs
PROFESSOR FABRÍCIO
 

Mais de PROFESSOR FABRÍCIO (20)

Simulado 1 gabarito
Simulado 1 gabaritoSimulado 1 gabarito
Simulado 1 gabarito
 
Lógica inss gabaritado
Lógica inss gabaritadoLógica inss gabaritado
Lógica inss gabaritado
 
Soluções
SoluçõesSoluções
Soluções
 
Lista01
Lista01 Lista01
Lista01
 
Matematica eletromecanica
Matematica eletromecanicaMatematica eletromecanica
Matematica eletromecanica
 
5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
5ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre5ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
 
6ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
6ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre6ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
6ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
 
5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
5ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre5ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
 
5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
5ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre5ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
 
Calendário 2010 OPÇÃO
Calendário 2010 OPÇÃOCalendário 2010 OPÇÃO
Calendário 2010 OPÇÃO
 
Sexta RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
Sexta RECUPERAÇÃO FINAL PdfSexta RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
Sexta RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
 
4 Em1 RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
4 Em1 RECUPERAÇÃO FINAL Pdf4 Em1 RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
4 Em1 RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
 
Semelhanca Triang Blogg Pdf
Semelhanca Triang Blogg PdfSemelhanca Triang Blogg Pdf
Semelhanca Triang Blogg Pdf
 
5 Serie RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
5 Serie RECUPERAÇÃO FINAL Pdf5 Serie RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
5 Serie RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
 
Semelhanca Triangulos Sétima SÉRIE
Semelhanca Triangulos Sétima SÉRIESemelhanca Triangulos Sétima SÉRIE
Semelhanca Triangulos Sétima SÉRIE
 
4 Em1 Recuperação Final
4 Em1 Recuperação Final4 Em1 Recuperação Final
4 Em1 Recuperação Final
 
Setima Série Recuperação FINAL
Setima Série Recuperação FINALSetima Série Recuperação FINAL
Setima Série Recuperação FINAL
 
Sexta Série Recuperação Final
Sexta Série Recuperação FinalSexta Série Recuperação Final
Sexta Série Recuperação Final
 
5 Série Recuperação Final
5 Série Recuperação Final5 Série Recuperação Final
5 Série Recuperação Final
 
ApresentaçãOteodolito AplicaçõEs
ApresentaçãOteodolito AplicaçõEsApresentaçãOteodolito AplicaçõEs
ApresentaçãOteodolito AplicaçõEs
 

Último

Subindo uma aplicação WordPress em docker na AWS
Subindo uma aplicação WordPress em docker na AWSSubindo uma aplicação WordPress em docker na AWS
Subindo uma aplicação WordPress em docker na AWS
Ismael Ash
 
se38_layout_erro_xxxxxxxxxxxxxxxxxx.docx
se38_layout_erro_xxxxxxxxxxxxxxxxxx.docxse38_layout_erro_xxxxxxxxxxxxxxxxxx.docx
se38_layout_erro_xxxxxxxxxxxxxxxxxx.docx
ronaldos10
 
Aula combustiveis mais utilizados na indústria
Aula combustiveis mais utilizados na indústriaAula combustiveis mais utilizados na indústria
Aula combustiveis mais utilizados na indústria
zetec10
 
Apresentação sobre Deep Web e anonimização
Apresentação sobre Deep Web e anonimizaçãoApresentação sobre Deep Web e anonimização
Apresentação sobre Deep Web e anonimização
snerdct
 
Ferramentas que irão te ajudar a entrar no mundo de DevOps/CLoud
Ferramentas que irão te ajudar a entrar no mundo de   DevOps/CLoudFerramentas que irão te ajudar a entrar no mundo de   DevOps/CLoud
Ferramentas que irão te ajudar a entrar no mundo de DevOps/CLoud
Ismael Ash
 
INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL + COMPUTAÇÃO QUÂNTICA = MAIOR REVOLUÇÃO TECNOLÓGICA D...
INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL + COMPUTAÇÃO QUÂNTICA = MAIOR REVOLUÇÃO TECNOLÓGICA D...INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL + COMPUTAÇÃO QUÂNTICA = MAIOR REVOLUÇÃO TECNOLÓGICA D...
INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL + COMPUTAÇÃO QUÂNTICA = MAIOR REVOLUÇÃO TECNOLÓGICA D...
Faga1939
 

Último (6)

Subindo uma aplicação WordPress em docker na AWS
Subindo uma aplicação WordPress em docker na AWSSubindo uma aplicação WordPress em docker na AWS
Subindo uma aplicação WordPress em docker na AWS
 
se38_layout_erro_xxxxxxxxxxxxxxxxxx.docx
se38_layout_erro_xxxxxxxxxxxxxxxxxx.docxse38_layout_erro_xxxxxxxxxxxxxxxxxx.docx
se38_layout_erro_xxxxxxxxxxxxxxxxxx.docx
 
Aula combustiveis mais utilizados na indústria
Aula combustiveis mais utilizados na indústriaAula combustiveis mais utilizados na indústria
Aula combustiveis mais utilizados na indústria
 
Apresentação sobre Deep Web e anonimização
Apresentação sobre Deep Web e anonimizaçãoApresentação sobre Deep Web e anonimização
Apresentação sobre Deep Web e anonimização
 
Ferramentas que irão te ajudar a entrar no mundo de DevOps/CLoud
Ferramentas que irão te ajudar a entrar no mundo de   DevOps/CLoudFerramentas que irão te ajudar a entrar no mundo de   DevOps/CLoud
Ferramentas que irão te ajudar a entrar no mundo de DevOps/CLoud
 
INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL + COMPUTAÇÃO QUÂNTICA = MAIOR REVOLUÇÃO TECNOLÓGICA D...
INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL + COMPUTAÇÃO QUÂNTICA = MAIOR REVOLUÇÃO TECNOLÓGICA D...INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL + COMPUTAÇÃO QUÂNTICA = MAIOR REVOLUÇÃO TECNOLÓGICA D...
INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL + COMPUTAÇÃO QUÂNTICA = MAIOR REVOLUÇÃO TECNOLÓGICA D...
 

6ª SéRie MatemáTica 1º Semestre

  • 1. COLÉGIO OPÇÃO MATEMÁTICA NÚMEROS E OPERAÇÕES Atividades investigadoras: Responda em sala. 1-Complete a tabela: Problema Resultado Um número somado a 30 que seja 35 Um número que somado com 5 seja 50 Em número somado a 60 que seja igual a 20 Um número que somado a 120 seja igual a 100 2-Um termômetro foi colocado na cidade de Campos do Jordão e marcou dez graus acima de zero durante o dia e um grau abaixo de zero durante a noite. Como posso representar as temperaturas registradas nesta cidade, utilizando símbolos e algarismos matemáticos? 3-Imagine que uma pessoa tem R$500,00 depositados em um banco e faça sucessivos saques: 1º saque: R$200,00 2º saque: R$100,00 3º saque: R$300,00 Qual o saldo no banco dessa pessoa após os saques?Como você O representaria matematicamente? 1. INTRODUÇÃO: Em um determinado momento da história da humanidade houve a necessidade de representar números na sua forma negativa. *Os números naturais não previam situações como a de medir temperaturas abaixo de zero, como de altitudes abaixo do nível do mar e muitas outras situações. Surgia então a necessidade de se criar um conjunto numérico mais abrangente que suprisse tais necessidades da humanidade.*você ainda lembra dos números Naturais? Vejamos algumas situações que mostram a necessidade de representar números negativos: A figura mostra os pontos mais altos e mais baixos da superfície terrestre: Perceba que sem a representação negativa não teríamos como representar o ponto mais profundo da terra, a Challenger Deep, que se encontra a 11.000 metros abaixo do nível do mar, ou seja, a – 11.000 metros. 128 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 2. COLÉGIO OPÇÃO A tabela mostra a previsão do tempo em algumas cidades da região sul: TEMPO NO SUL DO BRASIL Cidade Tempo Temperatura mínima Curitiba (PR) Chuvoso 0° C São Joaquim (SC) Nublado - 3° C Porto Alegre (RS) Claro 4° C Gramado (RS) Nublado -1° C Bento Gonçalves (RS) Chuvoso - 5° C Veja que temos necessidade de representar temperaturas na forma negativa. O termômetro registra a temperatura em uma cidade da Europa durante o inverno. Veja a importância de se representar números na sua forma negativa, sem eles não poderíamos representar temperaturas abaixo de zero. Trabalho em sala: em duplas pesquise em revistas e jornais outras ultilizaçõe de números negativos. Use colagem e cartolina. VAMOS JOGAR! Jogo do baralho: em grupo Jogo das varetas: em grupo Sem descarte ganha quem conseguir Com varetas coloridas mais pontos: as cartas pretas são ganha quem obter mais positivas e as vermelhas são negativas. pontos :Amarelas - Rei, rainha, valete preto: 3, 2, 1 10,vermelhas -5, azuis 1, respectivamente verde 5 e preto vale 10 Rei, rainha, valete vermelho: 3, 2, 1 Material: varetas de 25 cm respectivamente Material: 1 baralho por equipe 129 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 3. COLÉGIO OPÇÃO 2. NÚMEROS INTEIROS: O conjunto formado pelos inteiros positivos, pelos inteiros negativos e pelo zero é chamado de conjunto dos números inteiros e é representado pela letra Z. Z = {..., -10, -9, -8, -7, -6, -5, - 4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, +9, +10,...} 2.1. A RETA DOS NÚMEROS INTEIROS: Para visualizarmos melhor a seqüência dos números inteiros, vamos representá-los na reta numerada dos números inteiros. 2.3 Subconjunto de Z Veremos agora alguns subconjuntos importantes de Z e suas representações: Conjunto dos números inteiros não nulos: Z* = {..., -3, - 2, - 1, 1, 2, 3, ...} Conjunto dos números inteiros não negativos: Z + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Conjunto dos números inteiros positivos Z *+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...} Conjunto dos números inteiros não positivos Z - {..., - 4, - 3, - 2, - 1, 0} Conjunto dos números inteiros negativos Z *- = {..., - 4, - 3, - 2, - 1} EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1- O lugar mais alto da terra é o pico do Everest, na Ásia: 8.882 m acima do nível do mar. O lugar mais baixo é a fossa de sonda, no Oceano Pacífico 10. 790 m abaixo do nível do mar. a) Represente essas altitudes, usando números positivos e negativos b) Quantos metros o Everest é mais alto que a fossa de Sonda? 2- Um palácio começou a ser construído no ano 9 a.C e foi concluído 8 anos depois. Em que ano ficou pronto? 3. Heródoto, historiador grego, nasceu no ano 484 antes de Cristo. Usando números inteiros positivos ou negativos, indique o ano em que ele nasceu. 4-Desenhe um termômetro e represente nele as temperaturas registradas nas cidades: a) Aracaju: 20°C b) Campos do Jordão: -5°C c) São Paulo: 15°C 130 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 4. COLÉGIO OPÇÃO TEXTO COMPLEMENTAR CONFUSÃO NEGATIVA Os números negativos (como também o zero e os números imaginários) passaram tempos difíceis ao longo da História da Matemática. Durante séculos, foram considerados absurdos e inconcebíveis. Os números serviam para contar ou para exprimir medidas, e não há rebanhos com número negativo de carneiros, nem campos com número negativo de comprimento… Enquanto a noção de número estiver . ligada a noções de grandeza ou de quantidade, os números negativos não podiam ser naturalmente, concebidos nem aceites. Mas eles teimavam em aparecer nas soluções dos problemas. E os matemáticos davam cabo da cabeça para encontrar métodos para resolver esses problemas sem usar os disparatados números negativos. Por exemplo, se procurava o valor de um número x que, somado a 100, desse 50, e se encontrava -50, isso queria dizer que era o problema que estava mal formulado, e que em vez de somar, se deveria ter subtraído… Como não havia “quantidades negativas”, a subtração de “quantidades positivas” era o expediente mais utilizado para conseguir “ignorar” os números negativos. Curiosamente, isto fez com que as regras de cálculo dos números negativos se tivessem desenvolvido antes de eles serem aceites na selecta sociedade dos sábios. Hoje, os números negativos fazem parte do nosso quotidiano. Basta ligar a TV e ouvir os Boletins Metereológicos de Inverno para sabermos que, no Norte da Europa, ou na Sibéria, as temperaturas foram de -5, -10 ou -50 graus (negativos, isto é, abaixo de zero)… Sem que isso nos faça confusão. susymcmarques.googlepages.com Exercício: 1-Represente os conjuntos listando seus elementos: a){x ∈ Z | x > - 2} b){x ∈ Z* | - 5 ≤ x < 2} c) {x ∈Z + | x ≥ - 2 } 2-Responda: a)Qual o oposto de – 5? b)Qual o simétrico de 10? c)Qual o oposto do oposto de 9? 1- Qual o módulo? a) | 18 | b) |- 15 | c) | 10 - | 5 || d) ||- 50 || e) ||-5 | - | 9 || 2- Complete com os símbolos < ou >. 131 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 5. COLÉGIO OPÇÃO a) – 5 3 b) 0 -1 c) 9 -9 d) – 10 -3 6-O matemático grego Euclides escrever um livro sobre geometria no ano – 290, isto é, no ano 290 a.C. O matemático grego Eratóstenes estudou os números primos no ano – 240. O livro de Euclides foi escrito antes ou depois dos estados de Eratóstenes? Quantos anos antes ou depois? 3. OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS INTEIROS 3.1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: A adição e a subtração de números inteiros é chamada de soma algébrica e é feita através de dois casos: EXEMPLOS: Vamos calcular as seguintes somas algébricas: a) + 2 + 7 =? c) – 11 + 17 =? e) – 14 + 18 =? b) – 3 – 12 =? d) + 12 – 17 =? f) + 19 – 16 =? NOTA DO PROFESSOR: podemos “encarar” soma de números inteiros fazendo o sinal de ( - ) como se fosse uma divida e o de ( + ) como pagamento, por exemplo: Caso1 i -5+2 Zezinho deve 5 e pagou 2, ou seja , ainda deve 3 portanto o resultado é -3 ii -5+8 huguinho devia 5 e pagou 8, portanto tem um saldo positivo o resultado é +3 iii -5-5 ou -5+(-5) em ambos casos temos a soma de duas dividas, portanto deve 5 duas vezes resultado -10 Caso2 Às vezes ( - ) pode significar descer e ( + ) subir por exemplo: Em uma cidade do Alasca, o termômetro marcou –15o pela manhã. Se a temperatura descer mais 13o, o termômetro devei marcar? Temperatura -15 desceu (-13), portanto -15 com -13 =-28, voltamos ao caso anterior Agora é com vocês!! Situações problemas: 1 Certa pessoa possui em sua conta bancaria R$300,00 e precisou debilitar (subtraídos) R$400,0 e uma semana depois essa mesma pessoa depositou uma quantia igual a primeira retirada ,de R$300,00 quanto está o saldo desta pessoa ? 2 um submarino se encontra à 150 m abaixo do nível do mar e numa manobra de emergência precisou desce mais 35. Onde se encontra o submarino com relação ao nível do mar? 3 Ontem a temperatura em new York era de 5 graus abaixo de zero, mas hoje a temperatura aumentou 6 graus ficando em? 4 A temperatura no deserto pode chegar a 40º de dia e -10º de noite. Qual a diferença entre essas duas temperaturas? 6 um submarino que viaja às profundezas do oceano (22600 m) é atacado pelo mostro submarino Zoarg tendo que retornar 300m para a superfície para fugir do ataque. Qual a nova posição desse submarino? 7 Um alpinista se encontrava à 8848m do pico Everest, devido uma tempestade teve que descer 150m para então no dia seguinte subir 240m. Qual a nova posição deste alpinista? 8 Cíntia conduzia um carrinho de brinquedo por controle remoto em linha reta. Ela anotou em uma tabela os metros que o carrinho andava cada vez que ela acionava o controle. Escreveu valores positivos para as idas e negativos para as vindas. 132 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 6. COLÉGIO OPÇÃO Vez Metros Após Cíntia acionar o controle pela sexta vez, a distância entre Primeira 17 ela e o carrinho era de Segunda -8 Terceira 13 (A) -11 m. (B) 11 m. (C) -27 m. (D) 27 m Quarta 4 Quinta -22 Sexta 7 3.2MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS Vamos calcular as multiplicações e divisões de números inteiros: a) (– 4) x (+ 7) = + 28 b) (+ 15) ÷ ( + 5) = + 3 Nota do professor: Caso1-Uma dica que ajuda muito na hora de multiplicar ou dividir é você se lembrar das operações fundamentais: por exemplo, 3x(-5)= (-5)+ (-5)+ (-5)= -15(três dívidas de 5) Caso2-você pode pensar também que o (-) significa contrário, por exemplo: i (-3)x+5 (na conta normal 3x5=15, os dois sinais um de – e outro de + fica assim;contrario de “mais” é “menos”assim (-3)x+5=-15 ii (-3)x(-4)x(-2) fica 3x4x2=24, contrario de menos + contrario de novo – portanto fica menos no final. (-3)x(-4)x(-2)=-24 Caso 3 (−15) ÷ (+3) 15 ÷ 3 =5, novamente – e + significa: contrario de + que é igual a menos, portanto (−15) ÷ (+3) = -3 133 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 7. COLÉGIO OPÇÃO EXERCICIO 1. Efetue as multiplicações entre números naturais: a) (+ 8). (– 9) i) (– 6).(– 18) b) (– 6). (– 5) j) (+ 3). (+ 21) c) (+ 7). (+ 4) k) (– 8). 0 d) (+ 9). (+ 7) l) (– 11). (– 21) e) (– 8). (+ 6) m) (– 20). (+ 17) f) (+ 5). (– 11) n) (+ 17). (+ 17) g) 0. (+ 13) o) (– 5). (– 32) h) (– 12). (–12) p) (+ 15). (–17) 2. Calcular as divisões de números naturais: a) (– 9)÷ (+ 3) i) (– 65)÷ (– 5) b) (– 11)÷ (– 11) j) (– 90)÷ (+ 6) c) (+ 21)÷ (+ 7) k) (+64)÷ (+ 16) d) (+ 36)÷ (– 4) l) (– 39)÷ (– 13) e) 0÷ (+ 20) m) (+ 96)÷ (– 24) f) (– 31)÷ (+ 31) n) (– 200)÷ (+ 25) g) (+ 45)÷ (– 3) o) (+ 63 )÷ (+ 21) h) (+ 52) ÷ (+ 2) p) (+ 81) ÷ (– 27) 4-POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS OPERANDO COM POTENCIAS NA CALCULADORA Vamos agora fazer os primeiros contatos com a operação de potenciação, para isso faremos uso de uma calculadora comum: siga os passos digite na calculadora 3x2 e aperte a tecla de igual repetidas vezes preenchendo a tabela a seguir: T 3 X 2 = = = = = = = = = = E C L A V 3 3 2 6 1 I S 2 O R 149 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 8. COLÉGIO OPÇÃO agora seguindo o mesmo raciocínio faremos as dez primeiras potencias de 2 para isso digite na calculadora 1x2 e novamente aperte a tecla de igual repetidas vezes completando a tabela T 1 X 2 = = = = = = = = = = E C L A V 1 1 2 2 4 8 I S O R Outra maneira de expressar esse problema é usando uma tabela de potência Expoente Potencia Onde n é chamado de expoente e n é chamado de resultado da 1 2 potência. 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 7 128 8 256 9 512 10 1024 Exercício de fixação 1-Façamos uma tabela de potencias, com a ajuda da calculadora, com as potencias de 3 e de 5, de 1 até 16. 2-Explore outras seqüências de teclas, o que você descobriu? a) 2 + 3 = = = = = = b) 5 + 2 = = = = = = c) 10 x 10 = = = = = = = . . d) 2 x 3 = = = = = = .. e) 3 x 2 = = = = = = .. 3- Sem calculadora, faca uma tabela de potencia do numero -2 e do -3 de 1 ate 16, o que você observa junto aos sinais que surgem? 150 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 9. COLÉGIO OPÇÃO ATIVIDADE INVESTIGADORA Baseado no que você aprendeu encontre soluções para os exercícios a seguir. a) (+ 8)2 b) (- 5 )2 c) (- 6 )3 d) (+ 17 )0 e) (+ 18 )1 f) (- 2 )3 3 1 2 1 0 6 2 g) (+ 10) . (+ 10) h) (- 3 ) . (- 3) . (- 3) i) (- 5 ) : (- 5 ) 5 3 2 2 j) (+ 10) : (+ 10 ) l) [ (+ 10 ) ] m) (- 1 )0 . (- 1 )2 . (- 1 )3 . (- 1 )4 Que dificuldades você sentiu nos exercícios anteriores?Comente em sala antes de passarmos para o próximo assunto: 4.1PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO 1°) Multiplicação de potencias de mesma base Para multiplicar as potências de mesma base, basta conservar a base e somar os expoentes. Ex: (+ 2 )5 . ( + 2 )4 = (+ 2 )9 ou também (- 3 )3 . (- 3 )5 = (- 3 )8 ou também 4.2 Divisão de potências de mesma base Para dividir potências de mesma base, não nula, basta conservar a base e subtrair os expoentes. Ex: (+ 4 )3 : (+ 4 )1 = (+ 4 )2 ou também (- 5 )8 : (- 5 )4 = (- 5 )4 ou também 4.3 Potência de uma potência Para elevar uma potencia a um novo expoente, basta conservar a base e multiplicar os expoentes. Ex: [ (- 3 )2]3 = (- 3 )6 [ (+ 2 )5]- 2 = (+ 2 ) – 10 4.4- RADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS A raiz quadrada aritmética de um número inteiro quadrado perfeito è o número positivo cujo quadrado é igual ao número dado. 151 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 10. COLÉGIO OPÇÃO Observe o conjunto dos inteiros quadrados perfeitos: {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 121, 144, 169, 196,..} A operação pela qual calculamos a raiz de um número é chamada radiciação. O símbolo √ é chamado radical. Ex: 25 = 5, porque 5 é positivo e 52 = 25 49 = 7, porque 7 é positivo e 72 = 49 EXERCÍCIO: 1- De o valor de cada expressão: a) 225 b) 169 c) - 36 d) - 1 e) 0 f) 1600 4.5- EXPRESSÕES NUMÉRICAS EM Z Nas expressões numéricas, as potências e as raízes quadradas são efetuas antes das multiplicações e divisões. E essas, antes das adições e subtrações. Além disso, devem ser respeitados os respeitados os parênteses, colchetes e chaves. EXERCÍCIO: 1) Calcules as seguintes expressões: a) 11 + ( - 7 + 15) b) 16 – (15 – 6) c) – 7 – (- 6 + 4) d) (- 3 – 7) + (- 4 + 8) e) – 2 + (3 – 8) – (- 3 + 5) f) – 6 . 2 – (3 . 4 – 1) g) (- 2 ) . (- 3 ) . (- 4 ) - (- 2 ) . (- 3 ) - (- 2 ) h) (- 1440 ): (- 9 - 5 + 2 ) – 16 . (- 5 ) i) [4 . 17 + 5 . (- 11 )] : [- 17 + 16] j) 18 . [(- 42 ) : ( - 14) + 11 . (- 2 )] : (- 2 . 4 – 7 . 7 ) k) (- 4 )3 + 2 . (- 4 )2 – 3 . (- 2 )3 l) (3 . 25 – 70 ) : [(- 2 )4 - (- 3 )1] m) – 72 – {(- 2 )3 – [(- 3 )2 – 52 – 4]4 + 1} - (- 3 )3 n) 72 - (2 . 5 + 1)0 + [26 + (- 3 )4 - (21 – 60)] : [(- 2 )4 - (- 2 )3 ] o) ( 23 )2 + 37 – 2 . 3 - (- 3 )5 : 9 2 p) 90 - 9 q) 3 . 64 64 - 36 – 4 . 50 2) Observe a tabela referente a exportações e importações brasileiras de 1993 a 1997 (valores em milhões de dólares) Ano Exportação Importação 1993 38.597 5.480 1994 43.558 33.168 1995 46.506 49.858 1996 47.747 53.301 1997 52.986 61.358 152 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 11. COLÉGIO OPÇÃO a) Em que período a balança comercial brasileira teve um desempenho negativo? b) Em que período o desempenho foi positivo? 3) Responda: a) Como são chamados os números precedidos do sinal + ? b) Como são chamados os números precedidos do sinal - ? c) Qual é o número inteiro que não é nem positivo nem negativo? 5) O esquema abaixo mostra o relevo de uma região. Dê altitude de cada ponto assinalado: 6) Já vivos o que se entende por sucessor e antecessor de números naturais. Os números inteiros também têm sucessores e a antecessor. Copie e complete a tabela substituindo as estrelinhas. Número Antecessor Sucessor - 10 * * * 0 * * * -2 8) Calcule: a) (+ 14) – (+ 21) b) (- 18) – (- 24) c) (- 20) – (+ 25) d) (+ 3,8) – (+ 5,7) e) (+ 13,6) – (+ 13,6) 9) A Fossa Subglacial Bentley é a maior atitude negativa. (depressão) de que se tem noticia. Ele se encontra na Antártida e tem – 2.538 metros. A maior altitude positiva é o pico Everest e se encontra na China. Ele tem 8.848 metros. Qual é a diferença de altitude entre o pico Everest e a Fossa Subglacial Bentley? 10) A tabela abaixo refere-se a balança comercial do Brasil, no período de 1995 a 1997, em milhões de dólares. Calcule o saldo em cada um desses anos. Ano Exportação Importação 1995 46.506 49.859 1996 47.747 53.301 1997 52.986 61.358 153 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 12. COLÉGIO OPÇÃO 11) Observando o extrato bancário, determine os saldos que estão faltando. Extrato integrado Contas n° 33716 Histórico / n° do documento Saldo em Dia Debito Crédito Saldo em 29/03 R$ 0,00 01 Cheque 78114 100,00 ? 01 Saque 30,00 ? 02 Cheque 78115 60,00 ? 02 Depósito 300,00 ? 02 D.O.C. recebido 20,00 ? 03 Cheque 78116 500,00 ? 03 Saldo ? atual 14) Vamos imaginar um inseto caminhando sobre uma reta numérica. Partindo do ponto de abscissa – 8, ele caminha 3 unidades para a direita, a seguir 6 unidades para a esquerda e finalmente 9 unidades para direita. Em que abscissa da reta ele parou? 16) Um submarino está a 20 m abaixo do nível do mar. Para fazer uma manobra, ele desce mais 13 m. No momento da manobra, a quantos metros ele esta a baixo do nível do mar? 17) Ao consultar seu extrato bancário, Silvia notou que estava com um saldo devedor de R$ 397,50 em sua conta corrente. Ela fez um deposito no valor de R$ 258,30. Com quanto ela ficou de saldo? 154 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 13. COLÉGIO OPÇÃO 18)Um prédio tem 25 andares. O elevador esta no 4° andar, sobe 5 andares desce 2, sobe 8, desce7, e finalmente sob 3. Fazendo corresponder o zero ao andar térreo, determine a posição final do elevador. 5 NÚMEROS RACIONAIS 5.1 RECONHECENDO OS NÚMEROS RACIONAIS ATIVIDADE INVESTIGADORA: Em equipes vamos discutir as seguintes situações: 1-Tenho 5 doces para repartir em partes iguais entre 3 crianças. Quanto cada uma receberá? 2-Para fazer uma jarra de suco, misturo 1 copo do líquido concentrado com 5 medidas de água. Se eu quiser fazer menos bebida conservando o mesmo sabor, que doses devo usar? E se quiser fazer mais suco? 3-Na planta de minha casa, 2 centímetros representam 3 metros. Minha cozinha mede 4 x 5 metros. Como ela será representada? Quais as dimensões de um galpão que na planta é um retângulo de 5 x 10 centímetros? 4-Se o retângulo mede 1, quanto mede a parte em destaque? Para que servem as frações? Os números naturais, que abordamos nos quatro módulos anteriores, são aqueles com os quais as crianças têm o primeiro contato:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... No entanto, esses números não conseguem resolver certos problemas que as frações resolvem. Vejamos um exemplo: Pelo telefone, Dona Maria dá uma receita de bolo a Dona Lúcia. -Use 2 xícaras de farinha e menos que a metade de uma xícara de requeijão... Não. É menos que a metade, mas é mais que a metade da metade.Ficou complicado, não é mesmo? É provável que Dona Maria estivesse pensando numa quantidade equivalente à fração (um terço): Se tivesse dito "um terço", Dona Lúcia teria entendido melhor a receita..., se soubesse frações. Este foi um pequeno exemplo da utilidade das frações. Veremos outros no decorrer dessa lição. Note que, na maneira de Dona Maria dar a receita, há um outro problema: as xícaras em geral têm um formato que torna difícil saber o que é exatamente a metade. Por isso, na ilustração representamos uma caneca, na qual é fácil marcar a metade. 155 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 14. COLÉGIO OPÇÃO a Os números racionais ou fracionários são sempre da forma a/b ou , ou seja, formados, por dois b números inteiros como por exemplo a caixa do desenho foi dividida em 4 partes , então a 1 quantidade pintada representa do tamanho total 4 São exemplos de números fracionários ou racionais 5/3 ½ 6/8 9/3, e podem ser positivos ou negativos. Observe que os números racionais podem ser representados por pontos de uma reta, usando-se o mesmo processo de representação dos inteiros. Q -2 3 -1 1 1 1 3 - - 0 2 2 2 2 2 A direita de zero representamos os números positivos, e a esquerda, os negativos. Responda: todo numero fracionário é um numero inteiro? Trabalho de pesquisa: o que são frações próprias, impróprias e aparentes? Nota do professor: Podemos encarar frações como divisões. Assim, por exemplo, a fração 10/5 pode ser Que é igual a 2.Isto prova que 10/5 e mesma coisa que 2 um numero inteiro. 5.2 NOME DAS FRAÇÕES "denominador" significa "aquele que dá o nome" (no exemplo acima, estamos lidando com "terços") e "numerador" significa "aquele que dá o número de partes consideradas". Portanto, os nomes das frações dependem do número de partes em que a unidade é dividida e do número de partes que estamos considerando. Vejamos alguns exemplos: 156 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 15. COLÉGIO OPÇÃO FRAÇÕES COM DENOMINADORES 10, 100, 1000, 10000, etc. : 3/10 Três décimos 37/100 Trinta e sete centésimos 4/1000 Quatro milésimos 71/10000 Setenta e um sobre dez mil EXERCÍCIOS 1 Copie e represente, apenas em uma reta, os números: 3 2 3 3 a) b) − c) − d) 2 5 2 5 2 Qual o maior número? 2 2 5 6 5 5 a) ou − b) 0 ou − c) − ou d) ou 7 7 2 7 6 8 4 1 1 − e) ou 3 3 2 3 Verdadeiro ou falso? a) Todo número racional negativo é menor que zero b) Todo número racional positivo é menor que zero 7 −7 7 4- Os números A = - , B = e C= são iguais ? 2 2 −2 5 diga se são iguais ou diferentes os números : +7 7 −1 1 a) e− c) e −3 3 −9 9 +5 5 15 15 b) e+ d) e− −8 8 −2 2 1 7 7-o que vem depois de ? E depois de ? 2 8 3 8. O número − esta compreendido entre: 6 157 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 16. COLÉGIO OPÇÃO a) 0 e 1 b) 3 e 6 c) –1 e 0 d) –6 e –3 5 2 1 8 9. Dadas as frações: , , , − , a ordenação ela em ordem crescente é: 7 3 4 5 2 8 1 5 1 2 8 5 a) − , − , , c) ,− , − , 3 5 4 7 4 3 5 7 8 2 1 5 8 2 5 1 b) − ,− , , d) − ,− , , 5 3 4 7 5 3 7 4 10-Por que a parte sombreada da figura não corresponde a 2/3? 5.3 FRAÇÕES EQUIVALENTES Atividade investigadora Em grupo discutam as seguintes questões 1-Tenho de comprar 2 quilos e 1/4 de café. No supermercado, há pacotes de 1/2, 1/4 e 1 quilo. Que pacotes devo levar? Quais as possibilidades? Quais escolho para levar a menor quantidade de pacotes? 2-quanto é a metade de 12/8? e se quisermos o dobro de 12/8? 3-Quanto devemos adicionar à balança para equilibrá-la Podemos observar com o exercício 1 a cima que ½ quilo equivale a 2 quantidades de ¼ Ou seja, ½=1/4+1/4 ou também ½=2/4 Chamamos de frações equivalentes (equi- igual valente- valor) frações que apesar de diferentes na forma tem na verdade o mesmo significado, mesmo “peso” observe a fração Observe a obtenção de uma fração equivalente 158 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 17. COLÉGIO OPÇÃO Atividade em sala Obtenha algumas frações equivalentes para os números 2/3, 4/5 e 8/5. Compare seus resultados com outros alunos. Exercícios Faça no seu caderno. 1 - Verdadeiro ou falso? 0 0 − 72 144 a) = b) = 5 6 − 43 86 2 - Quais das sentenças abaixo são verdadeiras ( lembre-se que fração também pode ser uma divisão ) 17 16 1 1 = 1, 7 b) = − 8, 5 c) − = 0, 4 d) − = 0, 125 100 −2 4 8 3. Qual é a igualdade falsa?(regra de sinal pag. 133) −3 3 3 −3 −3 3 +3 3 a) = b) = c) =− d) = 5 −5 −5 5 −5 5 +5 5 19 4. Ache uma fração equivalente à . 38 1 5. Qual entre as frações seguintes é a equivalente a 4 12 40 48 12 a) b) c) d) − 48 10 12 3 6. Cada parte de uma figura, corresponde à fração 1/5. Responda: a) Qual é a fração que representa a figura toda? b) Qual é a fração que representa duas dessas figuras? 7. O tanque de gasolina do carro estava vazio. Colocamos 48 litros de combustível. O marcador ficou assim: 159 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 18. COLÉGIO OPÇÃO Quantos litros de combustível cabem nesse tanque? Litros. Se 2/5 da minha fortuna correspondem a 200 reais, qual é toda a minha fortuna? Reais Será que é mesmo igual a ?Afinal, é um pedaço só e são dois pedaços. 5.4 OPERAÇÕES COM RACIONAIS Atividade investigadora: Responda quanto é ½ quilo mais1/4 de café? Qual é o resultado de 2 + 2/3? ADIÇÃO A idéia de juntar corresponde, na Matemática, à adição. Podemos então somar frações representando-as em figuras e juntando as partes indicadas. Vejamos a adição: Este exemplo justifica a regra utilizada para somar frações: Para somar frações de mesmo denominador, somamos os numeradores e conservamos o denominador. No entanto, quando as frações têm denominadores diferentes, aparece uma dificuldade. Como vamos somar 1/4 e 1/6, por exemplo? Agora precisamos descobrir a que fração corresponde à parte sombreada que representa 160 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 19. COLÉGIO OPÇÃO 1 A solução do problema está no fato de que é possível escreverde muitas outras maneiras, o 4 1 1 1 mesmo ocorrendo com . Procuraremos, então, nas várias escritas de e de , aquelas que têm 6 4 6 denominadores iguais: 1 3 1 Agora, sim, podemos somar: em vez de escrever , escrevemos , e em vez de , 4 12 6 2 escrevemos . Este processo se chama "reduzir frações ao mesmo denominador". 12 Depois que as frações estão com o mesmo denominador, efetuamos a adição: Para visualizar esta adição, desenhamos novamente o retângulo e o dividimos em 12 partes: Podemos, então, formular a regra: Para somar frações com denominadores diferentes, reduzimos as frações ao mesmo denominador e aplicamos a regra anterior. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO Considere as frações 5/8 e 7/12. a) Escreva-as de outra maneira para que fiquem com um mesmo denominador.(Utilize o menor denominador possível) 5/8: 7/12: b) Diga qual das duas é maior: c) Subtraia a menor da maior: 1. Efetue as adições:  1  3  5  1 a)  +  +  +  c)  −  +  +   2  7  6  2 161 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 20. COLÉGIO OPÇÃO  1  2  2  4 b)  −  +  +  d)  −  +  +   3  5   3  9 2. Efetue as adições: 2  1  2  5 a) + −  b)  +  +  −  5  2  3  3 5  1 b) + −  3  2 5  1 c) − +  −  6  4 3. Efetua as adições. Veja o exemplo:  2 2 15 + 2 17 5+ +  =5+ = =  3 3 3 3  1  5 a) 2 +  +  b)  −  + (+2)  7  7  2 b) 4 +  −   3  1 c) 4 +  −   5 4. Efetue as adições: 3  1  1  a) + −  + −  5  2   10   3  7  1 b)  −  +  + −  +  +   5  10   15  SUBTRAÇÃO Para subtrair frações, usa-se um processo semelhante ao da adição. Vejamos, por exemplo, como 4 1 efetuar − : 5 5 4 1 Dos tiramos : 5 5 162 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 21. COLÉGIO OPÇÃO 3 Restam . 5 4 1 3 Portanto: − = 5 5 5 Quando os denominadores são diferentes, podemos torná-los iguais usando o mesmo procedimento utilizado na adição. Por exemplo, vamos efetuar a subtração: Procuramos frações que sejam iguais a estas, mas que tenham o mesmo denominador: e efetuamos a subtração: Podemos representar esta subtração por meio de um retângulo dividido em 16 partes: 1 8 7 Tirando de , restam . 16 16 16 Portanto, as regras para a subtração são análogas às da adição: Para subtrair frações que têm o mesmo denominador, subtraímos os numeradores e conservamos o denominador. Para subtrair frações que têm denominadores diferentes, reduzimos as frações ao mesmo denominador, subtraímos os numeradores e conservamos o denominador. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Faça no seu caderno. 1. Efetue as subtrações:  1  1  1  4 a)  +  −  +  d)  −  −  −   3  4  3  5   7  1  2  3 b)  +  −  +  f)  −  −  +   5  2  5  5 163 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 22. COLÉGIO OPÇÃO 3. Calcule: 2 3 7 1 a) –1 − d) − + − 5 2 4 6 5 3 1 2 b) − + c) 2 − − 6 4 2 5 4-Observe a figura e responda: Quanto é (1/5 - 1/15)? MULTIPLICAÇÃO Sabemos que 3 x 5 = 5 + 5 + 5 =15. 2 2 2 2 Da mesma forma. 3 X = + + 5 5 5 5 Nestes dois exemplos estamos utilizando a idéia de que multiplicar por 3 é somar 3 parcelas iguais. 2 4 O problema é que não podemos utilizar essa mesma idéia para efetuar, por exemplo, X . 3 9 Esta multiplicação não é uma adição de parcelas iguais. Em casos como este devemos considerar a multiplicação de outra maneira. Sabemos que expressões como "o dobro de", "o triplo de", etc., estão relacionadas com multiplicações. Estas expressões são expressões multiplicativas. Analogamente, as expressões "a metade de", "a terça parte de", "a quarta parte de", 1 1 1 ou de, de, de, conduzem a divisões. Para se ter a metade, é necessário dividir por 2. 2 3 4 Para se ter a terça parte, é necessário dividir por 3.E assim por diante. Vamos utilizar essas idéias e nos apoiar em desenhos para interpretar a multiplicação de frações. 2 4 Comecemos pelo exemplo citado: X 3 9 4 O que queremos saber é quanto vale "o dobro" da "terça parte" de . 9 4 Começamos por representar : 9 4 Depois, marcamos "a terça parte" de : 9 164 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 23. COLÉGIO OPÇÃO 4 Por último, marcamos "o dobro" da "terça parte" de : 9 Agora, vamos repetir o desenho destacando apenas o resultado: Quanto vale a parte marcada, em relação ao retângulo todo? 8 A parte marcada corresponde a do retângulo todo. 27 2 4 8 Concluímos que X = . 3 9 27 Podemos resumir tudo isso numa regra simples: Para multiplicar frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si. Para confirmar esta regra, podemos testá-la em outras multiplicações: 1 1 3 1 . Faça a mesma coisa com X e com X e conclua: 2 4 4 3 TESTE DE REVISÃO  1 1. O produto (-5).  −  . (+3) é igual a:  3 a) 3 b) 5 c) -5 d)15 1  3   10  2 2. O produto .  −  .  −  . é igual a: 6  4   13  5 5 1 1 3 a) b) c) − d) − 13 26 26 26  4 3 1 3. O valor da expressão  −  é  5 5 7 1 7 1 1 a) b) c) − 6 5 35 35 165 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 24. COLÉGIO OPÇÃO  1 1  4. O valor da expressão  2 −  .  − 1 é  2 3  9 4 a) 1 b) c) –1 d) − 4 9 3 1 5. Se x = , y = − e z = 7, então x.y.z é igual a: 2 4 3 21 3 21 a) b) c) − d) − 36 8 56 8 1 1 4 6. O valor da expressão − . é 3 10 3 1 1 4 14 a) b) c) d) 5 9 21 15 3 2 3 7. O valor numérico da expressão 1 − 5 .  −  + é 4 5 4 3 1 a) 0 b) c) 1 d) 4 20  1  1  1 8. Valor da expressão 1 −  . 1 −  . 1 −  é  2  3  4 1 1 a) 4 b) c) - 4 d) − 4 4 5 9. Se x = - , então 2x + 8 vale: 2 a) 1 b) 3 c) –1 d) –3 10. A expressão numérica 3 2 2  −  x 1 equivale a : 7 3 5 1 7 1 35 a) b) c) − d) − 3 20 3 21 DIVISÃO Temos três caminhos para chegar ao resultado de uma divisão de frações. 1° caminho: REPARTINDO Podemos encontrar o resultado de algumas divisões de frações utilizando a idéia de repartir. 166 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 25. COLÉGIO OPÇÃO 1 Por exemplo, se repartimos de uma barra de chocolate entre 2 crianças, cada uma receberá 3 1 metade de da barra: 3 1 1 1 1 Então, o resultado da divisão de por 2 é . Escrevemos: ÷ 2 = . 3 6 3 6 2° caminho: QUANTAS VEZES CABE? Em outros casos encontramos o resultado verificando quantas vezes um número cabe no outro. Com números naturais estamos acostumados a fazer isto. Por exemplo, se queremos achar o resultado de 8 dividido por 4, procuramos quantas vezes 4 cabe em 8. Como 4 cabe 2 vezes em 8 (2 x 4 = 8), dizemos que 8 : 4 = 2. 1 1 Podemos aplicar esta idéia a frações. Quando procuramos o resultado de ÷ , estamos querendo 2 4 1 1 saber quantas vezes cabe em . Um desenho responde imediatamente: 4 2 1 1 Então podemos escrever: ÷ =2 2 4 Como se pode perceber, as idéias de "repartir" e de "quantas vezes cabe" são equivalentes. É uma questão de se achar mais fácil ou mais difícil usar cada uma delas, em cada caso. Encontre os resultados das divisões abaixo. Para isto, comece escolhendo um dos dois caminhos já apresentados. (a) 1/3: 1/6 = (b) 4 : 4/5 = EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Efetue as divisões:  3  2  3  6 a  +  : +  c)  −  :  −   8  5  5  7 167 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 26. COLÉGIO OPÇÃO  2  1  5  3 b)  +  :  −  d)  +  :  −   7   3  6  5  3  3  1 3 2. Efetue as adições. Veja o exemplo:  +  : (−4) =  +  .  −  = −  5  5  4 20  2  4 a)  +  : (−3) d) 5 :  −   7  3  2 b)  −  : (−3)  9  5 c)  −  : (+6)  7 4. Calcule: 7 5 1 1− − − 8 6 4 a) − 3 b) 1 + 1 4 2 5. Calcule: 1 3 1 − −1 + a) 2 4 b) 7 2 1 3 1− − 5 3 2 5.5 POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS FRACIONÁRIOS Da mesma forma que nos números inteiros a potenciação de números fracionários é a multiplicação de “n” fatores iguais. Por exemplo: 3 2 3   da mesma forma que 2 é igual à 2 X 2 X 2 =8 5  3 2 2 2 2 8   = X X COMO visto na multiplicação de racionais o resultado é igual a 5  5 5 5 125 3 2 8 portanto   =  5  125 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Calcule o valor de cada expressão: 2 2 2  1  4 a) +  −  c)  −  − 1 3  3  3 168 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 27. COLÉGIO OPÇÃO 2 3  1 2  1  b) +  −  − 4 d)  −  2  − 32  2  2   2. Calcule o valor da expressão: 2 1 0  2  2  2 −  + −  + −   3  3  3 3. Calcule as potencias: 1 2  5  1 a)  −  b)  −   6  10  0 3  8  1 c)  −  d)  −   15   10  −2 −2 8  7 e)   f)  −  9  4 −1 −2 3  1 g)   h)  −  5  8 −3 −3 2  2 i)   j)  −  3  5 5.6 RADICIAÇÃO Raiz quadrada exata de números racionais Vamos recordar: 2 9 3 3 9 = , porque   = 25 5  5  25 2 9 3 3 9 = , porque   = 25 5  5  25 Exemplos: 9 9 A) + B) − 25 25 64 64 C) + D) − 49 49 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1. Calcule: 169 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 28. COLÉGIO OPÇÃO 1 9 16 a) e) − i) 4 64 25 4 1 16 b) f) − j) 9 81 25 25 121 81 c) g) − l) − 36 100 64 36 169 81 d) h) − m) − 25 144 64 6 TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA: Noções de Estatística são importantes para todas as pessoas. Vivemos cercados por informações: a média de salários de tal categoria, a média do boletim anual de um aluno, o aumento médio de preços, a probabilidade de tal candidato passar para o segundo turno de uma eleição e a de fulano vencer a tal eleição, entre outras. E uma pessoa que entenda e avalie tais informações pode atuar de maneira mais crítica e bem sucedida em nossa sociedade e em sua vida profissional O termo Estatístico, em sua origem, estava relacionado com ações atrelados ao estado (status), como o censo populacional, a descrição de propriedades etc. Um estatístico era quase um relator (escriba) das coisas do estado.Hoje, como um ramo da Matemática Aplicada, podemos dizer que a Estatística trata das distintas formas de coletar, organizar, representar, analisar e interpretar os dados associados a um estudo qualquer. . ATIVIDADE INVESTIGADORA A estatística basicante estuda a distribuição de dado de uma pesquisa ou de um determinado estudo. Em equipes faça o seguinte trabalho de “equipe”: na sua sala, ou em outras séries faça uma “tabulação”(confecção tabelas) de alunos, pesquisando dados como; altura, idade, peso renda salarial familiar.. Traga estes dados para a sala onde faremos o estudo da média aritmética. Média aritmética Imagine o boletim de um aluno da 6ª série do colégio opção ao final de ano letivo na disciplina geografia Geografia 1ª avaliação 2ª avaliação 3ª avaliação 4ª avaliação Notas 4,0 3,3 4,5 6,0 Para obter aprovação no colégio é necessário que o aluno obtenha media igual ou superior a 5,0 170 6ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 29. COLÉGIO OPÇÃO Ou seja, podemos calcular a media aritmética do aluno fazendo o seguinte procedimento: 4, 0 + 3, 5 + 4,5 + 6, 0 Que é a média da notas do aluno em geografia, obtemos então o resultado 4 4,5. Exercícios 1-imagine que em determinada família as idades do pai e da mãe sejam respectivamente iguais à 35 e 42 anos e que a de seus dois filhos sejam de 17 e 13 anos. Qual é a média de idade dessa família? O que significa este dado? 2-Num determinada pesquisa sobre estatura na quinta série foi verificada que a média das alturas dos alunos foi de 1,37 m. Isto significa que todos os alunos possuem esta altura? Poderia um aluno da quinta série medir mais que 1,70 m de altura? 3-Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9 e 13. 4-Comprei 5 doces a R$ 1,80 cada um, 3 doces a R$ 1,50 e 2 doces a R$ 2,00 cada. O preço médio, por doce, foi de: a) R$ 1,75 b) R$ 1,85 c) R$ 1,93 d) R$ 2,00 e) R$ 2,40 4- A média de 5 números é igual a 25. Se somarmos a estes números 19 a nova média será? Atividade em sala de aula Com os dados obtidos com a atividade investigadora deste capítulo desenvolva gráficos que mostrem o comportamento de cada situação Com recortes de jornais ou revistas exponha o resultado de uma pesquisa graficamente Bibliografia, fontes e recursos utilizados http://educar.sc.usp.br http://revistaescola.abril.com.br 171 6ª Série – Matemática – 1º Semestre