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MATEMÁTICA CADERNO - CONJUNTO DOS INTEIROS.pdf

O documento apresenta um caderno pedagógico complementar de matemática para o 7o ano do ensino fundamental regular. O caderno contém cinco unidades sobre números inteiros, equações do 1o grau, razões e proporções, porcentagem e área e perímetro. Cada unidade inclui explicações dos conceitos, exemplos ilustrativos e exercícios para a prática dos alunos.

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1 PROGRAMA DE CONSOLIDAÇÃO DAS APRENDIZAGENS CADERNO PEDAGÓGICO COMPLEMENTAR MATEMÁTICA ENSINO FUNDAMENTAL REGULAR 7º ANO Escola:__________________________________ Aluno(a): ________________________________ Turma: __________________________________
2 Prefeito de Niterói Rodrigo Neves Vice-prefeito Axel Grael Secretário Municipal de Educação, Ciência e Tecnologia Waldeck Carneiro Presidente da Fundação Municipal de Educação de Niterói José Henrique Antunes Subsecretária Municipal de Educação Flávia Monteiro de Barros Araújo Diretora do Ensino Fundamental Viviane Merlim Moraes Coordenação de 3º e 4º ciclos Maria Cristina Rezende de Campos Coordenação de Matemática Nice Castro de Oliveira Professor(a) Produtor(a) do Caderno Pedagógico Complementar Christiane de Campos Costa Equipe de Revisão Linguística Aline Javarini Cristina Ferreira Gonçalves Padilha Marizeth Faria dos Santos Ilustração Bruna Lemos Motta 2013
3 SUMÁRIO Unidade 1 – Números Inteiros – Conjunto Ζ Ζ Ζ Ζ .................................................................................. 4 Significado e representação Esboço de reta numérica Ordenação e comparação de números inteiros Realização das quatro operações elementares Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados Conjunto dos Números Racionais Unidade 2 – Equação do 1º Grau................................................................................................... 42 Resolução de equações do 1º grau Identificação da raiz de uma equação do 1º grau Inequação do 1º grau Unidade 3 – Razões e Proporções.................................................................................................. 54 Análise de razões e proporções Identificação de grandezas diretamente proporcionais Identificação de grandezas inversamente proporcionais Unidade 4 – Porcentagem............................................................................................................. 60 Reconhecimento de porcentagem como representação de uma fração decimal Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados Unidade 5 – Área e Perímetro....................................................................................................... 69 Cálculo de área e perímetro dos seguintes polígonos: quadrado, retângulo e losango Avaliação...................................................................................................................................... 80 Gabaritos...................................................................................................................................... 84 Gabarito das atividades Gabarito da avaliação Bibliografia.................................................................................................................................. 106
4 Caro(a) aluno(a), nesta Unidade vamos estudar o conjunto dos números inteiros, especificamente as operações matemáticas, a fim de reconhecer a necessidade de ampliação do conjunto dos números naturais, a partir de problemas do cotidiano. Vamos aprender a ordenar os números inteiros na reta numérica e também lidar com atividades bancárias, dentre outras, que envolvem as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão desses números. Além disso, veremos problemas que envolvem a média aritmética de um conjunto de números, em diversas situações comuns da vida prática, inclusive apresentadas graficamente. Ao término deste estudo, esperamos que você seja capaz de efetuar cálculos com números inteiros, envolvendo as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, bem como identificar a localização de números inteiros na reta numérica.
5 Unidade 1 – NÚMEROS INTEIROS – CONJUNTO Ζ Ζ Ζ Ζ Significado e Representação CURIOSIDADE: Você sabe por que esse conjunto começa com a letra Ζ? É porque a palavra número, em alemão, é Zahlen e também começa com Z! Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_inteiro>. Acesso em: 30/07/2013. Ζ é formado por infinitos números negativos, pelo zero e por infinitos números positivos. Ζ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Observe que o conjunto Z* não possui o zero. Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5,...} SE LIGA NESSA! Os números negativos podem ser usados em: • Saldos bancários; • Temperaturas; • Saldos de gols nas tabelas esportivas; • Profundidade do nível do mar etc. CURIOSIDADE: O Meridiano de Greenwich é o meridiano que passa sobre a localidade de Greenwich, um território a sudeste de Londres que, por convenção, divide o globo terrestre em ocidente e oriente, permitindo medir a longitude. Por definição, a longitude do Meridiano de Greenwich é 00 (zero grau). Exemplo 1: Na figura abaixo temos um planisfério. Observe que estão marcados os fusos horários. A origem escolhida é o meridiano de Greenwich, no centro da figura, onde está localizado o zero. Os locais situados a Leste (direita da figura) têm valores positivos e os locais situados a Oeste (esquerda da figura) têm valores negativos. Oi, Amanda! Você conhece os números negativos? Claro! Eles fazem parte do Conjunto dos Números Inteiros e é denotado por Ζ. Mas onde encontramos os números negativos?
6 Quer saber mais? Visite o site: http://pt.wikipedia.org FONTE: Caderno de Revisão de Matemática 2011 – Prefeitura do Rio de Janeiro. Exemplo2: Quando tratamos de temperaturas representadas por números positivos, identificamos que são temperaturas acima de 00 e quando representadas por números negativos, identificamos que são temperaturas abaixo de 00 . GLOSSÁRIO Meridiano: é uma linha norte-sul entre o Polo Norte e o Polo Sul. Longitude: descreve a localização de um lugar na Terra medido em graus, de zero a 180 para leste ou para oeste, a partir do Meridiano de Greenwich. Grau (símbolo: °): é uma medida dos ângulos planos que corresponde a 1/360 de uma circunferência. Cada grau pode ser dividido em minutos, que equivalem a 1/60 do grau e segundos, equivalentes a 1/60 do minuto. Planisfério: é a representação do globo terrestre no papel, porém, em forma plana, embora sua cópia mais fiel seja no próprio globo, pelo fato do planeta ser esférico. Também é conhecido como mapa- múndi. Fuso horário: cada uma das vinte e quatro áreas em que se divide a Terra, seguindo a mesma definição de tempo. (Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 11/07/2013) 370 C acima de zero, significa + 370 C. Que calor! 40 C abaixo de zero, significa – 40 C. Imagina o frio!
7 Exemplo 3: Em extratos bancários, os créditos são representados por números positivos e os débitos, por números negativos. EXERCÍCIOS 1) Represente com números inteiros, as situações abaixo: Exemplo: 50 C acima de zero. (+ 50 C) / 70 C abaixo de zero. (– 70 C) a) 90 C abaixo de zero. ................ b) 30 C acima de zero. ................. c) 150 C acima de zero. ................ d) 100 C abaixo de zero. .............. 2) Represente com números inteiros, as situações abaixo: a) Crédito de R$ 300,00. .................... b) Débito de R$ 45,00. .................... c) Prejuízo de R$ 90,00. .................... d) Depósito de R$ 70,00. .................... e) Retirada de R$ 150,00. .................... f) Nem ganho nem perda. .................... g) Ganho de R$ 120,00. .................... h) Perda de R$ 55,00. .................... i) Lucro de R$ 48,00. .................... 3) Marque ao lado do termômetro as temperaturas registradas nas cidades, de acordo com a tabela. A cidade do Rio de Janeiro já está marcada, faça o mesmo com as outras: Rio de Janeiro 320 C São Paulo 220 C Curitiba 40 C Nova York – 60 C Paris – 40 C Responda: a) Em quais cidades as temperaturas estão abaixo de zero? ___________________________________________________________________________. Crédito de 36 reais: significa que recebi 36 reais em minha conta. + R$ 36,00 Débito de 60 reais: significa que 60 reais foram descontados de minha conta. – R$ 60,00 Crédito, depósito, ganho e lucro representamos com números positivos; mas débito, prejuízo, perda e retirada, representamos com números negativos.
8 b) Que cidade apresentou a temperatura mais alta? ___________________________________________________________________________. c) Que cidade apresentou a temperatura mais baixa? ___________________________________________________________________________. GLOSSÁRIO Débito: quantia que se deve. Crédito: quantia que se tem a receber. Esboço de Reta Numérica Podemos representar o conjunto Ζ construindo uma reta numerada, considerando o número zero como origem e o número 1 à direita do zero, tomando a unidade de medida entre os números, como a distância entre 0 e 1. EXERCÍCIOS 4) Complete a reta numerada, com os números que estão faltando: a) b) c) 5) Na reta numerada, alguns pontos estão representados por letras. Escreva abaixo o valor de cada letra. A = ........... B = ........... C = ........... D = ........... A ordem a que os números inteiros obedecem é crescente, da esquerda para a direita.
9 Ordenação e Comparação de Números Inteiros O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente a sua direita na reta, em Z, e o antecessor de um número inteiro é o que está imediatamente a sua esquerda na reta, em Z. • + 5 é sucessor de +4, pois +5 está à direita de +4. (+5 > +4) • +1 é sucessor de 0, pois +1 está à direita de 0. (+1 > 0) • – 3 é sucessor de – 4, pois está à direita de – 4. (– 3 > – 4) • +3 é antecessor de +4, pois +3 está à esquerda de +4. (+3 < +4) • 0 é antecessor de +1, pois 0 está à esquerda de +1. (0 < +1) • – 5 é antecessor de – 4, pois está à esquerda de – 4. (– 5 < – 4) SE LIGA NESSA! Os números positivos podem ser apresentados com ou sem o sinal (+) e representam créditos ou valores ganhos. Os números negativos devem ser apresentados com o sinal (–) e representam dívidas, débitos ou descontos. Oi, eu sou Thaís! Você sabia que cada número inteiro, tem apenas um antecessor e um sucessor? < significa menor que. (3 < 4, três é menor que 4) > significa maior que. (8 > 3, oito é maior que 3) O vértice do sinal < fica virado para o número menor e sua abertura fica virada para o número maior.
10 Podemos dizer que +3 = 3. Significa que temos 3 camisetas, por exemplo. Quando se trata de números negativos, somos obrigados a representar esses números precedidos do sinal (–), para indicar que esse valor se trata de uma dívida. Exemplo: É melhor dever 5 do que dever 8, então podemos dizer que – 5 > – 8 (– 5 é maior que – 8). EXERCÍCIOS 6) Observe a figura abaixo: O número – 4 tem como antecessor o número – 5 e como sucessor, o número – 3. Agora responda: a) Qual é o sucessor de + 5? ............... b) Qual é o sucessor de – 7? ............... c) Qual é o sucessor de 0? ............... d) Qual é o antecessor de + 5? ............. e) Qual é o antecessor de – 7? ............. c) Qual é o antecessor de 0? .............. 7) Qual é o maior número? a) – 15 ou + 15? ............... b) + 50 ou – 50? ............... c) + 14 ou – 20? ............... d) 0 ou – 10? ............... e) – 6 ou – 12? ............... 8) Responda qual situação é a melhor: a) Ter 10 (+ 10) ou dever 5 (– 5)? ........................................................................... b) Dever 6 (– 6) ou dever 20 (–20)? ........................................................................... c) Ter 8 (+ 8) ou não ter nada (0)? ........................................................................... d) Dever 7 (– 7) ou não ter nada (0)? ........................................................................... Quando tivermos dois números, um positivo e outro negativo, o maior é sempre o número positivo. Zero é maior que qualquer número negativo.
11 Observe a reta: Exemplos: • – 3 é o oposto de + 3. (A distância de – 3 a 0 é 3). • + 2 é o simétrico de – 2. (A distância de + 2 a 0 é 2). • – 5 é o simétrico de + 5. (A distância de – 5 a 0 é 5). • O oposto de zero é o próprio zero. EXERCÍCIOS 9) Responda: a) O oposto de + 10 é .................. b) O oposto de – 25 é .................. c) O oposto de + 150 é .................... d) O oposto de – 1.300 é ................. 10) Complete: a) O oposto ou ..................................... de ( – 9 ) é o ( + 9 ). b) O simétrico ou............................. .... de (+ 15) é o ..................... c) O zero é o ............................... do próprio zero. d) O simétrico do zero é ................................................................. Oi, Lucas! Você sabia que todo número inteiro, exceto o zero, tem um elemento chamado oposto? Sim. São aqueles que na reta numerada possuem a mesma distância em relação ao zero. Também podemos chamá-los de simétricos. Ah! Então dizer que um número é o oposto do outro, é o mesmo que dizer que esse número é simétrico ao outro. Entendi.
12 11) Escreva o oposto de cada situação abaixo: a) Crédito de R$ 35,00. ................................................................. b) Prejuízo de R$ 50,00. ................................................................. c) 50 C abaixo de zero. ................................................................. d) 30 metros acima do nível do mar. .................................................................... e) Lucro de R$ 20,00. .................................................................... f) Débito de R$ 45,00. .................................................................... Realização das quatro operações elementares Adição de Números Inteiros • Ganhei 2 canetas: (+2) • Ganhei mais 4 canetas: (+4) • Ganhei no total 6 canetas: (+2) + (+4) = + 6 • Perdi 2 canetas: (– 2) • Perdi mais 1 caneta (– 1) • Perdi no total 3 canetas: (– 3) EXERCÍCIOS 12) Imagine que cada parcela positiva é um valor em dinheiro que você está recebendo. Exemplo: (+5) + (+8) = + 13. (Significa que eu tinha 5 e recebi mais 8, então fiquei com 13) Responda: a) (+3) + (+7) = ...................... b) (+4) + (+9) = ...................... c) (+6) + (+12) + (+2) = ............................ d) (+1) + (+2) + (+3) + (+5) = ................... 13) Faça as operações bancárias e dê os resultados: Exemplo: Crédito de R$ 15,00 mais crédito de R$ 20,00 –> Resultado: R$ 35,00. Débito de R$ 10,00 mais débito de R$ 30,00 –> Resultado: – R$ 40,00. a) Crédito de R$ 25,00 mais crédito de R$ 10,00 –> Resultado: ............................................. Lembre-se de que a soma de dois números positivos é um número positivo. + 10 significa que tenho 10. E a soma de dois números negativos é sempre um número negativo. – 6 significa que devo 6.
13 b) Débito de R$ 20,00 mais débito de R$ 50,00 –> Resultado: ............................................. c) Crédito de R$ 35,00 mais crédito de R$ 50,00 –> Resultado: ............................................ d) Débito de R$ 8,00 mais débito de R$ 33,00 –> Resultado: ............................................... e) Crédito de R$ 5,00 mais crédito de R$ 22,00 –> Resultado: ............................................. f) Débito de R$ 17,00 mais débito de R$ 55,00 –> Resultado: ............................................. O valor absoluto de um número inteiro é a distância desse número até o zero, na reta dos inteiros. Podemos chamar de valor absoluto ou módulo do número. • O valor absoluto ou módulo de +7 é 7 e podemos indicar assim |+ 7| = 7. • O valor absoluto ou módulo de – 12 é 12 e podemos indicar assim |– 12| = 12. • O valor absoluto ou módulo de 0 é 0 e podemos indicar assim |0| = 0. Foto: Caderno de Revisão – 2011. Prefeitura da Cidade do Rio de Janeiro. Adaptado. Entendi. Então o avião está a 300m acima do nível do mar e os peixes estão a 7m abaixo do nível do mar! E o que é valor absoluto? Eu esqueci! Agora vamos somar dois números com sinais diferentes. Neste caso, subtraímos seus valores absolutos e damos o sinal do número que tiver o maior valor absoluto. O menino que está acenando para o avião, está no nível do mar. Sim. Ele está no ponto zero! 7 e 300 são os valores absolutos dos números, os chamados módulos dos números.
14 14) Imagine que cada parcela positiva é um valor em dinheiro que você está recebendo e cada parcela negativa é um valor que você gastou. Exemplo: (+5) + (– 8) = – 3. (Significa que eu tinha 5 e gastei 8, então, fiquei devendo 3) Responda: a) (+ 3) + (– 2) = ............................ b) (– 4) + (+10) = ........................... c) (+ 5) + (– 6) + (+ 3) = ................................. d) (– 2) + (+ 4) + (– 6) + (+ 4) = ...................... 15) O módulo de (+ 12) é ............... O módulo de (– 12) é ............... Por isso, dizemos que eles têm o mesmo valor absoluto. 16) Faça as operações bancárias e dê os resultados: Exemplo: Crédito de R$ 15,00 mais débito de R$ 20,00 –> Resultado: – R$ 5,00. a) Crédito de R$ 25,00 mais débito de R$ 15,00 –> Resultado: .......................... b) Crédito de R$ 7,00 mais débito de R$ 25,00 –> Resultado: ........................... c) Crédito de R$ 12,00 mais débito de R$ 30,00 –> Resultado: ......................... d) Débito de R$ 25,00 mais crédito de R$ 28,00 –> Resultado: ......................... e) Débito de R$ 35,00 mais crédito de R$ 40,00 –> Resultado: ......................... f) Débito de R$ 20,00 mais crédito de R$ 45,00 –> Resultado: .......................... Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados 17) João tinha R$ 1.650,00 em um banco e fez uma compra no débito de R$ 800,00. Qual o valor de seu saldo? O saldo é positivo ou negativo? 18) Um termômetro está marcando 320 C em Niterói – RJ. Se a temperatura cair 80 C, quantos graus marcará o termômetro? Com essa queda de temperatura, fará mais frio ou mais calor? 19) Complete a tabela de gols marcados e sofridos por cada time. EQUIPES GOLS MARCADOS GOLS SOFRIDOS SALDO DE GOLS BOTAFOGO + 20 – 15 FLAMENGO + 25 – 18 FLUMINENSE + 19 – 19 VASCO + 15 – 18 TOTAL Vamos resolver algumas situações do nosso dia-a-dia?
15 20) D. Ângela tem R$ 500,00 em sua conta bancária e observou que foram feitas as seguintes operações em sua conta: Depósito de R$ 120,00; Saque de R$ 45,00; Saque de R$ 82,00; Saque de R$ 288,00. Qual o valor do saldo final de sua conta? ............................................................. O saldo é positivo ou negativo?............................................................................. 21) Em uma cidade do sudeste do Brasil, foram registradas as temperaturas nas datas indicadas abaixo. Observe a tabela e responda: Data Temperatura Máxima 15/07/2013 260 C 16/07/2013 210 C 17/07/2013 220 C 18/07/2013 260 C 19/07/2013 180 C 20/07/2013 200 C 21/07/2013 240 C 22/07/2013 270 C 23/07/2013 290 C a) Em que dia foi registrada a menor temperatura? ................................................................................ b) Em que dia foi registrada a maior temperatura? ................................................................................. c) Qual seria a sequência das temperaturas em ordem crescente?.......................................................... d) Em que data fez mais calor? ................................................................................................................. e) Em que data fez mais frio? ................................................................................................................... 22) Mateus e Jeferson estavam jogando e obtiveram os seguintes resultados: Mateus Jeferson 1ª partida Ganhou 200 pontos Perdeu 110 pontos 2ª partida Perdeu 345 pontos Ganhou 325 pontos 3ª partida Perdeu 205 pontos Ganhou 180 pontos 4ª partida Ganhou 535 pontos Perdeu 465 pontos Quando somamos números negativos, a ordem das parcelas não altera a soma. Veja que os pontos ganhos ou perdidos estão em cada uma das colunas.
16 A partir dos dados da tabela, responda: a) Qual é o número total de pontos de Jeferson, após as quatro partidas?............................................. b) Qual é o número total de pontos de Mateus, após as quatro partidas?............................................... c) De quem foi a vantagem final? Por quantos pontos de diferença?...................................................... 23) Observe no gráfico, a quantidade de pontos obtidos por cada jogador. Escreva os pontos obtidos por cada jogador na ordem crescente de pontos. 24) Escolha dois números da tabela abaixo: – 10 201 – 54 17 – 33 + 42 –75 + 40 – 65 + 10 a) cuja soma seja + 7. b) cuja soma seja – 33. c) cuja soma seja 0. d) cuja soma seja + 147. e) cuja soma seja – 58. -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 Amanda Lucas Gabriel Thaís Resultado do Jogo Lembre-se de que a ordem crescente é do menor número para o maior. Escolha dois números e vá somando até encontrar os resultados pedidos nas alternativas.
17 Subtração de Números Inteiros Exemplos: • (+ 10) – (+ 4) = (+ 10) + (– 4) = + 6 • (+ 5) – (– 3) = (+ 5) + (+ 3) = + 8 • (+ 2) – (+ 7) = (+ 2) + (– 7) = – 5 EXERCÍCIOS 25) Complete: a) O oposto de + 7 é ..........., isto é, – (+ 7) = .................. b) O simétrico de + 15 é .........., isto é, – (+ 15) = ........... c) O oposto de – 6 é ............., isto é, – (– 6) = ................... d) O simétrico de – 3 é .............., isto é, – (– 3) = .............. e) A diferença de dois números inteiros é igual à soma do primeiro com o .............................................. do segundo. 26) Elimine os parênteses: a) – (+ 2) = ............... (Significa menos um ganho de 2) b) – (+ 24) = ............. (Significa menos um ganho de 24) c) – (– 16) = ............. (Significa menos um prejuízo de 16) Para subtrairmos dois números, adicionamos ao primeiro o oposto do segundo. Veja que a subtração é a operação inversa da adição. Veja: O oposto de – 4 é + 4. E o oposto de + 4 é – 4. Quando aparecer o sinal negativo antes dos parênteses, podemos eliminar os parênteses e trocar o sinal do número. Por exemplo: – (+ 2) = – 2 e – (– 3) = + 3. O oposto de ganhar 7 é perder 7. O oposto de perder 6 é ganhar 6.
18 d) – (+ 23) = ............. (Significa menos um ganho de 23) e) – (– 37) = ............. (Significa menos um prejuízo de 37) f) – (– 45) = .............. (Significa menos um prejuízo de 45) 27) Complete: a) (– 4) + (+ 5) = – 4 + 5 = 1 Devo ............. e tenho 5, então tenho .............. b) (+ 13) + (– 13) = 13 – 13 = 0 Tenho .............. e devo ..............., então ................ 0 ou ................ c) (– 7) – (+ 3) = – 7 – 3 = – 10 Devo ................ e devo................, então devo............... d) (–14) – (– 18 ) = – 14 + 18 = 4 Devo................ e tenho ..............., então tenho ............. e) – 30 – (– 10) = – 30 + 10 = – 20 Devo ................. e tenho ..............., então devo ............. f) (– 2) + (– 3) = – 2 – 3 = – 5 Devo ................. e ................ 3, então devo .................... 28) Calcule as subtrações de acordo com o exemplo. Exemplo: 8 – (– 7) = 8 + 7 = 15 (Significa que tenho 8 menos um prejuízo de 7, então tenho 15) a) 5 – (– 3) = b) 6 – (+ 2) = c) 11 – (+ 11) = d) – 2 – (– 5) = e) –1 – (+ 3) = f) (+ 20) – (– 30) = g) (– 10) – (+ 13) = h) 45 – (+ 15) = i) 25 – (– 5) = j) 50 – (+ 16) – (– 6) = k) – 30 – (– 14) – (– 4) = Você vai precisar lembrar-se de duas coisas: 1) Aplicar as regrinhas que vimos sobre os números opostos; 2) Considerar os números negativos como dívidas ou prejuízos. Fique atento ao significado.
19 29) Calcule as subtrações de acordo com o exemplo. Exemplo: (– 10) – (– 4) + (– 2) – (– 3) = (Significa que devo 10, menos uma dívida de 4, gastei 2, menos uma dívida de 3) = – 10 + 4 – 2 + 3 = (Significa que devo 10, tenho 4, devo 2 e tenho 3) = – 10 – 2 + 4 + 3 = = – 12 + 7 = = – 5 (Significa que devo 5) a) (+ 6) + (– 1) + (– 5) + (– 3) = b) (– 10) – (– 2) – (+ 4) – (– 1) = c) (– 4) – (+ 2) – (– 1) + (– 5) = d) (+ 3) – (– 2) + (– 9) + (– 5) = e) (– 10) – (– 2) + (+ 4) – (+ 8) + (+ 1) = f) 20 + (– 7) + (+ 2) – (+ 4) – (– 1) + (– 5) = g) 15 – (– 2) + (– 3) – (– 3) – (– 8) + (– 5) + (– 2) = h) 50 + (+ 10) – (– 15) + (– 15) – (– 10) – (– 15) – (– 10) = Vamos juntar as dívidas e também o que tenho, para saber como fica a minha situação? Agora é a sua vez! Imagine que está fazendo operações financeiras. Quando iniciamos uma expressão com um número positivo, podemos não escrever o sinal (+) desse número.
20 SE LIGA NESSA! a) 10 + (+ 3) = 10 + 3 = 13 b) 10 + (– 3) = 10 – 3 = 7 c) 10 – (+ 3) = 10 – 3 = 7 d) 10 – (– 3) = 10 + 3 = 13 Sinais de operações Sinais de números Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados Exemplos: • Um vendedor ganhou R$ 20,00 e teve uma dívida de R$ 6,00 perdoada. Quantos reais esse vendedor ganhou? Resposta: 20 – (– 6) = 20 + 6 = 26. O vendedor ganhou R$ 26,00. • Em Niterói, na quarta-feira, a temperatura era de 320 C e na quinta-feira, 250 C. Qual a queda ocorrida? Resposta: Esse problema se resolve calculando a temperatura final, menos a temperatura inicial, então 25 – 32 = – 7. Conclusão: A queda foi de 70 C. EXERCÍCIOS 30) Um vendedor ganhou R$ 30,00 e teve uma dívida de R$ 14,00 perdoada. Quantos reais esse vendedor ganhou? 31) Em Itaboraí, na sexta-feira, a temperatura era de 280 C e no sábado, 210 C. Qual a queda ocorrida? 32) D. Ester verificou que antes de faltar energia elétrica, a temperatura de seu freezer era de – 100 C. Depois de 6 horas sem energia, a temperatura subiu para 80 C. A que temperatura se encontrava o freezer, depois dessas 6 horas sem energia? + ( +) = + + ( – ) = – – ( + ) = – – ( – ) = + Vamos resolver algumas situações como essas?
21 33) Nesta pilha de números, cada número é a soma dos dois números abaixo dele. Qual é o número que está no lugar do símbolo @, no alto da pilha? 34) No futebol, o saldo de gols é muito utilizado em campeonatos, como critério de desempate entre dois times que apresentam o mesmo número de pontos. Ele é obtido pela diferença entre gols marcados e gols sofridos. TIME GOLS MARCADOS GOLS SOFRIDOS SALDO DE GOLS Flamengo 25 ........ 10 Vasco 12 17 ........ Fluminense ........ 7 – 1 Botafogo 11 ........ 0 De acordo com a tabela, responda: a) A diferença entre os gols marcados e gols sofridos é chamado ......................................................... b) A expressão que determina o saldo de gols do Flamengo é 25 – .......................... = .......................... c) Quantos gols o Flamengo sofreu?......................................................................................................... d) Qual é o saldo de gols do Vasco? ......................................................................................................... e) Quantos gols o Fluminense marcou?.................................................................................................... f) Quantos gols o Botafogo sofreu?........................................................................................................... 35) Leia o problema e escolha a alternativa que o demonstra. Felipe fez três vendas. Na primeira teve prejuízo de R$ 5,00, na segunda teve prejuízo de R$ 7,00, na terceira teve lucro de R$15,00 e na última teve lucro de R$ 8,00. Escolha a alternativa com a qual se pode calcular o saldo resultante desses quatro negócios: a) 5 –7 + 15 + 8 = = + 21 b) – 5 – 7 – 15 + 8= – 19 c) – 5 + (– 7)+ 15 + 8 = + 11 d) – 5 – (– 7) + 15 + 8 = 25 Some – 5 com 3 e obtenha o número de cima, e assim descubra os outros. Apenas uma alternativa demonstra essa situação!
22 36) Em uma cidade dos Estados Unidos, a temperatura mais fria no inverno foi de – 70 C e a mais quente no verão foi de 320 C. Qual é a diferença entre a temperatura mais quente e a temperatura mais fria? 37) Quantos anos viveu uma pessoa que nasceu no ano 35 a.C. e morreu no ano 47 d.C.? 38) Escolha a alternativa que resolve o seguinte problema: O professor de Ciências fez uma experiência em que a temperatura foi medida três vezes. A segunda leitura foi de 8 graus a menos que a primeira, e a terceira foi de 10 graus a menos que a segunda. Se a primeira leitura indicou 7 graus, qual foi a última temperatura indicada? a) 7 graus b) 8 graus c) – 11 graus d) – 1 graus • Eliminando os Parênteses Sinal (+) antes dos parênteses Exemplos: a) + (– 4 + 6) = – 4 + 6 = 2 b) + (8 + 2 – 3) = 8 + 2 – 3 = 7 Sinal (–) antes dos parênteses Exemplos: a) – (12 – 4 + 2) = – 12 + 4 – 2 = – 10 b) – (– 11 + 1 – 5) = + 11 – 1 + 5 = 15 c) – (– 4 – 5) = 4 + 5 = 9 [Significa: o oposto de (– 4 – 5) é + 9] d) – (+ 7 + 3) = – 7 – 3 = – 10 [Significa: o oposto de (+ 7 + 3) é – 10] EXERCÍCIOS 39) Elimine os parênteses e dê o resultado: a) + (3 – 2) = b) + (– 5 + 8) = c) – (3 – 5 + 7) = Conserve os sinais dos números que estão dentro dos parênteses. Troque os sinais dos números que estão dentro dos parênteses.
23 d) + (9 + 6 – 10) = e) 8 + (– 3 – 3) = f) 25 – (– 4 – 5) = g) – 20 – (– 2 + 3) = h) 100 – (25 – 10 + 5) = i) 200 + (– 30 + 70 + 40 – 20) = j) 40 – (– 30 + 10) – (– 5 + 10 + 15) = k) 25 + (15 – 50) + (– 20 – 10) = • Expressões numéricas SE LIGA NESSA! Devemos respeitar a seguinte ordem, para resolvermos as expressões numéricas: 1º Parênteses ( ); 2º Colchetes [ ]; 3º Chaves { }. Exemplos: a) 8 + (+ 6 – 1) – (– 4 + 2 – 5) = = 8 + 6 – 1 + 4 – 2 + 5 = = 23 – 3 = = 20 b) 35 + [– 4 + 1 – (– 3 + 6) ]= = 35 + [– 4 + 1 + 3 – 6 ]= = 35 – 4 + 1 + 3 – 6= = 39 – 10= = 29 c) –15 + {+ 3 – [ 2 – (– 7 + 10)]} = = –15 + {+ 3 – [2 + 7 – 10]} = = –15 + {+ 3 – 2 – 7 + 10} = = –15 + 3 – 2 – 7 + 10 = = – 24 + 13 = – 11 Veja que existe um sinal (+) positivo e outro negativo (–) antes dos parênteses! Ah, quando o sinal é positivo (+), não trocamos os sinais dos números que estão nos parênteses, mas quando o sinal é negativo (–), trocamos todos os sinais dos números que estão nos parênteses! Lucas, essa regra vale para os parênteses, colchetes e chaves.
24 EXERCÍCIOS 40) Observe a figura: A cidade de Gramado está localizada no Rio Grande do Sul, região sul do Brasil. Considerando a tabela ao lado, que mostra a temperatura em julho de 2013, responda às questões que seguem. a) A diferença entre a temperatura máxima e a mínima de cada dia é: Quarta-feira = ................ Quinta-feira = .................. Sexta-feira =................... Sábado = ......................... Domingo = ....................... b) Qual o dia em que fez mais frio? ............................................................................................ c) Qual dia apresentou maior diferença de temperatura? ............................................................................................ d) Qual dia apresentou menor diferença de temperatura? ........................................................................................... (Disponível em: <http://www.climatempo.com.br/previsao-do-tempo/cidade/780/gramado-rs>. Acesso em: 19/07/2013) 41) Resolva as seguintes expressões numéricas: a) 15 – (8 – 7) + (9 – 4) = b) 12 – { – 3 + [1 + (+ 2 – 9) – 8] + 5} = 42) Calcule a soma das diferenças entre a temperatura máxima e a temperatura mínima de cada dia na cidade de Petrópolis, no Rio de Janeiro, em 2013, nos dias mostrados na figura a seguir:
25 (Disponível em: <http://www.climatempo.com.br/previsao-do-tempo/cidade/317/petropolis-rj>. Acesso em: 19/07/2013) Multiplicação de Números Inteiros a) (+ 4) . (+ 8) = 4.(+ 8) = (+ 8) + (+ 8) + (+ 8) + (+ 8) = + 32 b) (+ 4) . (– 8) = 4.(– 8) = (– 8) + (– 8) + (– 8) + (– 8) = – 32 c) (– 4) . (+ 8) = – (+ 4) . (+ 8) = – (+ 32) = – 32 d) (– 4) . (– 8) = – (+ 4) . (– 8) = – (– 32) = + 32 SE LIGA NESSA! Regras de sinais para a multiplicação: (Número positivo) . (Número positivo) = Número positivo (Número negativo) . (Número negativo) = Número positivo (Número positivo) . (Número negativo) = Número negativo (Número negativo) . (Número positivo) = Número negativo A multiplicação é uma soma de parcelas iguais. Imagine que sua mãe fez uma compra e vai pagar 6 prestações de R$ 20,00. Quanto ela pagará no total? Lembre-se de que é uma dívida de 20 reais, durante 6 meses. (+ 6) . (– 20) = 6.(– 20) =(– 20) + (– 20) + (– 20) + (– 20) + (– 20) + (– 20)= – 120 Ela pagará R$120,00. Para resolver esta questão, siga este esquema: (temperatura máxima – temperatura mínima de quarta) + (temperatura máxima – temperatura mínima de quinta) + ... Vai somando até domingo.
26 EXERCÍCIOS 43) Determine o sinal do produto: a) ( + ) . ( + ) = b) ( + ) . ( – ) = c) ( – ) . ( – ) = d) ( – ) . ( + ) = e) ( + ) . ( + ) . ( + ) = f) ( + ) . ( – ) . ( – ) = g) ( – ) . ( + ) . ( + ) = h) ( – ) . ( – ) . ( – ) = i) ( – ) . ( + ) . ( – ) . ( + ) = j) ( – ) . ( – ) . ( – ) . ( – ) = k) ( – ) . ( – ) . ( – ) . ( + ) . ( + ) = l) ( – ) . ( – ) . ( – ) . ( – ) . ( – ) = m) ( – ) . ( + ) . ( + ) . ( + ) . ( – ) = n) ( – ) . ( + ) . ( – ) . ( + ) . ( – ) = 44) Faça as multiplicações: a) (+ 7) . (+ 8) = g) (– 6) . (– 4) = b) (– 7) . (– 8) = h) (– 5) . (+ 9) = c) (+ 7) . (– 8) = i) (+ 4) . (– 8) = d) (– 7) . (+ 8) = j) (– 9) . (+ 9) = e) 5 . (– 1) = k) 7 . (– 6) = f) 2 . (+ 8) = l) (+ 2) . 0 = 45) Complete a tabela, realizando a multiplicação entre os números: ( . ) – 10 – 8 – 6 – 4 – 2 0 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 0 0 + 4 – 32 – 16 0 + 12 + 36 + 5 + 35 + 6 0 + 7 + 8 0 + 40 + 9 – 18 + 10 – 60 0 + 10
27 46) Calcule o valor das expressões, conforme o exemplo. Exemplo: 60 – (+ 4) . (– 8) = = 60 – (– 32) = = 60 + 32 = = 92 a) 5 . 3 – 30 = b) 14 – 6 . 3 = c) 15 . 4 – 80 = d) – 50 + 11 . 5 = e) – 48 – 6 . 7 = f) 35 + (– 9) . (– 4) = g) 18 – (– 6) . (– 2) = h) (+ 8) . (– 8) + 64 = i) 54 + (– 6) . (+ 9) = • Podemos eliminar o sinal indicativo da operação de multiplicação (.), escrevendo os números dentro dos parênteses, um ao lado do outro, por exemplo: (– 9)(– 6) = 54. • Na multiplicação, se um dos fatores é representado por uma letra, podemos eliminar o sinal indicativo da operação. Exemplos: 7.x pode ser escrito assim: 7x / 8.a.b pode ser escrito assim: 8ab. 47) Calcule o valor da expressão, se x = 3, y= – 4 e z= – 5: a) x + y = d) x . y = g) xyz = b) x – z = e) 5x + y = h) xy + xz = c) y . z = f) 8y – z = i) – 3z + 4x – 2z = 48) Calcule o valor das expressões: a) (9 – 3) . (9 – 3) = d) (3 – 9) . (3 – 9) = b) (9 – 3) . (3 – 9) = e) (– 3 – 9) . (3 – 9) = c) (3 – 9) . (9 – 3) = f) (– 9 – 3) . (9 – 3) = Efetue primeiro as multiplicações, depois as adições e subtrações.
28 49) Complete as questões abaixo: a) O dobro de – 10 é: ................................................................................................................................ b) O triplo de – 18 é: ................................................................................................................................. c) A soma do dobro de – 20, com o triplo de – 42 é: ................................................................................ d) O próximo número da sequência – 3, – 6,– 12, – 24, ... é: ................................................................... e) O quádruplo de – 32 é: ......................................................................................................................... f) Somando o dobro de – 16, com o triplo de 13, obtemos: ..................................................................... 50) Escreva uma sequência de cinco termos, sabendo que o primeiro termo é – 5 e cada termo é o triplo do anterior: .................................................................................................................................... 51) Lucas tem um saldo bancário de R$ 350,00. Ele emitiu três cheques, cada um de R$ 150,00. Qual é o novo saldo bancário do Lucas? .................................................................................................................................................................. 52) Quais são os dois números, cuja soma é – 5 e cujo produto é – 50? .................................................................................................................................................................. 53) Encontre o valor do número desconhecido ☺ ☺ ☺ ☺, nas seguintes multiplicações: a) ☺ . 7 = 21 b) 6 . ☺ = 48 c) 9 . ☺ = 27 d) ☺ . (– 4) = – 24 e) – 8 . ☺ = – 72 f) – 6 . 9 = ☺ g) (+ 5) . (– 2) . ☺ = – 40 h) (– 2) . ☺ . (+ 8) = – 64 i) (– 5) . (– 6) . ☺ . (– 2) = 300 j) (+ 1) . (+ 1) . (– 1) . ☺ = + 1 k) ☺ . ( – 1) . (– 2) = – 18 l) 3 . (– 15) . ☺ = + 90 54) Complete na tabela, a coluna da soma e a coluna do produto: Descubra qual o número que, se colocado no lugar de ☺, obteremos o resultado de cada questão. Calcule a soma dos três números de cada linha, para completar a coluna da soma e calcule o produto dos números de cada linha, para completar a coluna do produto.
29 1º número 2º número 3º número Soma Produto – 7 – 3 – 5 – 6 – 2 – 4 – 5 + 3 + 2 0 – 30 – 4 – 5 – 3 – 3 + 4 – 5 – 2 – 1 + 5 – 1 – 2 + 5 0 – 1 – 2 + 1 + 5 + 4 + 2 + 3 + 5 + 10 + 30 + 3 + 4 – 4 + 4 + 3 – 4 + 5 – 1 + 3 + 6 + 2 – 2 + 7 – 5 + 2 Divisão de Números Inteiros Vamos dividir! Exemplos: • ( + 30 ) : ( + 5 ) = ( + 6 ), porque ( + 5 ) . ( + 6 ) = + 30 • ( – 30 ) : ( – 5 ) = ( + 6 ), porque ( + 5 ) . ( – 6 ) = – 30 • ( + 30 ) : ( – 5 ) = ( – 6 ), porque ( – 5 ) . ( – 6 ) = + 30 • ( – 30 ) : ( + 5 ) = ( – 6 ), porque ( – 5 ) . ( + 6 ) = – 30 Regras: Exemplos: Número positivo: Número positivo = Número positivo (+ 35) : (+ 7 ) = + 5 Número negativo: Número negativo = Número positivo (– 48) : (– 8) = + 6 Número positivo: Número negativo = Número negativo (+ 63) : (– 9) = – 7 Número negativo: Número positivo = Número negativo (– 52) : (+13) = – 4 EXEMPLOS: a) (+ 36) : ( + 4) = + 9 b) (– 36) : ( – 4) = + 9 c) (+ 36) : ( – 4) = – 9 d) (– 36) : ( + 4) = – 9 Vocês sabiam que a divisão é a operação inversa da multiplicação? Sim. Para a divisão valem as mesmas regras de sinais da multiplicação em Ζ! Tenho R$ 30,00 para dividir entre 5 pessoas. Com quantos reais, cada pessoa ficará? Com R$ 6,00! Vamos dividir dois números e usar a regra de sinais para ver como fica!
30 SE LIGA NESSA! • Não é possível a divisão por zero ( – 7 ) : 0 • A divisão nem sempre é possível em Ζ 2 : 3 = ⅔ (⅔ ∉ Ζ) EXERCÍCIOS 55) Calcule as seguintes divisões e relacione as colunas: a) (– 16) : ( – 2) = ( ) – 6 b) (+ 28) : ( – 4) = ( ) – 20 c) ( – 40) : ( + 2) = ( ) – 7 d) (+ 24) : ( + 4) = ( ) + 18 e) (+ 45) : ( – 5) = ( ) + 6 f) (– 27) : ( – 3) = ( ) – 9 g) (– 42) : ( + 7) = ( ) + 9 h) (– 36) : ( – 2) = ( ) + 8 Exemplo: As figuras abaixo mostram a representação geométrica de algumas divisões. A oitava parte de 64 é A quarta parte de 64 é A quinta parte A oitava parte 8, porque 64 : 8 = 8. 16 porque, pois 64 : 4 = 16. de 40 é 8, porque de 40 é 5, pois 40 : 5 = 8. 40 : 8 = 5. Nesse exercício você só precisa dividir e aplicar a regra de sinais. Quando queremos a metade de um número, dividimos o número por 2. A terça parte, dividimos por 3. A quarta parte, dividimos por 4 e assim por diante! No exemplo acima, quando falamos em representação geométrica, queremos dizer que vamos representar em figuras.
31 56) Responda: a) A metade de + 30 é ......................... b) A metade de – 50 é ......................... c) A terça parte de 60 é ...................... d) A quarta parte de – 80 é ................. e) A quinta parte de 100 é .................. f) A sexta parte de – 120 é ................. g) A sétima parte de – 63 é ................. h) A oitava parte de 72 é ..................... i) A nona parte de 81 é ....................... j) A décima parte de – 200 é ............... Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados 57) Dividiu-se 32 por um número inteiro, o resto da divisão é zero e o quociente é 4. Qual é o divisor? 58) Dividiu-se – 42 por um número inteiro menor que 7, o resto da divisão é zero e o quociente – 7. Qual é o divisor? 59) Complete a tabela usando a divisão: Algumas quadrículas estão pintadas de cinza, mostrando que não iremos fazer as contas desses locais. Os números que precisaríamos escrever nessas quadrículas, pertencem ao conjunto dos números inteiros?.......................... Por quê? ........................................................................................... – 100 + 80 – 60 + 48 0 ( : ) + 24 – 36 + 42 + 64 – 72 – 2 – 4 + 6 – 8 + 2 + 42 + 4 + 10 – 6 + 8 60) Em cada alternativa, responda qual o resultado da quantia em dinheiro, que deve ser dividida para o número de pessoas indicado no círculo: a) : para ⑩ = .................................................
32 b) : para ⑳ = ........................... c) : para ⑧ = ................................................................... d) : para ⑦ = ........ e) : para ⑬ = ...................................................................................................... f) : para ⑧ = ........... g) : para ⑤ = ................................................................................... 61) Responda as perguntas e resolva a cruzadinha (horizontal): a) Na divisão 10: 5, o número 5 é chamado de ......................... b) Na divisão 12: 4 = 3, o número 3 é chamado de .................... c) Aos números inteiros negativos é atribuído o significado de.......... d) Na divisão 16: 8, o número 16 é chamado de ................................ e) Ζ é o símbolo do conjunto dos números ........................................ f) A operação inversa da divisão é a ................................................... g) O único número que não pode dividir nenhum outro é o ............... a D b I c V d I e S f à g O Média Aritmética Simples A média aritmética simples é muito utilizada no nosso dia-a-dia. É obtida, dividindo- se a soma das observações pelo número delas.
33 Exemplo: Tenho três primas e suas idades são 12, 15 e 18. Quantos anos elas têm em média? Resposta: A média aritmética de suas idades é = 15. Elas têm 15 anos em média. 62) Durante alguns anos, tive um cachorro de estimação chamado Fox. Brincalhão, companheiro e particularmente lindo! Recentemente ele partiu. Fox tinha alguns cachorros amigos. Observe o gráfico abaixo e responda: qual é a média de idade dos cachorros? 63) Observe a figura que mostra o clima na cidade de Gramado – RS e calcule: a) A média aritmética simples das temperaturas máximas. b) A média aritmética simples das temperaturas mínimas. c) Que dia apresentou a temperatura mais baixa? d) Que dia apresentou a temperatura mais alta? (Disponível em: <http://www.climatempo.com.br/previsao-do-tempo/cidade/780/gramado-rs>. Acesso em: 22/07/2013) 64) Complete a tabela abaixo: x y z x . y x . z y . z x : y x : z (x . y) : z (x . z) : y (y . z) : x + 6 – 3 + 2 + 12 (+ 12): (–3) = – 4 – 6 + 3 + 2 + 6 (+6):(–6)= – 1 + 6 – 3 – 2 – 18 (–18):(–2)= + 9 – 6 + 3 – 2 8 10 12 10 5 IDADE DOS CACHORROS
34 Conjuntos dos Números Racionais – Conjunto Q Exemplos: • Os números naturais podem ser escritos em forma de fração: 7 = ; • Os números inteiros podem ser escritos em forma de fração: – 3 = ; • Os números decimais podem ser escritos em forma de fração: 0,6 = = . Representação Geométrica Os números racionais positivos são representados à direita do zero e os números racionais negativos, à esquerda, representados por pontos de uma reta, assim como os inteiros. • O oposto de – é + . – = – 2,5 e |– 2,5|= 2,5. • O oposto de + é – . • O módulo de – é representado por: – e – = . • – = – 2,5 e |– 2,5|= 2,5. • = 0,5 e |0,5| = 0,5. Número racional é todo número que pode ser escrito em forma de fração. Assim, todo número natural, inteiro, fracionário ou decimal é um número racional. O módulo de um número é a distância dele até o zero. Imagine que uma barra de chocolate será dividida entre mim, Amanda e Gabriel. Ah! É só dividir a barra em 3 partes iguais!
35 Comparação dos Números Racionais • – < – , porque – está à esquerda de – ; • > , porque, encontrando frações equivalentes às duas frações e que tenham o mesmo denominador: = e = , temos que > , então concluímos que > . Realização das quatro operações elementares Adição de Números Racionais Exemplo 1: + = + = = e = GLOSSÁRIO M.M.C.: Mínimo Múltiplo Comum. Exemplo 2: + = + = = – = – e = Cada um de nós receberá da barra de chocolate. Nós dividimos 1 por 3 e ficamos com . Então, 1 : 3 = . Quando somamos frações, precisamos reduzi-las ao mesmo denominador, usando o M.M.C. ou encontrando as frações equivalentes às frações que queremos somar. Veja os exemplos! Só podemos somar as frações se elas tiverem o mesmo denominador. Vamos recordar o M.M.C.? 3,5 3 1,5 5 1,1 3x5= 15 15:3=5 e esse 5 multiplica o 2, 5x2=10 15:5=3 e esse 3 multiplica o 3, 3x3=9. Só podemos somar as frações se elas tiverem o mesmo denominador. Vamos recordar o M.M.C.? 4,5 2 2,5 2 1,5 5 1,1 2x2x5=20 20:4=5 e esse 5 multiplica o 1, 5x1=5. 20:5=4 e esse 4 multiplica o 2, 4x2=8. Lembre-se de que: Fração =
36 Exemplo 3: Minha professora levou 2 bolos para a escola e dividiu a turma em 5 grupos. Os dois bolos seriam divididos por 5. Resposta: Cada grupo recebe do bolo. Cada bolo é dividido em 5 partes iguais e cada grupo recebe 2 partes. Então, teremos 2:5 = = 0,4 para cada grupo. EXERCÍCIOS 65) Faça as adições como no exemplo: a) + = b) + = c) + = 66) Represente cada fração em número decimal: a) = b) = c) = d) = 67) Represente o número decimal em forma de fração. Siga os exemplos. a) 0,3 = b) 0,4 = c) 0,5 = d) 0,42 = : : = Vamos dividir 2 por 5. Não dá! Então, colocamos 0 no quociente e 0 no dividendo. Agora temos 20 para dividir por 5, que dá 4. E o resto é 0. O resultado de 2:5 = 0,4. Entendi. Cada bolo será divido em 5 partes iguais, aí teremos 10 pedaços dos dois bolos juntos, então cada grupo ficará com 2 partes. Para colocar um número decimal na forma de fração, fazemos assim: Ex.: 0,2 = . Neste exemplo, depois da vírgula só existe o 2, apenas um algarismo, ou seja, uma casa decimal, aí escrevemos o 2 no numerador da fração e uma potência de 10 com um zero no denominador, teremos então . Não se esqueça de encontrar as frações equivalentes com o mesmo denominador!
37 e) 0,53 = f) 0,75 = g) 6,25 = : : = h) 2,24 = i) 0,625 = 68) Minha mãe pediu que eu fosse ao mercado comprar ! quilo de salsicha. Quando o funcionário do mercado colocou a salsicha na balança, apareceu no visor 0,5 kg. Fiquei em dúvida. Ele atendeu ou não ao meu pedido? Será que 0,5 é igual ou diferente de ! ? 69) Minha tia é manicure. Na terça-feira ela esqueceu, na casa de uma cliente, um frasco de removedor de esmalte com " do produto. Na quarta-feira ela esqueceu, novamente, um frasco com ! # do produto, na casa de uma segunda cliente. E na sexta-feira ela ganhou de uma terceira cliente, um frasco com $ " do produto. No sábado, as duas clientes levaram os frascos esquecidos pela minha tia. Juntando tudo o que sobrou nos frascos, mais os $ " que ela ganhou, qual foi a quantidade de removedor de esmaltes que ela ficou? Números decimais são numerais que indicam um número que não é inteiro. Geralmente, após o algarismo das unidades, usa-se uma vírgula, indicando que o algarismo a seguir pertence à ordem das décimas, ou casas decimais. (Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Casa_decimal >. Acesso em: 30/07/2013) Subtração de Números Racionais Exemplo4: – = – = + = – = = = e = Encontramos a diferença entre dois números racionais, somando o primeiro com o oposto do segundo. Lembre-se de que só podemos somar as frações, se elas tiverem o mesmo denominador.
38 EXERCÍCIOS 70) Faça as subtrações: a) – = b) – = c) – = 71) Minha irmã fez um bolo, dividiu o bolo em 4 partes iguais e separou uma das partes para o meu tio e sua família, que chegariam mais tarde. Qual a fração que representa a parte que ficaria para a minha família comer? E qual a parte que ficaria para o meu tio e sua família? Multiplicação de Números Racionais Exemplo 5: a) = + = b) = – = c) = – = – : : = – 72) Faça as seguintes multiplicações: a) = b) = Para multiplicarmos frações, fazemos assim: Não se esqueça de aplicar a regra de sinais da multiplicação em Ζ. EXERCÍCIOS
39 c) = d) = Exemplo6: a) 3,4 3,2 = 3,4 3,2 6 8 + 102 10,88 73) Faça as multiplicações: a) 4 2,3 = b) 2,7 1,5 = c) 6,31 2,34 = d) 5,32 3,214 = 74) Complete a tabela: ( . ) 2,3 1,32 3,421 4,1231 1,1 2,21 3,32 4,012 16,5418772 Agora vamos multiplicar os números decimais. Vemos que 3,4 e 3,2 só têm uma casa decimal. Então multiplicamos os números sem as vírgulas. Para o resultado, contamos as duas casas decimais dos números 3,4 e 3,2 e colocamos a vírgula, de modo que o resultado tenha também duas casas decimais. Entendi. Você conta o número de casas decimais dos números que estão sendo multiplicados e o resultado terá o mesmo número de casas decimais. Ex.: 5,7 3,46 = 19,722 (3 casas decimais) Se eu quiser comprar 4 pacotes de um biscoito, que custa R$ 2,30 cada, quanto eu preciso ter em dinheiro? 4 2,3 = ? Faça as contas. 2,30 = 2,3 2 casas decimais. 1 casa decimal. 4 casas decimais.
40 Divisão de Números Racionais Exemplo 7: a) : = = = b) : = = = 75) Faça as seguintes divisões: a) : = b) : = c) % & ' ( = : = = d) ) * + , = 1 8 : 3 2 = EXERCÍCIOS Na divisão de frações, não podemos ter o zero no denominador. Para dividir duas frações, multiplica-se a 1ª fração pelo inverso da 2ª. Observe que nos exercícios (c) e (d), temos duas frações sendo divididas como nos exemplos anteriores, somente a apresentação está diferente, em vez de dois pontos, usamos o traço da divisão, mas o cálculo se faz do mesmo jeito. Em cada multiplicação, conte o número de casas decimais dos dois números e no resultado posicione a vírgula, de modo que tenha o mesmo número da sua contagem!
41 Revendo o Exemplo3: Minha professora levou 2 bolos para a escola e dividiu a turma em 5 grupos. Os dois bolos seriam divididos por 5. 76) Complete a tabela, fazendo as seguintes divisões: ( : ) – 3 – 2 – 1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 2 Não pode! = 0,4 – 2 = – 0,5 Sabemos que para dividir 2 por 5, não dá. Então, colocamos 0 no quociente e 0 no dividendo. Assim, temos 20 para dividir por 5, que dá 4. E o resto é 0. O resultado de 2:5 = 0,4.
42 Caro(a) aluno(a), nesta Unidade vamos estudar as equações do 1º grau, veremos como identificar esta equação e os seus termos: primeiro e segundo membros. Também vamos representar simbolicamente sentenças matemáticas e resolver problemas cotidianos, utilizando os conceitos das equações do 1º grau, além de identificar as inequações do 1º grau. Ao término deste estudo, esperamos que você seja capaz de identificar uma equação ou inequação do 1º grau.
43 Unidade 2 – EQUAÇÃO DO 1º GRAU Resolução de equações do 1º grau Vamos escolher x para representar o número desconhecido. Número desconhecido: x O dobro do número desconhecido: 2x O dobro do número desconhecido somado com 9: 2x + 9 O dobro de um número desconhecido somado com 9 é igual a 37: 2x + 9 = 37 Para encontrar o valor de x, vamos desfazer a adição pela operação inversa, que é a subtração: 2x = 37 – 9 2x = 28 Agora, sabemos que o dobro do número é 28. Para encontrar x vamos desfazer a multiplicação pela operação inversa, que é a divisão: x = !1 ! = 14 Assim, descobrimos que o número desconhecido é 14. Verificando, temos: 2 14 = 28 e 28 + 9 = 37. Quero ver se você acerta essa: O triplo de um número é 18. Que número é esse? O número é 6, pois 3 6 = 18. Essa foi fácil! Quem responde essa? O dobro de um número somado com 9 é igual a 37. Qual é esse número? Agora você me pegou. Não sei resolver! Fique tranquilo! Agora nós vamos aprender tudo sobre problemas que envolvem equações do 1º grau. Preste atenção às explicações abaixo!
44 Esta é uma equação do 1º grau, pois não aparece expoente na letra, neste caso o expoente é 1. Exemplo 1: Número desconhecido: x Triplo deste número: 3x Triplo do número menos 7: 3x – 7 Equação: 3x – 7 = 44 Resolvendo a equação: 3x – 7 = 44 3x = 44 + 7 A operação inversa à subtração é a adição. 3x = 51 x = A operação inversa à multiplicação é a divisão. x = 17 Resposta: O número procurado é 17. 2x + 9 = 37 é uma equação, porque apresenta uma letra, que é chamada de incógnita, e representa um valor desconhecido. E tem um sinal de (=), para mostrar a igualdade entre os dois membros da equação. Agora é a minha vez! Veja se consegue resolver. O triplo de um número, menos 7 é igual a 44. Que número é esse? Vou resolver usando uma equação. Vou fazer um esquema abaixo. EXERCÍCIO
45 1) Complete a tabela abaixo: Linguagem Comum Linguagem Matemática O dobro de um número é igual a oito. O triplo de um número é igual a vinte e quatro. O triplo de um número mais três unidades é igual a dezoito. 3x + 3 = 18 O triplo de um número é igual a 48. Cinquenta por cento de um número. #2 22 x ou de x Podemos comparar as equações com balanças de dois pratos, onde só há equilíbrio se os dois pratos estiverem com a mesma massa. Como você não sabe quanto pesam os três bloquinhos, você vai dizer que cada um deles pesa "x". Veja como vai ficar a resolução da equação: 3x = 30 x = $2 $ x = 10 É isso aí! Imagine que alguém colocou três objetos iguais em um dos pratos da balança e dois pesos, que você sabe quanto pesam, no outro prato. Se os pratos ficarem equilibrados, quer dizer que os pesos de um lado têm a mesma massa que os três objetos do outro. Veja que tem três bloquinhos, de 10 kg cada, em um prato e dois blocos, de 15 kg cada, no outro prato. Então, cada prato tem 30 kg, por isso a balança está equilibrada.
46 Exemplo2: Idade atual: x Daqui a 29 anos: x + 29 Daqui a 29 anos ela terá 44 anos: x + 29 = 44 Para encontrar o valor de x vamos desfazer a adição pela operação inversa, que é a subtração: x = 44 – 29 x = 15 Resposta: Thais tem 15 anos. x + 29 = 44 é uma equação, porque apresenta uma letra e tem a igualdade. Identificação da raiz de uma equação do 1º grau Vamos ver mais alguns exemplos! Você sabia que o valor encontrado para a letra, em cada equação, é chamado de raiz da equação? Quando resolvemos uma equação, o número encontrado é a raiz da equação. A equação tem dois membros: O 1º membro, à esquerda da igualdade e o 2º membro, à direita da igualdade. Amanda falou que daqui a 29 anos, você terá 44 anos. É isso mesmo? Vocês sabem qual é a minha idade? Já sei Thaís, para descobrir a sua idade é só subtrair 29 de 44. Vamos usar uma equação, para descobrir a idade da Thaís.
47 2) Um número menos 9 é igual a 25. Que número é esse? 3) O dobro de um número, somado com 8 é igual a 40. Que número é esse? 4) O dobro de um número, somado com 6 é igual a 42. Que número é esse? 5) Calcule a idade da Gabriela, sabendo que daqui a 24 anos ela terá 42 anos. 6) Calcule a idade do Higor, sabendo que daqui a 43 anos ele terá 65 anos. 7) Qual é a idade do meu pai hoje, se daqui a 35 anos ele terá 63 anos? 8) Qual é o número, cujo quádruplo mais 5 é igual a 53? EXERCÍCIOS Vamos resolver alguns exercícios? O número que resolve a equação é chamado de raiz da equação. Resolver uma equação é encontrar o conjunto solução. Apresentamos a resposta de uma equação no conjunto solução. Para o exemplo 2 temos S = {15}.
48 Exemplo 3: Número que você pensou: x Metade deste número: 3 7 somado a esta metade: 3 + 7 Equação: 3 + 7 = 12 Resolvendo a equação: 3 + 7 = 12 3 = 12 – 7 A operação inversa à adição é a subtração. 3 = 5 (Dividindo em um membro, passa a multiplicar no outro) x = 5 . 2 A operação inversa à divisão é a multiplicação. x = 10 Raiz da equação. Resposta: Você pensou no número 10. S = {10} 9) Coloque em prática o que você aprendeu nos exemplos 1 e 2, resolvendo as equações. a) x + 5 = 13 b) x – 11 = 25 c) 2x + 4 = 24 d) 2x – 8 = 22 e) 3x + 2 = 62 f) 3x + 2 = 62 g) 12 + x = 42 10) Coloque em prática o que você aprendeu no exemplo3, resolvendo as equações. a) 4 ! = 9 (Dividindo em um membro, passa a multiplicar no outro) b) 5 = 7 Vamos continuar. Pensei em um número, somei 7 a sua metade e obtive 12. Em que número eu pensei? Vou tentar descobrir este número. 10 é a raiz da equação! EXERCÍCIOS
49 c) 5 = 5 d) 5 = 6 e) 5 = – 9 Observe as resoluções das equações: Exemplo4: 12x – 5 = 10x + 4 (O termo com x deve passar para o 1º membro) 12x – 10x = 4 + 5 (10x mudou e virou – 10x) e (– 5 mudou de membro e virou + 5). (12 – 10)x = 9 (Reduz os termos semelhantes: 12x – 10x = 2x). 2x = 9 x = (2 mudou de membro. Multiplicando em um membro, passa a dividir no outro membro). x = 4,5 S = {4,5} (Conjunto Solução). Exemplo5: 3x + x – 4 = x – 2x + 16 (Os termos com x devem passar para o 1º membro) 3x + x – x + 2x = 16 + 4 (x virou – x) e (– 2x virou + 2x) (3 + 1 – 1 + 2)x = 20 (Reduz os termos semelhantes: 3x + x – x + 2x = 5x) 5x = 20 x = (5 mudou de membro. Multiplicando em um membro, passa a dividir no outro) x = 4 S = {4} (Conjunto Solução). Exemplo 6: 30 = 2x + 2 2x + 2 = 30 (Pela Propriedade Simétrica) 2x + 2 = 30 2x = 30 – 2 2x = 28 x = x = 14 S = {14} (Conjunto Solução) Exemplo7: – 8x = – 32 [Multiplicamos ambos os membros por (– 1)] (– 8x) . (– 1) = (– 32) . (– 1) [Usamos a regra de sinais da multiplicação: (–).(–) =(+)] 8x = 32 x = x = 4 S = {4} (Conjunto Solução) Vamos ver mais alguns exemplos!
50 Exemplo 8: 4(3x – 1) = 7 + 6x (Precisamos eliminar os parênteses, então multiplicamos o 4 pelo 3 e o 4 pelo – 1) 12x – 4 = 7 + 6x (O termo com x deve passar para o 1º membro) 12x – 6x = 7 + 4 (12 – 6)x = 11 6x = 11 x = S = 6 7 Exemplo9: 4x + 2(5x – 4) = – 3(x – 2) (Precisamos eliminar os parênteses, então multiplicamos o 2 pelo 5 e o 2 pelo – 4) 4x + 10x – 8 = – 3x + 6 (Também multiplicamos o – 3 pelo 1 e o – 3 pelo – 2) 4x + 10x + 3x = + 8 + 6 (4 + 10 + 3)x = 14 (Reduz os termos semelhantes: 4x + 10x + 3x = 17x) 17x = 14 x = S = 6 7 11) Resolva as equações: a) 14x – 6 = 8x + 4 b) 4x + x – 5 = 2x – 3x + 18 c) 40 = 3x + 4 d) – 7x = – 63 e) 5(2x – 1) = 8 + 4x f) 7x + 2(6x – 3) = – 2(x – 1) Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados Exemplo1: Um número somado com o seu triplo é igual a 72. Qual é esse número? Número: x Triplo: 3x EXERCÍCIOS
51 Equação: x + 3x = 72 Resolvendo a equação: x + 3x = 72 4x = 72 x = x = 18 S = {18} Exemplo 2: Luísa é 5 anos mais velha que Diana. A soma de suas idades é igual a 23 anos. Qual é a idade de Diana? Idade de Diana: x Idade de Luísa: x + 5 Equação: x + (x + 5) = 23 Resposta: Diana tem 9 anos. Resolvendo a equação: x + (x + 5) = 23 x + x + 5 = 23 2x + 5 = 23 2x = 23 – 5 2x = 18 x = x = 9 S = { 9 } Exemplo 3: Ana Luíza e Ariela são primas, juntas elas têm 25 anos. A idade da Ana Luíza é da idade da Ariela. Qual é a idade de cada uma delas? Ariela: x Ana Luíza: x Equação: x + x = 25 Resolvendo a equação: x + x = 25 5 + 5 = 4x + x = 100 5x = 100 x = x = 20 S = {20} Ariela tem 20 anos. Ana Luíza tem 20 = = 5 anos. Resposta: Ariela tem 20 anos e Ana Luíza, 5 anos. Exemplo4: Um tênis custa três vezes o preço de uma calça. Os dois itens juntos, custam R$ 220,00. Qual é o preço de cada item? Preço da calça: x Preço do tênis: 3x Equação: x + 3x = 220 Resolvendo a equação: x + 3x = 220 4x = 220 x = 55 S = {55} A calça custa R$ 55,00 e o tênis custa R$ 165,00. O número que você está procurando é 18!
52 12) Um número somado com o seu dobro é 210. Qual é esse número? 13) Beatriz é 7 anos mais velha que sua irmã. A soma de suas idades é igual a 22 anos. Qual é a idade da irmã da Beatriz? 14) Uma balança está em equilíbrio. Em um prato estão duas jacas mais 8 kg, no outro prato estão 14 kg mais uma jaca. Qual é o peso de cada jaca? 15) A soma de um número com o seu sucessor é 121. Quais são esses números? 16) A soma de três números consecutivos é 57. Quais são esses números? 17) No estacionamento onde meu pai trabalha, há vagas para carros e motos, totalizando 114. O número de vagas para carros é 5 vezes o número de vagas para motos. Quantas vagas para carros há no estacionamento? Inequação do 1º grau Os símbolos usados em desigualdades são: 8, :, ;, <, =. Inequação é toda desigualdade que contém pelo menos uma incógnita. Exemplos: a) 6x + 2 > 3 b) 4x – 1 < 5 c) x + 8 ; 10 d) + 3x = 11 EXERCÍCIOS Agora é a sua vez! Se os 3 números são consecutivos, eles são: x, x + 1 e x + 2.
53 18) Identifique as sentenças com (E) para equação e (I) para inequação: a) 2x + 9 = 4 (......) e) 5x – x = 6 (......) i) 7x – 1 ; 17 (......) b) – 4x + 10 = 5 (......) f) 3x – 1 ; 7 (......) j) x + 27 = 43 (......) c) 6x > 3 + x (......) g) 4x + x < – 2x + 1 (......) k) 3x + 18 ; 100 (......) d) x + 3 = 1(......) h) x – 1 = 5 (......) l) + 5x = 15 (......)
54 Caro(a) aluno(a), nesta Unidade vamos aprender a ler uma razão, a identificar seus termos e determinar a razão entre grandezas, além de estudar a noção de escala. Vamos estudar, também, as proporções: identificar uma proporção, os seus meios e extremos; verificar como se calcula o termo desconhecido de uma proporção, utilizando a propriedade fundamental; resolver problemas do cotidiano com o auxílio de uma proporção; resolver problemas que envolvem variações diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais entre grandezas. Esperamos que, ao final deste estudo, você possa resolver problemas que envolvam razão, noção de escala e proporção.
55 Unidade 3 – RAZÕES E PROPORÇÕES Razão Razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo, sendo o segundo número diferente de zero. Exemplo: • A razão entre o número de meninos e o número de meninas é determinada assim: ú > ú > = : : = (2 está para 3) • A razão entre o número de meninas e o número de meninos é determinada assim: ú > ú > = : : = (3 está para 2) 1) Escreva simbolicamente as razões: Exemplo: Três para sete: $ ? a) Seis para onze: b) Um para cinco: c) Cinco para nove: d) Quatro para cinco: e) Dezenove para seis: f) Três para sete: 2) A prova de Matemática tinha 12 questões, Mariana acertou 9. A partir das informações dadas, complete: a) A razão do número de questões que acertou para o número total de questões: ................... b) A razão do número de questões que errou para o número total de questões: ...................... 3) A altura de Aninha é 1,10 m e a de seu pai é 1,70 m. Qual é a razão entre a altura do pai de Aninha e a altura de Aninha? Na nossa turma têm 30 alunos, sendo 18 meninas e 12 meninos. Então, a razão entre o número de meninos e o de meninas é . E a razão entre o número de meninas e o número de meninos é . EXERCÍCIOS
56 Escala Escala é a razão entre a medida utilizada e a medida real, ambas na mesma unidade. Escala = @ A B > C @ A B D Exemplo: Um salão de festas tem 20 m de comprimento. Esse comprimento é representado em um desenho por 40 cm. Qual é a escala do desenho? Resposta: Medida do comprimento do desenho = 40 cm Medida do comprimento real = 20 m (Vamos passar de metro para centímetro - 1 m = 100 cm, então 20 m = 2 000 cm) Escala = = : : = A escala é de 1 : 50 (Um para cinquenta - cada 1 cm do desenho corresponde a 50 cm reais) 4) Escreva na forma de razão: a) 1 mês para 1 ano. ! b) 1 dia para 1 semana. c) 6 dias para 1 mês. d) 5 meses para 1 ano. e) 50 segundos para 7 minutos. 5) Um terreno tem 200 m2 de área e 150 m2 de área construída. Responda: a) Qual é a razão da medida da área construída para a área do terreno? b) Qual é a razão da medida da área do terreno para a área construída? c) Qual é a razão da medida da área construída para a área livre? d) Qual é a razão da medida da área livre para a área construída? 6) A planta da casa de Thaís foi feita na escala 1 : 40. Responda: a) Quais são as dimensões reais do quarto?........................ b) Quais são as dimensões reais da sala?............................ c) Quais são as dimensões reais da cozinha?...................... d) Quais são as dimensões reais do banheiro?.................... EXERCÍCIOS A letra (a) já está feita!
57 Proporção Proporção é uma igualdade entre duas razões. Exemplo: = . As razões são iguais, então temos uma proporção. Observe as figuras abaixo: 5 cm 8 cm 10 cm 16 cm • A razão entre a largura e a altura da primeira foto é . • A razão entre a largura e a altura da segunda foto é . • = . As razões são iguais, logo temos uma proporção entre as figuras. • E = @ . Lemos: a está para b assim como c está para d. • Os termos b e c são chamados meios da proporção. • Os termos a e d são chamados extremos da proporção. Propriedade Fundamental: Em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. É possível descobrir o valor desconhecido de um dos termos em uma proporção, aplicando a propriedade fundamental. Exemplo: Calcule o valor desconhecido na proporção 3 = 48.x = 42.8 48x = 336 x = x = 7 7) Calcule o valor desconhecido nas proporções: a) 3 = b) 3 = c) 3 = d) 3 = EXERCÍCIOS
58 8) Uma foto tem 3 cm de largura e 4 cm de comprimento. Se eu quiser fazer uma ampliação dela, de forma que a largura tenha 48 cm, para que se tenha uma proporção, quanto terá de comprimento? Grandezas diretamente proporcionais Exemplo: Um ônibus percorre... • 50 km, em 1 hora. • 100 km, em 2 horas. • 150 km, em 3 horas. Duas grandezas são diretamente proporcionais, quando ao aumentar uma delas, a outra aumenta na mesma razão da primeira. Grandezas inversamente proporcionais Exemplo: Um ônibus faz um percurso com velocidade de... • 60 km, em 1 hora. • 30 km, em 2 horas. • 15 km, em 3 horas. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao aumentar uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira. 9) Uma torneira despeja 40 litros de água a cada 20 minutos. Quanto tempo levará para encher um reservatório de 1m3 ? 10) Um carro percorreu uma distância em 3 horas, à velocidade média de 80 km/h. Se a velocidade média fosse de 60 km/h, em quanto tempo o carro percorreria a mesma distância? EXERCÍCIOS Pelo exemplo, tempo e distância são grandezas diretamente proporcionais. Pelo exemplo, tempo e velocidade são grandezas inversamente proporcionais.
59 11) Com 1 lata de leite condensado, podemos fabricar 30 docinhos para festa. Quantas latas de leite condensado são necessárias, para fabricar 240 docinhos? 12) Com 2 latas de tinta, meu pai pintou 140m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 3 latas dessa mesma tinta?
60 Caro(a) aluno(a), nesta Unidade vamos compreender o significado de uma porcentagem, bem como aprender a reconhecer a porcentagem enquanto representação de uma fração decimal. Além disso, vamos estudar sua representação geométrica, inclusive com representações gráficas. Ao final deste estudo, esperamos que você possa resolver problemas do cotidiano, utilizando as noções de porcentagem.
61 Unidade 4 – PORCENTAGEM Reconhecimento de porcentagem como representação de uma fração decimal As porcentagens correspondem a frações de denominador 100 ou frações equivalentes a elas. As porcentagens são representadas pelo símbolo %. Exemplos: • Desconto de 40% – um produto que custa R$ 100,00 está sendo vendido com desconto de R$ 40,00, isto é, está sendo vendido por R$ 60,00 (100 – 40 = 60), 40 em 100 ou . • 60% dos alunos do 7º ano têm 12 anos de idade – a cada 100 alunos do 7º ano, 60 têm 12 anos de idade, 60 em 100 ou . • A porcentagem de água do sangue humano é de aproximadamente 83% – se tivéssemos 100 litros de sangue, 83 litros seriam de água, 83 em 100 ou . CURIOSIDADE: Você sabia que a água é a molécula mais importante do corpo humano, presente em maior abundância no nosso organismo? De 55 a 75% do peso corporal de um adulto é composto de água: sangue 83%, músculos 73%, gordura 25%, ossos 22%. (Disponível em: <http://www.cluberegatas.com.br/v2/publication.asp?publicationID=1567>. Acesso em: 23/07/2013) 1) Complete a tabela: EXPRESSÃO COMO SE LÊ SIGNIFICADO 40% são crianças. 40 por cento são crianças. 23% não votaram. Em cada 100 eleitores, 23 não votaram. 72% tiveram desconto. 55% são estudantes. 18% são professores. 27% são médicos. 44% cursam o 7º ano. 61% receberam o pagamento. 36% pagam aluguel. Em cada 100 pessoas, 36 pagam aluguel. GLOSSÁRIO Molécula: é uma entidade eletricamente neutra, que possui pelo menos dois átomos, todos ligados entre si mediante ligação covalente. EXERCÍCIOS
62 2) Represente as frações em forma de porcentagem e escreva como se leem essas porcentagens. Exemplo: = 20% (Vinte por cento) a) = .......................................................... b) = .......................................................... c) = .......................................................... d) = .......................................................... e) = .......................................................... f) = ........................................................... g) = .......................................................... 3) Escreva a fração correspondente, com denominador 100. Exemplo: 8% = a) 5% = b) 15% = c) 25% = d) 95% = e) 60% = SE LIGA NESSA! A porcentagem ou percentagem (do latim per centum, significando "por cento", "a cada centena") é uma medida de razão com base 100. É um modo de expressar uma proporção ou a relação entre dois valores (um é a parte e o outro é o inteiro), a partir de uma fração, cujo denominador é 100, ou seja, é dividir um número por 100. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Porcentagem>. Acesso em: 23/07/2013) Exemplos: Uma porcentagem pode ser representada por uma fração decimal, então também pode ser representada em figuras. Observe: a) b) c) 30% ou do quadrado 25% ou do quadrado 85% ou do quadrado grande está pintado. grande está pintado. grande está pintado.
63 Os numerais 30%, 25% e 85% são taxas de porcentagens, pois expressam a razão entre uma grandeza e 100 elementos de seu universo. 4) Escreva a fração e a porcentagem referente à parte escura de cada figura: a) b) c) ................................... ................................... ................................... Simplificação de frações Exemplos: a) ! "! = ! "! : : ! ! = F ! : : $ $ = ! ? b) !" 22 = !" 22 : : ! ! = ! #2 : : ! ! = F !# c) # ?# = # ?# : : # # = # Vamos deixar as frações na forma irredutível, ou seja, transformar uma fração em outra equivalente, mas com termos menores. Como eu faço para simplificar uma fração? É fácil, Amanda! Escolhemos um número que divida os termos da fração ao mesmo tempo. No exemplo (a), 12 e 42 são divisíveis por 2, então simplificamos. Depois temos 6 e 21, que são divisíveis por 3, novamente simplificamos e, por fim, encontramos ! ? , a fração irredutível! No exemplo (b), dividimos a fração por 2, duas vezes, até não podermos mais simplificar. Por fim, encontramos F !# , a fração irredutível! No exemplo (c), dividimos ambos os termos da fração pelo maior número que divide 15 e 75. Isso mesmo! 15 é o M.D.C. entre 15 e 75. Por fim, encontramos a fração irredutível!
64 GLOSSÁRIO M.D.C.: Máximo Divisor Comum. 5) Escreva as seguintes porcentagens na forma de fração irredutível: Exemplo: 25% = = : : = : : = ou diretamente : : = a) 10% b) 20% c) 30% d) 40% e) 50% f) 75% g) 83% h) 95% 6) Escreva as seguintes frações na forma de porcentagem: Exemplo 1: = = = 75% Exemplo 2: = : : = = = 24% a) = b) = c) = d) = e) = Falamos que a fração está na forma irredutível, quando não dá mais para simplificar. Agora é a sua vez! Vamos praticar. EXERCÍCIOS Atenção: observe o exemplo, para depois resolver o exercício. Vamos multiplicar ou dividir ambos os termos da fração, pelo número que tornar o denominador da fração igual a cem.
65 f) = Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados Exemplo 1: dos 550 alunos da escola onde estudo, 60% são meninas. Quantas meninas estudam na minha escola? Resposta: Vimos que 60% = F2 22 = F2 22 : : 2 2 = F 2 : : ! ! = $ # . Então, temos que calcular 60% de 550, que é o mesmo que calcular $ # de 550. $ # de 550 = $ # x 550 = .F#2 # = 330. 60% de 550 = 330, isto é, dos 550 alunos da escola, 330 são meninas. Exemplo 2: Na gincana da escola, Larissa fez 36 pontos, que correspondem a 30% dos pontos do seu grupo. Quantos pontos fez o grupo de Larissa? Resposta: 30% de ☺ = 36. 30% = $2 22 = $2 22 : : 2 2 = $ 2 , então $ 2 de ☺ = 36, daí fazemos $ 2 ☺ = 36 3 ☺ = 36 10 3 ☺ = 360 ☺ = $F2 $ ☺ = 120. O grupo da Larissa fez 120 pontos. Exemplo 3: Franklin gastou 80% do dinheiro que tinha em uma viagem e ainda ficou com R$ 6,40. Qual a quantia que Franklin levou na viagem? Franklin gastou 80% do que tinha e sobrou R$ 6,40, que é 20% do total, sendo assim: 20% = !2 22 = # , # do total é igual a 6,40 # x = 6,40 x = 6,40 5 x = 32. Franklin levou R$ 32,00 para a viagem. 7) Usando o que você aprendeu sobre porcentagem, calcule: a) 17% de R$ 540,00. b) b) 30% de R$ 1.200,00. c) 15% de R$ 450,00. d) 72% de R$ 1.800,00. Como calcular a porcentagem de um número? Observe os exemplos! EXERCÍCIOS Note que chamamos x de ☺. Só para descontrair!
66 8) 40% dos 450 alunos da escola onde estudo, moram no mesmo bairro que eu. Quantos alunos que estudam na minha escola, moram no meu bairro? 9) Em uma classe com 32 alunos, apenas 25% compareceu à prova de Matemática. Quantos alunos compareceram à prova de Matemática? 10) A loja em que mais gosto de comprar roupas está dando 60% de desconto nas compras. Se eu comprar um tênis no valor de R$ 120,00, de quanto será o desconto? Quanto vou pagar pelo tênis? 11) Os alunos da minha turma fizeram uma pesquisa com 100 pessoas, que mandaram instalar em suas casas, os canais de televisão mais assistidos por elas. Observe o gráfico e responda: a) Qual é o percentual dos telespectadores do canal A? b) Qual é o percentual dos telespectadores do canal B? c) Qual é o percentual dos telespectadores do canal C? d) Qual é o percentual dos telespectadores do canal D? e) Qual é o percentual dos telespectadores do canal E? f) Qual é o percentual dos telespectadores do canal F? 12) O ingresso do cinema custa R$ 18,00. Como estudante, tenho 50% de desconto. Quanto vou pagar pelo ingresso? 13) A bicicleta que quero comprar custa R$ 200,00. Se eu pagar à vista, tenho 20% de desconto. Quanto vai custar a bicicleta, se eu obtiver o desconto? 14) No último sábado, houve uma campanha de vacinação de cães e gatos. Na rua onde moro, 32 animais foram vacinados. Observe o gráfico e responda:
67 a) Qual é a porcentagem de cães vacinados? b) Qual é a porcentagem de gatos vacinados? 15) Mateus tinha R$ 40,00 e gastou 20% na padaria. Quanto lhe restou? 16) Lívia gastou 70% do que tinha em um passeio e ainda ficou com R$ 6,00. Qual era a quantia que Lívia tinha, antes de ir ao passeio? 17) Letícia comprou um vestido que custou R$ 52,00 e ainda ficou com R$ 28,00. Quantos por cento corresponde à quantia que sobrou? 18) Nas férias, minha família fez uma viagem de 480 km. Minha irmã caçula dormiu durante 20% do percurso. Quantos quilômetros do percurso foram percorridos, enquanto ela dormia? 19) Meu pai é pedreiro e ganhou R$ 60,00 por um serviço. Ele deu 30% do que ganhou para minha avó. Com quanto meu pai ficou? 20) Durante uma pesquisa, 100 moradores de um bairro foram entrevistados. As músicas mais ouvidas por eles estão representadas no gráfico abaixo. Observe o percentual no gráfico e responda: a) Quantas pessoas ouvem Música Sertaneja? b) Quantas pessoas ouvem Samba? c) Quantas pessoas ouvem Rock? 0 5 10 15 20 Raça não definida Pequinês Rottweiler Gatos VACINAÇÃO DE CÃES E GATOS
68 d) Quantas pessoas ouvem Pagode? e) Quantas pessoas ouvem Música Evangélica? f) Quantas pessoas ouvem Funk? 21) Minha mãe quer comprar um fogão e um sofá. Uma loja está oferecendo os seguintes descontos: Por quanto estão sendo vendidas essas mercadorias? Lembre-se de que 100% são todos os elementos considerados no problema!
69 Caro(a) aluno(a), nesta Unidade vamos aprender a calcular o perímetro de algumas figuras planas, tais como: triângulo, quadrado, retângulo e losango. Vamos aprender, também, a calcular a área dessas figuras. Esperamos que, ao final deste estudo, você seja capaz de resolver problemas da vida prática, que envolvam o cálculo do perímetro e o cálculo ou estimativa de área de figuras planas.
70 Unidade 5 – ÁREA E PERÍMETRO Perímetro A unidade de medida de comprimento padrão é o metro (m), mas utilizamos bastante o centímetro (cm), o milímetro (mm) e o quilômetro (km). O quilômetro é usado para medir grandes distâncias, como estradas, por exemplo. CURIOSIDADE: A elevação mínima do nível do mar prevista para este século é de 0,9 m, ou seja, 90 cm. Motivada pelo derretimento da calota do Ártico, ela pode chegar a 1,6 m (160 cm). (Fonte: Veja. Editora Abril, 11/5/2011, p. 59) GLOSSÁRIO Grandeza: é tudo o que pode ser medido ou contado, como comprimento, área, tempo, quantias em dinheiro, velocidade etc. (Fonte: ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Praticando Matemática. 7º ano. 3. ed. São Paulo: Editora do Brasil, 2012) O perímetro é a medida do contorno de uma figura. Para calcular o perímetro de um polígono, basta somar as medidas de seus lados. 4 cm Perímetro deste retângulo = 6 cm + 6 cm + 4 cm + 4 cm = 20 cm 6 cm Agora nós vamos resolver alguns problemas que envolvem perímetro. Você sabe o que é perímetro e como ele é calculado? Para medir um comprimento, o comparamos com outro comprimento. Para isso, podemos usar a régua, a fita métrica, o metro articulado (aquele usado pelos pedreiros) ou a trena. No passeio que minha turma fez, os alunos queriam jogar futebol na areia, mas não tinham uma fita métrica para medir onde a baliza ficaria. Além disso, a distância do centro do campo até a baliza deveria ter o mesmo comprimento para os dois times, então mediram com passos. Foi a solução!
71 1) Na cidade onde Thaís nasceu há praças com formatos diferentes (um losango, um retângulo, um quadrado e triângulos), duas com o mesmo perímetro. Observe as figuras abaixo e descubra quais são as praças que têm perímetros iguais: 52,3 m 4 m a) b) c) 31,4 m d) 5 m 5 m e) 8 m 8 m 6 m 9 m 2) Calcule o perímetro dos quadrados, cujos lados medem: a) 6 m: .................................................................................. b) 2,3 cm: ............................................................................. c) 4,5 cm:.............................................................................. d) 7,1 km:.............................................................................. e) 15 m:................................................................................. 3) Calcule o perímetro dos retângulos, com as seguintes dimensões: a) 3 cm de largura e 5,7 cm de comprimento: ........................................................................................ b) 12 m de largura e 28 m de comprimento: ........................................................................................ c) 11 cm de largura e 23 cm de comprimento: ........................................................................................ 4) Calcule o perímetro dos losangos, com as seguintes dimensões: a) 4 cm de lado: ........................................................................................................................................ b) 7 cm de lado: ........................................................................................................................................ EXERCÍCIOS Não se esqueça de que o quadrado tem os 4 lados com medidas iguais. O retângulo tem 4 lados, com 2 medidas diferentes: cada dois lados têm medidas iguais entre si.
72 c) 2 m de lado: .......................................................................................................................................... d) 10 cm de lado: ...................................................................................................................................... e) 12 cm de lado: ...................................................................................................................................... 5) Calcule o perímetro dos triângulos, com as seguintes dimensões: a) 4 m, 4 m, 4 m: ....................................................................................................................................... b) 2 m, 3 m, 3 m: ....................................................................................................................................... c) 3 cm, 4 cm , 5 cm: ................................................................................................................................. d) 7 m, 8 m, 9 m: ....................................................................................................................................... e) 15 cm, 12 cm, 12 cm: ............................................................................................................................ Exemplo: O perímetro de um retângulo mede 82 cm. Quais são suas medidas, sabendo-se que seu comprimento tem 6 cm a mais que sua largura? Largura: x Comprimento: x + 6 Equação: x + x + (x + 6) + (x + 6) = 82 Resolvendo a equação: x + x + (x + 6) + (x + 6) = 82 x + x + x + 6 + x + 6 = 82 4x + 12 = 82 4x = 82 – 12 4x = 70 x = x = 17,5 S = { 17,5 } Resposta: largura = 17,5 cm e comprimento= 23,5 cm. 6) O perímetro de um retângulo mede 116 cm. Quais são suas medidas, sabendo-se que seu comprimento tem 8 cm a mais que sua largura? 7) O perímetro de um quadrado mede 132 cm. Quanto mede o lado desse quadrado? Área do quadrado, retângulo e losango A área de uma figura plana é a medida da região delimitada por ela. Quando medimos superfícies, como um terreno, uma parede, o piso de uma sala de aula ou uma folha de papel, obtemos um número, que é a sua área.
73 Área é um número, maior ou igual à zero, que representa a medida de uma superfície. Exemplos: Unidade de área. No retângulo ao lado cabem 18 unidades de área, ou melhor, a área da região retangular é igual a 18 unidades de área. 8) Sabendo que representa a unidade de área, calcule a área das seguintes figuras abaixo: Para medir uma superfície, escolhemos uma unidade de medida, cuja área é 1 e a comparamos com a superfície a ser medida. A figura é medida pelo número de quadrados de lado 1, unidade quadrada, que podem cobrir completamente a figura. Usando o quadrado u como unidade de medida de área, para medir a figura A, vemos que 14 quadrados cobrem perfeitamente a figura A. O restante da figura pode ser coberta cortando mais 2 quadrados, assim, a área da figura A é igual a 16 unidades de área. EXERCÍCIOS Para medidas de comprimento, utilizamos o metro (m) e para medidas de área, utilizamos o metro quadrado (m2 ), que é a área de um quadrado que possui 1 m de lado.
74 a) b) c) d) ...... unidades de área. ...... unidades de área. ...... unidades de área. .................................. A unidade padrão das medidas de superfície é o metro quadrado (m2 ), mas para medirmos áreas muito extensas, utilizamos bastante o quilômetro quadrado (km²). Utilizamos as medidas de área quando precisamos saber qual é o tamanho de um terreno, para calcularmos a quantidade de piso ou revestimento de parede em um cômodo ou até para sabermos qual é a superfície de uma cidade. Área do Retângulo SE LIGA NESSA! Um retângulo é um paralelogramo, cujos lados formam ângulos retos entre si e que, por isso, possui dois lados paralelos verticalmente e os ou- tros dois, paralelos horizontalmente. Pode-se considerar o quadrado como um caso particular de um retângulo, em que todos os lados têm o mesmo comprimento. (Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 23/07/2013) A área do retângulo ou de uma região retangular de comprimento b e largura h é dada por: h Área retângulo = b x h b Exemplos: a) b) c) d) Em cada retângulo abaixo, calcule a quantidade de quadradinhos e expresse essa quantidade por meio de uma multiplicação.
75 a) Área = 5 x 6 b) Área = 3 x 5 c) Área = 6 x 3 d) Área = 9 x 4 = 30 unidades = 15 unidades = 18 unidades = 36 unidades de área. de área. de área. de área. Ao contar os quadradinhos, estamos calculando a área do retângulo. Se cada quadradinho tiver área de 1 m2 , a área encontrada estará em metro quadrado (m2 ). Outra maneira de calcular essa área é realizando uma multiplicação. Se um retângulo possui dimensões não conhecidas: b (base ou comprimento) e h (altura ou largura), então podemos representar essa área (A) por b x h. h Área retângulo = b x h b h b Exemplo: Qual é a área de um terreno retangular, cujas medidas são 15 m x 20 m? Resposta: A = b x h = 15 m x 20 m = 300 m2 . CURIOSIDADE: A representação h para altura vem da palavra height, que significa altura em inglês. (Disponível em: <http://www.klickeducacao.com.br>. Acesso em: 23/07/2013) 9) Um terreno tem forma retangular, cujas medidas são 20 m x 30 m. Qual é a área do terreno? 10) Uma folha de papel A4 mede 21 cm por 29,7 cm. O texto está sendo escrito em uma área de 16 cm por 24,7. Qual é a área ocupada pelo texto? 11) Calcule a área de cada praça: 52,3 m 61 m a) b) 31,4 m 40 m EXERCÍCIOS
76 Área do Quadrado SE LIGA NESSA! O quadrado é um quadrilátero regular, ou seja, uma figura geométrica com quatro lados de mesmo comprimento e quatro ângulos retos (900 ). Todo quadrado é também um retângulo e um losango. (Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 23/07/2013) A área do quadrado ou de uma região quadrada de lado l é dada por: l Área quadrado = l x l = l 2 l Exemplos: a) b) c) d) Área = 6 x 6 Área = 5 x 5 Área = 3 x 3 Área = 4 x 4 = 36 unidades = 25 unidades = 9 unidades = 16 unidades de área. de área. de área. de área. Quando contamos os quadradinhos, estamos calculando a área do quadrado, se cada quadradinho tiver área de 1 m2 a área encontrada estará também em metro quadrado (m2 ). Outra maneira de calcular essa área é realizando uma multiplicação. Se um quadrado possui dimensões não conhecidas l (lado), então podemos representar essa área (A) por l x l = l 2 . Exemplo1: Qual é a área de um terreno quadrado, cujo lado mede 30 m? Resposta: A = l x l = 30 m x 30 m = 900 m2 . Exemplo 2: Sabendo que o quadrado pequeno tem 20 m de lado, qual é a área da parte escura da figura? Resposta: 30 m Área do quadrado grande – área do quadrado pequeno. Área do quadrado grande = 30 m x 30 m = 900 m2 . Área do quadrado pequeno = 20 m x 20 m = 400 m2 . 900 m2 – 400 m2 = 500 m2 l é a medida do lado de um quadrado.
77 GLOSSÁRIO Polígono: figura geométrica fechada, formada por segmentos de retas. Quadrilátero regular: é um polígono de quatro lados e ângulos com a mesma medida. (Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 23/07/2013) 12) Um terreno tem forma quadrada, de lado 20 m. Qual é a área do terreno? 13) Um terreno tem forma quadrada, de lado 21,7 m. Qual é a área do terreno? 14) Calcule a área de cada praça: 35 m 42,5 m a) b) Área do Losango SE LIGA NESSA! O losango é um quadrilátero, é um polígono formado por quatro lados de igual comprimento. Um losango é também um paralelogramo. Todo quadrado é também um losango. (Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 23/07/2013) A área do losango é dada por: Área losango = 3 EXERCÍCIOS Observe pela figura, que a área desse losango é igual à metade da área do retângulo de lados d1 e d2. Estamos chamando as diagonais do losango de d1 e d2.
78 Exemplo: Na rua onde moro existe um canteiro, em forma de losango, cujas diagonais medem 4,20m e 2,30 m. Qual é a área, em m2 , ocupada por esse canteiro? Resposta: A = 3 = , 3 , = , m2 = 4,83 m2 . GLOSSÁRIO Paralelogramo: é um polígono de quatro lados (quadrilátero), cujos lados opostos são iguais e paralelos. Por consequência, tem ângulos opostos iguais. O quadrado, o retângulo e o losango são paralelogramos. (Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 23/07/2013) 15) No bairro onde moro existe um canteiro, em forma de losango, cujas diagonais medem 5,30 m e 2,40 m. Qual é a área, em m2 , ocupada por esse canteiro? 16) Calcule a área referente à parte escura da figura abaixo, sabendo que o retângulo tem 4 m de largura e 8 m de comprimento. 17) Calcule a área de cada praça, sabendo que na letra (a) o lado mede 15 m e na letra (b), a diagonal menor mede 10 m e a maior mede o dobro da medida da menor. a) b) 18) (→ → → →) Sabendo que 1 cm2 é a área equivalente à uma região quadrada de lado 1 cm, calcule a área ocupada pelo nome abaixo, tendo como unidade o centímetro quadrado (cm2 ). Cada representa 1 cm2 . EXERCÍCIOS
79 Agora é a sua vez! Escreva o seu nome ou apelido e calcule a área ocupada por ele.
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81 AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA - 7º ANO. ALUNO(A): _________________________________________________ DATA: __________________ 1) Complete a reta numerada, com os números que estão faltando: 2) Faça as operações bancárias e dê os resultados: Crédito de R$ 15,00 mais débito de R$ 30,00 –> Resultado: ......................................... 3) Observe no gráfico a quantidade de pontos obtidos por cada jogador. Em seguida, calcule a média aritmética do total de pontos de todos os jogadores. 4) Um vendedor ganhou R$ 50,00 e teve uma dívida de R$ 15,00 perdoada. Quantos reais ele ganhou? 5) Valéria tinha um saldo bancário de R$ 450,00. Ela emitiu três cheques, cada um no valor de R$ 155,00. Qual é o novo saldo bancário de Valéria? Este saldo é positivo ou negativo? 6) Meu pai separou R$ 72,00 do seu pagamento, para dividir igualmente entre os seis filhos. Quantos reais eu recebi? 7) Minha tia fez um bolo e o dividiu em 5 partes iguais. Separou 2 partes para sua família e deixou o restante para a minha família. Qual é a fração que representa a parte que ficou para a minha família comer? E qual foi a parte que ficou para a família da minha tia? -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 Amanda Lucas Gabriel Thaís Resultado do Jogo
82 8) O dobro de um número, somado com 9 é igual a 45. Que número é esse? 9) Uma balança está em equilíbrio. Em um prato estão dois melões mais 4 kg, no outro, um melão mais 12 kg. Qual é o peso de cada melão? 10) A prova de Matemática tinha 12 questões e eu acertei 8. Qual é a razão do número de questões que eu acertei, para o número total de questões? 11) Uma foto tem 3 cm de largura e 4 cm de comprimento. Se eu quiser fazer uma ampliação dela, de forma que a largura tenha 36 cm, para que se tenha uma proporção, quanto ela terá de comprimento? 12) Com 1 lata de leite condensado, podemos fabricar 30 docinhos para festa. Quantas latas de leite condensado são necessárias, para fabricar 480 docinhos? 13) Usando o que você aprendeu sobre porcentagem, calcule quanto é 30% de R$ 1.500,00. 14) A loja em que mais gosto de comprar roupas está dando 70% de desconto nas compras. Se eu comprar uma calça no valor de R$ 90,00, de quanto será o desconto? Quanto vou pagar pela calça? 15) O perímetro de um retângulo mede 132 cm. Quais são as suas medidas, sabendo-se que seu comprimento tem 8 cm a mais que sua largura? 16) Um terreno tem forma retangular, cujas medidas são 12 m x 20 m. Qual é a área desse terreno? 17) Uma praça tem forma quadrada, com lado de 22 m. Qual é a área da praça? 22 m 18) Calcule a área da parte escura da figura, sabendo que o retângulo tem 5 m de largura e 12 m de comprimento.
83 19) Represente a fração em número decimal. 20) Represente o número decimal 0,35 em forma de fração.
84
85 GABARITO DAS ATIVIDADES Unidade 1 Exercício 1 a) – 90 C b) + 30 C c) + 150 C d) – 100 C Exercício 2 a) + R$ 300,00 b) – R$ 45,00 c) – R$ 90,00 d) + R$ 70,00 e) – R$ 150,00 f) 0 g) + R$ 120,00 h) – R$ 55,00 i) + R$ 48,00 Exercício 3 a) Nova York e Paris b)Rio de Janeiro c) Nova York Exercício 4 a) – 5, – 2 e 3 b) – 4, – 1, 2 e 5 c) – 5, – 3, 1 e 4 Exercício 5 A= – 1, B= 2, C= – 4, D= 4. Exercício 6 a) + 6 b) – 6 c) 1 d) + 4 e) – 8 f) – 1 Exercício 7 a) + 15 b) + 50 c) + 14
86 d) 0 e) – 6 Exercício 8 a) Ter 10 (+ 10) b) Dever 6 (– 6) c) Ter 8 (+ 8) d) Não ter nada (0) Exercício 9 a) – 10 b) + 25 c) – 150 d) + 1.300 Exercício 10 a) simétrico b) oposto, – 15 c) oposto d) o próprio zero Exercício 11 a) Prejuízo de R$ 35,00. b) Crédito de R$ 50,00. c) 50 C acima de zero. d) 30 metros abaixo do nível do mar. e) Prejuízo de R$ 20,00. f) Depósito de R$ 45,00. Exercício 12 a) + 10 b) + 13 c) + 20 d) + 11 Exercício 13 a) Crédito de R$ 35,00 b) Débito de R$ 70,00 c) Crédito de R$ 85,00 d) Débito de R$ 41,00
87 e) Crédito de R$ 27,00 f) Débito de R$ 72,00 Exercício 14 a) + 1 b) + 6 c) + 2 d) 0 Exercício 15 12,12 Exercício 16 a) Crédito de R$ 10,00 b) Débito de R$ 18,00 c) Débito de R$ 18,00 d) Crédito de R$ 3,00 e) Crédito de R$ 5,00 f) Crédito de R$ 25,00 Exercício 17 R$ 850,00. Positivo. Exercício 18 240 C. Fará mais frio ou menos calor. Exercício 19 EQUIPES GOLS MARCADOS GOLS SOFRIDOS SALDO DE GOLS BOTAFOGO + 20 – 15 – 5 FLAMENGO + 25 – 18 +7 FLUMINENSE + 19 – 19 0 VASCO + 15 – 18 – 3 TOTAL + 79 – 70 Exercício 20 + R$ 205,00. Positivo.
88 Exercício 21 a) 19/07/2013 b) 23/07/2013 c) 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 29 d) 23/07/2013 e) 19/07/2013 Exercício 22 a) – 70 b) + 185 Exercício 23 Amanda – 10, Thaís 15, Lucas 25, Gabriel 30. Exercício 24 a) 40 e – 33 b) 42 e – 75 c) 10 e – 10 d) 201 e – 54 e) – 75 e 17 Exercício 25 a) – 7, – 7 b) – 15, – 15 c) + 6, + 6 d) + 3, + 3 e) oposto Exercício 26 a) – 2 b) – 24 c) + 16 d) – 23 e) + 37 f) + 45 Exercício 27 a) 4, 1
89 b) 13, 13, tenho, não tenho nada c) 7, 3, 10 d) 14, 18, 4 e) 30, 10, 20 f) 2, devo, 5 Exercício 28 a) 8 b) 4 c) 0 d) 3 e) – 4 f) 50 g) – 23 h) 30 i) 30 j) 40 k) – 12 Exercício 29 a) – 3 b) – 11 c) – 10 d) – 9 e) – 11 f) 7 g) 18 h) 95 Exercício 30 R$ 44,00 Exercício 31 70 C
90 Exercício 32 – 20 C Exercício 33 @=0 – 3, 3 – 2, – 1, 4 Exercício 34 TIME GOLS MARCADOS GOLS SOFRIDOS SALDO DE GOLS Flamengo 25 15 10 Vasco 12 17 – 5 Fluminense 6 7 – 1 Botafogo 11 11 0 a) saldo de gols b) 25 – 15 = 10 c) 15 d) – 5 e) 6 f) 11 Exercício 35 c Exercício 36 39 graus Exercício 37 47 – (– 35) = 47 + 35 = 82 Resposta: 82 anos. Exercício 38 c
91 Exercício 39 a) 1 b) 3 c) – 5 d) 5 e) 2 f) 34 g) – 21 h) 80 i) 260 j) 40 k) – 40 Exercício 40 a) Quarta-feira = 12 graus / Quinta-feira = 15 graus / Sexta-feira = 15 graus / Sábado = 13 graus / Domingo = 8 graus. b) Quarta-feira. c) Quinta-feira e sexta-feira. d) Domingo. Exercício 41 a) 15 – (8 – 7) + (9 – 4) = 15 – 1 + 5 = 19 b) 12 – {– 3 + [1 + (+ 2 – 9) – 8] + 5} = 12 – {– 3 + [1 – 7 – 8] + 5} = 12 – {– 3 + [– 14] + 5} = 12 – {– 3 –14 + 5} = 12 – {– 12} = 12 + 12 = 24 Exercício 42 (12 – 8) + (16 – 10) + (16 – 12) + (17 – 11) + (18 – 9) = 4 + 6 + 4 + 6 + 9 = 29 Exercício 43 a) + b) –
92 c) + d) – e) + f) + g) – h) – i) + j) + k) – l) + m) + n) – Exercício 44 a) 56 b) 56 c) – 56 d) – 56 e) – 5 f) 16 g) 24 h) – 45 i) – 32 j) – 81 k) – 42 l) 0 Exercício 45 ( . ) – 10 – 8 – 6 – 4 – 2 0 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 4 – 40 – 32 – 24 – 16 – 8 0 4 + 12 20 28 + 36 + 5 – 50 – 40 – 30 – 20 – 10 0 5 15 25 + 35 45 + 6 – 60 – 48 – 36 – 24 – 12 0 6 18 30 42 54 + 7 – 70 – 56 – 42 – 28 – 14 0 7 21 35 49 63 + 8 – 80 – 64 – 48 – 32 – 16 0 8 24 + 40 56 72 + 9 – 90 – 72 – 54 – 36 – 18 0 9 27 45 63 81 + 10 – 100 – 80 – 60 – 40 – 20 0 + 10 30 50 70 90
93 Exercício 46 a) – 15 d) 5 g) 6 b) – 4 e) 90 h) 0 c) – 20 f) 71 i) 0 Exercício 47 a) – 1 d) – 12 g) 60 b) 8 e) 11 h) – 27 c) 20 f) – 37 i) 37 Exercício 48 a) ( 6 ) . ( 6 ) = 36 d) ( – 6 ) . ( – 6 ) = 36 b) ( 6 ) . ( – 6 ) = – 36 e) ( – 12 ) . ( – 6 ) = 72 c) ( – 6) . ( 6) = – 36 f) ( – 12 ) . ( 6 ) = – 72 Exercício 49 a) – 20 b) – 54 c) – 40 – 126 = – 166 d) – 48 e) – 128 f) 7 Exercício 50 – 5, – 15, – 45, – 135, – 405. Exercício 51 – R$ 100,00 Exercício 52 (– 10 e 5) Exercício 53 a) 3 b) 8
94 c) 3 d) 6 e) 9 f) – 54 g) 2 h) 4 i) – 5 j) – 1 k) – 9 l) – 2 Exercício 54 1º número 2º número 3º número Soma Produto – 7 – 3 – 5 – 15 – 105 – 6 – 2 – 4 – 12 – 48 – 5 + 3 + 2 0 – 30 – 4 – 5 – 3 – 12 – 60 – 3 + 4 – 5 – 4 60 – 2 – 1 + 5 2 10 – 1 – 2 + 5 2 10 0 – 1 – 2 – 3 2 + 1 + 5 + 4 10 20 + 2 + 3 + 5 + 10 + 30 + 3 + 4 – 4 3 – 48 + 4 + 3 – 4 3 – 16 + 5 – 1 + 3 7 – 15 + 6 + 2 – 2 6 – 24 + 7 – 5 + 2 4 – 70 Exercício 55 a) ( – 16 ) : ( – 2 ) = ( g ) – 6 b) ( + 28 ) : ( – 4 ) = ( c ) – 20 c) ( – 40 ) : ( + 2 ) = ( b ) – 7 d) ( + 24 ) : ( + 4 ) = ( h ) + 18 e) ( + 45 ) : ( – 5 ) = ( d ) + 6 f) ( – 27 ) : ( – 3 ) = ( e ) – 9 g) ( – 42 ) : ( + 7 ) = ( f ) + 9 h) ( – 36 ) : ( – 2 ) = ( a ) + 8
95 Exercício 56 a) 15 b) – 25 c) 20 d) – 20 e) 20 f) – 20 g) – 9 h) 9 i) 9 j) – 20 Exercício 57 (8) Exercício 58 (6) Exercício 59 Não. São frações. – 100 + 80 – 60 + 48 0 ( : ) + 24 – 36 + 42 + 64 – 72 50 – 40 30 – 24 0 – 2 – 12 18 – 21 – 32 36 25 – 20 15 – 12 0 – 4 – 6 9 – 16 – 10 8 0 + 6 4 – 6 7 – 12 – 10 – 6 0 – 8 – 3 Erro – 8 9 – 50 40 – 30 24 0 + 2 12 – 18 21 + 42 – 36 – 25 20 – 15 12 0 + 4 6 – 9 16 + 10 – 8 0 – 6 – 4 9 – 7 12 10 6 0 + 8 3 Erro 8 – 9 Exercício 60 a) R$ 25,00 b) R$ 6,00 c) R$ 50,00 d) R$ 2,00
96 e) R$ 4,00 f) R$ 6,00 g) R$ 25,00 Exercício 61 a D I V I S O R b Q U O C I E N T E c D Í V I D A d D I V I D E N D O e I N T E I R O S f M U L T I P L I C A Ç Ã O g Z E R O Exercício 62 9 Exercício 63 a) 9,3 b) – 2,6 c) Terça e quinta (–3) d) Quinta 11 graus Exercício 64 x y z x . y x . z y . z x : y x : z (x . y) : z (x . z) : y (y . z) : x + 6 – 3 + 2 – 18 + 12 – 6 + 2 + 3 – 9 (+ 12) : (– 3) = – 4 – 1 – 6 + 3 + 2 – 18 – 12 + 6 – 2 – 3 – 9 – 4 (+6) : (– 6) = – 1 + 6 – 3 – 2 – 18 – 12 + 6 – 2 – 3 (– 18) : (– 2) = + 9 + 4 + 1 – 6 + 3 – 2 – 18 + 12 – 6 + 2 + 3 + 9 + 4 + 1 Exercício 65 a) b) c) Exercício 66 a) 0,4 b) 0,5 c) 0,5 d) 0,75
97 Exercício 67 a) 3/10 b) 2/5 c) 1/2 d) 21/50 e) 53/100 f) 3/4 g) 25/4 h) 224/100 = 112/50 = 56/25 i) 0,625 = 625/1.000 = 5/8 Exercício 68 1/2 = 0,5 Exercício 69 1/4 + 2/5 + 3/4 = 28/20 = 14/10 Exercício 70 a) b) c) Exercício 71 3/4 e 3/4 Exercício 72 a) 6/35 b) 12/45 c) – 11/24 d) 1/7 Exercício 73 a) 9,2 b) 4,05 c) 14,7654 d) 17,09848 Exercício 74 ( . ) 2,3 1,32 3,421 4,1231 1,1 2,53 1,452 3,7631 4,53541 2,21 5,083 2,9172 7,56041 9,112051
98 3,32 7,636 4,3824 11,35772 13,688692 4,012 9,2276 5,29584 13,725052 16,5418772 Exercício 75 a) – 32/21 b) 63/10 c) 45/28 d) 1/12 Exercício 76 ( : ) – 3 – 2 – 1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 2 – 0,6 – 1 – 2 Não pode! + 2 + 1 0,6 0,5 = 0,4 – 2 + 0,6 + 1 + 2 Não pode! – 2 – 1 – 0,6 = – 0,5 – 0,4 Unidade 2 Exercício 1 Linguagem Comum Linguagem Matemática O dobro de um número é igual a oito. 2x = 8 O triplo de um número é igual a vinte e quatro. 3x = 24 O triplo de um número mais três unidades é igual a dezoito. 3x + 3 = 18 O triplo de um número é igual a 48. 3x = 48 Cinquenta por cento de um número. #2 22 x ou de x Exercício 2 x = 34 Exercício 3 x = 16 Exercício 4 x = 18 Exercício 5 x = 18
99 Exercício 6 x = 22 Exercício 7 x = 28 Exercício 8 x = 12 Exercício 9 a) x = 8 b) x = 36 c) x = 10 d) x = 14 e) x = 20 f) x = 30 Exercício 10 a) x = 18 b) x = 21 c) x = 20 d) x = 15 e) x = – 12 Exercício 11 a) x = 5/3 b) x = 23/6 c) x = 9 d) x = 9 e) x = 13/6 f) x = 8/21 Exercício 12 x = 70 Exercício 13 x = 7,5 Resposta: 7 anos e meio ou 7 anos e seis meses. Exercício 14 x = 6 Resposta: Cada jaca pesa 6kg. Exercício 15 x = 60 Resposta: O número é 60 e seu sucessor 61. Exercício 16 x = 18 Resposta: Os números são 18, 19 e 20.
100 Exercício 17 x = 19 Resposta: 19 vagas para motos e 95 vagas para carros. 5 x 19 = 95 Exercício 18 a), b), d), e), j) -> (E) c), f), g), h), i), k), l) -> (I) Unidade 3 Exercício 1 a) 6/11 b) 1/5 c) 5/9 d) 4/5 e) 19/6 f) 3/7 Exercício 2 a) 9/12 = 3/4 b) 3/12 = 1/4 Exercício 3 1, 70/1, 10 = 1, 7/1, 1= 17/11. Exercício 4 a) 1/12 b) 1/7 c) 6/30 = 1/5 d) 5/12 e) 50/420 = 5/42 Exercício 5 a) 150/200 = 15/20 = 3/4 b) 200/150 = 4/3 c) 150/50 = 3 d) 50/150 = 1/3 Exercício 6 a) 4 m x 3,6 m b) 4 m x 4,8 m c) 2,8 m x 2,8 m d) 2 m x 1,2 m Exercício 7 a) x = 7 b) x = 1 c) x = 3 d) x = 8 Exercício 8 x = 64
101 Exercício 9 x = 500 min Resposta: 8h e 20 min. Exercício 10 x = 4 Resposta: 4h. Exercício 11 x = 8 Resposta: 8 latas. Exercício 12 x = 210 Resposta: 210 m2 Unidade 4 Exercício 1 EXPRESSÃO COMO SE LÊ SIGNIFICADO 40% são crianças. 40 por cento são crianças. Em cada 100 pessoas, 40 são crianças. 23% não votaram. 23 por cento não votaram. Em cada 100 eleitores, 23 não votaram. 72% tiveram desconto. 72 por cento tiveram desconto. Em cada 100 consumidores, 72 tiveram desconto. 55% são estudantes. 55 por cento são estudantes. Em cada 100 pessoas, 55 são estudantes. 18% são professores. 18 por cento são professores. Em cada 100 profissionais, 18 são professores. 27% são médicos. 27 por cento são médicos. Em cada 100 profissionais, 27 são médicos. 44% cursam o 7º ano. 44 por cento cursam o 7º ano. Em cada 100 alunos, 44 cursam o 7º ano. 61% receberam o pagamento. 61 por cento receberam o pagamento. Em cada 100 funcionários, 61 receberam o pagamento. 36% pagam aluguel. 36 por cento pagam aluguel. Em cada 100 pessoas, 36 pagam aluguel. Exercício 2 a) 2% b) 5% c) 10% d) 30% e) 50% f) 70% g) 100% Exercício 3 a) 5/100 b) 15/100 c) 25/100 d) 95/100 e) 60/100 Exercício 4 a) 36/100 = 36% b) 60/100 = 60% c) 36/100 = 36%
102 Exercício 5 a) 1/10 b) 1/5 c) 3/10 d) 2/5 e) 1/2 f) 3/4 g) 83/100 h) 19/20 Exercício 6 a) 50% b) 25% c) 80% d) 8% e) 18% f) 18% Exercício 7 a) 91,8 b) 360 c) 67,5 d) 1.296 Exercício 8 180 alunos. Exercício 9 8 alunos. Exercício 10 72 reais. / 48 reais. Exercício 11 a) 25% b) 50% c) 5% d) 3% e) 2% f) 15% Exercício 12 R$ 9,00. Exercício 13 R$ 160,00. Exercício 14 a) 24/32 = 75% b) 8/32 = 25% Exercício 15 R$ 32,00.
103 Exercício 16 R$ 20,00. Exercício 17 35% Exercício 18 96 km Exercício 19 R$ 42,00. Exercício 20 a) 6 b) 12 c) 14 d) 18 e) 23 f) 27 Exercício 21 Sofá por R$ 630,00 e fogão por R$ 210,00. Unidade 5 Exercício 1 a) 4 m b) 167,4 m c) 16 m d) 16 m e) 25 m Resposta: As figuras (c) e (d) possuem perímetros iguais. Exercício 2 a) 24 m b) 9,2 m c) 18 m d) 28,4 m e) 60 m Exercício 3 a) 17,4 cm b) 80 m c) 68 cm Exercício 4 a) 16 cm b) 28 cm c) 8 m d) 40 cm e) 48 cm Exercício 5 a) 12 m b) 8 m c) 12 cm d) 24 m e) 39 cm
104 Exercício 6 x = 25 Resposta: 25 e 33. Exercício 7 x = 33 cm Exercício 8 a) 28 b) 42 c) 38 d) 36 unidades de área. Exercício 9 600 m2 Exercício 10 395,2 cm2 Exercício 11 a) 1.642,22 m2 b) 2.440 m2 Exercício 12 400 m2 Exercício 13 470,89 m2 Exercício 14 a) 1.225 m2 b) 1.806,25 m2 Exercício 15 6,36 m2 Exercício 16 16 m2
105 Exercício 17 a) 225 m2 b) 100 m2 Exercício 18 (→) Área = 99 cm2 . GABARITO DA AVALIAÇÃO 1) – 4, – 1, 2 e 5. 2) Débito de R$ 15,00. 3) Média = 15. 4) R$ 65,00. 5) – R$ 15,00. 6) R$ 12,00. 7) 3/5 para a minha família e 2/5 para a família da minha tia. 8) x = 18. 9) 8 kg. 10) 8/12 = 2/3. 11) 48 cm de comprimento. 12) 16 latas. 13) R$ 450,00. 14) O desconto será de R$ 63,00. A calça com desconto vai custar R$ 27,00. 15) Largura de 29 cm e comprimento de 37 cm. 16) 240 m2 . 17) 484 m2 . 18) 30 m2 . 19) 2,7. 20) 35/100 = 7/20.
106 BIBLIOGRAFIA ANDRINI, Álvaro; VASCONCELOS, Maria José. Praticando matemática. 7º ano. 3. ed. São Paulo: Editora do Brasil, 2012. BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. 7º ano. 7. ed. São Paulo: Moderna, 2011. CARVALHO, Alexandre Luís Trovon de; REIS, Lourisnei Fortes. Matemática inter@tiva. 6ª série. Tatuí, SP: Casa Publicadora Brasileira, 2001. CENTURIÓN, Marília. JAKUBOVIC, José. Matemática: teoria e contexto. 7º ano. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 2012. DANTE, Luiz Roberto. Projeto Teláris: Matemática. 7º ano. 1. ed. São Paulo: Ática, 2012. FUNDAÇÃO. CECIERJ. Nova Eja – Educação de Jovens e Adultos: Matemática. módulo 1 – unidade 7. Governo do Estado do Rio de Janeiro, 2011. GOVERNO. do Estado de São Paulo. Coleção Tempo de Aprender. EJA, 7º ano. vol. 2. 2. ed. – São Paulo: IBEP, 2009. GOVERNO. do Estado de São Paulo. Mundo em construção: Educação de Jovens e Adultos – 2º segmento do Ensino Fundamental, vol. 3. 1. ed. São Paulo: Global - Ação Educativa, 2009. NAME, Miguel Asis. Tempo de matemática. 6ª série. São Paulo: Editora do Brasil, 1996. NETTO, Scipione Di Pierro. Matemática: conceitos e histórias. 6ª série. 1. ed. São Paulo: Scipione, 1998. PREFEITURA. da Cidade do Rio de Janeiro. Caderno de Revisão do Aluno – Matemática. 8º ano. Coordenadoria de Educação – Rio de Janeiro, 2011. Consulta virtual Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 23/07/2013.

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MATEMÁTICA CADERNO - CONJUNTO DOS INTEIROS.pdf

  • 1.
    1 PROGRAMA DE CONSOLIDAÇÃODAS APRENDIZAGENS CADERNO PEDAGÓGICO COMPLEMENTAR MATEMÁTICA ENSINO FUNDAMENTAL REGULAR 7º ANO Escola:__________________________________ Aluno(a): ________________________________ Turma: __________________________________
  • 2.
    2 Prefeito de Niterói RodrigoNeves Vice-prefeito Axel Grael Secretário Municipal de Educação, Ciência e Tecnologia Waldeck Carneiro Presidente da Fundação Municipal de Educação de Niterói José Henrique Antunes Subsecretária Municipal de Educação Flávia Monteiro de Barros Araújo Diretora do Ensino Fundamental Viviane Merlim Moraes Coordenação de 3º e 4º ciclos Maria Cristina Rezende de Campos Coordenação de Matemática Nice Castro de Oliveira Professor(a) Produtor(a) do Caderno Pedagógico Complementar Christiane de Campos Costa Equipe de Revisão Linguística Aline Javarini Cristina Ferreira Gonçalves Padilha Marizeth Faria dos Santos Ilustração Bruna Lemos Motta 2013
  • 3.
    3 SUMÁRIO Unidade 1 –Números Inteiros – Conjunto Ζ Ζ Ζ Ζ .................................................................................. 4 Significado e representação Esboço de reta numérica Ordenação e comparação de números inteiros Realização das quatro operações elementares Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados Conjunto dos Números Racionais Unidade 2 – Equação do 1º Grau................................................................................................... 42 Resolução de equações do 1º grau Identificação da raiz de uma equação do 1º grau Inequação do 1º grau Unidade 3 – Razões e Proporções.................................................................................................. 54 Análise de razões e proporções Identificação de grandezas diretamente proporcionais Identificação de grandezas inversamente proporcionais Unidade 4 – Porcentagem............................................................................................................. 60 Reconhecimento de porcentagem como representação de uma fração decimal Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados Unidade 5 – Área e Perímetro....................................................................................................... 69 Cálculo de área e perímetro dos seguintes polígonos: quadrado, retângulo e losango Avaliação...................................................................................................................................... 80 Gabaritos...................................................................................................................................... 84 Gabarito das atividades Gabarito da avaliação Bibliografia.................................................................................................................................. 106
  • 4.
    4 Caro(a) aluno(a), nestaUnidade vamos estudar o conjunto dos números inteiros, especificamente as operações matemáticas, a fim de reconhecer a necessidade de ampliação do conjunto dos números naturais, a partir de problemas do cotidiano. Vamos aprender a ordenar os números inteiros na reta numérica e também lidar com atividades bancárias, dentre outras, que envolvem as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão desses números. Além disso, veremos problemas que envolvem a média aritmética de um conjunto de números, em diversas situações comuns da vida prática, inclusive apresentadas graficamente. Ao término deste estudo, esperamos que você seja capaz de efetuar cálculos com números inteiros, envolvendo as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, bem como identificar a localização de números inteiros na reta numérica.
  • 5.
    5 Unidade 1 –NÚMEROS INTEIROS – CONJUNTO Ζ Ζ Ζ Ζ Significado e Representação CURIOSIDADE: Você sabe por que esse conjunto começa com a letra Ζ? É porque a palavra número, em alemão, é Zahlen e também começa com Z! Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_inteiro>. Acesso em: 30/07/2013. Ζ é formado por infinitos números negativos, pelo zero e por infinitos números positivos. Ζ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...} Observe que o conjunto Z* não possui o zero. Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5,...} SE LIGA NESSA! Os números negativos podem ser usados em: • Saldos bancários; • Temperaturas; • Saldos de gols nas tabelas esportivas; • Profundidade do nível do mar etc. CURIOSIDADE: O Meridiano de Greenwich é o meridiano que passa sobre a localidade de Greenwich, um território a sudeste de Londres que, por convenção, divide o globo terrestre em ocidente e oriente, permitindo medir a longitude. Por definição, a longitude do Meridiano de Greenwich é 00 (zero grau). Exemplo 1: Na figura abaixo temos um planisfério. Observe que estão marcados os fusos horários. A origem escolhida é o meridiano de Greenwich, no centro da figura, onde está localizado o zero. Os locais situados a Leste (direita da figura) têm valores positivos e os locais situados a Oeste (esquerda da figura) têm valores negativos. Oi, Amanda! Você conhece os números negativos? Claro! Eles fazem parte do Conjunto dos Números Inteiros e é denotado por Ζ. Mas onde encontramos os números negativos?
  • 6.
    6 Quer saber mais?Visite o site: http://pt.wikipedia.org FONTE: Caderno de Revisão de Matemática 2011 – Prefeitura do Rio de Janeiro. Exemplo2: Quando tratamos de temperaturas representadas por números positivos, identificamos que são temperaturas acima de 00 e quando representadas por números negativos, identificamos que são temperaturas abaixo de 00 . GLOSSÁRIO Meridiano: é uma linha norte-sul entre o Polo Norte e o Polo Sul. Longitude: descreve a localização de um lugar na Terra medido em graus, de zero a 180 para leste ou para oeste, a partir do Meridiano de Greenwich. Grau (símbolo: °): é uma medida dos ângulos planos que corresponde a 1/360 de uma circunferência. Cada grau pode ser dividido em minutos, que equivalem a 1/60 do grau e segundos, equivalentes a 1/60 do minuto. Planisfério: é a representação do globo terrestre no papel, porém, em forma plana, embora sua cópia mais fiel seja no próprio globo, pelo fato do planeta ser esférico. Também é conhecido como mapa- múndi. Fuso horário: cada uma das vinte e quatro áreas em que se divide a Terra, seguindo a mesma definição de tempo. (Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 11/07/2013) 370 C acima de zero, significa + 370 C. Que calor! 40 C abaixo de zero, significa – 40 C. Imagina o frio!
  • 7.
    7 Exemplo 3: Emextratos bancários, os créditos são representados por números positivos e os débitos, por números negativos. EXERCÍCIOS 1) Represente com números inteiros, as situações abaixo: Exemplo: 50 C acima de zero. (+ 50 C) / 70 C abaixo de zero. (– 70 C) a) 90 C abaixo de zero. ................ b) 30 C acima de zero. ................. c) 150 C acima de zero. ................ d) 100 C abaixo de zero. .............. 2) Represente com números inteiros, as situações abaixo: a) Crédito de R$ 300,00. .................... b) Débito de R$ 45,00. .................... c) Prejuízo de R$ 90,00. .................... d) Depósito de R$ 70,00. .................... e) Retirada de R$ 150,00. .................... f) Nem ganho nem perda. .................... g) Ganho de R$ 120,00. .................... h) Perda de R$ 55,00. .................... i) Lucro de R$ 48,00. .................... 3) Marque ao lado do termômetro as temperaturas registradas nas cidades, de acordo com a tabela. A cidade do Rio de Janeiro já está marcada, faça o mesmo com as outras: Rio de Janeiro 320 C São Paulo 220 C Curitiba 40 C Nova York – 60 C Paris – 40 C Responda: a) Em quais cidades as temperaturas estão abaixo de zero? ___________________________________________________________________________. Crédito de 36 reais: significa que recebi 36 reais em minha conta. + R$ 36,00 Débito de 60 reais: significa que 60 reais foram descontados de minha conta. – R$ 60,00 Crédito, depósito, ganho e lucro representamos com números positivos; mas débito, prejuízo, perda e retirada, representamos com números negativos.
  • 8.
    8 b) Que cidadeapresentou a temperatura mais alta? ___________________________________________________________________________. c) Que cidade apresentou a temperatura mais baixa? ___________________________________________________________________________. GLOSSÁRIO Débito: quantia que se deve. Crédito: quantia que se tem a receber. Esboço de Reta Numérica Podemos representar o conjunto Ζ construindo uma reta numerada, considerando o número zero como origem e o número 1 à direita do zero, tomando a unidade de medida entre os números, como a distância entre 0 e 1. EXERCÍCIOS 4) Complete a reta numerada, com os números que estão faltando: a) b) c) 5) Na reta numerada, alguns pontos estão representados por letras. Escreva abaixo o valor de cada letra. A = ........... B = ........... C = ........... D = ........... A ordem a que os números inteiros obedecem é crescente, da esquerda para a direita.
  • 9.
    9 Ordenação e Comparaçãode Números Inteiros O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente a sua direita na reta, em Z, e o antecessor de um número inteiro é o que está imediatamente a sua esquerda na reta, em Z. • + 5 é sucessor de +4, pois +5 está à direita de +4. (+5 > +4) • +1 é sucessor de 0, pois +1 está à direita de 0. (+1 > 0) • – 3 é sucessor de – 4, pois está à direita de – 4. (– 3 > – 4) • +3 é antecessor de +4, pois +3 está à esquerda de +4. (+3 < +4) • 0 é antecessor de +1, pois 0 está à esquerda de +1. (0 < +1) • – 5 é antecessor de – 4, pois está à esquerda de – 4. (– 5 < – 4) SE LIGA NESSA! Os números positivos podem ser apresentados com ou sem o sinal (+) e representam créditos ou valores ganhos. Os números negativos devem ser apresentados com o sinal (–) e representam dívidas, débitos ou descontos. Oi, eu sou Thaís! Você sabia que cada número inteiro, tem apenas um antecessor e um sucessor? < significa menor que. (3 < 4, três é menor que 4) > significa maior que. (8 > 3, oito é maior que 3) O vértice do sinal < fica virado para o número menor e sua abertura fica virada para o número maior.
  • 10.
    10 Podemos dizer que+3 = 3. Significa que temos 3 camisetas, por exemplo. Quando se trata de números negativos, somos obrigados a representar esses números precedidos do sinal (–), para indicar que esse valor se trata de uma dívida. Exemplo: É melhor dever 5 do que dever 8, então podemos dizer que – 5 > – 8 (– 5 é maior que – 8). EXERCÍCIOS 6) Observe a figura abaixo: O número – 4 tem como antecessor o número – 5 e como sucessor, o número – 3. Agora responda: a) Qual é o sucessor de + 5? ............... b) Qual é o sucessor de – 7? ............... c) Qual é o sucessor de 0? ............... d) Qual é o antecessor de + 5? ............. e) Qual é o antecessor de – 7? ............. c) Qual é o antecessor de 0? .............. 7) Qual é o maior número? a) – 15 ou + 15? ............... b) + 50 ou – 50? ............... c) + 14 ou – 20? ............... d) 0 ou – 10? ............... e) – 6 ou – 12? ............... 8) Responda qual situação é a melhor: a) Ter 10 (+ 10) ou dever 5 (– 5)? ........................................................................... b) Dever 6 (– 6) ou dever 20 (–20)? ........................................................................... c) Ter 8 (+ 8) ou não ter nada (0)? ........................................................................... d) Dever 7 (– 7) ou não ter nada (0)? ........................................................................... Quando tivermos dois números, um positivo e outro negativo, o maior é sempre o número positivo. Zero é maior que qualquer número negativo.
  • 11.
    11 Observe a reta: Exemplos: •– 3 é o oposto de + 3. (A distância de – 3 a 0 é 3). • + 2 é o simétrico de – 2. (A distância de + 2 a 0 é 2). • – 5 é o simétrico de + 5. (A distância de – 5 a 0 é 5). • O oposto de zero é o próprio zero. EXERCÍCIOS 9) Responda: a) O oposto de + 10 é .................. b) O oposto de – 25 é .................. c) O oposto de + 150 é .................... d) O oposto de – 1.300 é ................. 10) Complete: a) O oposto ou ..................................... de ( – 9 ) é o ( + 9 ). b) O simétrico ou............................. .... de (+ 15) é o ..................... c) O zero é o ............................... do próprio zero. d) O simétrico do zero é ................................................................. Oi, Lucas! Você sabia que todo número inteiro, exceto o zero, tem um elemento chamado oposto? Sim. São aqueles que na reta numerada possuem a mesma distância em relação ao zero. Também podemos chamá-los de simétricos. Ah! Então dizer que um número é o oposto do outro, é o mesmo que dizer que esse número é simétrico ao outro. Entendi.
  • 12.
    12 11) Escreva ooposto de cada situação abaixo: a) Crédito de R$ 35,00. ................................................................. b) Prejuízo de R$ 50,00. ................................................................. c) 50 C abaixo de zero. ................................................................. d) 30 metros acima do nível do mar. .................................................................... e) Lucro de R$ 20,00. .................................................................... f) Débito de R$ 45,00. .................................................................... Realização das quatro operações elementares Adição de Números Inteiros • Ganhei 2 canetas: (+2) • Ganhei mais 4 canetas: (+4) • Ganhei no total 6 canetas: (+2) + (+4) = + 6 • Perdi 2 canetas: (– 2) • Perdi mais 1 caneta (– 1) • Perdi no total 3 canetas: (– 3) EXERCÍCIOS 12) Imagine que cada parcela positiva é um valor em dinheiro que você está recebendo. Exemplo: (+5) + (+8) = + 13. (Significa que eu tinha 5 e recebi mais 8, então fiquei com 13) Responda: a) (+3) + (+7) = ...................... b) (+4) + (+9) = ...................... c) (+6) + (+12) + (+2) = ............................ d) (+1) + (+2) + (+3) + (+5) = ................... 13) Faça as operações bancárias e dê os resultados: Exemplo: Crédito de R$ 15,00 mais crédito de R$ 20,00 –> Resultado: R$ 35,00. Débito de R$ 10,00 mais débito de R$ 30,00 –> Resultado: – R$ 40,00. a) Crédito de R$ 25,00 mais crédito de R$ 10,00 –> Resultado: ............................................. Lembre-se de que a soma de dois números positivos é um número positivo. + 10 significa que tenho 10. E a soma de dois números negativos é sempre um número negativo. – 6 significa que devo 6.
  • 13.
    13 b) Débito deR$ 20,00 mais débito de R$ 50,00 –> Resultado: ............................................. c) Crédito de R$ 35,00 mais crédito de R$ 50,00 –> Resultado: ............................................ d) Débito de R$ 8,00 mais débito de R$ 33,00 –> Resultado: ............................................... e) Crédito de R$ 5,00 mais crédito de R$ 22,00 –> Resultado: ............................................. f) Débito de R$ 17,00 mais débito de R$ 55,00 –> Resultado: ............................................. O valor absoluto de um número inteiro é a distância desse número até o zero, na reta dos inteiros. Podemos chamar de valor absoluto ou módulo do número. • O valor absoluto ou módulo de +7 é 7 e podemos indicar assim |+ 7| = 7. • O valor absoluto ou módulo de – 12 é 12 e podemos indicar assim |– 12| = 12. • O valor absoluto ou módulo de 0 é 0 e podemos indicar assim |0| = 0. Foto: Caderno de Revisão – 2011. Prefeitura da Cidade do Rio de Janeiro. Adaptado. Entendi. Então o avião está a 300m acima do nível do mar e os peixes estão a 7m abaixo do nível do mar! E o que é valor absoluto? Eu esqueci! Agora vamos somar dois números com sinais diferentes. Neste caso, subtraímos seus valores absolutos e damos o sinal do número que tiver o maior valor absoluto. O menino que está acenando para o avião, está no nível do mar. Sim. Ele está no ponto zero! 7 e 300 são os valores absolutos dos números, os chamados módulos dos números.
  • 14.
    14 14) Imagine quecada parcela positiva é um valor em dinheiro que você está recebendo e cada parcela negativa é um valor que você gastou. Exemplo: (+5) + (– 8) = – 3. (Significa que eu tinha 5 e gastei 8, então, fiquei devendo 3) Responda: a) (+ 3) + (– 2) = ............................ b) (– 4) + (+10) = ........................... c) (+ 5) + (– 6) + (+ 3) = ................................. d) (– 2) + (+ 4) + (– 6) + (+ 4) = ...................... 15) O módulo de (+ 12) é ............... O módulo de (– 12) é ............... Por isso, dizemos que eles têm o mesmo valor absoluto. 16) Faça as operações bancárias e dê os resultados: Exemplo: Crédito de R$ 15,00 mais débito de R$ 20,00 –> Resultado: – R$ 5,00. a) Crédito de R$ 25,00 mais débito de R$ 15,00 –> Resultado: .......................... b) Crédito de R$ 7,00 mais débito de R$ 25,00 –> Resultado: ........................... c) Crédito de R$ 12,00 mais débito de R$ 30,00 –> Resultado: ......................... d) Débito de R$ 25,00 mais crédito de R$ 28,00 –> Resultado: ......................... e) Débito de R$ 35,00 mais crédito de R$ 40,00 –> Resultado: ......................... f) Débito de R$ 20,00 mais crédito de R$ 45,00 –> Resultado: .......................... Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados 17) João tinha R$ 1.650,00 em um banco e fez uma compra no débito de R$ 800,00. Qual o valor de seu saldo? O saldo é positivo ou negativo? 18) Um termômetro está marcando 320 C em Niterói – RJ. Se a temperatura cair 80 C, quantos graus marcará o termômetro? Com essa queda de temperatura, fará mais frio ou mais calor? 19) Complete a tabela de gols marcados e sofridos por cada time. EQUIPES GOLS MARCADOS GOLS SOFRIDOS SALDO DE GOLS BOTAFOGO + 20 – 15 FLAMENGO + 25 – 18 FLUMINENSE + 19 – 19 VASCO + 15 – 18 TOTAL Vamos resolver algumas situações do nosso dia-a-dia?
  • 15.
    15 20) D. Ângelatem R$ 500,00 em sua conta bancária e observou que foram feitas as seguintes operações em sua conta: Depósito de R$ 120,00; Saque de R$ 45,00; Saque de R$ 82,00; Saque de R$ 288,00. Qual o valor do saldo final de sua conta? ............................................................. O saldo é positivo ou negativo?............................................................................. 21) Em uma cidade do sudeste do Brasil, foram registradas as temperaturas nas datas indicadas abaixo. Observe a tabela e responda: Data Temperatura Máxima 15/07/2013 260 C 16/07/2013 210 C 17/07/2013 220 C 18/07/2013 260 C 19/07/2013 180 C 20/07/2013 200 C 21/07/2013 240 C 22/07/2013 270 C 23/07/2013 290 C a) Em que dia foi registrada a menor temperatura? ................................................................................ b) Em que dia foi registrada a maior temperatura? ................................................................................. c) Qual seria a sequência das temperaturas em ordem crescente?.......................................................... d) Em que data fez mais calor? ................................................................................................................. e) Em que data fez mais frio? ................................................................................................................... 22) Mateus e Jeferson estavam jogando e obtiveram os seguintes resultados: Mateus Jeferson 1ª partida Ganhou 200 pontos Perdeu 110 pontos 2ª partida Perdeu 345 pontos Ganhou 325 pontos 3ª partida Perdeu 205 pontos Ganhou 180 pontos 4ª partida Ganhou 535 pontos Perdeu 465 pontos Quando somamos números negativos, a ordem das parcelas não altera a soma. Veja que os pontos ganhos ou perdidos estão em cada uma das colunas.
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    16 A partir dosdados da tabela, responda: a) Qual é o número total de pontos de Jeferson, após as quatro partidas?............................................. b) Qual é o número total de pontos de Mateus, após as quatro partidas?............................................... c) De quem foi a vantagem final? Por quantos pontos de diferença?...................................................... 23) Observe no gráfico, a quantidade de pontos obtidos por cada jogador. Escreva os pontos obtidos por cada jogador na ordem crescente de pontos. 24) Escolha dois números da tabela abaixo: – 10 201 – 54 17 – 33 + 42 –75 + 40 – 65 + 10 a) cuja soma seja + 7. b) cuja soma seja – 33. c) cuja soma seja 0. d) cuja soma seja + 147. e) cuja soma seja – 58. -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 Amanda Lucas Gabriel Thaís Resultado do Jogo Lembre-se de que a ordem crescente é do menor número para o maior. Escolha dois números e vá somando até encontrar os resultados pedidos nas alternativas.
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    17 Subtração de NúmerosInteiros Exemplos: • (+ 10) – (+ 4) = (+ 10) + (– 4) = + 6 • (+ 5) – (– 3) = (+ 5) + (+ 3) = + 8 • (+ 2) – (+ 7) = (+ 2) + (– 7) = – 5 EXERCÍCIOS 25) Complete: a) O oposto de + 7 é ..........., isto é, – (+ 7) = .................. b) O simétrico de + 15 é .........., isto é, – (+ 15) = ........... c) O oposto de – 6 é ............., isto é, – (– 6) = ................... d) O simétrico de – 3 é .............., isto é, – (– 3) = .............. e) A diferença de dois números inteiros é igual à soma do primeiro com o .............................................. do segundo. 26) Elimine os parênteses: a) – (+ 2) = ............... (Significa menos um ganho de 2) b) – (+ 24) = ............. (Significa menos um ganho de 24) c) – (– 16) = ............. (Significa menos um prejuízo de 16) Para subtrairmos dois números, adicionamos ao primeiro o oposto do segundo. Veja que a subtração é a operação inversa da adição. Veja: O oposto de – 4 é + 4. E o oposto de + 4 é – 4. Quando aparecer o sinal negativo antes dos parênteses, podemos eliminar os parênteses e trocar o sinal do número. Por exemplo: – (+ 2) = – 2 e – (– 3) = + 3. O oposto de ganhar 7 é perder 7. O oposto de perder 6 é ganhar 6.
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    18 d) – (+23) = ............. (Significa menos um ganho de 23) e) – (– 37) = ............. (Significa menos um prejuízo de 37) f) – (– 45) = .............. (Significa menos um prejuízo de 45) 27) Complete: a) (– 4) + (+ 5) = – 4 + 5 = 1 Devo ............. e tenho 5, então tenho .............. b) (+ 13) + (– 13) = 13 – 13 = 0 Tenho .............. e devo ..............., então ................ 0 ou ................ c) (– 7) – (+ 3) = – 7 – 3 = – 10 Devo ................ e devo................, então devo............... d) (–14) – (– 18 ) = – 14 + 18 = 4 Devo................ e tenho ..............., então tenho ............. e) – 30 – (– 10) = – 30 + 10 = – 20 Devo ................. e tenho ..............., então devo ............. f) (– 2) + (– 3) = – 2 – 3 = – 5 Devo ................. e ................ 3, então devo .................... 28) Calcule as subtrações de acordo com o exemplo. Exemplo: 8 – (– 7) = 8 + 7 = 15 (Significa que tenho 8 menos um prejuízo de 7, então tenho 15) a) 5 – (– 3) = b) 6 – (+ 2) = c) 11 – (+ 11) = d) – 2 – (– 5) = e) –1 – (+ 3) = f) (+ 20) – (– 30) = g) (– 10) – (+ 13) = h) 45 – (+ 15) = i) 25 – (– 5) = j) 50 – (+ 16) – (– 6) = k) – 30 – (– 14) – (– 4) = Você vai precisar lembrar-se de duas coisas: 1) Aplicar as regrinhas que vimos sobre os números opostos; 2) Considerar os números negativos como dívidas ou prejuízos. Fique atento ao significado.
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    19 29) Calcule assubtrações de acordo com o exemplo. Exemplo: (– 10) – (– 4) + (– 2) – (– 3) = (Significa que devo 10, menos uma dívida de 4, gastei 2, menos uma dívida de 3) = – 10 + 4 – 2 + 3 = (Significa que devo 10, tenho 4, devo 2 e tenho 3) = – 10 – 2 + 4 + 3 = = – 12 + 7 = = – 5 (Significa que devo 5) a) (+ 6) + (– 1) + (– 5) + (– 3) = b) (– 10) – (– 2) – (+ 4) – (– 1) = c) (– 4) – (+ 2) – (– 1) + (– 5) = d) (+ 3) – (– 2) + (– 9) + (– 5) = e) (– 10) – (– 2) + (+ 4) – (+ 8) + (+ 1) = f) 20 + (– 7) + (+ 2) – (+ 4) – (– 1) + (– 5) = g) 15 – (– 2) + (– 3) – (– 3) – (– 8) + (– 5) + (– 2) = h) 50 + (+ 10) – (– 15) + (– 15) – (– 10) – (– 15) – (– 10) = Vamos juntar as dívidas e também o que tenho, para saber como fica a minha situação? Agora é a sua vez! Imagine que está fazendo operações financeiras. Quando iniciamos uma expressão com um número positivo, podemos não escrever o sinal (+) desse número.
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    20 SE LIGA NESSA! a)10 + (+ 3) = 10 + 3 = 13 b) 10 + (– 3) = 10 – 3 = 7 c) 10 – (+ 3) = 10 – 3 = 7 d) 10 – (– 3) = 10 + 3 = 13 Sinais de operações Sinais de números Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados Exemplos: • Um vendedor ganhou R$ 20,00 e teve uma dívida de R$ 6,00 perdoada. Quantos reais esse vendedor ganhou? Resposta: 20 – (– 6) = 20 + 6 = 26. O vendedor ganhou R$ 26,00. • Em Niterói, na quarta-feira, a temperatura era de 320 C e na quinta-feira, 250 C. Qual a queda ocorrida? Resposta: Esse problema se resolve calculando a temperatura final, menos a temperatura inicial, então 25 – 32 = – 7. Conclusão: A queda foi de 70 C. EXERCÍCIOS 30) Um vendedor ganhou R$ 30,00 e teve uma dívida de R$ 14,00 perdoada. Quantos reais esse vendedor ganhou? 31) Em Itaboraí, na sexta-feira, a temperatura era de 280 C e no sábado, 210 C. Qual a queda ocorrida? 32) D. Ester verificou que antes de faltar energia elétrica, a temperatura de seu freezer era de – 100 C. Depois de 6 horas sem energia, a temperatura subiu para 80 C. A que temperatura se encontrava o freezer, depois dessas 6 horas sem energia? + ( +) = + + ( – ) = – – ( + ) = – – ( – ) = + Vamos resolver algumas situações como essas?
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    21 33) Nesta pilhade números, cada número é a soma dos dois números abaixo dele. Qual é o número que está no lugar do símbolo @, no alto da pilha? 34) No futebol, o saldo de gols é muito utilizado em campeonatos, como critério de desempate entre dois times que apresentam o mesmo número de pontos. Ele é obtido pela diferença entre gols marcados e gols sofridos. TIME GOLS MARCADOS GOLS SOFRIDOS SALDO DE GOLS Flamengo 25 ........ 10 Vasco 12 17 ........ Fluminense ........ 7 – 1 Botafogo 11 ........ 0 De acordo com a tabela, responda: a) A diferença entre os gols marcados e gols sofridos é chamado ......................................................... b) A expressão que determina o saldo de gols do Flamengo é 25 – .......................... = .......................... c) Quantos gols o Flamengo sofreu?......................................................................................................... d) Qual é o saldo de gols do Vasco? ......................................................................................................... e) Quantos gols o Fluminense marcou?.................................................................................................... f) Quantos gols o Botafogo sofreu?........................................................................................................... 35) Leia o problema e escolha a alternativa que o demonstra. Felipe fez três vendas. Na primeira teve prejuízo de R$ 5,00, na segunda teve prejuízo de R$ 7,00, na terceira teve lucro de R$15,00 e na última teve lucro de R$ 8,00. Escolha a alternativa com a qual se pode calcular o saldo resultante desses quatro negócios: a) 5 –7 + 15 + 8 = = + 21 b) – 5 – 7 – 15 + 8= – 19 c) – 5 + (– 7)+ 15 + 8 = + 11 d) – 5 – (– 7) + 15 + 8 = 25 Some – 5 com 3 e obtenha o número de cima, e assim descubra os outros. Apenas uma alternativa demonstra essa situação!
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    22 36) Em umacidade dos Estados Unidos, a temperatura mais fria no inverno foi de – 70 C e a mais quente no verão foi de 320 C. Qual é a diferença entre a temperatura mais quente e a temperatura mais fria? 37) Quantos anos viveu uma pessoa que nasceu no ano 35 a.C. e morreu no ano 47 d.C.? 38) Escolha a alternativa que resolve o seguinte problema: O professor de Ciências fez uma experiência em que a temperatura foi medida três vezes. A segunda leitura foi de 8 graus a menos que a primeira, e a terceira foi de 10 graus a menos que a segunda. Se a primeira leitura indicou 7 graus, qual foi a última temperatura indicada? a) 7 graus b) 8 graus c) – 11 graus d) – 1 graus • Eliminando os Parênteses Sinal (+) antes dos parênteses Exemplos: a) + (– 4 + 6) = – 4 + 6 = 2 b) + (8 + 2 – 3) = 8 + 2 – 3 = 7 Sinal (–) antes dos parênteses Exemplos: a) – (12 – 4 + 2) = – 12 + 4 – 2 = – 10 b) – (– 11 + 1 – 5) = + 11 – 1 + 5 = 15 c) – (– 4 – 5) = 4 + 5 = 9 [Significa: o oposto de (– 4 – 5) é + 9] d) – (+ 7 + 3) = – 7 – 3 = – 10 [Significa: o oposto de (+ 7 + 3) é – 10] EXERCÍCIOS 39) Elimine os parênteses e dê o resultado: a) + (3 – 2) = b) + (– 5 + 8) = c) – (3 – 5 + 7) = Conserve os sinais dos números que estão dentro dos parênteses. Troque os sinais dos números que estão dentro dos parênteses.
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    23 d) + (9+ 6 – 10) = e) 8 + (– 3 – 3) = f) 25 – (– 4 – 5) = g) – 20 – (– 2 + 3) = h) 100 – (25 – 10 + 5) = i) 200 + (– 30 + 70 + 40 – 20) = j) 40 – (– 30 + 10) – (– 5 + 10 + 15) = k) 25 + (15 – 50) + (– 20 – 10) = • Expressões numéricas SE LIGA NESSA! Devemos respeitar a seguinte ordem, para resolvermos as expressões numéricas: 1º Parênteses ( ); 2º Colchetes [ ]; 3º Chaves { }. Exemplos: a) 8 + (+ 6 – 1) – (– 4 + 2 – 5) = = 8 + 6 – 1 + 4 – 2 + 5 = = 23 – 3 = = 20 b) 35 + [– 4 + 1 – (– 3 + 6) ]= = 35 + [– 4 + 1 + 3 – 6 ]= = 35 – 4 + 1 + 3 – 6= = 39 – 10= = 29 c) –15 + {+ 3 – [ 2 – (– 7 + 10)]} = = –15 + {+ 3 – [2 + 7 – 10]} = = –15 + {+ 3 – 2 – 7 + 10} = = –15 + 3 – 2 – 7 + 10 = = – 24 + 13 = – 11 Veja que existe um sinal (+) positivo e outro negativo (–) antes dos parênteses! Ah, quando o sinal é positivo (+), não trocamos os sinais dos números que estão nos parênteses, mas quando o sinal é negativo (–), trocamos todos os sinais dos números que estão nos parênteses! Lucas, essa regra vale para os parênteses, colchetes e chaves.
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    24 EXERCÍCIOS 40) Observe afigura: A cidade de Gramado está localizada no Rio Grande do Sul, região sul do Brasil. Considerando a tabela ao lado, que mostra a temperatura em julho de 2013, responda às questões que seguem. a) A diferença entre a temperatura máxima e a mínima de cada dia é: Quarta-feira = ................ Quinta-feira = .................. Sexta-feira =................... Sábado = ......................... Domingo = ....................... b) Qual o dia em que fez mais frio? ............................................................................................ c) Qual dia apresentou maior diferença de temperatura? ............................................................................................ d) Qual dia apresentou menor diferença de temperatura? ........................................................................................... (Disponível em: <http://www.climatempo.com.br/previsao-do-tempo/cidade/780/gramado-rs>. Acesso em: 19/07/2013) 41) Resolva as seguintes expressões numéricas: a) 15 – (8 – 7) + (9 – 4) = b) 12 – { – 3 + [1 + (+ 2 – 9) – 8] + 5} = 42) Calcule a soma das diferenças entre a temperatura máxima e a temperatura mínima de cada dia na cidade de Petrópolis, no Rio de Janeiro, em 2013, nos dias mostrados na figura a seguir:
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    25 (Disponível em: <http://www.climatempo.com.br/previsao-do-tempo/cidade/317/petropolis-rj>.Acesso em: 19/07/2013) Multiplicação de Números Inteiros a) (+ 4) . (+ 8) = 4.(+ 8) = (+ 8) + (+ 8) + (+ 8) + (+ 8) = + 32 b) (+ 4) . (– 8) = 4.(– 8) = (– 8) + (– 8) + (– 8) + (– 8) = – 32 c) (– 4) . (+ 8) = – (+ 4) . (+ 8) = – (+ 32) = – 32 d) (– 4) . (– 8) = – (+ 4) . (– 8) = – (– 32) = + 32 SE LIGA NESSA! Regras de sinais para a multiplicação: (Número positivo) . (Número positivo) = Número positivo (Número negativo) . (Número negativo) = Número positivo (Número positivo) . (Número negativo) = Número negativo (Número negativo) . (Número positivo) = Número negativo A multiplicação é uma soma de parcelas iguais. Imagine que sua mãe fez uma compra e vai pagar 6 prestações de R$ 20,00. Quanto ela pagará no total? Lembre-se de que é uma dívida de 20 reais, durante 6 meses. (+ 6) . (– 20) = 6.(– 20) =(– 20) + (– 20) + (– 20) + (– 20) + (– 20) + (– 20)= – 120 Ela pagará R$120,00. Para resolver esta questão, siga este esquema: (temperatura máxima – temperatura mínima de quarta) + (temperatura máxima – temperatura mínima de quinta) + ... Vai somando até domingo.
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    26 EXERCÍCIOS 43) Determine osinal do produto: a) ( + ) . ( + ) = b) ( + ) . ( – ) = c) ( – ) . ( – ) = d) ( – ) . ( + ) = e) ( + ) . ( + ) . ( + ) = f) ( + ) . ( – ) . ( – ) = g) ( – ) . ( + ) . ( + ) = h) ( – ) . ( – ) . ( – ) = i) ( – ) . ( + ) . ( – ) . ( + ) = j) ( – ) . ( – ) . ( – ) . ( – ) = k) ( – ) . ( – ) . ( – ) . ( + ) . ( + ) = l) ( – ) . ( – ) . ( – ) . ( – ) . ( – ) = m) ( – ) . ( + ) . ( + ) . ( + ) . ( – ) = n) ( – ) . ( + ) . ( – ) . ( + ) . ( – ) = 44) Faça as multiplicações: a) (+ 7) . (+ 8) = g) (– 6) . (– 4) = b) (– 7) . (– 8) = h) (– 5) . (+ 9) = c) (+ 7) . (– 8) = i) (+ 4) . (– 8) = d) (– 7) . (+ 8) = j) (– 9) . (+ 9) = e) 5 . (– 1) = k) 7 . (– 6) = f) 2 . (+ 8) = l) (+ 2) . 0 = 45) Complete a tabela, realizando a multiplicação entre os números: ( . ) – 10 – 8 – 6 – 4 – 2 0 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 0 0 + 4 – 32 – 16 0 + 12 + 36 + 5 + 35 + 6 0 + 7 + 8 0 + 40 + 9 – 18 + 10 – 60 0 + 10
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    27 46) Calcule ovalor das expressões, conforme o exemplo. Exemplo: 60 – (+ 4) . (– 8) = = 60 – (– 32) = = 60 + 32 = = 92 a) 5 . 3 – 30 = b) 14 – 6 . 3 = c) 15 . 4 – 80 = d) – 50 + 11 . 5 = e) – 48 – 6 . 7 = f) 35 + (– 9) . (– 4) = g) 18 – (– 6) . (– 2) = h) (+ 8) . (– 8) + 64 = i) 54 + (– 6) . (+ 9) = • Podemos eliminar o sinal indicativo da operação de multiplicação (.), escrevendo os números dentro dos parênteses, um ao lado do outro, por exemplo: (– 9)(– 6) = 54. • Na multiplicação, se um dos fatores é representado por uma letra, podemos eliminar o sinal indicativo da operação. Exemplos: 7.x pode ser escrito assim: 7x / 8.a.b pode ser escrito assim: 8ab. 47) Calcule o valor da expressão, se x = 3, y= – 4 e z= – 5: a) x + y = d) x . y = g) xyz = b) x – z = e) 5x + y = h) xy + xz = c) y . z = f) 8y – z = i) – 3z + 4x – 2z = 48) Calcule o valor das expressões: a) (9 – 3) . (9 – 3) = d) (3 – 9) . (3 – 9) = b) (9 – 3) . (3 – 9) = e) (– 3 – 9) . (3 – 9) = c) (3 – 9) . (9 – 3) = f) (– 9 – 3) . (9 – 3) = Efetue primeiro as multiplicações, depois as adições e subtrações.
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    28 49) Complete asquestões abaixo: a) O dobro de – 10 é: ................................................................................................................................ b) O triplo de – 18 é: ................................................................................................................................. c) A soma do dobro de – 20, com o triplo de – 42 é: ................................................................................ d) O próximo número da sequência – 3, – 6,– 12, – 24, ... é: ................................................................... e) O quádruplo de – 32 é: ......................................................................................................................... f) Somando o dobro de – 16, com o triplo de 13, obtemos: ..................................................................... 50) Escreva uma sequência de cinco termos, sabendo que o primeiro termo é – 5 e cada termo é o triplo do anterior: .................................................................................................................................... 51) Lucas tem um saldo bancário de R$ 350,00. Ele emitiu três cheques, cada um de R$ 150,00. Qual é o novo saldo bancário do Lucas? .................................................................................................................................................................. 52) Quais são os dois números, cuja soma é – 5 e cujo produto é – 50? .................................................................................................................................................................. 53) Encontre o valor do número desconhecido ☺ ☺ ☺ ☺, nas seguintes multiplicações: a) ☺ . 7 = 21 b) 6 . ☺ = 48 c) 9 . ☺ = 27 d) ☺ . (– 4) = – 24 e) – 8 . ☺ = – 72 f) – 6 . 9 = ☺ g) (+ 5) . (– 2) . ☺ = – 40 h) (– 2) . ☺ . (+ 8) = – 64 i) (– 5) . (– 6) . ☺ . (– 2) = 300 j) (+ 1) . (+ 1) . (– 1) . ☺ = + 1 k) ☺ . ( – 1) . (– 2) = – 18 l) 3 . (– 15) . ☺ = + 90 54) Complete na tabela, a coluna da soma e a coluna do produto: Descubra qual o número que, se colocado no lugar de ☺, obteremos o resultado de cada questão. Calcule a soma dos três números de cada linha, para completar a coluna da soma e calcule o produto dos números de cada linha, para completar a coluna do produto.
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    29 1º número 2ºnúmero 3º número Soma Produto – 7 – 3 – 5 – 6 – 2 – 4 – 5 + 3 + 2 0 – 30 – 4 – 5 – 3 – 3 + 4 – 5 – 2 – 1 + 5 – 1 – 2 + 5 0 – 1 – 2 + 1 + 5 + 4 + 2 + 3 + 5 + 10 + 30 + 3 + 4 – 4 + 4 + 3 – 4 + 5 – 1 + 3 + 6 + 2 – 2 + 7 – 5 + 2 Divisão de Números Inteiros Vamos dividir! Exemplos: • ( + 30 ) : ( + 5 ) = ( + 6 ), porque ( + 5 ) . ( + 6 ) = + 30 • ( – 30 ) : ( – 5 ) = ( + 6 ), porque ( + 5 ) . ( – 6 ) = – 30 • ( + 30 ) : ( – 5 ) = ( – 6 ), porque ( – 5 ) . ( – 6 ) = + 30 • ( – 30 ) : ( + 5 ) = ( – 6 ), porque ( – 5 ) . ( + 6 ) = – 30 Regras: Exemplos: Número positivo: Número positivo = Número positivo (+ 35) : (+ 7 ) = + 5 Número negativo: Número negativo = Número positivo (– 48) : (– 8) = + 6 Número positivo: Número negativo = Número negativo (+ 63) : (– 9) = – 7 Número negativo: Número positivo = Número negativo (– 52) : (+13) = – 4 EXEMPLOS: a) (+ 36) : ( + 4) = + 9 b) (– 36) : ( – 4) = + 9 c) (+ 36) : ( – 4) = – 9 d) (– 36) : ( + 4) = – 9 Vocês sabiam que a divisão é a operação inversa da multiplicação? Sim. Para a divisão valem as mesmas regras de sinais da multiplicação em Ζ! Tenho R$ 30,00 para dividir entre 5 pessoas. Com quantos reais, cada pessoa ficará? Com R$ 6,00! Vamos dividir dois números e usar a regra de sinais para ver como fica!
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    30 SE LIGA NESSA! •Não é possível a divisão por zero ( – 7 ) : 0 • A divisão nem sempre é possível em Ζ 2 : 3 = ⅔ (⅔ ∉ Ζ) EXERCÍCIOS 55) Calcule as seguintes divisões e relacione as colunas: a) (– 16) : ( – 2) = ( ) – 6 b) (+ 28) : ( – 4) = ( ) – 20 c) ( – 40) : ( + 2) = ( ) – 7 d) (+ 24) : ( + 4) = ( ) + 18 e) (+ 45) : ( – 5) = ( ) + 6 f) (– 27) : ( – 3) = ( ) – 9 g) (– 42) : ( + 7) = ( ) + 9 h) (– 36) : ( – 2) = ( ) + 8 Exemplo: As figuras abaixo mostram a representação geométrica de algumas divisões. A oitava parte de 64 é A quarta parte de 64 é A quinta parte A oitava parte 8, porque 64 : 8 = 8. 16 porque, pois 64 : 4 = 16. de 40 é 8, porque de 40 é 5, pois 40 : 5 = 8. 40 : 8 = 5. Nesse exercício você só precisa dividir e aplicar a regra de sinais. Quando queremos a metade de um número, dividimos o número por 2. A terça parte, dividimos por 3. A quarta parte, dividimos por 4 e assim por diante! No exemplo acima, quando falamos em representação geométrica, queremos dizer que vamos representar em figuras.
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    31 56) Responda: a) Ametade de + 30 é ......................... b) A metade de – 50 é ......................... c) A terça parte de 60 é ...................... d) A quarta parte de – 80 é ................. e) A quinta parte de 100 é .................. f) A sexta parte de – 120 é ................. g) A sétima parte de – 63 é ................. h) A oitava parte de 72 é ..................... i) A nona parte de 81 é ....................... j) A décima parte de – 200 é ............... Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados 57) Dividiu-se 32 por um número inteiro, o resto da divisão é zero e o quociente é 4. Qual é o divisor? 58) Dividiu-se – 42 por um número inteiro menor que 7, o resto da divisão é zero e o quociente – 7. Qual é o divisor? 59) Complete a tabela usando a divisão: Algumas quadrículas estão pintadas de cinza, mostrando que não iremos fazer as contas desses locais. Os números que precisaríamos escrever nessas quadrículas, pertencem ao conjunto dos números inteiros?.......................... Por quê? ........................................................................................... – 100 + 80 – 60 + 48 0 ( : ) + 24 – 36 + 42 + 64 – 72 – 2 – 4 + 6 – 8 + 2 + 42 + 4 + 10 – 6 + 8 60) Em cada alternativa, responda qual o resultado da quantia em dinheiro, que deve ser dividida para o número de pessoas indicado no círculo: a) : para ⑩ = .................................................
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    32 b) : para⑳ = ........................... c) : para ⑧ = ................................................................... d) : para ⑦ = ........ e) : para ⑬ = ...................................................................................................... f) : para ⑧ = ........... g) : para ⑤ = ................................................................................... 61) Responda as perguntas e resolva a cruzadinha (horizontal): a) Na divisão 10: 5, o número 5 é chamado de ......................... b) Na divisão 12: 4 = 3, o número 3 é chamado de .................... c) Aos números inteiros negativos é atribuído o significado de.......... d) Na divisão 16: 8, o número 16 é chamado de ................................ e) Ζ é o símbolo do conjunto dos números ........................................ f) A operação inversa da divisão é a ................................................... g) O único número que não pode dividir nenhum outro é o ............... a D b I c V d I e S f à g O Média Aritmética Simples A média aritmética simples é muito utilizada no nosso dia-a-dia. É obtida, dividindo- se a soma das observações pelo número delas.
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    33 Exemplo: Tenho trêsprimas e suas idades são 12, 15 e 18. Quantos anos elas têm em média? Resposta: A média aritmética de suas idades é = 15. Elas têm 15 anos em média. 62) Durante alguns anos, tive um cachorro de estimação chamado Fox. Brincalhão, companheiro e particularmente lindo! Recentemente ele partiu. Fox tinha alguns cachorros amigos. Observe o gráfico abaixo e responda: qual é a média de idade dos cachorros? 63) Observe a figura que mostra o clima na cidade de Gramado – RS e calcule: a) A média aritmética simples das temperaturas máximas. b) A média aritmética simples das temperaturas mínimas. c) Que dia apresentou a temperatura mais baixa? d) Que dia apresentou a temperatura mais alta? (Disponível em: <http://www.climatempo.com.br/previsao-do-tempo/cidade/780/gramado-rs>. Acesso em: 22/07/2013) 64) Complete a tabela abaixo: x y z x . y x . z y . z x : y x : z (x . y) : z (x . z) : y (y . z) : x + 6 – 3 + 2 + 12 (+ 12): (–3) = – 4 – 6 + 3 + 2 + 6 (+6):(–6)= – 1 + 6 – 3 – 2 – 18 (–18):(–2)= + 9 – 6 + 3 – 2 8 10 12 10 5 IDADE DOS CACHORROS
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    34 Conjuntos dos NúmerosRacionais – Conjunto Q Exemplos: • Os números naturais podem ser escritos em forma de fração: 7 = ; • Os números inteiros podem ser escritos em forma de fração: – 3 = ; • Os números decimais podem ser escritos em forma de fração: 0,6 = = . Representação Geométrica Os números racionais positivos são representados à direita do zero e os números racionais negativos, à esquerda, representados por pontos de uma reta, assim como os inteiros. • O oposto de – é + . – = – 2,5 e |– 2,5|= 2,5. • O oposto de + é – . • O módulo de – é representado por: – e – = . • – = – 2,5 e |– 2,5|= 2,5. • = 0,5 e |0,5| = 0,5. Número racional é todo número que pode ser escrito em forma de fração. Assim, todo número natural, inteiro, fracionário ou decimal é um número racional. O módulo de um número é a distância dele até o zero. Imagine que uma barra de chocolate será dividida entre mim, Amanda e Gabriel. Ah! É só dividir a barra em 3 partes iguais!
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    35 Comparação dos NúmerosRacionais • – < – , porque – está à esquerda de – ; • > , porque, encontrando frações equivalentes às duas frações e que tenham o mesmo denominador: = e = , temos que > , então concluímos que > . Realização das quatro operações elementares Adição de Números Racionais Exemplo 1: + = + = = e = GLOSSÁRIO M.M.C.: Mínimo Múltiplo Comum. Exemplo 2: + = + = = – = – e = Cada um de nós receberá da barra de chocolate. Nós dividimos 1 por 3 e ficamos com . Então, 1 : 3 = . Quando somamos frações, precisamos reduzi-las ao mesmo denominador, usando o M.M.C. ou encontrando as frações equivalentes às frações que queremos somar. Veja os exemplos! Só podemos somar as frações se elas tiverem o mesmo denominador. Vamos recordar o M.M.C.? 3,5 3 1,5 5 1,1 3x5= 15 15:3=5 e esse 5 multiplica o 2, 5x2=10 15:5=3 e esse 3 multiplica o 3, 3x3=9. Só podemos somar as frações se elas tiverem o mesmo denominador. Vamos recordar o M.M.C.? 4,5 2 2,5 2 1,5 5 1,1 2x2x5=20 20:4=5 e esse 5 multiplica o 1, 5x1=5. 20:5=4 e esse 4 multiplica o 2, 4x2=8. Lembre-se de que: Fração =
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    36 Exemplo 3: Minhaprofessora levou 2 bolos para a escola e dividiu a turma em 5 grupos. Os dois bolos seriam divididos por 5. Resposta: Cada grupo recebe do bolo. Cada bolo é dividido em 5 partes iguais e cada grupo recebe 2 partes. Então, teremos 2:5 = = 0,4 para cada grupo. EXERCÍCIOS 65) Faça as adições como no exemplo: a) + = b) + = c) + = 66) Represente cada fração em número decimal: a) = b) = c) = d) = 67) Represente o número decimal em forma de fração. Siga os exemplos. a) 0,3 = b) 0,4 = c) 0,5 = d) 0,42 = : : = Vamos dividir 2 por 5. Não dá! Então, colocamos 0 no quociente e 0 no dividendo. Agora temos 20 para dividir por 5, que dá 4. E o resto é 0. O resultado de 2:5 = 0,4. Entendi. Cada bolo será divido em 5 partes iguais, aí teremos 10 pedaços dos dois bolos juntos, então cada grupo ficará com 2 partes. Para colocar um número decimal na forma de fração, fazemos assim: Ex.: 0,2 = . Neste exemplo, depois da vírgula só existe o 2, apenas um algarismo, ou seja, uma casa decimal, aí escrevemos o 2 no numerador da fração e uma potência de 10 com um zero no denominador, teremos então . Não se esqueça de encontrar as frações equivalentes com o mesmo denominador!
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    37 e) 0,53 = f)0,75 = g) 6,25 = : : = h) 2,24 = i) 0,625 = 68) Minha mãe pediu que eu fosse ao mercado comprar ! quilo de salsicha. Quando o funcionário do mercado colocou a salsicha na balança, apareceu no visor 0,5 kg. Fiquei em dúvida. Ele atendeu ou não ao meu pedido? Será que 0,5 é igual ou diferente de ! ? 69) Minha tia é manicure. Na terça-feira ela esqueceu, na casa de uma cliente, um frasco de removedor de esmalte com " do produto. Na quarta-feira ela esqueceu, novamente, um frasco com ! # do produto, na casa de uma segunda cliente. E na sexta-feira ela ganhou de uma terceira cliente, um frasco com $ " do produto. No sábado, as duas clientes levaram os frascos esquecidos pela minha tia. Juntando tudo o que sobrou nos frascos, mais os $ " que ela ganhou, qual foi a quantidade de removedor de esmaltes que ela ficou? Números decimais são numerais que indicam um número que não é inteiro. Geralmente, após o algarismo das unidades, usa-se uma vírgula, indicando que o algarismo a seguir pertence à ordem das décimas, ou casas decimais. (Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Casa_decimal >. Acesso em: 30/07/2013) Subtração de Números Racionais Exemplo4: – = – = + = – = = = e = Encontramos a diferença entre dois números racionais, somando o primeiro com o oposto do segundo. Lembre-se de que só podemos somar as frações, se elas tiverem o mesmo denominador.
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    38 EXERCÍCIOS 70) Faça assubtrações: a) – = b) – = c) – = 71) Minha irmã fez um bolo, dividiu o bolo em 4 partes iguais e separou uma das partes para o meu tio e sua família, que chegariam mais tarde. Qual a fração que representa a parte que ficaria para a minha família comer? E qual a parte que ficaria para o meu tio e sua família? Multiplicação de Números Racionais Exemplo 5: a) = + = b) = – = c) = – = – : : = – 72) Faça as seguintes multiplicações: a) = b) = Para multiplicarmos frações, fazemos assim: Não se esqueça de aplicar a regra de sinais da multiplicação em Ζ. EXERCÍCIOS
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    39 c) = d) = Exemplo6: a)3,4 3,2 = 3,4 3,2 6 8 + 102 10,88 73) Faça as multiplicações: a) 4 2,3 = b) 2,7 1,5 = c) 6,31 2,34 = d) 5,32 3,214 = 74) Complete a tabela: ( . ) 2,3 1,32 3,421 4,1231 1,1 2,21 3,32 4,012 16,5418772 Agora vamos multiplicar os números decimais. Vemos que 3,4 e 3,2 só têm uma casa decimal. Então multiplicamos os números sem as vírgulas. Para o resultado, contamos as duas casas decimais dos números 3,4 e 3,2 e colocamos a vírgula, de modo que o resultado tenha também duas casas decimais. Entendi. Você conta o número de casas decimais dos números que estão sendo multiplicados e o resultado terá o mesmo número de casas decimais. Ex.: 5,7 3,46 = 19,722 (3 casas decimais) Se eu quiser comprar 4 pacotes de um biscoito, que custa R$ 2,30 cada, quanto eu preciso ter em dinheiro? 4 2,3 = ? Faça as contas. 2,30 = 2,3 2 casas decimais. 1 casa decimal. 4 casas decimais.
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    40 Divisão de NúmerosRacionais Exemplo 7: a) : = = = b) : = = = 75) Faça as seguintes divisões: a) : = b) : = c) % & ' ( = : = = d) ) * + , = 1 8 : 3 2 = EXERCÍCIOS Na divisão de frações, não podemos ter o zero no denominador. Para dividir duas frações, multiplica-se a 1ª fração pelo inverso da 2ª. Observe que nos exercícios (c) e (d), temos duas frações sendo divididas como nos exemplos anteriores, somente a apresentação está diferente, em vez de dois pontos, usamos o traço da divisão, mas o cálculo se faz do mesmo jeito. Em cada multiplicação, conte o número de casas decimais dos dois números e no resultado posicione a vírgula, de modo que tenha o mesmo número da sua contagem!
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    41 Revendo o Exemplo3:Minha professora levou 2 bolos para a escola e dividiu a turma em 5 grupos. Os dois bolos seriam divididos por 5. 76) Complete a tabela, fazendo as seguintes divisões: ( : ) – 3 – 2 – 1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 2 Não pode! = 0,4 – 2 = – 0,5 Sabemos que para dividir 2 por 5, não dá. Então, colocamos 0 no quociente e 0 no dividendo. Assim, temos 20 para dividir por 5, que dá 4. E o resto é 0. O resultado de 2:5 = 0,4.
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    42 Caro(a) aluno(a), nestaUnidade vamos estudar as equações do 1º grau, veremos como identificar esta equação e os seus termos: primeiro e segundo membros. Também vamos representar simbolicamente sentenças matemáticas e resolver problemas cotidianos, utilizando os conceitos das equações do 1º grau, além de identificar as inequações do 1º grau. Ao término deste estudo, esperamos que você seja capaz de identificar uma equação ou inequação do 1º grau.
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    43 Unidade 2 –EQUAÇÃO DO 1º GRAU Resolução de equações do 1º grau Vamos escolher x para representar o número desconhecido. Número desconhecido: x O dobro do número desconhecido: 2x O dobro do número desconhecido somado com 9: 2x + 9 O dobro de um número desconhecido somado com 9 é igual a 37: 2x + 9 = 37 Para encontrar o valor de x, vamos desfazer a adição pela operação inversa, que é a subtração: 2x = 37 – 9 2x = 28 Agora, sabemos que o dobro do número é 28. Para encontrar x vamos desfazer a multiplicação pela operação inversa, que é a divisão: x = !1 ! = 14 Assim, descobrimos que o número desconhecido é 14. Verificando, temos: 2 14 = 28 e 28 + 9 = 37. Quero ver se você acerta essa: O triplo de um número é 18. Que número é esse? O número é 6, pois 3 6 = 18. Essa foi fácil! Quem responde essa? O dobro de um número somado com 9 é igual a 37. Qual é esse número? Agora você me pegou. Não sei resolver! Fique tranquilo! Agora nós vamos aprender tudo sobre problemas que envolvem equações do 1º grau. Preste atenção às explicações abaixo!
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    44 Esta é umaequação do 1º grau, pois não aparece expoente na letra, neste caso o expoente é 1. Exemplo 1: Número desconhecido: x Triplo deste número: 3x Triplo do número menos 7: 3x – 7 Equação: 3x – 7 = 44 Resolvendo a equação: 3x – 7 = 44 3x = 44 + 7 A operação inversa à subtração é a adição. 3x = 51 x = A operação inversa à multiplicação é a divisão. x = 17 Resposta: O número procurado é 17. 2x + 9 = 37 é uma equação, porque apresenta uma letra, que é chamada de incógnita, e representa um valor desconhecido. E tem um sinal de (=), para mostrar a igualdade entre os dois membros da equação. Agora é a minha vez! Veja se consegue resolver. O triplo de um número, menos 7 é igual a 44. Que número é esse? Vou resolver usando uma equação. Vou fazer um esquema abaixo. EXERCÍCIO
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    45 1) Complete atabela abaixo: Linguagem Comum Linguagem Matemática O dobro de um número é igual a oito. O triplo de um número é igual a vinte e quatro. O triplo de um número mais três unidades é igual a dezoito. 3x + 3 = 18 O triplo de um número é igual a 48. Cinquenta por cento de um número. #2 22 x ou de x Podemos comparar as equações com balanças de dois pratos, onde só há equilíbrio se os dois pratos estiverem com a mesma massa. Como você não sabe quanto pesam os três bloquinhos, você vai dizer que cada um deles pesa "x". Veja como vai ficar a resolução da equação: 3x = 30 x = $2 $ x = 10 É isso aí! Imagine que alguém colocou três objetos iguais em um dos pratos da balança e dois pesos, que você sabe quanto pesam, no outro prato. Se os pratos ficarem equilibrados, quer dizer que os pesos de um lado têm a mesma massa que os três objetos do outro. Veja que tem três bloquinhos, de 10 kg cada, em um prato e dois blocos, de 15 kg cada, no outro prato. Então, cada prato tem 30 kg, por isso a balança está equilibrada.
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    46 Exemplo2: Idade atual: x Daquia 29 anos: x + 29 Daqui a 29 anos ela terá 44 anos: x + 29 = 44 Para encontrar o valor de x vamos desfazer a adição pela operação inversa, que é a subtração: x = 44 – 29 x = 15 Resposta: Thais tem 15 anos. x + 29 = 44 é uma equação, porque apresenta uma letra e tem a igualdade. Identificação da raiz de uma equação do 1º grau Vamos ver mais alguns exemplos! Você sabia que o valor encontrado para a letra, em cada equação, é chamado de raiz da equação? Quando resolvemos uma equação, o número encontrado é a raiz da equação. A equação tem dois membros: O 1º membro, à esquerda da igualdade e o 2º membro, à direita da igualdade. Amanda falou que daqui a 29 anos, você terá 44 anos. É isso mesmo? Vocês sabem qual é a minha idade? Já sei Thaís, para descobrir a sua idade é só subtrair 29 de 44. Vamos usar uma equação, para descobrir a idade da Thaís.
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    47 2) Um númeromenos 9 é igual a 25. Que número é esse? 3) O dobro de um número, somado com 8 é igual a 40. Que número é esse? 4) O dobro de um número, somado com 6 é igual a 42. Que número é esse? 5) Calcule a idade da Gabriela, sabendo que daqui a 24 anos ela terá 42 anos. 6) Calcule a idade do Higor, sabendo que daqui a 43 anos ele terá 65 anos. 7) Qual é a idade do meu pai hoje, se daqui a 35 anos ele terá 63 anos? 8) Qual é o número, cujo quádruplo mais 5 é igual a 53? EXERCÍCIOS Vamos resolver alguns exercícios? O número que resolve a equação é chamado de raiz da equação. Resolver uma equação é encontrar o conjunto solução. Apresentamos a resposta de uma equação no conjunto solução. Para o exemplo 2 temos S = {15}.
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    48 Exemplo 3: Número quevocê pensou: x Metade deste número: 3 7 somado a esta metade: 3 + 7 Equação: 3 + 7 = 12 Resolvendo a equação: 3 + 7 = 12 3 = 12 – 7 A operação inversa à adição é a subtração. 3 = 5 (Dividindo em um membro, passa a multiplicar no outro) x = 5 . 2 A operação inversa à divisão é a multiplicação. x = 10 Raiz da equação. Resposta: Você pensou no número 10. S = {10} 9) Coloque em prática o que você aprendeu nos exemplos 1 e 2, resolvendo as equações. a) x + 5 = 13 b) x – 11 = 25 c) 2x + 4 = 24 d) 2x – 8 = 22 e) 3x + 2 = 62 f) 3x + 2 = 62 g) 12 + x = 42 10) Coloque em prática o que você aprendeu no exemplo3, resolvendo as equações. a) 4 ! = 9 (Dividindo em um membro, passa a multiplicar no outro) b) 5 = 7 Vamos continuar. Pensei em um número, somei 7 a sua metade e obtive 12. Em que número eu pensei? Vou tentar descobrir este número. 10 é a raiz da equação! EXERCÍCIOS
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    49 c) 5 = 5 d) 5 = 6 e) 5 =– 9 Observe as resoluções das equações: Exemplo4: 12x – 5 = 10x + 4 (O termo com x deve passar para o 1º membro) 12x – 10x = 4 + 5 (10x mudou e virou – 10x) e (– 5 mudou de membro e virou + 5). (12 – 10)x = 9 (Reduz os termos semelhantes: 12x – 10x = 2x). 2x = 9 x = (2 mudou de membro. Multiplicando em um membro, passa a dividir no outro membro). x = 4,5 S = {4,5} (Conjunto Solução). Exemplo5: 3x + x – 4 = x – 2x + 16 (Os termos com x devem passar para o 1º membro) 3x + x – x + 2x = 16 + 4 (x virou – x) e (– 2x virou + 2x) (3 + 1 – 1 + 2)x = 20 (Reduz os termos semelhantes: 3x + x – x + 2x = 5x) 5x = 20 x = (5 mudou de membro. Multiplicando em um membro, passa a dividir no outro) x = 4 S = {4} (Conjunto Solução). Exemplo 6: 30 = 2x + 2 2x + 2 = 30 (Pela Propriedade Simétrica) 2x + 2 = 30 2x = 30 – 2 2x = 28 x = x = 14 S = {14} (Conjunto Solução) Exemplo7: – 8x = – 32 [Multiplicamos ambos os membros por (– 1)] (– 8x) . (– 1) = (– 32) . (– 1) [Usamos a regra de sinais da multiplicação: (–).(–) =(+)] 8x = 32 x = x = 4 S = {4} (Conjunto Solução) Vamos ver mais alguns exemplos!
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    50 Exemplo 8: 4(3x –1) = 7 + 6x (Precisamos eliminar os parênteses, então multiplicamos o 4 pelo 3 e o 4 pelo – 1) 12x – 4 = 7 + 6x (O termo com x deve passar para o 1º membro) 12x – 6x = 7 + 4 (12 – 6)x = 11 6x = 11 x = S = 6 7 Exemplo9: 4x + 2(5x – 4) = – 3(x – 2) (Precisamos eliminar os parênteses, então multiplicamos o 2 pelo 5 e o 2 pelo – 4) 4x + 10x – 8 = – 3x + 6 (Também multiplicamos o – 3 pelo 1 e o – 3 pelo – 2) 4x + 10x + 3x = + 8 + 6 (4 + 10 + 3)x = 14 (Reduz os termos semelhantes: 4x + 10x + 3x = 17x) 17x = 14 x = S = 6 7 11) Resolva as equações: a) 14x – 6 = 8x + 4 b) 4x + x – 5 = 2x – 3x + 18 c) 40 = 3x + 4 d) – 7x = – 63 e) 5(2x – 1) = 8 + 4x f) 7x + 2(6x – 3) = – 2(x – 1) Resolução de problemas a partir dos conteúdos trabalhados Exemplo1: Um número somado com o seu triplo é igual a 72. Qual é esse número? Número: x Triplo: 3x EXERCÍCIOS
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    51 Equação: x +3x = 72 Resolvendo a equação: x + 3x = 72 4x = 72 x = x = 18 S = {18} Exemplo 2: Luísa é 5 anos mais velha que Diana. A soma de suas idades é igual a 23 anos. Qual é a idade de Diana? Idade de Diana: x Idade de Luísa: x + 5 Equação: x + (x + 5) = 23 Resposta: Diana tem 9 anos. Resolvendo a equação: x + (x + 5) = 23 x + x + 5 = 23 2x + 5 = 23 2x = 23 – 5 2x = 18 x = x = 9 S = { 9 } Exemplo 3: Ana Luíza e Ariela são primas, juntas elas têm 25 anos. A idade da Ana Luíza é da idade da Ariela. Qual é a idade de cada uma delas? Ariela: x Ana Luíza: x Equação: x + x = 25 Resolvendo a equação: x + x = 25 5 + 5 = 4x + x = 100 5x = 100 x = x = 20 S = {20} Ariela tem 20 anos. Ana Luíza tem 20 = = 5 anos. Resposta: Ariela tem 20 anos e Ana Luíza, 5 anos. Exemplo4: Um tênis custa três vezes o preço de uma calça. Os dois itens juntos, custam R$ 220,00. Qual é o preço de cada item? Preço da calça: x Preço do tênis: 3x Equação: x + 3x = 220 Resolvendo a equação: x + 3x = 220 4x = 220 x = 55 S = {55} A calça custa R$ 55,00 e o tênis custa R$ 165,00. O número que você está procurando é 18!
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    52 12) Um númerosomado com o seu dobro é 210. Qual é esse número? 13) Beatriz é 7 anos mais velha que sua irmã. A soma de suas idades é igual a 22 anos. Qual é a idade da irmã da Beatriz? 14) Uma balança está em equilíbrio. Em um prato estão duas jacas mais 8 kg, no outro prato estão 14 kg mais uma jaca. Qual é o peso de cada jaca? 15) A soma de um número com o seu sucessor é 121. Quais são esses números? 16) A soma de três números consecutivos é 57. Quais são esses números? 17) No estacionamento onde meu pai trabalha, há vagas para carros e motos, totalizando 114. O número de vagas para carros é 5 vezes o número de vagas para motos. Quantas vagas para carros há no estacionamento? Inequação do 1º grau Os símbolos usados em desigualdades são: 8, :, ;, <, =. Inequação é toda desigualdade que contém pelo menos uma incógnita. Exemplos: a) 6x + 2 > 3 b) 4x – 1 < 5 c) x + 8 ; 10 d) + 3x = 11 EXERCÍCIOS Agora é a sua vez! Se os 3 números são consecutivos, eles são: x, x + 1 e x + 2.
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    53 18) Identifique assentenças com (E) para equação e (I) para inequação: a) 2x + 9 = 4 (......) e) 5x – x = 6 (......) i) 7x – 1 ; 17 (......) b) – 4x + 10 = 5 (......) f) 3x – 1 ; 7 (......) j) x + 27 = 43 (......) c) 6x > 3 + x (......) g) 4x + x < – 2x + 1 (......) k) 3x + 18 ; 100 (......) d) x + 3 = 1(......) h) x – 1 = 5 (......) l) + 5x = 15 (......)
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    54 Caro(a) aluno(a), nestaUnidade vamos aprender a ler uma razão, a identificar seus termos e determinar a razão entre grandezas, além de estudar a noção de escala. Vamos estudar, também, as proporções: identificar uma proporção, os seus meios e extremos; verificar como se calcula o termo desconhecido de uma proporção, utilizando a propriedade fundamental; resolver problemas do cotidiano com o auxílio de uma proporção; resolver problemas que envolvem variações diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais entre grandezas. Esperamos que, ao final deste estudo, você possa resolver problemas que envolvam razão, noção de escala e proporção.
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    55 Unidade 3 –RAZÕES E PROPORÇÕES Razão Razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo, sendo o segundo número diferente de zero. Exemplo: • A razão entre o número de meninos e o número de meninas é determinada assim: ú > ú > = : : = (2 está para 3) • A razão entre o número de meninas e o número de meninos é determinada assim: ú > ú > = : : = (3 está para 2) 1) Escreva simbolicamente as razões: Exemplo: Três para sete: $ ? a) Seis para onze: b) Um para cinco: c) Cinco para nove: d) Quatro para cinco: e) Dezenove para seis: f) Três para sete: 2) A prova de Matemática tinha 12 questões, Mariana acertou 9. A partir das informações dadas, complete: a) A razão do número de questões que acertou para o número total de questões: ................... b) A razão do número de questões que errou para o número total de questões: ...................... 3) A altura de Aninha é 1,10 m e a de seu pai é 1,70 m. Qual é a razão entre a altura do pai de Aninha e a altura de Aninha? Na nossa turma têm 30 alunos, sendo 18 meninas e 12 meninos. Então, a razão entre o número de meninos e o de meninas é . E a razão entre o número de meninas e o número de meninos é . EXERCÍCIOS
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    56 Escala Escala é arazão entre a medida utilizada e a medida real, ambas na mesma unidade. Escala = @ A B > C @ A B D Exemplo: Um salão de festas tem 20 m de comprimento. Esse comprimento é representado em um desenho por 40 cm. Qual é a escala do desenho? Resposta: Medida do comprimento do desenho = 40 cm Medida do comprimento real = 20 m (Vamos passar de metro para centímetro - 1 m = 100 cm, então 20 m = 2 000 cm) Escala = = : : = A escala é de 1 : 50 (Um para cinquenta - cada 1 cm do desenho corresponde a 50 cm reais) 4) Escreva na forma de razão: a) 1 mês para 1 ano. ! b) 1 dia para 1 semana. c) 6 dias para 1 mês. d) 5 meses para 1 ano. e) 50 segundos para 7 minutos. 5) Um terreno tem 200 m2 de área e 150 m2 de área construída. Responda: a) Qual é a razão da medida da área construída para a área do terreno? b) Qual é a razão da medida da área do terreno para a área construída? c) Qual é a razão da medida da área construída para a área livre? d) Qual é a razão da medida da área livre para a área construída? 6) A planta da casa de Thaís foi feita na escala 1 : 40. Responda: a) Quais são as dimensões reais do quarto?........................ b) Quais são as dimensões reais da sala?............................ c) Quais são as dimensões reais da cozinha?...................... d) Quais são as dimensões reais do banheiro?.................... EXERCÍCIOS A letra (a) já está feita!
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    57 Proporção Proporção é umaigualdade entre duas razões. Exemplo: = . As razões são iguais, então temos uma proporção. Observe as figuras abaixo: 5 cm 8 cm 10 cm 16 cm • A razão entre a largura e a altura da primeira foto é . • A razão entre a largura e a altura da segunda foto é . • = . As razões são iguais, logo temos uma proporção entre as figuras. • E = @ . Lemos: a está para b assim como c está para d. • Os termos b e c são chamados meios da proporção. • Os termos a e d são chamados extremos da proporção. Propriedade Fundamental: Em uma proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. É possível descobrir o valor desconhecido de um dos termos em uma proporção, aplicando a propriedade fundamental. Exemplo: Calcule o valor desconhecido na proporção 3 = 48.x = 42.8 48x = 336 x = x = 7 7) Calcule o valor desconhecido nas proporções: a) 3 = b) 3 = c) 3 = d) 3 = EXERCÍCIOS
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    58 8) Uma fototem 3 cm de largura e 4 cm de comprimento. Se eu quiser fazer uma ampliação dela, de forma que a largura tenha 48 cm, para que se tenha uma proporção, quanto terá de comprimento? Grandezas diretamente proporcionais Exemplo: Um ônibus percorre... • 50 km, em 1 hora. • 100 km, em 2 horas. • 150 km, em 3 horas. Duas grandezas são diretamente proporcionais, quando ao aumentar uma delas, a outra aumenta na mesma razão da primeira. Grandezas inversamente proporcionais Exemplo: Um ônibus faz um percurso com velocidade de... • 60 km, em 1 hora. • 30 km, em 2 horas. • 15 km, em 3 horas. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao aumentar uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira. 9) Uma torneira despeja 40 litros de água a cada 20 minutos. Quanto tempo levará para encher um reservatório de 1m3 ? 10) Um carro percorreu uma distância em 3 horas, à velocidade média de 80 km/h. Se a velocidade média fosse de 60 km/h, em quanto tempo o carro percorreria a mesma distância? EXERCÍCIOS Pelo exemplo, tempo e distância são grandezas diretamente proporcionais. Pelo exemplo, tempo e velocidade são grandezas inversamente proporcionais.
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    59 11) Com 1lata de leite condensado, podemos fabricar 30 docinhos para festa. Quantas latas de leite condensado são necessárias, para fabricar 240 docinhos? 12) Com 2 latas de tinta, meu pai pintou 140m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 3 latas dessa mesma tinta?
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    60 Caro(a) aluno(a), nestaUnidade vamos compreender o significado de uma porcentagem, bem como aprender a reconhecer a porcentagem enquanto representação de uma fração decimal. Além disso, vamos estudar sua representação geométrica, inclusive com representações gráficas. Ao final deste estudo, esperamos que você possa resolver problemas do cotidiano, utilizando as noções de porcentagem.
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    61 Unidade 4 –PORCENTAGEM Reconhecimento de porcentagem como representação de uma fração decimal As porcentagens correspondem a frações de denominador 100 ou frações equivalentes a elas. As porcentagens são representadas pelo símbolo %. Exemplos: • Desconto de 40% – um produto que custa R$ 100,00 está sendo vendido com desconto de R$ 40,00, isto é, está sendo vendido por R$ 60,00 (100 – 40 = 60), 40 em 100 ou . • 60% dos alunos do 7º ano têm 12 anos de idade – a cada 100 alunos do 7º ano, 60 têm 12 anos de idade, 60 em 100 ou . • A porcentagem de água do sangue humano é de aproximadamente 83% – se tivéssemos 100 litros de sangue, 83 litros seriam de água, 83 em 100 ou . CURIOSIDADE: Você sabia que a água é a molécula mais importante do corpo humano, presente em maior abundância no nosso organismo? De 55 a 75% do peso corporal de um adulto é composto de água: sangue 83%, músculos 73%, gordura 25%, ossos 22%. (Disponível em: <http://www.cluberegatas.com.br/v2/publication.asp?publicationID=1567>. Acesso em: 23/07/2013) 1) Complete a tabela: EXPRESSÃO COMO SE LÊ SIGNIFICADO 40% são crianças. 40 por cento são crianças. 23% não votaram. Em cada 100 eleitores, 23 não votaram. 72% tiveram desconto. 55% são estudantes. 18% são professores. 27% são médicos. 44% cursam o 7º ano. 61% receberam o pagamento. 36% pagam aluguel. Em cada 100 pessoas, 36 pagam aluguel. GLOSSÁRIO Molécula: é uma entidade eletricamente neutra, que possui pelo menos dois átomos, todos ligados entre si mediante ligação covalente. EXERCÍCIOS
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    62 2) Represente asfrações em forma de porcentagem e escreva como se leem essas porcentagens. Exemplo: = 20% (Vinte por cento) a) = .......................................................... b) = .......................................................... c) = .......................................................... d) = .......................................................... e) = .......................................................... f) = ........................................................... g) = .......................................................... 3) Escreva a fração correspondente, com denominador 100. Exemplo: 8% = a) 5% = b) 15% = c) 25% = d) 95% = e) 60% = SE LIGA NESSA! A porcentagem ou percentagem (do latim per centum, significando "por cento", "a cada centena") é uma medida de razão com base 100. É um modo de expressar uma proporção ou a relação entre dois valores (um é a parte e o outro é o inteiro), a partir de uma fração, cujo denominador é 100, ou seja, é dividir um número por 100. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Porcentagem>. Acesso em: 23/07/2013) Exemplos: Uma porcentagem pode ser representada por uma fração decimal, então também pode ser representada em figuras. Observe: a) b) c) 30% ou do quadrado 25% ou do quadrado 85% ou do quadrado grande está pintado. grande está pintado. grande está pintado.
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    63 Os numerais 30%,25% e 85% são taxas de porcentagens, pois expressam a razão entre uma grandeza e 100 elementos de seu universo. 4) Escreva a fração e a porcentagem referente à parte escura de cada figura: a) b) c) ................................... ................................... ................................... Simplificação de frações Exemplos: a) ! "! = ! "! : : ! ! = F ! : : $ $ = ! ? b) !" 22 = !" 22 : : ! ! = ! #2 : : ! ! = F !# c) # ?# = # ?# : : # # = # Vamos deixar as frações na forma irredutível, ou seja, transformar uma fração em outra equivalente, mas com termos menores. Como eu faço para simplificar uma fração? É fácil, Amanda! Escolhemos um número que divida os termos da fração ao mesmo tempo. No exemplo (a), 12 e 42 são divisíveis por 2, então simplificamos. Depois temos 6 e 21, que são divisíveis por 3, novamente simplificamos e, por fim, encontramos ! ? , a fração irredutível! No exemplo (b), dividimos a fração por 2, duas vezes, até não podermos mais simplificar. Por fim, encontramos F !# , a fração irredutível! No exemplo (c), dividimos ambos os termos da fração pelo maior número que divide 15 e 75. Isso mesmo! 15 é o M.D.C. entre 15 e 75. Por fim, encontramos a fração irredutível!
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    64 GLOSSÁRIO M.D.C.: Máximo DivisorComum. 5) Escreva as seguintes porcentagens na forma de fração irredutível: Exemplo: 25% = = : : = : : = ou diretamente : : = a) 10% b) 20% c) 30% d) 40% e) 50% f) 75% g) 83% h) 95% 6) Escreva as seguintes frações na forma de porcentagem: Exemplo 1: = = = 75% Exemplo 2: = : : = = = 24% a) = b) = c) = d) = e) = Falamos que a fração está na forma irredutível, quando não dá mais para simplificar. Agora é a sua vez! Vamos praticar. EXERCÍCIOS Atenção: observe o exemplo, para depois resolver o exercício. Vamos multiplicar ou dividir ambos os termos da fração, pelo número que tornar o denominador da fração igual a cem.
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    65 f) = Resolução deproblemas a partir dos conteúdos trabalhados Exemplo 1: dos 550 alunos da escola onde estudo, 60% são meninas. Quantas meninas estudam na minha escola? Resposta: Vimos que 60% = F2 22 = F2 22 : : 2 2 = F 2 : : ! ! = $ # . Então, temos que calcular 60% de 550, que é o mesmo que calcular $ # de 550. $ # de 550 = $ # x 550 = .F#2 # = 330. 60% de 550 = 330, isto é, dos 550 alunos da escola, 330 são meninas. Exemplo 2: Na gincana da escola, Larissa fez 36 pontos, que correspondem a 30% dos pontos do seu grupo. Quantos pontos fez o grupo de Larissa? Resposta: 30% de ☺ = 36. 30% = $2 22 = $2 22 : : 2 2 = $ 2 , então $ 2 de ☺ = 36, daí fazemos $ 2 ☺ = 36 3 ☺ = 36 10 3 ☺ = 360 ☺ = $F2 $ ☺ = 120. O grupo da Larissa fez 120 pontos. Exemplo 3: Franklin gastou 80% do dinheiro que tinha em uma viagem e ainda ficou com R$ 6,40. Qual a quantia que Franklin levou na viagem? Franklin gastou 80% do que tinha e sobrou R$ 6,40, que é 20% do total, sendo assim: 20% = !2 22 = # , # do total é igual a 6,40 # x = 6,40 x = 6,40 5 x = 32. Franklin levou R$ 32,00 para a viagem. 7) Usando o que você aprendeu sobre porcentagem, calcule: a) 17% de R$ 540,00. b) b) 30% de R$ 1.200,00. c) 15% de R$ 450,00. d) 72% de R$ 1.800,00. Como calcular a porcentagem de um número? Observe os exemplos! EXERCÍCIOS Note que chamamos x de ☺. Só para descontrair!
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    66 8) 40% dos450 alunos da escola onde estudo, moram no mesmo bairro que eu. Quantos alunos que estudam na minha escola, moram no meu bairro? 9) Em uma classe com 32 alunos, apenas 25% compareceu à prova de Matemática. Quantos alunos compareceram à prova de Matemática? 10) A loja em que mais gosto de comprar roupas está dando 60% de desconto nas compras. Se eu comprar um tênis no valor de R$ 120,00, de quanto será o desconto? Quanto vou pagar pelo tênis? 11) Os alunos da minha turma fizeram uma pesquisa com 100 pessoas, que mandaram instalar em suas casas, os canais de televisão mais assistidos por elas. Observe o gráfico e responda: a) Qual é o percentual dos telespectadores do canal A? b) Qual é o percentual dos telespectadores do canal B? c) Qual é o percentual dos telespectadores do canal C? d) Qual é o percentual dos telespectadores do canal D? e) Qual é o percentual dos telespectadores do canal E? f) Qual é o percentual dos telespectadores do canal F? 12) O ingresso do cinema custa R$ 18,00. Como estudante, tenho 50% de desconto. Quanto vou pagar pelo ingresso? 13) A bicicleta que quero comprar custa R$ 200,00. Se eu pagar à vista, tenho 20% de desconto. Quanto vai custar a bicicleta, se eu obtiver o desconto? 14) No último sábado, houve uma campanha de vacinação de cães e gatos. Na rua onde moro, 32 animais foram vacinados. Observe o gráfico e responda:
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    67 a) Qual éa porcentagem de cães vacinados? b) Qual é a porcentagem de gatos vacinados? 15) Mateus tinha R$ 40,00 e gastou 20% na padaria. Quanto lhe restou? 16) Lívia gastou 70% do que tinha em um passeio e ainda ficou com R$ 6,00. Qual era a quantia que Lívia tinha, antes de ir ao passeio? 17) Letícia comprou um vestido que custou R$ 52,00 e ainda ficou com R$ 28,00. Quantos por cento corresponde à quantia que sobrou? 18) Nas férias, minha família fez uma viagem de 480 km. Minha irmã caçula dormiu durante 20% do percurso. Quantos quilômetros do percurso foram percorridos, enquanto ela dormia? 19) Meu pai é pedreiro e ganhou R$ 60,00 por um serviço. Ele deu 30% do que ganhou para minha avó. Com quanto meu pai ficou? 20) Durante uma pesquisa, 100 moradores de um bairro foram entrevistados. As músicas mais ouvidas por eles estão representadas no gráfico abaixo. Observe o percentual no gráfico e responda: a) Quantas pessoas ouvem Música Sertaneja? b) Quantas pessoas ouvem Samba? c) Quantas pessoas ouvem Rock? 0 5 10 15 20 Raça não definida Pequinês Rottweiler Gatos VACINAÇÃO DE CÃES E GATOS
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    68 d) Quantas pessoasouvem Pagode? e) Quantas pessoas ouvem Música Evangélica? f) Quantas pessoas ouvem Funk? 21) Minha mãe quer comprar um fogão e um sofá. Uma loja está oferecendo os seguintes descontos: Por quanto estão sendo vendidas essas mercadorias? Lembre-se de que 100% são todos os elementos considerados no problema!
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    69 Caro(a) aluno(a), nestaUnidade vamos aprender a calcular o perímetro de algumas figuras planas, tais como: triângulo, quadrado, retângulo e losango. Vamos aprender, também, a calcular a área dessas figuras. Esperamos que, ao final deste estudo, você seja capaz de resolver problemas da vida prática, que envolvam o cálculo do perímetro e o cálculo ou estimativa de área de figuras planas.
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    70 Unidade 5 –ÁREA E PERÍMETRO Perímetro A unidade de medida de comprimento padrão é o metro (m), mas utilizamos bastante o centímetro (cm), o milímetro (mm) e o quilômetro (km). O quilômetro é usado para medir grandes distâncias, como estradas, por exemplo. CURIOSIDADE: A elevação mínima do nível do mar prevista para este século é de 0,9 m, ou seja, 90 cm. Motivada pelo derretimento da calota do Ártico, ela pode chegar a 1,6 m (160 cm). (Fonte: Veja. Editora Abril, 11/5/2011, p. 59) GLOSSÁRIO Grandeza: é tudo o que pode ser medido ou contado, como comprimento, área, tempo, quantias em dinheiro, velocidade etc. (Fonte: ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Praticando Matemática. 7º ano. 3. ed. São Paulo: Editora do Brasil, 2012) O perímetro é a medida do contorno de uma figura. Para calcular o perímetro de um polígono, basta somar as medidas de seus lados. 4 cm Perímetro deste retângulo = 6 cm + 6 cm + 4 cm + 4 cm = 20 cm 6 cm Agora nós vamos resolver alguns problemas que envolvem perímetro. Você sabe o que é perímetro e como ele é calculado? Para medir um comprimento, o comparamos com outro comprimento. Para isso, podemos usar a régua, a fita métrica, o metro articulado (aquele usado pelos pedreiros) ou a trena. No passeio que minha turma fez, os alunos queriam jogar futebol na areia, mas não tinham uma fita métrica para medir onde a baliza ficaria. Além disso, a distância do centro do campo até a baliza deveria ter o mesmo comprimento para os dois times, então mediram com passos. Foi a solução!
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    71 1) Na cidadeonde Thaís nasceu há praças com formatos diferentes (um losango, um retângulo, um quadrado e triângulos), duas com o mesmo perímetro. Observe as figuras abaixo e descubra quais são as praças que têm perímetros iguais: 52,3 m 4 m a) b) c) 31,4 m d) 5 m 5 m e) 8 m 8 m 6 m 9 m 2) Calcule o perímetro dos quadrados, cujos lados medem: a) 6 m: .................................................................................. b) 2,3 cm: ............................................................................. c) 4,5 cm:.............................................................................. d) 7,1 km:.............................................................................. e) 15 m:................................................................................. 3) Calcule o perímetro dos retângulos, com as seguintes dimensões: a) 3 cm de largura e 5,7 cm de comprimento: ........................................................................................ b) 12 m de largura e 28 m de comprimento: ........................................................................................ c) 11 cm de largura e 23 cm de comprimento: ........................................................................................ 4) Calcule o perímetro dos losangos, com as seguintes dimensões: a) 4 cm de lado: ........................................................................................................................................ b) 7 cm de lado: ........................................................................................................................................ EXERCÍCIOS Não se esqueça de que o quadrado tem os 4 lados com medidas iguais. O retângulo tem 4 lados, com 2 medidas diferentes: cada dois lados têm medidas iguais entre si.
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    72 c) 2 mde lado: .......................................................................................................................................... d) 10 cm de lado: ...................................................................................................................................... e) 12 cm de lado: ...................................................................................................................................... 5) Calcule o perímetro dos triângulos, com as seguintes dimensões: a) 4 m, 4 m, 4 m: ....................................................................................................................................... b) 2 m, 3 m, 3 m: ....................................................................................................................................... c) 3 cm, 4 cm , 5 cm: ................................................................................................................................. d) 7 m, 8 m, 9 m: ....................................................................................................................................... e) 15 cm, 12 cm, 12 cm: ............................................................................................................................ Exemplo: O perímetro de um retângulo mede 82 cm. Quais são suas medidas, sabendo-se que seu comprimento tem 6 cm a mais que sua largura? Largura: x Comprimento: x + 6 Equação: x + x + (x + 6) + (x + 6) = 82 Resolvendo a equação: x + x + (x + 6) + (x + 6) = 82 x + x + x + 6 + x + 6 = 82 4x + 12 = 82 4x = 82 – 12 4x = 70 x = x = 17,5 S = { 17,5 } Resposta: largura = 17,5 cm e comprimento= 23,5 cm. 6) O perímetro de um retângulo mede 116 cm. Quais são suas medidas, sabendo-se que seu comprimento tem 8 cm a mais que sua largura? 7) O perímetro de um quadrado mede 132 cm. Quanto mede o lado desse quadrado? Área do quadrado, retângulo e losango A área de uma figura plana é a medida da região delimitada por ela. Quando medimos superfícies, como um terreno, uma parede, o piso de uma sala de aula ou uma folha de papel, obtemos um número, que é a sua área.
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    73 Área é umnúmero, maior ou igual à zero, que representa a medida de uma superfície. Exemplos: Unidade de área. No retângulo ao lado cabem 18 unidades de área, ou melhor, a área da região retangular é igual a 18 unidades de área. 8) Sabendo que representa a unidade de área, calcule a área das seguintes figuras abaixo: Para medir uma superfície, escolhemos uma unidade de medida, cuja área é 1 e a comparamos com a superfície a ser medida. A figura é medida pelo número de quadrados de lado 1, unidade quadrada, que podem cobrir completamente a figura. Usando o quadrado u como unidade de medida de área, para medir a figura A, vemos que 14 quadrados cobrem perfeitamente a figura A. O restante da figura pode ser coberta cortando mais 2 quadrados, assim, a área da figura A é igual a 16 unidades de área. EXERCÍCIOS Para medidas de comprimento, utilizamos o metro (m) e para medidas de área, utilizamos o metro quadrado (m2 ), que é a área de um quadrado que possui 1 m de lado.
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    74 a) b) c)d) ...... unidades de área. ...... unidades de área. ...... unidades de área. .................................. A unidade padrão das medidas de superfície é o metro quadrado (m2 ), mas para medirmos áreas muito extensas, utilizamos bastante o quilômetro quadrado (km²). Utilizamos as medidas de área quando precisamos saber qual é o tamanho de um terreno, para calcularmos a quantidade de piso ou revestimento de parede em um cômodo ou até para sabermos qual é a superfície de uma cidade. Área do Retângulo SE LIGA NESSA! Um retângulo é um paralelogramo, cujos lados formam ângulos retos entre si e que, por isso, possui dois lados paralelos verticalmente e os ou- tros dois, paralelos horizontalmente. Pode-se considerar o quadrado como um caso particular de um retângulo, em que todos os lados têm o mesmo comprimento. (Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 23/07/2013) A área do retângulo ou de uma região retangular de comprimento b e largura h é dada por: h Área retângulo = b x h b Exemplos: a) b) c) d) Em cada retângulo abaixo, calcule a quantidade de quadradinhos e expresse essa quantidade por meio de uma multiplicação.
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    75 a) Área =5 x 6 b) Área = 3 x 5 c) Área = 6 x 3 d) Área = 9 x 4 = 30 unidades = 15 unidades = 18 unidades = 36 unidades de área. de área. de área. de área. Ao contar os quadradinhos, estamos calculando a área do retângulo. Se cada quadradinho tiver área de 1 m2 , a área encontrada estará em metro quadrado (m2 ). Outra maneira de calcular essa área é realizando uma multiplicação. Se um retângulo possui dimensões não conhecidas: b (base ou comprimento) e h (altura ou largura), então podemos representar essa área (A) por b x h. h Área retângulo = b x h b h b Exemplo: Qual é a área de um terreno retangular, cujas medidas são 15 m x 20 m? Resposta: A = b x h = 15 m x 20 m = 300 m2 . CURIOSIDADE: A representação h para altura vem da palavra height, que significa altura em inglês. (Disponível em: <http://www.klickeducacao.com.br>. Acesso em: 23/07/2013) 9) Um terreno tem forma retangular, cujas medidas são 20 m x 30 m. Qual é a área do terreno? 10) Uma folha de papel A4 mede 21 cm por 29,7 cm. O texto está sendo escrito em uma área de 16 cm por 24,7. Qual é a área ocupada pelo texto? 11) Calcule a área de cada praça: 52,3 m 61 m a) b) 31,4 m 40 m EXERCÍCIOS
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    76 Área do Quadrado SELIGA NESSA! O quadrado é um quadrilátero regular, ou seja, uma figura geométrica com quatro lados de mesmo comprimento e quatro ângulos retos (900 ). Todo quadrado é também um retângulo e um losango. (Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 23/07/2013) A área do quadrado ou de uma região quadrada de lado l é dada por: l Área quadrado = l x l = l 2 l Exemplos: a) b) c) d) Área = 6 x 6 Área = 5 x 5 Área = 3 x 3 Área = 4 x 4 = 36 unidades = 25 unidades = 9 unidades = 16 unidades de área. de área. de área. de área. Quando contamos os quadradinhos, estamos calculando a área do quadrado, se cada quadradinho tiver área de 1 m2 a área encontrada estará também em metro quadrado (m2 ). Outra maneira de calcular essa área é realizando uma multiplicação. Se um quadrado possui dimensões não conhecidas l (lado), então podemos representar essa área (A) por l x l = l 2 . Exemplo1: Qual é a área de um terreno quadrado, cujo lado mede 30 m? Resposta: A = l x l = 30 m x 30 m = 900 m2 . Exemplo 2: Sabendo que o quadrado pequeno tem 20 m de lado, qual é a área da parte escura da figura? Resposta: 30 m Área do quadrado grande – área do quadrado pequeno. Área do quadrado grande = 30 m x 30 m = 900 m2 . Área do quadrado pequeno = 20 m x 20 m = 400 m2 . 900 m2 – 400 m2 = 500 m2 l é a medida do lado de um quadrado.
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    77 GLOSSÁRIO Polígono: figura geométricafechada, formada por segmentos de retas. Quadrilátero regular: é um polígono de quatro lados e ângulos com a mesma medida. (Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 23/07/2013) 12) Um terreno tem forma quadrada, de lado 20 m. Qual é a área do terreno? 13) Um terreno tem forma quadrada, de lado 21,7 m. Qual é a área do terreno? 14) Calcule a área de cada praça: 35 m 42,5 m a) b) Área do Losango SE LIGA NESSA! O losango é um quadrilátero, é um polígono formado por quatro lados de igual comprimento. Um losango é também um paralelogramo. Todo quadrado é também um losango. (Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 23/07/2013) A área do losango é dada por: Área losango = 3 EXERCÍCIOS Observe pela figura, que a área desse losango é igual à metade da área do retângulo de lados d1 e d2. Estamos chamando as diagonais do losango de d1 e d2.
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    78 Exemplo: Na ruaonde moro existe um canteiro, em forma de losango, cujas diagonais medem 4,20m e 2,30 m. Qual é a área, em m2 , ocupada por esse canteiro? Resposta: A = 3 = , 3 , = , m2 = 4,83 m2 . GLOSSÁRIO Paralelogramo: é um polígono de quatro lados (quadrilátero), cujos lados opostos são iguais e paralelos. Por consequência, tem ângulos opostos iguais. O quadrado, o retângulo e o losango são paralelogramos. (Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 23/07/2013) 15) No bairro onde moro existe um canteiro, em forma de losango, cujas diagonais medem 5,30 m e 2,40 m. Qual é a área, em m2 , ocupada por esse canteiro? 16) Calcule a área referente à parte escura da figura abaixo, sabendo que o retângulo tem 4 m de largura e 8 m de comprimento. 17) Calcule a área de cada praça, sabendo que na letra (a) o lado mede 15 m e na letra (b), a diagonal menor mede 10 m e a maior mede o dobro da medida da menor. a) b) 18) (→ → → →) Sabendo que 1 cm2 é a área equivalente à uma região quadrada de lado 1 cm, calcule a área ocupada pelo nome abaixo, tendo como unidade o centímetro quadrado (cm2 ). Cada representa 1 cm2 . EXERCÍCIOS
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    79 Agora é asua vez! Escreva o seu nome ou apelido e calcule a área ocupada por ele.
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    81 AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA- 7º ANO. ALUNO(A): _________________________________________________ DATA: __________________ 1) Complete a reta numerada, com os números que estão faltando: 2) Faça as operações bancárias e dê os resultados: Crédito de R$ 15,00 mais débito de R$ 30,00 –> Resultado: ......................................... 3) Observe no gráfico a quantidade de pontos obtidos por cada jogador. Em seguida, calcule a média aritmética do total de pontos de todos os jogadores. 4) Um vendedor ganhou R$ 50,00 e teve uma dívida de R$ 15,00 perdoada. Quantos reais ele ganhou? 5) Valéria tinha um saldo bancário de R$ 450,00. Ela emitiu três cheques, cada um no valor de R$ 155,00. Qual é o novo saldo bancário de Valéria? Este saldo é positivo ou negativo? 6) Meu pai separou R$ 72,00 do seu pagamento, para dividir igualmente entre os seis filhos. Quantos reais eu recebi? 7) Minha tia fez um bolo e o dividiu em 5 partes iguais. Separou 2 partes para sua família e deixou o restante para a minha família. Qual é a fração que representa a parte que ficou para a minha família comer? E qual foi a parte que ficou para a família da minha tia? -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 Amanda Lucas Gabriel Thaís Resultado do Jogo
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    82 8) O dobrode um número, somado com 9 é igual a 45. Que número é esse? 9) Uma balança está em equilíbrio. Em um prato estão dois melões mais 4 kg, no outro, um melão mais 12 kg. Qual é o peso de cada melão? 10) A prova de Matemática tinha 12 questões e eu acertei 8. Qual é a razão do número de questões que eu acertei, para o número total de questões? 11) Uma foto tem 3 cm de largura e 4 cm de comprimento. Se eu quiser fazer uma ampliação dela, de forma que a largura tenha 36 cm, para que se tenha uma proporção, quanto ela terá de comprimento? 12) Com 1 lata de leite condensado, podemos fabricar 30 docinhos para festa. Quantas latas de leite condensado são necessárias, para fabricar 480 docinhos? 13) Usando o que você aprendeu sobre porcentagem, calcule quanto é 30% de R$ 1.500,00. 14) A loja em que mais gosto de comprar roupas está dando 70% de desconto nas compras. Se eu comprar uma calça no valor de R$ 90,00, de quanto será o desconto? Quanto vou pagar pela calça? 15) O perímetro de um retângulo mede 132 cm. Quais são as suas medidas, sabendo-se que seu comprimento tem 8 cm a mais que sua largura? 16) Um terreno tem forma retangular, cujas medidas são 12 m x 20 m. Qual é a área desse terreno? 17) Uma praça tem forma quadrada, com lado de 22 m. Qual é a área da praça? 22 m 18) Calcule a área da parte escura da figura, sabendo que o retângulo tem 5 m de largura e 12 m de comprimento.
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    83 19) Represente afração em número decimal. 20) Represente o número decimal 0,35 em forma de fração.
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    85 GABARITO DAS ATIVIDADES Unidade1 Exercício 1 a) – 90 C b) + 30 C c) + 150 C d) – 100 C Exercício 2 a) + R$ 300,00 b) – R$ 45,00 c) – R$ 90,00 d) + R$ 70,00 e) – R$ 150,00 f) 0 g) + R$ 120,00 h) – R$ 55,00 i) + R$ 48,00 Exercício 3 a) Nova York e Paris b)Rio de Janeiro c) Nova York Exercício 4 a) – 5, – 2 e 3 b) – 4, – 1, 2 e 5 c) – 5, – 3, 1 e 4 Exercício 5 A= – 1, B= 2, C= – 4, D= 4. Exercício 6 a) + 6 b) – 6 c) 1 d) + 4 e) – 8 f) – 1 Exercício 7 a) + 15 b) + 50 c) + 14
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    86 d) 0 e) –6 Exercício 8 a) Ter 10 (+ 10) b) Dever 6 (– 6) c) Ter 8 (+ 8) d) Não ter nada (0) Exercício 9 a) – 10 b) + 25 c) – 150 d) + 1.300 Exercício 10 a) simétrico b) oposto, – 15 c) oposto d) o próprio zero Exercício 11 a) Prejuízo de R$ 35,00. b) Crédito de R$ 50,00. c) 50 C acima de zero. d) 30 metros abaixo do nível do mar. e) Prejuízo de R$ 20,00. f) Depósito de R$ 45,00. Exercício 12 a) + 10 b) + 13 c) + 20 d) + 11 Exercício 13 a) Crédito de R$ 35,00 b) Débito de R$ 70,00 c) Crédito de R$ 85,00 d) Débito de R$ 41,00
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    87 e) Crédito deR$ 27,00 f) Débito de R$ 72,00 Exercício 14 a) + 1 b) + 6 c) + 2 d) 0 Exercício 15 12,12 Exercício 16 a) Crédito de R$ 10,00 b) Débito de R$ 18,00 c) Débito de R$ 18,00 d) Crédito de R$ 3,00 e) Crédito de R$ 5,00 f) Crédito de R$ 25,00 Exercício 17 R$ 850,00. Positivo. Exercício 18 240 C. Fará mais frio ou menos calor. Exercício 19 EQUIPES GOLS MARCADOS GOLS SOFRIDOS SALDO DE GOLS BOTAFOGO + 20 – 15 – 5 FLAMENGO + 25 – 18 +7 FLUMINENSE + 19 – 19 0 VASCO + 15 – 18 – 3 TOTAL + 79 – 70 Exercício 20 + R$ 205,00. Positivo.
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    88 Exercício 21 a) 19/07/2013b) 23/07/2013 c) 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 29 d) 23/07/2013 e) 19/07/2013 Exercício 22 a) – 70 b) + 185 Exercício 23 Amanda – 10, Thaís 15, Lucas 25, Gabriel 30. Exercício 24 a) 40 e – 33 b) 42 e – 75 c) 10 e – 10 d) 201 e – 54 e) – 75 e 17 Exercício 25 a) – 7, – 7 b) – 15, – 15 c) + 6, + 6 d) + 3, + 3 e) oposto Exercício 26 a) – 2 b) – 24 c) + 16 d) – 23 e) + 37 f) + 45 Exercício 27 a) 4, 1
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    89 b) 13, 13,tenho, não tenho nada c) 7, 3, 10 d) 14, 18, 4 e) 30, 10, 20 f) 2, devo, 5 Exercício 28 a) 8 b) 4 c) 0 d) 3 e) – 4 f) 50 g) – 23 h) 30 i) 30 j) 40 k) – 12 Exercício 29 a) – 3 b) – 11 c) – 10 d) – 9 e) – 11 f) 7 g) 18 h) 95 Exercício 30 R$ 44,00 Exercício 31 70 C
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    90 Exercício 32 – 20 C Exercício33 @=0 – 3, 3 – 2, – 1, 4 Exercício 34 TIME GOLS MARCADOS GOLS SOFRIDOS SALDO DE GOLS Flamengo 25 15 10 Vasco 12 17 – 5 Fluminense 6 7 – 1 Botafogo 11 11 0 a) saldo de gols b) 25 – 15 = 10 c) 15 d) – 5 e) 6 f) 11 Exercício 35 c Exercício 36 39 graus Exercício 37 47 – (– 35) = 47 + 35 = 82 Resposta: 82 anos. Exercício 38 c
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    91 Exercício 39 a) 1 b)3 c) – 5 d) 5 e) 2 f) 34 g) – 21 h) 80 i) 260 j) 40 k) – 40 Exercício 40 a) Quarta-feira = 12 graus / Quinta-feira = 15 graus / Sexta-feira = 15 graus / Sábado = 13 graus / Domingo = 8 graus. b) Quarta-feira. c) Quinta-feira e sexta-feira. d) Domingo. Exercício 41 a) 15 – (8 – 7) + (9 – 4) = 15 – 1 + 5 = 19 b) 12 – {– 3 + [1 + (+ 2 – 9) – 8] + 5} = 12 – {– 3 + [1 – 7 – 8] + 5} = 12 – {– 3 + [– 14] + 5} = 12 – {– 3 –14 + 5} = 12 – {– 12} = 12 + 12 = 24 Exercício 42 (12 – 8) + (16 – 10) + (16 – 12) + (17 – 11) + (18 – 9) = 4 + 6 + 4 + 6 + 9 = 29 Exercício 43 a) + b) –
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    92 c) + d) – e)+ f) + g) – h) – i) + j) + k) – l) + m) + n) – Exercício 44 a) 56 b) 56 c) – 56 d) – 56 e) – 5 f) 16 g) 24 h) – 45 i) – 32 j) – 81 k) – 42 l) 0 Exercício 45 ( . ) – 10 – 8 – 6 – 4 – 2 0 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 4 – 40 – 32 – 24 – 16 – 8 0 4 + 12 20 28 + 36 + 5 – 50 – 40 – 30 – 20 – 10 0 5 15 25 + 35 45 + 6 – 60 – 48 – 36 – 24 – 12 0 6 18 30 42 54 + 7 – 70 – 56 – 42 – 28 – 14 0 7 21 35 49 63 + 8 – 80 – 64 – 48 – 32 – 16 0 8 24 + 40 56 72 + 9 – 90 – 72 – 54 – 36 – 18 0 9 27 45 63 81 + 10 – 100 – 80 – 60 – 40 – 20 0 + 10 30 50 70 90
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    93 Exercício 46 a) –15 d) 5 g) 6 b) – 4 e) 90 h) 0 c) – 20 f) 71 i) 0 Exercício 47 a) – 1 d) – 12 g) 60 b) 8 e) 11 h) – 27 c) 20 f) – 37 i) 37 Exercício 48 a) ( 6 ) . ( 6 ) = 36 d) ( – 6 ) . ( – 6 ) = 36 b) ( 6 ) . ( – 6 ) = – 36 e) ( – 12 ) . ( – 6 ) = 72 c) ( – 6) . ( 6) = – 36 f) ( – 12 ) . ( 6 ) = – 72 Exercício 49 a) – 20 b) – 54 c) – 40 – 126 = – 166 d) – 48 e) – 128 f) 7 Exercício 50 – 5, – 15, – 45, – 135, – 405. Exercício 51 – R$ 100,00 Exercício 52 (– 10 e 5) Exercício 53 a) 3 b) 8
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    94 c) 3 d) 6 e)9 f) – 54 g) 2 h) 4 i) – 5 j) – 1 k) – 9 l) – 2 Exercício 54 1º número 2º número 3º número Soma Produto – 7 – 3 – 5 – 15 – 105 – 6 – 2 – 4 – 12 – 48 – 5 + 3 + 2 0 – 30 – 4 – 5 – 3 – 12 – 60 – 3 + 4 – 5 – 4 60 – 2 – 1 + 5 2 10 – 1 – 2 + 5 2 10 0 – 1 – 2 – 3 2 + 1 + 5 + 4 10 20 + 2 + 3 + 5 + 10 + 30 + 3 + 4 – 4 3 – 48 + 4 + 3 – 4 3 – 16 + 5 – 1 + 3 7 – 15 + 6 + 2 – 2 6 – 24 + 7 – 5 + 2 4 – 70 Exercício 55 a) ( – 16 ) : ( – 2 ) = ( g ) – 6 b) ( + 28 ) : ( – 4 ) = ( c ) – 20 c) ( – 40 ) : ( + 2 ) = ( b ) – 7 d) ( + 24 ) : ( + 4 ) = ( h ) + 18 e) ( + 45 ) : ( – 5 ) = ( d ) + 6 f) ( – 27 ) : ( – 3 ) = ( e ) – 9 g) ( – 42 ) : ( + 7 ) = ( f ) + 9 h) ( – 36 ) : ( – 2 ) = ( a ) + 8
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    95 Exercício 56 a) 15 b)– 25 c) 20 d) – 20 e) 20 f) – 20 g) – 9 h) 9 i) 9 j) – 20 Exercício 57 (8) Exercício 58 (6) Exercício 59 Não. São frações. – 100 + 80 – 60 + 48 0 ( : ) + 24 – 36 + 42 + 64 – 72 50 – 40 30 – 24 0 – 2 – 12 18 – 21 – 32 36 25 – 20 15 – 12 0 – 4 – 6 9 – 16 – 10 8 0 + 6 4 – 6 7 – 12 – 10 – 6 0 – 8 – 3 Erro – 8 9 – 50 40 – 30 24 0 + 2 12 – 18 21 + 42 – 36 – 25 20 – 15 12 0 + 4 6 – 9 16 + 10 – 8 0 – 6 – 4 9 – 7 12 10 6 0 + 8 3 Erro 8 – 9 Exercício 60 a) R$ 25,00 b) R$ 6,00 c) R$ 50,00 d) R$ 2,00
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    96 e) R$ 4,00 f)R$ 6,00 g) R$ 25,00 Exercício 61 a D I V I S O R b Q U O C I E N T E c D Í V I D A d D I V I D E N D O e I N T E I R O S f M U L T I P L I C A Ç Ã O g Z E R O Exercício 62 9 Exercício 63 a) 9,3 b) – 2,6 c) Terça e quinta (–3) d) Quinta 11 graus Exercício 64 x y z x . y x . z y . z x : y x : z (x . y) : z (x . z) : y (y . z) : x + 6 – 3 + 2 – 18 + 12 – 6 + 2 + 3 – 9 (+ 12) : (– 3) = – 4 – 1 – 6 + 3 + 2 – 18 – 12 + 6 – 2 – 3 – 9 – 4 (+6) : (– 6) = – 1 + 6 – 3 – 2 – 18 – 12 + 6 – 2 – 3 (– 18) : (– 2) = + 9 + 4 + 1 – 6 + 3 – 2 – 18 + 12 – 6 + 2 + 3 + 9 + 4 + 1 Exercício 65 a) b) c) Exercício 66 a) 0,4 b) 0,5 c) 0,5 d) 0,75
  • 97.
    97 Exercício 67 a) 3/10 b)2/5 c) 1/2 d) 21/50 e) 53/100 f) 3/4 g) 25/4 h) 224/100 = 112/50 = 56/25 i) 0,625 = 625/1.000 = 5/8 Exercício 68 1/2 = 0,5 Exercício 69 1/4 + 2/5 + 3/4 = 28/20 = 14/10 Exercício 70 a) b) c) Exercício 71 3/4 e 3/4 Exercício 72 a) 6/35 b) 12/45 c) – 11/24 d) 1/7 Exercício 73 a) 9,2 b) 4,05 c) 14,7654 d) 17,09848 Exercício 74 ( . ) 2,3 1,32 3,421 4,1231 1,1 2,53 1,452 3,7631 4,53541 2,21 5,083 2,9172 7,56041 9,112051
  • 98.
    98 3,32 7,636 4,382411,35772 13,688692 4,012 9,2276 5,29584 13,725052 16,5418772 Exercício 75 a) – 32/21 b) 63/10 c) 45/28 d) 1/12 Exercício 76 ( : ) – 3 – 2 – 1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 2 – 0,6 – 1 – 2 Não pode! + 2 + 1 0,6 0,5 = 0,4 – 2 + 0,6 + 1 + 2 Não pode! – 2 – 1 – 0,6 = – 0,5 – 0,4 Unidade 2 Exercício 1 Linguagem Comum Linguagem Matemática O dobro de um número é igual a oito. 2x = 8 O triplo de um número é igual a vinte e quatro. 3x = 24 O triplo de um número mais três unidades é igual a dezoito. 3x + 3 = 18 O triplo de um número é igual a 48. 3x = 48 Cinquenta por cento de um número. #2 22 x ou de x Exercício 2 x = 34 Exercício 3 x = 16 Exercício 4 x = 18 Exercício 5 x = 18
  • 99.
    99 Exercício 6 x =22 Exercício 7 x = 28 Exercício 8 x = 12 Exercício 9 a) x = 8 b) x = 36 c) x = 10 d) x = 14 e) x = 20 f) x = 30 Exercício 10 a) x = 18 b) x = 21 c) x = 20 d) x = 15 e) x = – 12 Exercício 11 a) x = 5/3 b) x = 23/6 c) x = 9 d) x = 9 e) x = 13/6 f) x = 8/21 Exercício 12 x = 70 Exercício 13 x = 7,5 Resposta: 7 anos e meio ou 7 anos e seis meses. Exercício 14 x = 6 Resposta: Cada jaca pesa 6kg. Exercício 15 x = 60 Resposta: O número é 60 e seu sucessor 61. Exercício 16 x = 18 Resposta: Os números são 18, 19 e 20.
  • 100.
    100 Exercício 17 x =19 Resposta: 19 vagas para motos e 95 vagas para carros. 5 x 19 = 95 Exercício 18 a), b), d), e), j) -> (E) c), f), g), h), i), k), l) -> (I) Unidade 3 Exercício 1 a) 6/11 b) 1/5 c) 5/9 d) 4/5 e) 19/6 f) 3/7 Exercício 2 a) 9/12 = 3/4 b) 3/12 = 1/4 Exercício 3 1, 70/1, 10 = 1, 7/1, 1= 17/11. Exercício 4 a) 1/12 b) 1/7 c) 6/30 = 1/5 d) 5/12 e) 50/420 = 5/42 Exercício 5 a) 150/200 = 15/20 = 3/4 b) 200/150 = 4/3 c) 150/50 = 3 d) 50/150 = 1/3 Exercício 6 a) 4 m x 3,6 m b) 4 m x 4,8 m c) 2,8 m x 2,8 m d) 2 m x 1,2 m Exercício 7 a) x = 7 b) x = 1 c) x = 3 d) x = 8 Exercício 8 x = 64
  • 101.
    101 Exercício 9 x =500 min Resposta: 8h e 20 min. Exercício 10 x = 4 Resposta: 4h. Exercício 11 x = 8 Resposta: 8 latas. Exercício 12 x = 210 Resposta: 210 m2 Unidade 4 Exercício 1 EXPRESSÃO COMO SE LÊ SIGNIFICADO 40% são crianças. 40 por cento são crianças. Em cada 100 pessoas, 40 são crianças. 23% não votaram. 23 por cento não votaram. Em cada 100 eleitores, 23 não votaram. 72% tiveram desconto. 72 por cento tiveram desconto. Em cada 100 consumidores, 72 tiveram desconto. 55% são estudantes. 55 por cento são estudantes. Em cada 100 pessoas, 55 são estudantes. 18% são professores. 18 por cento são professores. Em cada 100 profissionais, 18 são professores. 27% são médicos. 27 por cento são médicos. Em cada 100 profissionais, 27 são médicos. 44% cursam o 7º ano. 44 por cento cursam o 7º ano. Em cada 100 alunos, 44 cursam o 7º ano. 61% receberam o pagamento. 61 por cento receberam o pagamento. Em cada 100 funcionários, 61 receberam o pagamento. 36% pagam aluguel. 36 por cento pagam aluguel. Em cada 100 pessoas, 36 pagam aluguel. Exercício 2 a) 2% b) 5% c) 10% d) 30% e) 50% f) 70% g) 100% Exercício 3 a) 5/100 b) 15/100 c) 25/100 d) 95/100 e) 60/100 Exercício 4 a) 36/100 = 36% b) 60/100 = 60% c) 36/100 = 36%
  • 102.
    102 Exercício 5 a) 1/10b) 1/5 c) 3/10 d) 2/5 e) 1/2 f) 3/4 g) 83/100 h) 19/20 Exercício 6 a) 50% b) 25% c) 80% d) 8% e) 18% f) 18% Exercício 7 a) 91,8 b) 360 c) 67,5 d) 1.296 Exercício 8 180 alunos. Exercício 9 8 alunos. Exercício 10 72 reais. / 48 reais. Exercício 11 a) 25% b) 50% c) 5% d) 3% e) 2% f) 15% Exercício 12 R$ 9,00. Exercício 13 R$ 160,00. Exercício 14 a) 24/32 = 75% b) 8/32 = 25% Exercício 15 R$ 32,00.
  • 103.
    103 Exercício 16 R$ 20,00. Exercício17 35% Exercício 18 96 km Exercício 19 R$ 42,00. Exercício 20 a) 6 b) 12 c) 14 d) 18 e) 23 f) 27 Exercício 21 Sofá por R$ 630,00 e fogão por R$ 210,00. Unidade 5 Exercício 1 a) 4 m b) 167,4 m c) 16 m d) 16 m e) 25 m Resposta: As figuras (c) e (d) possuem perímetros iguais. Exercício 2 a) 24 m b) 9,2 m c) 18 m d) 28,4 m e) 60 m Exercício 3 a) 17,4 cm b) 80 m c) 68 cm Exercício 4 a) 16 cm b) 28 cm c) 8 m d) 40 cm e) 48 cm Exercício 5 a) 12 m b) 8 m c) 12 cm d) 24 m e) 39 cm
  • 104.
    104 Exercício 6 x =25 Resposta: 25 e 33. Exercício 7 x = 33 cm Exercício 8 a) 28 b) 42 c) 38 d) 36 unidades de área. Exercício 9 600 m2 Exercício 10 395,2 cm2 Exercício 11 a) 1.642,22 m2 b) 2.440 m2 Exercício 12 400 m2 Exercício 13 470,89 m2 Exercício 14 a) 1.225 m2 b) 1.806,25 m2 Exercício 15 6,36 m2 Exercício 16 16 m2
  • 105.
    105 Exercício 17 a) 225m2 b) 100 m2 Exercício 18 (→) Área = 99 cm2 . GABARITO DA AVALIAÇÃO 1) – 4, – 1, 2 e 5. 2) Débito de R$ 15,00. 3) Média = 15. 4) R$ 65,00. 5) – R$ 15,00. 6) R$ 12,00. 7) 3/5 para a minha família e 2/5 para a família da minha tia. 8) x = 18. 9) 8 kg. 10) 8/12 = 2/3. 11) 48 cm de comprimento. 12) 16 latas. 13) R$ 450,00. 14) O desconto será de R$ 63,00. A calça com desconto vai custar R$ 27,00. 15) Largura de 29 cm e comprimento de 37 cm. 16) 240 m2 . 17) 484 m2 . 18) 30 m2 . 19) 2,7. 20) 35/100 = 7/20.
  • 106.
    106 BIBLIOGRAFIA ANDRINI, Álvaro; VASCONCELOS,Maria José. Praticando matemática. 7º ano. 3. ed. São Paulo: Editora do Brasil, 2012. BIANCHINI, Edwaldo. Matemática. 7º ano. 7. ed. São Paulo: Moderna, 2011. CARVALHO, Alexandre Luís Trovon de; REIS, Lourisnei Fortes. Matemática inter@tiva. 6ª série. Tatuí, SP: Casa Publicadora Brasileira, 2001. CENTURIÓN, Marília. JAKUBOVIC, José. Matemática: teoria e contexto. 7º ano. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 2012. DANTE, Luiz Roberto. Projeto Teláris: Matemática. 7º ano. 1. ed. São Paulo: Ática, 2012. FUNDAÇÃO. CECIERJ. Nova Eja – Educação de Jovens e Adultos: Matemática. módulo 1 – unidade 7. Governo do Estado do Rio de Janeiro, 2011. GOVERNO. do Estado de São Paulo. Coleção Tempo de Aprender. EJA, 7º ano. vol. 2. 2. ed. – São Paulo: IBEP, 2009. GOVERNO. do Estado de São Paulo. Mundo em construção: Educação de Jovens e Adultos – 2º segmento do Ensino Fundamental, vol. 3. 1. ed. São Paulo: Global - Ação Educativa, 2009. NAME, Miguel Asis. Tempo de matemática. 6ª série. São Paulo: Editora do Brasil, 1996. NETTO, Scipione Di Pierro. Matemática: conceitos e histórias. 6ª série. 1. ed. São Paulo: Scipione, 1998. PREFEITURA. da Cidade do Rio de Janeiro. Caderno de Revisão do Aluno – Matemática. 8º ano. Coordenadoria de Educação – Rio de Janeiro, 2011. Consulta virtual Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 23/07/2013.