SlideShare uma empresa Scribd logo
COLÉGIO OPÇÃO
                                            MATEMÁTICA

                        1. SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

   O nosso sistema de numeração que usamos hoje é o decimal, ou seja, as quantidades são agrupadas
de 10 em 10. Os algarismos que usamos têm influência de outros povos que desenvolveram a escrita
há muito tempo atrás como os povos hindus e árabes, você já deve ter notado os números ao seu redor
em calendários, números de celulares, preços de mercadorias e etc.. O número na nossa historia
moderna é tão importante que não viveríamos mais sem ele.




                                          Fig1 Números do nosso dia-a-dia

Como foi dito antes vários povos desenvolveram a escrita matemática, e lógico, não só a escrita mais
todos os seus cálculos. Esses conhecimentos matemáticos eram usados em suas construções como
pirâmides, templos, assim como canais de rio usados na agricultura e calculo de áreas de terrenos.




  Fig2 Algarismos usados pelos egípcios
1.1.   OS ALGARISMOS INDO-ARÁBICOS




O nosso sistema de numeração, como também de todo o mundo usa os seguintes símbolos :


                           0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
   Esses símbolos foram criados pelos árabes que por sua vez buscaram inspiração na matemática
dos hindus ou povos indianos, isto é, habitantes da índia. O grande responsável pela união das duas
culturas foi o matemático árabe AL-khowarizmi, foi ele que divulgou para o mundo os primeiros
trabalhos matemáticos de escrita matemática. Por isso são conhecidos hoje como algarismos indo-
arábicos.
   Dica do professor: Nunca se esqueça os números são apenas representações de quantidades,
diversas culturas de povos utilizavam representações diferentes para a mesma quantidade




                                                    96
                                                                             5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
                                         Texto complementar
                                        Contando com os egípcios

Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa
   “Filho da Lua”. Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do
  faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do
   Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.
O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contêm 80 problemas, todos resolvidos. A maioria
       envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a
alimentação do gado. Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no. Papiro Ahmes, não
   foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos
   hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi
               muito útil. O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:
1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 Os egípcios usavam símbolos para representar esses números.
 Um traço vertical representava 1 unidade: Um osso de calcanhar invertido representava o número 10:
  Um laço valia 100 unidades: Uma flor de lótus valia 1.000: Um dedo dobrado valia 10.000: Com um
   girino os egípcios representavam 100.000 unidades: Uma figura ajoelhada, talvez representando um
                                            deus, valia 1.000.000:
   Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Na escrita dos números que
  usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante. Se tomarmos um número, como por
      exemplo: 256 e trocarmos os algarismos de lugar vamos obter outros números completamente
diferentes: 265 526 562 625 652 Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem
dos símbolos. Observe no desenho que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos
                              do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número:




Atividade investigadora!!
1-escreva em seu caderno dez números de pequenos valores e dez números de valores altos. Vamos
corrigi-los!!
                                    EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1-represente em seu caderno os seguintes números
(A) cento e trinta e quatro
(B) seis mil e quarenta e cinco
(C) mil setecentos e cinqüenta e dois
(D) um milhão
(E)150
(F)1000
2-complete o texto com números justificando-os.
 Na ___ semana de abril, numa ___ feira, cerca de ___ pessoas participaram da reunião da associação
de pais e mestres da escola. No encontro, ___ assuntos foram discutidos. Os presentes comeram ___
salgadinhos no total e consumiram ___ garrafas de refrigerante de ___ litros cada. O ponto principal
da reunião foi a organização da festa junina. Foi decidido que o evento seria realizado no dia ___ de
                                                 97
                                                                             5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
junho, ou seja, cerca de ___ dias depois do início das aulas e ___ dias antes do início das férias de ju-
lho. Estima-se que ___ pessoas comparecerão à festa, bem mais do que os ___ do ano passado. Para -
elas haverá ___ barracas de jogos e ___ barracas de comes e bebes. O ponto alto vai ser a quadrilha,
com ___ alunos participantes.

1.2 SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO




Diversas civilizações da antigüidade, além da egípcia, desenvolveram seus próprios sistemas de
numeração. Alguns deles deixaram vestígios, apesar de terem sido abandonados.
Assim, por exemplo, na contagem do tempo, agrupamos de 60 em 60; sessenta segundos compõem
um minuto e sessenta minutos compõem uma hora. Isto é conseqüência da numeração desenvolvida
na mesopotâmia, há mais de 4000 anos. Lá era usada a base sessenta
Outro vestígio de uma numeração antiga pode ser observado nos mostradores de relógios, na
indicação de datas e de capítulos de livros: são os símbolos de numeração romana.




                        Estes são os símbolos usados no sistema de numeração romano:




       Atividade investigadora!
       1-escreva em seu caderno vários números tentando usar a escrita romana

                                             Exercícios de fixação

1)observe e complete:




                                                    98
                                                                                5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
                         10             32                  606         1000
                                   X
                          X        X              XL   CL
                                   V

        2. Escreve em numeração romana:

        1   2      3     5         10        20   30   50   100   200     300    500       1000        2000
                  III                                        C

3. Faz a correspondência:

    7                        VII

100                           I

1                       CCCXXX

20                            C

330                          XX

4) usando o sistema romano de numeração,você deve escrever os seguintes números:
A) 26                     e)409
B) 102                    f)1050
C) 830                    g)91
D) 77                     h) 360

        1.3 CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS

   Os números Naturais, historicamente, foram os primeiros números a serem utilizados pelo
homem.
                                           Reflita um pouco!!
   (I) Para que os homens de antigamente usavam os números?
   (II) Como será que eles trabalhavam com contagem quando não sabiam a escrita dos números?
   (III) E hoje para que serve os números?
Os primeiros números de fato eram os números usados para a contagem. Eram usados na caça, na
criação de rebanho e etc..




Os números NATURAIS podem se representado por:
  N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...}
                                                       99
                                                                                5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
Atividade investigadora
   1-qual o menor numero natural?
   2-quais números naturais possuem sucessores e quais possuem antecessores?
                                      Texto complementar
                                      Os árabes divulgam ao mundo os números hindus

Simbad, o marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum al-Raschid são nomes familiares para quem conhece os
contos de As mil e uma noites. Mas Simbad e Aladim são apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmente
existiu. Foi o califa de Bagdá, do ano 786 até 809. Durante o seu reinado os povos árabes travaram uma séria de
guerras de conquista. E como prêmios de guerra, livros de diversos centros científicos foram levados para Bagdá e
traduzidos para a língua árabe.




      Em 809, o califa de Bagdá passou a ser AL-Mamum, filho de Harum al-Rahchid. Al-Mamum era muito vaidoso.
       Dizia com toda a convicção. "Não há ninguém mais culto em todos os ramos do saber do que eu". Como era um
    apaixonado da ciência, o califa procurou tornar Bagdá o maior centro científico do mundo, contratando os grandes
            sábios muçulmanos da época. Entre eles estava o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos: AL-
     khowarizmi. Estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para a língua árabe, AL-khowarizmi
    surpreendeu-se a princípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam um ovo de ganso! Logo, AL-khowarizmi
  compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus haviam descobertos. Com aquele sistema de numeração, todos os
      cálculos seriam feitos de um modo mais rápido e seguro. Era impossível imaginar a enorme importância que essa
        descoberta teria para o desenvolvimento da Matemática. Al-khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas nova.
        Escreveu um livro chamado Sobre a arte hindu de calcular, explicando com detalhes como funcionavam os dez
 símbolos hindus. Com o livro de AL-khowarizmi, matemáticos do mundo todo tomaram conhecimento do sistema de
  numeração hindu. Os símbolos - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - ficaram conhecidos como a notação de al-khowarizmi, de onde
se originou o termo latino algorismus. Daí o nome algarismo. São estes números criados pelos matemáticos da Índia e
       divulgados para outros povos pelo árabe AL-khowarizmi que constituem o nosso sistema de numeração decimal
                conhecidos como algarismo indo-arábicos.                                                       Fonte:
                                                                                                     educar.sc.usp.br

                       2.1. OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS NATURAIS

Atividade investigadora
1-em duplas encontrem soluções para a seguinte questão:
Um restaurante comprou 18 caixas de ovos com uma dúzia em cada caixa. Quantos ovos o
restaurante comprou?
2 TIPOS DE OPERAÇÕES
As operações básicas dos números naturais como visto no exercício proposto acima podem ser
classificadas como quatro. São elas
                            2.1 ADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS




Investigue: Lucas comprou um salgado de R$ 1,70 e um suco de R$ 0,70. Quanto pagou por
tudo?Quem são as parcelas? O que seria a soma?


                                                     100
                                                                                   5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
                          2.2 SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS




Investigue: Professor Marcio devia na cantina R$ 5,20 e hoje pagou 4,70. Quem é o minuendo e
quem é o subtraendo dessa operação?Quem seria o resto ou diferença? Como podemos “arma” esse
calculo?
Exercícios de fixação

1. Uma empresa produziu no primeiro trimestre 6905 peças. No segundo trimestre, a mesma empresa
produziu 765 peças a mais que no primeiro trimestre.
A) quantas peças a empresa produziu no segundo trimestre?
B) quantas peças a empresa produziu no semestre?

2. João comprou um aparelho de som por 635 reais e as caixas de som por 128 reais. Tendo pago 12
reais pela instalação, qual a quantia que ele gastou?
3. Uma indústria, no final de 2007, tinha 10 635 empregados. No inicio de 2008, dispensou 1 880
funcionários essa indústria ficou?
4. Efetue as operações:
A. 11 011 – 7 997                                c. 7 000 – 1 096
B. 140926 – 78016                                d. 2 0620 - 945

                       2.3 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS

   Considere uma adição de quatro parcelas iguais a 2 :
              2+2+2+2 =8

   essas quatro parcelas são iguais a 2, que também representamos por 4 vezes 2, e escrevemos assim:
                                      4x2 = 8      x , que se lê “ vezes “

  Essa operação, chamada multiplicação, representa uma adição de parcelas iguais. Na
multiplicação, os elementos são os seguintes: fatores e produto.
                                   4 e 2 são os fatores.
Exemplo:       4x2 = 8
                              8, o resultado, é o produto.
Investigue: No seu caderno complete a tabela:
 Multiplicação Resultado                  Multiplicação Resultado

2x0                                        10x10
2x1                                        12x3
2x8                 8+8                    5x16
2x14                                       32x2               32+32
4x15                                       100x10

Exercícios de fixação
   1º. Uma sala de aula tem 6 fileiras de carteiras. Em cada fileira há 8 carteiras. Isto significa que
   nessa sala de aula

                                                   101
                                                                                5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
2. O médico receitou a André que andasse 1 250 metros todos os dias para melhorar o seu estado
físico. Quantos metros André vai andar em uma semana?

                         Vamos pesquisar:
     MULTIPLICAÇÃO ÁRABE E MULTIPLICAÇÃO BASE DOIS EGÍPCIA


                          2.4 DIVISÃO DOS NÚMEROS NATURAIS.

Dado um conjunto de 8 elementos, para separá-lo em grupos de 2 elementos são necessários 4
conjuntos.
Isto é:
                  : que se lê: “dividido por”

  Esta operação chama-se divisão exata. É a operação inversa da multiplicação.
  Numa divisão exata, usamos a seguinte notação: dividendo, divisor e quociente.
Exemplo:

                     8 é o dividendo, 4 é o divisor e 2 é quociente da divisão.

Investigue: Isabela precisa dividir 5 doces para suas 3 amigas.nesta operação quem é o dividendo o
divisor e o quociente? Existe algo a mais nessa operação? Comente com os seus colegas.

                                       Exercícios de fixação

1-uma fruteira das 14 de março comprou 22 caixas de maçãs. Tendo 8 maçãs cada caixa, quantas
maçãs no total obteve a fruteira?

2-Sr Araújo comprou para a sua venda 3 caixas de manga rosa e 7 caixas de manga comum com 7
mangas em cada caixa de manga rosa e 5 mangas em cada caixa de manga comum. Quantas mangas
no total comprou Sr Araújo?

3-comprei 35 caixas de CD com 60 CDs em cada caixa. Quantos CDs comprei no geral?

4-foram doados para os desabrigados de uma enchente 120 cobertores, 180 pares de sapatos e 240
pares de roupa. Sabendo que o numero de desabrigados era de 60, quanto de cada item doado ficou
cada um?

5-uma urna contem 49 bolas amarelas, 21 vermelhas e 343 brancas para serem distribuídas
igualmente entre 7 crianças, quantas bolas de cada cor receberá cada criança?

6-tenho 120 selos para distribuir entre meus 22 netinhos. Quanto selo ficará cada um? A divisão será
exata?

7-comprei uma camisa do flamengo parcelado em 6 parcelas iguais à R$16,50 cada. Quanto pagarei
pela camisa?

8- em uma rua de 400 metros de comprimento serão colocados pôsteres de luz de modo que cada um
fique 25 metros de distancia um do outro. Quantos pôsteres serão colocados nesta rua?

9-uma tartaruga anda em media 1 metro a cada hora. Ao final de um dia teria andado quanto?

10-uma aposentadoria de R$ 540,00 rende em 22 anos um valor de?

11- um grupo de 12 estudantes conseguiu arrecadar R$ 264,00. Quanto deu cada estudante?


                                                 102
                                                                              5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
12-um estacionamento cobra por hora R$3,00. Se em determinada hora o dono arrecadou R$ 693,00,
quantos carros havia no estacionamento
13-a helena andou 15 km em 5 horas. Se ela andar sempre à mesma velocidade, quantos km andou
por hora?
14-numa fazenda existe 12 porcos e 17vacas que dão um total de quantos pés?
15- para as 5ª series de um colégio foram matriculados 336 alunos. Esses alunos devem ser repartidos
igualmente em 8 salas. Quantos alunos haverá em cada sala de 5ª serie?

16- em uma hora há 60 minutos. Quantas horas há em 840 minutos

17-. Uma padaria fabrica 180 tortas por dia e as entrega a cada uma de suas 15 filiais de modo que
todas recebam a mesma quantidade de tortas. Quantas tortas cada filial recebem?
18- "num cinema há 250 poltronas. Se há 10 fileiras, quantas poltronas há por fileira?
19. Completa:

Numeração       Numeração                Numeração Numeração
Romana          Árabe                    Romana    Árabe
   6+2             VII
                                                            III
    18-3
                                                            LV
    39+6
                                                           LXI
   200+15
                                                           CXV
  1360-360
                                                           DCL

É PRECISO FALAR SOBRE... ”As propriedades distributivas e comutativas das operações com
números naturais”
Voltemos a atividade investigadora da página 100:
Um restaurante comprou 18 caixas de ovos com uma dúzia em cada caixa. Quantos ovos o restaurante
comprou?
Podemos resolver este problema usando a operação de multiplicação 18x12=216, onde 18 é p numero
de caixas e 12 o numero de ovos em cada caixa: observe que este problema também pode ser escrito
da seguinte forma:




Que é a forma “distributiva” da operação ou:




Que é a forma “comutativa”, pois se multiplicou as caixas ao invés dos ovos, ou também,
18x12=12x18


                                                103
                                                                            5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
                       2.5 ELEMENTO NEUTRO DA ADIÇÃO E DA MULTIPLICAÇÃO

Observe: 5+0=5 ou 0+5=5, 14+0=? 0+21=?Nota- se que o “0” nada ou vazio somado a qualquer
numero é sempre igual ao próprio numero.
Na multiplicação temos outro elemento neutro observe:
5x1=5, de outra forma 1x5=1+1+1+1+1=5
6x1=? 1x52=?; O numero 1 é o elemento neutro da multiplicação.

                                                 Exercícios de fixação

1-nas questões seguintes resolva utilizando uma das formas distributivas ou comutativas.

A)14x15              b)6x8

C)20x19              d)24x20

E)100x40            f)13x12

2-veja o esquema abaixo

5x1=5

5x2=5+5=10

5x3=5+5+5=15

5x4=5+5+5+5=20.....

.......................................   Então 5x0=?   8x0? 1000x0? É igual a quanto?

                         2.6 A BASE 10 DOS NÚMEROS NATURAIS
Os algarismos de um numero são posicionais, ou seja eles representam agrupamentos de dezenas
centenas ou milhares como no exemplo:
1250=1x1000+2x100+5x10 (um milhar com 2 centenas e com 5 dezenas)
Vamos tentar decompor os números a seguir para base 10.
A)5324
B)891
C)981
D)918
E)623189

       2.7 EXPRESSÕES NUMÉRICAS NO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS.
Atividade investigadora:
Por que se faz uso de sinais como parênteses e colchetes nas operações numéricas?

Chamamos de expressão numérica a um conjunto de números reunidos entre si por sinais de
operação.
A ordem de resolução, para as expressões numéricas que envolvem as quatro operações é:
             1º. Potências e raízes;
             2º. Multiplicação e divisão;
                 3º. Adição e subtração.
Nos casos onde figuram ( ), [ ] e { }, vale a ordem abaixo:
             1º. Parênteses ( );
             2º. Colchetes [ ]; 3º. Chaves { }.
                                                          104
                                                                                   5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
Exemplos
     1). 40: 8 + 2 x 16             2). 40: ( 8 + 2 x 16 )     3) ( 40 : 8 + 2 ) 16
         5+32 = 37                      40 : ( 8 + 32 )          ( 5 + 2 ) x 16
     ]                                    40 : 40 = 1               7 x 16 = 112

                                        EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
1) Calcule o valor das expressões

a) 30-(5+3) =
b) 15+(8+2) =
c) 15-(10-1-3) =
d) 23-(2+8)-7 =
e) (10+5)-(1+6) =
f) 7-(8-3)+1=

2) Calcule o valor das expressões

a) 25-[10+(7-4)] =
b) 32+[10-(9-4)+8] =
c) 45-[12-4+(2+1)] =
d) 70-{20-[10-(5-1)]} =
e) 28+{13-[6-(4+1)+2]-1} =
f) 53-{20-[30-(15-1+6)+2]} =
g) 62-{16-[7-(6-4)+1]} =
h) 20-{8+[3+(8-5)-1]+6} =
i) 15+{25-[2-(8-6)]+2} =
j) 56-[3+(8-2)+(51-10)-(7-2)] =
l){42+[(45-19)-(18-3)+1]-(28-15)-1} =

3)Calcule o valor das expressões:

a) 25 + { 12 + [ 2 – ( 8 – 6 ) + 2 ]} =
b) { [ ( 18 – 3 ) + ( 7 + 5) – 2 ] + 5 } – 12 =
c) 65 – { 30 – [ 20 – ( 10 – 1 + 6) + 1 ]} =
d)45 + { 15 – [ ( 10 – 8 ) + ( 7 – 4) – 3 ] – 4 } =
e) 40 + { 50 – [35 – ( 25 +5) – 1 ]} + 7 =
f)38 – { 20 – [ 22 – ( 5 + 3) + ( 7 – 4 +1)]} =
g) 26 + { 12 – [ ( 30 – 18) + ( 4 – 1) – 6 ] – 1 } =
                                      3. DIVISORES E MÚLTIPLOS
DIVISÕES EXATAS E NÃO EXATAS
Atividade investigadora: Podemos dividir um número por qualquer outro numero?
Vamos pensar um pouco:
*Mariana tem 8 maças e precisa dividi-las igualmente entre seus 12 primos.
*Mário tem 44miniaturas de carro e quer dividi-los em 11 fileiras para expô-los a um amigo.
Robson tem R$1,00 e quer dividi-lo em 10 partes?
Qual dos problemas apresenta uma solução ”exata” e por que?
O que é uma solução exata para você?




                                                   105
                                                                              5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
Complete a tabela abaixo:


   Divisão      Quociente        Resto
336 por 13
337 por 13
338 por 13
339 por 13
340 por 13


Qual das divisões teve um resultado exato pelo numero 13?

3.1. Critérios de divisibilidade
Vamos estudar algumas regras que permitem verificar, sem efetuar a divisão, se um número é
divisível por outro. Essas regras são chamadas critério de divisibilidade.
Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 quando é par , determina um numero par de elementos ou termina em
0,2,4,6, e 8,....:
    a) 458 é divisível por 2, pois termina em 8.
    b) 1361 não é divisível por 2, pois não termina em número par.
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um número divisível por 3
Exemplo:
A) 627 é divisível por 3, porque a soma:
  6 + 2 + 7 = 15 é divisível por 3.
B) 4 312 não é divisível por 3, porque a soma:
  4 + 3 + 1 + 2 = 10 não é divisível por 3.
  Atividade investigadora: note que, tanto os números que são divisíveis por 2 e por 3 formam os
seguintes conjuntos com a seguinte seqüencia:
  Números divisíveis por 2 {0,2,4,6,8,..... }
  Números divisíveis por 3 {0,3,9,12,15,..}
  Qual o vigésimo numero divisível por 2?
  Qual é o divisor de numero 50 do numero 3?
  Como são chamados esse conjunto de números divisíveis poe 2 e por 3?
Divisibilidade por 4 Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o
número é divisível por 4.Exemplo 136 termina em 36 que é divisível por 4
Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
Exemplos:
    a) 125 é divisível por 5, pois termina em 5.
    b) 3010 é divisível por 5, pois termina em 0.
Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplo:
a) 912 é divisível por 6 porque é divisível por 2 e 3.
b) 524 não é divisível por 6, pois é divisível por 2, mas não é por 3.
Divisibilidade por7 Duplica-se o algarismo das unidades e subtrai-se do resto do número . Se o
resultado for divisível por 7 o número é divisível por 7.

                                                    106
                                                                             5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
Por exemplo:
245 - 5 x 2 = 10 e depois 24 - 10 = 14 então é divisível por 7.
1589    - 9 x 2 = 18 e 158 - 18 = 140 então é divisível por 7 .

204568 - 8 x 2 = 16 e 20456 - 16 = 20440 e aplicando novamente
              0 x 2 = 0 2044 - 0 = 2044 e novamente
               4 x 2 = 8 204 - 8 = 196 e novamente
               6 x 2 = 12 19 - 12 = 7
então é divisível por 7.

Divisibilidade por 9
Somar os algarismos do número e verificar se a soma é divisível por nove .
Por exemplo. 3464514 - 3+4+6+4+5+1+4=27 e 2 + 7 = 9 então é divisível por 9
Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 quando termina em 0.
Exemplo:
  a) 1240 é divisível por 10, pois termina em 0.
  b) 1355 não é divisível por 10, pois não termina em 0.
Divisibilidade por11
Soma o 1º, o 3º, o 5º, o 7º algarismo...
Soma o 2º, o 4º, o 6º, o 8º algarismo...
Se a diferença for múltiplo de 11 (incluindo o zero) então o número é divisível por 11.
 Por exemplo:      94186565 - 9 + 1 + 6 + 6 = 22
                                  4 + 8 + 5 + 5 = 22 e 22 - 22 = 0 então o número é divisível por 11.
4723866862 - 4+2+8+6+6 = 26
                     7+3+6+8+2 = 26 e 26-26 = 0 então o número é divisível por 11
Divisibilidade por12
Se o número for divisível por 3 e por 4 é divisível por 12.
Divisibilidade por13
Multiplica o algarismo das unidades por 9 e subtrai-o do restante número. Se o resultado for múltiplo
de 13 então o número inicial é múltiplo de 13.
Por exemplo:
1105     -     5 x9=45      e 110 - 45 = 65
(se ainda tiveres dúvidas podes fazer novamente...)
que é múltiplo de 13 - 13x5= 65

Exercício de fixação
Faça no seu caderno
1. Quais destes números são divisíveis por 10?
A) 472         e) 1 520             i) 90 001
B) 560         f) 1 849             j) 16 475
C) 885         g) 8 640             l) 80 300
D) 990         h) 9 080             m) 125 000

2. Quais são as verdadeiras?
    a) Todo número par é divisível por 10.
    b) Todo número divisível por 10 é par.
    c) Todo número divisível por 5 é divisível por 10.


Exercícios complementares
Faça no seu caderno
1. Considere os números do quadrado e responda:
 21 86 124 285 111 1 632 4 050 7 335
                                                  107
                                                                             5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
58 90 225 341 280 2 700 3 186 9 000
117 242 161 234 121 62029 7280 2255
a) Quais os números divisíveis por 2?
b) Quais os números divisíveis por 3?
c) Quais os números divisíveis por 4?
d) Quais os números divisíveis por 5?
e) Quais os números divisíveis por 6?
f) Quais os números divisíveis por 7?
g) Quais os números divisíveis por 10?
h) Quais os números divisíveis por 11?
i) Quais os números divisíveis por 13?
j) Qual é divisível por 17?


2. O número abaixo é formado de quatro algarismos. O algarismo das dezenas é desconhecido.
8 4---- 7

Responda:
    a) Este número pode ser divisível por 2?
    b) Este número pode ser divisível por 3?
    c) Este número pode ser divisível por 5?
    d) Este número pode ser divisível por 6?
    e) Este número pode ser divisível por 10?
3. Copie e coloque um algarismo a direita do número:
    a) 457 para ser divisível por 2 e 3.   D) 654 para ser divisível por 5 e 10
    b) 202 para ser divisível por 2 e 3.   E) 813 para ser divisível por 3 e 4
    c) 189 para ser divisível por 2 e 3.   F) 726 para ser divisível por 2, 3, 5 e 10
4-responda
a)58 é divisível por 2?
b)79 não é divisível por 3?
c)54 é divisível por 2?                    h) 63 é divisível por 6?
d) 49 é divisível por 2?                   i) 45 é divisível por 8?
e) 63 é divisível por 3?                   j) 39 é divisível por 13?
f)12 é divisível por 12?
g)1 é divisível por 25?

5. Todos os números são divisíveis por 1?
6-Sem efetuar a divisão, assinale com x os números divisíveis por 2:
A) 211 ( )        b) 118 ( )        c) 1 113 ( )          d) 250 (      ) e) 22 004 (      )
7-sem efetuar a divisão assinale com x os números divisíveis por 3:
A) 119 (     ) b) 103 (      )    c) 1 002 (   )    d) 405 (     ) e) 240 ( )
8- Sem efetuar as divisões, verifique se os números 72, 78,44 022,3 103, 517 e 11 402 são divisíveis
por 6.
9- Sem efetuar as divisões verifique se os números 138, 183, 315, 381, 813,75 e 44 020 são divisíveis
por 5.



Exercícios selecionados
1-Faça no seu caderno
   a) Os números divisíveis por 2.
   b) Os números divisíveis por 3.
   c) Os números divisíveis por 5.
   d) Os números divisíveis por 1

2. Responda:
                                                 108
                                                                             5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
   a) Todo número divisível por 4 é divisível por 2?
   b) Um número divisível por 3 e que termina em 0 é divisível por 6?

3. Estou pensando em um número, maior que 25 menor que 30, que não é divisível nem por 2 nem
por 3. Qual é esse número?

4. Estou pensando em um número, compreendido entre 50 e 60, que é divisível por 2 e por 3. Qual é
esse número?

5. Um número é formado de três algarismo, sendo o algarismo das unidades desconhecidas.
34a
Quais de vem ser os valores de a, de modo que o numero seja divisível.
    a) Por 2?        D) por 5?
    b) Por 3?        E) por 2 e não por 3?
    c) Por 6?        F) por 3 e não por 6?

6. Usando as regras de divisibilidade, escreva:
    a) O maior número de três algarismo divisível por 2.
    b) O maior número de três algarismo divisível por 5.
    c) O menor número de três algarismo divisível por 5.
    d) O menor número de três algarismo divisível por 3.




3.2. Divisores de um número
Divisor de um número
O quadro mostra duas frases que tem o mesmo significado.
• 15 é divisível por 3
Significa
• 3 é divisor de 15
Se a divisão de um número natural por outro (não nulo) é exata, dizemos que o primeiro é divisível
pelo segundo, ou que o segundo é divisor do primeiro.

Conjunto dos divisores de um número
Quais são os divisores de 6?
Veja:
• 6 é divisível por 1 ou 1 é divisor de 6
• 6 é divisível por 2 ou 2 é divisor de 6
• 6 é divisível por 3 ou 3 é divisor de 6
• 6 é divisível por 6 ou 6 é divisor de 6.
Os números 1, 2, 3 e 6 são os divisores de 6 e formam o conjunto indicado por:
D6 = {1, 2, 3 , 6}

Exercícios de fixação
Faça no seu caderno
1. Verdadeira ou falsa?
    a) 8 é divisor de 72            c) 12 é divisor de 72.
    b) 6 é divisor de 38            d) 50 é divisor de 240

2. Escreva os conjuntos dos divisores de:
    a) 8       c) 10         e) 12          g) 16
    b) 9       d) 11         f) 15          h) 17

                                                    109
                                                                             5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
3. Baseado nos resultados dos exercícios anteriores, responda:
    a) Qual é o menor número divisível de um número?
    b) Qual é o maior divisor de um número?

4. Determine os elementos dos seguintes conjuntos:
    a) {divisores de 12 menores que 5}            c) {divisores de 70 menores que 15}
    b) {divisores de 36 menores que 10}           d) {divisores de 80 menores que 12}

5. Escreva o conjunto de:
    a) Todos os divisores de 20
    b) Todos os divisores pares de 20
    c) Todos os divisores impares de 20
Investigue: encontre 30 números que tenham apenas dois divisores.



                            3.3 NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS



ATIVIDADE INVESTIGADORA:


3.4 O CRIVO DE ERATOSTENES E OS MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO
Vamos descobrir números primos
Existe um processo para você determinar número primo chamado de crivo de Erastóstenes. Veja
como você pode fazer para determinar os números primos de 1 a 100.
1. Faça uma tabela de 1 ate 100.
2. Marque ou pinte o número 1
3. Marque ou pinte todos os números divisíveis por 2, exceto o 2.
4. Marque ou pinte todos os números divisíveis por 3, exceto o 3
5. Marque ou pinte todos os números divisíveis por 5, exceto o 5
6. Marque ou pinte todos os números divisíveis por 7, exceto o 7.
Comente com os colegas o resultado dessa experiência. Como se chama os números que sobraram?
E os números que marcados como se chamam?Por que o numero 1 também foi marcado?

Exercícios de fixação
Faça no seu caderno
1. Observe o quadro e responda:
56 78 104 372 774 896 1 002 5 000 6 384
Nesse quadro existem alguns números primos? Por quê?

2. Observe o quadro e responda:
75 105 235 445 665 725 1 005 5 555 8 065
A) quais destes números são primos?
B) por que não existe número primo terminado em 5, formado por mais de um algarismo?

Quais destes números são primos?
   a) 69             e) 113      i) 288
   b) 83             f) 121      j) 397
   c) 93                         g) 169            l) 1 029
   d) 97                         h) 191            m) 6 775

Exercícios complementares

                                                 110
                                                                           5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
Faça no seu caderno
1. Seja a = {2,7,8,9,16,24}
    a) Identifique os números pares.
    b) Identifique os números impares
    c) Identifique os números divisores por 3.
    d) Identifique os números divisores por 4.
    e) Identifique os números primos.

2. Quais dos divisores de 18 são primos
3. O número 1 é primo por quê?
4. Verifique se é primo o número natural:
A) 71          e) 289           i) 997
B) 127         f) 721           j) 1 001
C) 601         g) 648           l) 1 263
D) 347         h) 707           m) 3 748

Exercícios selecionados
Faça no seu caderno
1. O número 0 é primo ou composto?
2. Qual o número natural que não é primo nem composto?
3. Qual o maior número natural de dois algarismos natural que é primo?
4. Quais são os elementos do conjunto a = {x ∈ / x é primo e 2 < x < 20}

3.5. Fatoração completa
O que significa fatorar um número?
Fatorar um número composto significa decompor esse número em um produto de fatores primos.
Exemplo:
Vamos decompor o número 90 em fatores primos.
        90= 2 X 45

            90= 2 X 3 X 15

            90= 2 X 3 X 3 X 5

Número composto fatores primos

ATIVIDADE INVESTIGADORA:
Todo numero pode ser decomposto em números primos?o que você acha? Procure exemplos que
comprovem a sua resposta.

Na pratica, para decompor um número em fatores primos, você fará assim:
    90 2
Quociente




    45 3 Divisores primos
    15 3
     5 5
     1 2 x 3 3 x 5 = 2 x 32 x 5
Logo:90= 2 x 32 x 5
Dividimos 90 sucessivamente pelos seus divisores primos. Os divisores são colocados à direita do
traço e os quocientes obtidos à esquerda.




                                                 111
                                                                           5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
Exercícios de fixação
Faça no seu caderno
1. Decomponha em fatores primos (ou escreva a forma fatorada) dos números abaixo:
A) 28            b) 110           c) 42           d) 162            e) 90         f) 200
G) 132           h) 375           i) 288           j) 5 024        l) 3008        m) 16

2. A forma fatorada de um número natural é 23 x 3 x 52. Qual é esse número natural?

3.qual é o número natural cuja forma fatorada é 5 x 7 x 112?

Exercícios complementares
Faça no seu caderno
1. Decomponha os números em fatores primos:
    a) 144          g) 507
    b) 105          h) 686
    c) 180          i) 2 487
    d) 500          j) 6 300
    e) 156          l) 4 620
    f) 340          m) 12 675

2. Qual é o número cuja fatoração dá 22 x 3 x 72?

3. Qual é o número cuja a fatoração dá 2 x 32 x 52 x 7?

Exercícios selecionados
Faça no seu caderno
1. Decomponha os números em fatores primos:
    a) 406          c) 8 281
    b) 578          d) 1 331

2. Há vários números representados como um produto de fatores primos copie e indique esses
números:
   a) 23 x 11      e) 22 x 3 x 7
   b) 23 x 12      f) 32 x 7 x 15
   c) 2 x 3 x 5            g) 2 x 32 x 10
   d)
      2x3x4                h) 32 x 22 x 52


Teste de revisão
Indique a página, numere a questão e escreva no caderno a alternativa correta
1. Os fatores primos de 3 000 são:
A) 2, 3 e 5    c) 2, 5 e 15
B) 2, 3 e 15 d) 3, 5 e 15

2. A fatoração completa de 1 572 é:
A) 2 x 3 x 13 c) 22 3 x 131
B) 2 x 3 x 17 d) 22 32 5 x 17
                                                    112
                                                                                5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
3. O número 2 040 é igual a:
    a) 24 x 3 x 5
    B) 22 x 3 x17 c) 23 x 3 x 5 x 17

4. Qual o número representado como um produto de fatores primos?
A) 2 x 3 x 4         c) 3 x 5 x 10
B) 2 x 3 x 7         d) 2 x 3 x 15

5. Qual é o número cuja formação é 23 x 52 x 72?
A) 1 400             c) 1 960
B) 4 900             d) 9 800

6. Os fatores primos de 3 744 são:
A) 1, 2, 3 e 7 c) 1, 2, 9 e 13
B) 1, 2, 3 e 13 d) n. d. a.

AFINAL PARA QUE SERVEM OS NÚMEROS PRIMOS?

O envio e o recebimento de informações sigilosas é uma
necessidade antiga, que existe há centenas de anos. o
imperador romano Julio césar(100-44 AC)já o utilizava
naquela época sistema de códigos foi bastante usado
nas grandes guerras. Hoje temos chaves publicas como
os e-mails, Orkut, compras on-line e etc.. Com o
surgimento da internet e de sua conseqüente facilidade
de transmitir dados de maneira precisa e
extremamente rápida, a criptografia tornou-se uma
ferramenta fundamental para permitir que apenas o
emissor e o receptor tenham acesso livre à informação
trabalhada. O termo criptografia surgiu da fusão das
palavras gregas "kryptós" e "gráphein", que significam
"oculto" e "escrever", respectivamente. Trata-se de um
conjunto de conceitos e técnicas que visa codificar uma
informação de forma que somente o emissor e o
receptor possam acessá-la, evitando que um intruso
consiga interpretá-la. Para isso, uma série de técnicas
são usadas e muitas outras surgem com o passar do
tempo. o mais famoso deles e o sistemas RSA O sistema
consiste em escolher dois números primos grandes que
depois de multiplicados geram um produto. A
mensagem, então, é convertida em uma seqüência de
números por algum método convencional e a seguir é
codificada por uma operação baseada no número
gerado. Essa mensagem só poderá ser decodificada por
uma segunda operação matemáticas com base nos
números primos originais. Mas, se alguém conseguir
fatorar o número gerado, a mensagem poderá ser
decifrada. Para que isso não ocorra, é imprescindível
escolher números primos suficientemente grandes. Em
1977 um código de 125 dígitos - o produto de dois
números primos de aproximadamente 63 dígitos - seria
seguro, pois levaria cerca de 40 quatrilhões de anos
para ser quebrado pelos mais rápidos computadores.
Hoje com os computadores modernos não levaria mais
de um ano. (superinteresante-1989/emerson alecrim-        O Cifrário de Julio Cesar
2005)
                                                   113
                                                                         5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
    Atividade investigadora
    Envie uma mensagem criptografada para alguém da, usando o método baseado no do imperador Julio
    césar: por exemplo, usemos uma “chave parecido com esta:
                                                                       Alfabeto na ordem normal
    a          b         c          d         e             f

    j          k         l          m         n             o          Alfabeto em ordem normal, mas com o
                                                                       “inicio alterado”
    A palavra bebê, por exemplo, fica criptografada assim “knkn”
    Agora é com você uma fonte parecida com esta e crie mensagens.
    Você seria capaz de obter outra “chave criptográfica?
                                                  3.6 O MDC
    O maior dos divisores comum de dois ou mais números chama-se máximo divisor comum (m.d.c.)
    Exemplo:
    Qual é o m d c entre 8 e 12?
    Temos:
    • Divisor de 8 = {1, 2, 4, 8}
    • Divisores de 12 = {1, 2, 4}
    • Divisores comuns de 8 e 12 {1, 2, 4}
    O maior desses divisores comuns é 4. Então: m.d.c. (8, 12) = 4

    Exercícios de fixação
    1. Escreva o conjunto dos divisores de:
    A) 6           c) 9          e) 12
    B) 8           d) 10         f) 15

    2. Escreva os conjuntos dos divisores comuns de
    A) 6 e 12             e) 8 e 12
    B) 9 e 12             f) 9 e 15
    C) 8 e 20             g) 6, 12 e 15
    D) 10 e 15    h) 12, 20 e 24

    3. Baseado nos resultado dos exercícios anteriores determine
    A) m.d.c. (6, 12)           e) m.d.c.(8, 12)
    B) m.d.c.(9,12)             f) m.d.c.(9, 1 5
    C) m.d.c.(8, 20)            g) m.d.c.( 6, 12, 15)
    D) m.d.c. (10, 15)          h) m.d.c. (12, 20, 24)
    Processos práticos para determinação do m.d.c
    Existem muitos modos de determinarmos o m.d.c vejamos aprender alguns deles

Método 1                                                    Método 2




                                                      114
                                                                                   5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
3.7. Conjunto dos múltiplos de um número natural:
  Os múltiplos de número natural qualquer são
  determinados a partir de multiplicações, desse
  número natural, pela seqüência dos números
  naturais.
  Exemplos:

  m (3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15,...}
  m (5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25,...}



                                          3.8. O MMC
Dados dois ou mais números naturais, chamamos de mmc desses números o menor número, diferente
de zero, que é múltiplo ao mesmo tempo dos números considerados.

Exemplos:

Vamos calcular o mmc entre 2 e 3:
Inicialmente, determinamos o conjunto dos múltiplos dos números dados.

M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,...}
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...}

Observe que 0, 6, 12, 18 são múltiplos comuns de 2 e 3. Logo, o menor múltiplo comum, diferente
de zero de 2 e 3 é 6. Então:
                                    m.m.c (2, 3) = 6

Métodos práticos para o cálculo do m.m.c:

 Metodo1                                               Método 2




Exercícios

1) calcule o conjunto dos múltiplos de:

A) 7           d) 16           g) 4
B) 9           e) 18           h) 23
C) 13          f) 20           i) 30

2) dados os números 5,10 e15, escreva:

A) os conjuntos m(5), m(10) e m(15);
B) o mmc(5,10,15)

3) calcule o mmc, entre os números abaixo, através do método da decomposição:


                                                 115
                                                                          5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
A) 4 e 18          b) 9 e 24        c) 3, 8 e 12          d) 18, 12 e 30   e) 12, 20 e 36

4) calcule o mmc pelo método da decomposição simultânea:

A) 18, 30 e 48               b) 6, 12 e 28              c) 36,120 e 60     d) 8, 24 e 48

5) numa competição, participaram juntos dois ciclistas. O primeiro leva 20 segundos para dar uma
volta completa na pista, e o segundo leva 18 segundos. Eles estarão juntos novamente depois de
quantos segundos?

6) dois semáforos de transito estão sincronizados da seguinte maneira, o primeiro aponta o sinal verde
de 120 em 120 segundos, e o segundo de 50 em 50 segundos. após quanto tempo, os dois sinais estarão
apontando, ao mesmo tempo, o sinal verde?


Exercícios de fixação
Faça no seu caderno
1. Determine o m.d.c dos números, usando qualquer processo estudado:
A) m.d.c (35, 10)    c) m.d.c (15, 40)
B) m.d.c (30, 18)    d) m.d.c (46, 22)

2. Determine o m.d.c dos números, usando qualquer processo estudado:
A) m.d.c (130, 20) c) m.d.c (110, 82)
B) m.d.c (36, 120) d) m.d.c (124, 244)

3. Determine o m.d.c dos números, usando qualquer processo estudado:
A) m.d.c (48, 80, 72) m.d.c (84, 162, 210)
B) m.d.c (28, 16, 12) m.d.c (520, 650, 720)

4. Qual é o maior número que divide 18, 36 e 27
5. Qual é o maior número que divide 24 ,96, 40, e 100
6. Sejam os números a b e c dados pelas suas fatorações completas:
  •
      A = 52 x 7 x 112
  • B = 2 x 3 x 72 x 11
  • C = 2 x 52 x 7 x 13
Encontre os valores de:
A) m.d.c. (a, b)             c) m.d.c. (b, c)
B) m.d.c. (a, c)             c) m.d.c. (a, b, c)

7. Dois rolos de corra de 200 metros e 240 metros de comprimento precisam ser cortados em pedaços
iguais e no maior comprimento possível.
                   200

                       240
Responda:
A) m.d.c. (a, b)                  c) m.d.c. (b, c)
B) m.d.c. (a, c)                  d) m.d.c. (a, b, c)



                                                          116
                                                                                  5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
8. Três peças de tecidos que medem, respectivamente, 12m, 30m e 54m, devem ser cortadas todos em
pedaços de mesmo comprimento e do maior tamanho possível, sem que aja sobra em cada uma delas.
Quanto medira cada pedaço?

9. Todos os alunos de uma escola de 2º grau participam de uma gincana. para essa competição, cada
equipe será formada por alunos de ema mesma série com o mesmo número de participantes. Veja no
quadra a distribuição de alunos por série:
         Número       de
Série    alunos
   1ª          120
   2ª          108
   3ª          100
Responda:
A) qual o número máximo de alunos por equipe?
B) quantas serão as equipes da 1ª série?
C) quantas serão as equipes da 2ª série?
D) quantas serão as equipes da 3ª série?

10. Responda:
A) quais são os divisores de 5?
B) quais são os divisores de 7?
C) qual o único divisor comum de 5 e 8?
D) qual o m.d.c. De (5, 8)?

11. Responda:
A) quais são os divisores de 4?
B) quais são os divisores de 7?
C) qual é o único divisor comum de 4 e 7?
D) os número 4 e 7 são primos entre si .por quê?

12. Quais números a seguir são primos entre si?
A) 4 e 9             d) 12 e 15    g) 17 e 34
B) 8 e 15            e) 13 e 14    h) 21 e 63
C) 6 e 10            f) 20 e 27            i) 33 e 77

                           4 UMA NOVA OPERAÇÃO:POTENCIAÇÃO




                                                   117
                                                                          5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
                               ATIVIDADE INVESTIGADORA:
Vamos agora aprender uma nova operação com os números naturais, para isso vamos fazer uso de
uma calculadora comum e primeiro vamos nos acostumar com ela.
Façamos o exercício da pagina 104 novamente agora com a ajuda da calculadora.

                        4.1 OPERANDO COM POTENCIAS NA CALCULADORA

Vamos agora fazer nosso primeiro exemplo:siga os passos
Digite na calculadora 3x2 e aperte a tecla de igual repetidas vezes preenchendo a tabela a seguir:

    T
    E     3        X           2          =           =        =       =       =     =       =       =      =          =
    C
    L
    A
    V    3     3 2       6         1
    I
    S                              2
    O
    R
Agora seguindo o mesmo raciocínio faremos as dez primeiras potencias de 2 para isso digite na
calculadora 1x2 e novamente aperte a tecla de igual repetidas vezes completando a tabela

T        1    X            2       =     =        =       =    =   =       =   =    =    =
E
C
L
A
V        1     1           2       2     4        8
I
S
O
R

              Expoente                 Potencia               Outra maneira de expressar esse problema é usando uma
                                                              tabela de potência
                       n
                                              2n
                       1                      2                    Onde n é chamado de expoente e
                       2                      4
                       3                      8
                                                                   2n      é a potência resultante
                       4                      16
                       5                      32
                       6                      64
                       7                     128
                       8                     256
                       9                     512
                       10                    1024




                                                                    118
                                                                                                 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
                                          Exercício de fixação
1-Façamos uma tabela de potencias, com a ajuda da calculadora, com as potencias de 3 e de 5 de 1 até
16.

2-Explore outras seqüências de teclas, o que você descobriu?

a) 2 + 3 = = = = = =
b) 5 + 2 = = = = = =
c) 10 x 10 = = = = = = = . .
d) 2 x 3 = = = = = = ..
e) 3 x 2 = = = = = = ..
3- Qual o valor de uma potência de base 6 e expoente 4?
4- Usando os símbolos < , > ou =, complete as sentenças para que sejam verdadeiras :

A) 1001 _______ 1100                   b) 5³ _______ 20²              c) 2 2 ________ 2³

5-Uma colônia de bactérias em possui uma quantidade de 50 bactérias inicialmente e começa a se
“duplicar” a cada minuto que se passa. Quantas bactérias existiram apos 12 minutos de duplicação?

       Note que: a potenciação nada mais é que o produto de fatores iguais
        41 = 4
        42 = 4 X 4 = 16
        43 = 4 X 4 X 4 = 64
        44 = 4 X 4 X 4 X 4 = 256

                                     TEXTO COMPLEMENTAR


                                           COMO NASCE UM PARADIGMA

         Um grupo de cientistas colocou cinco macacos numa jaula, em cujo centro puseram uma escada e,
   sobre ela, um cacho de bananas. Quando um macaco subia a escada para apanhar as bananas, os
   cientistas lançavam um jato de água fria nos que estavam no chão.
        Depois de certo tempo, quando um macaco ia subir a escada, os outros o enchiam de pancadas.
   Passado mais algum tempo, nenhum macaco subia mais a escada, apesar da tentação das bananas.
           Então, os cientistas substituíram um dos cinco macacos. A primeira coisa que ele fez foi subir a
   escada, dela sendo rapidamente retirado pelos outros, que o surraram. Depois de algumas surras, o novo
   integrante do grupo não mais subia a escada.
          Um segundo foi substituído, e o mesmo ocorreu, tendo o primeiro substituto participado, com
   entusiasmo, da surra ao novato. Um terceiro foi trocado, e repetiu-se o fato. Um quarto e, finalmente, o
   último dos veteranos foi substituído.
   Os cientistas ficaram, então, com um grupo de cinco macacos que, mesmo nunca tendo tomado um
   banho frio, continuavam batendo naquele que tentasse chegar às bananas. Se fosse possível perguntar a
   algum deles porque batiam em quem tentasse subir a escada, com certeza a resposta seria:
         "Não sei, as coisas sempre foram assim por aqui..."


                    “É MAIS FÁCIL DESINTEGRAR UM ÁTOMO DO QUE QUEBRAR UM PARADIGMA"
                                                    Albert Einstein
                                                                            http://diogoalvesfaria.blog.uol.com.br



                                                    119
                                                                                  5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
Conhecimento complementar
                              Você sabe calcular área de quadrados?




                                       4.2 A RADIAÇÃO


                               O QUE É UMA RAIZ QUADRADA?
Ora alguma vez vida você já deve ter ouvido sobre RAIZ QUADRA não é verdade? Mas o que seria
uma raiz quadrada?




  Por exemplo, o símbolo para a raiz quadrada de 9 é da seguinte forma




Mas de onde veio esse símbolo e o que esse cálculo quer dizer?Você poderia dizer?
Parece complicado, mas a coisa é bem mais simples isso aconteceu lá no passado, Quando
traduziram a matemática do LATIM para o PORTUGUÊS!!!
Radix quadratum 9 aequalis 3 Do Latim:O Lado (radix) do Quadrado de área 9 é igual a 3




                                        Quadrado de
                                        lado3



                                                120
                                                                           5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
  Ta aí o grande problema. Traduziram radix como raiz daí ela perdeu seu significado. Na verdade
  raiz quadrada quer dizer LADO DO QUADRADO!
  Observe agora de onde surge o símbolo (radical) da raiz quadrada.




  o radical veio da letra r do radix Podemos então pensar da seguinte maneira :
  Quanto é a raiz quadrada de 25?

       25      =5, pois

                                                 A área do quadrado é 25, pois esta divido em 25 partes
                                                 iguais. O lado do quadrado é igual a 5. Assim a raiz
                                                 quadrada de 25 é igual a 5.



                                       Quadrado de lado 5




Atividade investigadora
√4 + √9 = V13?e √4 x √9 = √36 ?
Note que: se   9 =3, isto que dizer que 3x3=9
Da mesma forma      25 =5,pois 5x5=25 logo a radiciação pode ser transformada em potenciação
                    3            4
Então quanto vale       8 =? e       64 = ?
                                       Exercício de fixação
1-usando a calculadora responda a seguinte questão: todas as radiciações são números naturais?

Encontre por exemplo       45 e 8.
1 - Escreva na forma de potência:
    a) 5 . 5. 5. 5
    b) 11. 11.11.11..11
    c) 10 . 10. 10. 10. 10. 10

2 – Escreva na forma de produto e calcula as potências:
a) 43
b) 210
c) 132

3 – Determine o valor de 8 x 2 e de 82. Qual dos dois valores é maior?

4 - Calcule o valor de:
a)52 + 22
b) (5 + 2 )2
                                                     121
                                                                                   5ª Série – Matemática – 1º Semestre
COLÉGIO OPÇÃO
c) 83 – 43
d) (8 – 4)3

5 – Escreva os números seguintes usando potências de 10:
    a) 1 000 000 000
    (b) 2 000 000
    (c) 80 000 000

6 – investigue o resultado das potências nas expressões.
a) 73. 75
b) 53. 54. 52
c) 105: 105
d) 45: 43
e) (52)5
f) [(56)0]8
g) (7 . 10)3
h) ( 2 . 32 . 52)4


7 – O número 16 é um quadrado perfeito, tem raiz quadrada exata. Quais dos números seguintes são
quadrados perfeitos?
a) 1 b) 36 c) 40 d) 60 e) 49 f) 81
8- Resolva as expressões abaixo:

a) √16 + √36 = 4 + 6 =
b) √25 + √9 = 5 + 3 =
c) √49 - √4 = 7 - 2 =
d) √36- √1 = 6 - 1 =
e) √9 + √100 = 3 + 10 =
f) √4 x √9 = 2 x 3 =




                                                  122
                                                                         5ª Série – Matemática – 1º Semestre

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
HISTÓRIA DA MATEMÁTICAHISTÓRIA DA MATEMÁTICA
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
gilmar_adv
 
A matemática do Egito e Mesopotâmia .Artigo baseados em pesquisas bibliográfi...
A matemática do Egito e Mesopotâmia .Artigo baseados em pesquisas bibliográfi...A matemática do Egito e Mesopotâmia .Artigo baseados em pesquisas bibliográfi...
A matemática do Egito e Mesopotâmia .Artigo baseados em pesquisas bibliográfi...
Zaqueu Oliveira
 
Sistemas de Numeração
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistemas de Numeração
Renata Domingos
 
A origem dos números
A origem dos númerosA origem dos números
A origem dos números
ilzavrg
 
HistóRia Dos NúMeros Apresentacao
HistóRia Dos NúMeros ApresentacaoHistóRia Dos NúMeros Apresentacao
HistóRia Dos NúMeros Apresentacao
guest6657c3
 
A história dos Números
A história dos NúmerosA história dos Números
A história dos Números
EdnaChica
 
A história da matemática
A história da matemáticaA história da matemática
A história da matemática
Genilda Santos de Araújo
 
Sistemas de Numeração: Babilónico, Egípcio, Chinês e Decimal
Sistemas de Numeração: Babilónico, Egípcio, Chinês e DecimalSistemas de Numeração: Babilónico, Egípcio, Chinês e Decimal
Sistemas de Numeração: Babilónico, Egípcio, Chinês e Decimal
catcarvalho
 
Apostila Baixaki Introducao
Apostila Baixaki IntroducaoApostila Baixaki Introducao
Apostila Baixaki Introducao
guest92b7d1
 
Historia Da Matematica
Historia Da MatematicaHistoria Da Matematica
Historia Da Matematica
guesta4929b
 
História dos números do natural ao racional
História dos números   do natural ao racionalHistória dos números   do natural ao racional
História dos números do natural ao racional
sandraprof
 
Números.reais.introdução
Números.reais.introduçãoNúmeros.reais.introdução
Números.reais.introdução
Filipa Guerreiro
 
Como surgiu a matemática
Como surgiu a matemáticaComo surgiu a matemática
Como surgiu a matemática
Ana Soares de Oliveira
 
História da matemática iii alterado
História da matemática iii   alteradoHistória da matemática iii   alterado
História da matemática iii alterado
Universidade Federal Fluminense
 
História da Matemática - fundamentos
História da Matemática - fundamentosHistória da Matemática - fundamentos
História da Matemática - fundamentos
Simoni Vincula
 
Breve história da matemática e a matemática no Brasil
Breve história da matemática e a matemática no BrasilBreve história da matemática e a matemática no Brasil
Breve história da matemática e a matemática no Brasil
Andréa Thees
 
Gregos
Gregos Gregos
Sistema de Numeração: Babilónico, Egípcio, Chinês e Decimal
Sistema de Numeração: Babilónico, Egípcio, Chinês e DecimalSistema de Numeração: Babilónico, Egípcio, Chinês e Decimal
Sistema de Numeração: Babilónico, Egípcio, Chinês e Decimal
catcarvalho
 

Mais procurados (18)

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
HISTÓRIA DA MATEMÁTICAHISTÓRIA DA MATEMÁTICA
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
 
A matemática do Egito e Mesopotâmia .Artigo baseados em pesquisas bibliográfi...
A matemática do Egito e Mesopotâmia .Artigo baseados em pesquisas bibliográfi...A matemática do Egito e Mesopotâmia .Artigo baseados em pesquisas bibliográfi...
A matemática do Egito e Mesopotâmia .Artigo baseados em pesquisas bibliográfi...
 
Sistemas de Numeração
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistemas de Numeração
 
A origem dos números
A origem dos númerosA origem dos números
A origem dos números
 
HistóRia Dos NúMeros Apresentacao
HistóRia Dos NúMeros ApresentacaoHistóRia Dos NúMeros Apresentacao
HistóRia Dos NúMeros Apresentacao
 
A história dos Números
A história dos NúmerosA história dos Números
A história dos Números
 
A história da matemática
A história da matemáticaA história da matemática
A história da matemática
 
Sistemas de Numeração: Babilónico, Egípcio, Chinês e Decimal
Sistemas de Numeração: Babilónico, Egípcio, Chinês e DecimalSistemas de Numeração: Babilónico, Egípcio, Chinês e Decimal
Sistemas de Numeração: Babilónico, Egípcio, Chinês e Decimal
 
Apostila Baixaki Introducao
Apostila Baixaki IntroducaoApostila Baixaki Introducao
Apostila Baixaki Introducao
 
Historia Da Matematica
Historia Da MatematicaHistoria Da Matematica
Historia Da Matematica
 
História dos números do natural ao racional
História dos números   do natural ao racionalHistória dos números   do natural ao racional
História dos números do natural ao racional
 
Números.reais.introdução
Números.reais.introduçãoNúmeros.reais.introdução
Números.reais.introdução
 
Como surgiu a matemática
Como surgiu a matemáticaComo surgiu a matemática
Como surgiu a matemática
 
História da matemática iii alterado
História da matemática iii   alteradoHistória da matemática iii   alterado
História da matemática iii alterado
 
História da Matemática - fundamentos
História da Matemática - fundamentosHistória da Matemática - fundamentos
História da Matemática - fundamentos
 
Breve história da matemática e a matemática no Brasil
Breve história da matemática e a matemática no BrasilBreve história da matemática e a matemática no Brasil
Breve história da matemática e a matemática no Brasil
 
Gregos
Gregos Gregos
Gregos
 
Sistema de Numeração: Babilónico, Egípcio, Chinês e Decimal
Sistema de Numeração: Babilónico, Egípcio, Chinês e DecimalSistema de Numeração: Babilónico, Egípcio, Chinês e Decimal
Sistema de Numeração: Babilónico, Egípcio, Chinês e Decimal
 

Destaque

Orientações pedagógicas módulo 1 matemática 4º ano
Orientações pedagógicas módulo 1 matemática 4º anoOrientações pedagógicas módulo 1 matemática 4º ano
Orientações pedagógicas módulo 1 matemática 4º ano
con_seguir
 
Caderno de atividade - 5º ano - Programa Primeiros Saberes da Infância
Caderno de atividade - 5º ano - Programa Primeiros Saberes da InfânciaCaderno de atividade - 5º ano - Programa Primeiros Saberes da Infância
Caderno de atividade - 5º ano - Programa Primeiros Saberes da Infância
Jairo Felipe
 
Lista de Exercícios – Critérios de Divisibilidade
Lista de Exercícios – Critérios de DivisibilidadeLista de Exercícios – Critérios de Divisibilidade
Lista de Exercícios – Critérios de Divisibilidade
Everton Moraes
 
Sugestão de atividade avaliativa de matemática
Sugestão de atividade avaliativa de matemáticaSugestão de atividade avaliativa de matemática
Sugestão de atividade avaliativa de matemática
Paulo Alves de Araujo
 
1 lista 1 bim 6ano
1 lista 1 bim 6ano1 lista 1 bim 6ano
1 lista 1 bim 6ano
Adriano Capilupe
 
Exercícios de divisibilidade
Exercícios de divisibilidade   Exercícios de divisibilidade
Exercícios de divisibilidade
Edvargue Amaro
 
Tarefa de investigacao criterios de divisibilidade
Tarefa de investigacao   criterios de divisibilidadeTarefa de investigacao   criterios de divisibilidade
Tarefa de investigacao criterios de divisibilidade
marcommendes
 
Lista de Exercícios – Decomposição em Fatores Primos
Lista de Exercícios – Decomposição em Fatores PrimosLista de Exercícios – Decomposição em Fatores Primos
Lista de Exercícios – Decomposição em Fatores Primos
Everton Moraes
 
Divisores multiplos
Divisores multiplosDivisores multiplos
Divisores multiplos
Helena Borralho
 
Lista de exercícios 8º ano - 3ª etapa - produto notável
Lista de exercícios   8º ano - 3ª etapa - produto notávelLista de exercícios   8º ano - 3ª etapa - produto notável
Lista de exercícios 8º ano - 3ª etapa - produto notável
Alessandra Dias
 
Lista de exercícios 6º ano
Lista de exercícios 6º anoLista de exercícios 6º ano
Lista de exercícios 6º ano
Eduardo Garcia
 
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)
Hélio Rocha
 
Simulado 5 ano
Simulado 5 anoSimulado 5 ano
Simulado 5 ano
Silmara Robles
 
Critérios de divisibilidade
Critérios de divisibilidadeCritérios de divisibilidade
Critérios de divisibilidade
Romilda Dores Brito
 
soluçoes
soluçoessoluçoes
soluçoes
School
 
Números romanos
Números romanosNúmeros romanos
Números romanos
Marina Cravero
 
Pai 1 - matemática auto instrutivo - professor
Pai   1 - matemática auto instrutivo - professorPai   1 - matemática auto instrutivo - professor
Pai 1 - matemática auto instrutivo - professor
Renato Tonay
 
Teste intermediário
Teste intermediárioTeste intermediário
Teste intermediário
Ana Paula Farinha
 
Fichadeinvestigação critériosdedivisibilidade
Fichadeinvestigação critériosdedivisibilidadeFichadeinvestigação critériosdedivisibilidade
Fichadeinvestigação critériosdedivisibilidade
piefohmania
 
Sexta RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
Sexta RECUPERAÇÃO FINAL PdfSexta RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
Sexta RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
PROFESSOR FABRÍCIO
 

Destaque (20)

Orientações pedagógicas módulo 1 matemática 4º ano
Orientações pedagógicas módulo 1 matemática 4º anoOrientações pedagógicas módulo 1 matemática 4º ano
Orientações pedagógicas módulo 1 matemática 4º ano
 
Caderno de atividade - 5º ano - Programa Primeiros Saberes da Infância
Caderno de atividade - 5º ano - Programa Primeiros Saberes da InfânciaCaderno de atividade - 5º ano - Programa Primeiros Saberes da Infância
Caderno de atividade - 5º ano - Programa Primeiros Saberes da Infância
 
Lista de Exercícios – Critérios de Divisibilidade
Lista de Exercícios – Critérios de DivisibilidadeLista de Exercícios – Critérios de Divisibilidade
Lista de Exercícios – Critérios de Divisibilidade
 
Sugestão de atividade avaliativa de matemática
Sugestão de atividade avaliativa de matemáticaSugestão de atividade avaliativa de matemática
Sugestão de atividade avaliativa de matemática
 
1 lista 1 bim 6ano
1 lista 1 bim 6ano1 lista 1 bim 6ano
1 lista 1 bim 6ano
 
Exercícios de divisibilidade
Exercícios de divisibilidade   Exercícios de divisibilidade
Exercícios de divisibilidade
 
Tarefa de investigacao criterios de divisibilidade
Tarefa de investigacao   criterios de divisibilidadeTarefa de investigacao   criterios de divisibilidade
Tarefa de investigacao criterios de divisibilidade
 
Lista de Exercícios – Decomposição em Fatores Primos
Lista de Exercícios – Decomposição em Fatores PrimosLista de Exercícios – Decomposição em Fatores Primos
Lista de Exercícios – Decomposição em Fatores Primos
 
Divisores multiplos
Divisores multiplosDivisores multiplos
Divisores multiplos
 
Lista de exercícios 8º ano - 3ª etapa - produto notável
Lista de exercícios   8º ano - 3ª etapa - produto notávelLista de exercícios   8º ano - 3ª etapa - produto notável
Lista de exercícios 8º ano - 3ª etapa - produto notável
 
Lista de exercícios 6º ano
Lista de exercícios 6º anoLista de exercícios 6º ano
Lista de exercícios 6º ano
 
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)
 
Simulado 5 ano
Simulado 5 anoSimulado 5 ano
Simulado 5 ano
 
Critérios de divisibilidade
Critérios de divisibilidadeCritérios de divisibilidade
Critérios de divisibilidade
 
soluçoes
soluçoessoluçoes
soluçoes
 
Números romanos
Números romanosNúmeros romanos
Números romanos
 
Pai 1 - matemática auto instrutivo - professor
Pai   1 - matemática auto instrutivo - professorPai   1 - matemática auto instrutivo - professor
Pai 1 - matemática auto instrutivo - professor
 
Teste intermediário
Teste intermediárioTeste intermediário
Teste intermediário
 
Fichadeinvestigação critériosdedivisibilidade
Fichadeinvestigação critériosdedivisibilidadeFichadeinvestigação critériosdedivisibilidade
Fichadeinvestigação critériosdedivisibilidade
 
Sexta RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
Sexta RECUPERAÇÃO FINAL PdfSexta RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
Sexta RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
 

Semelhante a 5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre

Os numerais
Os numeraisOs numerais
Os numerais
Renata Domingos
 
História da matematica
História da matematicaHistória da matematica
História da matematica
angerba7
 
Numeros de outros lugares 25 cópias de cada frente e verso
Numeros de outros lugares   25 cópias de cada frente e versoNumeros de outros lugares   25 cópias de cada frente e verso
Numeros de outros lugares 25 cópias de cada frente e verso
Otávio Sales
 
Sistema de Numeração Egípcia
Sistema de Numeração EgípciaSistema de Numeração Egípcia
Sistema de Numeração Egípcia
Eduardo1
 
História
HistóriaHistória
História
Caroline Borges
 
1204903230 numerohistoria
1204903230 numerohistoria1204903230 numerohistoria
1204903230 numerohistoria
Pelo Siro
 
A história da matemática
A história da matemáticaA história da matemática
A história da matemática
Genilda Santos de Araújo
 
Webquest sobre frações para o 6º ano
Webquest sobre frações para o 6º anoWebquest sobre frações para o 6º ano
Webquest sobre frações para o 6º ano
Susana Vargas Zanchetta
 
Slidesmatematica 121001152502-phpapp01
Slidesmatematica 121001152502-phpapp01Slidesmatematica 121001152502-phpapp01
Slidesmatematica 121001152502-phpapp01
Roze Araujo
 
HISTORIA DE LA MATEMATICA
HISTORIA DE LA MATEMATICAHISTORIA DE LA MATEMATICA
HISTORIA DE LA MATEMATICA
JoseLuisRamosSantiago
 
historia da matematica-PARA O ENSINO MEDIO3_ano.pptx
historia da matematica-PARA O ENSINO MEDIO3_ano.pptxhistoria da matematica-PARA O ENSINO MEDIO3_ano.pptx
historia da matematica-PARA O ENSINO MEDIO3_ano.pptx
carlosoliveira830640
 
Historia da informatica_i
Historia da informatica_iHistoria da informatica_i
Historia da informatica_i
Jamiles Andrade
 
Sistemas de Numeração
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistemas de Numeração
Eduardo1
 
Dia Do Pi
Dia Do PiDia Do Pi
Dia Do Pi
Diana Oliveira
 
Numeros inteiros-1206012599114912-4
Numeros inteiros-1206012599114912-4Numeros inteiros-1206012599114912-4
Numeros inteiros-1206012599114912-4
Carla Gomes
 
numeros inteiros
 numeros inteiros numeros inteiros
numeros inteiros
Professora Rakell
 
Sistema de numeração
Sistema de numeraçãoSistema de numeração
Sistema de numeração
fcmat
 
Sistemas de Numeração
Sistemas de Numeração Sistemas de Numeração
Sistemas de Numeração
rubensdiasjr07
 
Apresentação surgimento dos números
Apresentação surgimento dos númerosApresentação surgimento dos números
Apresentação surgimento dos números
susanaleonorfernandesesteves
 
Mb 6 7os.hist-nos-exerc[1]
Mb 6 7os.hist-nos-exerc[1]Mb 6 7os.hist-nos-exerc[1]
Mb 6 7os.hist-nos-exerc[1]
Casa-prof.:Odilthom Arrebola
 

Semelhante a 5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre (20)

Os numerais
Os numeraisOs numerais
Os numerais
 
História da matematica
História da matematicaHistória da matematica
História da matematica
 
Numeros de outros lugares 25 cópias de cada frente e verso
Numeros de outros lugares   25 cópias de cada frente e versoNumeros de outros lugares   25 cópias de cada frente e verso
Numeros de outros lugares 25 cópias de cada frente e verso
 
Sistema de Numeração Egípcia
Sistema de Numeração EgípciaSistema de Numeração Egípcia
Sistema de Numeração Egípcia
 
História
HistóriaHistória
História
 
1204903230 numerohistoria
1204903230 numerohistoria1204903230 numerohistoria
1204903230 numerohistoria
 
A história da matemática
A história da matemáticaA história da matemática
A história da matemática
 
Webquest sobre frações para o 6º ano
Webquest sobre frações para o 6º anoWebquest sobre frações para o 6º ano
Webquest sobre frações para o 6º ano
 
Slidesmatematica 121001152502-phpapp01
Slidesmatematica 121001152502-phpapp01Slidesmatematica 121001152502-phpapp01
Slidesmatematica 121001152502-phpapp01
 
HISTORIA DE LA MATEMATICA
HISTORIA DE LA MATEMATICAHISTORIA DE LA MATEMATICA
HISTORIA DE LA MATEMATICA
 
historia da matematica-PARA O ENSINO MEDIO3_ano.pptx
historia da matematica-PARA O ENSINO MEDIO3_ano.pptxhistoria da matematica-PARA O ENSINO MEDIO3_ano.pptx
historia da matematica-PARA O ENSINO MEDIO3_ano.pptx
 
Historia da informatica_i
Historia da informatica_iHistoria da informatica_i
Historia da informatica_i
 
Sistemas de Numeração
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Sistemas de Numeração
 
Dia Do Pi
Dia Do PiDia Do Pi
Dia Do Pi
 
Numeros inteiros-1206012599114912-4
Numeros inteiros-1206012599114912-4Numeros inteiros-1206012599114912-4
Numeros inteiros-1206012599114912-4
 
numeros inteiros
 numeros inteiros numeros inteiros
numeros inteiros
 
Sistema de numeração
Sistema de numeraçãoSistema de numeração
Sistema de numeração
 
Sistemas de Numeração
Sistemas de Numeração Sistemas de Numeração
Sistemas de Numeração
 
Apresentação surgimento dos números
Apresentação surgimento dos númerosApresentação surgimento dos números
Apresentação surgimento dos números
 
Mb 6 7os.hist-nos-exerc[1]
Mb 6 7os.hist-nos-exerc[1]Mb 6 7os.hist-nos-exerc[1]
Mb 6 7os.hist-nos-exerc[1]
 

Mais de PROFESSOR FABRÍCIO

Simulado 1 gabarito
Simulado 1 gabaritoSimulado 1 gabarito
Simulado 1 gabarito
PROFESSOR FABRÍCIO
 
Lógica inss gabaritado
Lógica inss gabaritadoLógica inss gabaritado
Lógica inss gabaritado
PROFESSOR FABRÍCIO
 
Soluções
SoluçõesSoluções
Lista01
Lista01 Lista01
Matematica eletromecanica
Matematica eletromecanicaMatematica eletromecanica
Matematica eletromecanica
PROFESSOR FABRÍCIO
 
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
PROFESSOR FABRÍCIO
 
5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
5ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre5ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
PROFESSOR FABRÍCIO
 
6ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
6ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre6ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
6ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
PROFESSOR FABRÍCIO
 
5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
5ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre5ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
PROFESSOR FABRÍCIO
 
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
PROFESSOR FABRÍCIO
 
6ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
6ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre6ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
6ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
PROFESSOR FABRÍCIO
 
Calendário 2010 OPÇÃO
Calendário 2010 OPÇÃOCalendário 2010 OPÇÃO
Calendário 2010 OPÇÃO
PROFESSOR FABRÍCIO
 
4 Em1 RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
4 Em1 RECUPERAÇÃO FINAL Pdf4 Em1 RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
4 Em1 RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
PROFESSOR FABRÍCIO
 
Semelhanca Triang Blogg Pdf
Semelhanca Triang Blogg PdfSemelhanca Triang Blogg Pdf
Semelhanca Triang Blogg Pdf
PROFESSOR FABRÍCIO
 
5 Serie RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
5 Serie RECUPERAÇÃO FINAL Pdf5 Serie RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
5 Serie RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
PROFESSOR FABRÍCIO
 
Semelhanca Triangulos Sétima SÉRIE
Semelhanca Triangulos Sétima SÉRIESemelhanca Triangulos Sétima SÉRIE
Semelhanca Triangulos Sétima SÉRIE
PROFESSOR FABRÍCIO
 
4 Em1 Recuperação Final
4 Em1 Recuperação Final4 Em1 Recuperação Final
4 Em1 Recuperação Final
PROFESSOR FABRÍCIO
 
Setima Série Recuperação FINAL
Setima Série Recuperação FINALSetima Série Recuperação FINAL
Setima Série Recuperação FINAL
PROFESSOR FABRÍCIO
 
Sexta Série Recuperação Final
Sexta Série Recuperação FinalSexta Série Recuperação Final
Sexta Série Recuperação Final
PROFESSOR FABRÍCIO
 
5 Série Recuperação Final
5 Série Recuperação Final5 Série Recuperação Final
5 Série Recuperação Final
PROFESSOR FABRÍCIO
 

Mais de PROFESSOR FABRÍCIO (20)

Simulado 1 gabarito
Simulado 1 gabaritoSimulado 1 gabarito
Simulado 1 gabarito
 
Lógica inss gabaritado
Lógica inss gabaritadoLógica inss gabaritado
Lógica inss gabaritado
 
Soluções
SoluçõesSoluções
Soluções
 
Lista01
Lista01 Lista01
Lista01
 
Matematica eletromecanica
Matematica eletromecanicaMatematica eletromecanica
Matematica eletromecanica
 
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
 
5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
5ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre5ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
 
6ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
6ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre6ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
6ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
 
5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
5ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre5ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
 
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
 
6ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
6ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre6ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
6ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
 
Calendário 2010 OPÇÃO
Calendário 2010 OPÇÃOCalendário 2010 OPÇÃO
Calendário 2010 OPÇÃO
 
4 Em1 RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
4 Em1 RECUPERAÇÃO FINAL Pdf4 Em1 RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
4 Em1 RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
 
Semelhanca Triang Blogg Pdf
Semelhanca Triang Blogg PdfSemelhanca Triang Blogg Pdf
Semelhanca Triang Blogg Pdf
 
5 Serie RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
5 Serie RECUPERAÇÃO FINAL Pdf5 Serie RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
5 Serie RECUPERAÇÃO FINAL Pdf
 
Semelhanca Triangulos Sétima SÉRIE
Semelhanca Triangulos Sétima SÉRIESemelhanca Triangulos Sétima SÉRIE
Semelhanca Triangulos Sétima SÉRIE
 
4 Em1 Recuperação Final
4 Em1 Recuperação Final4 Em1 Recuperação Final
4 Em1 Recuperação Final
 
Setima Série Recuperação FINAL
Setima Série Recuperação FINALSetima Série Recuperação FINAL
Setima Série Recuperação FINAL
 
Sexta Série Recuperação Final
Sexta Série Recuperação FinalSexta Série Recuperação Final
Sexta Série Recuperação Final
 
5 Série Recuperação Final
5 Série Recuperação Final5 Série Recuperação Final
5 Série Recuperação Final
 

Último

Certificado Jornada Python Da Hashtag.pdf
Certificado Jornada Python Da Hashtag.pdfCertificado Jornada Python Da Hashtag.pdf
Certificado Jornada Python Da Hashtag.pdf
joaovmp3
 
Logica de Progamacao - Aula (1) (1).pptx
Logica de Progamacao - Aula (1) (1).pptxLogica de Progamacao - Aula (1) (1).pptx
Logica de Progamacao - Aula (1) (1).pptx
Momento da Informática
 
História da Rádio- 1936-1970 século XIX .2.pptx
História da Rádio- 1936-1970 século XIX   .2.pptxHistória da Rádio- 1936-1970 século XIX   .2.pptx
História da Rádio- 1936-1970 século XIX .2.pptx
TomasSousa7
 
DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE I_aula1-2.pdf
DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE I_aula1-2.pdfDESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE I_aula1-2.pdf
DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE I_aula1-2.pdf
Momento da Informática
 
Manual-de-Credenciamento ANATER 2023.pdf
Manual-de-Credenciamento ANATER 2023.pdfManual-de-Credenciamento ANATER 2023.pdf
Manual-de-Credenciamento ANATER 2023.pdf
WELITONNOGUEIRA3
 
TOO - TÉCNICAS DE ORIENTAÇÃO A OBJETOS aula 1.pdf
TOO - TÉCNICAS DE ORIENTAÇÃO A OBJETOS aula 1.pdfTOO - TÉCNICAS DE ORIENTAÇÃO A OBJETOS aula 1.pdf
TOO - TÉCNICAS DE ORIENTAÇÃO A OBJETOS aula 1.pdf
Momento da Informática
 

Último (6)

Certificado Jornada Python Da Hashtag.pdf
Certificado Jornada Python Da Hashtag.pdfCertificado Jornada Python Da Hashtag.pdf
Certificado Jornada Python Da Hashtag.pdf
 
Logica de Progamacao - Aula (1) (1).pptx
Logica de Progamacao - Aula (1) (1).pptxLogica de Progamacao - Aula (1) (1).pptx
Logica de Progamacao - Aula (1) (1).pptx
 
História da Rádio- 1936-1970 século XIX .2.pptx
História da Rádio- 1936-1970 século XIX   .2.pptxHistória da Rádio- 1936-1970 século XIX   .2.pptx
História da Rádio- 1936-1970 século XIX .2.pptx
 
DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE I_aula1-2.pdf
DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE I_aula1-2.pdfDESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE I_aula1-2.pdf
DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE I_aula1-2.pdf
 
Manual-de-Credenciamento ANATER 2023.pdf
Manual-de-Credenciamento ANATER 2023.pdfManual-de-Credenciamento ANATER 2023.pdf
Manual-de-Credenciamento ANATER 2023.pdf
 
TOO - TÉCNICAS DE ORIENTAÇÃO A OBJETOS aula 1.pdf
TOO - TÉCNICAS DE ORIENTAÇÃO A OBJETOS aula 1.pdfTOO - TÉCNICAS DE ORIENTAÇÃO A OBJETOS aula 1.pdf
TOO - TÉCNICAS DE ORIENTAÇÃO A OBJETOS aula 1.pdf
 

5ª SéRie MatemáTica 1º Semestre

  • 1. COLÉGIO OPÇÃO MATEMÁTICA 1. SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL O nosso sistema de numeração que usamos hoje é o decimal, ou seja, as quantidades são agrupadas de 10 em 10. Os algarismos que usamos têm influência de outros povos que desenvolveram a escrita há muito tempo atrás como os povos hindus e árabes, você já deve ter notado os números ao seu redor em calendários, números de celulares, preços de mercadorias e etc.. O número na nossa historia moderna é tão importante que não viveríamos mais sem ele. Fig1 Números do nosso dia-a-dia Como foi dito antes vários povos desenvolveram a escrita matemática, e lógico, não só a escrita mais todos os seus cálculos. Esses conhecimentos matemáticos eram usados em suas construções como pirâmides, templos, assim como canais de rio usados na agricultura e calculo de áreas de terrenos. Fig2 Algarismos usados pelos egípcios 1.1. OS ALGARISMOS INDO-ARÁBICOS O nosso sistema de numeração, como também de todo o mundo usa os seguintes símbolos : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Esses símbolos foram criados pelos árabes que por sua vez buscaram inspiração na matemática dos hindus ou povos indianos, isto é, habitantes da índia. O grande responsável pela união das duas culturas foi o matemático árabe AL-khowarizmi, foi ele que divulgou para o mundo os primeiros trabalhos matemáticos de escrita matemática. Por isso são conhecidos hoje como algarismos indo- arábicos. Dica do professor: Nunca se esqueça os números são apenas representações de quantidades, diversas culturas de povos utilizavam representações diferentes para a mesma quantidade 96 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 2. COLÉGIO OPÇÃO Texto complementar Contando com os egípcios Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”. Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes. O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contêm 80 problemas, todos resolvidos. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado. Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no. Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi muito útil. O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave: 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 Os egípcios usavam símbolos para representar esses números. Um traço vertical representava 1 unidade: Um osso de calcanhar invertido representava o número 10: Um laço valia 100 unidades: Uma flor de lótus valia 1.000: Um dedo dobrado valia 10.000: Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades: Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000: Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante. Se tomarmos um número, como por exemplo: 256 e trocarmos os algarismos de lugar vamos obter outros números completamente diferentes: 265 526 562 625 652 Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe no desenho que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número: Atividade investigadora!! 1-escreva em seu caderno dez números de pequenos valores e dez números de valores altos. Vamos corrigi-los!! EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1-represente em seu caderno os seguintes números (A) cento e trinta e quatro (B) seis mil e quarenta e cinco (C) mil setecentos e cinqüenta e dois (D) um milhão (E)150 (F)1000 2-complete o texto com números justificando-os. Na ___ semana de abril, numa ___ feira, cerca de ___ pessoas participaram da reunião da associação de pais e mestres da escola. No encontro, ___ assuntos foram discutidos. Os presentes comeram ___ salgadinhos no total e consumiram ___ garrafas de refrigerante de ___ litros cada. O ponto principal da reunião foi a organização da festa junina. Foi decidido que o evento seria realizado no dia ___ de 97 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 3. COLÉGIO OPÇÃO junho, ou seja, cerca de ___ dias depois do início das aulas e ___ dias antes do início das férias de ju- lho. Estima-se que ___ pessoas comparecerão à festa, bem mais do que os ___ do ano passado. Para - elas haverá ___ barracas de jogos e ___ barracas de comes e bebes. O ponto alto vai ser a quadrilha, com ___ alunos participantes. 1.2 SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO Diversas civilizações da antigüidade, além da egípcia, desenvolveram seus próprios sistemas de numeração. Alguns deles deixaram vestígios, apesar de terem sido abandonados. Assim, por exemplo, na contagem do tempo, agrupamos de 60 em 60; sessenta segundos compõem um minuto e sessenta minutos compõem uma hora. Isto é conseqüência da numeração desenvolvida na mesopotâmia, há mais de 4000 anos. Lá era usada a base sessenta Outro vestígio de uma numeração antiga pode ser observado nos mostradores de relógios, na indicação de datas e de capítulos de livros: são os símbolos de numeração romana. Estes são os símbolos usados no sistema de numeração romano: Atividade investigadora! 1-escreva em seu caderno vários números tentando usar a escrita romana Exercícios de fixação 1)observe e complete: 98 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 4. COLÉGIO OPÇÃO 10 32 606 1000 X X X XL CL V 2. Escreve em numeração romana: 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 300 500 1000 2000 III C 3. Faz a correspondência: 7 VII 100 I 1 CCCXXX 20 C 330 XX 4) usando o sistema romano de numeração,você deve escrever os seguintes números: A) 26 e)409 B) 102 f)1050 C) 830 g)91 D) 77 h) 360 1.3 CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS Os números Naturais, historicamente, foram os primeiros números a serem utilizados pelo homem. Reflita um pouco!! (I) Para que os homens de antigamente usavam os números? (II) Como será que eles trabalhavam com contagem quando não sabiam a escrita dos números? (III) E hoje para que serve os números? Os primeiros números de fato eram os números usados para a contagem. Eram usados na caça, na criação de rebanho e etc.. Os números NATURAIS podem se representado por: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,...} 99 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 5. COLÉGIO OPÇÃO Atividade investigadora 1-qual o menor numero natural? 2-quais números naturais possuem sucessores e quais possuem antecessores? Texto complementar Os árabes divulgam ao mundo os números hindus Simbad, o marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum al-Raschid são nomes familiares para quem conhece os contos de As mil e uma noites. Mas Simbad e Aladim são apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmente existiu. Foi o califa de Bagdá, do ano 786 até 809. Durante o seu reinado os povos árabes travaram uma séria de guerras de conquista. E como prêmios de guerra, livros de diversos centros científicos foram levados para Bagdá e traduzidos para a língua árabe. Em 809, o califa de Bagdá passou a ser AL-Mamum, filho de Harum al-Rahchid. Al-Mamum era muito vaidoso. Dizia com toda a convicção. "Não há ninguém mais culto em todos os ramos do saber do que eu". Como era um apaixonado da ciência, o califa procurou tornar Bagdá o maior centro científico do mundo, contratando os grandes sábios muçulmanos da época. Entre eles estava o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos: AL- khowarizmi. Estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para a língua árabe, AL-khowarizmi surpreendeu-se a princípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam um ovo de ganso! Logo, AL-khowarizmi compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus haviam descobertos. Com aquele sistema de numeração, todos os cálculos seriam feitos de um modo mais rápido e seguro. Era impossível imaginar a enorme importância que essa descoberta teria para o desenvolvimento da Matemática. Al-khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas nova. Escreveu um livro chamado Sobre a arte hindu de calcular, explicando com detalhes como funcionavam os dez símbolos hindus. Com o livro de AL-khowarizmi, matemáticos do mundo todo tomaram conhecimento do sistema de numeração hindu. Os símbolos - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 - ficaram conhecidos como a notação de al-khowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus. Daí o nome algarismo. São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros povos pelo árabe AL-khowarizmi que constituem o nosso sistema de numeração decimal conhecidos como algarismo indo-arábicos. Fonte: educar.sc.usp.br 2.1. OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS NATURAIS Atividade investigadora 1-em duplas encontrem soluções para a seguinte questão: Um restaurante comprou 18 caixas de ovos com uma dúzia em cada caixa. Quantos ovos o restaurante comprou? 2 TIPOS DE OPERAÇÕES As operações básicas dos números naturais como visto no exercício proposto acima podem ser classificadas como quatro. São elas 2.1 ADIÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS Investigue: Lucas comprou um salgado de R$ 1,70 e um suco de R$ 0,70. Quanto pagou por tudo?Quem são as parcelas? O que seria a soma? 100 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 6. COLÉGIO OPÇÃO 2.2 SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS Investigue: Professor Marcio devia na cantina R$ 5,20 e hoje pagou 4,70. Quem é o minuendo e quem é o subtraendo dessa operação?Quem seria o resto ou diferença? Como podemos “arma” esse calculo? Exercícios de fixação 1. Uma empresa produziu no primeiro trimestre 6905 peças. No segundo trimestre, a mesma empresa produziu 765 peças a mais que no primeiro trimestre. A) quantas peças a empresa produziu no segundo trimestre? B) quantas peças a empresa produziu no semestre? 2. João comprou um aparelho de som por 635 reais e as caixas de som por 128 reais. Tendo pago 12 reais pela instalação, qual a quantia que ele gastou? 3. Uma indústria, no final de 2007, tinha 10 635 empregados. No inicio de 2008, dispensou 1 880 funcionários essa indústria ficou? 4. Efetue as operações: A. 11 011 – 7 997 c. 7 000 – 1 096 B. 140926 – 78016 d. 2 0620 - 945 2.3 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS Considere uma adição de quatro parcelas iguais a 2 : 2+2+2+2 =8 essas quatro parcelas são iguais a 2, que também representamos por 4 vezes 2, e escrevemos assim: 4x2 = 8 x , que se lê “ vezes “ Essa operação, chamada multiplicação, representa uma adição de parcelas iguais. Na multiplicação, os elementos são os seguintes: fatores e produto. 4 e 2 são os fatores. Exemplo: 4x2 = 8 8, o resultado, é o produto. Investigue: No seu caderno complete a tabela: Multiplicação Resultado Multiplicação Resultado 2x0 10x10 2x1 12x3 2x8 8+8 5x16 2x14 32x2 32+32 4x15 100x10 Exercícios de fixação 1º. Uma sala de aula tem 6 fileiras de carteiras. Em cada fileira há 8 carteiras. Isto significa que nessa sala de aula 101 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 7. COLÉGIO OPÇÃO 2. O médico receitou a André que andasse 1 250 metros todos os dias para melhorar o seu estado físico. Quantos metros André vai andar em uma semana? Vamos pesquisar: MULTIPLICAÇÃO ÁRABE E MULTIPLICAÇÃO BASE DOIS EGÍPCIA 2.4 DIVISÃO DOS NÚMEROS NATURAIS. Dado um conjunto de 8 elementos, para separá-lo em grupos de 2 elementos são necessários 4 conjuntos. Isto é: : que se lê: “dividido por” Esta operação chama-se divisão exata. É a operação inversa da multiplicação. Numa divisão exata, usamos a seguinte notação: dividendo, divisor e quociente. Exemplo: 8 é o dividendo, 4 é o divisor e 2 é quociente da divisão. Investigue: Isabela precisa dividir 5 doces para suas 3 amigas.nesta operação quem é o dividendo o divisor e o quociente? Existe algo a mais nessa operação? Comente com os seus colegas. Exercícios de fixação 1-uma fruteira das 14 de março comprou 22 caixas de maçãs. Tendo 8 maçãs cada caixa, quantas maçãs no total obteve a fruteira? 2-Sr Araújo comprou para a sua venda 3 caixas de manga rosa e 7 caixas de manga comum com 7 mangas em cada caixa de manga rosa e 5 mangas em cada caixa de manga comum. Quantas mangas no total comprou Sr Araújo? 3-comprei 35 caixas de CD com 60 CDs em cada caixa. Quantos CDs comprei no geral? 4-foram doados para os desabrigados de uma enchente 120 cobertores, 180 pares de sapatos e 240 pares de roupa. Sabendo que o numero de desabrigados era de 60, quanto de cada item doado ficou cada um? 5-uma urna contem 49 bolas amarelas, 21 vermelhas e 343 brancas para serem distribuídas igualmente entre 7 crianças, quantas bolas de cada cor receberá cada criança? 6-tenho 120 selos para distribuir entre meus 22 netinhos. Quanto selo ficará cada um? A divisão será exata? 7-comprei uma camisa do flamengo parcelado em 6 parcelas iguais à R$16,50 cada. Quanto pagarei pela camisa? 8- em uma rua de 400 metros de comprimento serão colocados pôsteres de luz de modo que cada um fique 25 metros de distancia um do outro. Quantos pôsteres serão colocados nesta rua? 9-uma tartaruga anda em media 1 metro a cada hora. Ao final de um dia teria andado quanto? 10-uma aposentadoria de R$ 540,00 rende em 22 anos um valor de? 11- um grupo de 12 estudantes conseguiu arrecadar R$ 264,00. Quanto deu cada estudante? 102 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 8. COLÉGIO OPÇÃO 12-um estacionamento cobra por hora R$3,00. Se em determinada hora o dono arrecadou R$ 693,00, quantos carros havia no estacionamento 13-a helena andou 15 km em 5 horas. Se ela andar sempre à mesma velocidade, quantos km andou por hora? 14-numa fazenda existe 12 porcos e 17vacas que dão um total de quantos pés? 15- para as 5ª series de um colégio foram matriculados 336 alunos. Esses alunos devem ser repartidos igualmente em 8 salas. Quantos alunos haverá em cada sala de 5ª serie? 16- em uma hora há 60 minutos. Quantas horas há em 840 minutos 17-. Uma padaria fabrica 180 tortas por dia e as entrega a cada uma de suas 15 filiais de modo que todas recebam a mesma quantidade de tortas. Quantas tortas cada filial recebem? 18- "num cinema há 250 poltronas. Se há 10 fileiras, quantas poltronas há por fileira? 19. Completa: Numeração Numeração Numeração Numeração Romana Árabe Romana Árabe 6+2 VII III 18-3 LV 39+6 LXI 200+15 CXV 1360-360 DCL É PRECISO FALAR SOBRE... ”As propriedades distributivas e comutativas das operações com números naturais” Voltemos a atividade investigadora da página 100: Um restaurante comprou 18 caixas de ovos com uma dúzia em cada caixa. Quantos ovos o restaurante comprou? Podemos resolver este problema usando a operação de multiplicação 18x12=216, onde 18 é p numero de caixas e 12 o numero de ovos em cada caixa: observe que este problema também pode ser escrito da seguinte forma: Que é a forma “distributiva” da operação ou: Que é a forma “comutativa”, pois se multiplicou as caixas ao invés dos ovos, ou também, 18x12=12x18 103 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 9. COLÉGIO OPÇÃO 2.5 ELEMENTO NEUTRO DA ADIÇÃO E DA MULTIPLICAÇÃO Observe: 5+0=5 ou 0+5=5, 14+0=? 0+21=?Nota- se que o “0” nada ou vazio somado a qualquer numero é sempre igual ao próprio numero. Na multiplicação temos outro elemento neutro observe: 5x1=5, de outra forma 1x5=1+1+1+1+1=5 6x1=? 1x52=?; O numero 1 é o elemento neutro da multiplicação. Exercícios de fixação 1-nas questões seguintes resolva utilizando uma das formas distributivas ou comutativas. A)14x15 b)6x8 C)20x19 d)24x20 E)100x40 f)13x12 2-veja o esquema abaixo 5x1=5 5x2=5+5=10 5x3=5+5+5=15 5x4=5+5+5+5=20..... ....................................... Então 5x0=? 8x0? 1000x0? É igual a quanto? 2.6 A BASE 10 DOS NÚMEROS NATURAIS Os algarismos de um numero são posicionais, ou seja eles representam agrupamentos de dezenas centenas ou milhares como no exemplo: 1250=1x1000+2x100+5x10 (um milhar com 2 centenas e com 5 dezenas) Vamos tentar decompor os números a seguir para base 10. A)5324 B)891 C)981 D)918 E)623189 2.7 EXPRESSÕES NUMÉRICAS NO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS. Atividade investigadora: Por que se faz uso de sinais como parênteses e colchetes nas operações numéricas? Chamamos de expressão numérica a um conjunto de números reunidos entre si por sinais de operação. A ordem de resolução, para as expressões numéricas que envolvem as quatro operações é: 1º. Potências e raízes; 2º. Multiplicação e divisão; 3º. Adição e subtração. Nos casos onde figuram ( ), [ ] e { }, vale a ordem abaixo: 1º. Parênteses ( ); 2º. Colchetes [ ]; 3º. Chaves { }. 104 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 10. COLÉGIO OPÇÃO Exemplos 1). 40: 8 + 2 x 16 2). 40: ( 8 + 2 x 16 ) 3) ( 40 : 8 + 2 ) 16 5+32 = 37 40 : ( 8 + 32 ) ( 5 + 2 ) x 16 ] 40 : 40 = 1 7 x 16 = 112 EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 1) Calcule o valor das expressões a) 30-(5+3) = b) 15+(8+2) = c) 15-(10-1-3) = d) 23-(2+8)-7 = e) (10+5)-(1+6) = f) 7-(8-3)+1= 2) Calcule o valor das expressões a) 25-[10+(7-4)] = b) 32+[10-(9-4)+8] = c) 45-[12-4+(2+1)] = d) 70-{20-[10-(5-1)]} = e) 28+{13-[6-(4+1)+2]-1} = f) 53-{20-[30-(15-1+6)+2]} = g) 62-{16-[7-(6-4)+1]} = h) 20-{8+[3+(8-5)-1]+6} = i) 15+{25-[2-(8-6)]+2} = j) 56-[3+(8-2)+(51-10)-(7-2)] = l){42+[(45-19)-(18-3)+1]-(28-15)-1} = 3)Calcule o valor das expressões: a) 25 + { 12 + [ 2 – ( 8 – 6 ) + 2 ]} = b) { [ ( 18 – 3 ) + ( 7 + 5) – 2 ] + 5 } – 12 = c) 65 – { 30 – [ 20 – ( 10 – 1 + 6) + 1 ]} = d)45 + { 15 – [ ( 10 – 8 ) + ( 7 – 4) – 3 ] – 4 } = e) 40 + { 50 – [35 – ( 25 +5) – 1 ]} + 7 = f)38 – { 20 – [ 22 – ( 5 + 3) + ( 7 – 4 +1)]} = g) 26 + { 12 – [ ( 30 – 18) + ( 4 – 1) – 6 ] – 1 } = 3. DIVISORES E MÚLTIPLOS DIVISÕES EXATAS E NÃO EXATAS Atividade investigadora: Podemos dividir um número por qualquer outro numero? Vamos pensar um pouco: *Mariana tem 8 maças e precisa dividi-las igualmente entre seus 12 primos. *Mário tem 44miniaturas de carro e quer dividi-los em 11 fileiras para expô-los a um amigo. Robson tem R$1,00 e quer dividi-lo em 10 partes? Qual dos problemas apresenta uma solução ”exata” e por que? O que é uma solução exata para você? 105 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 11. COLÉGIO OPÇÃO Complete a tabela abaixo: Divisão Quociente Resto 336 por 13 337 por 13 338 por 13 339 por 13 340 por 13 Qual das divisões teve um resultado exato pelo numero 13? 3.1. Critérios de divisibilidade Vamos estudar algumas regras que permitem verificar, sem efetuar a divisão, se um número é divisível por outro. Essas regras são chamadas critério de divisibilidade. Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 quando é par , determina um numero par de elementos ou termina em 0,2,4,6, e 8,....: a) 458 é divisível por 2, pois termina em 8. b) 1361 não é divisível por 2, pois não termina em número par. Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um número divisível por 3 Exemplo: A) 627 é divisível por 3, porque a soma: 6 + 2 + 7 = 15 é divisível por 3. B) 4 312 não é divisível por 3, porque a soma: 4 + 3 + 1 + 2 = 10 não é divisível por 3. Atividade investigadora: note que, tanto os números que são divisíveis por 2 e por 3 formam os seguintes conjuntos com a seguinte seqüencia: Números divisíveis por 2 {0,2,4,6,8,..... } Números divisíveis por 3 {0,3,9,12,15,..} Qual o vigésimo numero divisível por 2? Qual é o divisor de numero 50 do numero 3? Como são chamados esse conjunto de números divisíveis poe 2 e por 3? Divisibilidade por 4 Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível por 4.Exemplo 136 termina em 36 que é divisível por 4 Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. Exemplos: a) 125 é divisível por 5, pois termina em 5. b) 3010 é divisível por 5, pois termina em 0. Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. Exemplo: a) 912 é divisível por 6 porque é divisível por 2 e 3. b) 524 não é divisível por 6, pois é divisível por 2, mas não é por 3. Divisibilidade por7 Duplica-se o algarismo das unidades e subtrai-se do resto do número . Se o resultado for divisível por 7 o número é divisível por 7. 106 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 12. COLÉGIO OPÇÃO Por exemplo: 245 - 5 x 2 = 10 e depois 24 - 10 = 14 então é divisível por 7. 1589 - 9 x 2 = 18 e 158 - 18 = 140 então é divisível por 7 . 204568 - 8 x 2 = 16 e 20456 - 16 = 20440 e aplicando novamente 0 x 2 = 0 2044 - 0 = 2044 e novamente 4 x 2 = 8 204 - 8 = 196 e novamente 6 x 2 = 12 19 - 12 = 7 então é divisível por 7. Divisibilidade por 9 Somar os algarismos do número e verificar se a soma é divisível por nove . Por exemplo. 3464514 - 3+4+6+4+5+1+4=27 e 2 + 7 = 9 então é divisível por 9 Divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 quando termina em 0. Exemplo: a) 1240 é divisível por 10, pois termina em 0. b) 1355 não é divisível por 10, pois não termina em 0. Divisibilidade por11 Soma o 1º, o 3º, o 5º, o 7º algarismo... Soma o 2º, o 4º, o 6º, o 8º algarismo... Se a diferença for múltiplo de 11 (incluindo o zero) então o número é divisível por 11. Por exemplo: 94186565 - 9 + 1 + 6 + 6 = 22 4 + 8 + 5 + 5 = 22 e 22 - 22 = 0 então o número é divisível por 11. 4723866862 - 4+2+8+6+6 = 26 7+3+6+8+2 = 26 e 26-26 = 0 então o número é divisível por 11 Divisibilidade por12 Se o número for divisível por 3 e por 4 é divisível por 12. Divisibilidade por13 Multiplica o algarismo das unidades por 9 e subtrai-o do restante número. Se o resultado for múltiplo de 13 então o número inicial é múltiplo de 13. Por exemplo: 1105 - 5 x9=45 e 110 - 45 = 65 (se ainda tiveres dúvidas podes fazer novamente...) que é múltiplo de 13 - 13x5= 65 Exercício de fixação Faça no seu caderno 1. Quais destes números são divisíveis por 10? A) 472 e) 1 520 i) 90 001 B) 560 f) 1 849 j) 16 475 C) 885 g) 8 640 l) 80 300 D) 990 h) 9 080 m) 125 000 2. Quais são as verdadeiras? a) Todo número par é divisível por 10. b) Todo número divisível por 10 é par. c) Todo número divisível por 5 é divisível por 10. Exercícios complementares Faça no seu caderno 1. Considere os números do quadrado e responda: 21 86 124 285 111 1 632 4 050 7 335 107 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 13. COLÉGIO OPÇÃO 58 90 225 341 280 2 700 3 186 9 000 117 242 161 234 121 62029 7280 2255 a) Quais os números divisíveis por 2? b) Quais os números divisíveis por 3? c) Quais os números divisíveis por 4? d) Quais os números divisíveis por 5? e) Quais os números divisíveis por 6? f) Quais os números divisíveis por 7? g) Quais os números divisíveis por 10? h) Quais os números divisíveis por 11? i) Quais os números divisíveis por 13? j) Qual é divisível por 17? 2. O número abaixo é formado de quatro algarismos. O algarismo das dezenas é desconhecido. 8 4---- 7 Responda: a) Este número pode ser divisível por 2? b) Este número pode ser divisível por 3? c) Este número pode ser divisível por 5? d) Este número pode ser divisível por 6? e) Este número pode ser divisível por 10? 3. Copie e coloque um algarismo a direita do número: a) 457 para ser divisível por 2 e 3. D) 654 para ser divisível por 5 e 10 b) 202 para ser divisível por 2 e 3. E) 813 para ser divisível por 3 e 4 c) 189 para ser divisível por 2 e 3. F) 726 para ser divisível por 2, 3, 5 e 10 4-responda a)58 é divisível por 2? b)79 não é divisível por 3? c)54 é divisível por 2? h) 63 é divisível por 6? d) 49 é divisível por 2? i) 45 é divisível por 8? e) 63 é divisível por 3? j) 39 é divisível por 13? f)12 é divisível por 12? g)1 é divisível por 25? 5. Todos os números são divisíveis por 1? 6-Sem efetuar a divisão, assinale com x os números divisíveis por 2: A) 211 ( ) b) 118 ( ) c) 1 113 ( ) d) 250 ( ) e) 22 004 ( ) 7-sem efetuar a divisão assinale com x os números divisíveis por 3: A) 119 ( ) b) 103 ( ) c) 1 002 ( ) d) 405 ( ) e) 240 ( ) 8- Sem efetuar as divisões, verifique se os números 72, 78,44 022,3 103, 517 e 11 402 são divisíveis por 6. 9- Sem efetuar as divisões verifique se os números 138, 183, 315, 381, 813,75 e 44 020 são divisíveis por 5. Exercícios selecionados 1-Faça no seu caderno a) Os números divisíveis por 2. b) Os números divisíveis por 3. c) Os números divisíveis por 5. d) Os números divisíveis por 1 2. Responda: 108 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 14. COLÉGIO OPÇÃO a) Todo número divisível por 4 é divisível por 2? b) Um número divisível por 3 e que termina em 0 é divisível por 6? 3. Estou pensando em um número, maior que 25 menor que 30, que não é divisível nem por 2 nem por 3. Qual é esse número? 4. Estou pensando em um número, compreendido entre 50 e 60, que é divisível por 2 e por 3. Qual é esse número? 5. Um número é formado de três algarismo, sendo o algarismo das unidades desconhecidas. 34a Quais de vem ser os valores de a, de modo que o numero seja divisível. a) Por 2? D) por 5? b) Por 3? E) por 2 e não por 3? c) Por 6? F) por 3 e não por 6? 6. Usando as regras de divisibilidade, escreva: a) O maior número de três algarismo divisível por 2. b) O maior número de três algarismo divisível por 5. c) O menor número de três algarismo divisível por 5. d) O menor número de três algarismo divisível por 3. 3.2. Divisores de um número Divisor de um número O quadro mostra duas frases que tem o mesmo significado. • 15 é divisível por 3 Significa • 3 é divisor de 15 Se a divisão de um número natural por outro (não nulo) é exata, dizemos que o primeiro é divisível pelo segundo, ou que o segundo é divisor do primeiro. Conjunto dos divisores de um número Quais são os divisores de 6? Veja: • 6 é divisível por 1 ou 1 é divisor de 6 • 6 é divisível por 2 ou 2 é divisor de 6 • 6 é divisível por 3 ou 3 é divisor de 6 • 6 é divisível por 6 ou 6 é divisor de 6. Os números 1, 2, 3 e 6 são os divisores de 6 e formam o conjunto indicado por: D6 = {1, 2, 3 , 6} Exercícios de fixação Faça no seu caderno 1. Verdadeira ou falsa? a) 8 é divisor de 72 c) 12 é divisor de 72. b) 6 é divisor de 38 d) 50 é divisor de 240 2. Escreva os conjuntos dos divisores de: a) 8 c) 10 e) 12 g) 16 b) 9 d) 11 f) 15 h) 17 109 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 15. COLÉGIO OPÇÃO 3. Baseado nos resultados dos exercícios anteriores, responda: a) Qual é o menor número divisível de um número? b) Qual é o maior divisor de um número? 4. Determine os elementos dos seguintes conjuntos: a) {divisores de 12 menores que 5} c) {divisores de 70 menores que 15} b) {divisores de 36 menores que 10} d) {divisores de 80 menores que 12} 5. Escreva o conjunto de: a) Todos os divisores de 20 b) Todos os divisores pares de 20 c) Todos os divisores impares de 20 Investigue: encontre 30 números que tenham apenas dois divisores. 3.3 NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS ATIVIDADE INVESTIGADORA: 3.4 O CRIVO DE ERATOSTENES E OS MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO Vamos descobrir números primos Existe um processo para você determinar número primo chamado de crivo de Erastóstenes. Veja como você pode fazer para determinar os números primos de 1 a 100. 1. Faça uma tabela de 1 ate 100. 2. Marque ou pinte o número 1 3. Marque ou pinte todos os números divisíveis por 2, exceto o 2. 4. Marque ou pinte todos os números divisíveis por 3, exceto o 3 5. Marque ou pinte todos os números divisíveis por 5, exceto o 5 6. Marque ou pinte todos os números divisíveis por 7, exceto o 7. Comente com os colegas o resultado dessa experiência. Como se chama os números que sobraram? E os números que marcados como se chamam?Por que o numero 1 também foi marcado? Exercícios de fixação Faça no seu caderno 1. Observe o quadro e responda: 56 78 104 372 774 896 1 002 5 000 6 384 Nesse quadro existem alguns números primos? Por quê? 2. Observe o quadro e responda: 75 105 235 445 665 725 1 005 5 555 8 065 A) quais destes números são primos? B) por que não existe número primo terminado em 5, formado por mais de um algarismo? Quais destes números são primos? a) 69 e) 113 i) 288 b) 83 f) 121 j) 397 c) 93 g) 169 l) 1 029 d) 97 h) 191 m) 6 775 Exercícios complementares 110 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 16. COLÉGIO OPÇÃO Faça no seu caderno 1. Seja a = {2,7,8,9,16,24} a) Identifique os números pares. b) Identifique os números impares c) Identifique os números divisores por 3. d) Identifique os números divisores por 4. e) Identifique os números primos. 2. Quais dos divisores de 18 são primos 3. O número 1 é primo por quê? 4. Verifique se é primo o número natural: A) 71 e) 289 i) 997 B) 127 f) 721 j) 1 001 C) 601 g) 648 l) 1 263 D) 347 h) 707 m) 3 748 Exercícios selecionados Faça no seu caderno 1. O número 0 é primo ou composto? 2. Qual o número natural que não é primo nem composto? 3. Qual o maior número natural de dois algarismos natural que é primo? 4. Quais são os elementos do conjunto a = {x ∈ / x é primo e 2 < x < 20} 3.5. Fatoração completa O que significa fatorar um número? Fatorar um número composto significa decompor esse número em um produto de fatores primos. Exemplo: Vamos decompor o número 90 em fatores primos. 90= 2 X 45 90= 2 X 3 X 15 90= 2 X 3 X 3 X 5 Número composto fatores primos ATIVIDADE INVESTIGADORA: Todo numero pode ser decomposto em números primos?o que você acha? Procure exemplos que comprovem a sua resposta. Na pratica, para decompor um número em fatores primos, você fará assim: 90 2 Quociente 45 3 Divisores primos 15 3 5 5 1 2 x 3 3 x 5 = 2 x 32 x 5 Logo:90= 2 x 32 x 5 Dividimos 90 sucessivamente pelos seus divisores primos. Os divisores são colocados à direita do traço e os quocientes obtidos à esquerda. 111 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 17. COLÉGIO OPÇÃO Exercícios de fixação Faça no seu caderno 1. Decomponha em fatores primos (ou escreva a forma fatorada) dos números abaixo: A) 28 b) 110 c) 42 d) 162 e) 90 f) 200 G) 132 h) 375 i) 288 j) 5 024 l) 3008 m) 16 2. A forma fatorada de um número natural é 23 x 3 x 52. Qual é esse número natural? 3.qual é o número natural cuja forma fatorada é 5 x 7 x 112? Exercícios complementares Faça no seu caderno 1. Decomponha os números em fatores primos: a) 144 g) 507 b) 105 h) 686 c) 180 i) 2 487 d) 500 j) 6 300 e) 156 l) 4 620 f) 340 m) 12 675 2. Qual é o número cuja fatoração dá 22 x 3 x 72? 3. Qual é o número cuja a fatoração dá 2 x 32 x 52 x 7? Exercícios selecionados Faça no seu caderno 1. Decomponha os números em fatores primos: a) 406 c) 8 281 b) 578 d) 1 331 2. Há vários números representados como um produto de fatores primos copie e indique esses números: a) 23 x 11 e) 22 x 3 x 7 b) 23 x 12 f) 32 x 7 x 15 c) 2 x 3 x 5 g) 2 x 32 x 10 d) 2x3x4 h) 32 x 22 x 52 Teste de revisão Indique a página, numere a questão e escreva no caderno a alternativa correta 1. Os fatores primos de 3 000 são: A) 2, 3 e 5 c) 2, 5 e 15 B) 2, 3 e 15 d) 3, 5 e 15 2. A fatoração completa de 1 572 é: A) 2 x 3 x 13 c) 22 3 x 131 B) 2 x 3 x 17 d) 22 32 5 x 17 112 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 18. COLÉGIO OPÇÃO 3. O número 2 040 é igual a: a) 24 x 3 x 5 B) 22 x 3 x17 c) 23 x 3 x 5 x 17 4. Qual o número representado como um produto de fatores primos? A) 2 x 3 x 4 c) 3 x 5 x 10 B) 2 x 3 x 7 d) 2 x 3 x 15 5. Qual é o número cuja formação é 23 x 52 x 72? A) 1 400 c) 1 960 B) 4 900 d) 9 800 6. Os fatores primos de 3 744 são: A) 1, 2, 3 e 7 c) 1, 2, 9 e 13 B) 1, 2, 3 e 13 d) n. d. a. AFINAL PARA QUE SERVEM OS NÚMEROS PRIMOS? O envio e o recebimento de informações sigilosas é uma necessidade antiga, que existe há centenas de anos. o imperador romano Julio césar(100-44 AC)já o utilizava naquela época sistema de códigos foi bastante usado nas grandes guerras. Hoje temos chaves publicas como os e-mails, Orkut, compras on-line e etc.. Com o surgimento da internet e de sua conseqüente facilidade de transmitir dados de maneira precisa e extremamente rápida, a criptografia tornou-se uma ferramenta fundamental para permitir que apenas o emissor e o receptor tenham acesso livre à informação trabalhada. O termo criptografia surgiu da fusão das palavras gregas "kryptós" e "gráphein", que significam "oculto" e "escrever", respectivamente. Trata-se de um conjunto de conceitos e técnicas que visa codificar uma informação de forma que somente o emissor e o receptor possam acessá-la, evitando que um intruso consiga interpretá-la. Para isso, uma série de técnicas são usadas e muitas outras surgem com o passar do tempo. o mais famoso deles e o sistemas RSA O sistema consiste em escolher dois números primos grandes que depois de multiplicados geram um produto. A mensagem, então, é convertida em uma seqüência de números por algum método convencional e a seguir é codificada por uma operação baseada no número gerado. Essa mensagem só poderá ser decodificada por uma segunda operação matemáticas com base nos números primos originais. Mas, se alguém conseguir fatorar o número gerado, a mensagem poderá ser decifrada. Para que isso não ocorra, é imprescindível escolher números primos suficientemente grandes. Em 1977 um código de 125 dígitos - o produto de dois números primos de aproximadamente 63 dígitos - seria seguro, pois levaria cerca de 40 quatrilhões de anos para ser quebrado pelos mais rápidos computadores. Hoje com os computadores modernos não levaria mais de um ano. (superinteresante-1989/emerson alecrim- O Cifrário de Julio Cesar 2005) 113 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 19. COLÉGIO OPÇÃO Atividade investigadora Envie uma mensagem criptografada para alguém da, usando o método baseado no do imperador Julio césar: por exemplo, usemos uma “chave parecido com esta: Alfabeto na ordem normal a b c d e f j k l m n o Alfabeto em ordem normal, mas com o “inicio alterado” A palavra bebê, por exemplo, fica criptografada assim “knkn” Agora é com você uma fonte parecida com esta e crie mensagens. Você seria capaz de obter outra “chave criptográfica? 3.6 O MDC O maior dos divisores comum de dois ou mais números chama-se máximo divisor comum (m.d.c.) Exemplo: Qual é o m d c entre 8 e 12? Temos: • Divisor de 8 = {1, 2, 4, 8} • Divisores de 12 = {1, 2, 4} • Divisores comuns de 8 e 12 {1, 2, 4} O maior desses divisores comuns é 4. Então: m.d.c. (8, 12) = 4 Exercícios de fixação 1. Escreva o conjunto dos divisores de: A) 6 c) 9 e) 12 B) 8 d) 10 f) 15 2. Escreva os conjuntos dos divisores comuns de A) 6 e 12 e) 8 e 12 B) 9 e 12 f) 9 e 15 C) 8 e 20 g) 6, 12 e 15 D) 10 e 15 h) 12, 20 e 24 3. Baseado nos resultado dos exercícios anteriores determine A) m.d.c. (6, 12) e) m.d.c.(8, 12) B) m.d.c.(9,12) f) m.d.c.(9, 1 5 C) m.d.c.(8, 20) g) m.d.c.( 6, 12, 15) D) m.d.c. (10, 15) h) m.d.c. (12, 20, 24) Processos práticos para determinação do m.d.c Existem muitos modos de determinarmos o m.d.c vejamos aprender alguns deles Método 1 Método 2 114 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 20. COLÉGIO OPÇÃO 3.7. Conjunto dos múltiplos de um número natural: Os múltiplos de número natural qualquer são determinados a partir de multiplicações, desse número natural, pela seqüência dos números naturais. Exemplos: m (3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15,...} m (5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25,...} 3.8. O MMC Dados dois ou mais números naturais, chamamos de mmc desses números o menor número, diferente de zero, que é múltiplo ao mesmo tempo dos números considerados. Exemplos: Vamos calcular o mmc entre 2 e 3: Inicialmente, determinamos o conjunto dos múltiplos dos números dados. M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,...} M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ...} Observe que 0, 6, 12, 18 são múltiplos comuns de 2 e 3. Logo, o menor múltiplo comum, diferente de zero de 2 e 3 é 6. Então: m.m.c (2, 3) = 6 Métodos práticos para o cálculo do m.m.c: Metodo1 Método 2 Exercícios 1) calcule o conjunto dos múltiplos de: A) 7 d) 16 g) 4 B) 9 e) 18 h) 23 C) 13 f) 20 i) 30 2) dados os números 5,10 e15, escreva: A) os conjuntos m(5), m(10) e m(15); B) o mmc(5,10,15) 3) calcule o mmc, entre os números abaixo, através do método da decomposição: 115 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 21. COLÉGIO OPÇÃO A) 4 e 18 b) 9 e 24 c) 3, 8 e 12 d) 18, 12 e 30 e) 12, 20 e 36 4) calcule o mmc pelo método da decomposição simultânea: A) 18, 30 e 48 b) 6, 12 e 28 c) 36,120 e 60 d) 8, 24 e 48 5) numa competição, participaram juntos dois ciclistas. O primeiro leva 20 segundos para dar uma volta completa na pista, e o segundo leva 18 segundos. Eles estarão juntos novamente depois de quantos segundos? 6) dois semáforos de transito estão sincronizados da seguinte maneira, o primeiro aponta o sinal verde de 120 em 120 segundos, e o segundo de 50 em 50 segundos. após quanto tempo, os dois sinais estarão apontando, ao mesmo tempo, o sinal verde? Exercícios de fixação Faça no seu caderno 1. Determine o m.d.c dos números, usando qualquer processo estudado: A) m.d.c (35, 10) c) m.d.c (15, 40) B) m.d.c (30, 18) d) m.d.c (46, 22) 2. Determine o m.d.c dos números, usando qualquer processo estudado: A) m.d.c (130, 20) c) m.d.c (110, 82) B) m.d.c (36, 120) d) m.d.c (124, 244) 3. Determine o m.d.c dos números, usando qualquer processo estudado: A) m.d.c (48, 80, 72) m.d.c (84, 162, 210) B) m.d.c (28, 16, 12) m.d.c (520, 650, 720) 4. Qual é o maior número que divide 18, 36 e 27 5. Qual é o maior número que divide 24 ,96, 40, e 100 6. Sejam os números a b e c dados pelas suas fatorações completas: • A = 52 x 7 x 112 • B = 2 x 3 x 72 x 11 • C = 2 x 52 x 7 x 13 Encontre os valores de: A) m.d.c. (a, b) c) m.d.c. (b, c) B) m.d.c. (a, c) c) m.d.c. (a, b, c) 7. Dois rolos de corra de 200 metros e 240 metros de comprimento precisam ser cortados em pedaços iguais e no maior comprimento possível. 200 240 Responda: A) m.d.c. (a, b) c) m.d.c. (b, c) B) m.d.c. (a, c) d) m.d.c. (a, b, c) 116 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 22. COLÉGIO OPÇÃO 8. Três peças de tecidos que medem, respectivamente, 12m, 30m e 54m, devem ser cortadas todos em pedaços de mesmo comprimento e do maior tamanho possível, sem que aja sobra em cada uma delas. Quanto medira cada pedaço? 9. Todos os alunos de uma escola de 2º grau participam de uma gincana. para essa competição, cada equipe será formada por alunos de ema mesma série com o mesmo número de participantes. Veja no quadra a distribuição de alunos por série: Número de Série alunos 1ª 120 2ª 108 3ª 100 Responda: A) qual o número máximo de alunos por equipe? B) quantas serão as equipes da 1ª série? C) quantas serão as equipes da 2ª série? D) quantas serão as equipes da 3ª série? 10. Responda: A) quais são os divisores de 5? B) quais são os divisores de 7? C) qual o único divisor comum de 5 e 8? D) qual o m.d.c. De (5, 8)? 11. Responda: A) quais são os divisores de 4? B) quais são os divisores de 7? C) qual é o único divisor comum de 4 e 7? D) os número 4 e 7 são primos entre si .por quê? 12. Quais números a seguir são primos entre si? A) 4 e 9 d) 12 e 15 g) 17 e 34 B) 8 e 15 e) 13 e 14 h) 21 e 63 C) 6 e 10 f) 20 e 27 i) 33 e 77 4 UMA NOVA OPERAÇÃO:POTENCIAÇÃO 117 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 23. COLÉGIO OPÇÃO ATIVIDADE INVESTIGADORA: Vamos agora aprender uma nova operação com os números naturais, para isso vamos fazer uso de uma calculadora comum e primeiro vamos nos acostumar com ela. Façamos o exercício da pagina 104 novamente agora com a ajuda da calculadora. 4.1 OPERANDO COM POTENCIAS NA CALCULADORA Vamos agora fazer nosso primeiro exemplo:siga os passos Digite na calculadora 3x2 e aperte a tecla de igual repetidas vezes preenchendo a tabela a seguir: T E 3 X 2 = = = = = = = = = = C L A V 3 3 2 6 1 I S 2 O R Agora seguindo o mesmo raciocínio faremos as dez primeiras potencias de 2 para isso digite na calculadora 1x2 e novamente aperte a tecla de igual repetidas vezes completando a tabela T 1 X 2 = = = = = = = = = = E C L A V 1 1 2 2 4 8 I S O R Expoente Potencia Outra maneira de expressar esse problema é usando uma tabela de potência n 2n 1 2 Onde n é chamado de expoente e 2 4 3 8 2n é a potência resultante 4 16 5 32 6 64 7 128 8 256 9 512 10 1024 118 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 24. COLÉGIO OPÇÃO Exercício de fixação 1-Façamos uma tabela de potencias, com a ajuda da calculadora, com as potencias de 3 e de 5 de 1 até 16. 2-Explore outras seqüências de teclas, o que você descobriu? a) 2 + 3 = = = = = = b) 5 + 2 = = = = = = c) 10 x 10 = = = = = = = . . d) 2 x 3 = = = = = = .. e) 3 x 2 = = = = = = .. 3- Qual o valor de uma potência de base 6 e expoente 4? 4- Usando os símbolos < , > ou =, complete as sentenças para que sejam verdadeiras : A) 1001 _______ 1100 b) 5³ _______ 20² c) 2 2 ________ 2³ 5-Uma colônia de bactérias em possui uma quantidade de 50 bactérias inicialmente e começa a se “duplicar” a cada minuto que se passa. Quantas bactérias existiram apos 12 minutos de duplicação? Note que: a potenciação nada mais é que o produto de fatores iguais 41 = 4 42 = 4 X 4 = 16 43 = 4 X 4 X 4 = 64 44 = 4 X 4 X 4 X 4 = 256 TEXTO COMPLEMENTAR COMO NASCE UM PARADIGMA Um grupo de cientistas colocou cinco macacos numa jaula, em cujo centro puseram uma escada e, sobre ela, um cacho de bananas. Quando um macaco subia a escada para apanhar as bananas, os cientistas lançavam um jato de água fria nos que estavam no chão. Depois de certo tempo, quando um macaco ia subir a escada, os outros o enchiam de pancadas. Passado mais algum tempo, nenhum macaco subia mais a escada, apesar da tentação das bananas. Então, os cientistas substituíram um dos cinco macacos. A primeira coisa que ele fez foi subir a escada, dela sendo rapidamente retirado pelos outros, que o surraram. Depois de algumas surras, o novo integrante do grupo não mais subia a escada. Um segundo foi substituído, e o mesmo ocorreu, tendo o primeiro substituto participado, com entusiasmo, da surra ao novato. Um terceiro foi trocado, e repetiu-se o fato. Um quarto e, finalmente, o último dos veteranos foi substituído. Os cientistas ficaram, então, com um grupo de cinco macacos que, mesmo nunca tendo tomado um banho frio, continuavam batendo naquele que tentasse chegar às bananas. Se fosse possível perguntar a algum deles porque batiam em quem tentasse subir a escada, com certeza a resposta seria: "Não sei, as coisas sempre foram assim por aqui..." “É MAIS FÁCIL DESINTEGRAR UM ÁTOMO DO QUE QUEBRAR UM PARADIGMA" Albert Einstein http://diogoalvesfaria.blog.uol.com.br 119 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 25. COLÉGIO OPÇÃO Conhecimento complementar Você sabe calcular área de quadrados? 4.2 A RADIAÇÃO O QUE É UMA RAIZ QUADRADA? Ora alguma vez vida você já deve ter ouvido sobre RAIZ QUADRA não é verdade? Mas o que seria uma raiz quadrada? Por exemplo, o símbolo para a raiz quadrada de 9 é da seguinte forma Mas de onde veio esse símbolo e o que esse cálculo quer dizer?Você poderia dizer? Parece complicado, mas a coisa é bem mais simples isso aconteceu lá no passado, Quando traduziram a matemática do LATIM para o PORTUGUÊS!!! Radix quadratum 9 aequalis 3 Do Latim:O Lado (radix) do Quadrado de área 9 é igual a 3 Quadrado de lado3 120 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 26. COLÉGIO OPÇÃO Ta aí o grande problema. Traduziram radix como raiz daí ela perdeu seu significado. Na verdade raiz quadrada quer dizer LADO DO QUADRADO! Observe agora de onde surge o símbolo (radical) da raiz quadrada. o radical veio da letra r do radix Podemos então pensar da seguinte maneira : Quanto é a raiz quadrada de 25? 25 =5, pois A área do quadrado é 25, pois esta divido em 25 partes iguais. O lado do quadrado é igual a 5. Assim a raiz quadrada de 25 é igual a 5. Quadrado de lado 5 Atividade investigadora √4 + √9 = V13?e √4 x √9 = √36 ? Note que: se 9 =3, isto que dizer que 3x3=9 Da mesma forma 25 =5,pois 5x5=25 logo a radiciação pode ser transformada em potenciação 3 4 Então quanto vale 8 =? e 64 = ? Exercício de fixação 1-usando a calculadora responda a seguinte questão: todas as radiciações são números naturais? Encontre por exemplo 45 e 8. 1 - Escreva na forma de potência: a) 5 . 5. 5. 5 b) 11. 11.11.11..11 c) 10 . 10. 10. 10. 10. 10 2 – Escreva na forma de produto e calcula as potências: a) 43 b) 210 c) 132 3 – Determine o valor de 8 x 2 e de 82. Qual dos dois valores é maior? 4 - Calcule o valor de: a)52 + 22 b) (5 + 2 )2 121 5ª Série – Matemática – 1º Semestre
  • 27. COLÉGIO OPÇÃO c) 83 – 43 d) (8 – 4)3 5 – Escreva os números seguintes usando potências de 10: a) 1 000 000 000 (b) 2 000 000 (c) 80 000 000 6 – investigue o resultado das potências nas expressões. a) 73. 75 b) 53. 54. 52 c) 105: 105 d) 45: 43 e) (52)5 f) [(56)0]8 g) (7 . 10)3 h) ( 2 . 32 . 52)4 7 – O número 16 é um quadrado perfeito, tem raiz quadrada exata. Quais dos números seguintes são quadrados perfeitos? a) 1 b) 36 c) 40 d) 60 e) 49 f) 81 8- Resolva as expressões abaixo: a) √16 + √36 = 4 + 6 = b) √25 + √9 = 5 + 3 = c) √49 - √4 = 7 - 2 = d) √36- √1 = 6 - 1 = e) √9 + √100 = 3 + 10 = f) √4 x √9 = 2 x 3 = 122 5ª Série – Matemática – 1º Semestre