Este documento apresenta a metodologia de superfície de resposta, que é uma técnica de otimização baseada em planejamentos fatoriais. A metodologia envolve duas etapas: modelagem inicial usando um planejamento fatorial para ajustar um modelo matemático aos dados; e deslocamento ao longo do caminho de máxima inclinação do modelo para localizar o ponto ótimo. Um exemplo numérico ilustra essas etapas para otimizar o rendimento de uma reação química variando a concentração de um reagente e a vel
1998: Técnicas de Otimização Não-Linear Irrestrita para o Treinamento de Rede...Leandro de Castro
O documento discute técnicas de otimização não-linear irrestrita aplicadas ao treinamento de redes neurais de múltiplas camadas, comparando algoritmos de primeira e segunda ordem como gradiente, Newton, Levenberg-Marquardt e gradiente conjugado. Inclui detalhes de implementação, exemplos e uma análise da velocidade de convergência dos diferentes métodos.
Plano de aula po1 capitulo 6 método simplex 2015 vrs 0000 - fazer.ppt [modo...Luis Duncan
O documento descreve o método Simplex para resolver problemas de programação linear (PPL), incluindo como colocar um PPL na forma padrão e implementar o algoritmo Simplex. O método Simplex envolve colocar o PPL em uma forma matricial adequada e, em seguida, iterar por meio de quadros para otimizar a função objetivo, resultando em uma solução ótima ou não para o PPL.
Este documento é uma apostila sobre funções do primeiro grau. Explica que uma função do primeiro grau é definida por f(x) = ax + b, onde a e b são constantes reais e a ≠ 0. Apresenta exemplos de funções afim, linear e identidade. Discute como construir o gráfico de uma função do primeiro grau e como determinar seu coeficiente angular, coeficiente linear e raiz. Explica como estudar o sinal de uma função do primeiro grau e resolver exercícios sobre o tema.
O documento descreve funções polinomiais, especificamente funções quadráticas. Apresenta a forma geral de funções quadráticas e explica como obter seus gráficos, vértices e interceptos. Também mostra como converter entre a forma padrão de funções quadráticas e sua forma canônica.
Este capítulo discute a análise de regressão múltipla e a inferência estatística. Apresenta os testes t e intervalos de confiança para os coeficientes de regressão e discute a importância da hipótese de normalidade dos resíduos para a aplicação correta destes testes. Também introduz o teste de Jarque-Bera para avaliar a normalidade dos resíduos.
O documento descreve as funções do 1o grau, definindo-as como funções na forma f(x) = ax + b, e apresentando exemplos. Também aborda o gráfico dessas funções, coeficientes angular e linear, raiz, estudo do sinal e exercícios.
1. O documento descreve modelos de regressão com variáveis binárias, explicando como especificar corretamente variáveis qualitativas com m categorias para evitar colinearidade.
2. É apresentado um exemplo usando dados eleitorais do Rio de Janeiro para ilustrar como interpretar os coeficientes em modelos com e sem termo constante.
3. Os resultados mostram que a região da cidade influencia os percentuais de votos brancos e nulos, sendo menores nas zonas Sul e Norte.
O documento discute o cálculo da incerteza de estimação geoestatística para otimizar a localização de estações climatológicas. Ele explica o que é a incerteza de estimação, como é calculada usando formalismo da indicatriz e modelagem de distribuição de probabilidade, e como sistemas de informação geográfica podem ajudar no processo. Um caso de estudo sobre rede de estações climáticas em Portugal é apresentado.
1998: Técnicas de Otimização Não-Linear Irrestrita para o Treinamento de Rede...Leandro de Castro
O documento discute técnicas de otimização não-linear irrestrita aplicadas ao treinamento de redes neurais de múltiplas camadas, comparando algoritmos de primeira e segunda ordem como gradiente, Newton, Levenberg-Marquardt e gradiente conjugado. Inclui detalhes de implementação, exemplos e uma análise da velocidade de convergência dos diferentes métodos.
Plano de aula po1 capitulo 6 método simplex 2015 vrs 0000 - fazer.ppt [modo...Luis Duncan
O documento descreve o método Simplex para resolver problemas de programação linear (PPL), incluindo como colocar um PPL na forma padrão e implementar o algoritmo Simplex. O método Simplex envolve colocar o PPL em uma forma matricial adequada e, em seguida, iterar por meio de quadros para otimizar a função objetivo, resultando em uma solução ótima ou não para o PPL.
Este documento é uma apostila sobre funções do primeiro grau. Explica que uma função do primeiro grau é definida por f(x) = ax + b, onde a e b são constantes reais e a ≠ 0. Apresenta exemplos de funções afim, linear e identidade. Discute como construir o gráfico de uma função do primeiro grau e como determinar seu coeficiente angular, coeficiente linear e raiz. Explica como estudar o sinal de uma função do primeiro grau e resolver exercícios sobre o tema.
O documento descreve funções polinomiais, especificamente funções quadráticas. Apresenta a forma geral de funções quadráticas e explica como obter seus gráficos, vértices e interceptos. Também mostra como converter entre a forma padrão de funções quadráticas e sua forma canônica.
Este capítulo discute a análise de regressão múltipla e a inferência estatística. Apresenta os testes t e intervalos de confiança para os coeficientes de regressão e discute a importância da hipótese de normalidade dos resíduos para a aplicação correta destes testes. Também introduz o teste de Jarque-Bera para avaliar a normalidade dos resíduos.
O documento descreve as funções do 1o grau, definindo-as como funções na forma f(x) = ax + b, e apresentando exemplos. Também aborda o gráfico dessas funções, coeficientes angular e linear, raiz, estudo do sinal e exercícios.
1. O documento descreve modelos de regressão com variáveis binárias, explicando como especificar corretamente variáveis qualitativas com m categorias para evitar colinearidade.
2. É apresentado um exemplo usando dados eleitorais do Rio de Janeiro para ilustrar como interpretar os coeficientes em modelos com e sem termo constante.
3. Os resultados mostram que a região da cidade influencia os percentuais de votos brancos e nulos, sendo menores nas zonas Sul e Norte.
O documento discute o cálculo da incerteza de estimação geoestatística para otimizar a localização de estações climatológicas. Ele explica o que é a incerteza de estimação, como é calculada usando formalismo da indicatriz e modelagem de distribuição de probabilidade, e como sistemas de informação geográfica podem ajudar no processo. Um caso de estudo sobre rede de estações climáticas em Portugal é apresentado.
Este capítulo discute o modelo de regressão múltipla com duas variáveis explicativas e apresenta os
estimadores de mínimos quadrados ordinários. Os coeficientes parciais de regressão medem o efeito
de cada variável explicativa sobre a variável dependente quando o efeito da outra variável é
mantido constante. Os estimadores MQO são obtidos resolvendo um sistema de equações que
envolve a matriz dos dados e os vetores de parâmetros e erros. A variância dos estimadores
depende de um parâmetro que mede a variância dos
1) O documento discute modelagem variográfica e geoestatística, que quantifica a autocorrelação espacial entre pontos de amostragem e como isso pode ser usado para estimar valores em pontos não amostrados.
2) A geoestatística se baseia na hipótese de que pontos mais próximos estão mais relacionados do que pontos distantes, e o variograma descreve matematicamente essa relação entre variância e distância.
3) A krigagem usa a autocorrelação espacial representada no variograma para estim
O documento discute o método dos mínimos quadrados para ajuste de curvas. Ele introduz o tópico, define o método e fornece exemplos de como aplicá-lo para ajustar uma reta a conjuntos de pontos experimentais.
1) O documento apresenta o programa de uma disciplina de cálculo que aborda tópicos como derivadas, máximos e mínimos de funções, integrais indefinidas e definidas.
2) A bibliografia lista 3 livros de cálculo.
3) As avaliações incluem duas provas bimestrais e um exame final, sem uso de calculadora ou formulário.
Este documento descreve como determinar a equação de uma reta a partir de diferentes informações, como dois pontos, um ponto e a inclinação, ou um ponto e o ângulo com o eixo x. Explica que dois pontos determinam uma única reta e como alinhar um ponto genérico para obter a equação. Também mostra como calcular a inclinação e como usar um ponto e a inclinação para encontrar a equação geral e reduzida de uma reta.
Este documento contém a resolução de 7 questões de concursos públicos. As questões envolvem cálculos de probabilidade, geometria plana e raciocínio lógico. As respostas variam entre cálculos algébricos simples, uso de fórmulas geométricas e interpretação de gráficos.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo equações de retas gerais e reduzidas, coeficientes angular e linear, cálculo de áreas de triângulos e distâncias entre pontos. Exemplos resolvidos ilustram como aplicar essas noções para encontrar equações de retas passando por pontos dados e calcular áreas e distâncias.
1) A professora apresenta conceitos geométricos e analíticos relacionados à derivada e seus pontos críticos.
2) São definidos e explicados os Teoremas do Valor Médio, de Rolle e critérios para identificar intervalos de crescimento de funções.
3) Concavidade, pontos de inflexão e seus critérios de identificação com base na segunda derivada são explicados.
O documento descreve o processo de ajuste de uma reta linear aos dados observados usando o método dos mínimos quadrados. Explica que este método encontra os valores do intercepto e inclinação da reta que melhor explicam a relação entre a variável dependente e independente. Fornece um exemplo passo a passo de como ajustar uma reta aos dados sobre a capacidade de inspiração de pacientes pré e pós-operatório.
O documento explica o conceito de progressão geométrica através de uma construção geométrica onde pontos são marcados em segmentos de reta divididos sucessivamente ao meio. A seqüência gerada é 1-2-4-8, caracterizando uma progressão geométrica onde cada termo é o anterior multiplicado por um fator constante. O documento também define progressão geométrica formalmente e apresenta propriedades como o termo geral e a soma dos termos. Por fim, exemplos ilustram o cálculo de termos e soma em diferentes situações.
O documento descreve um planejamento fatorial completo com três fatores (temperatura, catalisador e concentração) e suas respectivas interações para analisar o rendimento de uma reação. Os principais efeitos encontrados foram da temperatura, catalisador e concentração, com interação significativa entre temperatura e concentração.
1) O documento discute regressões múltiplas, incluindo como estimar os parâmetros, testar a significância do modelo com o teste F e avaliar o ajuste do modelo com o R2.
2) É mostrado como incluir uma constante no modelo e como estimar os parâmetros de forma matricial.
3) São explicados o teste F para testar a significância do modelo como um todo e o R2 para medir o quão bem o modelo se ajusta aos dados.
1. O documento descreve estudos realizados com um detector Geiger-Müller para caracterizar sua resposta à radiação. Foram medidas taxas de contagem em função da tensão aplicada e da distância à fonte radioativa.
2. A zona de operação ótima do detector foi determinada entre 550V-950V, onde a taxa de contagens se mantém constante. Medições com diferentes fontes permitiram estimar a eficiência do detector para radiações β e γ.
3. Os resultados sugerem que a taxa de contagem varia inversamente com o quadrado da dist
prof.Calazans(Mat. e suas Tecnologias)-Simulado 04 comentadoProfCalazans
1) O documento descreve uma competição de ciências entre três candidatos em que o vencedor será aquele com a maior média ponderada entre as notas finais de química e física.
2) Um dos candidatos ainda não fez a prova final de química.
3) Para vencer, o candidato que faltou a prova de química precisará tirar no mínimo 18 na prova.
Este documento descreve um modelo de resolução numérica de equações diferenciais parciais parabólicas usando o método Hopscotch com refinamento não-uniforme da malha. O método Hopscotch combina discretizações explícita e implícita para calcular a solução em cada ponto de forma alternada. O domínio é dividido em subdomínios atribuídos a processadores, permitindo refinar seletivamente áreas próximas a descontinuidades para melhorar a precisão.
Analise comparativa de métodos diretos e iterativos para a solução de sistema...Fabricio Magalhães
O documento apresenta uma análise comparativa de métodos diretos e iterativos para resolver sistemas de equações obtidos através do método de elementos finitos em problemas elásticos de engenharia. Descreve estruturas de dados para armazenar a matriz do sistema e resume métodos diretos como Gauss e iterativos como Jacobi, Gauss-Seidel, entre outros. Finalmente, aplica os métodos a problemas elásticos bidimensionais e tridimensionais para comparar seus desempenhos.
Este documento contém 10 provas modelo para a preparação da prova final de matemática do 9o ano. Inclui um formulário, tabela trigonométrica e as 10 provas com questões de escolha múltipla e resolução de problemas sobre vários tópicos matemáticos como geometria, álgebra e probabilidades.
O documento apresenta orientações metodológicas para o desenvolvimento de um capítulo sobre o Binômio de Newton e probabilidade. O capítulo aborda tópicos como números binomiais, a fórmula de Newton, representação do termo geral do binômio e exercícios complementares. As sugestões incluem definir números binomiais, apresentar propriedades e a relação de Stiffel, desenvolver (x + a)n usando a fórmula de Newton e representar o termo geral.
1) O documento descreve um modelo de regressão linear simples, apresentando a equação, o método dos mínimos quadrados ordinários para estimar os parâmetros, e os testes de significância dos parâmetros e da regressão como um todo.
2) É apresentado um exemplo numérico ilustrando os cálculos para estimar a reta de regressão e os testes.
3) A regressão é validada através dos testes F e t, indicando que os parâmetros são estatisticamente significativos.
1) O documento descreve o uso do Método dos Elementos de Contorno com Integração Direta (MECID) para resolver problemas de autovalor em domínios bidimensionais não regulares.
2) Foram testadas várias funções de base radial no MECID anteriormente em domínios regulares, porém agora o objetivo é simular problemas com domínios não regulares para uma melhor avaliação do método.
3) Apenas os resultados de duas funções radiais são apresentados devido ao espaço, comparando com a Solução dos Elementos Finitos.
O documento descreve o processo de ensaio Proctor Normal para determinar a curva de compactação de um solo. O ensaio é realizado variando a umidade do solo e medindo a massa específica aparente seca resultante para cada teor de umidade. A curva de compactação é traçada manualmente a partir dos pontos obtidos. O documento propõe o uso da regressão não linear para ajustar automaticamente a curva a esses pontos, fornecendo resultados mais precisos de forma mais rápida.
Este documento apresenta o método gráfico para resolver problemas de programação linear com duas variáveis de decisão. O método envolve representar graficamente as restrições do problema e traçar retas da função objetivo para encontrar o ponto ótimo na região factível. Exemplos ilustram como aplicar os oito passos do método, incluindo formulação do problema, traçar retas, delimitar região factível e resolver sistema de equações para achar a solução.
Este capítulo discute o modelo de regressão múltipla com duas variáveis explicativas e apresenta os
estimadores de mínimos quadrados ordinários. Os coeficientes parciais de regressão medem o efeito
de cada variável explicativa sobre a variável dependente quando o efeito da outra variável é
mantido constante. Os estimadores MQO são obtidos resolvendo um sistema de equações que
envolve a matriz dos dados e os vetores de parâmetros e erros. A variância dos estimadores
depende de um parâmetro que mede a variância dos
1) O documento discute modelagem variográfica e geoestatística, que quantifica a autocorrelação espacial entre pontos de amostragem e como isso pode ser usado para estimar valores em pontos não amostrados.
2) A geoestatística se baseia na hipótese de que pontos mais próximos estão mais relacionados do que pontos distantes, e o variograma descreve matematicamente essa relação entre variância e distância.
3) A krigagem usa a autocorrelação espacial representada no variograma para estim
O documento discute o método dos mínimos quadrados para ajuste de curvas. Ele introduz o tópico, define o método e fornece exemplos de como aplicá-lo para ajustar uma reta a conjuntos de pontos experimentais.
1) O documento apresenta o programa de uma disciplina de cálculo que aborda tópicos como derivadas, máximos e mínimos de funções, integrais indefinidas e definidas.
2) A bibliografia lista 3 livros de cálculo.
3) As avaliações incluem duas provas bimestrais e um exame final, sem uso de calculadora ou formulário.
Este documento descreve como determinar a equação de uma reta a partir de diferentes informações, como dois pontos, um ponto e a inclinação, ou um ponto e o ângulo com o eixo x. Explica que dois pontos determinam uma única reta e como alinhar um ponto genérico para obter a equação. Também mostra como calcular a inclinação e como usar um ponto e a inclinação para encontrar a equação geral e reduzida de uma reta.
Este documento contém a resolução de 7 questões de concursos públicos. As questões envolvem cálculos de probabilidade, geometria plana e raciocínio lógico. As respostas variam entre cálculos algébricos simples, uso de fórmulas geométricas e interpretação de gráficos.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre retas no plano cartesiano, incluindo equações de retas gerais e reduzidas, coeficientes angular e linear, cálculo de áreas de triângulos e distâncias entre pontos. Exemplos resolvidos ilustram como aplicar essas noções para encontrar equações de retas passando por pontos dados e calcular áreas e distâncias.
1) A professora apresenta conceitos geométricos e analíticos relacionados à derivada e seus pontos críticos.
2) São definidos e explicados os Teoremas do Valor Médio, de Rolle e critérios para identificar intervalos de crescimento de funções.
3) Concavidade, pontos de inflexão e seus critérios de identificação com base na segunda derivada são explicados.
O documento descreve o processo de ajuste de uma reta linear aos dados observados usando o método dos mínimos quadrados. Explica que este método encontra os valores do intercepto e inclinação da reta que melhor explicam a relação entre a variável dependente e independente. Fornece um exemplo passo a passo de como ajustar uma reta aos dados sobre a capacidade de inspiração de pacientes pré e pós-operatório.
O documento explica o conceito de progressão geométrica através de uma construção geométrica onde pontos são marcados em segmentos de reta divididos sucessivamente ao meio. A seqüência gerada é 1-2-4-8, caracterizando uma progressão geométrica onde cada termo é o anterior multiplicado por um fator constante. O documento também define progressão geométrica formalmente e apresenta propriedades como o termo geral e a soma dos termos. Por fim, exemplos ilustram o cálculo de termos e soma em diferentes situações.
O documento descreve um planejamento fatorial completo com três fatores (temperatura, catalisador e concentração) e suas respectivas interações para analisar o rendimento de uma reação. Os principais efeitos encontrados foram da temperatura, catalisador e concentração, com interação significativa entre temperatura e concentração.
1) O documento discute regressões múltiplas, incluindo como estimar os parâmetros, testar a significância do modelo com o teste F e avaliar o ajuste do modelo com o R2.
2) É mostrado como incluir uma constante no modelo e como estimar os parâmetros de forma matricial.
3) São explicados o teste F para testar a significância do modelo como um todo e o R2 para medir o quão bem o modelo se ajusta aos dados.
1. O documento descreve estudos realizados com um detector Geiger-Müller para caracterizar sua resposta à radiação. Foram medidas taxas de contagem em função da tensão aplicada e da distância à fonte radioativa.
2. A zona de operação ótima do detector foi determinada entre 550V-950V, onde a taxa de contagens se mantém constante. Medições com diferentes fontes permitiram estimar a eficiência do detector para radiações β e γ.
3. Os resultados sugerem que a taxa de contagem varia inversamente com o quadrado da dist
prof.Calazans(Mat. e suas Tecnologias)-Simulado 04 comentadoProfCalazans
1) O documento descreve uma competição de ciências entre três candidatos em que o vencedor será aquele com a maior média ponderada entre as notas finais de química e física.
2) Um dos candidatos ainda não fez a prova final de química.
3) Para vencer, o candidato que faltou a prova de química precisará tirar no mínimo 18 na prova.
Este documento descreve um modelo de resolução numérica de equações diferenciais parciais parabólicas usando o método Hopscotch com refinamento não-uniforme da malha. O método Hopscotch combina discretizações explícita e implícita para calcular a solução em cada ponto de forma alternada. O domínio é dividido em subdomínios atribuídos a processadores, permitindo refinar seletivamente áreas próximas a descontinuidades para melhorar a precisão.
Analise comparativa de métodos diretos e iterativos para a solução de sistema...Fabricio Magalhães
O documento apresenta uma análise comparativa de métodos diretos e iterativos para resolver sistemas de equações obtidos através do método de elementos finitos em problemas elásticos de engenharia. Descreve estruturas de dados para armazenar a matriz do sistema e resume métodos diretos como Gauss e iterativos como Jacobi, Gauss-Seidel, entre outros. Finalmente, aplica os métodos a problemas elásticos bidimensionais e tridimensionais para comparar seus desempenhos.
Este documento contém 10 provas modelo para a preparação da prova final de matemática do 9o ano. Inclui um formulário, tabela trigonométrica e as 10 provas com questões de escolha múltipla e resolução de problemas sobre vários tópicos matemáticos como geometria, álgebra e probabilidades.
O documento apresenta orientações metodológicas para o desenvolvimento de um capítulo sobre o Binômio de Newton e probabilidade. O capítulo aborda tópicos como números binomiais, a fórmula de Newton, representação do termo geral do binômio e exercícios complementares. As sugestões incluem definir números binomiais, apresentar propriedades e a relação de Stiffel, desenvolver (x + a)n usando a fórmula de Newton e representar o termo geral.
1) O documento descreve um modelo de regressão linear simples, apresentando a equação, o método dos mínimos quadrados ordinários para estimar os parâmetros, e os testes de significância dos parâmetros e da regressão como um todo.
2) É apresentado um exemplo numérico ilustrando os cálculos para estimar a reta de regressão e os testes.
3) A regressão é validada através dos testes F e t, indicando que os parâmetros são estatisticamente significativos.
1) O documento descreve o uso do Método dos Elementos de Contorno com Integração Direta (MECID) para resolver problemas de autovalor em domínios bidimensionais não regulares.
2) Foram testadas várias funções de base radial no MECID anteriormente em domínios regulares, porém agora o objetivo é simular problemas com domínios não regulares para uma melhor avaliação do método.
3) Apenas os resultados de duas funções radiais são apresentados devido ao espaço, comparando com a Solução dos Elementos Finitos.
O documento descreve o processo de ensaio Proctor Normal para determinar a curva de compactação de um solo. O ensaio é realizado variando a umidade do solo e medindo a massa específica aparente seca resultante para cada teor de umidade. A curva de compactação é traçada manualmente a partir dos pontos obtidos. O documento propõe o uso da regressão não linear para ajustar automaticamente a curva a esses pontos, fornecendo resultados mais precisos de forma mais rápida.
Este documento apresenta o método gráfico para resolver problemas de programação linear com duas variáveis de decisão. O método envolve representar graficamente as restrições do problema e traçar retas da função objetivo para encontrar o ponto ótimo na região factível. Exemplos ilustram como aplicar os oito passos do método, incluindo formulação do problema, traçar retas, delimitar região factível e resolver sistema de equações para achar a solução.
Este documento é um teste de matemática do 11o ano com questões de escolha múltipla e resposta aberta sobre ângulos, trigonometria, estatística e interpretação de gráficos. O teste tem duas partes e é constituído por questões sobre determinação de valores trigonométricos, cálculo de comprimentos e distâncias usando figuras, análise de dispersão de dados e elaboração de tabelas de frequências.
Este documento apresenta uma prova-modelo de exame de Matemática A do 12o ano. Inclui dois cadernos com itens de escolha múltipla e resposta aberta sobre vários tópicos de Matemática, como probabilidades, trigonometria, limites e derivadas. Fornece também um formulário com fórmulas úteis para a resolução dos problemas.
1) 30% é o único valor apresentado que pode ser a probabilidade exata de o jovem escolhido ser espanhol.
2) A probabilidade de os dois jovens escolhidos terem a mesma nacionalidade é 1/3.
3) O maior valor que a pode tomar é 30.
O documento discute métodos de Monte Carlo e suas implementações em C, incluindo limitações como erro estatístico. É apresentado um exemplo de estimar área aleatoriamente e implementação de cadeias de Markov para modelar mudança social.
Este documento apresenta seis testes de matemática do 10o ano de escolaridade. Cada teste cobre diferentes temas como lógica bivalente, teoria de conjuntos, álgebra, geometria analítica e funções reais. Fornece os índices de conteúdos abordados em cada teste e as cotações associadas a cada questão.
Este documento descreve a modelagem e simulação de um controlador centrífugo utilizado para controlar a velocidade de máquinas a vapor no século 18. O documento inclui: 1) a dedução das equações diferenciais que modelam o controlador; 2) a linearização do modelo; 3) simulações do modelo real e linearizado; e 4) a simulação do controlador em um sistema de realimentação para controlar a velocidade de um motor CC.
1º teste conjunto - 11º Ano Matemática A (2014-2015)Mat Mática
Este documento apresenta um teste de avaliação de matemática para o 11o ano, dividido em dois grupos. O Grupo I contém 5 questões de escolha múltipla sobre equações trigonométricas e geometria plana. O Grupo II apresenta 7 questões mais abertas sobre os mesmos tópicos, requerendo raciocínio e cálculos. O teste visa avaliar conceitos fundamentais de trigonometria e geometria.
AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL INDÚSTRIA E TRANSFORMAÇÃO DIGITAL ...Consultoria Acadêmica
“O processo de inovação envolve a geração de ideias para desenvolver projetos que podem ser testados e implementados na empresa, nesse sentido, uma empresa pode escolher entre inovação aberta ou inovação fechada” (Carvalho, 2024, p.17).
CARVALHO, Maria Fernanda Francelin. Estudo contemporâneo e transversal: indústria e transformação digital. Florianópolis, SC: Arqué, 2024.
Com base no exposto e nos conteúdos estudados na disciplina, analise as afirmativas a seguir:
I - A inovação aberta envolve a colaboração com outras empresas ou parceiros externos para impulsionar ainovação.
II – A inovação aberta é o modelo tradicional, em que a empresa conduz todo o processo internamente,desde pesquisa e desenvolvimento até a comercialização do produto.
III – A inovação fechada é realizada inteiramente com recursos internos da empresa, garantindo o sigilo dasinformações e conhecimento exclusivo para uso interno.
IV – O processo que envolve a colaboração com profissionais de outras empresas, reunindo diversasperspectivas e conhecimentos, trata-se de inovação fechada.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I e II, apenas.
I e III, apenas.
I, III e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
Entre em contato conosco
54 99956-3050
Se você possui smartphone há mais de 10 anos, talvez não tenha percebido que, no início da onda da
instalação de aplicativos para celulares, quando era instalado um novo aplicativo, ele não perguntava se
podia ter acesso às suas fotos, e-mails, lista de contatos, localização, informações de outros aplicativos
instalados, etc. Isso não significa que agora todos pedem autorização de tudo, mas percebe-se que os
próprios sistemas operacionais (atualmente conhecidos como Android da Google ou IOS da Apple) têm
aumentado a camada de segurança quando algum aplicativo tenta acessar os seus dados, abrindo uma
janela e solicitando sua autorização.
CASTRO, Sílvio. Tecnologia. Formação Sociocultural e Ética II. Unicesumar: Maringá, 2024.
Considerando o exposto, analise as asserções a seguir e assinale a que descreve corretamente.
ALTERNATIVAS
I, apenas.
I e III, apenas.
II e IV, apenas.
II, III e IV, apenas.
I, II, III e IV.
Entre em contato conosco
54 99956-3050
AE03 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL ENGENHARIA DA SUSTENTABILIDADE UNIC...Consultoria Acadêmica
Os termos "sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" só ganharam repercussão mundial com a realização da Conferência das Nações Unidas sobre o Meio Ambiente e o Desenvolvimento (CNUMAD), conhecida como Rio 92. O encontro reuniu 179 representantes de países e estabeleceu de vez a pauta ambiental no cenário mundial. Outra mudança de paradigma foi a responsabilidade que os países desenvolvidos têm para um planeta mais sustentável, como planos de redução da emissão de poluentes e investimento de recursos para que os países pobres degradem menos. Atualmente, os termos
"sustentabilidade" e "desenvolvimento sustentável" fazem parte da agenda e do compromisso de todos os países e organizações que pensam no futuro e estão preocupados com a preservação da vida dos seres vivos.
Elaborado pelo professor, 2023.
Diante do contexto apresentado, assinale a alternativa correta sobre a definição de desenvolvimento sustentável:
ALTERNATIVAS
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento que não esgota os recursos para o futuro.
Desenvolvimento sustantável é o desenvolvimento que supre as necessidades momentâneas das pessoas.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento incapaz de garantir o atendimento das necessidades da geração futura.
Desenvolvimento sustentável é um modelo de desenvolvimento econômico, social e político que esteja contraposto ao meio ambiente.
Desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento capaz de suprir as necessidades da geração anterior, comprometendo a capacidade de atender às necessidades das futuras gerações.
Entre em contato conosco
54 99956-3050
Proteco Q60A
Placa de controlo Proteco Q60A para motor de Braços / Batente
A Proteco Q60A é uma avançada placa de controlo projetada para portões com 1 ou 2 folhas de batente. Com uma programação intuitiva via display, esta central oferece uma gama abrangente de funcionalidades para garantir o desempenho ideal do seu portão.
Compatível com vários motores
1. Andando na Superfície de
resposta
Profa Daniele Toniolo Dias F. Rosa
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/danieletdias
danieletdias@utfpr.edu.br
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica - PPGEM
2. Sumário
• Metodologia de superfície de resposta
• (a) Modelagem inicial
• (b) Como determinar o caminho de máxima inclinação
• (c) Localização do ponto ótimo
• A importância do planejamento inicial
• Um experimento com três fatores e duas respostas
• Planejamentos compostos centrais
3. Metodologia de superfícies de
resposta
• A metodologia de superfícies de resposta (ou RSM, de
Response Surface Methodology) é uma técnica de otimização
baseada em planejamentos fatoriais que foi introduzida por
G. E.P. Box nos anos cinquenta.
• A RSM tem duas etapas distintas – modelagem e
deslocamento-, que são repetidas tantas vezes quantas forem
necessárias, com o objetivo de atingir uma região ótima da
superfície investigada.
• A modelagem normalmente é feita ajustando-se modelos
simples (lineares ou quadráticos) a respostas obtidas com
planejamentos fatoriais ou com planejamentos fatoriais
ampliados.
4. • O deslocamento se dá sempre ao longo do caminho de
máxima inclinação de um determinado modelo, que é a
trajetória na qual a resposta varia de forma mais
pronunciada.
• Exemplo numérico:
• Supondo que um pesquisador esteja avaliando o efeito de
dois fatores, concentração de um reagente e velocidade de
agitação, no rendimento de uma reação.
• Ele já sabe que o processo vem funcionando há algum tempo
com os valores desses fatores fixados em 50% e 100 rpm, e
que os rendimentos médios são obtidos em torno de 68%.
• Agora ele gostaria de saber se não seria possível melhorar o
rendimento, escolhendo outros níveis para os fatores.
5. (a) Modelagem inicial
• O 1º passo, para atacar o problema, é investigar a superfície
de resposta em torno das condições habituais de
funcionamento do processo, usando um:
• Planejamento fatorial de dois níveis com ponto central.
Com três níveis
podemos
verificar se há
ou não falta de
ajuste para um
modelo linear.
6. • A Tabela 6.1 mostra a matriz de planejamento e os
rendimentos observados experimentalmente em cada
combinação de níveis.
• Ao todo foram realizados 7 ensaios com 3 repetições no
ponto central.
7. • Começaremos nossa análise admitindo que a superfície de
resposta na região investigada é uma função linear dos
fatores.
• Portanto a resposta pode ser estimada pela equação:
em que b0, b1 e b2 são os estimadores dos parâmetros do
modelo e x1 e x2 representam os fatores codificados.
• É visto no Exercício 5.4, que os valores de b0, b1 e b2 podem
ser obtidos pelo método dos mínimos quadrados.
• Neste caso a matriz X será dada por
,ˆ 22110 xbxbby (6.1)
.
001
001
001
111
111
111
111
X
A 1ª coluna corresponde ao termo
b0, e as outras duas contêm os
valores codificados dos fatores.
9. • Dos três ensaios repetidos no ponto central, calculamos
s2=2,33 como uma estimativa da variância das observações.
• Substituindo este valor na Eq. (5.30), obtemos uma estimativa
da variância dos elementos do vetor b:
• Fazendo as raízes quadradas chegaremos aos erros padrão de
b0, b1 e b2. Com eles e com as estimativas obtidas na Eq. (6.2)
podemos finalmente escrever a equação do modelo ajustado:
• O tamanho relativamente pequeno dos erros indica que este
modelo é significativo (para um tratamento quantitativo, veja
os Exercícios 6.2 e 6.4).
• A análise da variância encontra-se na Tabela 6.2.
.
58,000
058,00
0033,0
33,2
4/100
04/10
007/1
ˆ 21
st
XXbV
.25,425,500,68ˆ
76,0
2
76,0
1
58,0
xxy (6.3)
10. • Como o valor de MQfaj/MQep não é estatisticamente
significativo (0,42/2,34=0,18), não há evidência de falta de
ajuste.
• Tabela 6.2 ANOVA para o ajuste do modelo
aos dados da Tabela 6.1. (n=7, p=3 e m=5)
Fonte de
variação
Soma
Quadrática
No de g. l. Média Quadrática
Regressão 182,50 p-1= 2 91,25
Resíduos 5,50 n-p= 4 1,38
F. Ajuste 0,83 m-p= 2 0,42
Erro puro 4,67 n-m= 2 2,34
Total 188,00 n-1= 6
% de variação explicada: 97,07%
% máxima de variação explicável:97,52
22110ˆ xbxbby
R2=SQR/SQT coef. de determinação
(SQT – SQep)/SQT
11. • Na região investigada, a superfície de resposta é descrita
satisfatoriamente pela Eq. (6.3), que define o plano
representado em perspectiva na figura abaixo.
• Plano descrito pela Eq. (6.3), .25,425,500,68ˆ 21 xxy
Sentido ascendente
C
v
13. • Podemos obter uma representação bidimensional da
superfície modelada desenhando suas curvas de nível, que
são linhas em que a resposta é constante.
• As curvas de nível de um plano são segmentos de retas.
• Por ex, se fizermos na Eq. (6.3) chegaremos à expressão:
que descreve uma reta sobre a qual o valor de deve ser
igual a 70, de acordo com o modelo ajustado.
• Fazendo o mesmo para outros valores de obteremos outras
curvas de nível, que em conjunto darão uma imagem da
superfície de resposta na região investigada (ver próxima Fig).
• Podemos ver claramente, tanto numa figura quanto na outra,
que se trata de um plano inclinado obliquamente em relação
aos eixos, e com sentido ascendente indo da direita para a
esquerda.
,47,024,1 12 xx
70ˆ y
yˆ
yˆ
14. • Assim se desejarmos obter maiores rendimentos, devemos
deslocar a região experimental para menores valores de x1 e
maiores valores de x2.
• Curvas de nível do plano descrito pela Eq. 6.3. Os valores
entre parênteses são as respostas determinadas
experimentalmente.
O progresso será
mais rápido se o
deslocamento for
realizado ao longo
da uma trajetória
perpendicular às
curvas de nível, isto
é, se seguirmos um
caminho de máxima
inclinação da
superfície ajustada.
15. (b) Como determinar o caminho de
máxima inclinação
• O caminho de máxima inclinação saindo do ponto central do
planejamento está indicado pela linha tracejada na figura
anterior.
• Ele pode ser determinado algebricamente a partir dos
coeficientes do modelo.
• Para termos a máxima inclinação, devemos fazer
deslocamentos ao longo dos eixos x2 e x1 na proporção b2/b1.
• Da Eq. 6.3 temos b2/b1=4,25/(-5,25)=-0,81, o que significa que
para cada unidade recuada no eixo x1 devemos avançar 0,81
unidades ao longo do eixo x2.
16. • As coordenadas de vários pontos ao longo dessa trajetória
estão na Tabela 6.3, tanto nas variáveis codificadas quanto
nas unidades reais de concentração e velocidade de agitação.
• Tabela 6.3 Caminho de máxima inclinação para o modelo das
figuras anteriores.
Etapa x1 x2 C(%) v(rpm) y(%)
Centro 0 0,00 50 100,0 68, 66, 69
Centro+ -1 0,81 45 108,1 77
Centro+2 -2 1,62 40 116,2 86
Centro+3 -3 2,43 35 124,3 88
Centro+4 -4 3,24 30 132,4 80
Centro+5 -5 4,05 25 140,5 70
Obtida pela Eq (6.3) usando as
codificações de máxima
inclinação
17. • Podemos traçá-lo usando o seguinte procedimento:
1. Escolhemos um dos fatores, digamos i, como base e
mudamos seu nível numa certa extensão, para mais ou para
menos, dependendo do sinal de seu coeficiente e do objetivo
do experimento – maximização ou minimização da resposta.
Recomenda-se escolher o fator de maior coeficiente, em
módulo, no modelo ajustado. Tipicamente, o seu
deslocamento inicial é de uma unidade (na escala codificada).
2. Determinamos os deslocamentos dos outros fatores ji,
em unidades codificadas, através de
3. Convertemos os deslocamentos codificados de volta às
unidades originais, e determinamos os novos níveis dos
fatores.
i
i
j
j x
b
b
x (6.4)
18. • Vejamos um exemplo com 3 fatores: Num estudo para avaliar
a influência de alguns nutrientes na produção de quitina pelo
fungo Cunninghamella elegans (Andrade et al., 2000) utilizou-
se um planejamento fatorial 23 com os níveis da Tabela 6.4,
cujos resultados se ajustaram ao modelo
em que a resposta y é o teor de quitina produzido.
• Tabela 6.4 Níveis de um planejamento 23 com ponto central,
para estudar como o teor de quitina produzido pelo fungo
varia com as concentrações de glicose, asparagina e tiamina
no meio de cultura.
Fator Nível
-1 0 +1
G(x1) D-glicose (g L-1) 20 40 60
A(x2) L-asparagina (g L-1) 1 2 3
T(x3) Tiamina (mg L-1) 0,02 0,05 0,08
,5,20,50,28,19ˆ 321 xxxy (6.5)
19. • Como os coeficientes do modelo são todos positivos e o
objetivo do estudo era maximizar a produção de quitina,
devemos aumentar os níveis de todos os fatores.
• Partindo do fator x2 (o de maior coeficiente) teríamos, como
deslocamentos para localizar o 1º ponto ao longo do caminho
de máxima inclinação,
• Nas unidades verdadeiras, onde o ponto central é dado por
(G, A, T)=(40, 2, 0,05), isto corresponde às seguintes
condições experimentais:
4,01
5
2
1 x 1)1(
5
5
2 x 5,01
5
5,2
3 x
1
1 48204,04040G
gLGx
1
2 31122A
gLAx
1
3 065,003,05,005,005,0T
mgLTx
,i
i
j
j x
b
b
x 321 5,20,50,28,19ˆ xxxy Lembrando que:
20. Exercício 6.5
• Imagine que, no exemplo da C. elegans, os
pesquisadores tenham preferido tomar a
concentração de glicose como fator de partida para
determinar o caminho de máxima inclinação, com
um deslocamento inicial de +25 gL-1 (note que estas
são as unidades reais). Calcule as coordenadas do
3º ponto ao longo do novo caminho, e use a Eq. 6.5
para fazer uma estimativa do rendimento de quitina
nessas condições.
21. • Voltamos agora ao 1º exemplo.
• Tendo realizado a modelagem inicial e determinado o
caminho de máxima inclinação, passamos à etapa de
deslocamento ao longo desse caminho.
• E vamos realizando experimentos nas condições especificadas
na Tabela 6.3.
• Com isso obtemos os resultados da última coluna da tabela,
que também estão indicados na próxima figura.
22. • Resultados dos ensaios realizados na trajetória de máxima
inclinação da figura anterior.
• Inicialmente os rendimentos aumentam, mas depois do 3º
ensaio começam a diminuir.
“morro”
23. • Podemos interpretar esses resultados imaginando que a
superfície de resposta é como um morro.
• Pelos valores iniciais, começamos a nos deslocar ladeira
acima, mas depois do 3º ensaio já estamos começando a
descer o morro pelo lado oposto.
• É hora, portanto, de parar com os deslocamentos e examinar
a região que apresentou melhores rendimentos.
• Para isso fazemos um novo planejamento, idêntico ao
primeiro, porém centrado em torno do melhor ensaio, que é
o terceiro (35 % e cerca de 125 rpm).
• A nova matriz de planejamento é apresentada na Tabela 6.5,
juntamente com as novas respostas observadas.
24. • Resultados de um novo planejamento 22 com ponto central.
x1 e x2 agora representam os valores das variáveis codificadas
pelas equações x1 = (C-35)/5 e x2 =(v-125)/10.
• O ajuste de um modelo linear aos dados da Tabela 6.5 resulta
na equação
onde os erros padrão foram calculados a partir de uma
estimativa conjunta da variância, combinando os ensaios
repetidos dos dois planejamentos.
Ensaio C(%) v(rpm) x1 x2 Y(%)
1 30 115 -1 -1 86
2 40 115 1 -1 85
3 30 135 -1 1 78
4 40 135 1 1 84
5 35 125 0 0 90
6 35 125 0 0 88
7 35 125 0 0 89
,25,225,171,85ˆ
65,0
2
65,0
1
49,0
xxy (6.6)
25. Exercício 6.6
• Use os erros dos coeficientes na Eq. 6.6 para
calcular intervalos de 95% de confiança para
0, 1 e 2. Esses parâmetros são
estatisticamente significativos?
• Em comparação com os valores dos coeficientes, os erros são
bem mais importantes do que no caso da Eq. (6.3), e a
dependência linear da resposta em relação a x1 e x2 já não
parece segura.
26. • A Tabela 6.6, mostra que a situação agora é bem diferente.
• E o valor de MQfaj/MQep subiu para 34,46 que é maior que F2,2
(19,0 no nível de 95 % de confiança). Portanto,
• na região onde o caminho de máxima inclinação indicou, o
modelo linear não descreve a superfície de resposta.
• Tabela 6.6 ANOVA para o ajuste do modelo
aos dados da Tabela 6.5.
Fonte de variação Soma Quadrática No de g. l. Média Quadrática
Regressão 26,50 2 13,25
Resíduos 70,93 4 17,73
F. Ajuste 68,93 2 34,46
Erro puro 2,00 2 1,00
Total 97,42 6
% de variação explicada: 27,20%
% máxima de variação explicável:97,95
22110ˆ xbxbby
27. (c) Localização do ponto ótimo
• Como o modelo linear não serve mais, devemos partir para
um modelo quadrático, cuja expressão geral para duas
variáveis é:
• Este modelo tem seis parâmetros, e o nosso planejamento
tem apenas 5 “níveis” (5 diferentes combinações de valores
da concentração e da velocidade de agitação).
• Como não é possível determinar as estimativas quando há
mais parâmetros do que níveis, precisamos ampliar o
planejamento.
• A ampliação pode ser feita de várias maneiras, sendo a mais
comum a construção do chamado planejamento em estrela.
.ˆ 2112
2
222
2
11122110 xxbxbxbxbxbby (6.7)
28. • Para fazer um planejamento em estrela, acrescentamos ao
planejamento inicial um planejamento idêntico, porém girado
de 45 graus em relação à orientação de partida.
• O resultado é uma distribuição octogonal (ver figura abaixo).
• Planejamento em estrela para duas variáveis codificadas,
correspondente à tabela 6.7.
Os novos pontos,
assim como os
primeiros, estão a
uma distância de
unidades codificadas
do ponto central.
Todos eles estão
sobre uma
circunferência de
raio
2
.2
30. • O vetor y agora terá onze valores, e a matriz X terá dimensões
11 X 6, com suas seis colunas correspondendo aos seis termos
do modelo quadrático.
• Para obter as colunas referentes a x1
2, x2
2 e x1x2, elevamos ao
quadrado ou multiplicamos as colunas apropriadas na matriz
de planejamento da Tabela 6.7. Assim podemos escrever
020201
002021
020201
002021
000001
000001
000001
111111
111111
111111
111111
X
87
86
80
81
89
88
90
84
78
85
86
ye
31. • Resolvendo as Eqs. (5.12) (algoritmo para os coeficientes) e
(5.30) (algoritmo para a variância dos coeficientes), obtemos:
• Os erros padrão foram novamente calculados a partir de uma
estimativa conjunta da variância, obtida de todos os ensaios
repetidos, inclusive os da Tabela 6.1.
• A nova análise da variância está na Tabela 6.8.
.75,181,281,236,225,100,89ˆ
65,0
21
54,0
2
2
54,0
2
1
46,0
2
46,0
1
75,0
xxxxxxy (6.8)
32. • O valor de MQfaj/MQep agora é apenas 0,25, não havendo
evidência de falta de ajuste do modelo quadrático.
• Isto quer dizer que o valor de 0,55 para a média quadrática
residual total, MQr, também poderia ser usado como uma
estimativa da variância, com cinco graus de liberdade.
• Tabela 6.8 ANOVA para o ajuste do modelo
aos dados da Tabela 6.7.
Fonte de variação Soma Quadrática No de g. l. Média Quadrática
Regressão 144,15 5 28,83
Resíduos 2,76 5 0,55 =s2
F. Ajuste 0,76 3 0,25
Erro puro 2,00 2 1,00
Total 146,91 10
% de variação explicada: 98,12%
% máxima de variação explicável:98,64
22110ˆ xbxbby
2112
2
222
2
111 xxbxbxb
33. • (a) Superfície quadrática descrita pela Eq.(6.7). (b) Suas
curvas de nível. O rendimento máximo (89,6%) ocorre em
x1=0,15 e x2=-0,37 (C=3 6% e v=121 rpm).
Valor de acordo com a Eq. (6.8). E
representa uma melhora de 32 %
em relação ao valor de partida, que
era 68 %.
34. • Como localizamos a região do máximo, a investigação termina
por aqui.
• Poderia ter acontecido, no entanto, que a superfície de
resposta ajustada aos dados segundo planejamento fosse
uma nova ladeira, em vez de pico.
• Nesse caso, deveríamos nos deslocar novamente, seguindo o
novo caminho de máxima inclinação, e repetir todo o
processo de modelagem deslocamento modelagem...
Até atingir a região procurada.
• Na prática não deve haver muitas dessas etapas, porque o
modelo linear se torna menos eficaz à medida que nos
aproximamos de um ponto extremo, onde a curvatura da
superfície evidentemente passará a ter importância.
35. Exercícios 6.7 e 6.8
• Use os dados da Tabela 6.8 para calcular um valor
que mostre que a Eq. 6.8 é estatisticamente
significativa.
• Uma representação gráfica, embora seja sempre
conveniente, não é necessária para localizarmos o
ponto máximo de uma superfície de resposta. Isso
pode ser feito derivando-se a equação do modelo
em relação a todas as variáveis e igualando-se as
derivadas a zero. (a) Use esse procedimento para a
Eq. 6.8, para confirmar os valores citados no texto.
(b) O que aconteceria se você tentasse fazer o
mesmo com a Eq. 6.6? Por quê?
36. A importância do planejamento inicial
• Uma questão muito importante na RSM é a escolha da faixa
inicial de variação dos fatores, que determinará o tamanho do
primeiro planejamento e consequentemente a escala de
codificação e a velocidade relativa com que os experimentos
seguintes se deslocarão ao longo da superfície de resposta.
• Suponhamos, por ex., que na Tabela 6.1 tivéssemos escolhido
para o segundo fator – a velocidade de agitação - os limites
de 95 e 105 rpm (ao invés de 90 e 110). Essa decisão teria as
seguintes consequências:
37. 1. O coeficiente de x2 na Eq. 6.3 se reduziria de 4,25 para 2,125,
porque a variação unitária em x2 agora corresponderia, em
unidades reais, a 5 rpm, e não mais a 10 rpm.
2. Com este novo coeficiente teríamos, na Eq. (6.4),
3. Consequentemente, o deslocamento x2 correspondente a
x1 =-1 seria +0,405, que equivaleria agora a v=+0,4055=
0,203 rpm. Ou seja: em termos da velocidade de agitação,
cada deslocamento seria apenas um quarto do deslocamento
do planejamento original. Quando chegássemos à etapa
Centro+5, ainda estaríamos com uma velocidade de 110,1
rpm.
.405,0
25,5
125,2
112 xxx
38. • Se, ao contrário, tivéssemos preferido uma escala mais
ampliada, evidentemente o deslocamento passaria a ser
mais rápido. No entanto, também estaríamos correndo
riscos.
• Dependendo da ampliação, poderíamos sair da região linear
da superfície, ou mesmo encontrar “o outro lado do morro”
já no 1º deslocamento, e assim perder a oportunidade de
descobrir a direção do ponto ótimo.
• Como fazer, então para determinar a melhor escala?
39. • Infelizmente a resposta não está em nenhum livro de
estatística, porque depende de cada problema, e muitas vezes
não pode ser conhecida a priori.
• Os pesquisadores devem apoiar-se em todo o conhecimento
disponível sobre o sistema em estudo e procurar escolher
deslocamentos nem tão pequenos que não produzam efeitos
significativos na resposta, nem tão grandes que varram faixas
exageradas dos fatores.
• Deve-se fazer os experimentos de forma sequencial e
iterativa.
• Caso a análise dos primeiros resultados nos leve a fazer
modificações nos planejamentos originais, o prejuízo será
menor se não nos apressarmos em fazer muitos
experimentos logo de saída.
40. Um experimento com três fatores e
duas respostas
• Na metodologia de superfícies de resposta o número de
fatores não é uma restrição, nem o número de respostas.
• A RSM pode ser aplicada a qualquer número de fatores,
assim como pode modelar várias respostas ao mesmo
tempo.
• Esta é uma característica importante, porque muitas vezes
um produto ou processo tem de satisfazer mais de um
critério, como digamos, apresentar o máximo de rendimento
com o mínimo de impurezas, ou ter custo mínimo porém
mantendo os parâmetros de qualidade dentro das
especificações.
41. • Para ilustrar essa flexibilidade da RSM, será apresentada uma
aplicação real, cujo objetivo era a maximização simultânea de
duas respostas distintas.
• R. A. Zoppi (Unicamp), realizou uma série de experimentos de
síntese de polipirrol numa matriz de borracha de EPDM.
• O polipirrol é um polímero condutor mas é muito quebradiço,
o que prejudica o seu uso em aplicações de interesse prático.
• O objetivo era conseguir um produto que tivesse ao mesmo
tempo propriedades elétricas semelhantes às do polipirrol e
propriedades mecânicas parecidas com as da borracha EPDM.
EPDM – Etileno Propileno Dieno
42. • Os fatores escolhidos para o estudo foram o tempo de reação
(t), a concentração do agente oxidante (C) e a granulometria
das partículas do oxidante (P).
• O pesquisador (que não tinha instrução formal em técnicas de
planejamento de experimentos) decidiu realizar 27 ensaios
em quadruplicata, seguindo o planejamento fatorial 33 da
Tabela 6.9.
• Para cada ensaio foram registrados o rendimento da reação e
os valores de várias propriedades mecânicas do produto final,
entre as quais o Módulo de Young.
43. A respostas são as médias e os
desvios padrão dos quatro
ensaios (em alguns casos três)
realizados para cada
combinação de níveis dos
fatores, num total de 106
ensaios.
Observe que o tamanho das
partículas não é definido de
forma precisa. Os 3 níveis
representam intervalos
granulométricos, e não
tamanhos específicos.
44. • Após a análise da Tabela 6.9 o pesquisador percebeu que,
com 27 ensaios diferentes, pode-se ajustar uma função com
até 27 parâmetros.
• As funções lineares e quadráticas de 3 variáveis são definidas
por apenas quatro e dez parâmetros, respectivamente.
• Se as usarmos para modelar os dados da tabela, ainda
teremos muitos graus de liberdade sobrando para estimar a
falta de ajuste.
45. • Os coeficientes do modelo e seu erros padrão foram
calculados como de costume, por meio das equações 5.12 e
5.30.
• Para o Módulo de Young, o emprego do modelo linear
resultou na equação
enquanto o modelo quadrático produziu a Eq. 6.10:
,15,074,001,013,1ˆ
04,004,004,003,0
PCtM
.18,001,007,005,044,002,016,074,001,086,0ˆ
05,005,007,007,0
2
07,0
2
07,0
2
04,004,004,009,0
CPtPtCPCtPCtM
(6.9)
(6.10)
46. • A análise da variância para os dois ajustes está na Tabela 6.10.
• Os valores de MQR/MQr são 141,5 (linear) e 171,4
(quadrático).
• Comparando com F3,102=2,71 e F9,96=2,00 , no nível de 95% de
confiança, vemos que os dois modelos são altamente
significativo.
• Tabela 6.10 ANOVA- ajuste de modelos linear e quadráticos
(em parênteses) aos valores de M dados na Tabela 6.9.
Fonte de variação Soma Quadrática No de g. l. Média Quadrática
Regressão 37,34 (43,23) 3 (9) 12,45 (4,80)
Resíduos 8,44 (2,55) 102 (96) 0,088 (0,028)
F. Ajuste 6,76 (0,87) 23 (17) 0,29 (0,051)
Erro puro 1,68 79 0,023
Total 45,78 105
% de variação explicada: 81,56% (94,43)
% máxima de variação explicável:96,33
47. • Embora não pareça haver muita diferença entre os dois
modelos, um exame mais detalhado da Tabela 6.10 mostra
que devemos preferir o modelo quadrático.
• Enquanto para o modelo linear a razão MQfaj/Mqep é igual a
12,61, valor bem superior a F23,79=1,67, o modelo quadrático
tem MQfaj/Mqep =2,22, que está apenas um pouco acima de
F17,79=1,75.
• A diferença entre os modelos fica ainda mais evidente nos
gráficos dos resíduos (próxima figura).
48. • (a) Resíduos deixados pelo ajuste de um modelo linear aos
valores do M dados na Tabela 6.9. (b) Resíduos deixados pelo
ajuste de um modelo quadrático aos mesmos dados.
• (a) apresenta uma curvatura. Os valores passam de positivos
para negativos e depois se tornam positivos novamente.
• (b) os resíduos parecem flutuar aleatoriamente em torno de 0
• (a) e (b) a variância residual aumenta com o valor da resposta.
49. • A preferência pelo modelo quadrático é confirmada pelos
valores dos coeficientes de C2 e CP na Eq. (6.10), 0,44 e -0,18.
• Eles são significativamente superiores aos seu erros padrão e
os dois termos devem ser incluídos no modelo.
• Como eles estão ausentes no modelo linear, o gráfico dos
resíduos apresenta um comportamento sistemático.
• Após a validação estatística do modelo, podemos tentar
interpretar a Eq. 6.10, para entender melhor o
comportamento do Módulo de Young (propriedades
mecânicas) das amostras em questão.
05,005,007,007,0
2
07,0
2
07,0
2
04,004,004,009,0
18,001,007,005,044,002,016,074,001,086,0ˆ CPtPtCPCtPCtM
50. • Os resultados mostram que o Módulo de Young só depende
da concentração do oxidante e do tamanho de suas partículas
(Exercício 6.10).
• Nenhum dos termos envolvendo o tempo de reação é
estatisticamente significativo.
• Numa primeira aproximação, portanto, podemos eliminar os
termos em t, reduzindo o modelo a
• A forma da superfície de resposta gerada por esta expressão é
revelada pela próxima figura.
• Trata-se de uma espécie de vale, situado quase perpendicular
ao eixo das concentrações.
.18,044,016,074,086,0ˆ
05,007,0
2
04,004,009,0
CPCPCM (6.11)
51. • (a) Superfície de resposta descrita pela Eq. 6.11, que relaciona
o Módulo de Young com a concentração e a granulometria do
oxidante. (b) Curvas de nível para a superfície do item (a). Os
valores entre parênteses são as respostas médias observadas.
52. Exercícios 6.9 e 6.10
• Use os dados da Tabela 6.10 para calcular uma
estimativa do erro experimental com mais de
79 graus de liberdade.
• Sabendo que a estimativa do erro padrão foi
obtida a partir do valor de MQep na Tabela
6.10, determine, no nível de 95% de
confiança, quais são os coeficientes
estatisticamente significativos na Eq. (6.10).
53. • A utilidade da Eq. (6.11) e da superfície é nos ajudar a prever
que condições experimentais resultarão num valor de
interesse para o Módulo de Young.
• A Tabela 6.11 mostra uma comparação dos valores médios
observados com os valores previstos pela Eq. (6.11).
• A concordância é muito boa.
Erro médio
absoluto
não chega
a 4 % da
faixa de
variação
da Tabela
6.9.
54. • Isto comprova que quase toda a variação observada nos
valores do Módulo de Young pode ser explicada pelas
mudanças feitas na concentração e na granulometria.
• Se o objetivo é obter um produto com um alto valor de M, a
figuras anteriores indicam que devemos usar um nível de
concentração de cinquenta partes por cem e partículas com
granulometria mais fina >150 mesh (partículas menores).
• Caso o modelo possa ser extrapolado, podemos obter valores
ainda maiores continuando a aumentar a concentração e a
diminuir a granulometria das partículas.
55. • Para obter pequenos valores de M devemos usar uma baixa
concentração de oxidante, cerca de 10 ppc.
• Nesse caso, o tamanho da partícula não tem importância.
• Todos os resultados experimentais obtidos com 10 ppc estão
no fundo do vale (granulometria varia sem afetar a resposta).
• Como o tempo de reação não alterou M, podemos usar
qualquer valor entre 8 e 24 h.
• Se só estivermos interessados nesta resposta, não precisamos
nos importar com o tempo.
56. • Porém, os pesquisadores também queriam aumentar o
rendimento da reação, e fizeram para ele um ajuste
semelhante ao M. Daí resultou a equação:
onde somente aparecem os termos estatisticamente
significativos. Nessa expressão o tempo é um fator
importante.
• Todos os termos em t têm coeficientes positivos, o que
significa que tempos mais longos produzirão maiores
rendimentos. Colocando o tempo no seu valor máximo:
• A superfície de resposta descrita por esta expressão está
representada na próxima figura.
,26,128,147,181,693,124,9ˆ 2
tCCPCtR
.28,147,107,817,11ˆ 2
CPCR (6.12)
57. • Superfície de resposta e curvas de nível para a Eq. 6.12,
mostrando o rendimento após 24 h de reação, em função da
concentração (C) e da granulometria do oxidante (P).
• Comparando com as anteriores podemos constatar que a
região que produz altos M (canto inferior direito do gráfico de
curvas de nível) também produz altos rendimento.
• E no fundo do vale: valores de M da ordem de 0,50 MPa
correspondem a rendimentos baixos, de cerca de 5 %.
58. • O planejamento descreveu adequadamente as superfícies de
resposta na região estudada, mas poderíamos chegar às
mesmas conclusões com um planejamento mais econômico.
• Inicialmente, poderíamos fazer um planejamento fatorial com
apenas dois níveis e tentar demarcar uma região de fatores
para um estudo mais detalhado.
• Dependendo dos resultados poderíamos:
(a) ampliar o planejamento inicial com mais ensaios para
transformá-lo num planejamento em estrela, ou
(b) deslocar os experimentos para uma região mais
promissora, a ser investigada com um novo fatorial.
• Entretanto os experimentos apresentados foram feitos de
acordo com um planejamento sistemático, que permitiu
caracterizar a influência dos fatores investigados.
• Esse modo de proceder é superior à maneira intuitiva que
ainda prevalece em muitos laboratórios de pesquisa.
60. Planejamentos compostos centrais
• Em geral, um planejamento composto central para k fatores,
devidamente codificados como (x1,..., xk), é formado de três
partes:
1. Uma parte chamada de fatorial (ou cúbica), contendo um
total de nfat pontos de coordenadas xi=-1 ou xi=+1, para todos
os i=1,...,k;
2. Uma parte axial (ou em estrela), formada por nax=2k
pontos com todas as coordenadas nulas exceto uma, que é
igual a um certo valor (ou -);
3. Um total de ncentr ensaios realizados no ponto central,
onde, é claro, x1=...xk=0.
61.
62. • Para realizar um planejamento composto central, precisamos
definir como será cada uma dessas três partes.
• Precisamos decidir quantos e quais serão os pontos cúbicos,
qual o valor de , e quantas repetições faremos no ponto
central.
• No planejamento da Tabela 6.7, por exemplo, temos k=2.
• A parte cúbica é formada pelos quatro primeiros ensaios, a
parte em estrela pelos quatro últimos (com ), e
existem três ensaios repetidos no ponto central.
• O caso de três fatores é mostrado na próxima figura, onde
podemos perceber a origem da terminologia empregada para
as três partes do planejamento.
2
63. • Planejamento composto central para três fatores. As bolas
cinzas são a parte cúbica – os ensaios de um fatorial 23. As
bolas pretas representam a parte em estrela.
• Os pontos cúbicos são idênticos ao de um planejamento
fatorial de dois níveis.
Parte axial, nax=2k=6
64. • Na Tabela 6.7 usamos um planejamento fatorial completo,
mas isso não seria estritamente necessário.
• Dependendo do número de fatores, poderia nem ser
aconselhável, porque produziria um número de ensaios
inconvenientemente grande.
• O total de níveis distintos num planejamento composto
central é nfat + 2k +1. Lembrando que nfat é o número de
pontos da parte fatorial (ou cúbica) do planejamento.
• Portanto para fatorial da Tabela 6.7, nove níveis seriam
suficientes.
65. • O modelo quadrático completo para k fatores é dado pela Eq.
6.13, que contém (k+1)(k+2)/2 parâmetros.
• Com dois fatores, temos 6 parâmetros.
• O planejamento da Tabela 6.7 tem 9 diferentes combinações
de níveis, e a rigor poderíamos estimar todos os parâmetros
do modelo usando apenas dois pontos cúbicos,
correspondentes a uma das duas frações 22-1.
.2
0
ji j
jiij
i
iii
i
ii xxxxy
(6.13)
66. • Para um 22, a economia é muito pouca e dificilmente
justificaria a destruição da simetria da porção cúbica.
• Entretanto, à medida que o número de fatores aumenta,
escolher os pontos cúbicos como os de um planejamento
fracionário e não de um planejamento completo torna-se
cada vez mais indicado.
• Do ponto de vista da resolução, é recomendável usar um
fatorial fracionário de resolução V, que permitirá estimar os
efeitos principais e as interações de dois fatores com um
confundimento relativamente baixo.
• Se decidirmos usar frações menores, porém, a escolha da
fração apropriada não é trivial.
• Uma lista das frações mais adequadas pode ser encontrada
em Wu e Hamada (2.000), Capítulo 9.
67. • O valor de costuma ficar entre 1 e . Quando
como na Tabela 6.7, os pontos cúbicos e os pontos axiais
ficam sobre a superfície de uma (hiper)esfera, e o
planejamento é chamado de esférico.
• Na Tabela 6.7, por ex., todos os pontos periféricos estão sobre
a mesma circunferência.
k ,k
68. • No outro extremo, quando =1, os pontos axiais se localizam
nos centros das faces do (hiper)cubo definido pela parte
cúbica do planejamento.
• Este tipo de planejamento é vantajoso quando o espaço
experimental é cúbico, o que ocorre de forma natural quando
os fatores são variados independentemente uns dos outros.
• Tem ainda a vantagem de só precisar de três níveis dos
fatores, o que pode ser de grande ajuda no caso de algum
fator ser qualitativo.
69. • Se escolhermos estaremos colocando os pontos em
estrela cada vez mais distantes do ponto central, à medida
que o número de fatores for crescendo.
• Essa escolha deve ser feita com muito cuidado, porque
estaremos correndo o risco de deixar a região intermediária
sem ser investigada.
• Com nove fatores, por ex., seria igual a 3. Não ficaríamos
sabendo de nada sobre o comportamento da superfície de
resposta no intervalo 1-3 ao longo de cada eixo.
,k
70. • Box e Hunter (1957) propuseram o conceito de rotabilidade
como critério para escolher o valor de .
• Um planejamento é chamado de rodável se a variância de
suas estimativas, , só depender da distância em relação
ao ponto central, isto é, se a precisão da resposta prevista for
a mesma em todos os pontos situados numa dada
(hiper)esfera com centro no próprio centro do planejamento.
yV ˆ
71. • A Tabela 6.13 mostra como podemos construir planejamentos
rodáveis para três (nax =2k= 6) e quatro (nax = 8) fatores.
kCoordenadas: centrais nulas e axiais iguais a