Gestão de Stocks

Gestão e Teoria da Decisão

Exercício 16 - Enunciado

Política da revisão cíclica

Uma empresa de constr...
Política da revisão cíclica
T+τi+2
T+τi+1

I(t)

Ciclo (i+1)

Ciclo i

Ciclo (i+2)

...

M

Qi+1

Qi =M - I(ti)

Qi

...
S...
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Exercício 16 - Resolução

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Dados do problema (Uni...
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a) Se for definido um ...
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c) Admitindo que a empresa associa às situações de...
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c) Admitindo que a empresa associa às situações de...
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c) Admitindo que a emp...
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d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada u...
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e) Atendendo a que os dados deste problema são idê...
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e) Atendendo a que os ...
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Uma empresa de constr...
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Dados do problema

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Cus...
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Política da revisão cíclica

a) Avalie a probabilidade de rotura por ciclo e o ...
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b) Faça as suas recomendações fundamentadas sobre ...
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b) Faça as suas recomendações fundamentadas sobre ...
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Notas extras
Quantidade em falta η ( x, M ) ,

Gestão e Teoria da Decisão

( com x procura no tempo de re...
Anexo 1: Distribuição Normal
Função de distribuição de probabilidade - Φ(z)
1
Φ ( z ) = P ( Z ≤ z ) = ∫ φ ( x ) dx =
−∞
2π...
Anexo 2: Função de Perdas Normal ξ(u) estandardizada
ξ (u ) = ∫

+∞

u

( x − u )φ ( x ) dx =

1

+∞

∫ ( x − u)e
2π
u

−
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  1. 1. Gestão de Stocks Gestão e Teoria da Decisão Exercício 16 - Enunciado Política da revisão cíclica Uma empresa de construção utiliza semanalmente 100 unidades de um produto que adquire no mercado internacional e do qual constitui stocks. A cada encomenda deste produto está associado um custo fixo (independente da quantidade adquirida) de 100 €, enquanto que à manutenção em stock de uma unidade deste produto a empresa associa um custo anual de 26€. A empresa pretende adoptar a política da revisão cíclica, com um perído de revisão (intervalo de tempo entre encomendas) de 4 semanas. O tempo de entrega das encomendas deste produto é aleatório, com uma distribuição normal de média 4 semanas e desvio padrão 1 semana. a) Se for definido um nível de enchimento de 900 unidades, qual a probabilidade de rotura? b) Caso se pretenda um risco de rotura da ordem dos 5%, que nível de enchimento recomendaria? c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade em falta, determine em que condições o nível de enchimento de 900 unidades é preferível em relação ao determinado na alínea b). d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de enchimento que recomendaria? e) Atendendo a que os dados deste problema são idênticos aos do problema 11 (no qual se analisou a 1 política do nível de encomenda), compare os resultados obtidos e comente.
  2. 2. Política da revisão cíclica T+τi+2 T+τi+1 I(t) Ciclo (i+1) Ciclo i Ciclo (i+2) ... M Qi+1 Qi =M - I(ti) Qi ... Si 0 S=M-µX Si+1 ti τi τi+1 τi+2 Si+2 t ... T T M – Nível de enchimento τi – Tempo de reposição ou entrega no ciclo i T – Período ou comprimento do ciclo i Qi – Quantidade encomendada --- e recebida ––– T Nota O nível M (stock em mão mais o encomendado no instante, ti, em que é feita a revisão cíclica) tem que cobrir as necessidades até ao instante em que a encomenda, colocada no ciclo (i+1) seguinte, chega.
  3. 3. Gestão de Stocks Exercício 16 - Resolução Política da revisão cíclica Gestão e Teoria da Decisão Dados do problema (Unidade de tempo: 1semana; 1 ano = 52 semanas) Custo fixo de encomenda, A = 100 €/encomenda; C2 = 26 €/unid./ano = 0.50 €/unid./semana; Custos de posse, Período de revisão (intervalo de tempo entre encomendas), T = 4 semanas Procura por unidade de tempo (determinística): r = 100 unid./semana, σ r = 0; Tempo de reposição/entrega (aleatória): τ ∼ N (τ ,σ τ ) , com τ = 4 semanas e σ τ = 1 semana; Modelação da procura, X , durante o tempo total (T + τ ) a X ∼N ( µ X ,σ X ) , Nota com τ ' = T +τ , µ X = r × (T + τ ) = 100 × ( 4 + 4 ) = 800 unid. σ 2 (T +τ ) σX = = = σ τ ( vidé Nota ) 2 (T + τ ) × σ 2 r 2 2 + r × στ ( 4 + 4 ) × 0 + 1002 × 12 = 100 unid. τ ' = E {T + τ } = T + τ , { 2 } { σ (2T +τ ) = E (τ ' − τ ' ) = E (T + τ − (T + τ ) ) { = E (τ − τ ) } = σ τ2 2 3 2 }
  4. 4. Gestão de Stocks Exercício 16 - Resolução Política da revisão cíclica Gestão e Teoria da Decisão a) Se for definido um nível de enchimento M, de 900 unidades, qual a probabilidade de rotura, α? Dado nível de enchimento M = 900 unid., calcular probabilidade de rotura, α X − µX 900 − µ X 900 − 800 α =P ( X > M ) = P ( X > 900 ) = P ( Z > z ) , com Z = ez= = =1 σX σX 100 P ( Z > 1) = 1 − P ( Z ≤ 1) = 1 − Φ (1) = 1 − 0.8413 = 0.1587 ∴α = 0.1587 (15.9%) b) Caso se pretenda um risco de rotura, α, da ordem dos 5%, que nível de enchimento M recomendaria? Dado α ≅ 0.05, calcular nível de enchimento M Determinar valor de M , M α , tal que P ( X > M α ) = α P ( X > M α ) = P ( Z > zα ) , com Z = X − µX σX e zα = Mα − µX σX P ( Z > zα ) = 1 − P ( Z ≤ zα ) ⇒ 1 − Φ ( zα ) = α ⇒ Φ ( zα ) = 1 − α ⇒ Φ ( zα ) = 0.95 ⇒ zα = Φ −1 ( 0.95 ) ⇒ zα ≅ 1.65 zα = Mα − µX σX ⇒ M α = µ X + σ X zα = 800 + 100 × 1.65 = 965 unid. 4
  5. 5. Gestão de Stocks Exercício 16 - Resolução Política da revisão cíclica c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade em falta, determine em que condições o nível de enchimento, M, de 900 unidades é preferível em relação ao determinado na alínea b). Gestão e Teoria da Decisão Que C3' torna M = 900 unid. preferível a M = 965 Custos totais por unidade de tempo (ano) A ( r × 52 ) Q K (M ) ≅ + C2 ×  + M − µ X Q 2 '  C3 ( r × 52 ) ×η ( M ), + Q   M − µX  , σX   ξ ( u ) é função de perdas normal estandardizada (Tabela 2 de Livro de IO) com quantidade média em falta η ( M ) = ∫ ∞ ( x − M ) h ( x ) dx = σ X ξ  M Q = Q ≅ T × r = 4 × 100 = 400 unidades Custos totais por unidade de tempo para M =900 unidades  900 − 800   = 100ξ (1.0 ) = 100 × 0.0829 = 8.29  100  ' 100 × (100 × 52 )  400  C3 (100 × 52 ) K (900) = + 26 ×  + 900 − 800  + ×η (900) 400 2 400   η (900) = 100ξ  ' 100 × (100 × 52 )  400  C3 (100 × 52 ) = + 26 ×  + 900 − 800  + × 8.29 = 9100 + 107.8C3' 400 400  2  5
  6. 6. Gestão de Stocks Exercício 16 - Resolução Política da revisão cíclica c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade em falta, determine em que condições o nível de enchimento, M, de 900 unidades é preferível em relação ao determinado na alínea b). Gestão e Teoria da Decisão Custos totais por unidade de tempo para M =965 unidades  965 − 800   = 100ξ (1.65 ) = 100 × 0.0213 = 2.13  100  ' 100 × (100 × 52 )  400  C3 (100 × 52 ) K (965) = + 26 ×  + 965 − 800  + ×η (965) 400 400  2  η (965) = 100ξ  = 100 × (100 × 52 ) 400 '  400  C3 (100 × 52 ) + 26 ×  + 165  + × 2.13 2 400   = 10790 + 27.7C3' Condição de preferência M = 900 preferível ⇒ K (900) < K (965) K (900) < K (965) ⇒ K (900) − K (965) < 0 ⇒ 9100 + 107.8C3' − (10790 + 27.7C3' ) < 0 ⇒ −1689 + 80.1C3' < 0 ⇒ C3' < 1689 = 21.09 €/unid. 80.1 6
  7. 7. Gestão de Stocks Exercício 16 - Resolução Política da revisão cíclica Gestão e Teoria da Decisão c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade em falta, determine em que condições o nível de enchimento, M, de 900 unidades é preferível em relação ao determinado na alínea b). Generalização Condição de preferência de M 1 sobre M 2 ⇔ K ( M 1 ) < K ( M 2 ) A ( r × 52 ) A ( r × 52 ) Q  C3' ( r × 52 ) Q  C3' ( r × 52 ) ⇒ + C2 ×  + M 1 − µ X  + ×η ( M1 ) < + C2 ×  + M 2 − µ X  + ×η (M 2 ) Q Q Q Q 2  2  C3' ( r × 52 ) C3' ( r × 52 ) ⇒ C2 × ( M 1 − µ X ) + × η ( M 1 ) < C2 × ( M 2 − µ X ) + ×η (M 2 ) Q Q C3' ( r × 52 ) ⇒ C2 × ( M 1 − M 2 ) + × (η ( M 1 ) − η ( M 2 ) ) < 0 Q ⇒ C3' < C2 × ( M 1 − M 2 ) × Q ( r × 52 )(η ( M 1 ) − η ( M 2 ) ) 7
  8. 8. Gestão de Stocks Exercício 16 - Resolução Política da revisão cíclica d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de enchimento que recomendaria? Gestão e Teoria da Decisão Calcular valor a recomendar para M , M * , dado Q = Q = 400 unidades. O valor a recomendar é a solução do Problema de optimização A ( r × 52 ) Q min. K ( M ) ≜ + C2 ×  + M − µ X M Q 2  C3' ( r × 52 ) ×η ( M ), + Q  cuja solução M * é o ponto estacionário da função K ( M ), que satisfaz a equação seguinte: CQ h( x)dx = ' 2 , ou a equação ∫M * C3 ( r × 52 ) ∞ Por definição ∫ M* −∞ ∫ M* −∞ h( x)dx = 1 − C2 Q . ' C3 ( r × 52 ) h( x)dx = P ( X ≤ M * ) Introduzindo a mudança de variável Z = X − µX σX , vem P ( X ≤ M * ) = P ( Z ≤ z ) , com * * z = M * − µX σX pelo que ∫ M* −∞ h( x)dx = 1 − C2 Q CQ ⇔ P ( Z ≤ z* ) = 1 − ' 2 C3' ( r × 52 ) C3 ( r × 52 ) 8 ,
  9. 9. Gestão de Stocks Exercício 16 - Resolução Política da revisão cíclica d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de enchimento que recomendaria? Gestão e Teoria da Decisão Se X ∼ N ( µ X ,σ X ) , P ( Z ≤ z * ) = Φ ( z ) (Valores Tabela) e ∫ * M* −∞ h( x)dx = 1 − C2 Q é equivalente a C3' ( r × 52 ) C2 Q M * − µX * , com z = Φ( z ) = 1− ' C3 ( r × 52 ) σX * Resolvendo  CQ  z * = Φ −1 1 − ' 2  C3 ( r × 52 )    CQ  M * = µ X + σ X z * = µ X + σ X Φ −1 1 − ' 2  e C3 ( r × 52 )    C2 Q  S = M − µ X = σ X Φ 1 − '  C3 ( r × 52 )   * −1 9
  10. 10. Gestão de Stocks Exercício 16 - Resolução Política da revisão cíclica d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de enchimento que recomendaria? Gestão e Teoria da Decisão Cálculos 1.Φ ( z * ) = 1 − C2 Q 26 × 400 2 =1− = 1− = 1 − 0.08 = 0.92 C3' ( r × 52 ) 25 × (100 × 52 ) 25 Φ ( z * ) = 0.92 ⇒ z * = Φ −1 ( 0.92 ) ≅ 1.405 * 2. z = M * − µX σX ⇒ M * = µ X + σ X × z * = 800 + 100 × 1.405 = 940.5 unidades ∴ M * = 940 unidades 10
  11. 11. Gestão de Stocks Exercício 16 - Resolução Política da revisão cíclica e) Atendendo a que os dados deste problema são idênticos aos do problema 11 (no qual se analisou a política do nível de encomenda), compare os resultados obtidos e comente. Gestão e Teoria da Decisão Quadro resumo dos resultados Política do nível de encomenda (Exercício 11) Política da revisão cíclica (Exercício 16) α = 5% Procura no tempo τ = 4 semanas Nível de encomenda M = 565 Stock de segurança S = 565-400=165 Quantidade encomendada Q = 400 Stock médio = 365 Procura no tempo (T+τ) = 8 semanas Nível de enchimento M = 965 Stock de segurança S = 965-800=165 Quantidade encomendada Q = 400 Stock médio =365 C3' = 25 € /unid. Procura no tempo τ = 4 semanas Nível de encomenda M = 540 Stock de segurança S=540-400 = 140 Quantidade encomendada Q = 400 Stock médio = 340 Procura no tempo (T+τ) = 8 semanas Nível de enchimento M = 940 Stock de segurança S = 940-800=140 Quantidade encomendada Q = 400 Stock médio = 340 Q +S 2 Conclusão: Não há diferenças nos stocks de segurança nem nos stocks médios, o que é de esperar pois não há diferença na variabilidade da procura, ou seja, em ambos os exercícios (políticas) o desvio padrão da procura nos tempos τ = 4 semanas e (T+τ) = 8 semanas são iguais e S = σ X Φ −1 (1 − α ) 11 Stock médio =
  12. 12. Gestão de Stocks Exercício 16 - Resolução Política da revisão cíclica Gestão e Teoria da Decisão e) Atendendo a que os dados deste problema são idênticos aos do problema 11 (no qual se analisou a política do nível de encomenda), compare os resultados obtidos e comente. Análise comparativa das duas políticas ( Dados : r , σ r , τ , σ τ , α , T ou Q, A, C2 , C3' ) Política do nível de encomenda (PNE) Política de revisão cíclica (PRC) Procura X no tempo τ (tempo de reposição) Procura no tempo (T+τ ) (Período de revisão + tempo de reposição) ( µ X ) PNE = r × τ (σ ) 2 X PNE 2 r ( µ X ) PRC = r × (T + τ ) = r × T + r × τ = ( µ X ) PNE + T × r 2 (σ ) 2 X 2 = τ × σ + r × στ S PNE = M − ( µ X ) PNE = (σ X ) PNE Φ 2 = (T + τ ) × σ r2 + r 2 × σ τ2 = (σ X ) (σ ) 2 X M PNE = µ X + σ X zα = µ X + σ X Φ −1 (1 − α ) −1 PRC (1 − α ) PRC 2 ≥ (σ X ) PNE ⇔ (σ X ) PRC PNE ≥ (σ X ) + T × σ r2 PNE M PRC = ( µ X ) PRC + (σ X ) PRC zα = ( µ X ) PRC + (σ X ) PRC Φ −1 (1 − α ) S PRC = M − ( µ X ) PRC = (σ X ) PRC Φ −1 (1 − α ) S PRC ≥ S PNE Q =T ×r Q =T ×r Q + S PNE 2 Q + S PRC 2 12
  13. 13. Gestão de Stocks Gestão e Teoria da Decisão Exercício 17 - Enunciado Política da revisão cíclica Uma empresa de construção aprovisiona uma artigo que utiliza a uma taxa de 300 unidades por mês. A cada encomenda está associado um custo (fixo) de 150 €, sendo o tempo de entrega aleatório, com uma distribuição normal de média 1 mês e desvio padrão 0.25 meses. O custo de aquisição é de 70 €/unidade, enquanto que o custo anual de posse (proporcional ao stock médio) foi estimado em 5% do custo de aquisição do artigo. Sempre que se verifica rotura, existe um custo de 30 €/unidade em falta. A empresa adoptou a política da revisão cíclica, com um nível de enchimento de 700 unidades e um período de revisão de 1 mês. a) Avalie a probabilidade de rotura por ciclo e o número médio destas ocorrências por ano. b) Faça as suas recomendações fundamentadas sobre o nível de enchimento a manter (continuando com a periodicidade mensal das encomendas). 13
  14. 14. Gestão de Stocks Exercício 17 - Resolução Política da revisão cíclica Dados do problema Gestão e Teoria da Decisão Custo fixo de encomenda, A = 150 €/encomenda; Custo de aquisição, C1 = 70 €/unid. Custo de posse, C2 = 0.05 × 70 = 3.50 €/unid./ano; Custo de rotura, C3' = 30 €/unid. Período de revisão (intervalo de tempo entre encomendas), T = 1 mês Procura por unidade de tempo (determinística): r = 300 unid./mês, σ r = 0 unid./mês; τ ∼ N (τ ,σ τ ) , com τ = 1 mês e σ τ = 0.25 mês; Tempo de reposição/entrega (aleatória): Modelação da procura, X , durante o tempo de reposição T + τ a X ∼ N ( µ X ,σ X ) , com µ X = r × (T + τ ) = 300 × (1 + 1) = 600 unid. σ (2T +τ ) = σ τ2 σX = = (T + τ ) × σ r2 + r 2 × σ (2T +τ ) (T + τ ) × 0 + r 2 × σ τ2 = (T + τ ) × σ r2 + r 2 × σ τ2 = r × σ τ = 300 × 0.25 = 75 unid. 14
  15. 15. Gestão de Stocks Exercício 17 - Resolução Política da revisão cíclica a) Avalie a probabilidade de rotura por ciclo e o número médio destas ocorrências por ano. Dado nível de enchimento M = 700 unid., calcular probabilidade de rotura, α , e quantidade média em Gestão e Teoria da Decisão falta, η ( M ) . Probabilidade de rotura, α α =P ( X > M ) = P ( X > 700 ) = P ( Z > z ) , com Z = X − µX σX e z= 700 − µ X σX = 700 − 600 100 4 = = = 1.3333 75 75 3 P ( Z > 1.3333) = 1 − P ( Z ≤ 1.3333) = 1 − Φ (1.3333) = 1 − 0.9087 = 0.0913 ∴α = 0.0913 (9.13%) Quantidade média em falta, η ( M ) η (M ) = σ Xξ ( z) = 75 × ξ (1.3333) ≅ 75 × 0.043 = 3.225 unid. em falta/ciclo 15
  16. 16. Gestão de Stocks Exercício 17 - Resolução Política da revisão cíclica b) Faça as suas recomendações fundamentadas sobre o nível de enchimento a manter (continuando com a periodicidade mensal das encomendas). Gestão e Teoria da Decisão Fixando (mantendo) periodicidade mensal T , recomendar nível de enchimento M , M * 1. Fixar T é equivalente a fixar a quantidade a encomendar em Q = Q = T × r ,ou seja Q = Q = T × r = 1 × 300 = 300 unid./encomenda(ciclo). 2. O nível de enchimento a recomendar é a solução do Problema de optimização A ( r × 52 ) Q min. K ( M ) ≜ + C2 ×  + M − µ X M Q 2  C3' ( r × 52 ) ×η ( M ), + Q  cuja solução M * é o ponto estacionário da função K ( M ), que satisfaz a equação seguinte: ∫ M* −∞ 3.∫ h( x)dx = 1 − M* −∞ C2 Q . C3' r C2 Q C2 Q M * − µX * * h( x)dx = 1 − ' ⇒ Φ ( z ) = 1 − ' , com z = C3 ( r × 52 ) C3 r σX 16
  17. 17. Gestão de Stocks Exercício 17 - Resolução Política da revisão cíclica b) Faça as suas recomendações fundamentadas sobre o nível de enchimento a manter (continuando com a periodicidade mensal das encomendas). Gestão e Teoria da Decisão Cálculos 1.Φ ( z * ) = 1 − C2 Q 3.5 × 300 =1− = 1 − 0.0097 = 0.9903 C3' ( r × 12 ) 30 × ( 300 × 12 ) Φ ( z * ) = 0.9903 ⇒ z * = Φ −1 ( 0.9903) ≅ 2.34 * 2. z = M * − µX σX ⇒ M * = µ X + σ X × z * = 600 + 75 × 2.34 = 775.5 unidades ∴ M * = 776 unidades 17
  18. 18. Gestão de Stocks Notas extras Quantidade em falta η ( x, M ) , Gestão e Teoria da Decisão ( com x procura no tempo de reposição e M nível de encomenda ou de enchimento ) se x ≤ M 0, ( x − M ), se x > M η ( x, M ) =  Quantidade média em falta ( Procura X variável aleatória: X ∼ N η (M ) = ∫ ∞ ( x − M ) f ( x)dx = σ X ξ ( z ) , M com z = ( µ X ,σ X ) ) M − µX σX Função perdas normal ξ ( u ) estandardizada : 1. ξ ( u ) = ∫ ∞ u ( x − u )φ ( x)dx = φ ( u ) − u (1 − Φ ( u ) ) , 2. ξ ( −u ) = ξ ( u ) + u 2 2 u u − 1 − u2 1 e , Φ ( u ) = ∫ φ ( x)dx, φ '(u ) = − ue 2 = −uφ (u ) φ (u ) = −∞ 2π 2π 1.ξ ( u ) = ∫ ∞ u ∞ ∞ ∞ ( x − u ) φ ( x)dx = ∫u xφ ( x)dx − u ∫u φ ( x)dx = − ∫u φ '( x)dx − u (1 − ∫ u −∞ φ ( x)dx ) ∞ = ( −φ ( x) ) u − u (1 − Φ (u ) ) = lim φ ( x) − (−φ (u )) − u (1 − Φ (u ) ) = 0 + φ (u ) − u (1 − Φ ( u ) ) = φ (u ) − u (1 − Φ ( u ) ) x →∞ ( ) 2.ξ ( −u ) = φ ( −u ) + u (1 − Φ ( −u ) ) = φ ( u ) + u 1 − (1 − Φ ( u ) ) = φ ( u ) + u + (1 − Φ ( u ) ) = ξ ( u ) + u c.q.d . c.q.d . 18
  19. 19. Anexo 1: Distribuição Normal Função de distribuição de probabilidade - Φ(z) 1 Φ ( z ) = P ( Z ≤ z ) = ∫ φ ( x ) dx = −∞ 2π Gestão e Teoria da Decisão z Z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 0.00 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.01 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997 0.02 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997 ∫ 0.03 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997 z −∞ e − x2 2 dx, 0.04 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 Φ (−z ) = 1− Φ ( z ) 0.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.06 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.07 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997 Φ( z) 0.08 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997 0.09 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998
  20. 20. Anexo 2: Função de Perdas Normal ξ(u) estandardizada ξ (u ) = ∫ +∞ u ( x − u )φ ( x ) dx = 1 +∞ ∫ ( x − u)e 2π u − x2 2 dx Gestão e Teoria da Decisão ξ ( −u ) = ξ ( u ) + u u 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 0.00 0.39894 0.35094 0.30689 0.26676 0.23044 0.19780 0.16867 0.14288 0.12021 0.10043 0.08332 0.06862 0.05610 0.04553 0.03667 0.02931 0.02324 0.01829 0.01428 0.01105 0.00849 0.00647 0.00489 0.00366 0.00272 0.00200 0.00146 0.00106 0.00076 0.00054 0.00038 0.01 0.39396 0.34635 0.30271 0.26296 0.22701 0.19473 0.16595 0.14048 0.11810 0.09860 0.08174 0.06727 0.05496 0.04457 0.03587 0.02865 0.02270 0.01785 0.01392 0.01077 0.00827 0.00629 0.00475 0.00356 0.00264 0.00194 0.00142 0.00103 0.00074 0.00052 0.00037 0.02 0.38902 0.34181 0.29856 0.25920 0.22362 0.19170 0.16325 0.13810 0.11603 0.09680 0.08019 0.06595 0.05384 0.04363 0.03508 0.02800 0.02217 0.01742 0.01357 0.01049 0.00805 0.00612 0.00462 0.00345 0.00256 0.00188 0.00137 0.00099 0.00071 0.00051 0.00036 0.03 0.38412 0.33731 0.29445 0.25547 0.22027 0.18870 0.16059 0.13576 0.11398 0.09503 0.07866 0.06465 0.05274 0.04270 0.03431 0.02736 0.02165 0.01699 0.01323 0.01022 0.00783 0.00595 0.00449 0.00335 0.00248 0.00183 0.00133 0.00096 0.00069 0.00049 0.00034 0.04 0.37926 0.33285 0.29038 0.25178 0.21695 0.18573 0.15797 0.13345 0.11196 0.09328 0.07716 0.06336 0.05165 0.04179 0.03356 0.02674 0.02114 0.01658 0.01290 0.00996 0.00762 0.00579 0.00436 0.00325 0.00241 0.00177 0.00129 0.00093 0.00066 0.00047 0.00033 0.05 0.37444 0.32842 0.28634 0.24813 0.21367 0.18281 0.15537 0.13117 0.10997 0.09156 0.07568 0.06210 0.05059 0.04090 0.03281 0.02612 0.02064 0.01617 0.01257 0.00970 0.00742 0.00563 0.00423 0.00316 0.00234 0.00171 0.00125 0.00090 0.00064 0.00046 0.00032 0.06 0.36966 0.32404 0.28235 0.24452 0.21042 0.17991 0.15281 0.12892 0.10801 0.08986 0.07422 0.06086 0.04954 0.04002 0.03208 0.02552 0.02015 0.01578 0.01226 0.00945 0.00722 0.00547 0.00411 0.00307 0.00227 0.00166 0.00121 0.00087 0.00062 0.00044 0.00031 0.07 0.36492 0.31969 0.27840 0.24094 0.20721 0.17705 0.15028 0.12669 0.10607 0.08819 0.07279 0.05964 0.04851 0.03916 0.03137 0.02494 0.01967 0.01539 0.01195 0.00920 0.00702 0.00532 0.00400 0.00298 0.00220 0.00161 0.00117 0.00084 0.00060 0.00042 0.00030 0.08 0.36022 0.31539 0.27448 0.23740 0.20404 0.17422 0.14778 0.12450 0.10417 0.08654 0.07138 0.05844 0.04750 0.03831 0.03067 0.02436 0.01920 0.01501 0.01164 0.00896 0.00683 0.00517 0.00388 0.00289 0.00213 0.00156 0.00113 0.00081 0.00058 0.00041 0.00029 0.09 0.35556 0.31112 0.27060 0.23390 0.20090 0.17143 0.14531 0.12234 0.10229 0.08491 0.06999 0.05726 0.04650 0.03748 0.02998 0.02380 0.01874 0.01464 0.01134 0.00872 0.00665 0.00503 0.00377 0.00280 0.00207 0.00151 0.00110 0.00079 0.00056 0.00040 0.00028 NOTA: Os valores desta Tabela foram calculados pela fórmula ξ(u) = φ(u)-u(1-Φ(u)), e não coincidem com os da Tabela 2 do livro de IO

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