A política da revisão cíclica estabelece que a empresa encomenda o produto a cada 4 semanas. Se o nível de enchimento for 900 unidades, a probabilidade de rotura é de 15,9%. Com um risco de rotura de 5%, o nível recomendado é 965 unidades. O nível de 900 unidades só é preferível se o custo de rotura por unidade for inferior a 21,09 euros. Com um custo de rotura de 25 euros, o nível recomendado é de 980 unidades.
1. Gestão de Stocks
Gestão e Teoria da Decisão
Exercício 16 - Enunciado
Política da revisão cíclica
Uma empresa de construção utiliza semanalmente 100 unidades de um produto que adquire no mercado
internacional e do qual constitui stocks. A cada encomenda deste produto está associado um custo fixo
(independente da quantidade adquirida) de 100 €, enquanto que à manutenção em stock de uma unidade
deste produto a empresa associa um custo anual de 26€.
A empresa pretende adoptar a política da revisão cíclica, com um perído de revisão (intervalo de tempo
entre encomendas) de 4 semanas. O tempo de entrega das encomendas deste produto é aleatório, com
uma distribuição normal de média 4 semanas e desvio padrão 1 semana.
a) Se for definido um nível de enchimento de 900 unidades, qual a probabilidade de rotura?
b) Caso se pretenda um risco de rotura da ordem dos 5%, que nível de enchimento recomendaria?
c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade
em falta, determine em que condições o nível de enchimento de 900 unidades é preferível em relação ao
determinado na alínea b).
d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de
enchimento que recomendaria?
e) Atendendo a que os dados deste problema são idênticos aos do problema 11 (no qual se analisou a
1
política do nível de encomenda), compare os resultados obtidos e comente.
2. Política da revisão cíclica
T+τi+2
T+τi+1
I(t)
Ciclo (i+1)
Ciclo i
Ciclo (i+2)
...
M
Qi+1
Qi =M - I(ti)
Qi
...
Si
0
S=M-µX
Si+1
ti
τi
τi+1
τi+2
Si+2
t
...
T
T
M – Nível de enchimento
τi – Tempo de reposição ou entrega no ciclo i
T – Período ou comprimento do ciclo i
Qi – Quantidade encomendada --- e recebida –––
T
Nota
O nível M (stock em mão mais o encomendado
no instante, ti, em que é feita a revisão cíclica)
tem que cobrir as necessidades até ao instante
em que a encomenda, colocada no ciclo (i+1)
seguinte, chega.
3. Gestão de Stocks
Exercício 16 - Resolução
Política da revisão cíclica
Gestão e Teoria da Decisão
Dados do problema (Unidade de tempo: 1semana; 1 ano = 52 semanas)
Custo fixo de encomenda, A = 100 €/encomenda;
C2 = 26 €/unid./ano = 0.50 €/unid./semana;
Custos de posse,
Período de revisão (intervalo de tempo entre encomendas), T = 4 semanas
Procura por unidade de tempo (determinística): r = 100 unid./semana, σ r = 0;
Tempo de reposição/entrega (aleatória):
τ ∼ N (τ ,σ τ ) , com τ = 4 semanas e σ τ = 1 semana;
Modelação da procura, X , durante o tempo total (T + τ )
a
X ∼N ( µ X ,σ X ) ,
Nota
com
τ ' = T +τ ,
µ X = r × (T + τ ) = 100 × ( 4 + 4 ) = 800 unid.
σ
2
(T +τ )
σX =
=
= σ τ ( vidé Nota )
2
(T + τ ) × σ
2
r
2
2
+ r × στ
( 4 + 4 ) × 0 + 1002 × 12
= 100 unid.
τ ' = E {T + τ } = T + τ ,
{
2
} {
σ (2T +τ ) = E (τ ' − τ ' ) = E (T + τ − (T + τ ) )
{
= E (τ − τ
) } = σ τ2
2
3
2
}
4. Gestão de Stocks
Exercício 16 - Resolução
Política da revisão cíclica
Gestão e Teoria da Decisão
a) Se for definido um nível de enchimento M, de 900 unidades, qual a probabilidade de rotura, α?
Dado nível de enchimento M = 900 unid., calcular probabilidade de rotura, α
X − µX
900 − µ X 900 − 800
α =P ( X > M ) = P ( X > 900 ) = P ( Z > z ) , com Z =
ez=
=
=1
σX
σX
100
P ( Z > 1) = 1 − P ( Z ≤ 1)
= 1 − Φ (1)
= 1 − 0.8413 = 0.1587
∴α = 0.1587 (15.9%)
b) Caso se pretenda um risco de rotura, α, da ordem dos 5%, que nível de enchimento M recomendaria?
Dado α ≅ 0.05, calcular nível de enchimento M
Determinar valor de M , M α , tal que P ( X > M α ) = α
P ( X > M α ) = P ( Z > zα ) , com Z =
X − µX
σX
e zα =
Mα − µX
σX
P ( Z > zα ) = 1 − P ( Z ≤ zα ) ⇒ 1 − Φ ( zα ) = α ⇒ Φ ( zα ) = 1 − α ⇒ Φ ( zα ) = 0.95
⇒ zα = Φ −1 ( 0.95 ) ⇒ zα ≅ 1.65
zα =
Mα − µX
σX
⇒ M α = µ X + σ X zα = 800 + 100 × 1.65 = 965 unid.
4
5. Gestão de Stocks
Exercício 16 - Resolução
Política da revisão cíclica
c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade em falta, determine em que
condições o nível de enchimento, M, de 900 unidades é preferível em relação ao determinado na alínea b).
Gestão e Teoria da Decisão
Que C3' torna M = 900 unid. preferível a M = 965
Custos totais por unidade de tempo (ano)
A ( r × 52 )
Q
K (M ) ≅
+ C2 × + M − µ X
Q
2
'
C3 ( r × 52 )
×η ( M ),
+
Q
M − µX
,
σX
ξ ( u ) é função de perdas normal estandardizada (Tabela 2 de Livro de IO)
com quantidade média em falta η ( M ) = ∫
∞
( x − M ) h ( x ) dx = σ X ξ
M
Q = Q ≅ T × r = 4 × 100 = 400 unidades
Custos totais por unidade de tempo para M =900 unidades
900 − 800
= 100ξ (1.0 ) = 100 × 0.0829 = 8.29
100
'
100 × (100 × 52 )
400
C3 (100 × 52 )
K (900) =
+ 26 ×
+ 900 − 800 +
×η (900)
400
2
400
η (900) = 100ξ
'
100 × (100 × 52 )
400
C3 (100 × 52 )
=
+ 26 ×
+ 900 − 800 +
× 8.29 = 9100 + 107.8C3'
400
400
2
5
6. Gestão de Stocks
Exercício 16 - Resolução
Política da revisão cíclica
c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade em falta, determine em que
condições o nível de enchimento, M, de 900 unidades é preferível em relação ao determinado na alínea b).
Gestão e Teoria da Decisão
Custos totais por unidade de tempo para M =965 unidades
965 − 800
= 100ξ (1.65 ) = 100 × 0.0213 = 2.13
100
'
100 × (100 × 52 )
400
C3 (100 × 52 )
K (965) =
+ 26 ×
+ 965 − 800 +
×η (965)
400
400
2
η (965) = 100ξ
=
100 × (100 × 52 )
400
'
400
C3 (100 × 52 )
+ 26 ×
+ 165 +
× 2.13
2
400
= 10790 + 27.7C3'
Condição de preferência
M = 900 preferível ⇒ K (900) < K (965)
K (900) < K (965) ⇒ K (900) − K (965) < 0
⇒ 9100 + 107.8C3' − (10790 + 27.7C3' ) < 0
⇒ −1689 + 80.1C3' < 0 ⇒ C3' <
1689
= 21.09 €/unid.
80.1
6
7. Gestão de Stocks
Exercício 16 - Resolução
Política da revisão cíclica
Gestão e Teoria da Decisão
c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade em falta, determine em que
condições o nível de enchimento, M, de 900 unidades é preferível em relação ao determinado na alínea b).
Generalização
Condição de preferência de M 1 sobre M 2 ⇔ K ( M 1 ) < K ( M 2 )
A ( r × 52 )
A ( r × 52 )
Q
C3' ( r × 52 )
Q
C3' ( r × 52 )
⇒
+ C2 × + M 1 − µ X +
×η ( M1 ) <
+ C2 × + M 2 − µ X +
×η (M 2 )
Q
Q
Q
Q
2
2
C3' ( r × 52 )
C3' ( r × 52 )
⇒ C2 × ( M 1 − µ X ) +
× η ( M 1 ) < C2 × ( M 2 − µ X ) +
×η (M 2 )
Q
Q
C3' ( r × 52 )
⇒ C2 × ( M 1 − M 2 ) +
× (η ( M 1 ) − η ( M 2 ) ) < 0
Q
⇒ C3' <
C2 × ( M 1 − M 2 ) × Q
( r × 52 )(η ( M 1 ) − η ( M 2 ) )
7
8. Gestão de Stocks
Exercício 16 - Resolução
Política da revisão cíclica
d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de enchimento que recomendaria?
Gestão e Teoria da Decisão
Calcular valor a recomendar para M , M * , dado Q = Q = 400 unidades.
O valor a recomendar é a solução do Problema de optimização
A ( r × 52 )
Q
min. K ( M ) ≜
+ C2 × + M − µ X
M
Q
2
C3' ( r × 52 )
×η ( M ),
+
Q
cuja solução M * é o ponto estacionário da função K ( M ), que satisfaz a equação seguinte:
CQ
h( x)dx = ' 2
, ou a equação
∫M *
C3 ( r × 52 )
∞
Por definição
∫
M*
−∞
∫
M*
−∞
h( x)dx = 1 −
C2 Q
.
'
C3 ( r × 52 )
h( x)dx = P ( X ≤ M * )
Introduzindo a mudança de variável Z =
X − µX
σX
, vem P ( X ≤ M
*
) = P ( Z ≤ z ) , com
*
*
z =
M * − µX
σX
pelo que
∫
M*
−∞
h( x)dx = 1 −
C2 Q
CQ
⇔ P ( Z ≤ z* ) = 1 − ' 2
C3' ( r × 52 )
C3 ( r × 52 )
8
,
9. Gestão de Stocks
Exercício 16 - Resolução
Política da revisão cíclica
d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de enchimento que recomendaria?
Gestão e Teoria da Decisão
Se X ∼ N
( µ X ,σ X ) , P ( Z ≤ z
*
) = Φ ( z ) (Valores Tabela) e ∫
*
M*
−∞
h( x)dx = 1 −
C2 Q
é equivalente a
C3' ( r × 52 )
C2 Q
M * − µX
*
, com z =
Φ( z ) = 1− '
C3 ( r × 52 )
σX
*
Resolvendo
CQ
z * = Φ −1 1 − ' 2
C3 ( r × 52 )
CQ
M * = µ X + σ X z * = µ X + σ X Φ −1 1 − ' 2
e
C3 ( r × 52 )
C2 Q
S = M − µ X = σ X Φ 1 − '
C3 ( r × 52 )
*
−1
9
10. Gestão de Stocks
Exercício 16 - Resolução
Política da revisão cíclica
d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de enchimento que recomendaria?
Gestão e Teoria da Decisão
Cálculos
1.Φ ( z * ) = 1 −
C2 Q
26 × 400
2
=1−
= 1−
= 1 − 0.08 = 0.92
C3' ( r × 52 )
25 × (100 × 52 )
25
Φ ( z * ) = 0.92 ⇒ z * = Φ −1 ( 0.92 ) ≅ 1.405
*
2. z =
M * − µX
σX
⇒ M * = µ X + σ X × z * = 800 + 100 × 1.405 = 940.5 unidades
∴ M * = 940 unidades
10
11. Gestão de Stocks
Exercício 16 - Resolução
Política da revisão cíclica
e) Atendendo a que os dados deste problema são idênticos aos do problema 11 (no qual se analisou a política do nível de encomenda),
compare os resultados obtidos e comente.
Gestão e Teoria da Decisão
Quadro resumo dos resultados
Política do nível de encomenda
(Exercício 11)
Política da revisão cíclica
(Exercício 16)
α = 5%
Procura no tempo τ = 4 semanas
Nível de encomenda M = 565
Stock de segurança S = 565-400=165
Quantidade encomendada Q = 400
Stock médio = 365
Procura no tempo (T+τ) = 8 semanas
Nível de enchimento M = 965
Stock de segurança S = 965-800=165
Quantidade encomendada Q = 400
Stock médio =365
C3' = 25 € /unid.
Procura no tempo τ = 4 semanas
Nível de encomenda M = 540
Stock de segurança S=540-400 = 140
Quantidade encomendada Q = 400
Stock médio = 340
Procura no tempo (T+τ) = 8 semanas
Nível de enchimento M = 940
Stock de segurança S = 940-800=140
Quantidade encomendada Q = 400
Stock médio = 340
Q
+S
2
Conclusão: Não há diferenças nos stocks de segurança nem nos stocks médios, o que é de esperar pois
não há diferença na variabilidade da procura, ou seja, em ambos os exercícios (políticas) o desvio
padrão da procura nos tempos τ = 4 semanas e (T+τ) = 8 semanas são iguais e S = σ X Φ −1 (1 − α ) 11
Stock médio =
12. Gestão de Stocks
Exercício 16 - Resolução
Política da revisão cíclica
Gestão e Teoria da Decisão
e) Atendendo a que os dados deste problema são idênticos aos do problema 11 (no qual se analisou a política do nível de encomenda),
compare os resultados obtidos e comente.
Análise comparativa das duas políticas
( Dados : r , σ r , τ , σ τ , α , T ou Q, A, C2 , C3' )
Política do nível de encomenda (PNE)
Política de revisão cíclica (PRC)
Procura X no tempo τ
(tempo de reposição)
Procura no tempo (T+τ )
(Período de revisão + tempo de reposição)
( µ X ) PNE = r × τ
(σ )
2
X
PNE
2
r
( µ X ) PRC = r × (T + τ ) = r × T + r × τ = ( µ X ) PNE + T × r
2
(σ )
2
X
2
= τ × σ + r × στ
S PNE = M − ( µ X ) PNE = (σ X ) PNE Φ
2
= (T + τ ) × σ r2 + r 2 × σ τ2 = (σ X )
(σ )
2
X
M PNE = µ X + σ X zα = µ X + σ X Φ −1 (1 − α )
−1
PRC
(1 − α )
PRC
2
≥ (σ X )
PNE
⇔ (σ X )
PRC
PNE
≥ (σ X )
+ T × σ r2
PNE
M PRC = ( µ X ) PRC + (σ X ) PRC zα = ( µ X ) PRC + (σ X ) PRC Φ −1 (1 − α )
S PRC = M − ( µ X ) PRC = (σ X ) PRC Φ −1 (1 − α )
S PRC ≥ S PNE
Q =T ×r
Q =T ×r
Q
+ S PNE
2
Q
+ S PRC
2
12
13. Gestão de Stocks
Gestão e Teoria da Decisão
Exercício 17 - Enunciado
Política da revisão cíclica
Uma empresa de construção aprovisiona uma artigo que utiliza a uma taxa de 300 unidades por mês. A
cada encomenda está associado um custo (fixo) de 150 €, sendo o tempo de entrega aleatório, com uma
distribuição normal de média 1 mês e desvio padrão 0.25 meses. O custo de aquisição é de 70
€/unidade, enquanto que o custo anual de posse (proporcional ao stock médio) foi estimado em 5% do
custo de aquisição do artigo. Sempre que se verifica rotura, existe um custo de 30 €/unidade em falta.
A empresa adoptou a política da revisão cíclica, com um nível de enchimento de 700 unidades e um
período de revisão de 1 mês.
a) Avalie a probabilidade de rotura por ciclo e o número médio destas ocorrências por ano.
b) Faça as suas recomendações fundamentadas sobre o nível de enchimento a manter (continuando com
a periodicidade mensal das encomendas).
13
14. Gestão de Stocks
Exercício 17 - Resolução
Política da revisão cíclica
Dados do problema
Gestão e Teoria da Decisão
Custo fixo de encomenda, A = 150 €/encomenda;
Custo de aquisição,
C1 = 70 €/unid.
Custo de posse,
C2 = 0.05 × 70 = 3.50 €/unid./ano;
Custo de rotura,
C3' = 30 €/unid.
Período de revisão (intervalo de tempo entre encomendas), T = 1 mês
Procura por unidade de tempo (determinística): r = 300 unid./mês, σ r = 0 unid./mês;
τ ∼ N (τ ,σ τ ) , com τ = 1 mês e σ τ = 0.25 mês;
Tempo de reposição/entrega (aleatória):
Modelação da procura, X , durante o tempo de reposição T + τ
a
X ∼ N ( µ X ,σ X ) ,
com
µ X = r × (T + τ ) = 300 × (1 + 1) = 600 unid.
σ (2T +τ ) = σ τ2
σX =
=
(T + τ ) × σ r2 + r 2 × σ (2T +τ )
(T + τ ) × 0 + r 2 × σ τ2
=
(T + τ ) × σ r2 + r 2 × σ τ2
= r × σ τ = 300 × 0.25 = 75 unid.
14
15. Gestão de Stocks
Exercício 17 - Resolução
Política da revisão cíclica
a) Avalie a probabilidade de rotura por ciclo e o número médio destas ocorrências por ano.
Dado nível de enchimento M = 700 unid., calcular probabilidade de rotura, α , e quantidade média em
Gestão e Teoria da Decisão
falta, η ( M ) .
Probabilidade de rotura, α
α =P ( X > M ) = P ( X > 700 ) = P ( Z > z ) ,
com Z =
X − µX
σX
e z=
700 − µ X
σX
=
700 − 600 100 4
=
= = 1.3333
75
75 3
P ( Z > 1.3333) = 1 − P ( Z ≤ 1.3333)
= 1 − Φ (1.3333)
= 1 − 0.9087 = 0.0913
∴α = 0.0913 (9.13%)
Quantidade média em falta, η ( M )
η (M ) = σ Xξ ( z)
= 75 × ξ (1.3333) ≅ 75 × 0.043 = 3.225 unid. em falta/ciclo
15
16. Gestão de Stocks
Exercício 17 - Resolução
Política da revisão cíclica
b) Faça as suas recomendações fundamentadas sobre o nível de enchimento a manter (continuando com a periodicidade mensal das
encomendas).
Gestão e Teoria da Decisão
Fixando (mantendo) periodicidade mensal T , recomendar nível de enchimento M , M *
1. Fixar T é equivalente a fixar a quantidade a encomendar em Q = Q = T × r ,ou seja
Q = Q = T × r = 1 × 300 = 300 unid./encomenda(ciclo).
2. O nível de enchimento a recomendar é a solução do Problema de optimização
A ( r × 52 )
Q
min. K ( M ) ≜
+ C2 × + M − µ X
M
Q
2
C3' ( r × 52 )
×η ( M ),
+
Q
cuja solução M * é o ponto estacionário da função K ( M ), que satisfaz a equação seguinte:
∫
M*
−∞
3.∫
h( x)dx = 1 −
M*
−∞
C2 Q
.
C3' r
C2 Q
C2 Q
M * − µX
*
*
h( x)dx = 1 − '
⇒ Φ ( z ) = 1 − ' , com z =
C3 ( r × 52 )
C3 r
σX
16
17. Gestão de Stocks
Exercício 17 - Resolução
Política da revisão cíclica
b) Faça as suas recomendações fundamentadas sobre o nível de enchimento a manter (continuando com a periodicidade mensal das
encomendas).
Gestão e Teoria da Decisão
Cálculos
1.Φ ( z * ) = 1 −
C2 Q
3.5 × 300
=1−
= 1 − 0.0097 = 0.9903
C3' ( r × 12 )
30 × ( 300 × 12 )
Φ ( z * ) = 0.9903 ⇒ z * = Φ −1 ( 0.9903) ≅ 2.34
*
2. z =
M * − µX
σX
⇒ M * = µ X + σ X × z * = 600 + 75 × 2.34 = 775.5 unidades
∴ M * = 776 unidades
17
18. Gestão de Stocks
Notas extras
Quantidade em falta η ( x, M ) ,
Gestão e Teoria da Decisão
( com x procura no tempo de reposição e M
nível de encomenda ou de enchimento )
se x ≤ M
0,
( x − M ), se x > M
η ( x, M ) =
Quantidade média em falta ( Procura X variável aleatória: X ∼ N
η (M ) = ∫
∞
( x − M ) f ( x)dx = σ X ξ ( z ) ,
M
com z =
( µ X ,σ X ) )
M − µX
σX
Função perdas normal ξ ( u ) estandardizada :
1. ξ ( u ) = ∫
∞
u
( x − u )φ ( x)dx = φ ( u ) − u (1 − Φ ( u ) ) ,
2. ξ ( −u ) = ξ ( u ) + u
2
2
u
u
−
1 − u2
1
e , Φ ( u ) = ∫ φ ( x)dx, φ '(u ) = −
ue 2 = −uφ (u )
φ (u ) =
−∞
2π
2π
1.ξ ( u ) = ∫
∞
u
∞
∞
∞
( x − u ) φ ( x)dx = ∫u xφ ( x)dx − u ∫u φ ( x)dx = − ∫u φ '( x)dx − u
(1 − ∫
u
−∞
φ ( x)dx
)
∞
= ( −φ ( x) ) u − u (1 − Φ (u ) ) = lim φ ( x) − (−φ (u )) − u (1 − Φ (u ) ) = 0 + φ (u ) − u (1 − Φ ( u ) ) = φ (u ) − u (1 − Φ ( u ) )
x →∞
(
)
2.ξ ( −u ) = φ ( −u ) + u (1 − Φ ( −u ) ) = φ ( u ) + u 1 − (1 − Φ ( u ) ) = φ ( u ) + u + (1 − Φ ( u ) ) = ξ ( u ) + u
c.q.d .
c.q.d .
18