Aula pb 6_resumo

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Aula pb 6_resumo

  1. 1. Gestão de Stocks Exercício 1 – Enunciado Modelos determinísticos Gestão e Teoria da Decisão Uma empresa de construção civil mantém um stock de um dado material de construção B com que pretende satisfazer as necessidades de diversas obras que tem em curso. Estas necessidades rondam as 1000 unidades de B por dia e esta empresa tem vindo a adoptar como regra de gestão, colocar encomendas deste material de forma a que estas sejam recebidas de 15 em 15 dias. Cada unidade de B custa à empresa 1.46€, e manter em stock uma unidade de B durante um ano custa à empresa 5% do capital empregue na compra dessa unidade. O Luís, recém-licenciado pelo IST e contratado por esta empresa, apercebeu-se de que as técnicas de Gestão de Stocks poderiam contribuir para a melhoria da gestão do stock deste material. Analisando as contas da empresa, ele pôde estimar que a colocação, transporte e recepção de uma encomenda de B acarretam uma despesa fixa de 160€ independentemente da dimensão do lote. Se estivesse no lugar do Luís, que sugestões apresentaria à empresa para melhorar a gestão do stock de B? Procure quantificar os benefícios que resultariam da aceitação da sugestão e explique claramente os critérios em que se baseia e as hipóteses que admitiu. NOTA: Considere que 1 ano equivale a 365 dias. 1
  2. 2. Gestão de Stocks Gestão e Teoria da Decisão Modelos determinísticos 2 Slide de aulas teóricas sobre Logística e Gestão de Stocks
  3. 3. Gestão de Stocks Gestão e Teoria da Decisão Modelos determinísticos 3 Slide de aulas teóricas sobre Logística e Gestão de Stocks
  4. 4. Gestão de Stocks Gestão e Teoria da Decisão Modelos determinísticos 4 Slide de aulas teóricas sobre Logística e Gestão de Stocks
  5. 5. Gestão de Stocks Gestão e Teoria da Decisão Modelos determinísticos 5 Slide de aulas teóricas sobre Logística e Gestão de Stocks
  6. 6. Gestão de Stocks Exercício 1 - Resolução Modelos determinísticos Gestão e Teoria da Decisão Dados do problema (1 ano = 365 dias) Taxa de procura, Custo de encomenda, Custo de aquisição, Custo de posse, Período do ciclo, r A c1 c2 T = 1000 unidades/dia = 365000 unidades/ano = 160€/encomenda (ciclo) = 1.46€/unidade = 0.05 × 1.46 €/unidade/ano = 15 dias = 15/365 ano Hipóteses (aproximações) do modelo de reposição instantânea e penúria/rotura não permitida 1. Taxa de procura r constante; 2. Quantidade encomendada por ciclo, Q, para reposição do nível do stock/inventário, I(t), chega, sob a forma de um lote único, quando I(t) = 0; 3. Rotura do stock não é permitida. 4. Condição de equilíbrio dinâmico (ciclos estacionários): Tr = Q Função critério/objectivo a minimizar: Custos totais por unidade de tempo (€/ano): K(Q) 6
  7. 7. Gestão de Stocks Exercício 1 - Resolução Modelos determinísticos Gestão e Teoria da Decisão Custos totais por ciclo (€ / ciclo)  Q2  Q  Q  Q Q CT (Q) = A + c2  T  + c1Q = A + c2  T  + c1Q = A + c2   + c1Q  + c1Q = A + c2  2r  2  2  2 r  Número de ciclos por unidade de tempo (ciclos / ano) NCiclos = 1 r = T Q I(t) Tr = Q ⇒ T = Ciclo 1 Q r Ciclo 2 ... 1 Q r Função objectivo : Custos totais por unidade de tempo (€ / ano) K ( Q ) = CT (Q) × NCiclos 0 T T ... t   1  A Q A Ar Q  Q Q Q =  A + c2  T  + c1Q    = + c2   + c1 = + c2   + c1r = + c2   + c1r T Q Q 2  2 2 2   T  T   r K (Q ) = Ar Q + c2   + c1r Q 2 7
  8. 8. Gestão de Stocks Exercício 1 - Resolução Modelos determinísticos Problema de optimização min. K ( Q ) = Gestão e Teoria da Decisão Q Ar Q + c2   + c1r Q 2 Condições suficientes para minimizador , Q* , da função K ( Q )  dK ( Q )  Ar c 2 Ar = 0 ⇒ − *2 + 2 = 0 ⇒ Q* = +   Q 2 c2  dQ  Q =Q*  2 2 Ar 2c  d K (Q )  > 0 ⇒ *3 = *2 > 0   dQ 2 Q Q  Q =Q*  Solução 2 Ar Q* 2A * Q =+ , T = = c2 r c2 r * Ar Q* K ( Q ) = * + c2 + c1r Q 2 * = 2 A2 r 2 c2 2 Arc2 + + c1r = 2 Ar 4c2 = 2 Arc2 + c1r Arc2 + 2 Arc2 Arc2 + c1r = 2 + c1r 2 2 8
  9. 9. Gestão de Stocks Gestão e Teoria da Decisão Exercício 1 - Resolução Modelos determinísticos Cálculos 1. Política (solução) corrente 15 T = ano 365 15 Q =T ×r = × 365000 = 15000 unidades/ciclo (unidades/encomenda) 365 Ar Q K (Q ) = + c2 + c1r = 537341€/ano (c1r = 532900 €/ano) Q 2 2. Política (solução) optimal Q* = + 2 Ar 2 × 160 × 365000 =+ = 40000 unidades/encomenda 0.05 × 1.46 c2 Q* 40000 Ar Q* * T = = = 0.1096 ano = 40 dias, K ( Q ) = * + c2 + c1r = 535820 €/ano r 365000 Q 2 * 3.Melhoria ∆K ∆K = K ( Q* ) − K ( Q ) = 535820 − 537341 = − 1521 €/ano 9
  10. 10. Gestão de Stocks Gestão e Teoria da Decisão Exercício 2 - Enunciado Modelos determinísticos Considere um estaleiro de construção metálica em que existem diversos equipamentos electromecânicos que incluem numerosos componentes de certo tipo XPTO, cujo custo unitário de aquisição é de 100 €. Estes componentes avariam-se com alguma frequência, estimando-se que o número de unidades avariadas semanalmente, que devem ser substituídas por outras novas, é aproximadamente constante e igual a 10 peças. O custo de rotura resultante de faltar um componente durante uma semana é de 150 €, enquanto o custo de posse semanal por peça é de cerca de 10€. O custo fixo de encomenda é estimado em 500 €. Formule o problema da gestão do stock dos componentes sobressalentes e calcule o intervalo de tempo óptimo entre encomendas, bem como a capacidade de armazenagem necessária. 10
  11. 11. Gestão de Stocks Exercício 2 - Resolução Modelos determinísticos Problema de reposição instantânea, penúria permitida. Gestão e Teoria da Decisão Dados do problema Taxa de procura, Custo de encomenda, Custo de aquisição, Custo de posse, Custo de rotura, r A c1 c2 c3 = 10 unidades/semana = 500€/encomenda (ciclo) = 100 €/unidade = 10 €/unidade/semana = 150 €/unidade/semana Hipóteses (aproximações) do modelo de reposição instantânea e penúria/rotura permitida 1. Taxa de procura r constante; 2. Quantidade encomendada por ciclo, Q, para reposição do nível do stock/inventário, I(t), chega, sob a forma de um lote único, quando I(t) = 0; 3. Rotura do stock é permitida com máximo de S encomendas em carteira a satisfazer imediatamente após recepção de nova encomenda. 4. Condição de equilíbrio dinâmico (ciclos estacionários): Tr = Q Função critério/objectivo a minimizar: Custos totais por unidade de tempo (€/ano): K(Q, S) 11
  12. 12. Gestão de Stocks Exercício 2 - Resolução Modelos determinísticos a) Função critério/objectivo a minimizar: Custos totais por unidade de tempo (€/semana): K(Q,S) I(t) Ciclo 2 1 Q-S T2 r = S r T1 c T2 0 Tr = Q ... Q c Gestão e Teoria da Decisão Ciclo 1 T1r = ( Q − S ) ⇒ T1 = ... S (Q − S ) r S r Q ⇒T = r ⇒ T2 = t T=T1+T2 1.Custo total por ciclo, CT ( Q, S ) 2  (Q − S )   (Q − S ) (Q − S )  (Q − S ) + c S 2 + c Q S  S S CT ( Q, S ) = A + c2  T1  + c3  T2  + c1Q = A + c2   + c3  3 1  + c1Q = A + c2 r 2r 2r 2  2 r  2   2  1 r 2.No. ciclos por unidade de tempo: NCiclos = = T Q 3.Custo total por unidade de tempo, K ( Q, S ) 2 2  ( Q − S ) + c S 2 + c Q  r = Ar + c ( Q − S ) + c S 2 + c r K ( Q, S ) = CT ( Q, S ) × NCiclos =  A + c2 3 1  2 3 1   2r 2r 2Q 2Q  Q Q 12
  13. 13. Gestão de Stocks Exercício 2 - Resolução Modelos determinísticos Gestão e Teoria da Decisão Problema de gestão de stocks - Problema de optimização :  ( Q − S )2  Ar S2 min. K (Q, S ) = + c2  +cr +c Q, S  2Q  3 2Q 1 Q   Condições suficientes para minimizador , ( Q* , S * ) , da função K ( Q, S )  ∂CT ( Q, S )  2  =0 Q* − S * )  ( cAr S *2 S*  − ∂Q =Q − c2 − c3 *2 + c3 * = 0  Q=S **  S   Q*2 Q 2Q*2 2Q  ⇒   ∂CT ( Q, S )   c2Q* − ( c2 + c3 ) S * =0 =0   − ∂S Q =Q* Q*  S =S *      Hessiana definida positiva 13
  14. 14. Gestão de Stocks Exercício 2 - Resolução Modelos determinísticos Gestão e Teoria da Decisão Problema de optimização  ( Q − S )2  Ar S2 min. K (Q, S ) = + c2  +cr +c Q, S  2Q  3 2Q 1 Q   Solução Q* = + 2 Ar  c2 + c3    c2  c3  S* = + 2 Ar  c2   c2  *   = Q c3  c2 + c3   c2 + c3  Q* Q* − S * S* * * T = , T1 = , T2 = r r r  ( Q* − S * )2  *2 Ar * *   + c3 S + c1r K (Q , S ) = * + c2  2Q*  Q 2Q*   * 14
  15. 15. Gestão de Stocks Exercício 2 - Resolução Modelos determinísticos Cálculos Gestão e Teoria da Decisão Q* = + 2 Ar  c2 + c3  2 × 500 × 10  10 + 150  =     = 32.66 unidades/encomenda (33) c2  c3  10 150   S* = + 2 Ar  c2  2 × 500 × 10  10   =   = 2.04 unidades em carteira/falta (máximo)/ciclo (2) 150 10 + 150  c3  c2 + c3   Q* 33 T = = = 3.3 semanas = 23 dias r 10  ( Q* − S * ) 2  Ar S *2 * *  + c3 K (Q , S ) = * + c2  + c1r *  2Q  Q 2Q*   *  312  500 × 10 22 ≅ + 10   + 150 + 100 × 10 =1306 € / semana 33 66  66  Capacidade de armazenagem: Q* − S * = 33 − 2 = 31 unidades 15
  16. 16. Gestão de Stocks Gestão e Teoria da Decisão Exercício 8 - Enunciado Modelos determinísticos A BetoNice recebe por transporte ferroviário, nas suas instalações, a areia que incorpora na sua produção de betão, com um consumo que ronda as 300 toneladas anuais. A BetoNice foi recentemente contactada por um novo fornecedor que lhe propôs o fornecimento de uma areia de primeira qualidade ao preço de 300€ a tonelada. Face a esta proposta, a Direcção Comercial decidiu avaliar os custos associados ao aprovisionamento e manutenção de stocks de areia. Para o efeito, é já conhecido o custo fixo associado a uma encomenda (400€), o custo anual de posse (266€ por tonelada) e os custos de transporte, de 1500€ por vagão necessário ao transporte (cada vagão transporta um máximo de 50 toneladas de areia). a) Determine a quantidade óptima a encomendar ao novo fornecedor e o correspondente intervalo de tempo entre encomendas. b) Face a este valor, a Direcção Comercial decidiu continuar as negociações com o novo fornecedor. Nestas, o fornecedor aceitou efectuar um desconto de 15% no preço da areia desde que fosse encomendado um mínimo de 100 ton de cada vez. Com estas novas condições que quantidade deve ser encomendada? 16
  17. 17. Gestão de Stocks Exercício 8 - Resolução Modelos determinísticos a) Determine a quantidade óptima a encomendar ao novo fornecedor e o correspondente intervalo de tempo entre encomendas. Gestão e Teoria da Decisão Dados do problema Taxa de procura, r = 300 ton/ano Proposta de novo fornecedor Custo de aquisição, Custo de posse, Custo fixo de encomenda, Custo de transporte, c1 c2 A a = 300 €/ton = 266 €/ton/ano = 400€/encomenda (ciclo) = 1500 € /vagão, 1vagão = 50 ton. Hipóteses (aproximações) do modelo de reposição instantânea e penúria/rotura não permitida 1. Taxa de procura r constante; 2. Quantidade encomendada por ciclo, Q, para reposição do nível do stock/inventário, I(t), chega, sob a forma de um lote único, quando I(t) = 0; 3. Rotura do stock não é permitida. 4. Condição de equilíbrio dinâmico (ciclos estacionários): Tr = Q 17
  18. 18. Gestão de Stocks Exercício 8 - Resolução Modelos determinísticos a) Determine a quantidade óptima a encomendar ao novo fornecedor e o correspondente intervalo de tempo entre encomendas. Gestão e Teoria da Decisão Fixado o número, n (n=1,2,...), de vagões, o custo fixo, An, é igual a A + n × a, e a quantidade óptima a encomendar, Qn*, é a solução do seguinte problema de optimização com variável limitada: min. Q K ( Q; n ) = An r Q + c2 + c1r , onde An = A + n × a 2 Q sujeita a : 50 ( n − 1) < Q ≤ 50n Propriedades das funções K ( Q; n ) , vidé figura no slide seguinte : 1. K ( Q; n ) , ∀n ∈ ℕ, são funções convexas para todo o Q > 0 ( d 2 K dQ 2 > 0, ∀Q > 0); * 2. K ( Q; n ) , ∀n ∈ ℕ, têm minimizadores globais únicos não constrangidos, Qn = 2 An r ; c2 3. K ( Q; n1 ) < K ( Q; n2 ) , ∀Q > 0 ∧ ( n1 < n2 , n1 , n1 ∈ ℕ ) ; * * * * 4. K n1 < K n2 , ∀n1 < n2 , onde K n = K ( Qn ; n ) , o valor optimal da função K ( Q; n ) ; * * * 5. K ( Q; n ) > K ( Qn ; n ) , ∀Q ≠ Qn ( por definição de minimizador global único, Qn ) . 18
  19. 19. Gestão de Stocks Exercício 8 - Resolução Modelos determinísticos Gestão e Teoria da Decisão a) Determine a quantidade óptima a encomendar ao novo fornecedor e o correspondente intervalo de tempo entre encomendas. n=3 n=2 Minimizador constrangido : min ( Q1* ,50 ) * Minimizadores não constrangidos : Qn = 2 ( A + na ) r c2 n =1 0 < Q ≤ 50 50 < Q ≤ 100 100 < Q ≤ 150 19
  20. 20. Gestão de Stocks Exercício 8 - Resolução Modelos determinísticos Gestão e Teoria da Decisão a) Determine a quantidade óptima a encomendar ao novo fornecedor e o correspondente intervalo de tempo entre encomendas. Algoritmo Para n = 1,2,... Resolver problema de optimização com variável limitada min. Q K ( Q; n ) = ( A + n × a)r + c Q Q + c1r 2 2 sujeita a: 50 ( n − 1) < Q ≤ 50n Solução 2( A + n × a) r c2 * Qn = * * * Se 50 ( n − 1) < Qn ≤ 50n, K n = K ( Qn ; n ) = ( A + n × a)r + c * Qn * Qn + c1r , M = n, Terminar 2 2 Senão * * * Se Qn > 50n, Qn = 50n, Senão Qn = 50 ( n − 1) * * K n = K ( Qn ; n ) = ( caso Q * n ≤ 50 ( n − 1) ) , Fim ( A + n × a)r + c * Qn * Qn + c1r 2 2 Fim Fim de Para * n* =arg min (K n , n = 1,2,.., M ) n 20
  21. 21. Gestão de Stocks Exercício 8 - Resolução Modelos determinísticos a) Determine a quantidade óptima a encomendar ao novo fornecedor e o correspondente intervalo de tempo entre encomendas. Cálculos Gestão e Teoria da Decisão n = 1, Q1* = 2( A + a) r = 65 ton, Q1* > 50 c2 * n = 2, Q2 = 2 ( A + 2a ) r * * * = 87 ton, 50<Q2 ≤ 100 ⇒ Q2 = 87 ton, K 2 = ( 23295 + 90000 ) € / ano, (Terminar) c2 ⇒ Q1* = 50 ton, K1* = (18050 + 90000 ) € / ano Solução Q1* 50 1 n = arg min ( K , n = 1, 2 ) = 1, Q = 50 ton, K = (18050 + 90000 ) € / ano, T = = = ano (2meses ) r 300 6 * * n * 1 * 1 * N.B. constante c1r = 90000 21
  22. 22. Gestão de Stocks Exercício 8 - Resolução Modelos determinísticos Gestão e Teoria da Decisão b) Face a este valor, a Direcção Comercial decidiu continuar as negociações com o novo fornecedor. Nestas, o fornecedor aceitou efectuar um desconto de 15% no preço da areia desde que fosse encomendado um mínimo de 100 ton de cada vez. Com estas novas condições que quantidade deve ser encomendada? Novo custo de aquisição, c1 = 0.85×300 €/ton = 255 €/ton, para Q ≥ 100 ton (n ≥ 2) Problema(s) de optimização Para n = 2,3,... min. Q K ( Q; n ) = ( A + n × a)r + c 2 Q Q + c1r 2 sujeita a: Q ≥ 100, 50 ( n − 1) ≤ Q ≤ 50n Solução 2( A + n × a) r c2 * Qn = Se Q ≥ 100, K = K ( Q ; n ) * n * n * n Senão Q = 100 * n ( caso Q * n ( A + n × a)r + c = * Qn + c1r , M = n, Terminar 2 2 * Qn < 100 ) , K = K ( Q ; n ) * n * n ( A + n × a)r + c = * Qn * Qn + c1r 2 2 Fim Fim de Para * n* =arg min (K n , n = 1,2,.., M ) n 22
  23. 23. Gestão de Stocks Exercício 8 - Resolução Modelos determinísticos Gestão e Teoria da Decisão b) Face a este valor, a Direcção Comercial decidiu continuar as negociações com o novo fornecedor. Nestas, o fornecedor aceitou.... Constrangimentos : n = 2 : Q ≥ 100, 50 < Q ≤ 100 ≡ Q = 100 n = 3; Q ≥ 100, 100 < Q ≤ 150 ≡ 100 < Q ≤ 150 n=3 * Minimizador constrangido : max (100,Q2 ) n=2 * Minimizadores não constrangidos : Qn = 100 < Q ≤ 150 2 ( A + na ) r c2 23
  24. 24. Gestão de Stocks Exercício 8 - Resolução Modelos determinísticos Gestão e Teoria da Decisão b) Face a este valor, a Direcção Comercial decidiu continuar as negociações com o novo fornecedor. Nestas, o fornecedor aceitou efectuar um desconto de 15% no preço da areia desde que fosse encomendado um mínimo de 100 ton de cada vez. Com estas novas condições que quantidade deve ser encomendada? Novo custo de aquisição, c1 = 0.85×300 €/ton = 255 €/ton, para Q ≥ 100 ton (n ≥ 2) Cálculos * n = 2, Q2 = 2 ( A + 2a ) r * * * = 87 ton, Q2 < 100 ⇒ Q2 = 100 ton, K 2 = ( 23500 + 76500 ) € / ano c2 * n = 3, Q3 = 2 ( A + 3a ) r * * * = 105 ton, Q3 > 100 ⇒ Q3 = 105 ton, K 3 = ( 23679 + 76500 ) € / ano, (Terminar) c2 Solução * * * n* = arg min ( K n , n = 2,3) = 2, Q2 = 100 ton, K 2 = ( 23500 + 76500 ) € / ano, T * = * Q2 100 1 = = ano (4 meses) r 300 3 N.B. constante c1r = 76500 Comparação com alínea a ) a ) c1 = 300 €/ton, Q1* = 50 ton, K1* = (18050 + 90000 ) € / ano * * b) c1 = 255 €/ton, Q2 = 100 ton, K 2 = ( 23500 + 76500 ) € / ano * ∆K = K 2 − K1* = −8050 € / ano(poupança com a solução b, desconto de 15% no custo de aquisição) 24
  25. 25. Gestão de Stocks Modelos determinísticos Anexo : Encomenda simultânea de dois artigos A e B Gestão e Teoria da Decisão Custos totais por ciclo (€ / ciclo) Q  Q  CT (QA , QB ) = A + c2 A  A T  + c2 B  B T  + c1 AQA + c1BQB  2   2  Q Q r T = A = B ⇒ QA = QB A rA rB rB Q r  r Q  CT (QB ) = A + c2 A  B A T  + c2 B  B T  + c1 AQB A + c1BQB rB  2   2rB  Número de ciclos por unidade de tempo (ciclos / ano) NCiclos = 1 r r = = B T Q QB Função objectivo : Custos totais por unidade de tempo (€ / ano) K ( QB ) = CT (QB ) × NCiclos = = Q r  r CT (QB ) A Q  c Q  = + c2 A  B A  + c2 B  B  + c1 AQB A +  1B B  T T rBT  T   2   2rB  Q r  c Q r  ArB r r Q  + c2 A  B A  + c2 B  B  + c1 AQB A B +  1B B B  QB rB QB  QB   2   2rB  K ( QB ) =  Q  ArB   rA  +  c2 A   + c2 B   B  + c1 ArA + c1B rB QB   rB   2  25

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