Aula pb 4_resumo

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Aula pb 4_resumo

  1. 1. Gestão de Projectos Exercício 7 - Enunciado Fernando Durão Gestão e Teoria da Decisão 7 - Considere um empreendimento definido pelas actividades A a E para as quais as precedências directas, durações médias (em dias), e variâncias (em dias2) são indicadas no quadro seguinte: Actividade A B C D E Precedência A B C Duração média 10 20 16 30 25 Variância 4 23 4 36 8 a) Trace a rede de actividades, determine o caminho crítico e respectiva duração média b) Utilizando o método do PERT, calcule a probabilidade de o empreendimento durar: b1) menos de 50 dias b2) mais de 52 dias b3) entre 50 e 52 dias c) Calcule de forma exacta as probabilidades pedidas na alínea anterior e aproveite para discutir as hipóteses simplificativas admitidas pelo PERT. d) Qual a probabilidade do caminho crítico ser outro diferente do determinado na alínea a) ? 1
  2. 2. Gestão de Projectos Exercício 7 - Resolução Fernando Durão i 2 C-16 Rótulo– µdi , j (FTi,j) j 4 E-25 Gestão e Teoria da Decisão a) Trace a rede de actividades, determine o caminho crítico e respectiva duração média 1 3 D-30 (1) 5 Rede de actividades 2
  3. 3. Gestão de Projectos Exercício 7 - Resolução Fernando Durão a) Trace a rede de actividades, determine o caminho crítico e respectiva duração média 10 C-16 (0) 2 0 26 10 TMTi Rótulo– µd i , j (FTi,j) i 26 TMCj TMTj j 4 Caminho crítico (C.C.): 1, A, 2, C, 4, E, 5 (A – C – E) 0 E-25 (0) Gestão e Teoria da Decisão TMCi 1 Duração total, DT , do projecto (variável aleatória) D-30 (1) 3 20 21 DT = d A + dC + d E 5 51 1) Média da distribuição da duração total do projecto, µ DT : 51 µ D = µ d + µ d + µd ; T A C µ D = 10 + 16 + 25 = 51 dias E T 2 2) Variância da distribuição da duração total do projecto, σ DT : 2 2 σ D = σ 2 d + σ 2 d + σ 2 d ; σ D = 4 + 4 + 8 = 16 dias 2 T A C E T 3) Distribuição da duração total do projecto (T .L.C.): a DT ∼ N (µ DT ) ,σ DT ; a DT ∼ N ( 51, 4 ) 3
  4. 4. Gestão de Projectos Exercício 7 - Resolução Fernando Durão b) Utilizando o método do PERT, calcule a probabilidade de o empreendimento durar: b1) menos de 50 dias Gestão e Teoria da Decisão P ( DT < x ) = P ( Z < z ) , com x = 50 dias, Z = DT − µ DT e z= σD T x − µ DT σD = T P(Z < z) = Φ(z) 50 − 51 = −0.25 4 0 .4 0 1 3 P ( Z < −0.25 ) = Φ ( −0.25 ) = 1 − Φ ( 0.25 ) = 1 − 0.5987 = b2) mais de 52 dias P ( DT > x ) = P ( Z > z ) , com x = 52 dias, Z = DT − µ DT σD e z= x − µ DT T P(Z > z) = 1− P (Z ≤ z) = 1− Φ ( z) P ( Z > 0.25 ) = 1 − P ( Z ≤ 0.25 ) = 1 − Φ ( 0.25 ) = 1 − 0.5987 = σD T = 52 − 51 = 0.25 4 0 .4 0 1 3 b3) entre 50 e 52 dias P ( x1 < DT < x2 ) = P ( z1 < Z < z2 ) , com x1 = 50 dias, x2 = 52 dias Z= DT − µ DT σD T , z1 = x1 − µ DT σD T = x2 − µ DT 52 − 51 50 − 51 = −0.25, z2 = = = 0.25 σ DT 4 4 P ( z1 < Z < z2 ) = P ( Z < z2 ) − P ( Z < z1 ) = Φ ( z2 ) − Φ ( z1 ) P ( −0.25 < Z < 0.25 ) = Φ ( 0.25 ) − (1 − Φ ( 0.25 ) ) = 2 × Φ ( 0.25 ) − 1 0 .1 9 7 4 = 2 × 0.5987 − 1 = 4
  5. 5. Gestão de Projectos Exercício 7 - Resolução Fernando Durão TMCi 10 26 10 2 0 C-16 (0) 3 D-30 (1) 26 TMTi i TMCj Rótulo– µd i , j (FTi,j) TMTj j 4 0 E-25 (0) Gestão e Teoria da Decisão c) Calcule de forma mais exacta as probabilidades pedidas na alínea anterior e aproveite para discutir as hipóteses simplificativas admitidas pelo PERT. 1 20 21 5 51 51 Caminhos (sequências de arcos) de nó 1 para nó 5 I) A, C, E (Caminho crítico) II) B, D (Caminho subcrítico) Caminhos sem actividades comuns 5
  6. 6. Gestão de Projectos Exercício 7 - Resolução Fernando Durão c) Calcule de forma mais exacta as probabilidades pedidas na alínea anterior e aproveite para discutir as hipóteses simplificativas admitidas pelo PERT. Gestão e Teoria da Decisão a) Médias das distribuições das durações dos caminhos I e II , µ DI e µ DII : µ D = µd + µ d + µ d = 10 + 16 + 25 = 51 dias I A C µ D = µd + µd II B E = 20 + 30 D = 50 dias 2 2 b) Variâncias das distribuições das durações dos caminhos I e II , σ DI e σ DII : 2 2 σ D = σ d2 + σ d2 + σ d = 4 + 4 + 8 = 16 dias 2 I A C E 2 σ D = σ d2 + σ d2 II B = 23 + 36 = 59 dias 2 D (σ (σ ) DI = 16 = 4 dias DII = 59 ≅ 7.68 dias ) c) Distribuições das durações dos caminhos I e II : a DI ∼ N (µ DI ) a a , σ DI , DI ∼ N ( 51, 4 ) ; DII ∼ N Note bem : DI ± DII ∼ N (µ DI ± µ DII , (σ 2 DI (µ DII 2 + σ DII ) a , σ DII , DII ∼ N ( 50, 7.68) )) d ) DI e DII são variáveis aleatórias independentes porque são somas distintas de variáveis aleatórias independentes (por hipótese ou aproximação), pelo que é válida a fórmula: P ( DI ∈ AI , DII ∈ AII ) = P ( DI ∈ AI ) P ( DII ∈ AII ) , AI e AII regiões / intervalos das variáveis DI e DII Note bem: Seja DT ,a duração total do projecto, então 1) DT ≤ x sse DI ≤ x e DII ≤ x; 2) DT ≥ x sse DI ≥ x ou DII ≥ x (ou inclusivo) 6
  7. 7. Gestão de Projectos Exercício 7 - Resolução Fernando Durão Gestão e Teoria da Decisão c) Calcule de forma mais exacta as probabilidades pedidas na alínea anterior e aproveite para discutir as hipóteses simplificativas admitidas pelo PERT. c1) menos de 50 dias P ( DT < x ) = P ( DI < x, DII < x ) = P ( DI < x ) P ( DII < x ) = P ( Z I < z I ) P ( Z II < z II ) , com x = 50 dias, Z I = DI − µ DI σD I , Z II = DII − µ DII σD II , zI = x − µ DI σD I = x − µ DII 50 − 50 50 − 51 = −0.25, zII = = = 0.0 4 7.68 σ DII P(Z < z) = Φ(z) P ( Z I < zI ) P ( Z II < z II ) = Φ ( z I ) Φ ( zII ) = Φ ( −0.25 ) Φ ( 0.00 ) = (1 − Φ ( 0.25 ) ) Φ ( 0.00 ) = (1 − 0.5987 ) × 0.5 ≅ 0 .2 0 0 7 Note bem : Comparando esta probabilidade com a obtida na alínea b1), pode - se concluir que : A probabilidade da duração do projecto ser inferior à duração do caminho crítico do método PERT, determinado pelas durações médias das actividades, é sobreestimada relativamente à probabilidade mais exacta, calculada tendo em conta caminhos alternativos com probabilidade significativa de se tornarem críticos. 7
  8. 8. Gestão de Projectos Exercício 7 - Resolução Fernando Durão c) Calcule de forma mais exacta as probabilidades pedidas na alínea anterior e aproveite para discutir as hipóteses simplificativas admitidas pelo PERT. Gestão e Teoria da Decisão c2) mais de 52 dias P ( DT > x ) = P ( DI > x ∨ DII > x ) = P ( DI > x ) + P ( DII > x ) − P ( DI > x, DII > x ) = P ( DI > x ) + P ( DII > x ) − P ( DI > x ) P ( DII > x ) = P ( Z I > z I ) + P ( Z II > z II ) − P ( Z I > zI ) P ( Z II > z II ) , com x = 52 dias, Z I = DI − µ DI σD I , Z II = DII − µ DII σD , zI = II x − µ DI σD I = x − µ DII 52 − 50 52 − 51 = 0.25, z II = = ≅ 0.26 4 σ DII 7.68 P ( Z I > z I ) + P ( Z II > z II ) − P ( Z I > z I ) P ( Z II > z II ) = (1 − P ( Z I ≤ z I ) ) + (1 − P ( Z II ≤ zII ) ) − (1 − P ( Z I ≤ z I ) ) (1 − P ( Z II ≤ z II ) ) = (1 − Φ ( z I ) ) + (1 − Φ ( z II ) ) − (1 − Φ ( z I ) ) (1 − Φ ( z II ) ) = (1 − Φ ( 0.25 ) ) + (1 − Φ ( 0.26 ) ) − (1 − Φ ( 0.25 ) ) (1 − Φ ( 0.26 ) ) 0 .6 3 9 2 = (1 − 0.5987 ) + (1 − 0.6026 ) − (1 − 0.5987 )(1 − 0.6026 ) = Note bem : Comparando esta probabilidade com a obtida na alínea b2), pode - se concluir que : A probabilidade da duração do projecto ser superior à duração do caminho crítico do método PERT, determinado pelas durações médias das actividades, é subestimada relativamente à probabilidade mais exacta, calculada tendo em conta caminhos alternativos com probabilidade significativa de se tornarem críticos. 8
  9. 9. Gestão de Projectos Exercício 7 - Resolução Fernando Durão Gestão e Teoria da Decisão c) Calcule de forma mais exacta as probabilidades pedidas na alínea anterior e aproveite para discutir as hipóteses simplificativas admitidas pelo PERT. c3) entre 50 e 52 dias P ( x1 < DT < x2 ) = P ( DT < x2 ) − P ( DT < x1 ) = P ( DT < 52 ) − P ( DT < 50 ) P ( DT < 52 ) = 1 − P ( DT > 52 ) , com P ( DT > 52 ) = 0.6392 ( sub − alínea c2 ) P ( DT < 52 ) = 1 − P ( DT > 52 ) = 1 − 0.6392 = 0.3608 P ( DT < 50 ) = 0.2007 ( sub − alínea c1 ) P ( 50 < DT < 52 ) = P ( DT < 52 ) − P ( DT < 50 ) = 0.3608 − 0.2007 ≅ 0 .1 6 0 1 9
  10. 10. Gestão de Projectos Exercício 7 - Resolução Fernando Durão d) Qual a probabilidade do caminho crítico ser outro diferente do determinado na alínea a) ? Gestão e Teoria da Decisão P ( DII > DI ) = P ( ( DII − DI ) > 0 ) = P ( Z > z ) , com Z = ( DII − DI ) − ( µ D − µ DI II 2 2 σD +σD II I ) e z = 0 − (µ DII − µ DII 2 2 σD +σD II ) = 0 − ( 50 − 51) = 59 + 16 1 ≅ 0.1155 8.66 I P ( Z > z ) = 1 − P ( Z ≤ z ) = 1 − Φ ( z ) = 1 − Φ ( 0.1155 ) ≅ 1 − 0.5458 = 0.4540 Φ ( z ) ≅ Φ ( z1 ) + Φ ( z2 ) − Φ ( z1 ) ( z − z1 ) Interpolação linear z2 − z1 Φ ( 0.1155 ) ≅ Φ ( 0.11) + Φ ( 0.12 ) − Φ ( 0.11) 0.5478 − 0.5438 0.0055 = 0.5460 ( 0.1155 − 0.11) = 0.5438 + 0.12 − 0.11 0.01 10
  11. 11. Gestão de Projectos Exercício 8 - Enunciado Fernando Durão Gestão e Teoria da Decisão Foi nomeado coordenador de determinado estudo que é constituído, de acordo com a metodologia adoptada, por 11 actividades cujas durações médias (em dias) e variâncias (em dias2) se apresentam a seguir: Actividade A B C D E F G H I J K Precedência C, E e H G I D B, C, E e H G, D D K I Duração Média Variância 21 8 27 9 14 6 15 0 25 8 14 5 20 7 22 7 19 2 21 7 13 4 a) Em termos médios, qual a duração mínima para a execução deste estudo e indique quais as actividades críticas ? b) Sabe-se que a actividade G tem uma duração que varia aleatoriamente entre um mínimo de 16 dias e um máximo de 28 dias. Considerando para as restantes actividades as durações médias indicadas no quadro acima, analise as eventuais alterações do caminho crítico conforme a duração da actividade G percorre o seu domínio de variação. c) Qual a probabilidade de a actividade J se tornar crítica ? d) Dada a importância deste estudo, se ele só estiver concluído para além de 3 dias depois do valor determinado na a), haverá uma multa de 100 000 €. d1) Quanto estaria disposto a pagar por uma metodologia alternativa que garantisse a conclusão do estudo sem multa. d2) Se o custo desta metodologia alternativa fosse de 30 000 €, aceitaria ? 11
  12. 12. Gestão de Projectos Exercício 8 - Resolução Fernando Durão Gestão e Teoria da Decisão Tabela com actividades reordenadas Actividade D G B E H I C K J A F Precedência G D G, D D I I K C, E e H B, C, E e H Duração Média Variância 15 0 20 7 27 9 25 8 22 7 19 2 14 6 13 4 21 7 21 8 14 5 12
  13. 13. Gestão de Projectos Exercício 8 - Resolução Fernando Durão i I-19 7 1 6 H-22 5 3 B-27 Rótulo– µd i , j (FTi,j) j 4 K-13 8 A-21 9 Rede de actividades J-21 2 C-14 Gestão e Teoria da Decisão a) Em termos médios, qual a duração mínima para a execução deste estudo e indique quais as actividades críticas ? 13
  14. 14. Gestão de Projectos Exercício 8 - Resolução Fernando Durão a) Em termos médios, qual a duração mínima para a execução deste estudo e indique quais as actividades críticas ? TMTi i 15 15 34 I-19 (0) 2 TMCj Rótulo– µd i , j (FTi,j) 47 K-13 (1) 7 TMTj j 48 8 J-21 (1) 0 34 C-14 (0) (11) 0 1 H-22 (6) 6 26 48 (6) 20 B-27 (8) 3 20 26 A-21 (0) 5 9 69 69 48 (7) Gestão e Teoria da Decisão TMCi 4 48 55 Rede de actividades com Tempos Mais Cedo (TMC), Tempos Mais Tarde (TMT) dos eventos e folgas totais das 14 actividades calculados
  15. 15. Gestão de Projectos Exercício 8 - Resolução Fernando Durão a) Em termos médios, qual a duração mínima para a execução deste estudo e indique quais as actividades críticas ? TMTi 15 15 34 I-19 (0) 2 34 47 K-13 (1) 7 TMTj j 48 8 J-21 (1) C-14 (0) 0 TMCj Rótulo– µd i , j (FTi,j) i (11) 0 1 H-22 (6) 6 26 48 (6) 20 B-27 (8) 3 20 26 A-21 (0) 5 (7) Gestão e Teoria da Decisão TMCi 9 69 48 Média da dsitribuição da duração total do projecto, µ DT : 4 µ D = µ d + µd + µd + µ d T 48 69 55 D I C A µ D = 15 + 19 + 14 + 21 = 69 dias T Rede de actividades com identificação do caminho crítico: 1, D , 2, I, 7, C, 5, A, 9 15
  16. 16. Gestão de Projectos Exercício 8 - Resolução Fernando Durão Gestão e Teoria da Decisão b) Sabe-se que a actividade G tem uma duração que varia aleatoriamente entre um mínimo de 16 dias e um máximo de 28 dias. Considerando para as restantes actividades as durações médias indicadas no quadro acima, analise as eventuais alterações do caminho crítico conforme a duração da actividade G percorre o seu domínio de variação. 16 ≤ dG ≤ 28, FTG = 6, dG = 20 a) 16 ≤ dG < 26, caminmho crítico único : D, I , C , A b) dG = 26, dois caminhos críticos : D, I , C , A e G, H , A c) 26 < dG ≤ 28, caminho crítico único: G, H , A 16
  17. 17. Gestão de Projectos Exercício 8 - Resolução Fernando Durão Gestão e Teoria da Decisão c) Qual a probabilidade de a actividade J se tornar crítica ? A actividade J pode tornar-se crítica se e só se o único caminho de nó 1 (evento início do projecto) para o nó 9 (evento conclusão do projecto) que inclui a actividade J, consistindo da sequência das actividades D-I-K-J, se tornar crítico. Com excepção do caminho crítico D-I-C-A (tomando como durações das actividades as suas durações médias) e do caminho subcrítico que inclui a actividade J (caminho D-I-K-J), todos os demais caminhos de nó 1 para nó 9, consistem de sequências de actividades caracterizadas por folgas totais que se podem considerar elevadas/significativas quando comparadas com os desvios padrão associados às distribuições das durações. Como aproximação, a resposta à questão fica assim reduzida ao cálculo da probabilidade da duração total, DII, do caminho subcrítico D-I-K-J, igualar ou exceder a duração total, DI, do caminho crítico D-I-C-A. Note, contudo, que as duas durações totais, DII e DI, não são somas distintas de variáveis aleatórias independentes (as durações das actividades). Mas a diferença das duas durações totais é uma soma algébrica de variáveis aleatórias independentes, permitindo invocar um dos Teoremas de Limite Central (Lindeberg-Feller). P( DII ≥ DI ) = P(d D + d I + d K + d J ≥ d D + d I + dC + d A ) = P(d D + d I + d K + d J − d D − d I − d C − d A ≥ 0) = P(d K + d J − dC − d A ≥ 0) 17
  18. 18. Gestão de Projectos Exercício 8 - Resolução Fernando Durão Gestão e Teoria da Decisão c) Qual a probabilidade de a actividade J se tornar crítica ? Segundo o Teorema de Limite Central (TLC de Lindeberg-Feller), a soma algébrica de n variáveis aleatórias independentes com médias e variâncias finitas é uma variável aleatória que tende assintoticamente para a distribuição Normal com média igual à soma algébrica das médias das variáveis aleatórias independentes e variância igual à soma das variâncias das variáveis aleatórias independentes. Pelo TLC , a soma S = ( d K + d J − dC − d A ) tem como distribuição de probabilidade aproximada a distribuição N ( µS , σ S ) , 2 2 2 2 2 com média µ S = µ d K + µ d J − µ dC − µ d A = − 1 e variância σ S = σ d K + σ d J + σ dC + σ d A = 25. a Em resumo S ~ N ( −1, 5). Assim P ( DII ≥ DI ) = P (d K + d J − dC − d A ≥ 0) = P ( S ≥ 0) = P ( Z ≥ z ) = 1 − P ( Z ≤ z ) = 1 − Φ ( z ), com Z = S − µS σS ez= 0 − µS σS = 0 − (−1) = 0.20 5 Concluindo (com cálculos) P( DII ≥ DI ) = P ( Z ≥ 0.20 ) = 1 − P ( Z ≤ 0.20 ) = 1 − Φ ( 0.20 ) = 1 − 0.5793 = 0.4207 18
  19. 19. Gestão de Projectos Exercício 8 - Resolução Fernando Durão Gestão e Teoria da Decisão d) Dada a importância deste estudo, se ele só estiver concluído para além de 3 dias depois do valor determinado na a), haverá uma multa de 100 000 €. d1) Quanto estaria disposto a pagar por uma metodologia alternativa que garantisse a conclusão do estudo sem multa. Introduzir uma nova variável aleatória (discreta), que podemos designar por M (de Multa), e definida como se segue: 0, P( M = 0) = P( DT ≤ DT + 3) M = 100000, P( M = 100000) = 1 − P( M = 0) = P( DT > DT + 3) DT = µ DT = 69 dias Média (ou valor esperado) de M , µ M , dada por µM =E ( M ) = ∑ xP( M = x) x ={0,100000} 2 Variância de M ,σ M , dada por 2 σ M =E {( M − E ( M )) } = ∑ ( x − E ( M )) 2 2 P( M = x) x ={0,100000} No âmbito da Estatística clássica, assente no paradigma da repetibilidade de uma experiência aleatória, para um número suficientemente elevado de experiências, teremos pago, em média, uma multa igual ao valor esperado da variável M, pelo que vale a pena pagar um custo adicional de até E(M) para garantir 19 a conclusão do projecto até 72 dias.
  20. 20. Gestão de Projectos Exercício 8 - Resolução Fernando Durão Gestão e Teoria da Decisão d) Dada a importância deste estudo, se ele só estiver concluído para além de 3 dias depois do valor determinado na a), haverá uma multa de 100 000 €. d1) Quanto estaria disposto a pagar por uma metodologia alternativa que garantisse a conclusão do estudo sem multa. Fazendo contas, tem-se; 1) Cálculo de P ( DT ≤ DT + 3) = P ( DT ≤ 72) P ( DT ≤ DT + 3) = P ( DT ≤ 72) = P ( Z ≤ z )= Φ ( z ) , com Z = DT − µ DT σD ez= T 72 − 69 = 0.75 4 P( DT ≤ 72) = Φ ( 0.75 ) =0.7734 2) Cálculo de P ( M = 0) e P ( M = 100000) P ( M = 0) = P ( DT ≤ 72) = 0.7734 P ( M = 100000) = 1 − P ( DT ≤ 72) = 0.2266 3) Cálculo de E ( M ) E ( M ) =0 × P ( M = 0) + 100000 × P( M = 100000) = 0 × 0.7734 + 100000 × 0.2266 = 2 2 6 6 0 € 2 4) Cálculo da variância de M ,σ M 2 2 2 2 2 σ M = ( 0 − 22660 ) P ( M = 0) + (100000 − 22660 ) P( M = x) = ( 0 − 22660 ) × 0.7734 + (100000 − 22660 ) × 0.2266 = 1733383678€ 2 2 σ M = σ M = 41634€ 20
  21. 21. Gestão de Projectos Exercício 8 - Resolução Fernando Durão Gestão e Teoria da Decisão d) Dada a importância deste estudo, se ele só estiver concluído para além de 3 dias depois do valor determinado na a), haverá uma multa de 100 000 €. d2) Se o custo desta metodologia alternativa fosse de 30 000 €, aceitaria ? Vimos da resolução das alíneas b e c do exercício no. 7 que a P(DT > x), calculada com base no caminho crítico determinado pelas durações médias das actividades, é subestimada face à probabilidade P’(DT > x) que tem também em consideração caminhos subcríticos com probabilidade significativa de se tornarem caminhos críticos. Para além do caminho crítico D-I-C-A (caminho I), o caminho subcrítico D-I-K-J (caminho II) tem probabilidade significativa (igual a 0.4207) de se tornar caminho crítico (vidé resolução da alínea c), pelo que se impõe a tentativa de cálculo mais exacto da probabilidade do acontecimento DT > 72 dias (ou do acontecimento complementar DT ≤ 72 dias). O procedimento é similar ao desenvolvido nas subalíneas c1 e c2 do exercício no. 7, com a importante diferença de as durações dos dois caminhos, DI e DII, não serem agora variáveis aleatórias independentes, porque as durações de duas actividades (D e I) serem comuns às somas de definição de DI e DII, 21
  22. 22. Gestão de Projectos Exercício 8 - Resolução Fernando Durão Gestão e Teoria da Decisão d) Dada a importância deste estudo, se ele só estiver concluído para além de 3 dias depois do valor determinado na a), haverá uma multa de 100 000 €. d2) Se o custo desta metodologia alternativa fosse de 30 000 €, aceitaria ? P ( DT > 72 ) = 1 − P ( DT ≤ 72 ) = 1 − P ( DI ≤ 72, DII ≤ 72 ) Contudo P ( DI ≤ 72, DII ≤ 72 ) ≠ P ( DI ≤ 72 ) × P ( DII ≤ 72 ) , devendo usar-se probabilidades condicionais P ( DI ≤ 72, DII ≤ 72 ) = P ( DI ≤ 72 | DII ≤ 72 ) P ( DII ≤ 72 ) = P ( DII ≤ 72 | DI ≤ 72 ) P ( DI ≤ 72 ) Substituindo P ( DI ≤ 72, DII ≤ 72 ) = P ( DII ≤ 72 | DI ≤ 72 ) P ( DI ≤ 72 ) < P ( DI ≤ 72 ) , pois 0 < P ( DII ≤ 72 | DI ≤ 72 ) < 1 (Ter presente que a correlação entre os DI e DII é claramente positiva) P ( DI ≤ 72, DII ≤ 72 ) = P ( DI ≤ 72 | DII ≤ 72 ) P ( DII ≤ 72 ) < P ( DII ≤ 72 ) , pois 0 < P ( DI ≤ 72 | DII ≤ 72 ) < 1 ∴ P ( DI ≤ 72, DII ≤ 72 ) < min ( P ( DI ≤ 72 ) , P ( DII ≤ 72 ) ) e P ( DT > 72 ) = 1 − P ( DI ≤ 72, DII ≤ 72 ) > 1 − min ( P ( DI ≤ 72 ) , P ( DII ≤ 72 ) ) Cálculos  D − 69 72 − 69  P ( DI ≤ 72 ) = P  I ≤  = P ( Z ≤ 0.75 ) = Φ ( 0.75 ) = 0.7734 4   4  D − 68 72 − 68  ≤ P ( DII ≤ 72 ) = P  II  = P ( Z ≤ 1.094 ) = Φ (1.094 ) ≅ 0.8445 13 13   P ( DT > 72 ) = 1 − P ( DI ≤ 72, DII ≤ 72 ) > 1 − min ( 0.7734,0.8445 ) = 0.2266 22
  23. 23. Gestão de Projectos Exercício 8 - Resolução Fernando Durão d) Dada a importância deste estudo, se ele só estiver concluído para além de 3 dias depois do valor determinado na a), haverá uma multa de 100 000 €. d2) Se o custo desta metodologia alternativa fosse de 30 000 €, aceitaria ? Gestão e Teoria da Decisão Probabilidades estimadas por simulação de Monte Carlo1 (Resultados de simulação com 5000 replicações/corridas) P ( DII ≥ DI ) ≅ 0. 4126 (valor teórico: 0.4207) P ( DI > 72 ) ≅ 0.2240 (valor teórico: 0.2266) P ( DII > 72 ) ≅ 0.1258 (valor teórico: 0.1555) P ( DT > 72 ) ≅ 0.3132 ( valor teórico: maior que 0.2266 ) .3132 P ( DI > 72 | DII > 72 ) ≅ 0.2909 P ( DII > 72 | DI > 72 ) ≅ 0.1634 Com os valores estimados, por simulação, das probabilidades da variável M P( M = 100000) = P ( DT > 72) = 0.3132 P( M = 0) = 1 − P ( DT > 72) = 0.6868, o valor estimado de E ( M ) é E ( M ) ≅ 0 × P( M = 0) + 100000 × P ( M = 100000) = 0 × 0.6868 + 100000 × 0.3132 = 3 1 3 2 0 € , pelo que aceitaria o custo de metodologia alternativa de 30 000 €. 1 Assumindo, adicionalmente, que as distribuições das durações das actividades são aproximadas por distribuições 23 normais com médias e variâncias dadas. Vidé slide seguinte com o código MATLAB
  24. 24. Gestão de Projectos Exercício 8 - Resolução Fernando Durão Gestão e Teoria da Decisão ANEXO Código MATLAB % Médias, mu, e variâncias, s2, das distribuições das durações das actividades A, C, D, I, K, J mu_A = 21; s2_A = 8; mu_C = 14; s2_C = 6; mu_D = 15; s2_D = 0; mu_I = 19; s2_I = 2; mu_J = 21; s2_J = 7; mu_K = 13; s2_K = 4; % Número de replicações N_Replicacoes = 5000; % Inicializar vectores das durações dos caminhos I e II D_I = zeros(N_Replicacoes,1); D_II = zeros(N_Replicacoes,1); % Gerar replicações por amostragem das distribuições % normais que aproximam, por hipótese de trabalho, as % distribuições das durações das actividades. for i = 1:N_Replicacoes d_D d_I d_C d_A d_K d_J = = = = = = mu_D+sqrt(s2_D)*randn(1,1); mu_I+sqrt(s2_I)*randn(1,1); mu_C+sqrt(s2_C)*randn(1,1); mu_A+sqrt(s2_A)*randn(1,1); mu_K+sqrt(s2_K)*randn(1,1); mu_J+sqrt(s2_J)*randn(1,1); % Calcular durações dos caminhos I e II D_I(i) = d_D+d_I+d_C+d_A; D_II(i) = d_D+d_I+d_K+d_J; end % CONTINUAÇÃO % Calcular vector das durações do projecto D_T = max([D_I D_II]')'; % Calcular/estimar probabilidades marginais e conjuntas Prob_D_II_ge_D_I = … length(find(D_II >= D_I))/N_Replicacoes *100 Prob_D_I_gt_72 =… length(find(D_I > 72))/N_Replicacoes*100 Prob_D_II_gt_72 =… length(find(D_II > 72))/N_Replicacoes*100 Prob_D_T_gt_72 =… length(find(D_T > 72))/N_Replicacoes*100 Prob_D_I_gt_72_or_Prob_D_II_gt_72 = … length(find(D_I > 72 | … D_II > 72))/N_Replicacoes*100 Prob_D_I_gt_72_and_Prob_D_II_gt_72 = … length(find(D_I > 72 & … D_II > 72))/N_Replicacoes*100 % Calcular/estimar probabilidades condicionais II = find(D_II > 72); Prob_D_I_gt_72_Given_D_II_gt_72 =… length(find(D_I(II) > 72))/length(II)*100 I = find(D_I > 72); Prob_D_II_gt_72_Given_D_I_gt_72 =… length(find(D_II(I) > 72))/length(I)*100 24
  25. 25. Anexo : Distribuição Normal Função de distribuição de probabilidade - Φ(z) 1 Φ ( z ) = P ( Z ≤ z ) = ∫ φ ( x ) dx = −∞ 2π Gestão e Teoria da Decisão z Z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 0.00 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.01 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997 0.02 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997 ∫ 0.03 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997 z −∞ e − x2 2 dx, 0.04 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 Φ (−z ) = 1− Φ ( z ) 0.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.06 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.07 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997 Φ( z) 0.08 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997 0.09 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 25

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