Aula pb 7_resumo

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Aula pb 7_resumo

  1. 1. Gestão de Stocks Gestão e Teoria da Decisão Exercício 10 - Enunciado Política do nível de encomenda Uma empresa de construção civil mantém um stock de um dado material de construção a partir do qual satisfaz as necessidades de diversas obras em curso. Estas necessidades semanais são aleatórias e podem ser descritas estatisticamente pela seguinte distribuição de probabilidades, sendo a média de 30 toneladas: Necessidade semanal (ton.) Probabilidade 10 20 30 40 50 60 0.10 0.17 0.50 0.13 0.06 0.04 A empresa decidiu adoptar a política do nível de encomenda para regular o funcionamento deste stock, com um intervalo médio entre reaprovisionamentos de 2 semanas. O tempo de entrega das encomendas deste material pode considerar-se fixo e igual a uma semana. O custo anual de manter em stock uma tonelada deste material foi estimado em 130 €, enquanto o custo de rotura é de 200 € por tonelada em falta, independentemente do tempo em falta. a) Para um stock de segurança de 10 ton., qual a probabilidade de rotura? Estime os custos anuais de posse deste stock de segurança e os respectivos custos de rotura. b) Que nível de encomenda recomendaria a esta empresa e que stock de segurança resultaria? Quantifique a redução de custos anual que resultaria da sua recomendação. 1
  2. 2. Política do nível de encomenda I(t) Ciclo (i+1) Ciclo i Ciclo (i+2) ... Q+M Q Q Q ... M 0 Si ti τi Si+2 ti+1 τi+1 Si+1 ti+2 τ i+2 S=M-µX t ... Ti =ti+1 -ti Ti+1 =ti+2 –ti+1 M – Ponto ou nível de encomenda τi – Tempo de reposição ou entrega no ciclo i Ti – Período ou comprimento do ciclo i Q – Quantidade encomendada --- e recebida ––– Si – Nível do stock antes da recepção de Q Ti+2 Nota O nível/ponto de encomenda, M, que ocorre no instante, ti, da revisão contínua, tem que cobrir as necessidades até ao instante em que a encomenda, colocada no início do ciclo i, chega.
  3. 3. Gestão de Stocks Exercício 10 - Resolução Política do nível de encomenda Gestão e Teoria da Decisão Dados do problema (Unidade de tempo: 1 semana) r (Taxa média de procura por unidade de tempo) = 30 ton./semana τ (Tempo médio de entrega ou de reposição) = 1 semana T ( Intervalo de tempo médio entre reaprovisionamentos ) = 2 semanas C2 (Custo de posse) = 130 €/ton./ano=2.5 €/ton./semana C3' (Custo de rotura) = 200 €/ton. Modelo de probabilidade da procura, X, no tempo (médio) de reposição de 1 semana A procura/necessidades, X, no tempo de reposição é variável aleatória discreta com função (massa de) probabilidade hX(xi) = P(X = xi) e de distribuição de probabilidade HX(xi) = P(X ≤ xi), dadas por Funções massa de probabilidade hX(xi) = P(X=xi) e de distribuição de probabilidade HX(xi)=P(X ≤ xi) 1 2 3 4 5 6 Necessidade semanal (ton.): (xi) 10 20 30 40 50 60 Probabilidade: hX(xi)= P(X = xi) 0.10 0.17 0.50 0.13 0.06 0.04 HX(xi)=P(X ≤ xi) 0.10 0.27 0.77 0.90 0.96 1.00 i 3
  4. 4. Gestão de Stocks Exercício 10 - Resolução Política do nível de encomenda Gestão e Teoria da Decisão Modelação probabilística da procura X, no tempo/período de reposição 0.00,  0.10, 0.27,  H X ( x ) = 0.77, 0.90,  0.96, 1.00,  ( x < 10 ) (10 ≤ x < 20 ) ( 20 ≤ x < 30 ) ( 30 ≤ x < 40 ) ( 40 ≤ x < 50 ) ( 50 ≤ x < 60 ) ( x ≥ 60 ) P(X=30)=0.5 P(X=20)=0.17
  5. 5. Gestão de Stocks Exercício 10 - Resolução Política do nível de encomenda Modelação probabilística da procura X, no tempo/período de reposição Procura média no tempo de reposição : µ X Gestão e Teoria da Decisão 6 µ X = ∑ xi hX ( xi ) i =1 6 = ∑ xi P ( X = xi ) i =1 = 10 × 0.1 + 20 × 0.17 + 30 × 0.5 + 40 × 0.13 + 50 × 0.06 + 60 × 0.04 = 30 ton. Nota: µ X = r × τ µ X = 30 × 1 = 30 ton.
  6. 6. Gestão de Stocks Exercício 10 - Resolução Política do nível de encomenda a) Para um stock de segurança de 10 ton., qual a probabilidade de rotura? Estime os custos anuais de posse deste stock de segurança e os respectivos custos de rotura. Gestão e Teoria da Decisão Dado S ( Stock de segurança) = 10 ton., calcular α , probabilidade de rotura por ciclo. 1. Probabilidade de rotura por ciclo, α = P(X > M), com M (ponto/nível de encomenda) = S+µX M = S+µX = 10 + 30 = 40 ton. ∑ P ( X = x ) = P ( X = 50 ) + P ( X = 60 ) = 0.06 + 0.04 = 0.10 α = P ( X > M ) = P( X > 40) = i i:xi > 40 (Outras quantidades relevantes ) Quantidade média em falta η ( M ) η (M ) = ∑ ( x − M ) P ( X = x ) = (50 − 40) × 0.06 + (60 − 40) × 0.04 = 1.4 ton. i i i: xi > M Nível de serviço NS NS =1 − η (M ) Q = 1− η (M ) T ×r = 1− 1.4 = 0.977 2 × 30 Nível de protecção, (1 − α ) = 1 − 0.10 = 0.90 6
  7. 7. Gestão de Stocks Exercício 10 - Resolução Política do nível de encomenda a) Para um stock de segurança de 10 ton., qual a probabilidade de rotura? Estime os custos anuais de posse deste stock de segurança e os respectivos custos de rotura. Gestão e Teoria da Decisão 2. Custos anuais de posse deste stock de segurança e os respectivos custos de rotura. 2.1. CP (Custos de posse do stock de segurança por ciclo)=C2 × S × T = C2 × ( M − µ X ) T € / ciclo, ∑ ( x − M ) P ( X = x ) € / ciclo 2.2. CR (Custos de rotura por ciclo) = C3' ×η ( M ) = C3' × i i i:xi >40 2.3. NCiclos ≅ 52  semanas/ano  T  semanas/ciclo    52   = 26 ciclos/ano   NCiclos = 2   2.4. K P (Custos anuais de posse do stock de segurança ) = NCiclos × CP K P = 52 × C2 × ( M − µ X ) = 52 × 2.5 × ( 40 − 30 ) = 130 × 10 = 1300 €/ano 2.5. K R (Custos de rotura anuais ) = NCiclos × CR KR = 52 52 52 × C3' ×η ( M ) = × C3' × ∑ ( xi − M ) P ( X = xi ) = × 200 × 1.4 = 7280 €/ano T T 2 i:xi > 40 2.6. K (Custos totais anuais ) = K P + K R = 8580 € / ano 7
  8. 8. Gestão de Stocks Exercício 10 - Resolução Política do nível de encomenda b) Que nível de encomenda recomendaria a esta empresa e que stock de segurança resultaria? Quantifique a redução de custos anual que resultaria da sua recomendação. Gestão e Teoria da Decisão Substituindo S = M − µ X Custos totais anuais, função de M , K ( M ) : K ( M ) = K P ( M ) + K R ( M ), com K P ( M ) = NCiclos × CP = 52 × C2 × S = 52 × C2 × ( M − µ X ) € / ano K R ( M ) = NCiclos × CR = 52 × C3' × ∑ ( xi − M ) P ( X = xi ) T i:xi > M K ( M ) = 52 × C2 × ( M − µ X ) + = 52 × C2 × ( M − µ X ) + € / ano 52 × C3' × ∑ ( xi − M ) P ( X = xi ) € / ano T i:xi > M   52 × C3' ×  ∑ xi P ( X = xi ) − M ∑ P ( X = xi )  T i:xi > M  i:xi >M  Nível de encomenda optimal ( dado Q ) M * (valor a recomendar) é o ponto estacionário de K ( M ), i.e., o valor de M em que se anula a função 1ª derivada de K ( M ) dK ( M ) 52 52 × C2 C2 × T = 0 ⇒ 52 × C2 − × C3' × ∑ P ( X = xi ) = 0 ⇔ ∑ P ( X = xi ) = = 52 * * dM M =M * T C3' ' i:xi > M i:xi > M × C3 T Vidé Nota 1 8
  9. 9. Gestão de Stocks Exercício 10 - Resolução Política do nível de encomenda Nota 1 : Gestão e Teoria da Decisão No caso da procura, X , no tempo de reposição, ser uma variável aleatória discreta, a condição de optimalidade do nível de encomenda, M * , ( dado Q, com Q = T × r ) , traduzida na igualdade ∑ P ( X = xi ) = i:xi > M * deve ser substituída pela desigualdade c2 × T , ' c3 c ×T ∑ P( X = x ) ≤ c 2 i ' 3 i:xi > M * , porque 1) o conjunto dos valores da procura xi é finito e discreto e 2) porque ∑ P( X = x ) i i:xi > M * é a probabilidade de rotura que deve ser limitada superiormente. A condição c ×T ∑ P( X = x ) ≤ c , 2 i i:xi > M * é equivalente a ∑ P ( X = xi ) ≥ 1 − i:xi ≤ M * c ×T ∑ P( X = x ) ≤ c 2 i i:xi > M * ' 3 ⇔− c2 × T , pois ' c3 c ×T ∑ P( X = x ) ≥ − c 2 i i:xi > M * ' 3 ⇔ 1− c ×T ∑ P( X = x ) ≥1− c 2 i i:xi > M * ⇔ ∑ i:xi ≤ M * P ( X = xi ) ≥ 1 − ' 3 c2 × T ' c3 ' 3
  10. 10. Gestão de Stocks Exercício 10 - Resolução Política do nível de encomenda b) Que nível de encomenda recomendaria a esta empresa e que stock de segurança resultaria? Quantifique a redução de custos anual que resultaria da sua recomendação. Gestão e Teoria da Decisão Nível de encomenda optimal ( dado Q ) : M * 2.5 × 2 ∑ P ( X = x ) ≥ 1 − 200 = 1 − 0.025 = 0.975 ⇒ M i * = 60 ton. i:xi ≤ M * ( x6 = 60 é o menor dos xi cuja probabilidade de não ser excedido é maior ou igual a 0.975 ) Vidé Nota 2 Stock de segurança S * S * = M * − µ X = 60 − 30 = 30 ton. Custo total anual do stock de segurança K ( M * ) K ( M * ) = 52 × C2 × ( M * − µ X ) + = 52 × 2.5 × ( 60 − 30 ) + 52 × C3' × ∑ ( xi − M * ) P ( X = xi ) T i:xi > M * 52 52 × 200 × ∑ ( xi − M * ) P ( X = xi ) = 3900 + × 200 × 0 2 2 i:xi >60 = 3900 €/ano Redução de custos anual ∆K = K ( M * ) − K ( M ) = 3900 − 8580 = −4680 €/ano 10
  11. 11. Gestão de Stocks Exercício 10 - Resolução Política do nível de encomenda Gestão e Teoria da Decisão Nota 2 M* é o menor valor da procura discreta, xi , tal que a probabilidade de não ser excedido, HX(xi), é maior ou igual a 1− c2 × T c ×Q = 1 − 2' ' c3 c3 × r isto é, que satisfaz a condição c ×T ∑ P( X = x ) ≥ 1− c 2 i i:xi ≤ M * ' 3
  12. 12. Gestão de Stocks Gestão e Teoria da Decisão Exercício 11 - Enunciado Política do nível de encomenda Uma empresa de construção utiliza semanalmente 100 unidades de um produto que adquire no mercado internacional e do qual constitui stocks. A cada encomenda deste produto está associado um custo fixo (independente da quantidade adquirida) de 100 €, enquanto que à manutenção em stock de uma unidade deste produto a empresa associa um custo anual de 26€. A empresa pretende adoptar a política do nível de encomenda e tem vindo a colocar encomendas de 400 unidades. O tempo de entrega das encomendas deste produto é aleatório, com uma distribuição normal de média 4 semanas e desvio padrão 1 semana. a) Se for definido um nível de encomenda de 500 unidades, qual a probabilidade de rotura? b) Caso se pretenda um risco de rotura da ordem dos 5%, que nível de encomenda recomendaria? c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade em falta, determine em que condições o nível de encomenda 500 unidades é preferível em relação ao determinado na alínea b). d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de encomenda que recomendaria? e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a 12 encomendar e ao nível de encomenda?
  13. 13. Gestão de Stocks Exercício 11 - Resolução Política do nível de encomenda Gestão e Teoria da Decisão Dados do problema (unidade de tempo: 1 semana; 1 ano = 52 semanas) Custo fixo de encomenda, A = 100 €/encomenda; Custos de posse, C2 = 26 €/unid./ano ( = 0.50 €/unid./semana); Quantidade encomendada, Q = 400 unid./encomenda; Procura por unidade de tempo (determinística): r = 100 unid./semana, σ r = 0; Tempo de reposição/entrega (aleatória): τ ∼ N (τ ,σ τ ) , com τ = 4 semanas e σ τ = 1 semana; Modelação probabilística da procura, X , durante o tempo de reposição a X ∼N ( µ X ,σ X ) , com µ X = r × τ = 100 × 4 = 400 unid. σ X = τ × σ r2 + r 2 × σ τ2 = 4 × 0 + 1002 × 12 = 100 unid. 13
  14. 14. Gestão de Stocks Exercício 11 - Resolução Política do nível de encomenda a) Se for definido um nível de encomenda de 500 unidades, qual a probabilidade de rotura? Gestão e Teoria da Decisão Dado M = 500 unid., calcular probabilidade de rotura, α , por ciclo α =P ( X > M ) = P ( X > 500 ) = P ( Z > z ) , com Z = X − µX σX ez= 500 − µ X σX = 500 − 400 =1 100 P ( Z > 1) = 1 − P ( Z ≤ 1) = 1 − Φ (1) ∴α = = 1 − 0.8413 = 0.1587 0 .1 5 8 7 b) Caso se pretenda um risco de rotura da ordem dos 5%, que nível de encomenda recomendaria? Dado α ≅ 0.05, calcular nível de encomenda M Determinar M , M α , tal que P ( X > M α ) = α P ( X > M ) = P ( Z > zα ) , com Z = X − µX σX e zα = Mα − µX σX P ( Z > zα ) = 1 − P ( Z ≤ zα ) ⇒ 1 − Φ ( zα ) = α ⇒ Φ ( zα ) = 1 − α ⇒ Φ ( zα ) = 0.95 zα ≅ 1.65 zα = Mα − µX σX ⇒ M α = µ X + σ X zα = 400 + 100 × 1.65 = 5 6 5 u n id . 14
  15. 15. Gestão de Stocks Exercício 11 - Resolução Política do nível de encomenda c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade em falta, determine em que condições o nível de encomenda 500 unidades é preferível em relação ao determinado na alínea b). Gestão e Teoria da Decisão Que C3' torna M = 500 unid. preferível a M = 565 Custos totais por unidade de tempo (ano) K (M ) = A ( r × 52 ) Q Q + C2 ×  + M − µ X 2  C3 ( r × 52 ) ×η ( M ), + Q  '  M − µX  , σX   ξ ( u ) é função de perdas normal estandardizada (Tabela 2 de Livro de IO ou Tabela no Anexo 2) com η ( M ) = ∫ ∞ ( x − M ) h ( x ) dx = σ X ξ  M Custos totais por unidade de tempo para M =500 unidades  500 − 400   = 100ξ (1.0 ) = 100 × 0.0829 = 8.29  100  ' 100 × (100 × 52 )  400  C3 (100 × 52 ) K (500) = + 26 ×  + 500 − 400  + ×η (500) 400 2 400   ' 100 × (100 × 52 )  400  C3 (100 × 52 ) = + 26 ×  + 500 − 400  + × 8.29 400 2 400   = 9100 + 107.8C3' η (500) = 100ξ  15
  16. 16. Gestão de Stocks Exercício 11 - Resolução Política do nível de encomenda c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade em falta, determine em que condições o nível de encomenda 500 unidades é preferível em relação ao determinado na alínea b). Gestão e Teoria da Decisão Custos totais por unidade de tempo para M =565 unidades  565 − 400   = 100ξ (1.65 ) = 100 × 0.0213 = 2.13  100  ' 100 × (100 × 52 )  400  C3 (100 × 52 ) K (565) = + 26 ×  + 565 − 400  + ×η (565) 400 400  2  η (565) = 100ξ  = 100 × (100 × 52 ) 400 '  400  C3 (100 × 52 ) + 26 ×  + 165  + × 2.13 2 400   = 10790 + 27.7C3' Condição de preferência M = 500 preferível ⇒ K (500) < K (565) K (500) < K (565) ⇒ K (500) − K (565) < 0 ⇒ 9100 + 107.8C3' − (10790 + 27.7C3' ) < 0 ⇒ −1689 + 80.1C3' < 0 ⇒ C3' < 1689 = 21.09 €/unid. 80.1 16
  17. 17. Gestão de Stocks Exercício 11 - Resolução Política do nível de encomenda d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de encomenda que recomendaria? Gestão e Teoria da Decisão Custo total por unidade de tempo A ( r × 52 )  ( Q + S ) + S  C3' ( r × 52 ) K (M ) = + C2 ×  ×η ( M ), com S = M − µ X + Q 2 Q   ' A ( r × 52 ) Q  C3 ( r × 52 ) = + C2 ×  + M − µ X  + ×η ( M ), Q Q 2  Problema de optimização min. K ( M ) = A ( r × 52 ) Q M Q + C2 ×  + M − µ X 2  C3 ( r × 52 ) ×η ( M ), + Q  '  M − µX  , σX   ξ ( u ) é função de perdas normal estandardizada (Tabela 2 de Livro de IO) onde η ( M ) = ∫ ∞ ( x − M ) h ( x ) dx = σ X ξ  M A solução optimal, M * , dado Q, é a solução da equação seguinte: C2 Q * ∫M * h( x)dx = C3' ( r × 52 ) , ou ∞ ∫ M* −∞ C2 Q * C2 Q * M * − µX * * h( x)dx = 1 − ' ⇒ Φ ( z ) = 1 − ' , com z = C3 ( r × 52 ) C3r σX 17
  18. 18. Gestão de Stocks Exercício 11 - Resolução Política do nível de encomenda d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de encomenda que recomendaria? Gestão e Teoria da Decisão Cálculos 1. Φ ( z * ) = 1 − C2 Q 26 × 400 4 =1− = 1− = 0.92 C3' ( r × 52 ) 25 × ( 52 × 100 ) 50 z * = Φ −1 ( 0.92 ) ≅ 1.405 * 2. z = M * − µX σX ⇒ M * = µ X + σ X z * = 400 + 100 × 1.405 = 540.5 ≅ 540 ∴ M * = 540 unidades 18
  19. 19. Gestão de Stocks Exercício 11 - Resolução Política do nível de encomenda e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda? Calcular M * e Q* Gestão e Teoria da Decisão Problema de optimização min . K ( M , Q) = ( M ,Q ) A ( r × 52 ) Q Q + C2 ×  + M − µ X 2  C3 ( r × 52 ) ×η ( M ), + Q  '  M − µX  , σX   ξ ( u ) é função de perdas normal estandardizada (Tabela 2 de Livro de IO) onde η ( M ) = ∫ ∞ ( x − M ) h ( x ) dx = σ X ξ  M Solução optimal (solução do problema de optimização)  2 ( r × 52 ) ( A + C3' ×η ( M * ) ) * Q =  C2   M*  M * − µX  ∞ C2 Q * C2 Q * ⇒ Φ h( x)dx = 1 − '  ou  ∫M * h( x)dx = ' C3 ( r × 52 )  ∫−∞ C3 ( r × 52 )  σX   C2 Q *   = 1− '  C3 r   19
  20. 20. Gestão de Stocks Exercício 11 - Resolução Política do nível de encomenda e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda? Cálculos (Método iterativo) Gestão e Teoria da Decisão Estimativa inicial de Q* : Q* = 2 ( r × 52 ) A C2 = 2 (100 × 52 ) × 100 26 = 100 2 × 2 = 200 unidades Iteração 1 1. Calcular M * ,dado Q* : C2 Q * 26 × 200 1.1 Calcular z tal que Φ ( z ) = 1 − ' =1− = 0.96 ⇒ z * =Φ −1 ( 0.96 ) ≅ 1.75 C3 ( r × 52 ) 25 × (100 × 52 ) * * 1.2 Calcular M * : M * = µ X + σ X z * = 400 + 100 × 1.75 = 575 unidades 2. Calcular Q* dado M *   M * − µX   * 2.1 Calcular η ( M ) η ( M ) = σ X ξ    σX    M * − µX   575 − 400  η (575) = 100ξ   = 100ξ   = 100ξ (1.75 ) ≅ 100 × 0.0168 = 1.68 100  σX    * 20
  21. 21. Gestão de Stocks Exercício 11 - Resolução Política do nível de encomenda e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda? Iteração 1 (continuação) Gestão e Teoria da Decisão 2.2 Calcular Q* Q* = 2 ( r × 52 ) ( A + C3' ×η ( M * ) ) C2 = 2 (100 × 52 )(100 + 25 × 1.68 ) = 238.3275 unidades 26 Teste de convergência: Q* − Q* previo = 38.3275 ≫ ε tolerância (p.ex. ε tolerância = 1) Iteração 2 1. Calcular M * ,dado Q* : C2 Q * 26 × 238.3275 1.1 Calcular z tal que Φ ( z ) = 1 − ' = 1− = 0.9523 ⇒ z * =Φ −1 ( 0.9523) ≅ 1.67 C3 ( r × 52 ) 25 × (100 × 52 ) * * 1.2 Calcular M * : M * = µ X + σ X z * = 400 + 100 × 1.67 = 567 unidades 2. Calcular Q* dado M *   M * − µX   * 2.1 Calcular η ( M ) η ( M ) = σ X ξ   σ X     M * − µX   567 − 400  = 100ξ  η (567) = 100ξ    = 100ξ (1.67 ) ≅ 100 × 0.0203 = 2.03 100  σX    * 21
  22. 22. Gestão de Stocks Exercício 11 - Resolução Política do nível de encomenda e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda? Iteração 2 (continuação) Gestão e Teoria da Decisão 2.2 Calcular Q* Q* = 2 ( r × 52 ) ( A + C3' ×η ( M * ) ) C2 = 2 (100 × 52 )(100 + 25 × 2.03) = 245.5606 unidades 26 Teste de convergência: Q* − Q* previo = 7.23 > ε tolerância Iteração 3 1. Calcular M * ,dado Q* : C2 Q * 26 × 245.5606 1.1 Calcular z tal que Φ ( z ) = 1 − ' = 1− = 0.9509 ⇒ z * =Φ −1 ( 0.9509 ) ≅ 1.655 C3 ( r × 52 ) 25 × (100 × 52 ) * * 1.2 Calcular M * : M * = µ X + σ X z * = 400 + 100 × 1.655 ≅ 565.5 unidades 2. Calcular Q* dado M *   M * − µX   * 2.1 Calcular η ( M ) η ( M ) = σ X ξ   σ X     M * − µX   565.5 − 400  = 100ξ  η (565.5) = 100ξ    = 100ξ (1.655 ) ≅ 100 × 0.0210 = 2.10 100 σX     * 22
  23. 23. Gestão de Stocks Exercício 11 - Resolução Política do nível de encomenda e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda? Iteração 3 (continuação) Gestão e Teoria da Decisão 2.2 Calcular Q* Q* = 2 ( r × 52 ) ( A + C3' ×η ( M * ) ) C2 = 2 (100 × 52 )(100 + 25 × 2.10 ) = 246.9818 unidades 26 Teste de convergência: Q* − Q* previo = 1.4212 > ε tolerância Iteração 4 1. Calcular M * ,dado Q* : C2 Q * 26 × 246.9818 1.1 Calcular z tal que Φ ( z ) = 1 − ' = 1− = 0.9506 ⇒ z * =Φ −1 ( 0.9506 ) ≅ 1.65 C3 ( r × 52 ) 25 × (100 × 52 ) * * 1.2 Calcular M * : M * = µ X + σ X z * = 400 + 100 × 1.655 ≅ 565 unidades 2. Calcular Q* dado M *   M * − µX   * 2.1 Calcular η ( M ) η ( M ) = σ X ξ   σ X     M * − µX   565 − 400  = 100ξ  η (565) = 100ξ    = 100ξ (1.65 ) ≅ 100 × 0.0213 = 2.13 100  σX    * 23
  24. 24. Gestão de Stocks Exercício 11 - Resolução Política do nível de encomenda e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda? Gestão e Teoria da Decisão Iteração 4 (continuação) 2.2 Calcular Q* * Q = 2 ( r × 52 ) ( A + C3' ×η ( M * ) ) C2 = 2 (100 × 52 )(100 + 25 × 2.13) = 247.5884 unidades 26 Teste de convergência: Q* − Q* previo = 0.6066 < ε tolerância (Terminar ) Solução optimal Q* = 248 unidades e M * = 565 unidades 24
  25. 25. Gestão de Stocks Exercício 11 - Resolução Política do nível de encomenda e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda? Gestão e Teoria da Decisão Resumo das iterações -----------------------------------------------------------------------------------------------------α zα M ξ(zα) η(M) K(Q,M) Qnew Erro iteração Q -----------------------------------------------------------------------------------------------------1 200.00 0.9600 1.7507 575.0686 0.0161 1.6146 10801.30 236.95 36.95 2 236.95 0.9526 1.6707 567.0700 0.0196 1.9635 10695.95 244.20 7.25 3 244.20 0.9512 1.6562 565.6203 0.0203 2.0332 10692.51 245.63 1.42 4 245.63 0.9509 1.6534 565.3396 0.0205 2.0470 10692.38 245.91 0.28 +-----------------------------------------------------------------+ | Solução optimal | +-----------------------------------------------------------------+ Numero total de iterações (iter) = 4 Quantidade a encomendar óptima Nível de encomenda óptimo (Q*) = (M*) = Custos totais anuais (valor optimal) (K(Q*,M*) Custos fixos de encomenda anuais (K_A(Q*,M*) Custos de posse anuais (K_P(Q*,M*) Custos de rotura anuais (K_R(Q*,M*) 246 unidades 565 unidades = 10692.38 €/ano = 2117.04 €/ano = 7491.97 €/ano = 1083.37 €/ano 25
  26. 26. Anexo 1: Distribuição Normal Função de distribuição de probabilidade - Φ(z) 1 Φ ( z ) = P ( Z ≤ z ) = ∫ φ ( x ) dx = −∞ 2π Gestão e Teoria da Decisão z Z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 0.00 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.01 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997 0.02 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997 ∫ 0.03 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997 z −∞ e − x2 2 dx, 0.04 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 Φ (−z ) = 1− Φ ( z ) 0.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.06 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.07 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997 Φ( z) 0.08 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997 0.09 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998
  27. 27. Anexo 2: Função de Perdas Normal ξ(u) ξ (u ) = ∫ +∞ u ( x − u )φ ( x ) dx = 1 +∞ ∫ ( x − u)e 2π u − x2 2 dx Gestão e Teoria da Decisão ξ ( −u ) = ξ ( u ) + u u 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 0.00 0.39894 0.35094 0.30689 0.26676 0.23044 0.19780 0.16867 0.14288 0.12021 0.10043 0.08332 0.06862 0.05610 0.04553 0.03667 0.02931 0.02324 0.01829 0.01428 0.01105 0.00849 0.00647 0.00489 0.00366 0.00272 0.00200 0.00146 0.00106 0.00076 0.00054 0.00038 0.01 0.39396 0.34635 0.30271 0.26296 0.22701 0.19473 0.16595 0.14048 0.11810 0.09860 0.08174 0.06727 0.05496 0.04457 0.03587 0.02865 0.02270 0.01785 0.01392 0.01077 0.00827 0.00629 0.00475 0.00356 0.00264 0.00194 0.00142 0.00103 0.00074 0.00052 0.00037 0.02 0.38902 0.34181 0.29856 0.25920 0.22362 0.19170 0.16325 0.13810 0.11603 0.09680 0.08019 0.06595 0.05384 0.04363 0.03508 0.02800 0.02217 0.01742 0.01357 0.01049 0.00805 0.00612 0.00462 0.00345 0.00256 0.00188 0.00137 0.00099 0.00071 0.00051 0.00036 0.03 0.38412 0.33731 0.29445 0.25547 0.22027 0.18870 0.16059 0.13576 0.11398 0.09503 0.07866 0.06465 0.05274 0.04270 0.03431 0.02736 0.02165 0.01699 0.01323 0.01022 0.00783 0.00595 0.00449 0.00335 0.00248 0.00183 0.00133 0.00096 0.00069 0.00049 0.00034 0.04 0.37926 0.33285 0.29038 0.25178 0.21695 0.18573 0.15797 0.13345 0.11196 0.09328 0.07716 0.06336 0.05165 0.04179 0.03356 0.02674 0.02114 0.01658 0.01290 0.00996 0.00762 0.00579 0.00436 0.00325 0.00241 0.00177 0.00129 0.00093 0.00066 0.00047 0.00033 0.05 0.37444 0.32842 0.28634 0.24813 0.21367 0.18281 0.15537 0.13117 0.10997 0.09156 0.07568 0.06210 0.05059 0.04090 0.03281 0.02612 0.02064 0.01617 0.01257 0.00970 0.00742 0.00563 0.00423 0.00316 0.00234 0.00171 0.00125 0.00090 0.00064 0.00046 0.00032 0.06 0.36966 0.32404 0.28235 0.24452 0.21042 0.17991 0.15281 0.12892 0.10801 0.08986 0.07422 0.06086 0.04954 0.04002 0.03208 0.02552 0.02015 0.01578 0.01226 0.00945 0.00722 0.00547 0.00411 0.00307 0.00227 0.00166 0.00121 0.00087 0.00062 0.00044 0.00031 0.07 0.36492 0.31969 0.27840 0.24094 0.20721 0.17705 0.15028 0.12669 0.10607 0.08819 0.07279 0.05964 0.04851 0.03916 0.03137 0.02494 0.01967 0.01539 0.01195 0.00920 0.00702 0.00532 0.00400 0.00298 0.00220 0.00161 0.00117 0.00084 0.00060 0.00042 0.00030 0.08 0.36022 0.31539 0.27448 0.23740 0.20404 0.17422 0.14778 0.12450 0.10417 0.08654 0.07138 0.05844 0.04750 0.03831 0.03067 0.02436 0.01920 0.01501 0.01164 0.00896 0.00683 0.00517 0.00388 0.00289 0.00213 0.00156 0.00113 0.00081 0.00058 0.00041 0.00029 0.09 0.35556 0.31112 0.27060 0.23390 0.20090 0.17143 0.14531 0.12234 0.10229 0.08491 0.06999 0.05726 0.04650 0.03748 0.02998 0.02380 0.01874 0.01464 0.01134 0.00872 0.00665 0.00503 0.00377 0.00280 0.00207 0.00151 0.00110 0.00079 0.00056 0.00040 0.00028 NOTA: Os valores desta Tabela foram calculados pela fórmula ξ(u) = φ(u)-u(1-Φ(u)), e não coincidem com os da Tabela 2 do livro de IO

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