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Agora, podemos calcular o valor do ângulo que temos.       Assim, nossa resposta fica:       Multiplicação de Vetores     ...
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Para o ponto P se movendo:       Essas são as coordenadas em x.       De modo análogo para y e z.       Com isso decompomo...
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  1. 1. Aula 03 – Vetores Algumas quantidades em física nós representamos utilizando apenas umnúmero e uma unidade, como a massa ou a temperatura, por exemplo. Existem,porém, algumas grandezas na qual devemos conhecer, também, uma direção e umsentido. Esse é o caso dos vetores. Velocidade e aceleração são exemplos de vetores. Nessa aula, aprenderemos a trabalhar com essas ferramentas matemáticas. Os vetores possuem um comprimento, uma direção e um sentido. Suarepresentação é: Nós vamos estudar planos de uma maneira tridimensional. Por essa razão,muitas vezes, nossos vetores poderão sair do plano (papel) ou entrar no plano. Quando representamos vetores, nós podemos escrevê-los das seguintesmaneiras: Aqui, vamos representar os vetores com negrito. Seja O um ponto qualquer e P uma determinada localização. Digamos que eu váde O até P. Imagine que o plano onde OP esteja seja uma grande mesa, e essa mesa semove da seguinte maneira:
  2. 2. O ponto S será minha posição final na qual vocês verão (embora, para mim, eutenha permanecido em P). Portanto, haverá uma distância OS que vocês medirão. Essa distância é calculada utilizando-se a adição de vetores: Há várias maneiras nas quais podemos somar vetores. Dados dois vetores A eB: Eu posso juntar a extremidade de um vetor com a origem do outro. Não importa qual vetor venha antes, meu resultado permanece o mesmo.
  3. 3. Podemos utilizar a regra do paralelogramo, que consiste em juntar as duasorigens dos vetores. O que significa um vetor ser negativo? Ou seja - A é igual a A,mas com o sentido contrário (possui a mesma direção e omesmo comprimento). Essa ideia nos conduz à subtração de vetores. Se não conhecemos a direção e o sentido de algo, então existem váriaspossibilidades para nosso resultado. Por exemplo, se temos dois vetores os quais
  4. 4. conhecemos apenas suas magnitudes, sem os sentidos ou direções, e sejam seusvalores iguais a 5 e 4, nosso vetor final pode ser 1 ou 9. Vários vetores podem ser representados por um único vetor. De maneiraanáloga, podemos decompor um único vetor em vários outros. Seja um vetor A num espaço tridimensional. Os vetores i, j e k representam os vetores unitários das coordenadas x, y e z(respectivamente). Esses vetores nós chamamos de “versores”. Assim eu reescrevo meu vetor A nas componentes i, j e k: A magnitude do vetor, ou o comprimento, é calculado da seguinte maneira: Exemplo: A = 3i – 5j + 6k
  5. 5. Agora, podemos calcular o valor do ângulo que temos. Assim, nossa resposta fica: Multiplicação de Vetores  Produto Escalar (Produto Ponto) O resultado é um número. O ângulo θ entre os vetores deve ser encontrado projetando-se um vetor sobreo outro, o que nos fornece a definição de produto escalar: O sinal desse resultado depende do ângulo adotado. Isso será melhor visto em trabalho, pois nós teremos trabalho positivo etrabalho negativo. Exemplo 1. Assim, nossa resposta fica: Exemplo 2. A=j e B=k
  6. 6.  Produto Vetorial (Produto Cruz) O resultado é um vetor. Vamos colocar nossos vetores em uma matriz. É importante que A venha antes, pois em nossa multiplicação ele vem antes. Agora, copiamos as coordenas dos vetores em ambos os lados da matriz eaplicamos a multiplicação como se fossemos encontrar o determinante. Conhecendo dois vetores A e B, temos que: Nós conhecemos a magnitude do vetor, mas como saberemos sua direção? Para isso, nós utilizamos a regra da mão direita. Os dedos apontam para o mesmo sentido de A, pois ele foi o primeiro termo asurgir. Então você rotacional os dedos em direção à B (formando o ângulo). O polegarapontará no sentido do vetor C.
  7. 7. Se o vetor entra no plano, seu sinal será positivo. O vetor é sempreperpendicular a Ae B. Portanto: Com isso, podemos concluir que: Exemplo: A = iAx = 1 B = jBy = 1 Há uma dica para a multiplicação de vetores: Assim, seguindo sempre no sentido das setas: Caso invertemos a ordem: Agora, vamos observar um ponto que se move em um espaço tridimensionaldurante um tempo t. Seja r(t) o vetor deslocamento: Podemos derivar essa função e encontrar a velocidade e a aceleração:
  8. 8. Para o ponto P se movendo: Essas são as coordenadas em x. De modo análogo para y e z. Com isso decompomos um movimento tridimensional para um movimento emuma dimensão, o que irá facilitar as coisas. Lançando uma bola para frente sua trajetória poderá ser descrita em um planovertical. Por mais que a bola viaje em 3 dimensões, podemos representar sua trajetóriaem apenas 2 eixos, bidimensionalmente, em x e y. Estudaremos o trajeto da bola analisando um trajeto no eixo x independentedo eixo y. Da mesma maneira analisaremos o eixo y e então juntaremos ambos paradescrever o trajeto da bola. Como vimos na aula anterior, em movimentos em 1-D. Estudaremos essas equações para x e depois y. Lançando uma bola, temos:
  9. 9. VoCosθ é a velocidade inicial no eixo x e VoSenθ é a velocidade inicial no eixo y. A posição de P é dada por X(t) no eixo x no tempo t e por Y(t) no eixo y e notempo t. O vetor deslocamento é dado por r(t). Estudando as equações nos eixos: Agora, em y: Assim, nós decompomos um movimento complicado em dois movimentosindependentes. Na próxima aula nós retornaremos esses argumentos. Observando as equações, no eixo x a velocidade não varia, pois não háaceleração. Apenas em y a velocidade varia, pois existe a aceleração da gravidade. Issoimplica que se lançarmos uma bola numa trajetória oblíqua e continuarmos andandono mesmo sentido com a mesma velocidade horizontal, a bola cairá em nossas mãos.O motivo é que só existe aceleração em y, e y é independente de x. Porém, a trajetóriaserá uma junção de ambos os movimentos.
  10. 10. Fazendo uma experimentação... Um dispositivo com uma bola lançara a mesma assim que passar por umdeterminado ponto. Após lançar a bola, o dispositivo continuará se movimentandocom velocidade constante, assim:

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