geometria analítica

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VETORES

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DEFINIÇÃO:
É um segmento de reta orientado que pode
representar uma Grandeza Física.
A
Exemplos:
B
Lemos: Vetor A e Vetor B

3. 3
OBSERVAÇÃO:
Algumas Grandezas Físicas não ficam bem
compreendidas somente com um valor e sua
unidade. Essas Grandezas são chamadas de
Grandezas Vetoriais.
Portanto:
Grandezas Vetoriais são aquelas que para
ficarem bem representadas necessitam de:
Módulo, Direção e Sentido.

4. 4
Módulo: É representado graficamente
através do tamanho do vetor ou através de
um valor numérico acompanhado de unidade.
Direção: É a reta que dá suporte ao vetor e
pode ser informada através de palavras
como: horizontal, vertical, etc.
Sentido: É a orientação do vetor dada pela
seta e também pode ser informada através de
palavras como: para esquerda, para direita,
do ponto A para o ponto B, para baixo, etc.

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Exemplo 1:
A
Módulo: 3 cm
3 cm Direção: Vertical
Sentido: Para cima
Vetor A

6. 6
Exemplo 2:
Módulo: 5,5 cm
Direção: Horizontal
Sentido: Para esquerda
Vetor B
B

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Vetores Iguais: É necessário que estes
possuam as mesmas características para que
sejam ditos IGUAIS.
Exemplo:
A C
Nesse caso: Vetor A igual ao Vetor C

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Vetores Opostos: São ditos opostos quando a
única diferença entre eles é a oposição de
sentido.
Exemplo:
A - A
Nesse caso: Vetor A oposto ao Vetor - A
Observação: Repare a utilização do sinal “ – “

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Vetores Diferentes: São aqueles que
possuem uma ou mais diferenças em suas
características.
A
B
Nesse caso, o vetor A e o
Vetor B possuem módulos
diferentes.
B
A
Nesse caso, o vetor A e o
Vetor B possuem direções
e sentidos diferentes.
A B
Nesse caso, o vetor A e o
Vetor B possuem sentidos
diferentes.

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Operações com Vetores
É possível realizarmos alguma operações com
vetores, aquelas que iremos estudar no ensino
médio são:
• Multiplicação e divisão de vetores por números
reais;
• Soma e subtração de vetores.

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Multiplicação de vetores por números reais
A
Tomemos como exemplo um vetor A:
Se desejamos obter o vetor 3A, teremos:
3 A
A A A
Comprove:

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Veja outro Exemplo
A
Tomemos como exemplo o mesmo vetor A:
Se desejamos obter o vetor -2 A, teremos:
-2 A
-A -A
Comprove:

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Divisão de vetores por números reais
B
Tomemos como exemplo um vetor B:
Se desejamos obter o vetor B / 2, teremos:
B / 2

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Soma e subtração de vetores – Casos
Especiais
Vetores de Direções e Sentidos iguais:
B
A
A + B
O módulo do resultante é dado pela soma
dos módulos dos dois vetores.
O sentido do vetor soma é o mesmo de A e
de B.

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Soma e subtração de vetores – Casos
Especiais
Vetores de mesma Direção e Sentido
opostos:
B
A
A + B
Nesse caso o vetor soma terá o sentido do
maior deles - o sentido do vetor B
O módulo da soma será dado por B – A , ou
seja, o maior menos o menor.

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Soma e subtração de vetores – Casos Gerais
Para efetuarmos somas e subtrações vetoriais
podemos utilizar duas regras, a do polígono e
a do paralelogramo.
A regra do polígono é muito útil quando
precisamos somar três ou mais vetores;
A regra do paralelogramo deve ser aplicada
com grupo(s) de dois vetores.

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Regra do Polígono
Sejam os vetores abaixo:
A
B
C D
Vamos iniciar com o vetor C, poderíamos
iniciar com qualquer um deles, veja como se
utiliza a regra do polígono:
C
D
A
B
Soma
Após terminarmos
ocorre a formação de
um polígono.

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Regra do Paralelogramo
Sejam os vetores abaixo:
B
Vamos fazer “coincidir” o início dos dois vetores:
A
A
B
Vamos fazer traços paralelos
aos lados opostos.
Soma = A + B

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Teorema de Pitágoras
Não importa a regra utilizada, se tivermos dois
vetores perpendiculares entre si, teremos o
mesmo vetor resultante e seu módulo pode
ser determinado utilizando o TEOREMA DE
PITÁGORAS:
Regra do Polígono:
A
A
B
B
Regra do Paralelogramo:
S
S
S2 = A2 + B2

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V1
V3
V2
1. Dados os vetores V1, V2 e V3 da figura a
seguir, obtenha graficamente o vetor soma
vetorial:

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V1
V2
a) V1 + V2
VR

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V1
V3
V2
b) V1 + V2 + V3
VR

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2. A soma de dois vetores ortogonais, isto é,
perpendiculares entre si, um de módulo 12
e outro de módulo 16, terá módulo igual a:
Triângulo de
Pitágoras
Verifique:
202 = 122 + 162
400 = 144 + 256
Alternativas:
a) 4
b) Entre 12 e 16
c) 20
d) 28
e) Maior que 28
12
16
20

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3. A figura a seguir representa os
deslocamentos de um móvel em várias
etapas. Cada vetor tem módulo igual a 20 m.
A distância percorrida pelo móvel e o
módulo do vetor deslocamento são,
respectivamente:
A
B

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Distância percorrida:
20 m
20 m
A
20 m
20 m
20 m
B
Total = 5 x 20 = 100 m

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A
B
ΔS
40 m
20 m
ΔS2 = 402 + 202
ΔS2 = 1600 + 400
ΔS2 = 2000
ΔS = 2000
ΔS = 20 5 m
Módulo do vetor deslocamento:
Pelo Teorema
de Pitágoras:
Resposta: 100 m e 20 5 m

27. DECOMPOSIÇÃO DE
VETORES
Um vetor V pode ser
decomposto em dois vetores
componentes: Vx (componente
horizontal) e Vy (componente
vertical), de modo que:

28. V
VY
VX
a
x
y
VX = cos a . V
Vy = sen a . V