Matemática UNIFICADO

83 visualizações

Publicada em

Vai se mais ou menos assim hoje.

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
83
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
1
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Matemática UNIFICADO

  1. 1. Matemática Fabiano Bernardes
  2. 2. Geometria Analítica y A B 1 2 A (2 , 2) B (- 2 , 1) C (- 1, - 3) D (3 , - 2) x C D 2 3 -1 -2 -2 -3 D (3 , - 2)
  3. 3. Ponto Médio y A B 1 2 A (2 , 2) B (- 2 , 1) x2-2 2 A B M X X X   2 A B M Y Y Y   2 2 0 2 MX    2 1 3 2 2 MY   
  4. 4. Ex.: O ponto médio entre A (2 ,5) e B (x , y) tem coordenadas iguais a (4 , 2). O valor de 2x + 5y é igual a (A) 3. (B) 5. (C) 7. (D) 9. (E) 11. 2 2 4 2 A B M B X X X X     2 5 2 2 A B M B Y Y Y Y     (E) 11. 2 8 2 6 B B X X    2 4 5 1 B B Y Y         2 5 2 6 5 1 12 5 7 x y    
  5. 5. Distância entre 2 Pontos y A B 1 2 d(AB) x2-2 1             2 2 2 2 a b a bd AB x x y y d AB x y        
  6. 6. Ex.: A distância entre os pontos A(3 , 1) e B(- 1 , y) é 5. Um possível valor de y é (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 9 (E) 10       2 2 a b a bd AB x x y y         2 2 5 3 1 1 y         2 2 5 3 1 1 y      2 25 16 1 y     2 9 1 y  9 1 y   (E) 10    5 3 1 1 y        2 22 5 3 1 1 y      22 25 4 1 y   9 1 y   ' 4y  " 2y  
  7. 7. Alinhamento de 3 Pontos A(2 , 3) B(3 , 5) C(0 , - 1) 0 0 1 2 3 3 5 0 1   2 10 - 3 0 1 7 - 9 0 - 7 Como 7 – 7 = 0 concluímos que os pontos estão alinhados
  8. 8. Considere os pontos: A(2 , 3), B (5 , - 1) e C (1 , 3) A(2 , 3) B(5 , - 1) C(1 , 3) - 2- 15 2 3 5 1 1 3 2 3  15 3 16 1 - 6 - 20 Como – 20 + 16 = - 4 concluímos que os pontos formam um triângulo 2 3
  9. 9. A área do triângulo anterior vai ser calculada por: det 2 A  2 Assim: 4 2 2 A   
  10. 10. Equações da Reta Pelos pontos A (1 , 5) e B (3 , 2) passa uma reta cujas equações são: 1 5 x y 5x 2 3y 5x + 3y + 2 - y - 15 - 2x – 2x – y – 15 1 5 3 2 x y
  11. 11. 5x + 3y + 2 – 2x – y – 15 = 0 Somando as duas expressões obtidas, e igualando a zero encontramos: 5x – 2x + 3y – y + 2 – 15 = 0 3x + 2y – 13 = 0 Equação Geral da Reta3x + 2y – 13 = 0 2y = – 3x + 13 y = – 3x + 13 2 Equação Reduzida da Reta
  12. 12. UFRGS: Considere a figura abaixo (Dado: ) x y 30º 0 3 tan30º 3  1 x0 r Uma equação cartesiana da reta r é 3 3 y x    3 1 3 y x  1 3y x   3 1y x   3 1y x  (A) (B) (C) (D) (E) 1
  13. 13. x y 30º 0 r 1 tan30º tan150º tan30º CO CA     3 3 1 CO  3 3 CO  3 3 y mx n  3 3 3 3 y x     3 1 3 y x     3 1 3 y x 
  14. 14. E se o questionamento anterior fosse a equação geral da reta?   3 1 3 y x  3 3 3 3 y x  3 3 0 3 3 y x   3 3 3 0y x   3 3 3 0x y   3 3 3 0y x  
  15. 15. Distância Ponto-Reta y r   0 0 2 2 , Ax By C d P r A B     x0 A B
  16. 16. Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0. Estabeleça a distância entre A e r utilizando a expressão dada anteriormente.   0 0 2 2 , Ax By C d P r A B           2 2 4 3 6 6 2 , 4 6 d P r          12 36 2 ,d P r       22 , 52 d P r     22 , 52 d P r  , 16 36 d P r    , 52 d P r   , 52 d P r    22 52 , 52 52 d P r     11 13 , 13 d P r    22 52 , 52 d P r    11 4 13 , 26 d P r  
  17. 17. Geometria Plana Triângulos Isósceles Retângulo Equilátero y xy xx x xx
  18. 18. Área dos Triângulos 2 b h A   a b A sen    2 a b A sen    2 3 4 a A 
  19. 19. Triângulo Equilátero h l h l 3 tan 60 3 3 3 h l   l /2 l /2 60 3 3 h l 2 3 4 l A 
  20. 20. Semelhança de Triângulos Dois triângulos são chamados de semelhantes se possuírem os mesmos valores numéricos de ângulos y A x y B C D E AB BC AC BD BE DE  
  21. 21. Quadrado 2 2 A a d a   2 2 d A 
  22. 22. Losango d D d D A   2 A 
  23. 23. Trapézio b h 2 B b A h        B 2 
  24. 24. Hexágono Regular 2 3 6 4 a A   4
  25. 25. Círculo e Circunferência R2 2 2 D R A R C R         2C R  
  26. 26. Triângulo inscrito em semicírculo B C A B
  27. 27. Triângulo Equilátero Inscrito em uma circunferência 3 3 6 h a apótema ap   apótema   2 3 3 3 a raio R h R  
  28. 28. Triângulo Equilátero circunscrito em uma circunferência 3 raio apótema a  3 6 a R 
  29. 29. Geometria Espacial
  30. 30. Área Lateral de “Prismas” lA Perímetro da Base Altura do sólido 
  31. 31. Área Total de “Prismas” 2tA Área Lateral Área da Base  
  32. 32. Volume de “Prismas” V Área da Base Altura 
  33. 33. Área Lateral de “Pirâmides” 2 l Perímetro da base Altura A  
  34. 34. Área Total de “Pirâmides” T l bA A A 
  35. 35. Volume de “Pirâmides” 2 bA H V  
  36. 36. Tetraedro Regular 2 3 6 3 Superfície a a Altura   3 3 2 12 a Volume 
  37. 37. Esfera 34 3 Volume R 2 4Superfície R 2 4Superfície R

×