Slides numerico c02

1. Cálculo Numérico I Universidade Federal do Recôncavo da Bahia 9 de fevereiro de 2021 Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento

2. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Zero de uma função 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

3. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Zero de uma função Definição Dada uma função f : Ξ ⊂ R → R, denominamos de zero ou raiz de f o valor ξ ∈ Ξ tal que f(ξ) = 0. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

4. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Zero de uma função Definição Dada uma função f : Ξ ⊂ R → R, denominamos de zero ou raiz de f o valor ξ ∈ Ξ tal que f(ξ) = 0. x y ξ1 ξ2 ξ3 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

5. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Zero de uma função Definição Dada uma função f : Ξ ⊂ R → R, denominamos de zero ou raiz de f o valor ξ ∈ Ξ tal que f(ξ) = 0. x y ξ1 ξ2 ξ3 A figura acima ilustra o gráfico de uma função real de uma variável real com três zeros. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

6. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método analítico versus Método numérico 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

7. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método analítico versus Método numérico Método analítico 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

8. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método analítico versus Método numérico Método analítico Um método para encontrar a solução de um problema é analítico se ele apresenta uma forma para determiná-la de maneira exata. Por exemplo, o mais famoso caso é o da fórmula de Baskhara para encontrar zeros de uma função quadrática. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

9. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método analítico versus Método numérico Método numérico 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

10. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método analítico versus Método numérico Método numérico Se determina uma sequência que converge para a solução do problema. Este será o método que empregaremos, na maioria dos casos, nesta disciplina, para encontrar a solução de alguns problemas. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

11. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método analítico versus Método numérico Método numérico Se determina uma sequência que converge para a solução do problema. Este será o método que empregaremos, na maioria dos casos, nesta disciplina, para encontrar a solução de alguns problemas. Aplicando um método numérico para encontrar o zero aproximado do problema f(x) = 0, obteremos uma sequência {x1, x2, . . .} convergente para o zero da função f. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

12. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método analítico versus Método numérico Método numérico Se determina uma sequência que converge para a solução do problema. Este será o método que empregaremos, na maioria dos casos, nesta disciplina, para encontrar a solução de alguns problemas. Aplicando um método numérico para encontrar o zero aproximado do problema f(x) = 0, obteremos uma sequência {x1, x2, . . .} convergente para o zero da função f. Existem duas fases na utilização de métodos numéricos de zero de funções: 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

13. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método analítico versus Método numérico Método numérico Se determina uma sequência que converge para a solução do problema. Este será o método que empregaremos, na maioria dos casos, nesta disciplina, para encontrar a solução de alguns problemas. Aplicando um método numérico para encontrar o zero aproximado do problema f(x) = 0, obteremos uma sequência {x1, x2, . . .} convergente para o zero da função f. Existem duas fases na utilização de métodos numéricos de zero de funções: Fase 1: Isolamento ou localização dos zeros; 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

14. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método analítico versus Método numérico Método numérico Se determina uma sequência que converge para a solução do problema. Este será o método que empregaremos, na maioria dos casos, nesta disciplina, para encontrar a solução de alguns problemas. Aplicando um método numérico para encontrar o zero aproximado do problema f(x) = 0, obteremos uma sequência {x1, x2, . . .} convergente para o zero da função f. Existem duas fases na utilização de métodos numéricos de zero de funções: Fase 1: Isolamento ou localização dos zeros; Fase 2: Refinamento. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

15. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Isolamento dos zeros 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

16. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Isolamento dos zeros De onde partir? Nos métodos numéricos empregados para resolver o problema f(x) = 0, em geral, devemos iniciar obtendo: 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

17. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Isolamento dos zeros De onde partir? Nos métodos numéricos empregados para resolver o problema f(x) = 0, em geral, devemos iniciar obtendo: intervalos fechados [a, b] ⊂ Dom(f) que contenha apenas um zero; ou 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

18. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Isolamento dos zeros De onde partir? Nos métodos numéricos empregados para resolver o problema f(x) = 0, em geral, devemos iniciar obtendo: intervalos fechados [a, b] ⊂ Dom(f) que contenha apenas um zero; ou um valor aproximado do zero da função f do problema. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

19. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Isolamento dos zeros De onde partir? Nos métodos numéricos empregados para resolver o problema f(x) = 0, em geral, devemos iniciar obtendo: intervalos fechados [a, b] ⊂ Dom(f) que contenha apenas um zero; ou um valor aproximado do zero da função f do problema. Para obter o intervalo [a, b] que contenha apenas um zero da função, estudaremos o comportamento da função utilizando: 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

20. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Isolamento dos zeros De onde partir? Nos métodos numéricos empregados para resolver o problema f(x) = 0, em geral, devemos iniciar obtendo: intervalos fechados [a, b] ⊂ Dom(f) que contenha apenas um zero; ou um valor aproximado do zero da função f do problema. Para obter o intervalo [a, b] que contenha apenas um zero da função, estudaremos o comportamento da função utilizando: o tabelamento da função e analisar as mudanças de sinal e, caso a função seja derivável no intervalo determinado, verificar se ele não muda de sinal; 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

23. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Isolamento dos zeros Teorema de Bolzano Seja f : R → R uma função contínua em [a, b]. Se f(a) · f(b) < 0, então f possui pelo menos um zero no intervalo (a, b). 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

24. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Isolamento dos zeros Teorema de Bolzano Seja f : R → R uma função contínua em [a, b]. Se f(a) · f(b) < 0, então f possui pelo menos um zero no intervalo (a, b). Este é o resultado utilizado para encontrarmos intervalos fechados onde a função está definida e existe pelo menos um zero da função. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

25. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Isolamento dos zeros Teorema de Bolzano Seja f : R → R uma função contínua em [a, b]. Se f(a) · f(b) < 0, então f possui pelo menos um zero no intervalo (a, b). Este é o resultado utilizado para encontrarmos intervalos fechados onde a função está definida e existe pelo menos um zero da função. O Teorema de Bolzano é uma consequência do Teorema do Valor Intermediário, pois, para o produto de f(a) por f(b) ser negativo, esses valores têm sinais opostos. Assim, o zero de f se encontra entre a e b, uma vez que existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

26. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Isolamento dos zeros Teorema de Bolzano Seja f : R → R uma função contínua em [a, b]. Se f(a) · f(b) < 0, então f possui pelo menos um zero no intervalo (a, b). Examples A função f(x) = cos(x) + sin(x), possui pelo menos um zero no intervalo (−π, 2π), uma vez que f(−π) = cos(−π) + sin(−π) = −1; f(2π) = cos(2π) + sin(2π) = 1 e f(−π) · f(2π) = −1 < 0. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

27. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Isolamento dos zeros Teorema de Bolzano Seja f : R → R uma função contínua em [a, b]. Se f(a) · f(b) < 0, então f possui pelo menos um zero no intervalo (a, b). Observação Importante Podemos acrescentar ao Teorema de Bolzano a seguinte hipótese: Se f é derivável em (a, b) e f′ não muda de sinal neste intervalo (f é monótona em (a, b)). Como consequência, podemos garantir que o zero é único. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

28. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Isolamento dos zeros Teorema de Bolzano Seja f : R → R uma função contínua em [a, b]. Se f(a) · f(b) < 0, então f possui pelo menos um zero no intervalo (a, b). Observação Importante Podemos acrescentar ao Teorema de Bolzano a seguinte hipótese: Se f é derivável em (a, b) e f′ não muda de sinal neste intervalo (f é monótona em (a, b)). Como consequência, podemos garantir que o zero é único. Examples A função f(x) = x3 − 3x + 1 possui pelo menos um zero no intervalo [0, 1]. De fato, f é contínua (função polinomial) e f(0) · f(1) = 1 · (−1) = −1 < 0. Como f′(x) = 3x2 − 3 é negativa para valores de x ∈ [0, 1], então só existe um zero nesse intervalo. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

29. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Isolamento dos zeros Teorema de Bolzano Seja f : R → R uma função contínua em [a, b]. Se f(a) · f(b) < 0, então f possui pelo menos um zero no intervalo (a, b). Construção do gráfico Este processo pode ser executado com os conhecimento sobre funções adquiridos até agora ou, ainda, pela utilização de softwares. Sugestão: Revise os conteúdos de Cálculo Diferencial I ou utilize o Python. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

30. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Isolamento dos zeros Examples Observamos que o gráfico da função f(x) = e−x2 − x3, exibido através da figura a seguir, possui uma raiz no intervalo [0, 1]. x y ξ 1 0 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

31. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Isolamento dos zeros Nessa etapa, quando estamos isolando um zero, é crucial que a análise seja bem feita, pois a próxima depende dessa! A função contínua f pode ter mais de um zero, ou até mesmo nenhum, em [a, b] e para determinarmos um zero aproximado, utilizando um processo numérico, é necessário garantir a existência de apenas um zero da função. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

32. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Refinamento 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

33. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Refinamento Nesta etapa, devemos utilizar um processo iterativo para a construção de uma sequência convergente para o zero da função. Claro que aqui, consideraremos algumas hipóteses para a função f de modo a garantir o sucesso do processo. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

34. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Refinamento Nesta etapa, devemos utilizar um processo iterativo para a construção de uma sequência convergente para o zero da função. Claro que aqui, consideraremos algumas hipóteses para a função f de modo a garantir o sucesso do processo. Aspectos comuns a qualquer processo iterativo 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

35. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Refinamento Nesta etapa, devemos utilizar um processo iterativo para a construção de uma sequência convergente para o zero da função. Claro que aqui, consideraremos algumas hipóteses para a função f de modo a garantir o sucesso do processo. Aspectos comuns a qualquer processo iterativo Estimativa inicial - aproximação inicial do resultado do problema que pode ser obtida de diferentes formas (depende do problema); 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

36. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Refinamento Nesta etapa, devemos utilizar um processo iterativo para a construção de uma sequência convergente para o zero da função. Claro que aqui, consideraremos algumas hipóteses para a função f de modo a garantir o sucesso do processo. Aspectos comuns a qualquer processo iterativo Estimativa inicial - aproximação inicial do resultado do problema que pode ser obtida de diferentes formas (depende do problema); Convergência - Para obter um resultado satisfatório é necessário que a cada iteração o resultado esteja mais próximo do valor esperado; 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

37. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Refinamento Nesta etapa, devemos utilizar um processo iterativo para a construção de uma sequência convergente para o zero da função. Claro que aqui, consideraremos algumas hipóteses para a função f de modo a garantir o sucesso do processo. Aspectos comuns a qualquer processo iterativo Estimativa inicial - aproximação inicial do resultado do problema que pode ser obtida de diferentes formas (depende do problema); Convergência - Para obter um resultado satisfatório é necessário que a cada iteração o resultado esteja mais próximo do valor esperado; Critério de parada - Obviamente não se pode repetir um processo numérico indefinidamente. É necessário que ele seja interrompido e depende do problema e da precisão numérica desejada para a sua solução. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

38. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Refinamento Início Dados iniciais Cálculos iniciais k = 1 Cálculo da nova aproximação Aproximação suficiente próxima do zero exato? k = k + 1 Cálculos intermediários Cálculos finais Término N S Aplicando a função de iteração Critério de parada Fase 1 Fase 2 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

39. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Refinamento Critérios de Parada Utilizamos dois critérios para obter uma raiz aproximada (geralmente não levam ao mesmo resultado). 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

40. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Refinamento Critérios de Parada Utilizamos dois critérios para obter uma raiz aproximada (geralmente não levam ao mesmo resultado). Um zero aproximado x̄ do problema f(x) = 0, com precisão ϵ, é um valor que satisfaz a pelo menos um dos seguintes critérios: 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

41. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Refinamento Critérios de Parada Utilizamos dois critérios para obter uma raiz aproximada (geralmente não levam ao mesmo resultado). Um zero aproximado x̄ do problema f(x) = 0, com precisão ϵ, é um valor que satisfaz a pelo menos um dos seguintes critérios: |ξ − x̄| < ϵ; 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

42. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Refinamento Critérios de Parada Utilizamos dois critérios para obter uma raiz aproximada (geralmente não levam ao mesmo resultado). Um zero aproximado x̄ do problema f(x) = 0, com precisão ϵ, é um valor que satisfaz a pelo menos um dos seguintes critérios: |ξ − x̄| < ϵ; |f(ξ)| < ϵ. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

43. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Refinamento Critérios de Parada Utilizamos dois critérios para obter uma raiz aproximada (geralmente não levam ao mesmo resultado). Um zero aproximado x̄ do problema f(x) = 0, com precisão ϵ, é um valor que satisfaz a pelo menos um dos seguintes critérios: |ξ − x̄| < ϵ; |f(ξ)| < ϵ. O primeiro destes testes é falho, uma vez que, geralmente, não conhecemos o valor do zero da função ξ. Para contornar essa situação, podemos substituir pelo valor absoluto entre duas aproximações sucessivas, ou seja, |x̄i − x̄i−1| < ϵ, para um determinado i e, portanto, fazemos x̄i = x̄. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

44. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

45. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção O método Seja f : [a, b] → R uma função contínua tal que f(a) · f(b) < 0 e exista uma única raiz ξ ∈ (a, b). O método da bisseção consiste da sequência: 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

46. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Algoritmo 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

47. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Algoritmo 1 Estabelecemos quem são os valores de a, de b e de ϵ; 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

48. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Algoritmo 1 Estabelecemos quem são os valores de a, de b e de ϵ; 2 Se b − a < ϵ, tomamos qualquer valor de (a, b) para ser o zero aproximado x̄ 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

49. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Algoritmo 1 Estabelecemos quem são os valores de a, de b e de ϵ; 2 Se b − a < ϵ, tomamos qualquer valor de (a, b) para ser o zero aproximado x̄ 3 Se b − a > ϵ, Calculamos o ponto x1 = a + b 2 ; 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

50. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Algoritmo 1 Estabelecemos quem são os valores de a, de b e de ϵ; 2 Se b − a < ϵ, tomamos qualquer valor de (a, b) para ser o zero aproximado x̄ 3 Se b − a > ϵ, Calculamos o ponto x1 = a + b 2 ; 4 Estabelecemos que xk = ak + bk 2 , k ∈ N; 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

51. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Algoritmo 1 Estabelecemos quem são os valores de a, de b e de ϵ; 2 Se b − a < ϵ, tomamos qualquer valor de (a, b) para ser o zero aproximado x̄ 3 Se b − a > ϵ, Calculamos o ponto x1 = a + b 2 ; 4 Estabelecemos que xk = ak + bk 2 , k ∈ N; 5 Calculamos f(x1); 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

52. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Algoritmo 1 Estabelecemos quem são os valores de a, de b e de ϵ; 2 Se b − a < ϵ, tomamos qualquer valor de (a, b) para ser o zero aproximado x̄ 3 Se b − a > ϵ, Calculamos o ponto x1 = a + b 2 ; 4 Estabelecemos que xk = ak + bk 2 , k ∈ N; 5 Calculamos f(x1); 6 Se f(ak) · f(xk) < 0, então tomamos bk = xk e voltamos ao passo 3; Caso contrário, tomamos ak = xk e voltamos ao passo 3. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

53. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Algoritmo 1 Estabelecemos quem são os valores de a, de b e de ϵ; 2 Se b − a < ϵ, tomamos qualquer valor de (a, b) para ser o zero aproximado x̄ 3 Se b − a > ϵ, Calculamos o ponto x1 = a + b 2 ; 4 Estabelecemos que xk = ak + bk 2 , k ∈ N; 5 Calculamos f(x1); 6 Se f(ak) · f(xk) < 0, então tomamos bk = xk e voltamos ao passo 3; Caso contrário, tomamos ak = xk e voltamos ao passo 3. 7 Repetimos essa estratégia até obter a precisão desejada, ou seja, até quando |ak − bk| < ϵ ou |f(xk)| < ϵ, onde ϵ é um número pequeno e positivo dado. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

54. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Examples Utilizando o método da bisseção, determine a raiz da equação f(x) = cos(x) · e(x−2) − 1 que está em [a, b] = [4, 5], com precisão ϵ = 10−2. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

55. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Examples Utilizando o método da bisseção, determine a raiz da equação f(x) = cos(x) · e(x−2) − 1 que está em [a, b] = [4, 5], com precisão ϵ = 10−2. Solução: 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

56. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Examples Utilizando o método da bisseção, determine a raiz da equação f(x) = cos(x) · e(x−2) − 1 que está em [a, b] = [4, 5], com precisão ϵ = 10−2. Solução: Observe que f(4) = −5, 8298094, f(5) = 4, 6975073 e que a hipótese f(4) · f(5) < 0 está satisfeita. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

57. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Examples Utilizando o método da bisseção, determine a raiz da equação f(x) = cos(x) · e(x−2) − 1 que está em [a, b] = [4, 5], com precisão ϵ = 10−2. Solução: Observe que f(4) = −5, 8298094, f(5) = 4, 6975073 e que a hipótese f(4) · f(5) < 0 está satisfeita. O valor x1 = 4, 5 e f(x1) = f(4, 5) = −3, 5680186. De acordo com o algoritmo da bisseção, devemos trocar o valor de a pelo de x1, ou seja, a = 4, 5. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

58. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Examples Utilizando o método da bisseção, determine a raiz da equação f(x) = cos(x) · e(x−2) − 1 que está em [a, b] = [4, 5], com precisão ϵ = 10−2. Solução: Observe que f(4) = −5, 8298094, f(5) = 4, 6975073 e que a hipótese f(4) · f(5) < 0 está satisfeita. O valor x1 = 4, 5 e f(x1) = f(4, 5) = −3, 5680186. De acordo com o algoritmo da bisseção, devemos trocar o valor de a pelo de x1, ou seja, a = 4, 5. Na segunda iteração, encontramos o valor x2 = 4, 75 e f(x2) = −0, 4118033 e, novamente, a deve ser trocado por x2. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

59. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Examples Utilizando o método da bisseção, determine a raiz da equação f(x) = cos(x) · e(x−2) − 1 que está em [a, b] = [4, 5], com precisão ϵ = 10−2. Solução: Observe que f(4) = −5, 8298094, f(5) = 4, 6975073 e que a hipótese f(4) · f(5) < 0 está satisfeita. O valor x1 = 4, 5 e f(x1) = f(4, 5) = −3, 5680186. De acordo com o algoritmo da bisseção, devemos trocar o valor de a pelo de x1, ou seja, a = 4, 5. Na segunda iteração, encontramos o valor x2 = 4, 75 e f(x2) = −0, 4118033 e, novamente, a deve ser trocado por x2. Na terceira iteração, o valor de x3 = 4, 875 e f(x3) = 1, 8696634 e, agora, o valor de b deve ser trocado por x3. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

60. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Examples Utilizando o método da bisseção, determine a raiz da equação f(x) = cos(x) · e(x−2) − 1 que está em [a, b] = [4, 5], com precisão ϵ = 10−2. Solução: Observe que f(4) = −5, 8298094, f(5) = 4, 6975073 e que a hipótese f(4) · f(5) < 0 está satisfeita. O valor x1 = 4, 5 e f(x1) = f(4, 5) = −3, 5680186. De acordo com o algoritmo da bisseção, devemos trocar o valor de a pelo de x1, ou seja, a = 4, 5. Na segunda iteração, encontramos o valor x2 = 4, 75 e f(x2) = −0, 4118033 e, novamente, a deve ser trocado por x2. Na terceira iteração, o valor de x3 = 4, 875 e f(x3) = 1, 8696634 e, agora, o valor de b deve ser trocado por x3. A tabela abaixo apresenta o resultado das 8 primeiras iterações. Observe que a convergência do método da bisseção é lenta. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

61. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Examples Utilizando o método da bisseção, determine a raiz da equação f(x) = cos(x) · e(x−2) − 1 que está em [a, b] = [4, 5], com precisão ϵ = 10−2. Solução: k 0 1 2 3 4 5 6 7 ak 4, 000 4, 500 4, 750 4, 750 4, 750 4, 750 4, 766 4, 773 bk 5, 000 5, 000 5, 000 4, 875 4, 813 4, 781 4, 781 4, 781 f(ak) −5, 830 −3, 568 −0, 412 −0, 412 −0, 412 −0, 412 −0, 155 −0, 023 f(bk) 4, 698 4, 698 4, 698 1, 870 0, 664 0, 110 0, 110 0, 110 xk 4, 500 4, 750 4, 875 4, 813 4, 781 4, 766 4, 773 4, 777 f(xk) −3, 568 −0, 412 1, 870 0, 664 0, 110 −0, 155 −0, 023 0, 043 |ak − bk| 1, 000 0, 500 0, 250 0, 125 0, 063 0, 031 0, 016 0, 008 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

62. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Estimativa do Número de Iterações 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

63. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Estimativa do Número de Iterações Observa-se que o método da bisseção é um processo que sempre converge para a solução. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

64. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Estimativa do Número de Iterações Observa-se que o método da bisseção é um processo que sempre converge para a solução. A estimativa do número de iterações pode ser calculada da seguinte forma visto que os intervalos são reduzidos à metade a cada iteração: 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

65. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Estimativa do Número de Iterações Observa-se que o método da bisseção é um processo que sempre converge para a solução. A estimativa do número de iterações pode ser calculada da seguinte forma visto que os intervalos são reduzidos à metade a cada iteração: bk − ak = b0 − a0 2k < ϵ, ou seja, 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

66. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Estimativa do Número de Iterações Observa-se que o método da bisseção é um processo que sempre converge para a solução. A estimativa do número de iterações pode ser calculada da seguinte forma visto que os intervalos são reduzidos à metade a cada iteração: bk − ak = b0 − a0 2k < ϵ, ou seja, 2k > b0 − a0 ϵ . 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

67. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Bisseção Estimativa do Número de Iterações Observa-se que o método da bisseção é um processo que sempre converge para a solução. A estimativa do número de iterações pode ser calculada da seguinte forma visto que os intervalos são reduzidos à metade a cada iteração: bk − ak = b0 − a0 2k < ϵ, ou seja, 2k > b0 − a0 ϵ . Segue que, k > log2 b0 − a0 ϵ . 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

68. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Posição Falsa 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

69. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Posição Falsa O método Seja f : [a, b] → R uma função contínua tal que f(a) · f(b) < 0 e exista uma única raiz x0 ∈ (a, b). 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

70. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Posição Falsa O método Seja f : [a, b] → R uma função contínua tal que f(a) · f(b) < 0 e exista uma única raiz x0 ∈ (a, b). No método da bisseção, xk é determinado pela média aritmética entre ak e bk. O método da posição falsa consiste em tomarmos a média ponderada entre ake bk com pesos em |f(bk)| e |f(ak)|, ou seja, 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

71. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Posição Falsa O método Seja f : [a, b] → R uma função contínua tal que f(a) · f(b) < 0 e exista uma única raiz x0 ∈ (a, b). No método da bisseção, xk é determinado pela média aritmética entre ak e bk. O método da posição falsa consiste em tomarmos a média ponderada entre ake bk com pesos em |f(bk)| e |f(ak)|, ou seja, xk = ak|f(bk)| + bk|f(ak)| |f(bk)| + |f(ak)| . 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

72. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Posição Falsa O método Seja f : [a, b] → R uma função contínua tal que f(a) · f(b) < 0 e exista uma única raiz x0 ∈ (a, b). No método da bisseção, xk é determinado pela média aritmética entre ak e bk. O método da posição falsa consiste em tomarmos a média ponderada entre ake bk com pesos em |f(bk)| e |f(ak)|, ou seja, xk = ak|f(bk)| + bk|f(ak)| |f(bk)| + |f(ak)| . Uma vez que f(ak) e f(bk) têm sinais opostos, temos: xk = akf(bk) − bkf(ak) f(bk) − f(ak) . 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

73. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Posição Falsa O método Seja f : [a, b] → R uma função contínua tal que f(a) · f(b) < 0 e exista uma única raiz x0 ∈ (a, b). No método da bisseção, xk é determinado pela média aritmética entre ak e bk. O método da posição falsa consiste em tomarmos a média ponderada entre ake bk com pesos em |f(bk)| e |f(ak)|, ou seja, xk = ak|f(bk)| + bk|f(ak)| |f(bk)| + |f(ak)| . Uma vez que f(ak) e f(bk) têm sinais opostos, temos: xk = akf(bk) − bkf(ak) f(bk) − f(ak) . 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

74. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Posição Falsa 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

75. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Posição Falsa Calculamos o ponto x1 = af(b) − bf(a) b − a ; 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

76. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Posição Falsa Calculamos o ponto x1 = af(b) − bf(a) b − a ; Estabelecemos que xk = akf(bk) − bkf(ak) f(bk) − f(ak) , k ∈ N; 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

77. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Posição Falsa Calculamos o ponto x1 = af(b) − bf(a) b − a ; Estabelecemos que xk = akf(bk) − bkf(ak) f(bk) − f(ak) , k ∈ N; Calculamos f(x1); 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

78. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Posição Falsa Calculamos o ponto x1 = af(b) − bf(a) b − a ; Estabelecemos que xk = akf(bk) − bkf(ak) f(bk) − f(ak) , k ∈ N; Calculamos f(x1); Se f(ak) · f(xk) > 0, então tomamos ak = xk e voltamos ao passo 2; Caso contrário, tomamos bk = xk e voltamos ao passo 2. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

79. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Posição Falsa Calculamos o ponto x1 = af(b) − bf(a) b − a ; Estabelecemos que xk = akf(bk) − bkf(ak) f(bk) − f(ak) , k ∈ N; Calculamos f(x1); Se f(ak) · f(xk) > 0, então tomamos ak = xk e voltamos ao passo 2; Caso contrário, tomamos bk = xk e voltamos ao passo 2. Repetimos essa estratégia até obter a precisão desejada, ou seja, até quando |ak − bk| < ϵ ou |f(xk)| < ϵ, onde ϵ é um número pequeno e positivo dado. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

80. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Posição Falsa Observamos que o estudo da convergência deste método é análogo ao da convergência no método da bisseção e, portanto, este método sempre convergirá. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

81. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Posição Falsa Examples Encontrar, pelo método da posição falsa, um zero de f(x) = x3 − 9x2 + 3 no intervalo [0, 1] com precisão ϵ = 0, 0005. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

82. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Posição Falsa Examples Encontrar, pelo método da posição falsa, um zero de f(x) = x3 − 9x2 + 3 no intervalo [0, 1] com precisão ϵ = 0, 0005. Solução: Construiremos uma tabela com os valores de ak, bk, xk, f(ak), f(bk), f(xk) e |bk − ak|. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

83. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Posição Falsa Examples Encontrar, pelo método da posição falsa, um zero de f(x) = x3 − 9x2 + 3 no intervalo [0, 1] com precisão ϵ = 0, 0005. Solução: Construiremos uma tabela com os valores de ak, bk, xk, f(ak), f(bk), f(xk) e |bk − ak|. k 0 1 2 ak 0, 00000 0, 00000 0, 00000 bk 1, 00000 0, 37500 0, 33862 f(ak) 3, 00000 3, 00000 3, 00000 f(bk) −5, 00000 −0, 32227 −0, 00879 xk 0, 37500 0, 33862 0, 33763 f(xk) −0, 32227 −0, 008790 −0, 00023 |bk − ak| 1, 00000 0, 37500 0, 33862 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

84. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

85. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear O Método O Método da Iteração Linear consiste em transformar o problema f(x) = 0 em outro equivalente x = φ(x) que é denominado Problema de Ponto Fixo, em que φ(x) é chamada de função de iteração. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

86. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear O Método O Método da Iteração Linear consiste em transformar o problema f(x) = 0 em outro equivalente x = φ(x) que é denominado Problema de Ponto Fixo, em que φ(x) é chamada de função de iteração. Apesar de existir diferença entre estes problemas, uma vez que o primeiro tem como solução a interseção do gráfico da função f com o eixo das abscissas e o outro a interseção do gráfico de φ(x) com a reta y = x, essa transformação não altera nem a posição e nem o valor de ξ. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

87. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear O Método O Método da Iteração Linear consiste em transformar o problema f(x) = 0 em outro equivalente x = φ(x) que é denominado Problema de Ponto Fixo, em que φ(x) é chamada de função de iteração. Apesar de existir diferença entre estes problemas, uma vez que o primeiro tem como solução a interseção do gráfico da função f com o eixo das abscissas e o outro a interseção do gráfico de φ(x) com a reta y = x, essa transformação não altera nem a posição e nem o valor de ξ. Outra preocupação que se deve ter é com a determinação da função de iteração φ, pois ela deve gerar uma sequência xk = φ(xk−1) convergente para uma solução ξ, a partir de um valor inicial x0 dado numa vizinhança de ξ. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

88. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear O Método O Método da Iteração Linear consiste em transformar o problema f(x) = 0 em outro equivalente x = φ(x) que é denominado Problema de Ponto Fixo, em que φ(x) é chamada de função de iteração. Apesar de existir diferença entre estes problemas, uma vez que o primeiro tem como solução a interseção do gráfico da função f com o eixo das abscissas e o outro a interseção do gráfico de φ(x) com a reta y = x, essa transformação não altera nem a posição e nem o valor de ξ. Outra preocupação que se deve ter é com a determinação da função de iteração φ, pois ela deve gerar uma sequência xk = φ(xk−1) convergente para uma solução ξ, a partir de um valor inicial x0 dado numa vizinhança de ξ. A importância deste método se deve mais aos conceitos que ele introduz do que sua eficiência computacional. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

89. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear O teorema a seguir nos dá as condições as quais uma função de iteração deve satisfazer para que exista a garantia de convergência para a solução de um problema que envolve o zero de funções. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

90. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Theorem Seja x = φ(x) o problema de ponto fixo, com φ(x) uma função contínua cujas derivadas parciais até segunda ordem são contínuas num intervalo I da forma (ξ − h, ξ + h). 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

91. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Theorem Seja x = φ(x) o problema de ponto fixo, com φ(x) uma função contínua cujas derivadas parciais até segunda ordem são contínuas num intervalo I da forma (ξ − h, ξ + h). Sejam ainda x0 ∈ I e M um limitante tal que |φ′(x)| ≤ M < 1, para todo x ∈ I. Então: 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

92. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Theorem Seja x = φ(x) o problema de ponto fixo, com φ(x) uma função contínua cujas derivadas parciais até segunda ordem são contínuas num intervalo I da forma (ξ − h, ξ + h). Sejam ainda x0 ∈ I e M um limitante tal que |φ′(x)| ≤ M < 1, para todo x ∈ I. Então: 1 xk = φ(xk−1) está em I, para k ∈ {1, 2, 3, . . .}; 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

93. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Theorem Seja x = φ(x) o problema de ponto fixo, com φ(x) uma função contínua cujas derivadas parciais até segunda ordem são contínuas num intervalo I da forma (ξ − h, ξ + h). Sejam ainda x0 ∈ I e M um limitante tal que |φ′(x)| ≤ M < 1, para todo x ∈ I. Então: 1 xk = φ(xk−1) está em I, para k ∈ {1, 2, 3, . . .}; 2 lim k→∞ |xk − ξ| = 0; 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

94. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Theorem Seja x = φ(x) o problema de ponto fixo, com φ(x) uma função contínua cujas derivadas parciais até segunda ordem são contínuas num intervalo I da forma (ξ − h, ξ + h). Sejam ainda x0 ∈ I e M um limitante tal que |φ′(x)| ≤ M < 1, para todo x ∈ I. Então: 1 xk = φ(xk−1) está em I, para k ∈ {1, 2, 3, . . .}; 2 lim k→∞ |xk − ξ| = 0; 3 se φ′(ξ) ̸= 0, então a sequência (xk)k∈N) será monótona ou oscilatória, dependendo do sinal de φ′(ξ). 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

95. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Theorem Seja x = φ(x) o problema de ponto fixo, com φ(x) uma função contínua cujas derivadas parciais até segunda ordem são contínuas num intervalo I da forma (ξ − h, ξ + h). Sejam ainda x0 ∈ I e M um limitante tal que |φ′(x)| ≤ M < 1, para todo x ∈ I. Então: 1 xk = φ(xk−1) está em I, para k ∈ {1, 2, 3, . . .}; 2 lim k→∞ |xk − ξ| = 0; 3 se φ′(ξ) ̸= 0, então a sequência (xk)k∈N) será monótona ou oscilatória, dependendo do sinal de φ′(ξ). 4 se φ′(ξ) = 0 e φ′′(x) ̸= 0, então a sequência (xk)k∈N) será oscilatória. Demonstração: Ver nas notas de aula do professor. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

96. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Examples Determinar os zeros da função f(x) = x2 − x − 2 utilizando o método da iteração linear. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

97. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Examples Determinar os zeros da função f(x) = x2 − x − 2 utilizando o método da iteração linear. Solução: Sabemos que o problema x2 − x − 2 = 0 possui raízes em x = −1 e x = 2. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

98. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Examples Determinar os zeros da função f(x) = x2 − x − 2 utilizando o método da iteração linear. Solução: Sabemos que o problema x2 − x − 2 = 0 possui raízes em x = −1 e x = 2. Para determinarmos uma raiz próxima de x = 2 utilizando a iteração linear, devemos transformar o problema num problema de ponto fixo equivalente como, por exemplo: 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

99. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Examples Determinar os zeros da função f(x) = x2 − x − 2 utilizando o método da iteração linear. Solução: Sabemos que o problema x2 − x − 2 = 0 possui raízes em x = −1 e x = 2. Para determinarmos uma raiz próxima de x = 2 utilizando a iteração linear, devemos transformar o problema num problema de ponto fixo equivalente como, por exemplo: x = x2 − 2, x = ± √ 2 + x, x = 1 + 2 x , x = x − x2 − x − 2 x2 + 1 . 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

100. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Examples Determinar os zeros da função f(x) = x2 − x − 2 utilizando o método da iteração linear. Se tomarmos o problema de ponto fixo equivalente φ(x) = x2 − 2 temos que φ′(x) = 2x. Sendo assim, |φ′(x)| < 1 se x ∈ − 1 2 , 1 2 , ou seja, tanto x = −1 quanto x = 2 estão fora do intervalo onde a convergência do método estaria garantida. No entanto, pelo fato de existir uma região onde essa derivada é menor que um é que a sequência apresenta comportamento oscilatório observado na primeira coluna da tabela a seguir . 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

101. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Examples Determinar os zeros da função f(x) = x2 − x − 2 utilizando o método da iteração linear. Se escolhermos o problema de ponto fixo equivalente φ(x) = √ 2 + x temos que φ′(x) = 1 2 √ 2 + x . Sendo assim, |φ′(x)| 1 se x ∈ − 7 4 , +∞ , ou seja, o processo nos dá um sequencia convergente na vizinhança de x = 2. Observe novamente a tabela ??. Note no entanto que não seria possível determinar uma raiz aproximada do valor x = −1 utilizando esse problema de ponto fixo, pois o resultado da iteração nesse caso é sempre positivo e, portanto, não pode convergir para um valor negativo. Para determinar essa raiz aproximada seria necessário considerar o outro ramo da função ou seja o problema de ponto fixo φ(x) = − √ 2 + x. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

102. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Examples Determinar os zeros da função f(x) = x2 − x − 2 utilizando o método da iteração linear. k xk = x2 k−1 − 2 xk = √ 2 + xk−1 0 0, 500000000 0, 500000000 1 −1, 750000000 1, 581138830 2 1, 062500000 1, 892389714 3 −0, 871093750 1, 972914016 4 −1, 241195679 1, 993217002 5 −0, 459433287 1, 998303531 6 −1, 788921055 1, 999575838 7 1, 200238540 1, 999893957 8 −0, 559427448 1, 999973489 9 −1, 687040931 1, 999993372 10 0, 846107103 1, 999998343 11 −1, 284102771 1, 999999586 12 −0, 351080073 1, 999999896 13 −1, 876742782 1, 999999974 14 1, 522163470 1, 999999994 15 0, 316981629 1, 999999998 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

103. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Ordem de Convergência do Método da Iteração Linear 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

104. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Ordem de Convergência do Método da Iteração Linear A ordem de convergência de um método mede a velocidade com que as iterações produzidas por esse método se aproximam da solução exata. Quanto maior a ordem de convergência tanto melhor será o método numérico, pois tão mais rápida será sua convergência. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

105. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Ordem de Convergência do Método da Iteração Linear A ordem de convergência de um método mede a velocidade com que as iterações produzidas por esse método se aproximam da solução exata. Quanto maior a ordem de convergência tanto melhor será o método numérico, pois tão mais rápida será sua convergência. Sejam xk o resultado da k-ésima iteração de um método numérico e ek = xk − ξ o seu erro. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

106. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Ordem de Convergência do Método da Iteração Linear A ordem de convergência de um método mede a velocidade com que as iterações produzidas por esse método se aproximam da solução exata. Quanto maior a ordem de convergência tanto melhor será o método numérico, pois tão mais rápida será sua convergência. Sejam xk o resultado da k-ésima iteração de um método numérico e ek = xk − ξ o seu erro. Se lim k→∞ |ek| |ek−1|p = c ̸= 0, p ∈ N e p ≥ 1, onde c 0 é uma constante arbitrária, então p é chamado ordem de convergência desse método. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

107. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Ordem de Convergência do Método da Iteração Linear Para a iteração linear, provamos no Teorema ?? que |xk − ξ| = |φ′(ξk−1)| · |xk−1 − ξ| e, portanto, podemos escrever: |xk − ξ| |xk−1 − ξ| = |φ′ (ξk−1)| ≤ M. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

108. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Ordem de Convergência do Método da Iteração Linear Para a iteração linear, provamos no Teorema ?? que |xk − ξ| = |φ′(ξk−1)| · |xk−1 − ξ| e, portanto, podemos escrever: |xk − ξ| |xk−1 − ξ| = |φ′ (ξk−1)| ≤ M. Assim, a definição acima está satisfeita com p = 1 e c = M, ou seja, a iteração linear tem ordem de convergência p = 1. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

109. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Ordem de Convergência do Método da Iteração Linear Para a iteração linear, provamos no Teorema ?? que |xk − ξ| = |φ′(ξk−1)| · |xk−1 − ξ| e, portanto, podemos escrever: |xk − ξ| |xk−1 − ξ| = |φ′ (ξk−1)| ≤ M. Assim, a definição acima está satisfeita com p = 1 e c = M, ou seja, a iteração linear tem ordem de convergência p = 1. Retomando a tabela ?? podemos confirmar que de fato que p = 1. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

110. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Ordem de Convergência do Método da Iteração Linear Da definição acima podemos afirmar que para k suficientemente grande temos: 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

111. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Ordem de Convergência do Método da Iteração Linear Da definição acima podemos afirmar que para k suficientemente grande temos: |ek| ≈ c · |ek−1|p e |ek−1| ≈ c · |ek−2|p. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

112. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Ordem de Convergência do Método da Iteração Linear Da definição acima podemos afirmar que para k suficientemente grande temos: |ek| ≈ c · |ek−1|p e |ek−1| ≈ c · |ek−2|p. Dividindo uma equação pela outra eliminamos a constante c e obtemos:

116. ek ek−1

120. ≈

124. ek−1 ek−2

128. p ⇒ p ≈ log

132. ek ek−1

136. log

140. ek−1 ek−2

144. . 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

145. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Ordem de Convergência do Método da Iteração Linear Da definição acima podemos afirmar que para k suficientemente grande temos: |ek| ≈ c · |ek−1|p e |ek−1| ≈ c · |ek−2|p. Dividindo uma equação pela outra eliminamos a constante c e obtemos:

149. ek ek−1

153. ≈

157. ek−1 ek−2

161. p ⇒ p ≈ log

165. ek ek−1

169. log

173. ek−1 ek−2

177. . Na implicação acima, claramente, tomamos o logaritmo de ambos os membros. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

178. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Examples Determinar a ordem de convergência da iteração linear xk = p 2 + xk−1. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

179. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Examples Determinar a ordem de convergência da iteração linear xk = p 2 + xk−1. Solução: A tabela abaixo ilustra o cálculo aproximado da ordem de convergência da iteração linear através das fórmulas apresentadas anteriormente: 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

180. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método da Iteração Linear Examples Determinar a ordem de convergência da iteração linear xk = p 2 + xk−1. Solução: A tabela abaixo ilustra o cálculo aproximado da ordem de convergência da iteração linear através das fórmulas apresentadas anteriormente: k xk = √ 2 + xk−1 |ξ − xk| p 0 0, 500000000 1, 500000 1 1, 581138830 0, 418861 2 1, 892389714 0, 107610 1, 065331733 3 1, 972914016 0, 027086 1, 015067127 4 1, 993217002 0, 006783 1, 003695159 5 1, 998303531 0, 001696 1, 000919775 6 1, 999575838 0, 000424 1, 000231123 7 1, 999893957 0, 000106 1, 000063569 8 1, 999973489 0, 000027 1, 000039110 9 1, 999993372 0, 000007 1, 000102664 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

181. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

182. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson O método O Método de Newton-Raphson (Método das tangentes) é um caso particular do método da iteração linear. O que ele determina é uma função de iteração que gera uma sequência que converge mais rapidamente para o zero da função. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

183. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson O método O Método de Newton-Raphson (Método das tangentes) é um caso particular do método da iteração linear. O que ele determina é uma função de iteração que gera uma sequência que converge mais rapidamente para o zero da função. Um resultado interessante é que quanto menor o valor de M tal que |φ′(x)| ≤ M 1, para todo x numa vizinhança de ξ, mais rápido teremos a convergência. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

184. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson O método O Método de Newton-Raphson (Método das tangentes) é um caso particular do método da iteração linear. O que ele determina é uma função de iteração que gera uma sequência que converge mais rapidamente para o zero da função. Um resultado interessante é que quanto menor o valor de M tal que |φ′(x)| ≤ M 1, para todo x numa vizinhança de ξ, mais rápido teremos a convergência. Seja φ(x) = x + A(x) · f(x). Logo: 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

185. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson O método O Método de Newton-Raphson (Método das tangentes) é um caso particular do método da iteração linear. O que ele determina é uma função de iteração que gera uma sequência que converge mais rapidamente para o zero da função. Um resultado interessante é que quanto menor o valor de M tal que |φ′(x)| ≤ M 1, para todo x numa vizinhança de ξ, mais rápido teremos a convergência. Seja φ(x) = x + A(x) · f(x). Logo: φ′ (x) = 1 + A′ (x) · f(x) + A(x) · f′ (x). (1) 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

186. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson O método Como uma condição suficiente para convergência é que |φ′(x)| 1 em um vizinhança do ponto ξ, vamos, então, impor que φ′(ξ) = 0. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

187. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson O método Como uma condição suficiente para convergência é que |φ′(x)| 1 em um vizinhança do ponto ξ, vamos, então, impor que φ′(ξ) = 0. Assim, como φ′(x) é contínua deve sempre existir uma vizinhança do ponto ξ, em que |φ′(x)| 1, ou seja, o método será sempre convergente desde que o ponto inicial seja escolhido dentro dessa vizinhança. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

188. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson O método Como uma condição suficiente para convergência é que |φ′(x)| 1 em um vizinhança do ponto ξ, vamos, então, impor que φ′(ξ) = 0. Assim, como φ′(x) é contínua deve sempre existir uma vizinhança do ponto ξ, em que |φ′(x)| 1, ou seja, o método será sempre convergente desde que o ponto inicial seja escolhido dentro dessa vizinhança. Sendo assim, 0 = φ′ (ξ) = 1 + A′ (ξ) · f(ξ) + A(ξ) · f′ (ξ). 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

189. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson O método Como uma condição suficiente para convergência é que |φ′(x)| 1 em um vizinhança do ponto ξ, vamos, então, impor que φ′(ξ) = 0. Assim, como φ′(x) é contínua deve sempre existir uma vizinhança do ponto ξ, em que |φ′(x)| 1, ou seja, o método será sempre convergente desde que o ponto inicial seja escolhido dentro dessa vizinhança. Sendo assim, 0 = φ′ (ξ) = 1 + A′ (ξ) · f(ξ) + A(ξ) · f′ (ξ). Mas, f(ξ) = 0, por hipótese, e esta última equação se reduz a: 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

190. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson O método Como uma condição suficiente para convergência é que |φ′(x)| 1 em um vizinhança do ponto ξ, vamos, então, impor que φ′(ξ) = 0. Assim, como φ′(x) é contínua deve sempre existir uma vizinhança do ponto ξ, em que |φ′(x)| 1, ou seja, o método será sempre convergente desde que o ponto inicial seja escolhido dentro dessa vizinhança. Sendo assim, 0 = φ′ (ξ) = 1 + A′ (ξ) · f(ξ) + A(ξ) · f′ (ξ). Mas, f(ξ) = 0, por hipótese, e esta última equação se reduz a: A(ξ) = − 1 f′(ξ) , f′ (ξ) ̸= 0, 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

191. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson O método o que sugere a definição de A(x) = − 1 f′(x) e, como resultado, a função de iteração fica: 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

192. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson O método o que sugere a definição de A(x) = − 1 f′(x) e, como resultado, a função de iteração fica: φ(x) = x − f(x) f′(x) . 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

193. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson O método o que sugere a definição de A(x) = − 1 f′(x) e, como resultado, a função de iteração fica: φ(x) = x − f(x) f′(x) . Definimos, então, o método de Newton: xk = xk−1 − f(xk−1) f′(xk−1) . (1) 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

194. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Condições Suficientes para a Convergência 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

195. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Condições Suficientes para a Convergência Theorem Seja f uma função que admite derivada até segunda ordem em [a, b]. Se 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

196. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Condições Suficientes para a Convergência Theorem Seja f uma função que admite derivada até segunda ordem em [a, b]. Se 1 f(a) · f(b) 0; 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

197. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Condições Suficientes para a Convergência Theorem Seja f uma função que admite derivada até segunda ordem em [a, b]. Se 1 f(a) · f(b) 0; 2 f′(x) ̸= 0, ∀ x ∈ [a, b]; 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

198. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Condições Suficientes para a Convergência Theorem Seja f uma função que admite derivada até segunda ordem em [a, b]. Se 1 f(a) · f(b) 0; 2 f′(x) ̸= 0, ∀ x ∈ [a, b]; 3 f′′(x) 0 ou f′′(x) 0, ∀ x ∈ [a, b] (i.e. f′′(x) não muda de sinal em [a, b]); 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

199. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Condições Suficientes para a Convergência Theorem Seja f uma função que admite derivada até segunda ordem em [a, b]. Se 1 f(a) · f(b) 0; 2 f′(x) ̸= 0, ∀ x ∈ [a, b]; 3 f′′(x) 0 ou f′′(x) 0, ∀ x ∈ [a, b] (i.e. f′′(x) não muda de sinal em [a, b]); 4

203. f(a) f′(a)

207. (b − a) ou

211. f(b) f′(b)

215. (b − a), então o método de Newton-Raphson converge para o único zero ξ de f em [a, b], qualquer que seja a aproximação inicial x0 ∈ [a, b]. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

216. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Condições Suficientes para a Convergência Theorem Seja f uma função que admite derivada até segunda ordem em [a, b]. Se 1 f(a) · f(b) 0; 2 f′(x) ̸= 0, ∀ x ∈ [a, b]; 3 f′′(x) 0 ou f′′(x) 0, ∀ x ∈ [a, b] (i.e. f′′(x) não muda de sinal em [a, b]); 4

220. f(a) f′(a)

224. (b − a) ou

228. f(b) f′(b)

232. (b − a), então o método de Newton-Raphson converge para o único zero ξ de f em [a, b], qualquer que seja a aproximação inicial x0 ∈ [a, b]. Theorem 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

233. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Condições Suficientes para a Convergência Monótona As condições de convergência monótona podem ser estabelecidas com mais rigor através do seguinte teorema. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

234. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Condições Suficientes para a Convergência Monótona As condições de convergência monótona podem ser estabelecidas com mais rigor através do seguinte teorema. Theorem Seja [a, b] um intervalo que contém uma só raiz da equação f(x) = 0. A sucessão de valores xi gerados pelo método de Newton-Raphson é monótona e limitada pela raiz x0 (e, portanto, convergente) se: 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

235. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Condições Suficientes para a Convergência Monótona As condições de convergência monótona podem ser estabelecidas com mais rigor através do seguinte teorema. Theorem Seja [a, b] um intervalo que contém uma só raiz da equação f(x) = 0. A sucessão de valores xi gerados pelo método de Newton-Raphson é monótona e limitada pela raiz x0 (e, portanto, convergente) se: 1 f′(x) ̸= 0, ∀ x ∈ [a, b]; 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

236. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Condições Suficientes para a Convergência Monótona As condições de convergência monótona podem ser estabelecidas com mais rigor através do seguinte teorema. Theorem Seja [a, b] um intervalo que contém uma só raiz da equação f(x) = 0. A sucessão de valores xi gerados pelo método de Newton-Raphson é monótona e limitada pela raiz x0 (e, portanto, convergente) se: 1 f′(x) ̸= 0, ∀ x ∈ [a, b]; 2 f′′(x) é de sinal constante em [a, b], ou seja, f′′(a) · f′′(b) 0; 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

237. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Condições Suficientes para a Convergência Monótona As condições de convergência monótona podem ser estabelecidas com mais rigor através do seguinte teorema. Theorem Seja [a, b] um intervalo que contém uma só raiz da equação f(x) = 0. A sucessão de valores xi gerados pelo método de Newton-Raphson é monótona e limitada pela raiz x0 (e, portanto, convergente) se: 1 f′(x) ̸= 0, ∀ x ∈ [a, b]; 2 f′′(x) é de sinal constante em [a, b], ou seja, f′′(a) · f′′(b) 0; 3 O valor inicial x0 for o extremo do intervalo [a, b] em que f(x0) · f′′(x0) 0, isto é, toma-se a = x0 ou b = x0 de modo que f(x0) e f′′(x0) tenham o mesmo sinal. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

238. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Examples Determinar uma raiz positiva de f(x) = 4 cos(x) − ex pelo método de Newton-Raphson iniciando com x0 = 1, 0 e com precisão de duas casas decimais. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

239. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Examples Determinar uma raiz positiva de f(x) = 4 cos(x) − ex pelo método de Newton-Raphson iniciando com x0 = 1, 0 e com precisão de duas casas decimais. Solução: A primeira iteração produz: x1 = 1 − f(1) f′(1) = 1 − −0.557 −6.048 = 0.908. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

240. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Examples Determinar uma raiz positiva de f(x) = 4 cos(x) − ex pelo método de Newton-Raphson iniciando com x0 = 1, 0 e com precisão de duas casas decimais. Solução: A primeira iteração produz: x1 = 1 − f(1) f′(1) = 1 − −0.557 −6.048 = 0.908. Calculando o erro relativo obtemos:

244. x1 − x0 x1

248. ≈ 0.101 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

253. x1 − x0 x1

257. ≈ 0.101 e, portanto, não atingimos ainda a precisão desejada, necessitando-se mais uma iteração. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

262. x1 − x0 x1

266. ≈ 0.101 e, portanto, não atingimos ainda a precisão desejada, necessitando-se mais uma iteração. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

267. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Examples Encontrar, pelo método de Newton, um zero de f(x) = cos(x) − 1 − ex−2, utilizando como ponto inicial x0 = 0 e precisão ϵ = 10−6. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

268. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Examples Encontrar, pelo método de Newton, um zero de f(x) = cos(x) − 1 − ex−2, utilizando como ponto inicial x0 = 0 e precisão ϵ = 10−6. Solução: A tabela abaixo mostra as iterações do método de Newton-Raphson e seu erro: 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

269. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Examples Encontrar, pelo método de Newton, um zero de f(x) = cos(x) − 1 − ex−2, utilizando como ponto inicial x0 = 0 e precisão ϵ = 10−6. Solução: A tabela abaixo mostra as iterações do método de Newton-Raphson e seu erro: k 1 2 3 4 5 6 xk−1 0, 000000 6, 389056 5, 284119 4, 919723 4, 791474 4, 775048 f(xk−1) −0, 864665 79, 113252 13, 439171 2, 815709 0, 288134 0, 004363 f′ (xk−1) 0, 135335 71, 599767 36, 880741 21, 954883 17, 542202 17, 012290 xk 6, 389056 5, 284119 4, 919723 4, 791474 4, 775048 4, 774792 f(xk) 79, 113252 13, 439171 2, 815709 0, 288134 0, 004363 0, 000001 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

270. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Ordem de Convergência do Método de Newton-Raphson 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

271. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Ordem de Convergência do Método de Newton-Raphson O método de Newton tem ordem de convergência p = 2. Veja a demonstração do Teorema a seguir nas notas de aula do professor: 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

272. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Ordem de Convergência do Método de Newton-Raphson O método de Newton tem ordem de convergência p = 2. Veja a demonstração do Teorema a seguir nas notas de aula do professor: Theorem Seja f uma aplicação de classe C2 num intervalo I que contém a raiz ξ como seu ponto central. Suponhamos que f′(x) ̸= 0. Então, a ordem de convergência do método de Newton no intervalo I é quadrática. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

273. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Examples Utilize a tabela k xk = x2 k−1 − 2 xk = √ 2 + xk−1 0 0, 500000000 0, 500000000 1 −1, 750000000 1, 581138830 2 1, 062500000 1, 892389714 3 −0, 871093750 1, 972914016 4 −1, 241195679 1, 993217002 5 −0, 459433287 1, 998303531 6 −1, 788921055 1, 999575838 7 1, 200238540 1, 999893957 8 −0, 559427448 1, 999973489 9 −1, 687040931 1, 999993372 10 0, 846107103 1, 999998343 11 −1, 284102771 1, 999999586 12 −0, 351080073 1, 999999896 13 −1, 876742782 1, 999999974 14 1, 522163470 1, 999999994 15 0, 316981629 1, 999999998 e a fórmula da ordem de convergência do método de Newton. 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

274. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método de Newton-Raphson Examples Utilize a tabela e a fórmula da ordem de convergência do método de Newton. Solução: Acompanhe os números da tabela abaixo: k 1 2 3 4 5 6 ek 1, 614264 0, 50932700 0, 144932000 0, 016682000 0, 000257000 0, 000000000 ek/ek−1 0, 31551644 0, 284555039 0, 115100753 0, 015377588 0, 000241361 p 1, 089536290 1, 720160925 1, 931057214 1, 995096637 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

275. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método das Secantes 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

276. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método das Secantes O Método 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

277. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método das Secantes O Método Às vezes não nos é possível determinar a derivada de uma função f(x), pois esta pode ser somente conhecida por métodos numéricos, como é o caso em que f representa o resultado de uma medição. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

278. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método das Secantes O Método Às vezes não nos é possível determinar a derivada de uma função f(x), pois esta pode ser somente conhecida por métodos numéricos, como é o caso em que f representa o resultado de uma medição. Para esses casos podemos substituir a derivada que aparece na fórmula de Newton pela seguinte aproximação: 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

279. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método das Secantes O Método Às vezes não nos é possível determinar a derivada de uma função f(x), pois esta pode ser somente conhecida por métodos numéricos, como é o caso em que f representa o resultado de uma medição. Para esses casos podemos substituir a derivada que aparece na fórmula de Newton pela seguinte aproximação: f′ (xk) ≈ f(xk) − f(xk−1) xk − xk−1 com xk e xk−1 aproximações para a raiz ξ. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

280. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método das Secantes O Método Assim, uma fórmula semelhante à fórmula de Newton é: 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

281. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método das Secantes O Método Assim, uma fórmula semelhante à fórmula de Newton é: φ(xk) = xk − f(xk) f(xk) − f(xk−1) xk − xk−1 = xk − (xk − xk−1)f(xk) f(xk) − f(xk−1) = (xk−1)f(xk) − xkf(xk−1) f(xk) − f(xk−1) . 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

282. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método das Secantes O Método Assim, uma fórmula semelhante à fórmula de Newton é: φ(xk) = xk − f(xk) f(xk) − f(xk−1) xk − xk−1 = xk − (xk − xk−1)f(xk) f(xk) − f(xk−1) = (xk−1)f(xk) − xkf(xk−1) f(xk) − f(xk−1) . Portanto, podemos concluir que são necessárias duas aproximações para iniciarmos o método. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

283. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método das Secantes Interpretação Geométrica A interpretação geométrica deste método é muito simples. Dados os pontos xk e xk−1, um novo ponto é construído, formando-se a reta secante passando pelos pontos (xk, f(xk)) e (xk−1, f(xk−1)) e, calculando-se a interseção dessa reta com o eixo Ox. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

284. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método das Secantes Interpretação Geométrica A interpretação geométrica deste método é muito simples. Dados os pontos xk e xk−1, um novo ponto é construído, formando-se a reta secante passando pelos pontos (xk, f(xk)) e (xk−1, f(xk−1)) e, calculando-se a interseção dessa reta com o eixo Ox. O novo ponto será a aproximação para ξ. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

285. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método das Secantes Example Determinar, pelo método das secantes, um zero de f(x) = cos(x) · ex−2 − 1, utilizando como ponto inicial x0 = 0, x1 = 1, 0 e precisão ϵ = 10−6. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

286. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função Método das Secantes Example Determinar, pelo método das secantes, um zero de f(x) = cos(x) · ex−2 − 1, utilizando como ponto inicial x0 = 0, x1 = 1, 0 e precisão ϵ = 10−6. Solução: k 2 3 4 5 6 7 xk−2 4, 5 4, 6 4, 837233 4, 763795 4, 774166 4, 774798 xk−1 4, 6 4, 837233 4, 763795 4, 774166 4, 774798 4, 774792 f(xk−2) −3, 568019 −2, 509992 1, 125374 −0, 185067 −0, 010634 0, 000111 f(xk−1) −2, 509992 1, 125374 −0, 185067 −0, 010634 0, 000111 0, 000000 xk 4, 837233 4, 763795 4, 774166 4, 774798 4, 774792 4, 774792 f(xk) 1, 125374 −0, 185067 −0, 010634 0, 000111 0, 000000 0, 000000 xk−1 − xk−2 0, 100000 0, 237233 0, 073439 0, 010371 0, 000632 0, 000007 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

287. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função REFERÊNCIAS 1 NASCIMENTO, P. H. R. Notas de Aulas: Cálculo Numérico I. Cruz das Almas: UFRB, 2021. 2 RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. da R. Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª edição, Editora Pearson, 1997. 3 CUNHA, F. G. M; CASTRO, J. K. S. Licenciatura em Matemática: Cálculo Numérico. Fortaleza: UAB/IFCE, 2010. 11 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

288. Zero de funções e os Métodos Numéricos Refinamento e os Métodos Numéricos para determinar o zero da função FIM Votos e agradecimentos Desejo que esta apresentação aguce sua curiosidade e faça com que você se aprofunde mais! Sucesso! 12 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 9 de fevereiro de 2021

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