Método dos Mínimos Quadrados - Oficina

1. FACULDADES INTEGRADAS “CAMPOS SALLES”

2. Prof. Ms. Paulo Cezar Pagnossin
ESTIMANDO FUNÇÕES COM O
MÉTODO DOS MÍNIMOS
QUADRADOS
Oficina de Matemática

3. Oficina de Matemática
•Estimando funções com o Método dos
Mínimos Quadrados:
•Funções;
•Dados Reais;
•Regressão;
•Diagrama de Dispersão;
•O Método dos Mínimos Quadrados;
•Prática.

4. Estimando funções com o Método dos
Mínimos Quadrados
•PRODUTO CARTESIANO:
• Dado o conjunto A e o conjunto B, o produto
cartesiano A X B é definido como:
• 𝑨 𝑿 𝑩 = (𝒙, 𝒚) ∈ 𝑬 | 𝒙 ∈ 𝑨 ∧ 𝒙 ∈ 𝑩
•RELAÇÃO:
• É qualquer subconjunto de um Produto
Cartesiano.
•FUNÇÕES:
• É toda Relação em que todos os elementos do
domínio tem uma e somente uma imagem no
contradomínio.

5. • Exemplo:
• Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 4, 6}
• PRODUTO CARTESIANO:
• 𝑨 𝑿 𝑩 = (𝒙, 𝒚) ∈ 𝑬 | 𝒙 ∈ 𝑨 ∧ 𝒚 ∈ 𝑩
• E = A X B = { (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4),
(2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6) }
• RELAÇÃO:
• C = { (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6) }
• D = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6) }
• FUNÇÃO: y = f(x) = 2.x
• G = { (1, 2), (2, 4), (3, 6) }

6. •DADOS REAIS
• São os dados observados na vida real,
como por exemplo os preços praticados de
um determinado produto, a quantidade
vendida de um produto, a quantidade
fabricada, os custos de um produto, os
impostos praticados etc.
• Esses dados são colhidos nos registros
históricas das empresas, em entidade de
classe, em órgãos oficiais de pesquisa etc.

7. •EXEMPLO DE DADOS REAIS
Cotação mensal do ovo extra branco no atacado – caixa de
30 ovos – Brasília - 2007 e 2008.

8. •EXEMPLO DE DADOS REAIS

9. • REGRESSÃO
• Em estatística, Regressão é uma técnica que permite
explorar e inferir a relação de uma variável
dependente (variável de resposta) com variáveis
independentes específicas (variáveis explicatórias).
• A Análise da Regressão pode ser usada como um
método descritivo da análise de dados (como, por
exemplo, o ajustamento de curvas) sem serem
necessárias quaisquer suposições acerca dos
processos que permitiram gerar os dados.
• Regressão designa também uma equação
matemática que descreva a relação entre duas ou
mais variáveis.
• O método de estimação mais amplamente utilizado
é o MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
ORDINÁRIOS.

10. •DIAGRAMA DE DISPERSÃO
•O Diagrama de Dispersão é um gráfico
onde pontos no espaço cartesiano XY
são usados para representar
simultaneamente os valores de duas
variáveis quantitativas medidas em
cada elemento do conjunto de dados.

11. •EXEMPLO DE DIAGRAMA DE DISPERSÃO

12. • O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
• MODELO DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES
𝒀𝒊 =∝ +𝜷𝑿𝒊 + 𝑼𝒊
Onde:Y é a variável dependente e X é a variável
independente ou de controle.
O método do mínimos quadrados irá estimar o valor
de ∝ 𝒆 𝒅𝒆 𝜷, transformando o nosso modelo em:
𝒀 = 𝒂 + 𝒃𝑿
Onde:
𝒀 é uma estimativa de Y
𝒂 é uma estimativa de ∝
𝒃 é uma estimativa de 𝜷

15. • O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
• Devemos encontrar uma reta Y = a + b.X que
torne os desvios 𝑫 = (𝒀 − 𝒀) o menor possível,
ou seja, que nossa equação seja o mais próxima
possível do conjunto de pontos reais, isto
equivale a querermos minimizar a discrepância
total entre os pontos observados e a reta
estimada.
• Em linguagem matemática:
𝑫 𝟏
𝟐
+ 𝑫 𝟐
𝟐
+ ⋯ + 𝑫 𝒏
𝟐= mínimo
𝑴 = 𝑫𝒊
𝟐
= (𝒀 − 𝒀) 𝟐 seja mínimo
𝑴 = (𝒀 − 𝒂 − 𝒃𝑿) 𝟐
• Derivando M em relação a a e b, temos

16. 𝑴 = (𝒀 − 𝒂 − 𝒃𝑿) 𝟐
• Derivando M em relação a a e b, temos
𝝏𝑴
𝝏𝒂
= −𝟐 𝒀 − 𝒂 − 𝒃𝑿
𝝏𝑴
𝝏𝒃
= −𝟐 𝑿(𝒀 − 𝒂 − 𝒃𝑿)
• Para que M seja mínimo
𝝏𝑴
𝝏𝒂
e
𝝏𝑴
𝝏𝒃
dever ser
ambos igualado a zero.

17. −𝟐 𝒀 − 𝒂 − 𝒃𝑿 = 𝟎
−𝟐 𝑿 𝒀 − 𝒂 − 𝒃𝑿 = 𝟎
𝒀 − 𝒂 − 𝒃𝑿 = 𝟎
𝑿(𝒀 − 𝒂 − 𝒃𝑿) = 𝟎
Ou seja
𝒀 = 𝒏𝒂 + 𝒃 𝑿
𝑿𝒀 = 𝒂 𝑿 + 𝒃 𝑿 𝟐
Para encontrarmos os valores de a ou b, resolvemos o sistema
acima ou utilizamos as formulas:

18. Para encontrarmos os valores de a ou b,
resolvemos o sistema anterior ou utilizamos as
formulas (extraídas do sistema):
• 𝒃 =
𝑿𝒀−
𝑿 𝒀
𝒏
𝑿 𝟐−
( 𝑿) 𝟐
𝒏
• 𝒂 = 𝒀 − 𝒃. 𝑿
• Sendo:
• 𝒀 =
𝒀
𝒏
e
• 𝑿 =
𝑿
𝒏

19. • PRÁTICA: Consultando os dados históricos de uma
determinada empresa encontramos para a demanda
de um produto os dados abaixo. Estime uma função
de primeiro grau utilizando o Método dos Mínimos
Quadrados.
Quantidade Demandada (X) Preço (Y)
15 84
18 83
19 79
20 85
30 70
35 60
42 59
45 53

20. Diagrama de Dispersão
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
10 15 20 25 30 35 40 45 50
PreçoY
Quantidade Demandada X
Preço (Y)

21. Diagrama de Dispersão
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
10 15 20 25 30 35 40 45 50

22. Quantidade
Demandada (X)
Preço
(Y)
X2 Y2 X.Y
15 84
18 83
19 79
20 85
30 70
35 60
42 59
45 53
47 51

23. Quantidade
Demandada (X)
Preço
(Y)
X2 Y2 X.Y
15 84 225 7.056 1.260
18 83 324 6.889 1.494
19 79 . . .
20 85 . . .
30 70 . . .
35 60 . . .
42 59 . . .
45 53 . . .
47 51 . . .

24. Quantidade
Demandada (X)
Preço
(Y)
X2 Y2 X.Y
15 84
225 7.056 1.260
18 83
324 6.889 1.494
19 79
361 6.241 1.501
20 85
400 7.225 1.700
30 70
900 4.900 2.100
35 60
1.225 3.600 2.100
42 59
1.764 3.481 2.478
45 53
2.025 2.809 2.385
47 51
2.209 2.601 2.397
271 624 9.433 44.802 17.415

25. • O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
• Para estimarmos uma função de segundo grau
utilizamos a Regressão Linear Multipla
𝒀𝒊 =∝ +𝜷𝑿𝒊 + 𝜹𝑿𝒊
𝟐
+ 𝑼𝒊
Onde:Y é a variável dependente e X é a variável
independente ou de controle.
O método do mínimos quadrados irá estimar o valor
de ∝ 𝒆 𝒅𝒆 𝜷, transformando o nosso modelo em:
𝒀 = 𝒂 + 𝒃𝑿 + 𝒄𝑿 𝟐
Onde:
𝒀 é uma estimativa de Y
𝒂 é uma estimativa de ∝
𝒃 é uma estimativa de 𝜷
𝒄 é uma estimativa de 𝜹

26. Aplicando o mesmo método dos mínimos quadrados chegamos
às seguintes formulas:
𝒃 =
𝑺 𝑿𝒀. 𝑺 𝑿 𝟐 𝑿 𝟐 − 𝑺 𝑿 𝟐 𝒀. 𝑺 𝑿𝑿 𝟐
𝑺 𝑿𝑿. 𝑺 𝑿 𝟐 𝑿 𝟐 − (𝑺 𝑿𝑿 𝟐) 𝟐
𝒄 =
𝑺 𝑿 𝟐 𝒀. 𝑺 𝑿𝑿 − 𝑺 𝑿𝒀. 𝑺 𝑿𝑿 𝟐
𝑺 𝑿𝑿. 𝑺 𝑿 𝟐 𝑿 𝟐 − (𝑺 𝑿𝑿 𝟐) 𝟐
𝒂 = 𝒀 − 𝒃. 𝑿 − 𝒄. 𝑿 𝟐
Sendo: 𝒀 =
𝒀
𝒏
; 𝑿 =
𝑿
𝒏
e 𝑿 𝟐 =
𝑿 𝟐
𝒏

27. 𝑺 𝑿𝒀 = 𝑿𝒀 −
𝑿 . 𝒀
𝒏
𝑺 𝑿𝑿 = 𝑿 𝟐 −
( 𝑿) 𝟐
𝒏
𝑺 𝒀𝒀 = 𝒀 𝟐 −
( 𝒀) 𝟐
𝒏
𝑺 𝑿𝑿 𝟐 = 𝑿 𝟑
−
( 𝑿)( 𝑿) 𝟐
𝒏
𝑺 𝑿 𝟐 𝑿 𝟐 = 𝑿 𝟒
−
( 𝑿) 𝟐
( 𝑿) 𝟐
𝒏
𝑺 𝑿 𝟐 𝒀 = 𝑿 𝟐 𝒀 −
( 𝑿) 𝟐 𝒀
𝒏

28. • PRÁTICA: Consultando os dados históricos de uma
determinada empresa encontramos para a produção
de um produto os dados abaixo. Estime uma função
de segundo grau utilizando o Método dos Mínimos
Quadrados.
Quantidade Produzida (X) CustoTotal (Y)
16 465
20 635
19 580
25 880
27 990
33 1370
41 1990
46 2452
44 2260

29. Diagrama de Dispersão
0
500
1000
1500
2000
2500
15 20 25 30 35 40 45 50
Custo Total (Y)

30. Quantidade
Produzida
(X)
Custo
Total (Y)
X2 Y2 X.Y X3 X4 X2.Y X.Y2
16 465
20 635
19 580
25 880
27 990
33 1.370
41 1.990
46 2.452
44 2.260

31. Quantidade
Produzida
(X)
Custo
Total (Y)
X2 Y2 X.Y X3 X4 X2.Y X.Y2
16 465 256 216.225 7.440 4.096 65.536 119.040 3.459.600
20 635 400 403.225 12.700 8.000 160.000 254.000 8.064.500
19 580
25 880
27 990
33 1.370
41 1.990
46 2.452
44 2.260

32. Quantidade
Produzida
(X)
Custo
Total (Y)
X2 Y2 X.Y X3 X4 X2.Y X.Y2
16 465 256 216.225 7.440 4.096 65.536 119.040 3.459.600
20 635 400 403.225 12.700 8.000 160.000 254.000 8.064.500
19 580 361 336.400 11.020 6.859 130.321 2.09.380 6.391.600
25 880 625 774.400 22.000 15.625 390.625 550.000 19.360.000
27 990 729 980.100 26.730 19.683 531.441 721.710 26.462.700
33 1.370 1.089 1.876.900 45.210 35.937 1.185.921 1.491.930 61.937.700
41 1.990 1.681 3.960.100 81.590 68.921 2.825.761 3.345.190 162364.100
46 2.452 2.116 6.012.304 112.792 97.336 4.477.456 5.188.432 276.565.984
44 2.260 1.936 5.107.600 99.440 85.184 3.748.096 4.375.360 224.734.400
271 11.622 9.193 19.667.254 418.922 341.641 13.515.157 16.255.042 789.340.584