REGRESSAO-LINEAR

1. Estatística Aplicada a
Administração
2º BIMESTRE/2017
ADMINISTRAÇÃO, 2º A (4º SEMESTRE).
PROF. MSC. ENIO JOSÉ BOLOGNINI
AULA 11 – REGRESSÃO LINEAR
PROF. ENIO JOSÉ BOLOGNINI
CENTRO UNIV. NORTE PAULISTA - UNORP

2. Regressão Linear Simples
 Segundo TIBONI (2010), este relacionamento de duas técnicas podem ser
conhecidas como: correlação e regressão.
 Correlação: é a qualificação que resulta num grau de relacionamento
entre duas variáveis;
 Regressão: é a apresentação desta relação em forma de equação
matemática.
 No mesmo gráfico de dispersão da correlação, pode ser definida uma
reta de tendência ou regressão, onde esta será calculada os valores que
provam a correlação entre as variáveis.
2

3. Regressão Linear
3
 Quando duas variáveis possuem certo grau de relacionamento
(verificado pela correlação), podemos aplicar a análise de regressão
que vai nos permitir descrever através de um modelo matemático, a
relação entre duas variáveis, partindo de n observações das mesmas.
 Para executarmos a regressão, as variáveis serão divididas em variável
dependente e variável independente. Para o eixo x, indicamos a
variável independente e para o eixo y, a dependente. Dessa forma
temos: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.

4. Regressão Linear
4
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.
Sendo:
 𝒚 − variável dependente;
 x – variável independente;
 a - (Valor constante) = Coeficiente angular da reta de regressão
(Inclinação da Reta);
 b - (Valor constante) = Ponto de Intersecção entre a reta e o eixo
vertical y (valor de y quando x é zero);

5. 5
 É conveniente diferenciar a representação da variável dependente,
de y para 𝒚:
 y - Variável dependente de uma relação matemática funcional;
 𝒚 − Variável dependente de uma relação estatística, na qual a
distribuição esta baseada em estimativas de dados colhidos por
amostragem.
 Os parâmetros a e b para estabelecer a equação da reta de
regressão podem ser calculados pelas fórmulas:
Regressão Linear

6. 6
𝑎 =
𝑛 × 𝑥𝑖 × 𝑦𝑖 −( 𝑥𝑖) × ( 𝑦𝑖)
𝑛 × 𝑥𝑖
2
− ( 𝑥𝑖)2
𝑏 = 𝑦 − 𝑎𝑥
 n = numero de observações dos dados coletados;
 𝒚 = valor médio da variável dependente (y)
 𝒙 = valor médio da variável independente (x).
Regressão Linear
𝑦 =
𝑦𝑖
𝑛
𝑥 =
𝑥𝑖
𝑛

7. 7
Exemplo Prático
 Para ilustrar o cálculo da equação da reta de regressão, tomaremos
como base o seguinte exemplo:
 Foi realizada uma pesquisa visando determinar a existência de
correlação entre o peso total do lixo descartado por dia (num hotel)
com o peso do papel contido nesse lixo, pelo período de 10 dias. Os
dados estão apresentados nesta tabela.
Dia d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10
Peso Total 10,47 19,85 21,25 24,36 27,38 28,09 33,61 35,73 38,33 49,14
Peso do Papel 2,43 5,12 6,88 6,22 8,84 8,76 7,54 8,47 9,55 11,43

8. 8
Exemplo Prático
 Para que seja obtida a reta de regressão, faz-se
necessário utilizar a equação para obter a reta, sendo
que é preciso desenvolver uma tabela para as variáveis
dependentes (yi) e as independentes (xi), juntamente
com seus produtos: .
𝑥𝑖 × 𝑦𝑖 e 𝑥𝑖
2

9. 9
Exemplo Prático
 A equação da reta de regressão liear:
i Peso Total (x) Peso Papel (y)
1 10,47 2,43 25,44 109,62
2 19,85 5,12 101,63 394,02
3 21,25 6,88 146,20 451,56
4 24,36 6,22 151,52 593,41
5 27,38 8,84 242,04 749,66
6 28,09 8,76 246,07 789,05
7 33,61 7,54 253,42 1129,63
8 35,73 8,47 302,63 1276,63
9 38,33 9,55 366,05 1469,19
10 49,14 11,43 561,67 2414,74
Totais: 288,21 75,24 2396,68 9377,52
𝑥𝑖 × 𝑦𝑖 𝑥𝑖
2
𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 × 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖
2
=
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏.

10. 10
Exemplo Prático
 Com base nos valores desta tabela, calcula-se o valor de a
e b, onde deseja-se obter o cálculo inicial de a da
equação de reta e de b no final.
𝑎 =
𝑛 × 𝑥𝑖 × 𝑦𝑖 −( 𝑥𝑖) × ( 𝑦𝑖)
𝑛 × 𝑥𝑖
2
− ( 𝑥𝑖)2
𝑎 =
10 × 2396,68 − 288,21 × 75,24
10 × 9377,52 − (288,21)2
𝑎 =
23966,8 − 21684,9
93775,2 − 83065,0
𝑎 =
2281,9
10710,2
𝑎 = 0,213

11. 11
Exemplo Prático
 Obtendo a reta b:
 Uma vez calculada os parâmetros a e b, pode-se escrever a seguinte
equação da reta:
𝑦 =
𝑦𝑖
𝑛
𝑥 =
𝑥𝑖
𝑛
𝑏 = 𝑦 − 𝑎𝑥
𝑦 =
75,24
10
= 7,52
𝑥 =
288,21
10
= 28,82
𝑏 = 𝑦 − 𝑎𝑥 𝑏 = 7,52 − (0,213 × 28,82)
𝑏 = 7,52 − 6,14
𝑏 = 1,38
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 → 0,213𝑥 + 1,38 → 𝑦𝑖 = 0,213𝑥 + 1,38

12. 12
Gráfico de Regressão
y = 0.2131x + 1.3836
R² = 0.8475
0
2
4
6
8
10
12
14
0 10 20 30 40 50 60
Peso
papel
(y)
Peso Total (x)
Lixo descartado
Lixo
Linear (Lixo)

13. 13
 É necessário obter uma interpolação para que o valor seja considerado no
intervalo dos dados coletados.
 Observe o seguinte Exemplo:
 Supondo o valor de 15 kg para o peso total de lixo descartado, pode-se
estimar o peso de papel contido nesse lixo. Uma vez que 15 kg não é um
dado coletado e, consequentemente, não pertence a tabela. Portanto, é
necessário que a equação da reta possa determinar o valor
correspondente ao peso do papel.
Interpolação
𝑦 = 0,213𝑥 + 1,38 → 𝑦𝑖 = 0,213 × 15 + 1,38 = 14,16 𝑦𝑖 = 4,58 𝑘𝑔

14. 14
 A extrapolação ocorre quando o valor considerado não pertence ao
intervalo da tabela e, também, não coincide com os dados coletados.
 Supondo que o peso do lixo seja de 60 kg, esse valor não é um
dado coletado e nem se encontra dentro do intervalo [10,47;
49,14]. Essa situação é semelhante à anterior e utiliza-se a
equação da reta para determinar o peso do papel:
Extrapolação
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 → 0,213𝑥 + 1,38 → 𝑦𝑖 = 0,213 × 60 + 1,38 = 14,16
𝑦𝑖 = 14,16 𝑘𝑔

15. 15
 Uma agência de turismo estudou a demanda de passagens em
relação à variação do preço de venda e obteve os valores da na
seguinte tabela:
 Calcule o coeficiente de correlação linear;
 Apresente a regressão linear encontrando a reta de ajustada;
Exercícios de Fixação
xi 33 25 24 18 12 10 8 4
yi 300 400 500 600 700 800 900 1000

16. 16
Exercícios de Fixação
0
200
400
600
800
1000
1200
0 5 10 15 20 25 30 35
Variação
do
preço
de
venda
(yi)
Demanda de Passagens (xi)
Gráfico sobre passagens áreas

17. 17
Exercícios de Fixação
i xi yi
1 33 300 9900 1089 90000
2 25 400 10000 625 160000
3 24 500 12000 576 250000
4 18 600 10800 324 360000
5 12 700 8400 144 490000
6 10 800 8000 100 640000
7 8 900 7200 64 810000
8 4 1000 4000 16 1000000
Totais: 134 5200 70300 2938 3800000
𝑥𝑖 × 𝑦𝑖 𝑥𝑖
2
𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 × 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖
2
=
𝑦𝑖
2
𝑦𝑖
2
=
𝑟 =
𝑛 × 𝑥𝑖 × 𝑦𝑖 −( 𝑥𝑖) × ( 𝑦𝑖)
𝑛 × 𝑥𝑖
2
− ( 𝑥𝑖)2 × 𝑛 × 𝑦𝑖
2
− ( 𝑦𝑖)2
𝑎 =
𝑛 × 𝑥𝑖 × 𝑦𝑖 −( 𝑥𝑖) × ( 𝑦𝑖)
𝑛 × 𝑥𝑖
2
− ( 𝑥𝑖)2
𝑏 = 𝑦 − 𝑎𝑥
𝑦 =
𝑦𝑖
𝑛
𝑥 =
𝑥𝑖
𝑛
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
1
2
3
4
5
6

18. Referências Bibliográficas
18
18
BÁSICA:
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 19--, 20--.
SILVA, E. M. et al. Estatística: para os cursos de economia, administração e ciências
contábeis. São Paulo: Atlas, 19--.
TIBONI, C. G. R. Estatística Básica: para os cursos de administração, ciências contábeis,
tecnológicos e de gestão. São Paulo: Atlas, 20--.
COMPLEMENTAR:
HOFFMANN, R. Estatística para economistas. São Paulo: Pioneira, 19--.
MARTINS, G. A; DONAIRE, D. Princípios de estatística. São Paulo: Atlas, 19--.
MORETTIN, P. A; BUSSAB, W. O. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 19--, 20--.
FONSECA, J. S; MARTINS, G. A. Curso de estatística. São Paulo: Atlas, 19--.
SPIEGEL, M. R. Estatística. São Paulo: Makron Books do Brasil, 19--.