O documento apresenta os principais conceitos matemáticos sobre conjuntos numéricos, operações fundamentais, propriedades dos números naturais, inteiros e racionais. Inclui definições de frações, potenciação, radiciação e porcentagem.

1. Matemática
Aplicada
Conjuntos Numéricos , frações, regra de três Potenciação e
radiciação
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2. Prof. Eng. Arnnor Rocha

3. Operações fundamentais
Conjunto dos
números naturais
ℕ = {0, 1, 2, 3, … }
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4. Propriedades dos números
naturais (ℕ)

5. P1 – Associativa da adição
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
Exemplo:
(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
(5) +4 = 2 + (7)
9 = 9
Exemplo:
(2 + b) + 4 = b + (2+4)

6. P2 – Comutativa da Adição
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
Exemplo
2 + 4 = 4 + 2
6 = 6
Exemplo
a + 5 = 5 + a
a = - 5

7. P3 – Elemento Neutro da adição
𝑎 + 0 = 𝑎
Exemplo
• 5 + 0 = 5

8. P4 – Associativa da Multiplicação
𝑎𝑏 . 𝑐 = 𝑎. (𝑏𝑐)
• Exemplo
2.3 . 4 = 2. 3.4
6 . 4 = 2. 12
24 = 24

9. P5 – Comutativa da Multiplicação
𝑎𝑏 = 𝑏𝑎
Exemplo
2 . 4 = 4 .2

10. P6 – Elemento neutro da Multiplicação
𝑎. 1 = 𝑎
Qualquer número natural multiplicado pela
unidade é igual a ele mesmo.
Exemplo:
1000 𝑥 1 = 1000

11. P7 - Distributiva da multiplicação
relativamente a adição
𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
Exemplo
2x(3 + 5) =
= 2x3 + 2x5
= 6 + 10 = 16

12. Conjunto dos números inteiros
ℤ = {… , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … }
Subconjuntos notáveis
ℤ+ = 0, 1, 2, 3, … = ℕ
ℤ− = {… , −3, −2, −1, 0}
ℤ∗ = {… , −3, −2, −1, 1, 2, 3, … }

13. Escala graduada

14. Operações com
Números Inteiros (ℤ)
As propriedades P1 a P7 são válidas para
os números inteiros.
• P8 – Simétrico ou oposto para a adição
• Para todo 𝑎 𝜖 ℤ existe −𝑎 𝜖 ℤ
Devido a propriedade P8 , podemos definir
a propriedade de subtração

15. Devido a propriedade P8 ,
podemos definir a propriedade
de subtração em ℤ
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏)

16. Regras para operações
com números inteiros
• Adição / Subtração
O resultado do operação terá como sinal,
positivo ou negativo, o sinal atribuído ao
número de maior módulo.
5 + −7 = −2
ou
5 − 7 = −2
10 + −8 = 2
ou
10 − 8 = 2

17. Multiplicação de
números Inteiros
Se o produto é de
dois números
positivos o resultado
é sempre positivo.
2 𝑥 15 = 30
Se o produto é de
dois número
negativos o
resultado é sempre
positivo
−2 𝑥 −15 = 30

18. Multiplicação de
números Inteiros
• Quando o produto
é entre um número
positivo e outro
negativo, o
resultado será
sempre negativo.
2 𝑥 −15 = −30
−4 𝑥 20 = −80

19. Conjunto dos números
Racionais (ℚ)
• É o conjunto dos pares ordenados
( ou frações)
𝑎
𝑏
onde 𝑎 ∈ ℤ 𝑒 𝑏 ∈ ℤ∗
.
Numerdor
Denominador

20. Definições
• Igualdade
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
⟺ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐

21. Adição
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
𝑏𝑑

22. • Multiplicação
𝑎
𝑏
𝑥
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑐
𝑏𝑑

23. Tipos de Fração
Fração própria – é a fração onde o
numerador e menor que o denominador
Exemplo:
2
4
,
3
7
,
9
11

24. Tipos de fração
Fração Imprópria – é a fração onde o
numerador é maior que o denominador.
Exemplo
3
2
,
9
4
,
7
3

25. Tipos de fração
Frações equivalentes – São frações que
representa, a mesma quantidade.
1
2
,
2
4
,
4
8
,
8
16

26. Operação com frações
Adição e subtração
Nas frações onde os denominadores são iguais ,
basta somar ou subtrair os numeradores.
a)
1
4
+
3
4
=
4
4
= 1
b)
3
8
+
4
8
=
7
8

27. Adição e subtração
• As frações em que os denominadores são
diferentes, reduzem-se as frações a um
mesmo denominador, utilizando um
mínimo múltiplo comum.
a)
3
4
+
2
5
=
3𝑥5 +(2𝑥4)
20
=
23
20
b)
4
8
+
3
4
=
4𝑥4 +(3𝑥8)
32
=
16+24
32
=
40
32

28. Produto de frações
Na multiplicação de frações, o numerador é o produto dos
numeradores e o denominador é o produto dos
denominadores.
a)
4
3
𝑥
3
5
=
12
15
a)
7
3
𝑥
2
3
=
14
9

29. Divisão de fração
• Para dividir frações se multiplica a
primeira fração pelo inverso da segunda
fração.
a)
2
3
÷
4
5
=
2
3
𝑥
5
4
=
10
12
b)
5
4
÷
3
8
=
5
4
𝑥
8
3
=
40
12

30. Razão e proporção
• Razão de duas grandezas da mesma
espécie é o quociente da divisão dos
números que exprimem suas medidas,
com a mesma unidade.

31. Exemplo
• Qual a razão entre a
medida do lado e a
medida da base do
retângulo abaixo.
L=4
b=12
𝐿
𝑏
=
4
12
=
1
3

32. Densidade demográfica
Densidade demográfica (ou populacional)
É dada pelo quociente da divisão entre a
quantidade de habitantes de uma determinada
região pela grandeza que exprime a área dessa
região.
Podemos utilizar a
seguinte relação matemática:
𝑑0 =
𝑁° 𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
Á𝑟𝑒𝑎𝑠
= ℎ𝑎𝑏/𝑘𝑚²

33. Velocidade
𝑣 =
𝐷𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜
= 𝑘𝑚
ℎ
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34. Vazão
𝑄 =
𝑀𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑜𝑠
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜
= 𝑚³
𝑠
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35. Proporção
• É a igualdade
entre duas razões
equivalentes.
3
10
=
18
60
3
10
= 0,3 ;
18
60
= 0,3

36. Propriedade fundamental das
proporções
Definição:
Em toda proporção simples, o produto
dos dois meios é sempre igual ao produto
dos dois extremos, e vice-versa.
De modo geral
𝒎
𝒏
=
𝒐
𝒑
⇔ 𝒎𝒙𝒑 = 𝒏𝒙𝒐

37. Regra de três

38. Grandezas diretamente
proporcionais
• Duas grandezas são
ditas diretamente
proporcionais quando
o aumento de uma
acarreta no aumento
da outra, ou ainda,
quando a diminuição
de uma gera uma
diminuição na outra
grandeza.
Quantidade e gasto são
grandezas diretamente
proporcionais

39. Grandezas
inversamente
proporcionais
Duas grandezas são inversamente
proporcionais quando a diminuição
de uma acarreta no aumento da
outra e vice-versa.
A velocidade e tempo são grandezas inversamente
proporcionais. Quando aumento a velocidade, diminuo o tempo.

40. Regra de três simples
• Como resolver
• Construir uma tabela, agrupando as grandezas em
colunas relacionando cada valor a sua grandeza;
• Identificar se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais;
• Montar a equação da seguinte maneira: se as
grandezas forem diretamente proporcionais, multiplica-
se os valores em forma de X ; se as grandezas forem
inversamente proporcionais , multiplica-se os valores em
linha.

41. Exemplo 1
Uma mãe recorreu à bula
para verificar a dosagem de
um remédio que precisava
dar a seu filho. Na bula,
recomendava-se a seguinte
dosagem: 5 gotas para
cada 2 kg de massa
corporal a cada 8 horas. Se
a mãe ministrou
corretamente 30 gotas do
remédio a seu filho a cada 8
horas, então a massa
corporal dele é de:
5 . 𝑋 = 2 𝑥 30
5. 𝑋 = 60
𝑋 =
60
5
= 12𝑘𝑔
Gotas Massa (kg)
5 2
30 x

42. Exemplo 2
Qual a dosagem de
DECADRON que deve ser
ministrado para um paciente
que apresenta uma
prescrição médica solicitando
administrar 0,8 mg desse
medicamento?
Apresentação do medicamento:
frasco de 2,5 ml com 10 mg.
• 10. 𝑥 = 2,5𝑥0,8
• 10. 𝑥 = 2
• 𝑥 = 0,2𝑚𝑙
mL mg
2,5 10
X 0,8

43. Agora é sua vez
1) Uma usina produz
500 litros de álcool com
6.000 kg de cana de
açúcar. Quantos litros
de álcool serão
produzidos com 15.000
kg de cana?
2) Na conta de água de
uma residência consta
o consumo mensal de
25,6 m3 . Quantos litros
de água foram usados
nessa residência?
(1 m3 = 1.000 l)

44. PORCENTAGEM
• A PORCENTAGEM ou PERCENTAGEM
vem do latim per centum , significando
“por cento” , “ a cada centena”.
• Usamos símbolo % para representar a
percentagem.

45. Vamos aprender praticando
• Quanto é 15% de R$ 300?
15% =
15
100
Logo:
15
100
𝑥 300 = 45

46. Potenciação

47. Potenciação
A potenciação indica
multiplicação de
fatores iguais
Por exemplo:
3 x 3 x 3 x 3
Este produto pode ser
indicado como
34
𝑎𝑛
= 𝑎. 𝑎. 𝑎 … . 𝑎
𝑎 é 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑛 é 𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑂 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎

48. Definições
𝑎0
= 1
Qualquer número
elevado ao expoente
zero (0) é sempre
igual a hum (1).
Onde:
𝑎 ∈ ℤ∗
𝑎1
= 𝑎
Qualquer número
elevado a hum (1) é
igual ao próprio
número.

49. Atenção aos sinais
Um número negativo elevado a expoente
par fica positivo.
a) −2 2 = −2 . −2 = 4
b)(−3)4
= −3. −3. −3. −3 = 81
Um número negativo elevado a expoente
ímpar permanece negativo
a) (−2)3
= −2 . −2 . −2 = −8

50. Propriedades da
potenciação

51. P1 𝑎𝑚
. 𝑎𝑛
= 𝑎𝑚+𝑛
Exemplo :
a) 32
. 33
= 32+3
= 35

52. P2 -
𝑎𝑚
𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
Exemplo:
a)
57
54 = 57−4

53. P3 - (𝑎𝑚
)𝑛
= 𝑎𝑚.𝑛
Exemplo
(74
)3
= 74.3
= 712
P4
𝑚
𝑎𝑛 = 𝑎
𝑛
𝑚
Exemplo
3
152 = 15
2
3

54. P5 𝑎−𝑛
=
1
𝑎𝑛
Exemplo:
a) 23−2 =
1
232

55. P6
𝑎
𝑏
−𝑛
=
𝑏
𝑎
𝑛
Exemplo
a)
7
3
−4
=
3
7
4

56. P7 (𝑎. 𝑏)𝑛
= 𝑎𝑛
. 𝑏𝑛
Exemplo:
a) (8.15)2= 82.152
𝑎
𝑏
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛 , 𝑏 ≠ 0

57. Radiciação

58. Radiciação
A radiciação é a operação inversa da
Potenciação
𝑛
𝑎
Onde:
𝑎 é 𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑛 é 𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒
é 𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙

59. Propriedades da
radiciação

60. 1.
𝑛
𝑎𝑛 = 𝑎
2.
𝑛
𝑎𝑝 = 𝑎
𝑝
𝑛
3.
𝑛 𝑚
𝑎 = 𝑚.𝑛
𝑎
4.
𝑛
𝑎. 𝑏 = 𝑛
𝑎.
𝑛
𝑏
5.
𝑛 𝑎
𝑏
=
𝑛
𝑎
𝑛
𝑏

61. Determinar a raiz de um
número por decomposição
Determinar a raiz de 144
2
144 =
2
22. 22. 22
= 2.2.3 = 12
144 2
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1
22
22
32

62. Notação científica e
Notação de
engenharia

63. • E uma forma simplificada de representar
números reais muito grandes ou muito
pequenos nas ciências em geral.
𝑁 = 𝑎 𝑥 10𝑏

65. Notação de engenharia
• Na notação de engenharia podemos
colocar qualquer valor antes da base 10.
Por exemplo
a) 20𝑘𝑚 = 20 𝑥 103
𝑚
b) 3000𝑚𝐴 = 3000 𝑥 10−3𝐴
c) 230𝑘𝑉 = 230 𝑥103𝑉

66. Principais Múltiplos e
submúltiplos
Fator Prefixo Símbolo
10¹ Deca Da
102
Hecto H
103 Quilo k
106
Mega M
109
Giga G
1012 Tera T
1015 Peta P
1018 Exa E
1021 Zetta Z
1024
Yotta Y
Fator Prefixo Símbolo
10−1 Deci d
10−2
Centi c
10−3 Mili m
10−6
Micro m
10−9
Nano n
10−12 Pico p
10−15 Fento f
10−18 atto a
10−21 zepto Z
10−24
yocto y
Múltiplos Submúltiplos

67. Sistema Métrico Linear
A padronização
dos sistemas de
medidas foi
fundamental,
para o
crescimento da
industrialização e
do comércio

68. Sistema Internacional de
Unidades

69. São sete as unidades base
1. Comprimento - Metro (m)
2. Tempo – segundos (s)
3. Massa – quilograma (kg)
4. Corrente elétrica – Ampère (A)
5. Temperatura termodinâmica Kelvin (K)
6. Quantidade de matéria – mol ( mol)
7. Intensidade Luminosa – Candela (cd)

70. Definição de metro
A medida equivalente a
um décimo de
milionésimo da distância
entre o polo Norte e a
linha do equador.
(Jean Baptiste joseph / Pierre Fraçois
Mechan)

71. Definição atual
• Comprimento do trajeto percorrido pela luz
no vácuo em um intervalo de tempo de
1/299792458 de segundo

72. Múltiplos e
submúltiplos do
metro

73. Conversão entre múltiplos
e submúltiplos