apostila_-_revisao_operacoes_fundamentais.pdf

REVISÃO: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
Estudo dos Sinais
)
(
)
(
)
( +
=
+
⋅
+
)
(
)
(
)
( +
=
−
⋅
−
)
(
)
(
)
( −
=
−
⋅
+
)
(
)
(
)
( −
=
+
⋅
−
Ordem de Cálculo
Primeiro são resolvidas as operações que estiverem dentro de:
PARÊNTESES ( ) → COLCHETES [ ] → CHAVES { }
Antes de serem efetuadas adições e subtrações, são resolvidas:
DIVISÕES E MULTIPLICAÇÕES
Adição
Soma
Parcelas
c
b
a
↓
↓
↓
=
+
Propriedades
Comutativa → a
b
b
a +
=
+ 8
3
5
5
3 =
+
=
+
⇒
Associativa → )
c
b
(
a
c
)
b
a
( +
+
=
+
+ 10
)
5
2
(
3
5
)
2
3
( =
+
+
=
+
+
⇒
Elemento Neutro (0) → a
0
a =
+ 3
0
3 =
+
⇒
→ Subtração é a Adição de parcelas negativas
O resultado tem o sinal da maior parcela:
13
15
3
20
5
10
5
5
10
5
5
10 −
=
+
−
−
+
−
−
=
+
−
+
=
−
+
Subtração
Soma
Parcelas
c
b
a
)
b
(
a
↓
↓
↓
=
−
=
−
+
Multiplicação
Produtos
Fatores
c
b
a
↓
↓
↓
=
⋅
Multiplicação é a Adição de parcelas iguais: 15
5
5
5
5
3
5
fator
o
vezes
3
=
+
+
=
⋅ 4
3
4
2
1
Propriedades
Comutativa → a
b
b
a ⋅
=
⋅ 15
3
5
5
3 =
⋅
=
⋅
⇒
Associativa → )
c
b
(
a
c
)
b
a
( ⋅
⋅
=
⋅
⋅ 30
)
5
2
(
3
5
)
2
3
( =
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⇒
Elemento Neutro (1) → a
1
a =
⋅ 3
1
3 =
⋅
⇒
Distributiva → c
a
b
a
)
c
b
(
a ⋅
+
⋅
=
+
⋅ 16
5
2
3
2
)
5
3
(
2 =
⋅
+
⋅
=
+
⋅
⇒
a
c
a
b
a
)
c
b
( ⋅
+
⋅
=
⋅
+ 9
)
3
(
2
)
3
(
1
)
3
(
)
2
1
( −
=
−
⋅
+
−
⋅
=
−
⋅
+
⇒
Divisão
c
b
a
=
Numerador = Denominador × Quociente + Resto
Lembre-se: Não existe divisão por zero → b ≠ 0 !
1

FRAÇÕES
Definição 1: Divide um objeto em Partes iguais →
Definição 2: Divisão de dois números inteiros →
Adição e Subtração de Frações
Mesmo Denominador
Denominadores Diferentes
m.m.c.
Multiplicação de Frações Divisão de Frações
d
b
c
a
d
c
b
a
⋅
⋅
=
⋅
9
10
9
10
3
3
5
)
2
(
3
5
3
)
2
(
−
=
−
=
⋅
⋅
−
=
⋅
−
Mantém a Primeira Fração e Inverte a Segunda
c
d
b
a
d
c
b
a
d
c
b
a
2
1
⋅
=
=
÷
↓
↓
o
o
15
17
5
3
7
2
5
7
3
2
7
5
3
2
7
5
3
2
=
⋅
⋅
=
⋅
=
=
÷
⇒
NÚMEROS DECIMAIS
Adição e Subtração
“Vírgula sob vírgula”
Multiplicação
Obtém-se o produto e somam-se
as casas decimais de cada fator
Divisão
Numerador e denominador devem ter
o mesmo número de casas decimais
Fração Decimal: Denominador com Potências de 10 (10n
)
b
a
b
a
b
a
−
=
−
=
−
2
1
2
1
2
1
−
=
−
=
−
⇒
b
c
a
b
c
b
a ±
=
± 1
5
5
5
2
3
5
2
5
3
=
=
+
=
+
⇒
d
c
b
a
±
5
7
5
7
15
10
3
3
2
5
1
−
=
−
=
−
=
−
⇒
Menor número que é múltiplo
de todos os denominadores
Evite trabalhar com números decimais!
Se o número for racional, é melhor
escrevê-lo na forma de fração!
8
10
1
;
1000
x
;
100
3
;
10
2
−
Lembre-se: O sinal deve ficar na frente do traço de fração
2

POTÊNCIA
Expoente Inteiro Base “a” e expoente “n” Inteiro
Para “n” inteiro e 1
n >
a
.....
a
a
a n
⋅
=
27
3
3
3
33
=
⋅
⋅
=
1
1
......
1
1
120
=
⋅
⋅
=
9
4
3
2
3
2
3
2 2
=
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
16
1
4
4
1
4
1
4
1
2
2
=
⋅
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Lembre-se!
Base “a” negativa e expoente “n” par → resultado (+) ( ) ( ) ( ) 4
2
2
2 2
+
=
−
⋅
−
=
−
Base “a” negativa e expoente “n” ímpar → resultado (-) ( ) ( ) ( ) ( ) 8
2
2
2
2 3
−
=
−
⋅
−
⋅
−
=
−
Propriedades
Mesma Base “a” Conserva a base e soma ou subtrai os expoentes
n
m
n
m
a
a
a +
=
⋅ 243
3
3
3
3 5
3
2
3
2
=
=
=
⋅ +
0
a
,
a
a
a
a
a
a
a n
m
n
m
n
m
n
m
≠
=
⋅
=
=
÷ −
−
4
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
4
6
4
6
4
6
4
=
=
=
=
⋅
=
=
÷ −
−
−
( ) 0
a
,
a
a n
m
n
m
≠
= ⋅ ( ) 64
2
2
2 6
3
2
3
2
=
=
= ⋅
Mesmo Expoente “n” Conserva a operação das bases (× ou ÷) e mantém o expoente
( )n
n
n
b
a
b
a ⋅
=
⋅ ( ) 225
15
5
3
5
3 2
2
2
2
=
=
⋅
=
⋅
0
b
,
b
a
b
a
b
a
n
n
n
n
n
≠
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
÷ 27
3
5
15
5
15
5
15 3
3
3
3
3
3
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
÷
)
0
a
(
a
1
a n
n
≠
=
−
n m
n
m
a
a =
3
3 2
3
2
9
3
3 =
= 2
2
2
2 1
2
1
=
= ( )
4
1
2
1
1024
1
32
1
32
1
32
5 10
5
5
5
2
5
2
5
2
=
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
− −
Perceba a diferença!
256
2
2
2 8
2
2
2
2 3
=
=
= ⋅
⋅
( ) ( ) 64
4
2
2
2 3
3
3
2
=
=
⋅
= ( ) 4
2
2
22
−
=
⋅
−
=
− ( ) ( ) ( ) 4
2
2
2 2
+
=
−
⋅
−
=
−
Para “n” inteiro e 1
n ≤
a
a 1
= 2
21
=
⇒
1
a 0
= 1
1000
=
⇒
125
1
5
5
5
1
5
1
5 3
3
=
⋅
⋅
=
=
⇒ −
4
9
2
3
2
3
2
3
3
2 2
2
=
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
−
4
9
2
3
2
3
2
3
3
2 2
2
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
⇒
−
)
0
a
(
a
1
a n
n
≠
=
−
Expoente Racional O expoente “n” é uma Fração Irredutível com 0
n ≠ e 1
n ≠
3

RADICIAÇÃO Raiz n-ésima de n
a é o número “x” tal que, para 1
n >
2
4 = )
2
n
,
2
x
,
4
a
( =
=
=
⇒ a
xn
=
⇒ 4
2 2
=
⇒
5
125
3
= )
3
n
,
5
x
,
125
a
( =
=
=
⇒ a
x n
=
⇒ 125
53
=
⇒
2
1
16
1
4
= )
4
n
,
2
1
x
,
16
1
a
( =
=
=
⇒ a
x n
=
⇒
16
1
2
1 4
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
Propriedades
( )
m
m
1
m
1
m
1
m
m
b
a
b
a
b
a
b
a ⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅ 20
400
16
25
16
25 =
=
⋅
=
⋅
Para ( )
0
b ≠
6
36
10
360
10
360
10
360 =
=
=
=
÷
m
m
1
m
1
m
1
m
m
m
m
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
=
÷
n p
n
p
p
n
1
p
n
a
a
a
a =
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 3
3 2
3
2
2
3
1
2
3
4
2
2
2
2 =
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
m
n
m
n
1
m
1
n
1
m
n
1
m n
a
a
a
a
a
⋅
⋅
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
6
6
1
2
3
1
2
1
3
1
3
1
3
3
3
3
3
3
3 =
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
= ⋅
Índice da Raiz “n”
Par Ímpar
Radicando
“a”
Positivo
Duas Raízes Reais Simétricas
⎩
⎨
⎧
→
=
→
+
=
⇒
Par
2
n
Positivo
9
a
9
( )
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
−
+
=
+
⇒
±
=
9
3
9
3
3
9
2
2
Uma Raiz Real e Positiva
⎩
⎨
⎧
→
=
→
+
=
⇒
Ímpar
3
n
Positivo
27
a
27
3
( )
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
≠
−
=
−
+
=
+
⇒
+
=
27
27
3
27
3
3
27
3
3
3
Negativo
Não existe Raiz Real
⎩
⎨
⎧
→
=
→
−
=
⇒
−
Par
2
n
Negativo
9
a
9
( )
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
≠
+
=
−
−
≠
+
=
+
⇒
∉
−
9
9
3
9
9
3
R
9
2
2
Uma Raiz Real e Negativa
⎩
⎨
⎧
→
=
→
−
=
⇒
−
Ímpar
3
n
Negativo
27
a
27
3
( )
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
−
−
≠
+
=
+
⇒
−
=
−
27
3
27
27
3
3
27
3
3
3
a
x n
=
Lembre-se: É melhor transformar Radicais em Potências antes de efetuar as operações!
Estudo das Raízes
4

Transformar uma fração que possui
no denominador raiz, não possível de
simplificação, em outra equivalente,
eliminando a raiz do denominador
Racionalização de denominadores
Regra Geral: Se a fração for
n m
b
a
com n
m < , multiplica-se o numerador e o denominador por
n m
n
b
−
b
b
a
b
b
a
b
b
a
b
b
b
a
b
b
b
a
b
a
n m
n
n n
n m
n
n m
n
m
n m
n
n m
n
m
n m
n
n m
n
n m
n
n m
n m
−
−
−
+
−
−
−
−
−
=
=
=
⋅
=
⋅
=
Exemplos:
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
2
3
2
3
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2 1
=
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
=
−
+
−
−
−
−
−
5
5
5
5
5
5
5
1
5
5
5
1
5
1
5 3
5 5
5 3
5 3
2
5 3
5 2
5
5 2
5
5 2
5 2
=
=
⋅
⋅
=
⋅
=
−
−
Dica!
Transformar Radicais em Potências ajuda a visualizar melhor as operações!
O mesmo resultado é obtido transformando a raiz do denominador em potência e
eliminado a fração desta
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
1
5
5
5
1
5
1
5 3
1
5
3
5
5
5
3
5
3
5
2
5
3
5
3
5
2
5
3
5
3
5
3
5
2
5 2
=
=
=
=
⋅
⋅
=
⋅
=
+
Pode ser aplicado a denominadores com diferentes radicais
Exemplos:
a)
4
1
7
1
4
7
7
4
7
7
4
3
7
3
1
4
9
7 3
4
9
7 3
4
1
2
7 3 4
2
3
8
3
8
3
8
3
3
8
3
3
8
3
3
8
3
3
3
8
3
3
3
8
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
⋅
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
=
=
⋅
=
3
27
8
3
3
8
3
3
8
3
3
8
3
3
3
8
4
4 3
4
4
4
3
4
3
4
1
4
3
4
3
4
3
4
1
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
+
b)
3
3
1
3
2
1
3
2
3
2
2
1
3
4
3
4
3
1
3
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
=
=
=
⋅
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
⋅
=
−
−
5

PRODUTOS NOTÁVEIS
Para quaisquer valores de “a” e “b” tem-se
( ) ( ) ( ) 2
2
2
2
2
b
ab
2
a
b
ba
ab
a
b
a
b
a
b
a +
+
=
+
+
+
=
+
=
+
⋅
+
( ) ( ) ( ) 6
2
5
2
6
2
3
2
2
3
2
3
2
3
2
2
2
+
=
+
+
=
+
⋅
⋅
+
=
+
( ) ( ) ( ) 2
2
2
2
2
b
ab
2
a
b
ba
ab
a
b
a
b
a
b
a +
−
=
+
−
−
=
−
=
−
⋅
−
( ) ( ) 2
4
6
2
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
−
=
+
−
=
+
⋅
⋅
−
=
−
( ) ( ) 2
2
2
2
b
a
b
ba
ab
a
b
a
b
a −
=
−
−
+
=
−
⋅
+
( ) ( ) ( ) 2
3
1
3
1
3
1
3
1
2
2
−
=
−
=
−
=
+
⋅
−
( ) ( ) ( ) 3
2
2
3
3
2
b
ab
3
b
a
3
a
b
a
b
a
b
a +
+
+
=
+
=
+
⋅
+
( ) 8
x
12
x
6
x
2
2
x
3
2
x
3
x
2
x 2
3
3
2
2
3
3
+
+
+
=
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
=
+
( ) ( ) ( ) 3
2
2
3
3
2
b
ab
3
b
a
3
a
b
a
b
a
b
a −
+
−
=
−
=
−
⋅
−
( ) 3
2
2
3
3
2
2
3
3
y
y
x
3
y
x
3
x
y
y
x
3
y
x
3
x
y
x −
+
−
=
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
=
−
Não Esqueça!
( ) 2
2
2
b
ab
2
a
b
a +
+
=
+
( ) 2
2
2
b
ab
2
a
b
a +
−
=
−
( ) ( )
b
a
b
a
b
a 2
2
−
⋅
+
=
−
Fique Atento!
( ) 2
2
2
b
a
b
a +
≠
+ e ( ) 2
2
2
b
a
b
a −
≠
−
( ) 3
3
3
b
a
b
a +
≠
+ e ( ) 3
3
3
b
a
b
a −
≠
−
O produto notável ( ) ( )
b
a
b
a
b
a 2
2
−
⋅
+
=
− é utilizado para racionalizar frações que contenham
no denominador operações de adição ou subtração com radicais de índice dois.
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
5
6
1
2
5
6
1
2
6
1
6
1
2
6
1
6
1
2
6
1
6
1
6
1
2
6
1
2
2
2
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
⋅
=
−
−
⋅
+
=
+
( )
( )
( )
( )
( ) 5
2
5
1
5
2
5
4
5
5
2
5
2
5
2
5
5
2
5
2
5
2
5
5
2
5
5
2
2
2
+
=
+
=
−
+
=
−
+
⋅
=
+
+
⋅
−
=
−
( )
( )
( )
( ) ( ) 5
2
7
2
7
2
7
2
7
2
7
1
2
7
2
7
2
7
1
2
7
1
2
2
−
=
−
−
=
−
−
⋅
=
−
−
⋅
+
=
+
Importante!
6

REGRA DE TRÊS
Regra de Três Simples Envolve apenas duas grandezas. Resolve problemas que envolvam
quatro valores para as duas grandezas, onde três desses valores são conhecidos. O quarto valor é
determinado a partir dos três já conhecidos
Exemplo: Um Pacote de ração alimenta 6 cachorros durante 25 dias. Quantos pacotes de ração serão
necessários para alimentá-los por um período de 75 dias?
Ração (pacotes) Período (dias)
1 25
x 75
Regra de Três Composta Envolve mais de duas grandezas. Deve-se avaliar a relação de
proporção de cada grandeza separadamente.
Exemplo: Uma obra é construída em 200 dias por 20 operários trabalhando 6 horas por dia. Quantos
operários serão necessários para construir a mesma obra em 100 dias trabalhando 8 horas por dia?
Operários (nº) Período de trabalho (horas) Duração da Obra (dias)
20 6 200
x 8 100
Relação de Proporção Para Duas Grandezas Variáveis
Direta → Quando aumentando ou diminuindo uma delas em duas, três ou “x” vezes, o valor da outra
também aumenta ou diminui para duas, três ou “x” vezes, respectivamente.
Garrafas de Refrigerante (unidade) Quantidade (litros) Queijo (kg) Preço (R$)
1 2 1 8,40
2 4 1/2 4,20
Inversa → Quando aumentando ou diminuindo uma delas em duas, três ou “x” vezes, o valor da
outra diminui ou aumenta para duas, três ou “x” vezes, respectivamente.
Pedreiros (nº) Execução do muro (dias) Máquina (nº) Produção de 100 velas (horas)
1 2 4 3
2 1 2 6
↑ ↑ ↓
↓
↑ ↑
↓
↓
Procedimentos Encontrar as grandezas Montar o raciocínio Comparar as grandezas
↑ ↑
ração
de
pacotes
3
x
25
75
x
25
75
1
x
=
⇒
=
⇒
=
30
x
100
200
8
6
20
x
=
⇒
⋅
= Operários
↑ ↓
↓
Operação onde se calcula proporções envolvendo duas ou mais grandezas
Proporção é a igualdade entre duas frações e as grandezas podem ser
direta ou inversamente proporcionais
Regra de três pode ser simples ou composta
Proporção
d
c
b
a
=
“a” está para “b” assim
como “c” está para “d”
7

PORCENTAGEM
Porcentagem ou percentagem é uma razão centesimal representada pelo símbolo (%) e indica a
divisão de um número por cem.
Exemplo: Um carro popular valia em 1994 8 mil reais. Em 2006, um carro similar custa o
equivalente a 13 mil reais. Qual o aumento de preço percentual ao longo do período?
O resultado pode ser obtido através de uma regra de três simples:
Ano Valor do Carro (R$) Valor correspondente em (%)
1994 8000 100
2006 13000 x
↑ ↑
%
5
,
62
1
x
8
1300
x
8000
13000
100
x
=
⇒
=
⇒
= O aumento percentual de preço no período foi de 62,7%
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES DE MEDIDA
U
Un
ni
id
da
ad
de
es
s F
Fu
un
nd
da
am
me
en
nt
ta
ai
is
s d
do
o S
SI
I
N
No
om
me
e S
Sí
ím
mb
bo
ol
lo
o
C
Co
om
mp
pr
ri
im
me
en
nt
to
o m
me
et
tr
ro
o ]
m
[
M
Ma
as
ss
sa
a q
qu
ui
il
lo
og
gr
ra
am
ma
a ]
kg
[
T
Te
em
mp
po
o s
se
eg
gu
un
nd
do
os
s ]
s
[
I
In
nt
te
en
ns
si
id
da
ad
de
e d
de
e C
Co
or
rr
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en
nt
te
e E
El
lé
ét
tr
ri
ic
ca
aaa a
am
mp
pè
èr
re
e ]
A
[
T
Te
em
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pe
er
ra
at
tu
ur
ra
a T
Te
er
rm
mo
od
di
in
nâ
âm
mi
ic
ca
a K
Ke
el
lv
vi
in
n ]
K
[
I
In
nt
te
en
ns
si
id
da
ad
de
e L
Lu
um
mi
in
no
os
sa
a c
ca
an
nd
de
el
la
a ]
cd
[
A
Al
lg
gu
un
ns
s P
Pr
re
ef
fi
ix
xo
os
s d
do
o S
SI
I
F
Fa
at
to
or
r P
Pr
re
ef
fi
ix
xo
o S
Sí
ím
mb
bo
ol
lo
o
1
10− d
de
ec
ci
i d
2
10− c
ce
en
nt
ti
i c
3
10− m
mi
il
li
i m
6
10− m
mi
ic
cr
ro
o μ
9
10− n
na
an
no
o n
3
10 k
ki
il
lo
o k
6
10 m
me
eg
ga
a M
Exemplos de conversão de unidades
Sistema Internacional de Medidas (SI) Conjunto de unidades utilizada para medir e comparar
todas as espécies de grandezas, possibilitando ainda a operação com seus múltiplos e submúltiplos.
Conversão de m
30 em m
μ , mm, cm, dm e km
m
μ mm cm dm km
Conversãoa 3
2
1
m
6
6
m
10
10
30
μ
−
×
× 3
2
1
mm
3
3
m
10
10
30 −
×
× 3
2
1
cm
2
2
m
10
10
30 −
×
× 3
2
1
dm
1
1
m
10
10
30 −
×
× 3
2
1
km
3
3
m
10
10
30 ×
× −
Valor m
10
.
3 7
μ mm
000
.
30 cm
000
.
3 dm
300 km
03
,
0
Outras Grandezas
Massa Tempo Velocidade Área Volume
Valor original kg
5 h
3 h
/
km
60 2
cm
120 3
7
mm
10
Converter para ]
g
[ ]
s
[ ]
s
/
m
[ 2
]
m
[ 3
]
m
[
Conversão g
10
5 3
× s
3600
3×
s
3600
m
10
60 3
× 2
2
)
m
10
(
120 −
× 3
3
7
)
m
10
(
10 −
×
Valor convertidovv g
000
.
5 s
800
.
10 s
/
m
67
,
16 2
m
012
,
0 3
m
01
,
0
8

REVISÃO: TRIGONOMETRIA - TRIÂNGULO RETÂNGULO
Triângulo Retângulo é todo
triângulo que tem um ângulo reto
Catetos São os lados que formam o ângulo reto
Hipotenusa É o lado oposto ao ângulo reto
A soma dos ângulos internos em um triângulo vale 180 graus o
o
180
β
α
90 =
+
+
Teorema de Pitágoras
Em um triângulo Retângulo, a soma dos quadrados das medidas
dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa
2
2
2
c
b
a +
=
Exemplo: Determine o Valor de “x” no triângulo retângulo abaixo:
Relações Trigonométricas Em Um Triângulo Retângulo
Cateto oposto Lado oposto ao ângulo (“lado em frente ao ângulo”)
Cateto adjacente Lado junto ao ângulo que não é a hipotenusa (“lado ligado ao ângulo”)
H
CO
Hipotenusa
Oposto
Cateto
(ângulo)
sen =
=
H
CA
Hipotenusa
Adjacente
Cateto
(ângulo)
cos =
=
CA
CO
Adjacente
Cateto
Oposto
Cateto
(ângulo)
tg =
=
x
5
a = m
6
b = x
4
c = 2
2
2
c
b
a +
=
( ) ( ) ( )2
2
2
x
4
m
6
x
5 +
= ⇒ 2
2
2
x
16
m
36
x
25 +
=
2
2
2
m
36
x
16
x
25 =
− ⇒ 2
2
2
2
m
4
x
m
36
x
9 =
⇒
= ⇒ m
2
x
m
4
x 2
=
⇒
=
Dicas!
Exemplo:Determine os valores dos catetos para o triângulo retângulo
Cálculo do cateto “b”
m
5
b
m
10
b
2
1
H
CO
)
30
(
sen =
⇒
=
⇒
=
o ou m
5
b
m
10
b
2
1
H
CA
)
60
cos( =
⇒
=
⇒
=
o
Cálculo do cateto “c”
m
2
3
5
b
m
10
c
2
3
H
CO
)
60
(
sen =
⇒
=
⇒
=
o ou m
2
3
5
b
m
10
c
2
3
H
CA
)
30
cos( =
⇒
=
⇒
=
o
9

VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS E ÂNGULOS SIMÉTRICOS
Função
Valores Notáveis
π
→
o
180
6
30
π
=
o
4
45
π
=
o
3
60
π
=
o
Seno
2
1
2
2
2
3
Cosseno
2
3
2
2
2
1
Tangente
3
3
1 3
Estudo dos Sinais
Máximos e Mínimos das
Funções seno e cosseno
10

VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS (30º)
Retas paralelas (/ /) fazem o mesmo ângulo (30º) com as retas horizontais
tracejadas, assim, a tangente do triângulo superior é igual à razão entre
“1 - y” e “x” !
11

Ângulo de 45º indica a diagonal de um quadrado, portanto “x” deve ser
igual a “y” !
12

Retas paralelas (/ /) fazem o mesmo ângulo (60º) com as retas
horizontais tracejadas, formando um triângulo equilátero, logo,
“x” é igual a 1/2 !
13

ALGUNS TIPOS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS
Dois Lados Congruentes
(Dois Lados e Dois Ângulos Iguais)
Triângulo
Isósceles
Três Lados e Três Ângulos Iguais
Triângulo
Equilátero
Dois Lados Congruentes
(Dois Lados Iguais)
Trapézio
Isósceles
Dois Ângulos Retos
Trapézio
Retângulo
14

REVISÃO: CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO A FUNÇÕES
Definição: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma relação de A em B é
função se cada elemento x de A possui somente um único correspondente em y.
Esta relação deve atender duas condições:
Todo elemento x de A deve ter correspondente y em B
Cada elemento x de A deve ter um único correspondente y em B
Conjuntos Numéricos
Conjuntos dos Números Naturais: Surgiram da necessidade de contar objetos
IN = {0, 1, 2, 3, ... }
Conjuntos dos Números Inteiros: Inclui números inteiros negativos
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Conjuntos dos Números Racionais: Todo número que pode ser escrito na forma de fração
Q = {..., -2 , ...., -3/2 , ...., -1 , ..., -2/5, .... , -1/9 , .... 0, .... 1/5... , 3, ... , 7/2, ... }
Conjuntos dos Irracionais: É dízima não periódica
I = {..., COS 45º , ...., π , ... } COS 45º = 0,7071067 ...
π = 3,1415926 ...
Conjuntos dos Reais: União dos números Racionais e Irracionais
R = Q ∪ I
Intervalos
Indica Inclusão
Indica Exclusão
∪ =
∩ =
Fechado:Inclui todos os números reais do intervalo,
incluindo os extremos ⇒ }
7
x
3
/
R
x
{ ≤
≤
−
∈ →
Aberto:Inclui todos os números reais do intervalo,
excluindo os extremos ⇒ }
1
x
6
/
R
x
{ <
<
−
∈ →
Semi-Abertos:Inclui todos os números reais do intervalo,
excluindo um dos extremos ⇒ }
9
x
5
/
R
x
{ <
≤
∈ →
Reta orientada que representa os Reais
Um ponto qualquer marca a Origem e outro ponto. À direita da origem estão os
números positivos e à esquerda, os negativos. Cada ponto desta reta chama-se
abscissa do ponto:
Reta Real
Função
Não função Função Não Função
15

Sistema Cartesiano Ortogonal
O sistema cartesiano pode ser utilizado para representar os pares ordenados de uma relação. Este sistema
divide o plano em quatro quadrantes:
Gráfico de Uma Relação
Crescimento e Decrescimento de Uma Função
x aumenta e y aumenta: a função é crescente ⇒ [0, 2] e [7, 10]
x aumenta e y diminui: a função é decrescente ⇒ [2, 7]
Raiz ou Zero da Função
São os pontos onde o gráfico corta o eixo x. São chamados raízes ou zero da
função, este último pelo fato de suas ordenadas serem nulas
São raízes ou zeros da função ⇒ 0, 4 e 10
Sinal de Uma Função
Se o gráfico estiver acima do eixo x: a função é positiva ⇒ ]0, 4[
Se o gráfico estiver abaixo do eixo x: a função é negativa ⇒ ]4, 10[
⇒ O ponto de interseção dos eixos é a origem do sistema
⇒ O ponto (x, y) são números reais e representam as ordenadas do ponto
⇒ Onde x é a abscissa e y a ordenada desse ponto
16

Classificação de Uma Função
Função Par e Função Ímpar
Uma função f: A → B é Par se, para cada x∈A, tem-se )
x
(
f
)
x
(
f −
=
Exemplo:
1
x
)
x
(
f 4
+
=
1
x
1
)
x
(
)
x
(
f 4
4
+
=
+
−
=
−
Par
Função
)
x
(
f
)
x
(
f −
=
Uma função f: A → B é Ímpar se, para cada x∈A, tem-se )
x
(
f
)
x
(
f −
=
−
Exemplo:
x
x
)
x
(
f 3
+
=
)
x
x
(
x
x
)
x
(
)
x
(
)
x
(
f 3
3
3
+
−
=
−
−
=
−
+
−
=
−
Ímpar
Função
)
x
(
f
)
x
(
f −
=
−
O conjunto A é chamado de domínio de f: D= {1,2,3}
Cada elemento do domínio é representado pela letra x e é a
variável independente da função
O conjunto B é chamado de contradomínio de f: B= {1,2,3,4,5}
Cada elemento do contradomínio é representado pela letra y ou
f(x) , que é a variável dependente da função
O subconjunto de B que possui os elementos de y que estão
associados com x é chamado de conjunto imagem da função e
indicado por Im: Im= {2,3,4}
A função f possui domínio em A com imagens em B , ou seja,
f:A→B (lê-se f de A em B) e a expressão de correspondência
do exemple é:
y = f(x) = x + 1
17

REVISÃO: FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU
Função Linear
Definição: Se 0
b = a função )
x
(
f
y = é denominada de função linear e seu gráfico é uma reta que passa
pela origem.
Exemplo: 0
b
e
1
a
x
)
x
(
f
y =
−
=
⇒
−
=
=
Função de Primeiro Grau
Definição: Uma Função cuja expressão é da forma b
ax
)
x
(
f
y +
=
= onde “a” e “b” são números reais,
com 0
a ≠ , chama-se função de primeiro grau.
Exemplos:
5
b
e
2
a
5
x
2
)
x
(
f =
=
⇒
+
=
0
b
e
3
2
a
x
3
2
)
x
(
f =
−
=
⇒
−
=
Gráfico de Uma Função de Primeiro Grau
Exemplo: 1
b
e
2
a
1
x
2
)
x
(
f
y =
=
⇒
+
=
=
O gráfico da função b
ax
)
x
(
f
y +
=
= é uma reta
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-2 -3 (-2, -3)
-1 -1 (-1, -1)
0 1 (0, 1)
1 3 (1, 3)
2 5 (2, 5)
3
1
4
1
)
2
(
2
)
2
(
f −
=
+
−
=
+
−
=
−
1
1
2
1
)
1
(
2
)
1
(
f −
=
+
−
=
+
−
=
−
1
1
0
1
)
0
(
2
)
0
(
f =
+
=
+
=
3
1
2
1
)
1
(
2
)
1
(
f =
+
=
+
=
5
1
4
1
)
2
(
2
)
2
(
f =
+
=
+
=
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-1 1 (-1, 1)
0 0 (0, 0)
1 -1 (1, -1)
1
)
1
(
)
1
(
f =
−
−
=
−
0
)
0
(
)
0
(
f =
−
=
1
)
1
(
)
1
(
f −
=
−
=
Como o gráfico de uma função de 1º grau é uma reta são,
necessários somente dois pontos para representá-lo!
Se b = 0, a função é linear e seu gráfico
passa pela origem!
18

Taxa de Variação Média (TVM)
Para a função 1
b
e
2
a
1
x
2
)
x
(
f
y =
=
⇒
+
=
= tem-se:
Função Constante
Definição: Se 0
a = , a função )
x
(
f
y = é denominada de função constante e seu gráfico é uma reta
paralela ao eixo x.
Exemplo: 2
b
e
0
a
2
)
x
(
f
y =
=
⇒
=
=
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-1 2 (-1, 2)
0 2 (0, 2)
1 2 (1, 2)
2
)
1
(
f =
−
2
)
0
(
f =
2
)
1
(
f =
Se a = 0, a função é constante e seu
gráfico é paralelo ao eixo x
Função constante “não é” uma função
de primeiro grau!
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-2 -3 (-2, -3)
-1 -1 (-1, -1)
0 1 (0, 1)
1 3 (1, 3)
2 5 (2, 5)
3
1
4
1
)
2
(
2
)
2
(
f −
=
+
−
=
+
−
=
−
1
1
2
1
)
1
(
2
)
1
(
f −
=
+
−
=
+
−
=
−
1
1
0
1
)
0
(
2
)
0
(
f =
+
=
+
=
3
1
2
1
)
1
(
2
)
1
(
f =
+
=
+
=
5
1
4
1
)
2
(
2
)
2
(
f =
+
=
+
=
Quando x aumenta de 1 unidade, y aumenta de 2 unidades. Assim, a
razão entre a diferença de dois valores quaisquer é constante:
2
1
2
x
y
1
2
3
5
0
1
1
3
)
1
(
0
)
1
(
1
)
2
(
1
)
3
(
1
=
=
Δ
Δ
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
A esta razão chama-se taxa de variação média. Sendo 1
x e 2
x
elementos do domínio de )
x
(
f e 1
2 x
x > , tem-se:
1
2
1
2
1
2
1
2
x
x
y
y
x
x
)
x
(
f
)
x
(
f
x
y
TVM
−
−
=
−
−
=
Δ
Δ
=
Para uma função do tipo b
ax
)
x
(
f
y +
=
= a TVM é:
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
x
x
ax
ax
x
x
)
b
ax
(
)
b
ax
(
x
x
)
x
(
f
)
x
(
f
x
y
TVM
−
−
=
−
+
−
+
=
−
−
=
Δ
Δ
=
a
x
x
)
x
x
(
a
x
x
ax
ax
TVM
1
2
1
2
1
2
1
2
=
−
−
=
−
−
=
Para uma função de 1º grau, a taxa de variação média (TVM) é igual a “a”!
A constante “a” é
chamada de
coeficiente angular
19

Coeficiente Angular da Reta
Notar que:
a
TVM
x
y
tag =
=
Δ
Δ
=
α
A tangente do ângulo que a reta faz com o eixo
x fornece a taxa de variação média da função
ou Coeficiente Angular da reta!
Coeficiente Linear da Reta
A constante “b” é chamada de coeficiente linear e indica o valor onde a reta corta o eixo y, em 0
x = .
Em x igual a zero (x = 0), o
gráfico corta o eixo y em “b”.
A constante “b” indica o
Coeficiente Linear da reta!
Estudo do Sinal de Uma Função de Primeiro Grau
Para analisar o sinal de uma função deve-se obter a raiz ou zero da função, ou seja, o valor da abscissa do
ponto onde o gráfico corta o eixo x, em 0
y = . Assim:
20

Crescimento de Decrescimento de Uma Função de Primeiro Grau
A função )
x
(
f é crescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y aumentam.
Assim, para x
Δ e y
Δ maiores que zero:
0
a
x
y
>
=
Δ
Δ
A função )
x
(
f é decrescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y diminuem.
Assim, para x
Δ ou y
Δ menores que zero:
0
a
x
y
<
−
=
Δ
Δ
Exemplo:
a) 1
b
e
1
a
1
x
)
x
(
f
y =
=
⇒
+
=
= b) 1
b
e
1
a
1
x
)
x
(
f
y =
−
=
⇒
+
−
=
=
A função é crescente se 0
a >
A função é decrescente se 0
a <
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-2 -1 (-2, -1)
-1 0 (-1, 0)
0 1 (0, 1)
1 2 (1, 2)
2 3 (2, 3)
1
1
)
2
(
)
2
(
f −
=
+
−
=
−
0
1
)
1
(
)
1
(
f =
+
−
=
−
1
1
)
0
(
)
0
(
f =
+
=
2
1
)
1
(
)
1
(
f =
+
=
3
1
)
2
(
)
2
(
f =
+
=
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-2 3 (-2, 3)
-1 2 (-1, 2)
0 1 (0, 1)
1 0 (1, 0)
2 -1 (2, -1)
3
1
)
2
(
)
2
(
f =
+
−
−
=
−
2
1
)
1
(
)
1
(
f =
+
−
−
=
−
1
1
)
0
(
)
0
(
f =
+
−
=
0
1
)
1
(
)
1
(
f =
+
−
=
1
1
)
2
(
)
2
(
f −
=
+
−
=
crescente
é
)
x
(
f
0
a ⇒
> e
decrescent
é
)
x
(
f
0
a ⇒
<
21

REVISÃO: FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU
Concavidade da Parábola
Função de segundo Grau
Definição: Uma Função cuja expressão é da forma c
bx
ax
)
x
(
f
y 2
+
+
=
= onde “a”, “b” e “c” são
números reais, com 0
a ≠ , chama-se função de segundo grau ou função quadrática.
Exemplos:
2
c
e
3
b
,
1
a
2
x
4
x
)
x
(
f 2
=
=
=
⇒
+
+
= 0
c
e
4
b
,
1
a
x
4
x
)
x
(
f 2
=
=
−
=
⇒
+
−
=
1
c
e
3
b
,
2
a
1
x
3
x
2
)
x
(
f 2
=
−
=
=
⇒
+
−
= 4
c
e
0
b
,
10
a
4
x
10
)
x
(
f 2
=
=
−
=
⇒
+
−
=
Gráfico de Uma Função de Primeiro Grau
Exemplo: 6
x
5
x
)
x
(
f
y 2
+
−
=
=
6
b
e
5
b
,
1
a =
−
=
=
O gráfico da função
c
bx
ax
)
x
(
f
y 2
+
+
=
= é uma parábola
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-3 30 (-3, 30)
-2 20 (-2, 20)
-1 12 (-1, 12)
0 6 (0, 6)
1 2 (1, 2)
2 0 (2, 0)
3 0 (3, 0)
30
6
15
9
6
)
3
(
5
)
3
(
)
3
(
f 2
=
+
+
=
+
−
−
−
=
−
20
6
10
4
6
)
2
(
5
)
2
(
)
2
(
f 2
=
+
+
=
+
−
−
−
=
−
12
6
5
1
6
)
1
(
5
)
1
(
)
1
(
f 2
=
+
+
=
+
−
−
−
=
−
6
6
0
0
6
)
0
(
5
)
0
(
)
0
(
f 2
=
+
+
=
+
−
=
2
6
5
1
6
)
1
(
5
)
1
(
)
1
(
f 2
=
+
−
=
+
−
=
0
6
10
4
6
)
2
(
5
)
2
(
)
2
(
f 2
=
+
−
=
+
−
=
0
6
15
9
6
)
3
(
5
)
3
(
)
3
(
f 2
=
+
−
=
+
−
=
Como o gráfico de uma função de 2º grau é
uma parábola é necessário determinar as
raízes e seu vértice para representá-lo!
Se a > 0 ⇒ Parábola com
concavidade voltada
para cima
Se a > 0 ⇒ Parábola com
concavidade voltada
para baixo
22

Raízes ou Zeros da Função de Segundo Grau
Definição: Os pontos onde o gráfico c
bx
ax
)
x
(
f
y 2
+
+
=
= corta o eixo x (em 0
y = ) são chamados
raízes ou zeros da função. Para determinar as raízes usa-se a fórmula de Bháskara ou o método da soma e
produto de raízes.
Fórmula de Bháskara Soma e Produto de Raízes
Através da soma e produto das raízes é
possível determinar as raízes (geralmente
inteiras) de algumas expressões.
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
+
+
−
=
+
=
2a
Δ
b
2a
Δ
b
x
x
Soma 2
1
a
b
a
2
b
2
a
2
b
b
S −
=
−
=
Δ
+
−
Δ
+
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
+
−
=
=
a
2
b
.
a
2
b
x
.
x
Produto 2
1
2
2
2
2
2
2
a
4
ac
4
b
b
a
4
)
ac
4
b
(
b
Produto
+
−
=
−
−
=
a
c
a
4
ac
4
P 2
=
=
Exemplo: 6
x
5
x
)
x
(
f
y 2
+
−
=
=
6
c
5
b
1
a =
−
=
=
5
1
)
5
(
a
b
S =
−
−
=
−
=
6
1
6
a
c
P =
=
=
Quais são os números cuja soma é igual
a 5 e o produto igual a 6?
Os números são 2 e 3, pois:
5
3
2
Soma =
+
=
6
3
2
Produto =
×
=
Assim:
3
x
e
2
x 2
1 =
=
c
bx
ax
)
x
(
f
y 2
+
+
=
=
a
2
b
x
Δ
±
−
=
ac
4
b2
−
=
Δ
a
2
b
x
e
a
2
b
x 2
1
Δ
−
−
=
Δ
+
−
=
Exemplo: 6
x
5
x
)
x
(
f
y 2
+
−
=
=
6
c
5
b
1
a =
−
=
=
)
6
(
)
1
(
4
)
5
(
ac
4
b 2
2
−
−
=
−
=
Δ
1
24
25 =
−
=
Δ
1
.
2
1
)
5
(
a
2
b
x
±
−
−
=
Δ
±
−
=
2
1
5
x
±
=
3
2
1
5
x1 =
+
=
2
2
1
5
x2 =
−
=
As raízes são 2 e 3
6
x
5
x
)
x
(
f
y 2
+
−
=
=
6
)
2
(
5
2
)
2
(
f
y 2
+
−
=
=
0
)
2
(
f
y =
=
6
)
3
(
5
3
)
3
(
f
y 2
+
−
=
=
0
)
3
(
f
y =
=
23

Vértice da Parábola
O vértice da parábola é o ponto de mínimo, se 0
a > , ou o ponto de máximo, se 0
a < , da função.
Para 0
a = , tem-se que c
c
bx
ax
y 2
=
+
+
= , isto é, a parábola corta o eixo y no ponto de ordenada “c”.
Por simetria, existe outro valor de x que resulta em c
y = :
Como o ponto onde
a
b
x −
= é simétrico em relação ao vértice:
2
a
b
xv
−
=
Para
a
2
b
xv −
=
a
4
a
4
)
ac
4
b
(
a
4
ac
4
b
2
b
c
a
2
b
a
4
b
c
a
2
b
b
a
2
b
a
y
2
2
2
2
2
2
v
Δ
−
=
−
−
=
+
−
=
+
+
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
Para c
y = :
a
b
x
0
x
0
)
b
ax
(
x
0
bx
ax
c
c
bx
ax
2
1
2
2
−
=
=
=
+
=
+
=
+
+
a
2
b
xv −
=
a
4
yv
Δ
−
=
24

Estudo do Sinal de Uma Função de Segundo Grau
Para 0
>
Δ 0
=
Δ 0
<
Δ
Duas raízes reais
e
distintas
Duas raízes reais
e
iguais (raiz dupla)
Não possui raiz
real
(raízes imaginárias)
0
a >
0
a <
Crescimento de Decrescimento de Uma Função de Segundo Grau
A função c
bx
ax
)
x
(
f 2
+
+
= é crescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y
aumentam. Caso contrário, a função é decrescente. O ponto onde a parábola passa de decrescente para
crescente ou vice-versa é o vértice.
Exemplo: 6
c
5
b
1
a
6
x
5
x
)
x
(
f
y 2
=
−
=
=
⇒
+
−
=
=
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
0 6 (0, 6) Corta o eixo y
1 2 (1, 2)
2 0 (2, 0) x1
5/2 -1/4 (5/2, -1/4) Vértice
3 0 (3, 0) x2
5 6 (5, 6)
6
6
)
0
(
5
)
0
(
)
0
(
f 2
=
+
−
=
2
6
)
1
(
5
)
1
(
)
1
(
f 2
=
+
−
=
0
6
)
2
(
5
)
2
(
)
2
(
f 2
=
+
−
=
4
/
1
6
)
2
/
5
(
5
)
2
/
5
(
)
2
/
5
(
f 2
−
=
+
−
=
0
6
)
3
(
5
)
3
(
)
3
(
f 2
=
+
−
=
6
6
)
5
(
5
)
5
(
)
5
(
f 2
=
+
−
=
25

REVISÃO: FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS
Funções Exponenciais
Definição: Uma função exponencial é definida como x
a
)
x
(
f = , onde 1
a ≠ e 0
a > .
Exemplos: x
5
)
x
(
f = x
2
)
x
(
f =
x
3
1
)
x
(
f ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Gráfico de Uma Função Exponencial
Exemplo 1: x
2
)
x
(
f =
1
a
2
a >
⇒
=
Em 0
x = , o gráfico corta o eixo y no ponto )
1
,
0
(
Analisando a tendência dos valores de y com relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
→
⇒
−∞
→
+∞
→
⇒
+∞
→
0
y
x
y
x
Exemplo 2:
x
2
1
)
x
(
f ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
1
a
0
5
,
0
2
/
1
a <
<
⇒
=
=
Em 0
1
,
0
(
⎩
⎨
⎧
+∞
→
⇒
−∞
→
→
⇒
+∞
→
y
x
0
y
x
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-3 1/8 (-3, 1/8)
-2 1/4 (-2, 1/4)
-1 1/2 (-1, 1/2)
0 1 (0, 1)
1 2 (1, 2)
2 4 (2, 4)
3 8 (3, 8)
x
2
)
x
(
f =
8
/
1
)
2
(
)
3
(
f 3
=
=
− −
4
/
1
)
2
(
)
2
(
f 2
=
=
− −
2
/
1
)
2
(
)
1
(
f 1
=
=
− −
1
)
2
(
)
0
(
f 0
=
=
2
)
2
(
)
1
(
f 1
=
=
4
)
2
(
)
2
(
f 2
=
=
8
)
2
(
)
3
(
f 3
=
=
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-3 8 (-3, 8)
-2 4 (-2, 4)
-1 2 (-1, 2)
0 1 (0, 1)
1 1/2 (1, 1/2)
2 1/4 (2, 1/4)
3 1/8 (3, 1/8)
x
)
2
/
1
(
)
x
(
f =
8
)
2
/
1
(
)
3
(
f 3
=
=
− −
4
)
2
/
1
(
)
2
(
f 2
=
=
− −
2
)
2
/
1
(
)
1
(
f 1
=
=
− −
1
)
2
/
1
(
)
0
(
f 0
=
=
2
/
1
)
2
/
1
(
)
1
(
f 1
=
=
4
/
1
)
2
/
1
(
)
2
(
f 2
=
=
8
/
1
)
2
/
1
(
)
3
(
f 3
=
=
Função exponencial
crescente
Função exponencial
decrescente
26

Exemplo 3: Faça o gráfico da função x
3
1
)
x
(
f +
=
A base que tem o expoente x vale 3
crescente
função
1
a
3
a ⇒
>
⇒
=
Em 0
2
,
0
(
2
1
1
3
1
)
0
(
f
y
3
1
)
x
(
f
y 0
x
=
+
=
+
=
=
⇒
+
=
=
Exemplo 4: Faça o gráfico da função 1
x
5
1
)
x
(
f +
+
=
crescente
função
1
a
5
a ⇒
>
⇒
=
Verificando o ponto onde a função corta o eixo y (em 0
x = )
6
5
1
5
1
)
0
(
f
y
5
1
)
x
(
f
y 1
0
1
x
=
+
=
+
=
=
⇒
+
=
= +
+
x
3
2
)
x
(
f +
+
=
crescente
função
1
a
3
a ⇒
>
⇒
=
Verificando o ponto onde a função corta o eixo y (em 0
x = )
11
9
2
3
2
)
0
(
f
y
3
2
)
x
(
f
y 2
0
2
x
=
+
=
+
=
=
⇒
+
=
= +
+
Outros Exemplos
3
1
)
x
(
f +
=
Em 0
2
,
0
(
2
1
1
3
1
)
0
(
f
y
3
1
)
x
(
f
y 0
x
=
+
=
+
=
=
⇒
+
=
=
Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que:
⎩
⎨
⎧
→
⇒
−∞
→
+∞
→
⇒
+∞
→
1
y
x
y
x
x
3
1
y +
=
+∞
→
⇒
∞
+
=
+
=
+∞
→ +∞
y
1
3
1
y
:
x
Para
1
y
0
1
1
1
3
1
1
3
1
y
:
x
Para →
⇒
+
=
∞
+
=
+
=
+
=
−∞
→ ∞
+
∞
−
Se a > 1 ⇒ Função
exponencial crescente
Se 0 < a < 1 ⇒ Função
exponencial decrescente
Para x
a
)
x
(
f =
Para x
a
)
x
(
f =
27

2
2
1
)
x
(
f −
=
Em 0
0
,
0
(
0
1
1
2
1
)
0
(
f
y
2
1
)
x
(
f
y 0
x
2
=
−
=
−
=
=
⇒
−
=
=
⎩
⎨
⎧
→
⇒
−∞
→
−∞
→
⇒
+∞
→
1
y
x
y
x
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
→
⇒
−
=
∞
−
=
−
=
−
=
−
=
−∞
→
−∞
→
⇒
∞
−
=
−
=
−
=
+∞
→
−
=
∞
+
∞
−
−∞
×
∞
+
+∞
×
1
y
0
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
y
:
x
Para
y
1
2
1
2
1
y
:
x
Para
2
1
y )
(
2
)
(
2
x
2
x
5
1
)
x
(
f +
+
=
Em 0
6
,
0
(
6
5
1
5
1
)
0
(
f
y
5
1
)
x
(
f
y 1
0
1
x
=
+
=
+
=
=
⇒
+
=
= +
+
⎩
⎨
⎧
→
⇒
−∞
→
+∞
→
⇒
+∞
→
1
y
x
y
x
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
→
⇒
+
=
+
=
+
=
+
=
−∞
→
+∞
→
⇒
∞
+
=
+
=
+
=
+∞
→
+
=
∞
+
∞
−
+
∞
−
∞
+
+
∞
+
+
1
y
0
1
5
1
1
5
1
5
1
y
:
x
Para
y
1
5
1
5
1
y
:
x
Para
5
1
y 1
1
1
x
28

1
2
3
)
x
(
f −
+
−
=
Em 0
1
,
0
( −
1
2
3
2
3
)
0
(
f
y
2
3
)
x
(
f
y 0
1
x
1
−
=
+
−
=
+
−
=
=
⇒
+
−
=
= −
−
⎩
⎨
⎧
+∞
→
⇒
−∞
→
−
→
⇒
+∞
→
y
x
3
y
x
x
1
2
3
y −
+
−
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+∞
→
⇒
∞
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
−∞
→
−
→
⇒
+
−
=
∞
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+∞
→
∞
+
∞
+
−∞
−
∞
+
∞
−
∞
−
+∞
−
y
3
2
3
2
3
2
3
y
:
x
Para
3
y
0
3
1
3
2
1
3
2
3
2
3
2
3
y
:
x
Para
1
)
(
1
1
)
(
1
x
3
2
)
x
(
f +
+
=
Em 0
11
,
0
(
11
9
2
3
2
3
2
)
0
(
f
y
3
2
)
x
(
f
y 2
2
0
2
x
=
+
=
+
=
+
=
=
⇒
+
=
= +
+
⎩
⎨
⎧
→
⇒
−∞
→
+∞
→
⇒
+∞
→
2
y
x
y
x
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
→
⇒
+
=
+
=
+
=
+
=
−∞
→
+∞
→
⇒
∞
+
=
+
=
+
=
+∞
→
+
=
∞
+
∞
−
+
∞
−
∞
+
+
∞
+
+
2
y
0
2
3
1
2
3
2
3
2
y
:
x
Para
y
2
3
2
3
2
y
:
x
Para
3
2
y 2
2
2
x
29

O Número Neperiano (ou de Napier) ou Número exponencial
Também chamado de número de Euler ou de Néper, a constante matemática “e ” tem grande
importância, pois está presente na formulação de vários fenômenos naturais (desintegração radioativa,
crescimento populacional, etc.). É um número irracional e tem valor:
Associada ao número neperiano, a função exponencial de base “e ” é uma das mais importantes funções
da matemática:
...
459
828
281
2,718
e =
x
e
f(x) =
Equações Exponenciais
Definição: Uma equação exponencial possui expoentes como incógnita. São equações exponenciais:
8
2x
= 343
3 5
x
=
−
25
5
2
5 3
x
x
=
×
+ +
Para resolver equações exponenciais utiliza-se a seguinte propriedade:
Antes: Lembretes de Potenciação e Radiciação
n
m
n
m
a
a
a +
=
⋅ 0
a
,
a
a
a n
m
n
m
≠
= −
( ) 0
a
,
a
a n
m
n
m
≠
= ⋅
( )n
n
n
b
a
b
a ⋅
=
⋅ 0
b
,
b
a
b
a n
n
n
≠
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
n m
n
m
a
a =
Se duas potências têm a mesma base, então os
expoentes são iguais. Assim, para a > 0 e a ≠ 0:
n
m
a
a n
m
=
⇔
=
30

Exemplo 1: Resolva a equação 32
2x
=
Reduzindo os dois membros da igualdade a mesma base tem-se: 5
x
x
2
2
32
2 =
⇒
=
Se a equação exponencial tem a mesma base, é possível igualar os expoentes: 5
x
2
2 5
x
=
⇔
=
5 4
x
=
+
Reduzindo a mesma base: 2
4
x
4
x
5
5
25
5 =
⇒
= +
+
Igualando os expoentes: 2
x
4
2
x
2
4
x
5
5 2
4
x
−
=
⇒
−
=
⇒
=
+
⇒
=
+
Exemplo 3: Resolva a equação
x
3
2
x
2
3
3
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
Reduzindo a mesma base:
x
3
2
x
x
3
1
2
x
x
3
2
x
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
3
2 −
+
−
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Igualando os expoentes:
5
2
x
2
x
5
x
3
2
x
3
2
3
2 x
3
2
x
−
=
⇒
−
=
⇒
−
=
+
⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
27
1
3
2
x
x
2
=
−
Reduzindo a mesma base: 3
x
x
2
3
x
x
2
x
x
2
3
3
3
1
3
27
1
3
2
2
2
−
−
−
−
=
⇒
=
⇒
=
Igualando os expoentes: 0
3
x
2
x
0
3
x
x
2
3
x
x
2
3
3 2
2
2
3
x
x
2 2
=
+
+
−
⇒
=
+
−
⇒
−
=
−
⇒
= −
−
Resolvendo a equação de 2º grau 0
3
x
2
x2
=
+
+
− :
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
=
−
=
=
=
−
=
=
=
−
=
3
x
e
1
x
3
a
c
Produto
e
2
a
b
Soma
3
c
2
b
1
a
2
1
5 x
3
2
x
8
2 =
−
Reduzindo a mesma base: ( ) ( ) 5
x
9
2
2
x
5
x
3
3
2
2
x
5
x
3
2
1
2
x
5 x
3
2
x
2
2
2
2
8
2
8
2 =
⇒
=
⇒
=
⇒
=
−
−
−
−
Igualando os expoentes: ( ) ( )
13
10
x
x
18
10
x
5
x
9
2
2
x
5
5
x
9
2
2
x
2
2 5
x
9
2
2
x
−
=
⇒
=
−
⇒
=
−
⇒
=
−
⇒
=
−
31

9
11
3
3
3 1
x
1
x
x
=
−
+ −
+
Primeiramente, reduzir a equação a um membro em cada lado da igualdade:
9
11
3
3
3
.
3
3
9
11
3
3
3
3
3
9
11
3
3
3
x
x
x
1
x
1
x
x
1
x
1
x
x
=
−
+
⇒
=
−
+
⇒
=
−
+ −
−
+
Colocando em evidência x
3 :
1
x
x
x
x
x
x
x
3
3
1
11
3
9
11
3
3
11
9
11
3
9
11
3
11
3
9
11
3
1
3
1
3
9
11
3
3
3
3
3 −
=
=
×
=
⇒
=
⇒
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
⇒
=
−
×
+
Com a mesma base, é possível igualar os expoentes: 1
x
3
3 1
x
−
=
⇒
= −
Exemplo 7: Resolva a equação x
x
2
5
4
4
=
+
( ) ( ) 0
4
2
5
2
0
4
2
5
2
2
5
4
4
2
5
4
4 x
2
x
x
x
2
x
x
x
x
=
+
×
−
⇒
=
+
×
−
⇒
×
=
+
⇒
=
+
Fazendo uma mudança de variável do tipo x
2
m = e substituindo na equação:
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
⇒
=
=
=
−
=
=
−
=
=
=
+
−
⇒
=
+
×
−
4
m
e
1
m
4
a
c
oduto
Pr
e
5
a
b
Soma
4
c
5
b
1
a
0
4
m
5
m
0
4
2
5
2
2
1
2
x
2
x
Fazendo novamente a troca da variável x
2
m = :
0
x
2
2
2
1
2
m
1
m
Para x
0
x
x
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
2
x
2
2
2
4
2
m
4
m
Para x
2
x
x
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
e
e 1
x
x
2
=
− +
( ) 0
e
e
e
0
e
e x
1
2
x
1
x
x
2
=
×
−
⇒
=
− +
Fazendo uma mudança de variável do tipo x
e
m = e substituindo na equação:
( )
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
⇒
=
=
=
−
=
=
−
=
=
=
⇒
=
−
=
⇒
=
−
⇒
=
−
=
−
⇒
=
×
−
e
m
e
0
m
0
a
c
Produto
e
e
a
b
Soma
0
c
e
b
1
a
ou
e
m
0
e
m
ou
0
m
0
e)
(m
m
0
m
e
m
0
m
e
m
0
e
e
e
2
1
2
2
x
1
2
x
Fazendo novamente a troca da variável x
e
m = :
IR
x
e
0
e
m
0
m
Para x
x
∉
⇒
=
⇒
=
⇒
=
}
1
{
sp
Re
1
x
e
e
e
e
e
m
e
m
Para x
1
x
x
−
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
32

Logaritmos
Definição: O logaritmo de um número b na base a, com 0
a > , 0
b > e 1
a ≠ , é um número x tal que:
Onde: b indica o logaritmando
a indica a base
x indica o logaritmo
Exemplo 1: Calcule o logaritmo 8
log
2
O logaritmo de 8 na base 2 é: 3
x
2
2
2
8
x
8
log x
3
x
2
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
log3
O logaritmo de 3 na base 3 é:
3
1
x
3
3
3
3
x
3
log x
1/2
x
3
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
3
log
6
O logaritmo de 36 na base 6 é: ( ) ( ) 4
x
x
2
1
2
6
6
6
6
3
x
6
3
log
x
1/2
2
x
6
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
log
5
x
5
5
5
5
x
5
log x
1
x
5
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
log
O logaritmo decimal de 100 é: 2
x
10
10
0
1
100
x
100
log x
2
x
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
b
a
x
b
log x
a
=
⇔
=
1
a
loga
=
Logaritmos decimais são aqueles cuja base é 10. Nos logaritmos
decimais normalmente a base é omitida:
b
log
b
log10
=
Logaritmos neperianos ou naturais são aqueles cuja base é “e ”.
Os logaritmos naturais são representados da seguinte forma:
b
n
l
b
loge
=
33

Propriedades dos Logaritmos Resultantes da Definição
Para 0
a > , 0
b > e 1
a ≠ :
2
2
log
O logaritmo de 4
2 na base 2 é: 4
x
2
2
x
2
log x
4
4
2
=
⇒
=
⇒
=
log
9
x
9
9
9
1
x
1
log x
0
x
9
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
Exemplo 3: Calcule
9
log3
3
Fazendo x
3
9
log3 = e aplicando logaritmo na base 3 nos dois lados da equação:
x
log
9
log
x
log
3
log
x
3 3
3
3
9
log
3
9
log 3
3 =
⇒
=
⇒
=
9
x
x
3
x
log
2
x
log
3
log
x
log
9
log 2
3
3
2
3
3
3
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
Exemplo 4: Calcule o seguinte logaritmo 5
log
5
x
5
5
5
5
x
5
log x
1
x
5
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
Exemplo 4: Calcule o seguinte logaritmo 3
e
n
l
O logaritmo neperiano de 3
e é: 3
x
e
e
x
e
g
o
l
x
e
n
l x
3
3
e
3
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
Propriedades Operatórias dos Logaritmos
n
log
m
log
)
n
m
(
log a
a
a
+
=
×
n
log
m
log
n
m
log
a
a
a
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
m
log
p
m
log a
p
a
×
=
Para 0
m > , 0
n > , 0
a > , 1
a ≠ e IR
p ∈ :
m
a
log m
a
= 0
1
loga
= b
a
b
log
a =
34

Propriedades Operatórias dos Logaritmos
Exemplo 1: Dado 0,477
3
log
e
0,301
2
log =
= calcule 6
log
O logaritmo decimal de 6 é: 778
,
0
477
,
0
301
,
0
3
log
2
log
)
3
2
(
log
6
log =
+
=
+
=
×
=
3
log
e
0,301
2
log =
= calcule 4
log
12
log −
0,477
3
log
4
12
log
4
log
12
log =
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
3
log
e
0,301
2
log =
= calcule 36
log
556
,
1
477
,
0
2
301
,
0
2
3
log
3
2
log
2
3
log
2
log
)
3
2
(
log
36
log 2
2
2
2
=
×
+
×
=
×
+
×
=
+
=
×
=
Exemplo 4: Dado x
3
p
log
e
x
n
log
,
x
2
m
log =
=
= , calcule
3 2
2
5
p
n
m
log
( ) p
log
3
2
n
log
2
m
log
5
p
log
n
log
m
log
p
log
n
m
log
p
n
m
log 3
/
2
2
5
3 2
2
5
3 2
2
5
−
+
=
−
+
=
−
=
x
10
x
2
x
2
x
10
x
3
3
2
x
2
x
2
5
p
log
3
2
n
log
2
m
log
5 =
−
+
=
×
−
×
+
×
=
−
+
3
log
e
0,301
2
log =
= , calcule 3
log
2
,
1
0,301
0,477
2
log
3
log
3
log
2
=
=
=
Exemplo 2: Calcule 5
log
4
log
3
log
8
log
2
5
4
3
×
×
×
2
log
5
log
5
log
4
log
4
log
3
log
3
log
8
log
5
log
4
log
3
log
8
log 2
5
4
3
×
×
×
=
×
×
×
Simplificando:
3
2
log
3
2
log
8
log
2
log
8
log
5
log
4
log
3
log
8
log
2
3
2
2
2
5
4
3
=
×
=
=
=
=
×
×
×
Mudança de Base
Para resolver operações que envolvam Logaritmos com bases diferentes.
n
log
m
log
m
logn
=
35

Funções Logarítmicas
Uma função logarítmica é definida como x
log
)
x
(
f
a
= , onde 1
a ≠ e 0
a > . A base do logaritmo x é a e
o domínio da função logarítmica é composto pelos *
IR+ .
Exemplos: x
log
)
x
(
f
3
= x
log
)
x
(
f
3
/
1
=
Gráfico de Uma Função Logarítmica
Exemplo 1: x
log
)
x
(
f
2
=
1
a
2
a >
⇒
=
Em 0
y = , o gráfico corta o eixo x no ponto )
0
,
1
(
⎩
⎨
⎧
−∞
→
⇒
→
+∞
→
⇒
+∞
→
y
0
x
y
x
Exemplo 2: x
log
)
x
(
f
2
/
1
=
1
a
0
2
/
1
a <
<
⇒
=
Em 0
0
,
1
(
⎩
⎨
⎧
+∞
→
⇒
→
−∞
→
⇒
+∞
→
y
0
x
y
x
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
1/8 -3 (1/8, -3)
1/4 -2 (1/4, -2)
1/2 -1 (1/2, -1)
1 0 (1, 0)
2 1 (2, 1)
4 2 (4, 2)
8 3 (8, 3)
Função logarítmica
crescente
Função logarítmica
decrescente
x
log
)
x
(
f
2
=
3
2
log
)
8
/
1
(
log
)
8
/
1
(
f 3
2
2
−
=
=
= −
2
2
log
)
4
/
1
(
log
)
4
/
1
(
f 2
2
2
−
=
=
= −
1
2
log
)
2
/
1
(
log
)
2
/
1
(
f 1
2
2
−
=
=
= −
0
2
log
1
log
)
1
(
f 0
2
2
=
=
=
1
2
log
)
2
(
f
2
=
=
2
2
log
4
log
)
4
(
f 2
2
2
=
=
=
3
2
log
8
log
)
8
(
f 3
2
2
=
=
=
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
1/8 3 (1/8, -3)
1/4 2 (1/4, -2)
1/2 1 (1/2, -1)
1 0 (1, 0)
2 -1 (2, 1)
4 -2 (4, 2)
8 -3 (8, 3)
x
log
)
x
(
f 2
/
1
=
3
2
log
)
8
/
1
(
log
)
8
/
1
(
f 3
2
/
1
2
/
1
=
=
= −
2
2
log
)
4
/
1
(
log
)
4
/
1
(
f 2
2
/
1
2
/
1
=
=
= −
1
2
log
)
2
/
1
(
log
)
2
/
1
(
f 1
2
/
1
2
/
1
=
=
= −
0
2
log
1
log
)
1
(
f 0
2
/
1
2
/
1
=
=
=
1
2
log
)
2
(
f
2
/
1
−
=
=
2
2
log
4
log
)
4
(
f 2
2
/
1
2
/
1
−
=
=
=
3
2
log
8
log
)
8
(
f 3
2
/
1
2
/
1
−
=
=
=
36

Outros Exemplos
Exemplo 1: Faça o gráfico da função )
x
1
(
log
)
x
(
f 5
+
=
Em 0
0
,
0
( :
0
x
x
1
1
x
1
5
)
x
1
(
log
0
)
x
1
(
log
)
x
(
f
y 0
5
5
=
⇒
+
=
⇒
+
=
⇒
+
=
⇒
+
=
=
Na função dada, o logaritmando é diferente de x ( x
b ≠ ). Para avaliar os valores que x pode assumir na
função, utiliza-se a condição de que b é positivo ( 0
b > ). Assim: 1
x
0
x
1 −
>
⇒
>
+
Desta forma, tem-se que x pode assumir valores dentro do intervalo: [
,
1
] ∞
+
−
⎩
⎨
⎧
−∞
→
⇒
−
→
+∞
→
⇒
+∞
→
y
1
x
y
x
)
x
1
(
log
y
5
+
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−∞
→
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
−
=
−
+
=
−
→
+∞
→
⇒
=
⇒
+∞
=
⇒
+∞
=
⇒
∞
+
=
+∞
→
∞
−
∞
+
y
5
5
0
5
)
0
(
log
y
)
1
1
(
log
)]
1
(
1
[
log
y
:
1
x
Para
y
5
5
5
)
(
log
y
)
1
(
log
y
:
x
Para
y
y
5
5
5
y
y
5
5
Se 0 < a < 1 ⇒ Função
logarítmica decrescente
Para x
log
)
x
(
f
a
=
Para x
log
)
x
(
f
a
=
Se a > 1 ⇒ Função
logarítmica crescente
37

log
1
)
x
(
f 3
+
=
Rearranjando a função:
)
x
3
(
log
)
x
(
f
x
log
3
log
x
log
1
)
x
(
f 3
3
3
3
=
⇒
+
=
+
=
Em 0
0
,
3
/
1
( :
3
/
1
x
x
3
1
x
3
3
)
x
3
(
log
0
)
x
3
(
log
)
x
(
f
y 0
3
3
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
=
Como 0
b > , tem-se: 0
x
0
x
3 >
⇒
> . Assim, o intervalo de valores que x pode assumir é [
,
0
] ∞
+ .
⎩
⎨
⎧
−∞
→
⇒
→
+∞
→
⇒
+∞
→
y
0
x
y
x
)
x
3
(
log
y
3
=
+∞
→
⇒
=
⇒
+∞
=
⇒
+∞
=
+∞
×
=
=
+∞
→ +∞
y
3
3
3
)
(
log
)]
(
3
[
log
)
x
3
(
log
y
:
x
Para y
y
3
3
3
−∞
→
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
×
=
→ −∞
y
3
3
0
3
)
0
(
log
y
)
0
(
log
)
0
3
(
log
y
:
0
x
Para y
y
3
3
3
Exemplo 3: Faça o gráfico da função )
x
2
(
log
)
x
(
f 4
/
1
+
=
Em 0
0
,
1
(−
1
x
x
2
1
x
2
)
4
/
1
(
)
x
2
(
log
0
)
x
2
(
log
)
x
(
f
y 0
4
/
1
4
/
1
−
=
⇒
+
=
⇒
+
=
⇒
+
=
⇒
+
=
=
Como 0
b > , tem-se: 2
x
0
x
2 −
>
⇒
>
+ . O intervalo de valores que x pode assumir é [
,
2
] ∞
+
− .
⎩
⎨
⎧
+∞
→
⇒
−
→
−∞
→
⇒
+∞
→
y
2
x
y
x
)
x
2
(
log
y
4
/
1
+
=
−∞
→
⇒
=
⇒
+∞
=
⇒
+∞
=
⇒
∞
+
=
+∞
→ +∞
−
y
4
4
)
4
/
1
(
)
(
log
y
)
2
(
log
y
:
x
Para y
y
4
/
1
4
/
1
+∞
→
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
−
+
=
−
→ −∞
−
−
y
4
4
0
4
0
)
4
/
1
(
)
0
(
log
y
)]
2
(
2
[(
log
y
:
2
x
Para y
y
y
4
/
1
4
/
1
38

log
1
)
x
(
f 3
−
=
Rearranjando a função:
x
3
log
x
log
3
log
x
log
1
)
x
(
f 3
3
3
3
=
−
=
−
=
)
x
/
3
(
log
x
log
3
log
x
log
1
)
x
(
f 3
3
3
3
=
−
=
−
=
)
3
/
x
(
log
)
1
(
)
3
/
x
(
log
)
x
/
3
(
log
)
x
(
f 3
1
3
3
×
−
=
=
= −
Fazendo uma mudança de base:
3
log
)
3
/
x
(
log
)
1
(
)
3
/
x
(
log
)
1
(
)
x
(
f 3
×
−
=
×
−
=
1
3
log
)
3
/
x
(
log
3
log
)
1
(
)
3
/
x
(
log
3
log
)
3
/
x
(
log
)
1
(
)
x
(
f
−
=
×
−
=
×
−
=
)
3
/
x
(
log
3
log
)
3
/
x
(
log
)
x
(
f 1
3
1 −
=
= −
)
3
/
x
(
log
)
x
(
f 3
/
1
=
Em 0
0
,
3
(
3
x
3
/
x
1
3
/
x
)
3
/
1
(
)
3
/
x
(
log
0
)
3
/
x
(
log
)
x
(
f
y 0
3
/
1
3
/
1
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
=
Para 0
x
0
3
/
x >
⇒
> . O intervalo de valores que x pode assumir é [
,
0
] ∞
+ .
⎩
⎨
⎧
+∞
→
⇒
→
−∞
→
⇒
+∞
→
y
0
x
y
x
)
3
/
x
(
log
y
3
/
1
=
−∞
→
⇒
=
⇒
+∞
=
⇒
+∞
=
⇒
+∞
=
+∞
→ +∞
−
y
3
3
)
3
/
1
(
)
(
log
y
)
3
/
(
log
y
:
x
Para y
y
3
/
1
3
/
1
+∞
→
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
→ −∞
−
−
y
3
3
0
3
0
)
3
/
1
(
)
0
(
log
y
)
3
/
0
(
log
y
:
0
x
Para y
y
y
3
/
1
3
/
1
39

REVISÃO: FUNÇÕES E EQUAÇOES MODULARES
Conceito
O conceito de módulo pode ser associado à distância de um ponto na reta dos reais em relação à origem:
Apesar do bloco “A” estar na posição -10 unidades e o bloco “B”, 10 unidades, ambos estão à mesma
distância: 10 unidades.
Módulo ou Valor Absoluto
Definição: Módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio número se este for positivo ou nulo,
e seu oposto, caso seja negativo. Assim:
⎩
⎨
⎧
<
−
≥
=
0
x
se
,
x
0
x
se
,
x
|
x
|
Exemplos:
5
|
5
| = 5
)
5
(
|
5
| =
−
−
=
−
1
10
|
1
10
| −
=
− 4
6
)
4
6
(
|
4
6
| +
−
=
−
−
=
−
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
⇒
<
−
+
−
=
−
−
≥
⇒
≥
−
−
=
−
2
x
0
2
x
se
,
2
x
)
2
x
(
2
x
0
2
x
se
,
2
x
|
2
x
|
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
<
⇒
<
+
−
−
+
−
=
+
−
−
≥
≤
⇒
≥
+
−
+
−
=
+
−
3
x
1
0
3
x
4
x
se
,
3
x
4
x
)
3
x
4
x
(
3
x
ou
1
x
0
3
x
4
x
se
,
3
x
4
x
|
3
x
4
x
|
2
2
2
2
2
2
Outros exemplos
Somar -4 ⇔ subtrair 4 ⇒ 4
a
)
4
(
a −
⇔
−
+
-13ºC ⇔ 13ºC abaixo de zero
Lembrar que:
0
|
x
| ≥
2
2
x
|
x
| = |
x
|
x
2
=
Se 0
a ≥ e a
|
x
| = , então a
x −
= ou a
x =
40

Gráfico de Uma Função Modular
Exemplo 1: |
x
|
)
x
(
f =
Exemplo 2: |
2
x
|
)
x
(
f +
=
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-3 3 (-3, 3)
-2 2 (-2, 2)
-1 1 (-1, 1)
0 0 (0, 0)
1 1 (1, 1)
2 2 (2, 2)
3 3 (3, 3)
|
x
|
)
x
(
f =
3
|
3
|
)
3
(
f =
−
=
−
2
|
2
|
)
2
(
f =
−
=
−
1
|
1
|
)
1
(
f =
−
=
−
0
|
0
|
)
0
(
f =
=
1
|
1
|
)
1
(
f =
=
2
|
2
|
)
2
(
f =
=
3
|
3
|
)
3
(
f =
=
x )
x
(
f
y = )
y
,
x
(
Par
-5 3 (-5, 3)
-4 2 (-4, 2)
-3 1 (-3, 1)
-2 0 (-2, 0)
-1 1 (-1, 1)
0 2 (0, 2)
1 3 (1, 3)
|
2
x
|
)
x
(
f +
=
3
|
3
|
|
2
5
|
)
5
(
f =
−
=
+
−
=
−
2
|
2
|
|
2
4
|
)
4
(
f =
−
=
+
−
=
−
1
|
1
|
|
2
3
|
)
3
(
f =
−
=
+
−
=
−
0
|
0
|
|
2
2
|
)
2
(
f =
=
+
−
=
−
1
|
1
|
|
2
1
|
)
1
(
f =
=
+
−
=
−
2
|
2
|
|
2
0
|
)
0
(
f =
=
+
=
3
|
3
|
|
2
1
|
)
1
(
f =
=
+
=
Função Modular
Definição: É a função real |
x
|
)
x
(
f = onde
⎩
⎨
⎧
<
−
≥
=
0
x
se
,
x
0
x
se
,
x
)
x
(
f
Exemplos: |
x
|
)
x
(
f = 2
|
x
|
)
x
(
f +
= |
1
x
|
)
x
(
f
2
−
= 10
|
x
2
|
)
x
(
f +
−
=
Se a função modular for do tipo f(x) = | g(x) | é possível usar o seguinte
procedimento:
1º - Identificar g(x) e fazer seu gráfico
2º - Girar a parte negativa do gráfico de g(x) em 180 graus em torno do eixo x
41

Gráfico de Uma Função Modular do Tipo f(x) = | g(x) |
Exemplo 1: |
2
x
2
|
)
x
(
f −
=
2
x
2
)
x
(
g
|
)
x
(
g
|
)
x
(
f −
=
→
=
Exemplo 2: |
6
x
5
x
|
)
x
(
f
2
+
−
=
6
x
5
x
)
x
(
g
|
)
x
(
g
|
)
x
(
f
2
+
−
=
→
=
Exemplo 3: |
2
4
|
)
x
(
f
x
1−
+
−
=
x
1
2
4
)
x
(
g
|
)
x
(
g
|
)
x
(
f
−
+
−
=
→
=
Gráfico de 2
x
2
)
x
(
g −
= Gráfico de |
2
x
2
|
|
)
x
(
g
|
)
x
(
f −
=
=
Gráfico de 6
x
5
x
)
x
(
g
2
+
−
= Gráfico de |
6
x
5
x
|
|
)
x
(
g
|
)
x
(
f
2
+
−
=
=
Gráfico de
x
1
2
4
)
x
(
g
−
+
−
= Gráfico de |
2
4
|
|
)
x
(
g
|
)
x
(
f
x
1−
+
−
=
=
42

Outros tipos de funções modulares e suas representações gráficas:
Exemplo 1: |
x
|
x
2
)
x
(
f =
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
−
=
⇒
−
=
⇒
<
=
=
⇒
=
⇒
≥
=
=
2
2
x
2
)
x
(
x
2
)
x
(
f
x
|
x
|
0
x
Para
x
2
)
x
(
x
2
)
x
(
f
x
|
x
|
0
x
Para
|
x
|
x
2
)
x
(
f
Exemplo 2: |
1
x
|
|
1
x
|
)
x
(
f −
+
+
=
3
2
1
3
2
1
2
1 )
x
(
f
)
x
(
f
|
1
x
|
|
1
x
|
)
x
(
f −
+
+
=
1
x
raiz
|
1
x
|
)
x
(
f 1 −
=
⇒
⇒
+
=
1
x
raiz
|
1
x
|
)
x
(
f 2 =
⇒
⇒
−
=
assim:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
<
<
−
−
≤
−
=
−
+
+
=
1
x
para
,
x
2
1
x
1
para
,
2
1
x
para
,
x
2
|
1
x
|
|
1
x
|
)
x
(
f
43

Equações Modulares
Definição: São equações que envolvem funções modulares.
Exemplo 1: 1
|
1
x
2
| =
+
É necessário analisar as duas condições.
Resolvendo:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
⇒
=
−
−
⇒
<
+
=
⇒
=
+
⇒
≥
+
1
x
1
1
x
2
0
1
x
2
Para
0
x
1
1
x
2
0
1
x
2
Para
A solução da equação }
0
,
1
{
S −
=
Exemplo 2: |
5
x
|
|
3
x
3
| −
=
−
É necessário analisar as duas condições escolhendo apenas uma das funções modulares para inverter o
sinal.
Resolvendo:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⇒
−
=
+
−
⇒
<
−
−
=
⇒
−
=
−
⇒
≥
−
2
x
5
x
3
x
3
0
3
x
3
Para
1
x
5
x
3
x
3
0
3
x
3
Para
2
,
1
{
S −
=
Exemplo 3: 4
x
|
1
x
2
| −
=
−
É necessário garantir a existência do módulo, pois 0
|
x
| ≥ , assim:
4
x
0
4
x ≥
⇒
≥
−
Resolvendo:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⇒
−
=
+
−
⇒
<
−
−
=
⇒
−
=
−
⇒
≥
−
3
/
5
x
4
x
1
x
2
0
1
x
2
Para
3
x
4
x
1
x
2
0
1
x
2
Para
A solução da equação =
S ∅
Testes
Para 0
x = :
1
|
1
|
1
|
1
0
2
|
1
|
1
x
2
| =
⇒
=
+
×
⇒
=
+
Para 1
x −
= :
1
|
1
|
1
|
1
2
|
1
|
1
)
1
(
2
|
1
|
1
x
2
|
=
−
⇒
=
+
−
=
+
−
×
⇒
=
+
Testes
Para 1
x −
= :
|
6
|
|
6
|
|
5
1
|
|
3
3
|
|
5
)
1
(
|
|
3
)
1
(
3
|
|
5
x
|
|
3
x
3
|
−
=
−
⇒
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
×
⇒
−
=
−
Para 2
x = :
|
3
|
|
3
|
|
3
|
|
3
6
|
|
5
2
|
|
3
2
3
|
|
5
x
|
|
3
x
3
|
−
=
⇒
−
=
−
−
=
−
×
⇒
−
=
−
Testes
Para 3
x −
= :
0
|
x
|
pois
,
serve
não
7
|
7
|
7
|
1
6
|
4
3
|
1
)
3
(
2
|
4
x
|
1
x
2
|
≥
⇒
−
=
−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
×
⇒
−
=
−
Para 3
/
5
x = :
0
|
x
|
pois
,
serve
não
3
/
7
|
3
/
7
|
3
/
7
|
1
3
/
10
|
4
3
/
5
|
1
)
3
/
5
(
2
|
4
x
|
1
x
2
|
≥
⇒
−
=
−
=
−
−
=
−
×
⇒
−
=
−
44

Exemplo 4: x
3
|
4
x
|
2
=
−
É necessário garantir a existência do módulo:
0
x
0
x
3 ≥
⇒
≥
Resolvendo:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
=
−
=
⇒
=
+
−
−
⇒
=
+
−
⇒
<
−
⎩
⎨
⎧
=
−
=
⇒
=
−
−
⇒
=
−
⇒
≥
−
1
x
4
x
raízes
0
4
x
3
x
x
3
4
x
0
4
x
Para
4
x
1
x
raízes
0
4
x
3
x
x
3
4
x
0
4
x
Para
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
4
,
1
{
S =
Exemplo 5: 0
2
|
x
|
|
x
|
2
=
−
+
Fazer a
|
x
| = e substituir na equação modular:
⎩
⎨
⎧
=
−
=
⇒
=
−
+
⇒
=
−
+
1
x
2
x
raízes
com
grau
º
2
do
equação
0
2
a
a
0
2
|
x
|
|
x
|
2
1
2
2
Substituindo novamente:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
=
=
−
=
=
≥
−
=
⇒
=
1
|
1
|
pois
,
1
x
1
|
1
|
pois
,
1
x
1
|
x
|
0
|
x
|
pois
,
serve
não
2
|
x
|
a
|
x
|
1
,
1
{
S −
=
Testes
Para 4
x −
= :
0
|
x
|
pois
,
serve
não
12
|
12
|
12
|
4
16
|
)
4
(
3
|
4
)
4
(
|
x
3
|
4
x
|
2
2
≥
⇒
−
=
⇒
−
=
−
⇒
−
×
=
−
−
⇒
=
−
Para 1
x −
= :
0
|
x
|
pois
,
serve
não
3
|
3
|
3
|
4
1
|
)
1
(
3
|
4
)
1
(
|
x
3
|
4
x
|
2
2
≥
⇒
−
=
−
⇒
−
=
−
⇒
−
×
=
−
−
⇒
=
−
Para 1
x = :
0
|
x
|
pois
,
serve
3
|
3
|
3
|
4
1
|
1
3
|
4
)
1
(
|
x
3
|
4
x
|
2
2
≥
⇒
=
−
⇒
=
−
⇒
×
=
−
⇒
=
−
Para 4
x = :
0
|
x
|
pois
,
serve
12
|
12
|
12
|
4
16
|
4
3
|
4
)
4
(
|
x
3
|
4
x
|
2
2
≥
⇒
=
⇒
=
−
⇒
×
=
−
⇒
=
−
45

Exemplo 6: 10
|
1
x
|
|
3
x
| =
+
+
−
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
⇒
⇒
+
=
=
⇒
⇒
−
=
⇒
=
+
+
−
1
x
raiz
|
1
x
|
)
x
(
f
3
x
raiz
|
3
x
|
)
x
(
f
10
|
1
x
|
|
3
x
|
2
1
)
x
(
f
)
x
(
f 2
1
3
2
1
3
2
1
assim, para 10
|
1
x
|
|
3
x
| =
+
+
− a solução pode ser:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⇒
=
−
⇒
≠
−
=
⇒
=
+
−
6
x
10
2
x
2
:
Caso
º
3
solução
tem
Não
10
4
:
Caso
º
2
4
x
10
2
x
2
:
Caso
º
1
6
,
4
{
S −
=
Exemplo 7: 2
|
1
x
|
|
3
x
| −
=
+
−
−
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
⇒
⇒
+
=
=
⇒
⇒
−
=
⇒
−
=
+
−
−
1
x
raiz
|
1
x
|
)
x
(
f
3
x
raiz
|
3
x
|
)
x
(
f
2
|
1
x
|
|
3
x
|
2
1
)
x
(
f
)
x
(
f 2
1
3
2
1
3
2
1
assim, para 2
|
1
x
|
|
3
x
| −
=
+
−
− a solução pode ser:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⇒
−
≠
−
=
⇒
−
=
+
−
⇒
−
≠
solução
tem
Não
2
4
:
Caso
º
3
2
x
2
2
x
2
:
Caso
º
2
solução
tem
Não
2
2
:
Caso
º
1
2
{
S =
Testes
Para 4
x −
= : Para 6
x = :
10
3
7
10
|
3
|
|
7
|
10
|
1
4
|
|
3
4
|
10
|
1
x
|
|
3
x
|
=
+
=
−
+
−
=
+
−
+
−
−
=
+
+
−
10
7
3
10
|
7
|
|
3
|
10
|
1
6
|
|
3
6
|
10
|
1
x
|
|
3
x
|
=
+
=
+
=
+
+
−
=
+
+
−
Teste
Para 2
x = :
2
3
1
2
|
3
|
|
1
|
2
|
1
2
|
|
3
2
|
2
|
1
x
|
|
3
x
|
−
=
−
−
=
−
−
=
+
−
−
−
=
+
−
−
46

REVISÃO: INEQUAÇÕES
Função de Primeiro Grau
Definição: Uma inequação se caracteriza pela presença dos seguintes sinais de desigualdade:
Exemplos:
0
1
x
3
x
1
x
4
)
1
x
(
2
x
10
4
5
x
0
1
x
2
≥
−
+
−
<
−
+
+
<
−
≤
+
0
3
1
x
2
x
3
0
1
x
2
x
0
1
x
5
x
6
0
6
x
8
x
2
2
2
2
2
≥
+
+
<
−
−
≤
+
−
>
+
−
Inequações Produto e Quociente
Uma inequação do tipo produto ou quociente é resolvida através do estudo dos
sinais das funções que fazem parte da inequação. Inicialmente, são
determinados os sinais de cada função, separadamente, na reta dos reais.
Efetua-se o produto desses sinais e assim, determinam-se os valores de x que
satisfazem a inequação.
≤
≥
<
> ou
,
,
Inequações do 1º Grau
Produto
0
)
x
3
2
(
)
4
x
2
( <
−
−
Quociente
0
x
2
5
x
≥
−
−
Inequações do 2º Grau
47

Exemplo 1: Resolva a inequação 0
)
8
x
2
(
)
6
x
3
( <
−
+
−
Primeiramente, estudam-se os sinais de cada função 0
)
8
x
2
(
)
6
x
3
(
2
1 )
x
(
f
)
x
(
f
<
−
+
−
4
3
4
2
1
4
3
4
2
1
separadamente:
Sinal de 1
)
x
(
f Sinal de 2
)
x
(
f
2
x
0
6
x
3
6
x
3
)
x
(
f 1
=
=
+
−
+
−
=
4
x
0
8
x
2
8
x
2
)
x
(
f 2
=
=
−
−
=
Na reta dos reais:
x
1
3
x
≥
−
+
Estudando os sinais de
}
{
0
x
1
3
x
2
1
)
x
(
f
)
x
(
f
≥
−
+ tem-se:
Sinal de 1
)
x
(
f Sinal de 2
)
x
(
f
3
x
0
3
x
3
x
)
x
(
f 1
−
=
=
+
+
=
1
x
0
x
1
x
1
)
x
(
f 2
=
=
−
−
=
Na reta dos reais:
Os valores de x que satisfazem a inequação,
fazendo com que o produto )
8
x
2
(
)
6
x
3
( −
+
− seja
menor que zero, são: }
4
x
ou
2
x
/
IR
x
{
S >
<
∈
=
fazendo com que o quociente de
x
1
3
x
−
+
seja maior
ou igual à zero, são: }
1
x
3
/
IR
x
{
S <
≤
−
∈
= . O
valor 1 foi excluído da solução, pois torna o
denominador igual à zero:
3
3
1
3
Muito cuidado com inequações do tipo quociente! Nunca cancele
o denominador se nele aparecer uma incógnita. Se na inequação
aparecer ≥ ou ≤ , lembrar que a raiz da função no denominador
não faz parte da solução, pois não existe divisão por zero!
48

4
x
3
<
−
Na inequação, o numerador é positivo. Para que o quociente seja negativo é necessário que o
denominador seja negativo 0
)
(
)
(
)
(
<
−
=
−
+
⇒ . Assim, determinam-se os valores de x que tornam o
denominado negativo:
Resolvendo a inequação 0
4
x <
− :
4
x
0
4
x
<
<
−
2
x
1
x
2
−
≤
+
−
)
5
x
( 4
≥
+
Para qualquer valor real de x a função 4
)
5
x
(
)
x
(
f +
= é positiva. Isso ocorre porque independente do
valor de )
5
x
( + , essa soma tem expoente par, fazendo com que )
x
(
f seja sempre positiva ou igual a
zero. Assim:
Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo com que o
quociente
4
x
3
−
seja menor que zero, são: }
4
x
/
IR
x
{
S <
∈
=
Sinal de 1
)
x
(
f Sinal de 2
)
x
(
f
3
1
x
0
1
x
3
1
x
3
)
x
(
f 1
−
=
=
+
+
=
2
x
0
2
x
2
x
)
x
(
f 2
−
=
=
+
+
=
Na reta dos reais:
{
0
2
x
1
x
3
0
2
x
)
2
x
(
1
x
2
0
1
2
x
1
x
2
1
2
x
1
x
2
2
)
x
(
f
1
)
x
(
f
≤
+
+
≤
+
+
+
−
≤
+
+
−
−
≤
+
−
8
7
6
Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo
com que o quociente de
2
x
1
x
2
+
−
seja menor ou igual à
-1, são: { }
3
1
x
2
/
IR
x
S −
≤
<
−
∈
= . O valor -2 foi
excluído da solução, pois torna o denominador nulo.
Os valores de x que satisfazem a inequação 0
)
5
x
( 4
≥
+ , fazendo com
que seu resultado seja maior ou igual a zero, são os reais: }
IR
{
S =
49

Inequações Produto e Quociente e Sistemas de Inequações
)
5
x
( 3
<
+
Para que a função 3
)
5
x
(
)
x
(
f +
= seja negativa, é necessário que a valor de )
5
x
( + seja negativo, pois
essa soma tem expoente ímpar. Bases negativas de expoente ímpar resultam em valores negativos.
Assim:
5
x
0
5
x
−
<
<
+
7
x
2
1 ≤
+
<
−
Para se resolver inequações do primeiro grau do tipo simultânea (com duas desigualdades) deve-se
isolar x na desigualdade:
3
x
4
2
6
x
2
8
6
x
2
8
7
13
x
2
7
1
13
7
x
2
1
≤
<
−
≤
<
−
≤
<
−
−
≤
<
−
−
≤
+
<
−
3
x
1 ≤
+
−
<
Isolando x na desigualdade:
2
x
2
3
5
x
3
1
5
3
x
1
≤
−
<
−
−
≤
−
<
−
≤
+
−
<
Exemplo 9: Resolva o sistema
⎩
⎨
⎧
+
≤
−
+
>
+
5
x
1
x
2
7
x
10
x
2
Cada inequação é resolvida separadamente:
3
x
10
7
x
x
2
7
x
10
x
2
)
x
(
f 1
−
>
−
>
−
+
>
+
=
6
x
1
5
x
x
2
5
x
1
x
2
)
x
(
f 2
≤
+
≤
−
+
≤
−
=
Os valores de x que satisfazem a inequação 0
)
5
x
( 3
≥
+ , fazendo com
que seu resultado seja menor que zero, são: }
5
x
/
IR
x
{
S −
<
∈
= .
Os valores de x que satisfazem a inequação simultânea, fazendo
com que a substituição de “x” em 7
x
2 + resulte em um valor
pertencente ao intervalo ] ]
13
,
1
− , são: }
3
x
4
/
IR
x
{
S ≤
<
−
∈
= .
O sentido da desigualdade é
invertido quando a inequação
é multiplicada por (-1).
Os valores de x que satisfazem a inequação simultânea 5
3
x
1 ≤
+
−
< , fazendo
com que seu resultado pertença ao intervalo ] ]
5
,
1 , são: }
2
x
2
/
IR
x
{
S <
≤
−
∈
= .
Multiplicando por 1)
(− :
2
x
2
ou
2
x
2
<
≤
−
−
≥
>
+
Os valores de x devem satisfazer as
duas inequações do sistema. Para tal,
é feita uma intersecção das soluções
encontradas para cada inequação.
Os valores de x que satisfazem o sistema de
inequações, fazendo com que 7
x
10
x
2 +
>
+ e
5
x
1
x
2 +
≤
− , são: }
6
x
3
/
IR
x
{
S ≤
<
−
∈
= .
50

Inequações do Segundo Grau
Definição: Qualquer inequação do tipo 0
c
bx
ax2
>
+
+ , 0
c
bx
ax2
<
+
+ , 0
c
bx
ax2
≥
+
+ ou
0
c
bx
ax2
≤
+
+ , onde a, b e c são constantes com 0
a ≠ , é chamada de inequação do segundo grau.
Exemplos:
0
25
x
10
x
0
10
x
3
x
2
2
≥
+
−
≤
+
+
−
0
1
x
2
x
0
1
x
2
x
2
2
>
+
+
<
−
−
Uma inequação do 2º Grau é resolvida através do estudo do sinal da função.
2
x
x2
<
−
−
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
=
−
=
⇒
−
=
=
=
−
=
−
=
−
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
2
x
e
1
x
2
a
c
Produto
e
1
a
b
Soma
2
c
e
1
b
1,
a
2
1
10
x
3
x2
≥
+
+
−
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
<
=
−
=
⇒
−
=
=
=
−
=
=
=
−
=
baixo
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
5
x
e
2
x
0
1
a
c
Produto
e
3
a
b
Soma
10
c
e
3
b
1,
a
2
1
6
x
5
x2
≥
+
−
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
=
=
⇒
=
=
=
−
=
=
−
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
3
x
e
2
x
6
a
c
Produto
e
5
a
b
Soma
6
c
e
5
b
1,
a
2
1
A solução de 2
x
x
)
x
(
f 2
−
−
=
deve ser menor que zero:
Os valores de x que satisfazem a inequação
0
2
x
x2
<
−
− , fazendo com que seu resultado seja
menor que zero, são: }
2
x
1
/
IR
x
{
S <
<
−
∈
=
A solução de 10
x
3
x
)
x
(
f 2
+
+
−
=
deve ser menor ou igual à zero:
0
10
x
3
x2
≤
+
+
− , fazendo com que seu resultado seja
menor ou igual à zero, são: }
5
x
2
/
IR
x
{
S ≤
≤
−
∈
=
A solução de 6
x
5
x
)
x
(
f 2
+
−
=
deve ser maior ou igual à zero:
0
6
x
5
x2
≥
+
− , fazendo com que seu resultado seja maior
3
x
ou
2
x
/
IR
x
{
S ≥
≤
∈
=
51

4
x
4
x2
≤
+
−
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
=
=
⇒
=
=
=
−
=
=
−
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
2
x
e
2
x
4
a
c
Produto
e
4
a
b
Soma
4
c
e
4
b
1,
a
2
1
5
x
2
x2
≥
−
+
−
Gráfico:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
<
−
−
=
+
−
=
⇒
±
−
=
±
−
=
−
±
−
=
−
±
−
=
Δ
±
−
=
⇒
−
=
−
=
Δ
−
=
=
−
=
baixo
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
i
2
1
x
e
i
2
1
x
i
2
1
x
2
i
4
2
2
1
16
2
1
.
2
16
2
x
a
2
b
x
16
ac
4
b
5
c
e
2
b
1,
a
2
1
2
2
x
4
x
3 2
≥
+
−
Gráfico:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
−
=
+
=
⇒
±
=
±
=
−
±
=
−
±
−
−
=
Δ
±
−
=
⇒
−
=
−
=
Δ
=
−
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
6
i
2
2
x
e
3
i
2
2
x
3
i
2
2
x
6
i
2
2
4
6
1
8
4
3
.
2
8
)
4
(
x
a
2
b
x
8
ac
4
b
2
c
e
4
b
,
3
a
2
1
2
A solução de 4
x
4
x
)
x
(
f 2
+
−
=
Os valor de x que satisfaz a inequação 0
4
x
4
x2
≤
+
− , fazendo
com que seu resultado seja menor ou igual à zero, é: }
2
{
S =
A solução de 5
x
2
x
)
x
(
f 2
−
+
−
=
Não existem valores de x que satisfazem a inequação 0
5
x
2
x2
≥
−
+
− . Isso
ocorre porque a parábola tem concavidade voltada para baixo e a função
5
x
2
x
)
x
(
f 2
−
+
−
= . Paralelo a isso, a função tem raízes imaginárias e, portanto,
seu gráfico não corta o eixo real x. Sendo assim, a solução é: ou
}
{
S = =
S ∅.
A solução de 2
x
4
x
3
)
x
(
f 2
+
−
=
Os valores de x que satisfazem a
inequação 0
2
x
4
x
3 2
≥
+
− , fazendo
com que seu resultado seja maior ou
igual a zero, são os reais: }
IR
{
S =
Lembrar que:
1
i −
=
52

x
5
x
0 2
≤
−
<
Primeiramente, resolve-se o sistema:
⎩
⎨
⎧
−
−
=
−
=
⇒
⎩
⎨
⎧
≤
−
−
>
−
⇒
⎩
⎨
⎧
≤
−
>
−
14
x
5
x
)
x
(
f
x
5
x
)
x
(
f
0
14
x
5
x
0
x
5
x
14
x
5
x
0
x
5
x
2
2
2
1
2
2
2
2
Solução de 1
)
x
(
f : x
5
x
)
x
(
f 2
1 −
=
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
=
=
⇒
=
=
=
−
=
=
−
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
5
x
e
0
x
0
a
c
Produto
e
5
a
b
Soma
0
c
e
5
b
1,
a
2
1
Solução de 2
)
x
(
f : 14
x
5
x
)
x
(
f 2
2 −
−
=
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
=
−
=
⇒
−
=
=
−
=
−
=
−
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
7
x
e
2
x
14
Produto
e
5
a
b
Soma
14
c
e
5
b
1,
a
2
1
Na reta dos reais e fazendo a intersecção:
Exemplo 8: Resolva a inequação ( )( ) 0
6
x
7
x
7
x
2
x 2
2
≤
+
−
+
+
Estudam-se os sinais de cada função ( ) ( ) 0
6
x
7
x
7
x
2
x
2
2
1
2
)
x
(
f
)
x
(
f
≤
+
−
+
+ 4
43
4
42
1
4
43
4
42
1
separadamente:
Solução de 1
)
x
(
f : 7
x
2
x
)
x
(
f 2
1 +
+
=
Gráfico:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
−
=
+
=
⇒
±
=
±
=
×
±
−
=
−
±
−
=
−
±
−
=
Δ
±
−
=
⇒
−
=
−
=
Δ
=
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
i
6
1
x
e
i
6
1
x
i
6
1
x
2
i
6
2
2
2
i
6
4
2
x
2
1
24
2
1
.
2
24
2
x
a
2
b
x
24
ac
4
b
7
c
e
2
b
,
1
a
2
1
2
A solução de x
5
x
)
x
(
f 2
1 −
=
deve ser maior que zero:
A solução de 14
x
5
x
)
x
(
f 2
2 −
−
=
deve ser maior que zero:
Os valores de x que satisfazem a
inequação 14
x
5
x
0 2
≤
−
< , fazendo com
que o resultado da função x
5
x
)
x
(
f 2
−
=
pertença ao intervalo ] ]
14
,
0 , são:
}
7
x
5
ou
0
x
2
/
IR
x
{
S ≤
<
<
≤
−
∈
=
A solução de 7
x
2
x
)
x
(
f 2
1 +
+
=
53

Solução de 2
)
x
(
f : 6
x
7
x
)
x
(
f 2
2 +
−
=
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
=
=
⇒
=
=
=
−
=
=
−
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
6
x
e
1
x
6
a
c
Produto
e
7
a
b
Soma
6
c
e
7
b
1,
a
2
1
3
x
2
x
x
x
2
2
≥
−
+
−
Estudando os sinais de cada função 0
3
x
2
x
x
x
2
)
x
(
f
1
)
x
(
f
2
2
≥
−
+
−
4
3
4
2
1
8
7
6
separadamente:
Solução de 1
)
x
(
f : 2
1 x
x
)
x
(
f −
=
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
<
=
=
⇒
=
=
=
−
=
=
=
−
=
aixo
b
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
1
x
e
0
x
0
a
c
Produto
e
1
a
b
Soma
0
c
e
1
b
1,
a
2
1
Solução de 2
)
x
(
f : 3
x
2
x
)
x
(
f 2
2 −
−
=
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
=
−
=
⇒
−
=
=
=
−
=
−
=
−
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
3
x
e
1
x
3
a
c
Produto
e
2
a
b
Soma
3
c
e
2
b
1,
a
2
1
A solução de 6
x
7
x
)
x
(
f 2
2 +
−
=
do segundo grau, fazendo com que o produto
( )( ) 0
6
x
7
x
7
x
2
x 2
2
≤
+
−
+
+ seja menor
6
x
1
/
IR
x
{
S ≤
≤
∈
=
A solução de 2
1 x
x
)
x
(
f −
= deve
ser maior ou igual à zero:
A solução de 3
x
2
x
)
x
(
f 2
2 −
+
=
fazendo com que o quociente
3
x
2
x
x
x
2
2
−
+
−
seja maior ou igual à zero, são:
}
0
x
1
ou
0
x
1
/
IR
x
{
S <
≤
≤
<
−
∈
= . Os
valores -1 e 3 foram excluídos da solução,
pois tornam o denominador nulo.
54

45
x
14
x
2
2
>
+
−
−
Como o numerador é negativo e o quociente deve ser positivo, é necessário que o denominador também
seja negativo 0
)
(
)
(
)
(
>
+
=
−
−
⇒ . Assim:
Resolvendo a inequação 0
45
x
14
x2
<
+
−
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
=
=
⇒
=
=
=
−
=
=
−
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
9
x
e
5
x
45
a
c
Produto
e
14
a
b
Soma
45
c
e
14
b
1,
a
2
1
Exemplo 11: Resolva o sistema
⎩
⎨
⎧
<
−
<
−
0
x
3
x
0
4
x
2
2
Cada inequação deve ser resolvida separadamente:
4
x
)
x
(
f 2
1 −
=
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
=
−
=
⇒
−
=
=
=
−
=
−
=
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
2
x
e
2
x
4
a
c
Produto
e
0
a
b
Soma
4
c
e
0
b
1,
a
2
1
Como 0
b = , outra forma de se determinar as raízes é: 2
x
4
x
0
4
x2
±
=
⇒
=
⇒
=
−
x
3
x
)
x
(
f 2
2 −
=
Gráfico:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
>
=
=
⇒
=
=
=
−
=
=
−
=
=
cima
para
e
concavidad
com
Parábola
0
a
3
x
e
0
x
0
a
c
Produto
e
3
a
b
Soma
0
c
e
3
b
1,
a
2
1
Como 0
c = , outra forma de se determinar as raízes é: 3
x
e
0
x
0
)
3
x
(
x
0
x
3
x 2
1
2
=
=
⇒
=
−
⇒
=
−
A solução de 45
x
14
x
)
x
(
f 2
+
−
=
Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo com que o quociente
0
45
x
14
x
2
2
>
+
−
−
seja maior que zero, são: }
9
x
5
/
IR
x
{
S ≤
<
∈
= .
A solução de 4
x
)
x
(
f 2
1 −
= deve
ser menor que zero:
A solução de x
3
x
)
x
(
f 2
2 −
=
Para determinar os valores de x que satisfazem
as duas inequações é feita uma intersecção.
Os valores de x que satisfazem o sistema de inequações, fazendo
com que 0
4
x2
<
− e 0
x
3
x2
<
− , são: }
2
x
0
/
IR
x
{
S <
<
∈
= .
55

Inequações Exponenciais
Definição: Qualquer inequação que apresente funções exponenciais.
Exemplos: 0
6
7
5
79
21
3
3
3
15
1
5
1
3
3
x
x
x
1
x
2
x
x
2
3
1
x
3
>
+
×
−
≥
+
−
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤
+
+
+
Exemplo 1: 8
2
2
x
<
−
Inicialmente é necessário deixar na mesma base os dois lados da inequação e identificar a função
exponencial.
{
3
)
x
(
f
2
x
3
2
x
2
2
2
2 <
⇒
<
−
−
Como a função
2
x
2
)
x
(
f
−
= é uma função crescente, o sinal da desigualdade será mantido.
{ 0
5
x
3
2
x
)
x
(
g
<
−
⇒
<
−
A inequação resultante é uma inequação do primeiro grau crescente. O conjunto solução deve apresentar
os valores de x que substituídos em )
x
(
g resulte em um valor negativo, assim:
{ 5
x
raiz
com
grau
1º
do
Função
5
x
g(x) =
⇒
−
=
Solução: }
5
x
/
IR
x
{ <
∈
Se a Inequação Exponencial for:
Crescente ⇒ Manter o sinal da desigualdade
Decrescente ⇒ Inverter o sinal da desigualdade
Testes
Um valor para 5
x < pode ser 3
x = , substituindo na inequação:
solução
à
pertence
3
que
indicando
,
Verdadeiro
8
2
8
2
8
2
8
2
1
2
3
2
x
⇒
<
<
⇒
<
⇒
<
−
−
Um valor para 5
x > pode ser 6
solução
à
pertence
não
6
que
indicando
,
Falso
8
16
8
2
8
2
8
2
4
2
6
2
x
⇒
<
<
⇒
<
⇒
<
−
−
56

Exemplo 2: 008
,
0
04
,
0 2
1
x
4
<
−
Inicialmente é necessário deixar na mesma base os dois lados da inequação e identificar a função
exponencial.
3
)
x
(
f
1
x
4
3
1
x
4
3
2
1
x
4
2
2
1
x
4
2
1
x
4
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
10
2
1000
8
100
4
008
,
0
04
,
0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
<
−
−
−
−
−
4
3
4
2
1
Como a função
1
x
4
10
2
)
x
(
f
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= é uma função decrescente, o sinal da desigualdade será invertido.
0
4
x
4
3
1
x
4
)
x
(
g
>
−
⇒
>
− 3
2
1
A inequação resultante é uma inequação do primeiro grau crescente. O conjunto solução deve apresentar
os valores de x que substituídos em )
x
(
g resulte em um valor positivo, assim:
{ 1
x
raiz
com
grau
1º
do
Função
4
4x
g(x) =
⇒
−
=
Solução: }
1
x
/
IR
x
{ >
∈
Testes
Um valor para 1
x > pode ser 2
solução
à
pertence
2
que
indicando
,
Verdadeiro
008
,
0
0000128
,
0
008
,
0
10
2
008
,
0
10
2
008
,
0
04
,
0
7
2
7
2
2
1
2
4
⇒
<
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
<
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
<
−
×
Um valor para 1
x < pode ser 0
solução
à
pertence
não
0
que
indicando
,
Falso
008
,
0
5
008
,
0
10
2
008
,
0
10
2
008
,
0
04
,
0
1
2
1
2
2
1
0
4
⇒
<
<
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
<
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
<
−
−
−
×
57

Outros exemplos:
Exemplo 3: 1
9 2
x
x
2
≥
−
[ ] 0
x
x
3
3
3
)
3
(
1
9
2
0
x
x
0
2
x
x
2
2
x
x
2
2
2
≥
−
⇒
≥
⇒
≥
⇒
≥
−
−
−
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
−
=
1
x
0
x
raízes
com
grau
º
2
do
Função
x
x
)
x
(
g
2
1
2
Solução: }
1
x
ou
0
x
/
IR
x
{ ≥
≤
∈
Exemplo 4:
x
4
x
x
2
64
2
2
2
−
−
⋅
>
⋅
0
6
x
5
x
x
4
6
x
x
2
2
2
2
2
2
64
2
2
2
2
x
4
6
x
x
x
4
6
x
x
x
4
x
x
2
2
2
>
−
+
−
⇒
−
>
+
−
⇒
>
⇒
⋅
>
⇒
⋅
>
⋅
−
+
−
−
+
−
−
−
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
−
+
−
=
3
x
2
x
raízes
com
grau
º
2
do
função
6
x
5
x
)
x
(
g
2
1
2
Solução: }
3
x
2
/
IR
x
{ <
<
∈
Exemplo 5: 90
3
3
x
2
x
≤
+
+
0
2
x
2
x
3
3
3
10
10
3
3
10
)
1
9
(
3
3
10
3
9
3
9
10
3
3
3
90
3
3
2
x
2
x
2
x
2
x
x
x
2
x
x
2
x
≤
−
⇒
≤
⇒
≤
⋅
≤
⋅
⇒
⋅
≤
+
⇒
⋅
≤
+
⋅
⇒
⋅
≤
+
⋅
⇒
≤
+
+
{ 2
x
raiz
com
grau
1º
do
Função
2
x
g(x) =
⇒
−
=
Solução: }
2
x
/
IR
x
{ ≤
∈
Exemplo 6:
4
x
2
x
4
27
8
2
3
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
0
2
x
2
x
14
x
7
12
x
3
2
x
4
2
3
2
3
2
3
2
3
3
2
2
3
27
8
2
3
12
x
3
2
x
4
4
x
3
2
x
4
4
x
3
2
x
4
4
x
2
x
4
>
+
⇒
−
>
⇒
−
>
⇒
−
−
>
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
+
+
−
+
+
+
+
+
{ 2
x
raiz
com
grau
1º
do
Função
2
x
g(x) −
=
⇒
+
=
Solução: }
2
x
/
IR
x
{ −
>
∈
58

Inequações Logarítmicas
Definição: Qualquer inequação que apresente funções logarítmicas.
Exemplos: 1
)
1
x
(
log
)
1
x
(
log
3
x
log
)
x
3
(
log
)
1
x
(
log
5
log
x
log 3
/
1
3
/
1
5
2
/
1
2
/
1
2
2
−
>
+
+
−
−
≤
−
≥
+
<
Exemplo 1: 5
log
x
log 2
2
<
Como a função x
log
)
x
(
f 2
= é uma função crescente, o sinal da desigualdade será mantido.
de
desigualda
da
sinal
o
manter
crescente
Função
1
a
2
a ⇒
⇒
>
⇒
=
Assim, para satisfazer a inequação o valor de “x” deve ser menor que 5 ( 5
x < ). Por outro lado, o
logaritmando “b” deve ser positivo ( b
loga
) para que a função )
x
(
f exista (condição de existência)
{
{
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⇒
>
=
⇒
<
−
⇒
<
⇒
<
0
x
raiz
com
crescente
grau
1º
do
Função
0
x
e
5
x
raiz
com
crescente
grau
1º
do
Função
0
5
x
5
x
5
log
x
log 2
2
Como as duas condições devem ser satisfeitas ao mesmo tempo ( 0
x
e
0
5
x >
<
− ), um sistema de
inequações deve ser resolvido. O conjunto solução deve apresentar os valores de x que substituídos em
)
x
(
f resulte em um valor menor que 5
log2
. Assim:
{
{
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
<
−
0
x
0
5
x
)
x
(
h
)
x
(
g
Solução: }
5
x
0
/
IR
x
{ <
<
∈
Se a Inequação Logarítmica for:
Crescente ⇒ Manter o sinal da desigualdade
(a > 1)
Decrescente ⇒ Inverter o sinal da desigualdade
(0 < a < 1)
59

Exemplo 2: 3
log
)
1
x
(
log 2
/
1
2
/
1
≥
+
Como a função )
1
x
(
log
)
x
(
f 2
+
= é uma função decrescente, o sinal da desigualdade será invertido.
de
desigualda
da
sinal
o
nverter
i
crescente
de
Função
1
a
0
2
/
1
a ⇒
⇒
<
<
⇒
=
Assim, para satisfazer a inequação o valor de “ )
1
x
( + ” deve ser menor ou igual a 3 ( 5
1
x <
+ ) e o
logaritmando “b” deve ser positivo para que a função )
x
(
f exista. Assim:
{
{
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⇒
>
+
=
⇒
≤
−
⇒
≤
+
⇒
≥
+
1
-
x
raiz
com
crescente
grau
1º
do
Função
0
1
x
e
2
x
raiz
com
crescente
grau
1º
do
Função
0
2
x
3
1
x
3
log
1)
(x
log 1/2
1/2
Um sistema de inequações deve ser resolvido, pois duas condições devem ser satisfeitas
simultaneamente. O conjunto solução deve apresentar os valores de x que substituídos em )
x
(
f resulte
em um valor maior ou igual a 3
log 2
/
1
.
{
{
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
+
≤
−
0
1
x
0
2
x
)
x
(
h
)
x
(
g
Solução: }
2
x
1
/
IR
x
{ ≤
<
−
∈
Testes
Um valor para 5
x
0 <
< pode ser 1
solução
à
pertence
1
que
indicando
,
Verdadeiro
322
,
2
0
322
,
2
2
log
0
2
log
5
log
2
log
5
log
1
log
5
log
x
log
1
0
2
2
2
2
2
2
⇒
<
<
×
⇒
<
⇒
<
⇒
<
3
2
1
Um valor para 5
x > pode ser 16
solução
à
pertence
não
16
que
indicando
,
Falso
322
,
2
4
322
,
2
2
log
4
2
log
5
log
2
log
5
log
16
log
5
log
x
log
1
4
2
2
2
2
2
2
⇒
<
<
×
⇒
<
⇒
<
⇒
<
3
2
1
60

Outros exemplos:
Exemplo 3: )
x
3
(
log
)
1
x
(
log 3
/
1
3
/
1
−
>
+
de
desigualda
da
sinal
o
nverter
i
1
a
0
2
/
1
a ⇒
<
<
⇒
=
Para satisfazer a inequação o valor de )
1
x
( + deve ser menor que o valor de ( x
3 − ). Porém, para que as
funções logarítmicas existam, é necessário que e o logaritmando “b” de ambas seja positivo. Se
)
x
3
1
x
( −
<
+ , fazendo )
0
1
x
( >
+ garante um valor positivo para “b” nos lados da desigualdade.
{
{
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
⇒
>
+
=
⇒
<
−
⇒
−
<
+
⇒
−
>
+
1
x
raiz
com
crescente
grau
1º
do
Função
0
1
x
e
1
x
raiz
com
crescente
grau
1º
do
Função
0
2
x
2
x
3
1
x
)
x
3
(
log
)
1
x
(
log 3
/
1
3
/
1
Resolvendo o sistema:
{
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
−
<
−
0
x
3
0
2
x
2
)
x
(
h
)
x
(
g
3
2
1
Solução: }
1
x
1
/
IR
x
{ <
<
−
∈
Testes
Um valor para 2
x
1 ≤
<
− pode ser 0
solução
à
pertence
0
que
indicando
,
Verdadeiro
585
,
1
0
585
,
1
1
log
)
2
/
1
(
log
3
log
1
log
3
log
)
1
0
(
log
3
log
)
1
x
(
log
0
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
⇒
−
≥
−
≥
⇒
≥
⇒
≥
+
⇒
≥
+
3
2
1
Um valor para 2
x > pode ser 3
solução
à
pertence
não
3
que
indicando
,
Falso
585
,
1
2
585
,
1
)
2
/
1
(
log
)
2
(
585
,
1
)
2
/
1
(
log
585
,
1
2
log
)
2
/
1
(
log
3
log
4
log
3
log
)
1
3
(
log
3
log
)
1
x
(
log
1
2
2
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
2
/
1
⇒
−
≥
−
−
≥
×
−
⇒
−
≥
−
≥
⇒
≥
⇒
≥
+
⇒
≥
+
−
4
3
4
2
1
61

Exemplo 4: 2
x
log3
−
≤
de
desigualda
da
sinal
o
manter
1
a
3
a ⇒
>
⇒
=
Rearranjando
9
1
log
x
log
3
1
log
x
log
3
log
x
log
3
log
)
2
(
x
log
2
x
log 3
3
3
3
3
3
3
3
3 2
2
1
≤
⇒
≤
⇒
≤
⇒
×
−
≤
⇒
−
≤
−
3
2
1
O sistema de inequações resultante é:
{
{
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⇒
>
=
⇒
≤
−
⇒
≤
⇒
≤
0
x
raiz
com
crescente
grau
1º
do
Função
0
x
e
1/9
x
raiz
com
crescente
grau
1º
do
Função
0
9
/
1
x
9
/
1
x
9
1
log
x
log 3
3
{
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤
−
0
x
0
9
/
1
x
)
x
(
h
)
x
(
g
3
2
1
Solução: }
9
/
1
x
0
/
IR
x
{ ≤
<
∈
Exemplo 5: 1
)
1
x
(
log
)
1
x
(
log 3
/
1
3
/
1
−
>
+
+
−
de
desigualda
da
sinal
o
nverter
i
1
a
0
2
/
1
a ⇒
<
<
⇒
=
Rearranjando
3
log
)
1
x
(
)
1
x
(
log
)
3
/
1
(
log
)
1
x
(
)
1
x
(
log
)
3
/
1
(
log
)
1
(
)
1
x
(
)
1
x
(
log
1
)
1
x
(
log
)
1
x
(
log
3
/
1
3
/
1
3
/
1
3
/
1
3
/
1
3
/
1
3
/
1
3
/
1
1
1
>
+
−
⇒
>
+
−
×
−
>
+
−
⇒
−
>
+
+
−
−
4
3
4
2
1
O sistema de inequações resultante é:
{
{
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
⇒
>
+
=
⇒
>
−
⎩
⎨
⎧
=
−
=
⇒
<
−
⇒
<
+
−
⇒
>
+
−
1
x
raiz
com
crescente
grau
1º
do
Função
0
1
x
e
1
x
raiz
com
crescente
grau
1º
do
Função
0
1
x
e
2
x
2
x
raízes
com
grau
º
2
do
Função
0
4
x
3
)
1
x
(
)
1
x
(
3
log
)
1
x
(
)
1
x
(
log
2
1
2
3
/
1
3
/
1
62

{
{
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
+
>
−
<
−
0
1
x
0
1
x
0
4
x
)
x
(
i
)
x
(
h
)
x
(
g
2
3
2
1
Solução: }
2
x
1
/
IR
x
{ <
<
∈
Inequações Modulares
Definição: São inequações que envolvem funções modulares.
Exemplos: 3
|
x
| ≤ 2
|
1
x
| <
+ 3
|
1
x
|
2
≥
− 4
|
x
| >
Exemplo 1: 3
|
x
| ≤
Os valores de x que satisfaz a inequação são:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤
−
−
⇒
≤
−
≤
⇒
≤
0
3
x
3
x
ou
3
x
3
|
x
|
Solução: }
3
x
3
/
IR
x
{ ≤
≤
−
∈
Exemplo 2: 4
|
x
| >
Os valores de x que satisfaz a inequação são:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
<
⇒
>
−
>
⇒
>
4
x
4
x
ou
4
x
4
|
x
|
Solução: }
4
x
ou
4
x
/
IR
x
{ >
−
<
∈
63

Inequações Modulares
Para 0
a >
Outros exemplos:
Exemplo 3: 3
|
1
x
|
2
≥
−
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⇒
−
≥
⇒
≥
−
⇒
≥
+
−
⎩
⎨
⎧
=
−
=
⇒
≥
−
⇒
≥
⇒
≥
−
⇒
≥
−
real
solução
tem
Não
2
x
2
x
3
1
x
2
x
2
x
raízes
com
grau
º
2
do
Função
0
4
x
4
x
3
1
x
3
|
1
x
|
2
2
2
1
2
2
2
2
Solução: }
2
x
ou
2
x
/
IR
x
{ ≥
−
≤
∈
Exemplo 4: 5
2
3
x
≤
−
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
≥
⇒
≤
+
−
⇒
≤
+
−
≤
⇒
≤
−
⇒
≤
−
⇒
≤
−
7
x
10
3
x
5
2
3
x
13
x
10
3
x
5
2
3
x
5
2
3
x
Solução: }
13
x
7
/
IR
x
{ ≤
≤
−
∈
Se a Inequação Modular for:
| f(x) | < a ⇒ - a < f(x) <a
| f(x) | > a ⇒ f(x) < - a ou f(x) > a
Lembrar que:
Só é possível multiplicar em cruz se no
denominado não houver a variável “x”.
64

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