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REVISÃO: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
Estudo dos Sinais
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FRAÇÕES
Definição 1: Divide um objeto em Partes iguais →
Definição 2: Divisão de dois números inteiros →
Adição e Subtraçã...
POTÊNCIA
Expoente Inteiro Base “a” e expoente “n” Inteiro
Para “n” inteiro e 1
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  1. 1. REVISÃO: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS Estudo dos Sinais ) ( ) ( ) ( + = + ⋅ + ) ( ) ( ) ( + = − ⋅ − ) ( ) ( ) ( − = − ⋅ + ) ( ) ( ) ( − = + ⋅ − Ordem de Cálculo Primeiro são resolvidas as operações que estiverem dentro de: PARÊNTESES ( ) → COLCHETES [ ] → CHAVES { } Antes de serem efetuadas adições e subtrações, são resolvidas: DIVISÕES E MULTIPLICAÇÕES Adição Soma Parcelas c b a ↓ ↓ ↓ = + Propriedades Comutativa → a b b a + = + 8 3 5 5 3 = + = + ⇒ Associativa → ) c b ( a c ) b a ( + + = + + 10 ) 5 2 ( 3 5 ) 2 3 ( = + + = + + ⇒ Elemento Neutro (0) → a 0 a = + 3 0 3 = + ⇒ → Subtração é a Adição de parcelas negativas O resultado tem o sinal da maior parcela: 13 15 3 20 5 10 5 5 10 5 5 10 − = + − − + − − = + − + = − + Subtração Soma Parcelas c b a ) b ( a ↓ ↓ ↓ = − = − + Multiplicação Produtos Fatores c b a ↓ ↓ ↓ = ⋅ Multiplicação é a Adição de parcelas iguais: 15 5 5 5 5 3 5 fator o vezes 3 = + + = ⋅ 4 3 4 2 1 Propriedades Comutativa → a b b a ⋅ = ⋅ 15 3 5 5 3 = ⋅ = ⋅ ⇒ Associativa → ) c b ( a c ) b a ( ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 30 ) 5 2 ( 3 5 ) 2 3 ( = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ Elemento Neutro (1) → a 1 a = ⋅ 3 1 3 = ⋅ ⇒ Distributiva → c a b a ) c b ( a ⋅ + ⋅ = + ⋅ 16 5 2 3 2 ) 5 3 ( 2 = ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⇒ a c a b a ) c b ( ⋅ + ⋅ = ⋅ + 9 ) 3 ( 2 ) 3 ( 1 ) 3 ( ) 2 1 ( − = − ⋅ + − ⋅ = − ⋅ + ⇒ Divisão c b a = Numerador = Denominador × Quociente + Resto Lembre-se: Não existe divisão por zero → b ≠ 0 ! 1
  2. 2. FRAÇÕES Definição 1: Divide um objeto em Partes iguais → Definição 2: Divisão de dois números inteiros → Adição e Subtração de Frações Mesmo Denominador Denominadores Diferentes m.m.c. Multiplicação de Frações Divisão de Frações d b c a d c b a ⋅ ⋅ = ⋅ 9 10 9 10 3 3 5 ) 2 ( 3 5 3 ) 2 ( − = − = ⋅ ⋅ − = ⋅ − Mantém a Primeira Fração e Inverte a Segunda c d b a d c b a d c b a 2 1 ⋅ = = ÷ ↓ ↓ o o 15 17 5 3 7 2 5 7 3 2 7 5 3 2 7 5 3 2 = ⋅ ⋅ = ⋅ = = ÷ ⇒ NÚMEROS DECIMAIS Adição e Subtração “Vírgula sob vírgula” Multiplicação Obtém-se o produto e somam-se as casas decimais de cada fator Divisão Numerador e denominador devem ter o mesmo número de casas decimais Fração Decimal: Denominador com Potências de 10 (10n ) b a b a b a − = − = − 2 1 2 1 2 1 − = − = − ⇒ b c a b c b a ± = ± 1 5 5 5 2 3 5 2 5 3 = = + = + ⇒ d c b a ± 5 7 5 7 15 10 3 3 2 5 1 − = − = − = − ⇒ Menor número que é múltiplo de todos os denominadores Evite trabalhar com números decimais! Se o número for racional, é melhor escrevê-lo na forma de fração! 8 10 1 ; 1000 x ; 100 3 ; 10 2 − Lembre-se: O sinal deve ficar na frente do traço de fração 2
  3. 3. POTÊNCIA Expoente Inteiro Base “a” e expoente “n” Inteiro Para “n” inteiro e 1 n > a ..... a a a n ⋅ = 27 3 3 3 33 = ⋅ ⋅ = 1 1 ...... 1 1 120 = ⋅ ⋅ = 9 4 3 2 3 2 3 2 2 = ⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 16 1 4 4 1 4 1 4 1 2 2 = ⋅ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Lembre-se! Base “a” negativa e expoente “n” par → resultado (+) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 + = − ⋅ − = − Base “a” negativa e expoente “n” ímpar → resultado (-) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 2 2 2 2 3 − = − ⋅ − ⋅ − = − Propriedades Mesma Base “a” Conserva a base e soma ou subtrai os expoentes n m n m a a a + = ⋅ 243 3 3 3 3 5 3 2 3 2 = = = ⋅ + 0 a , a a a a a a a n m n m n m n m ≠ = ⋅ = = ÷ − − 4 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 4 6 4 6 4 6 4 = = = = ⋅ = = ÷ − − − ( ) 0 a , a a n m n m ≠ = ⋅ ( ) 64 2 2 2 6 3 2 3 2 = = = ⋅ Mesmo Expoente “n” Conserva a operação das bases (× ou ÷) e mantém o expoente ( )n n n b a b a ⋅ = ⋅ ( ) 225 15 5 3 5 3 2 2 2 2 = = ⋅ = ⋅ 0 b , b a b a b a n n n n n ≠ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ÷ 27 3 5 15 5 15 5 15 3 3 3 3 3 3 = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ÷ ) 0 a ( a 1 a n n ≠ = − n m n m a a = 3 3 2 3 2 9 3 3 = = 2 2 2 2 1 2 1 = = ( ) 4 1 2 1 1024 1 32 1 32 1 32 5 10 5 5 5 2 5 2 5 2 = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = − − Perceba a diferença! 256 2 2 2 8 2 2 2 2 3 = = = ⋅ ⋅ ( ) ( ) 64 4 2 2 2 3 3 3 2 = = ⋅ = ( ) 4 2 2 22 − = ⋅ − = − ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 + = − ⋅ − = − Para “n” inteiro e 1 n ≤ a a 1 = 2 21 = ⇒ 1 a 0 = 1 1000 = ⇒ 125 1 5 5 5 1 5 1 5 3 3 = ⋅ ⋅ = = ⇒ − 4 9 2 3 2 3 2 3 3 2 2 2 = ⋅ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ − 4 9 2 3 2 3 2 3 3 2 2 2 + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⋅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⇒ − ) 0 a ( a 1 a n n ≠ = − Expoente Racional O expoente “n” é uma Fração Irredutível com 0 n ≠ e 1 n ≠ 3
  4. 4. RADICIAÇÃO Raiz n-ésima de n a é o número “x” tal que, para 1 n > 2 4 = ) 2 n , 2 x , 4 a ( = = = ⇒ a xn = ⇒ 4 2 2 = ⇒ 5 125 3 = ) 3 n , 5 x , 125 a ( = = = ⇒ a x n = ⇒ 125 53 = ⇒ 2 1 16 1 4 = ) 4 n , 2 1 x , 16 1 a ( = = = ⇒ a x n = ⇒ 16 1 2 1 4 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ Propriedades ( ) m m 1 m 1 m 1 m m b a b a b a b a ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ 20 400 16 25 16 25 = = ⋅ = ⋅ Para ( ) 0 b ≠ 6 36 10 360 10 360 10 360 = = = = ÷ m m 1 m 1 m 1 m m m m b a b a b a b a b a = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = ÷ n p n p p n 1 p n a a a a = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3 3 2 3 2 2 3 1 2 3 4 2 2 2 2 = = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ m n m n 1 m 1 n 1 m n 1 m n a a a a a ⋅ ⋅ = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = 6 6 1 2 3 1 2 1 3 1 3 1 3 3 3 3 3 3 3 = = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = ⋅ Índice da Raiz “n” Par Ímpar Radicando “a” Positivo Duas Raízes Reais Simétricas ⎩ ⎨ ⎧ → = → + = ⇒ Par 2 n Positivo 9 a 9 ( ) ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = − + = + ⇒ ± = 9 3 9 3 3 9 2 2 Uma Raiz Real e Positiva ⎩ ⎨ ⎧ → = → + = ⇒ Ímpar 3 n Positivo 27 a 27 3 ( ) ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ≠ − = − + = + ⇒ + = 27 27 3 27 3 3 27 3 3 3 Negativo Não existe Raiz Real ⎩ ⎨ ⎧ → = → − = ⇒ − Par 2 n Negativo 9 a 9 ( ) ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≠ + = − − ≠ + = + ⇒ ∉ − 9 9 3 9 9 3 R 9 2 2 Uma Raiz Real e Negativa ⎩ ⎨ ⎧ → = → − = ⇒ − Ímpar 3 n Negativo 27 a 27 3 ( ) ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − − ≠ + = + ⇒ − = − 27 3 27 27 3 3 27 3 3 3 a x n = Lembre-se: É melhor transformar Radicais em Potências antes de efetuar as operações! Estudo das Raízes 4
  5. 5. Transformar uma fração que possui no denominador raiz, não possível de simplificação, em outra equivalente, eliminando a raiz do denominador Racionalização de denominadores Regra Geral: Se a fração for n m b a com n m < , multiplica-se o numerador e o denominador por n m n b − b b a b b a b b a b b b a b b b a b a n m n n n n m n n m n m n m n n m n m n m n n m n n m n n m n m − − − + − − − − − = = = ⋅ = ⋅ = Exemplos: 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = = − + − − − − − 5 5 5 5 5 5 5 1 5 5 5 1 5 1 5 3 5 5 5 3 5 3 2 5 3 5 2 5 5 2 5 5 2 5 2 = = ⋅ ⋅ = ⋅ = − − Dica! Transformar Radicais em Potências ajuda a visualizar melhor as operações! O mesmo resultado é obtido transformando a raiz do denominador em potência e eliminado a fração desta 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 5 5 5 1 5 1 5 3 1 5 3 5 5 5 3 5 3 5 2 5 3 5 3 5 2 5 3 5 3 5 3 5 2 5 2 = = = = ⋅ ⋅ = ⋅ = + Pode ser aplicado a denominadores com diferentes radicais Exemplos: a) 4 1 7 1 4 7 7 4 7 7 4 3 7 3 1 4 9 7 3 4 9 7 3 4 1 2 7 3 4 2 3 8 3 8 3 8 3 3 8 3 3 8 3 3 8 3 3 3 8 3 3 3 8 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = ⋅ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = = ⋅ = 3 27 8 3 3 8 3 3 8 3 3 8 3 3 3 8 4 4 3 4 4 4 3 4 3 4 1 4 3 4 3 4 3 4 1 = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = + b) 3 3 1 3 2 1 3 2 3 2 2 1 3 4 3 4 3 1 3 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = = = ⋅ = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = ⋅ = − − 5
  6. 6. PRODUTOS NOTÁVEIS Para quaisquer valores de “a” e “b” tem-se ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 b ab 2 a b ba ab a b a b a b a + + = + + + = + = + ⋅ + ( ) ( ) ( ) 6 2 5 2 6 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2 2 + = + + = + ⋅ ⋅ + = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 b ab 2 a b ba ab a b a b a b a + − = + − − = − = − ⋅ − ( ) ( ) 2 4 6 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − = + − = + ⋅ ⋅ − = − ( ) ( ) 2 2 2 2 b a b ba ab a b a b a − = − − + = − ⋅ + ( ) ( ) ( ) 2 3 1 3 1 3 1 3 1 2 2 − = − = − = + ⋅ − ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 b ab 3 b a 3 a b a b a b a + + + = + = + ⋅ + ( ) 8 x 12 x 6 x 2 2 x 3 2 x 3 x 2 x 2 3 3 2 2 3 3 + + + = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = + ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 b ab 3 b a 3 a b a b a b a − + − = − = − ⋅ − ( ) 3 2 2 3 3 2 2 3 3 y y x 3 y x 3 x y y x 3 y x 3 x y x − + − = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − = − Não Esqueça! ( ) 2 2 2 b ab 2 a b a + + = + ( ) 2 2 2 b ab 2 a b a + − = − ( ) ( ) b a b a b a 2 2 − ⋅ + = − Fique Atento! ( ) 2 2 2 b a b a + ≠ + e ( ) 2 2 2 b a b a − ≠ − ( ) 3 3 3 b a b a + ≠ + e ( ) 3 3 3 b a b a − ≠ − O produto notável ( ) ( ) b a b a b a 2 2 − ⋅ + = − é utilizado para racionalizar frações que contenham no denominador operações de adição ou subtração com radicais de índice dois. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 6 1 2 5 6 1 2 6 1 6 1 2 6 1 6 1 2 6 1 6 1 6 1 2 6 1 2 2 2 − − = − − = − − = − − ⋅ = − − ⋅ + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 5 1 5 2 5 4 5 5 2 5 2 5 2 5 5 2 5 2 5 2 5 5 2 5 5 2 2 2 + = + = − + = − + ⋅ = + + ⋅ − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 7 2 7 2 7 2 7 2 7 1 2 7 2 7 2 7 1 2 7 1 2 2 − = − − = − − ⋅ = − − ⋅ + = + Importante! 6
  7. 7. REGRA DE TRÊS Regra de Três Simples Envolve apenas duas grandezas. Resolve problemas que envolvam quatro valores para as duas grandezas, onde três desses valores são conhecidos. O quarto valor é determinado a partir dos três já conhecidos Exemplo: Um Pacote de ração alimenta 6 cachorros durante 25 dias. Quantos pacotes de ração serão necessários para alimentá-los por um período de 75 dias? Ração (pacotes) Período (dias) 1 25 x 75 Regra de Três Composta Envolve mais de duas grandezas. Deve-se avaliar a relação de proporção de cada grandeza separadamente. Exemplo: Uma obra é construída em 200 dias por 20 operários trabalhando 6 horas por dia. Quantos operários serão necessários para construir a mesma obra em 100 dias trabalhando 8 horas por dia? Operários (nº) Período de trabalho (horas) Duração da Obra (dias) 20 6 200 x 8 100 Relação de Proporção Para Duas Grandezas Variáveis Direta → Quando aumentando ou diminuindo uma delas em duas, três ou “x” vezes, o valor da outra também aumenta ou diminui para duas, três ou “x” vezes, respectivamente. Garrafas de Refrigerante (unidade) Quantidade (litros) Queijo (kg) Preço (R$) 1 2 1 8,40 2 4 1/2 4,20 Inversa → Quando aumentando ou diminuindo uma delas em duas, três ou “x” vezes, o valor da outra diminui ou aumenta para duas, três ou “x” vezes, respectivamente. Pedreiros (nº) Execução do muro (dias) Máquina (nº) Produção de 100 velas (horas) 1 2 4 3 2 1 2 6 ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↑ ↓ ↓ Procedimentos Encontrar as grandezas Montar o raciocínio Comparar as grandezas ↑ ↑ ração de pacotes 3 x 25 75 x 25 75 1 x = ⇒ = ⇒ = 30 x 100 200 8 6 20 x = ⇒ ⋅ = Operários ↑ ↓ ↓ Operação onde se calcula proporções envolvendo duas ou mais grandezas Proporção é a igualdade entre duas frações e as grandezas podem ser direta ou inversamente proporcionais Regra de três pode ser simples ou composta Proporção d c b a = “a” está para “b” assim como “c” está para “d” 7
  8. 8. PORCENTAGEM Porcentagem ou percentagem é uma razão centesimal representada pelo símbolo (%) e indica a divisão de um número por cem. Exemplo: Um carro popular valia em 1994 8 mil reais. Em 2006, um carro similar custa o equivalente a 13 mil reais. Qual o aumento de preço percentual ao longo do período? O resultado pode ser obtido através de uma regra de três simples: Ano Valor do Carro (R$) Valor correspondente em (%) 1994 8000 100 2006 13000 x ↑ ↑ % 5 , 62 1 x 8 1300 x 8000 13000 100 x = ⇒ = ⇒ = O aumento percentual de preço no período foi de 62,7% SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES DE MEDIDA U Un ni id da ad de es s F Fu un nd da am me en nt ta ai is s d do o S SI I N No om me e S Sí ím mb bo ol lo o C Co om mp pr ri im me en nt to o m me et tr ro o ] m [ M Ma as ss sa a q qu ui il lo og gr ra am ma a ] kg [ T Te em mp po o s se eg gu un nd do os s ] s [ I In nt te en ns si id da ad de e d de e C Co or rr re en nt te e E El lé ét tr ri ic ca aaa a am mp pè èr re e ] A [ T Te em mp pe er ra at tu ur ra a T Te er rm mo od di in nâ âm mi ic ca a K Ke el lv vi in n ] K [ I In nt te en ns si id da ad de e L Lu um mi in no os sa a c ca an nd de el la a ] cd [ A Al lg gu un ns s P Pr re ef fi ix xo os s d do o S SI I F Fa at to or r P Pr re ef fi ix xo o S Sí ím mb bo ol lo o 1 10− d de ec ci i d 2 10− c ce en nt ti i c 3 10− m mi il li i m 6 10− m mi ic cr ro o μ 9 10− n na an no o n 3 10 k ki il lo o k 6 10 m me eg ga a M Exemplos de conversão de unidades Sistema Internacional de Medidas (SI) Conjunto de unidades utilizada para medir e comparar todas as espécies de grandezas, possibilitando ainda a operação com seus múltiplos e submúltiplos. Conversão de m 30 em m μ , mm, cm, dm e km m μ mm cm dm km Conversãoa 3 2 1 m 6 6 m 10 10 30 μ − × × 3 2 1 mm 3 3 m 10 10 30 − × × 3 2 1 cm 2 2 m 10 10 30 − × × 3 2 1 dm 1 1 m 10 10 30 − × × 3 2 1 km 3 3 m 10 10 30 × × − Valor m 10 . 3 7 μ mm 000 . 30 cm 000 . 3 dm 300 km 03 , 0 Outras Grandezas Massa Tempo Velocidade Área Volume Valor original kg 5 h 3 h / km 60 2 cm 120 3 7 mm 10 Converter para ] g [ ] s [ ] s / m [ 2 ] m [ 3 ] m [ Conversão g 10 5 3 × s 3600 3× s 3600 m 10 60 3 × 2 2 ) m 10 ( 120 − × 3 3 7 ) m 10 ( 10 − × Valor convertidovv g 000 . 5 s 800 . 10 s / m 67 , 16 2 m 012 , 0 3 m 01 , 0 8
  9. 9. REVISÃO: TRIGONOMETRIA - TRIÂNGULO RETÂNGULO Triângulo Retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto Catetos São os lados que formam o ângulo reto Hipotenusa É o lado oposto ao ângulo reto A soma dos ângulos internos em um triângulo vale 180 graus o o 180 β α 90 = + + Teorema de Pitágoras Em um triângulo Retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa 2 2 2 c b a + = Exemplo: Determine o Valor de “x” no triângulo retângulo abaixo: Relações Trigonométricas Em Um Triângulo Retângulo Cateto oposto Lado oposto ao ângulo (“lado em frente ao ângulo”) Cateto adjacente Lado junto ao ângulo que não é a hipotenusa (“lado ligado ao ângulo”) H CO Hipotenusa Oposto Cateto (ângulo) sen = = H CA Hipotenusa Adjacente Cateto (ângulo) cos = = CA CO Adjacente Cateto Oposto Cateto (ângulo) tg = = x 5 a = m 6 b = x 4 c = 2 2 2 c b a + = ( ) ( ) ( )2 2 2 x 4 m 6 x 5 + = ⇒ 2 2 2 x 16 m 36 x 25 + = 2 2 2 m 36 x 16 x 25 = − ⇒ 2 2 2 2 m 4 x m 36 x 9 = ⇒ = ⇒ m 2 x m 4 x 2 = ⇒ = Dicas! Exemplo:Determine os valores dos catetos para o triângulo retângulo Cálculo do cateto “b” m 5 b m 10 b 2 1 H CO ) 30 ( sen = ⇒ = ⇒ = o ou m 5 b m 10 b 2 1 H CA ) 60 cos( = ⇒ = ⇒ = o Cálculo do cateto “c” m 2 3 5 b m 10 c 2 3 H CO ) 60 ( sen = ⇒ = ⇒ = o ou m 2 3 5 b m 10 c 2 3 H CA ) 30 cos( = ⇒ = ⇒ = o 9
  10. 10. VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS E ÂNGULOS SIMÉTRICOS Função Valores Notáveis π → o 180 6 30 π = o 4 45 π = o 3 60 π = o Seno 2 1 2 2 2 3 Cosseno 2 3 2 2 2 1 Tangente 3 3 1 3 Estudo dos Sinais Máximos e Mínimos das Funções seno e cosseno 10
  11. 11. VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS (30º) Retas paralelas (/ /) fazem o mesmo ângulo (30º) com as retas horizontais tracejadas, assim, a tangente do triângulo superior é igual à razão entre “1 - y” e “x” ! 11
  12. 12. VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS (45º) Ângulo de 45º indica a diagonal de um quadrado, portanto “x” deve ser igual a “y” ! 12
  13. 13. VALORES DE ÂNGULOS NOTÁVEIS (60º) Retas paralelas (/ /) fazem o mesmo ângulo (60º) com as retas horizontais tracejadas, formando um triângulo equilátero, logo, “x” é igual a 1/2 ! 13
  14. 14. ALGUNS TIPOS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS Dois Lados Congruentes (Dois Lados e Dois Ângulos Iguais) Triângulo Isósceles Três Lados e Três Ângulos Iguais Triângulo Equilátero Dois Lados Congruentes (Dois Lados Iguais) Trapézio Isósceles Dois Ângulos Retos Trapézio Retângulo 14
  15. 15. REVISÃO: CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTRODUÇÃO A FUNÇÕES Definição: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma relação de A em B é função se cada elemento x de A possui somente um único correspondente em y. Esta relação deve atender duas condições: Todo elemento x de A deve ter correspondente y em B Cada elemento x de A deve ter um único correspondente y em B Conjuntos Numéricos Conjuntos dos Números Naturais: Surgiram da necessidade de contar objetos IN = {0, 1, 2, 3, ... } Conjuntos dos Números Inteiros: Inclui números inteiros negativos Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Conjuntos dos Números Racionais: Todo número que pode ser escrito na forma de fração Q = {..., -2 , ...., -3/2 , ...., -1 , ..., -2/5, .... , -1/9 , .... 0, .... 1/5... , 3, ... , 7/2, ... } Conjuntos dos Irracionais: É dízima não periódica I = {..., COS 45º , ...., π , ... } COS 45º = 0,7071067 ... π = 3,1415926 ... Conjuntos dos Reais: União dos números Racionais e Irracionais R = Q ∪ I Intervalos Indica Inclusão Indica Exclusão ∪ = ∩ = Fechado:Inclui todos os números reais do intervalo, incluindo os extremos ⇒ } 7 x 3 / R x { ≤ ≤ − ∈ → Aberto:Inclui todos os números reais do intervalo, excluindo os extremos ⇒ } 1 x 6 / R x { < < − ∈ → Semi-Abertos:Inclui todos os números reais do intervalo, excluindo um dos extremos ⇒ } 9 x 5 / R x { < ≤ ∈ → Reta orientada que representa os Reais Um ponto qualquer marca a Origem e outro ponto. À direita da origem estão os números positivos e à esquerda, os negativos. Cada ponto desta reta chama-se abscissa do ponto: Reta Real Função Não função Função Não Função 15
  16. 16. Sistema Cartesiano Ortogonal O sistema cartesiano pode ser utilizado para representar os pares ordenados de uma relação. Este sistema divide o plano em quatro quadrantes: Gráfico de Uma Relação Crescimento e Decrescimento de Uma Função x aumenta e y aumenta: a função é crescente ⇒ [0, 2] e [7, 10] x aumenta e y diminui: a função é decrescente ⇒ [2, 7] Raiz ou Zero da Função São os pontos onde o gráfico corta o eixo x. São chamados raízes ou zero da função, este último pelo fato de suas ordenadas serem nulas São raízes ou zeros da função ⇒ 0, 4 e 10 Sinal de Uma Função Se o gráfico estiver acima do eixo x: a função é positiva ⇒ ]0, 4[ Se o gráfico estiver abaixo do eixo x: a função é negativa ⇒ ]4, 10[ ⇒ O ponto de interseção dos eixos é a origem do sistema ⇒ O ponto (x, y) são números reais e representam as ordenadas do ponto ⇒ Onde x é a abscissa e y a ordenada desse ponto 16
  17. 17. Classificação de Uma Função Função Par e Função Ímpar Uma função f: A → B é Par se, para cada x∈A, tem-se ) x ( f ) x ( f − = Exemplo: 1 x ) x ( f 4 + = 1 x 1 ) x ( ) x ( f 4 4 + = + − = − Par Função ) x ( f ) x ( f − = Uma função f: A → B é Ímpar se, para cada x∈A, tem-se ) x ( f ) x ( f − = − Exemplo: x x ) x ( f 3 + = ) x x ( x x ) x ( ) x ( ) x ( f 3 3 3 + − = − − = − + − = − Ímpar Função ) x ( f ) x ( f − = − O conjunto A é chamado de domínio de f: D= {1,2,3} Cada elemento do domínio é representado pela letra x e é a variável independente da função O conjunto B é chamado de contradomínio de f: B= {1,2,3,4,5} Cada elemento do contradomínio é representado pela letra y ou f(x) , que é a variável dependente da função O subconjunto de B que possui os elementos de y que estão associados com x é chamado de conjunto imagem da função e indicado por Im: Im= {2,3,4} A função f possui domínio em A com imagens em B , ou seja, f:A→B (lê-se f de A em B) e a expressão de correspondência do exemple é: y = f(x) = x + 1 17
  18. 18. REVISÃO: FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU Função Linear Definição: Se 0 b = a função ) x ( f y = é denominada de função linear e seu gráfico é uma reta que passa pela origem. Exemplo: 0 b e 1 a x ) x ( f y = − = ⇒ − = = Função de Primeiro Grau Definição: Uma Função cuja expressão é da forma b ax ) x ( f y + = = onde “a” e “b” são números reais, com 0 a ≠ , chama-se função de primeiro grau. Exemplos: 5 b e 2 a 5 x 2 ) x ( f = = ⇒ + = 0 b e 3 2 a x 3 2 ) x ( f = − = ⇒ − = Gráfico de Uma Função de Primeiro Grau Exemplo: 1 b e 2 a 1 x 2 ) x ( f y = = ⇒ + = = O gráfico da função b ax ) x ( f y + = = é uma reta x ) x ( f y = ) y , x ( Par -2 -3 (-2, -3) -1 -1 (-1, -1) 0 1 (0, 1) 1 3 (1, 3) 2 5 (2, 5) 3 1 4 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( f − = + − = + − = − 1 1 2 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( f − = + − = + − = − 1 1 0 1 ) 0 ( 2 ) 0 ( f = + = + = 3 1 2 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( f = + = + = 5 1 4 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( f = + = + = x ) x ( f y = ) y , x ( Par -1 1 (-1, 1) 0 0 (0, 0) 1 -1 (1, -1) 1 ) 1 ( ) 1 ( f = − − = − 0 ) 0 ( ) 0 ( f = − = 1 ) 1 ( ) 1 ( f − = − = Como o gráfico de uma função de 1º grau é uma reta são, necessários somente dois pontos para representá-lo! Se b = 0, a função é linear e seu gráfico passa pela origem! 18
  19. 19. Taxa de Variação Média (TVM) Para a função 1 b e 2 a 1 x 2 ) x ( f y = = ⇒ + = = tem-se: Função Constante Definição: Se 0 a = , a função ) x ( f y = é denominada de função constante e seu gráfico é uma reta paralela ao eixo x. Exemplo: 2 b e 0 a 2 ) x ( f y = = ⇒ = = x ) x ( f y = ) y , x ( Par -1 2 (-1, 2) 0 2 (0, 2) 1 2 (1, 2) 2 ) 1 ( f = − 2 ) 0 ( f = 2 ) 1 ( f = Se a = 0, a função é constante e seu gráfico é paralelo ao eixo x Função constante “não é” uma função de primeiro grau! x ) x ( f y = ) y , x ( Par -2 -3 (-2, -3) -1 -1 (-1, -1) 0 1 (0, 1) 1 3 (1, 3) 2 5 (2, 5) 3 1 4 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( f − = + − = + − = − 1 1 2 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( f − = + − = + − = − 1 1 0 1 ) 0 ( 2 ) 0 ( f = + = + = 3 1 2 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( f = + = + = 5 1 4 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( f = + = + = Quando x aumenta de 1 unidade, y aumenta de 2 unidades. Assim, a razão entre a diferença de dois valores quaisquer é constante: 2 1 2 x y 1 2 3 5 0 1 1 3 ) 1 ( 0 ) 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) 3 ( 1 = = Δ Δ = − − = − − = − − − − = − − − − − − A esta razão chama-se taxa de variação média. Sendo 1 x e 2 x elementos do domínio de ) x ( f e 1 2 x x > , tem-se: 1 2 1 2 1 2 1 2 x x y y x x ) x ( f ) x ( f x y TVM − − = − − = Δ Δ = Para uma função do tipo b ax ) x ( f y + = = a TVM é: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x ax ax x x ) b ax ( ) b ax ( x x ) x ( f ) x ( f x y TVM − − = − + − + = − − = Δ Δ = a x x ) x x ( a x x ax ax TVM 1 2 1 2 1 2 1 2 = − − = − − = Para uma função de 1º grau, a taxa de variação média (TVM) é igual a “a”! A constante “a” é chamada de coeficiente angular 19
  20. 20. Coeficiente Angular da Reta Notar que: a TVM x y tag = = Δ Δ = α A tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x fornece a taxa de variação média da função ou Coeficiente Angular da reta! Coeficiente Linear da Reta A constante “b” é chamada de coeficiente linear e indica o valor onde a reta corta o eixo y, em 0 x = . Em x igual a zero (x = 0), o gráfico corta o eixo y em “b”. A constante “b” indica o Coeficiente Linear da reta! Estudo do Sinal de Uma Função de Primeiro Grau Para analisar o sinal de uma função deve-se obter a raiz ou zero da função, ou seja, o valor da abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo x, em 0 y = . Assim: 20
  21. 21. Crescimento de Decrescimento de Uma Função de Primeiro Grau A função ) x ( f é crescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y aumentam. Assim, para x Δ e y Δ maiores que zero: 0 a x y > = Δ Δ A função ) x ( f é decrescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y diminuem. Assim, para x Δ ou y Δ menores que zero: 0 a x y < − = Δ Δ Exemplo: a) 1 b e 1 a 1 x ) x ( f y = = ⇒ + = = b) 1 b e 1 a 1 x ) x ( f y = − = ⇒ + − = = A função é crescente se 0 a > A função é decrescente se 0 a < x ) x ( f y = ) y , x ( Par -2 -1 (-2, -1) -1 0 (-1, 0) 0 1 (0, 1) 1 2 (1, 2) 2 3 (2, 3) 1 1 ) 2 ( ) 2 ( f − = + − = − 0 1 ) 1 ( ) 1 ( f = + − = − 1 1 ) 0 ( ) 0 ( f = + = 2 1 ) 1 ( ) 1 ( f = + = 3 1 ) 2 ( ) 2 ( f = + = x ) x ( f y = ) y , x ( Par -2 3 (-2, 3) -1 2 (-1, 2) 0 1 (0, 1) 1 0 (1, 0) 2 -1 (2, -1) 3 1 ) 2 ( ) 2 ( f = + − − = − 2 1 ) 1 ( ) 1 ( f = + − − = − 1 1 ) 0 ( ) 0 ( f = + − = 0 1 ) 1 ( ) 1 ( f = + − = 1 1 ) 2 ( ) 2 ( f − = + − = crescente é ) x ( f 0 a ⇒ > e decrescent é ) x ( f 0 a ⇒ < 21
  22. 22. REVISÃO: FUNÇÃO DE SEGUNDO GRAU Concavidade da Parábola Função de segundo Grau Definição: Uma Função cuja expressão é da forma c bx ax ) x ( f y 2 + + = = onde “a”, “b” e “c” são números reais, com 0 a ≠ , chama-se função de segundo grau ou função quadrática. Exemplos: 2 c e 3 b , 1 a 2 x 4 x ) x ( f 2 = = = ⇒ + + = 0 c e 4 b , 1 a x 4 x ) x ( f 2 = = − = ⇒ + − = 1 c e 3 b , 2 a 1 x 3 x 2 ) x ( f 2 = − = = ⇒ + − = 4 c e 0 b , 10 a 4 x 10 ) x ( f 2 = = − = ⇒ + − = Gráfico de Uma Função de Primeiro Grau Exemplo: 6 x 5 x ) x ( f y 2 + − = = 6 b e 5 b , 1 a = − = = O gráfico da função c bx ax ) x ( f y 2 + + = = é uma parábola x ) x ( f y = ) y , x ( Par -3 30 (-3, 30) -2 20 (-2, 20) -1 12 (-1, 12) 0 6 (0, 6) 1 2 (1, 2) 2 0 (2, 0) 3 0 (3, 0) 30 6 15 9 6 ) 3 ( 5 ) 3 ( ) 3 ( f 2 = + + = + − − − = − 20 6 10 4 6 ) 2 ( 5 ) 2 ( ) 2 ( f 2 = + + = + − − − = − 12 6 5 1 6 ) 1 ( 5 ) 1 ( ) 1 ( f 2 = + + = + − − − = − 6 6 0 0 6 ) 0 ( 5 ) 0 ( ) 0 ( f 2 = + + = + − = 2 6 5 1 6 ) 1 ( 5 ) 1 ( ) 1 ( f 2 = + − = + − = 0 6 10 4 6 ) 2 ( 5 ) 2 ( ) 2 ( f 2 = + − = + − = 0 6 15 9 6 ) 3 ( 5 ) 3 ( ) 3 ( f 2 = + − = + − = Como o gráfico de uma função de 2º grau é uma parábola é necessário determinar as raízes e seu vértice para representá-lo! Se a > 0 ⇒ Parábola com concavidade voltada para cima Se a > 0 ⇒ Parábola com concavidade voltada para baixo 22
  23. 23. Raízes ou Zeros da Função de Segundo Grau Definição: Os pontos onde o gráfico c bx ax ) x ( f y 2 + + = = corta o eixo x (em 0 y = ) são chamados raízes ou zeros da função. Para determinar as raízes usa-se a fórmula de Bháskara ou o método da soma e produto de raízes. Fórmula de Bháskara Soma e Produto de Raízes Através da soma e produto das raízes é possível determinar as raízes (geralmente inteiras) de algumas expressões. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + − = + = 2a Δ b 2a Δ b x x Soma 2 1 a b a 2 b 2 a 2 b b S − = − = Δ + − Δ + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ + − = = a 2 b . a 2 b x . x Produto 2 1 2 2 2 2 2 2 a 4 ac 4 b b a 4 ) ac 4 b ( b Produto + − = − − = a c a 4 ac 4 P 2 = = Exemplo: 6 x 5 x ) x ( f y 2 + − = = 6 c 5 b 1 a = − = = 5 1 ) 5 ( a b S = − − = − = 6 1 6 a c P = = = Quais são os números cuja soma é igual a 5 e o produto igual a 6? Os números são 2 e 3, pois: 5 3 2 Soma = + = 6 3 2 Produto = × = Assim: 3 x e 2 x 2 1 = = c bx ax ) x ( f y 2 + + = = a 2 b x Δ ± − = ac 4 b2 − = Δ a 2 b x e a 2 b x 2 1 Δ − − = Δ + − = Exemplo: 6 x 5 x ) x ( f y 2 + − = = 6 c 5 b 1 a = − = = ) 6 ( ) 1 ( 4 ) 5 ( ac 4 b 2 2 − − = − = Δ 1 24 25 = − = Δ 1 . 2 1 ) 5 ( a 2 b x ± − − = Δ ± − = 2 1 5 x ± = 3 2 1 5 x1 = + = 2 2 1 5 x2 = − = As raízes são 2 e 3 6 x 5 x ) x ( f y 2 + − = = 6 ) 2 ( 5 2 ) 2 ( f y 2 + − = = 0 ) 2 ( f y = = 6 ) 3 ( 5 3 ) 3 ( f y 2 + − = = 0 ) 3 ( f y = = 23
  24. 24. Vértice da Parábola O vértice da parábola é o ponto de mínimo, se 0 a > , ou o ponto de máximo, se 0 a < , da função. Para 0 a = , tem-se que c c bx ax y 2 = + + = , isto é, a parábola corta o eixo y no ponto de ordenada “c”. Por simetria, existe outro valor de x que resulta em c y = : Como o ponto onde a b x − = é simétrico em relação ao vértice: 2 a b xv − = Para a 2 b xv − = a 4 a 4 ) ac 4 b ( a 4 ac 4 b 2 b c a 2 b a 4 b c a 2 b b a 2 b a y 2 2 2 2 2 2 v Δ − = − − = + − = + + = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = Para c y = : a b x 0 x 0 ) b ax ( x 0 bx ax c c bx ax 2 1 2 2 − = = = + = + = + + a 2 b xv − = a 4 yv Δ − = 24
  25. 25. Estudo do Sinal de Uma Função de Segundo Grau Para 0 > Δ 0 = Δ 0 < Δ Duas raízes reais e distintas Duas raízes reais e iguais (raiz dupla) Não possui raiz real (raízes imaginárias) 0 a > 0 a < Crescimento de Decrescimento de Uma Função de Segundo Grau A função c bx ax ) x ( f 2 + + = é crescente se aumentado os valores de x, os valores correspondentes de y aumentam. Caso contrário, a função é decrescente. O ponto onde a parábola passa de decrescente para crescente ou vice-versa é o vértice. Exemplo: 6 c 5 b 1 a 6 x 5 x ) x ( f y 2 = − = = ⇒ + − = = x ) x ( f y = ) y , x ( Par 0 6 (0, 6) Corta o eixo y 1 2 (1, 2) 2 0 (2, 0) x1 5/2 -1/4 (5/2, -1/4) Vértice 3 0 (3, 0) x2 5 6 (5, 6) 6 6 ) 0 ( 5 ) 0 ( ) 0 ( f 2 = + − = 2 6 ) 1 ( 5 ) 1 ( ) 1 ( f 2 = + − = 0 6 ) 2 ( 5 ) 2 ( ) 2 ( f 2 = + − = 4 / 1 6 ) 2 / 5 ( 5 ) 2 / 5 ( ) 2 / 5 ( f 2 − = + − = 0 6 ) 3 ( 5 ) 3 ( ) 3 ( f 2 = + − = 6 6 ) 5 ( 5 ) 5 ( ) 5 ( f 2 = + − = 25
  26. 26. REVISÃO: FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS Funções Exponenciais Definição: Uma função exponencial é definida como x a ) x ( f = , onde 1 a ≠ e 0 a > . Exemplos: x 5 ) x ( f = x 2 ) x ( f = x 3 1 ) x ( f ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Gráfico de Uma Função Exponencial Exemplo 1: x 2 ) x ( f = 1 a 2 a > ⇒ = Em 0 x = , o gráfico corta o eixo y no ponto ) 1 , 0 ( Analisando a tendência dos valores de y com relação à x tem-se que: ⎩ ⎨ ⎧ → ⇒ −∞ → +∞ → ⇒ +∞ → 0 y x y x Exemplo 2: x 2 1 ) x ( f ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 a 0 5 , 0 2 / 1 a < < ⇒ = = Em 0 x = , o gráfico corta o eixo y no ponto ) 1 , 0 ( Analisando a tendência dos valores de y com relação à x tem-se que: ⎩ ⎨ ⎧ +∞ → ⇒ −∞ → → ⇒ +∞ → y x 0 y x x ) x ( f y = ) y , x ( Par -3 1/8 (-3, 1/8) -2 1/4 (-2, 1/4) -1 1/2 (-1, 1/2) 0 1 (0, 1) 1 2 (1, 2) 2 4 (2, 4) 3 8 (3, 8) x 2 ) x ( f = 8 / 1 ) 2 ( ) 3 ( f 3 = = − − 4 / 1 ) 2 ( ) 2 ( f 2 = = − − 2 / 1 ) 2 ( ) 1 ( f 1 = = − − 1 ) 2 ( ) 0 ( f 0 = = 2 ) 2 ( ) 1 ( f 1 = = 4 ) 2 ( ) 2 ( f 2 = = 8 ) 2 ( ) 3 ( f 3 = = x ) x ( f y = ) y , x ( Par -3 8 (-3, 8) -2 4 (-2, 4) -1 2 (-1, 2) 0 1 (0, 1) 1 1/2 (1, 1/2) 2 1/4 (2, 1/4) 3 1/8 (3, 1/8) x ) 2 / 1 ( ) x ( f = 8 ) 2 / 1 ( ) 3 ( f 3 = = − − 4 ) 2 / 1 ( ) 2 ( f 2 = = − − 2 ) 2 / 1 ( ) 1 ( f 1 = = − − 1 ) 2 / 1 ( ) 0 ( f 0 = = 2 / 1 ) 2 / 1 ( ) 1 ( f 1 = = 4 / 1 ) 2 / 1 ( ) 2 ( f 2 = = 8 / 1 ) 2 / 1 ( ) 3 ( f 3 = = Função exponencial crescente Função exponencial decrescente 26
  27. 27. Gráfico de Uma Função Exponencial Exemplo 3: Faça o gráfico da função x 3 1 ) x ( f + = A base que tem o expoente x vale 3 crescente função 1 a 3 a ⇒ > ⇒ = Em 0 x = , o gráfico corta o eixo y no ponto ) 2 , 0 ( 2 1 1 3 1 ) 0 ( f y 3 1 ) x ( f y 0 x = + = + = = ⇒ + = = Exemplo 4: Faça o gráfico da função 1 x 5 1 ) x ( f + + = A base que tem o expoente x vale 5 crescente função 1 a 5 a ⇒ > ⇒ = Verificando o ponto onde a função corta o eixo y (em 0 x = ) 6 5 1 5 1 ) 0 ( f y 5 1 ) x ( f y 1 0 1 x = + = + = = ⇒ + = = + + Exemplo 5: Faça o gráfico da função 2 x 3 2 ) x ( f + + = A base que tem o expoente x vale 3 crescente função 1 a 3 a ⇒ > ⇒ = Verificando o ponto onde a função corta o eixo y (em 0 x = ) 11 9 2 3 2 ) 0 ( f y 3 2 ) x ( f y 2 0 2 x = + = + = = ⇒ + = = + + Gráfico de Uma Função Exponencial Outros Exemplos Exemplo 1: Faça o gráfico da função x 3 1 ) x ( f + = Em 0 x = , o gráfico corta o eixo y no ponto ) 2 , 0 ( 2 1 1 3 1 ) 0 ( f y 3 1 ) x ( f y 0 x = + = + = = ⇒ + = = Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: ⎩ ⎨ ⎧ → ⇒ −∞ → +∞ → ⇒ +∞ → 1 y x y x x 3 1 y + = +∞ → ⇒ ∞ + = + = +∞ → +∞ y 1 3 1 y : x Para 1 y 0 1 1 1 3 1 1 3 1 y : x Para → ⇒ + = ∞ + = + = + = −∞ → ∞ + ∞ − Se a > 1 ⇒ Função exponencial crescente Se 0 < a < 1 ⇒ Função exponencial decrescente Para x a ) x ( f = Para x a ) x ( f = 27
  28. 28. Gráfico de Uma Função Exponencial Exemplo 2: Faça o gráfico da função x 2 2 1 ) x ( f − = Em 0 x = , o gráfico corta o eixo y no ponto ) 0 , 0 ( 0 1 1 2 1 ) 0 ( f y 2 1 ) x ( f y 0 x 2 = − = − = = ⇒ − = = Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: ⎩ ⎨ ⎧ → ⇒ −∞ → −∞ → ⇒ +∞ → 1 y x y x ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ → ⇒ − = ∞ − = − = − = − = −∞ → −∞ → ⇒ ∞ − = − = − = +∞ → − = ∞ + ∞ − −∞ × ∞ + +∞ × 1 y 0 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 y : x Para y 1 2 1 2 1 y : x Para 2 1 y ) ( 2 ) ( 2 x 2 Exemplo 3: Faça o gráfico da função 1 x 5 1 ) x ( f + + = Em 0 x = , o gráfico corta o eixo y no ponto ) 6 , 0 ( 6 5 1 5 1 ) 0 ( f y 5 1 ) x ( f y 1 0 1 x = + = + = = ⇒ + = = + + Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: ⎩ ⎨ ⎧ → ⇒ −∞ → +∞ → ⇒ +∞ → 1 y x y x ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ → ⇒ + = + = + = + = −∞ → +∞ → ⇒ ∞ + = + = + = +∞ → + = ∞ + ∞ − + ∞ − ∞ + + ∞ + + 1 y 0 1 5 1 1 5 1 5 1 y : x Para y 1 5 1 5 1 y : x Para 5 1 y 1 1 1 x 28
  29. 29. Gráfico de Uma Função Exponencial Exemplo 4: Faça o gráfico da função x 1 2 3 ) x ( f − + − = Em 0 x = , o gráfico corta o eixo y no ponto ) 1 , 0 ( − 1 2 3 2 3 ) 0 ( f y 2 3 ) x ( f y 0 1 x 1 − = + − = + − = = ⇒ + − = = − − Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: ⎩ ⎨ ⎧ +∞ → ⇒ −∞ → − → ⇒ +∞ → y x 3 y x x 1 2 3 y − + − = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +∞ → ⇒ ∞ + − = + − = + − = + − = −∞ → − → ⇒ + − = ∞ + − = + − = + − = + − = + − = +∞ → ∞ + ∞ + −∞ − ∞ + ∞ − ∞ − +∞ − y 3 2 3 2 3 2 3 y : x Para 3 y 0 3 1 3 2 1 3 2 3 2 3 2 3 y : x Para 1 ) ( 1 1 ) ( 1 Exemplo 5: Faça o gráfico da função 2 x 3 2 ) x ( f + + = Em 0 x = , o gráfico corta o eixo y no ponto ) 11 , 0 ( 11 9 2 3 2 3 2 ) 0 ( f y 3 2 ) x ( f y 2 2 0 2 x = + = + = + = = ⇒ + = = + + Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: ⎩ ⎨ ⎧ → ⇒ −∞ → +∞ → ⇒ +∞ → 2 y x y x ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ → ⇒ + = + = + = + = −∞ → +∞ → ⇒ ∞ + = + = + = +∞ → + = ∞ + ∞ − + ∞ − ∞ + + ∞ + + 2 y 0 2 3 1 2 3 2 3 2 y : x Para y 2 3 2 3 2 y : x Para 3 2 y 2 2 2 x 29
  30. 30. O Número Neperiano (ou de Napier) ou Número exponencial Também chamado de número de Euler ou de Néper, a constante matemática “e ” tem grande importância, pois está presente na formulação de vários fenômenos naturais (desintegração radioativa, crescimento populacional, etc.). É um número irracional e tem valor: Associada ao número neperiano, a função exponencial de base “e ” é uma das mais importantes funções da matemática: ... 459 828 281 2,718 e = x e f(x) = Equações Exponenciais Definição: Uma equação exponencial possui expoentes como incógnita. São equações exponenciais: 8 2x = 343 3 5 x = − 25 5 2 5 3 x x = × + + Para resolver equações exponenciais utiliza-se a seguinte propriedade: Antes: Lembretes de Potenciação e Radiciação n m n m a a a + = ⋅ 0 a , a a a n m n m ≠ = − ( ) 0 a , a a n m n m ≠ = ⋅ ( )n n n b a b a ⋅ = ⋅ 0 b , b a b a n n n ≠ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = n m n m a a = Se duas potências têm a mesma base, então os expoentes são iguais. Assim, para a > 0 e a ≠ 0: n m a a n m = ⇔ = 30
  31. 31. Equações Exponenciais Exemplo 1: Resolva a equação 32 2x = Reduzindo os dois membros da igualdade a mesma base tem-se: 5 x x 2 2 32 2 = ⇒ = Se a equação exponencial tem a mesma base, é possível igualar os expoentes: 5 x 2 2 5 x = ⇔ = Exemplo 2: Resolva a equação 25 5 4 x = + Reduzindo a mesma base: 2 4 x 4 x 5 5 25 5 = ⇒ = + + Igualando os expoentes: 2 x 4 2 x 2 4 x 5 5 2 4 x − = ⇒ − = ⇒ = + ⇒ = + Exemplo 3: Resolva a equação x 3 2 x 2 3 3 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + Reduzindo a mesma base: x 3 2 x x 3 1 2 x x 3 2 x 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 − + − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Igualando os expoentes: 5 2 x 2 x 5 x 3 2 x 3 2 3 2 x 3 2 x − = ⇒ − = ⇒ − = + ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + Exemplo 4: Resolva a equação 27 1 3 2 x x 2 = − Reduzindo a mesma base: 3 x x 2 3 x x 2 x x 2 3 3 3 1 3 27 1 3 2 2 2 − − − − = ⇒ = ⇒ = Igualando os expoentes: 0 3 x 2 x 0 3 x x 2 3 x x 2 3 3 2 2 2 3 x x 2 2 = + + − ⇒ = + − ⇒ − = − ⇒ = − − Resolvendo a equação de 2º grau 0 3 x 2 x2 = + + − : ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = − = = = − = = = − = 3 x e 1 x 3 a c Produto e 2 a b Soma 3 c 2 b 1 a 2 1 Exemplo 5: Resolva a equação 5 x 3 2 x 8 2 = − Reduzindo a mesma base: ( ) ( ) 5 x 9 2 2 x 5 x 3 3 2 2 x 5 x 3 2 1 2 x 5 x 3 2 x 2 2 2 2 8 2 8 2 = ⇒ = ⇒ = ⇒ = − − − − Igualando os expoentes: ( ) ( ) 13 10 x x 18 10 x 5 x 9 2 2 x 5 5 x 9 2 2 x 2 2 5 x 9 2 2 x − = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − 31
  32. 32. Equações Exponenciais Exemplo 6: Resolva a equação 9 11 3 3 3 1 x 1 x x = − + − + Primeiramente, reduzir a equação a um membro em cada lado da igualdade: 9 11 3 3 3 . 3 3 9 11 3 3 3 3 3 9 11 3 3 3 x x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x = − + ⇒ = − + ⇒ = − + − − + Colocando em evidência x 3 : 1 x x x x x x x 3 3 1 11 3 9 11 3 3 11 9 11 3 9 11 3 11 3 9 11 3 1 3 1 3 9 11 3 3 3 3 3 − = = × = ⇒ = ⇒ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⇒ = − × + Com a mesma base, é possível igualar os expoentes: 1 x 3 3 1 x − = ⇒ = − Exemplo 7: Resolva a equação x x 2 5 4 4 = + ( ) ( ) 0 4 2 5 2 0 4 2 5 2 2 5 4 4 2 5 4 4 x 2 x x x 2 x x x x = + × − ⇒ = + × − ⇒ × = + ⇒ = + Fazendo uma mudança de variável do tipo x 2 m = e substituindo na equação: ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ⇒ = = = − = = − = = = + − ⇒ = + × − 4 m e 1 m 4 a c oduto Pr e 5 a b Soma 4 c 5 b 1 a 0 4 m 5 m 0 4 2 5 2 2 1 2 x 2 x Fazendo novamente a troca da variável x 2 m = : 0 x 2 2 2 1 2 m 1 m Para x 0 x x = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = 2 x 2 2 2 4 2 m 4 m Para x 2 x x = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = Exemplo 8: Resolva a equação 0 e e 1 x x 2 = − + ( ) 0 e e e 0 e e x 1 2 x 1 x x 2 = × − ⇒ = − + Fazendo uma mudança de variável do tipo x e m = e substituindo na equação: ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ⇒ = = = − = = − = = = ⇒ = − = ⇒ = − ⇒ = − = − ⇒ = × − e m e 0 m 0 a c Produto e e a b Soma 0 c e b 1 a ou e m 0 e m ou 0 m 0 e) (m m 0 m e m 0 m e m 0 e e e 2 1 2 2 x 1 2 x Fazendo novamente a troca da variável x e m = : IR x e 0 e m 0 m Para x x ∉ ⇒ = ⇒ = ⇒ = } 1 { sp Re 1 x e e e e e m e m Para x 1 x x − ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = 32
  33. 33. Logaritmos Definição: O logaritmo de um número b na base a, com 0 a > , 0 b > e 1 a ≠ , é um número x tal que: Onde: b indica o logaritmando a indica a base x indica o logaritmo Exemplo 1: Calcule o logaritmo 8 log 2 O logaritmo de 8 na base 2 é: 3 x 2 2 2 8 x 8 log x 3 x 2 = ⇒ = ⇒ = ⇒ = Exemplo 2: Calcule o logaritmo 3 log3 O logaritmo de 3 na base 3 é: 3 1 x 3 3 3 3 x 3 log x 1/2 x 3 = ⇒ = ⇒ = ⇒ = Exemplo 3: Calcule o logaritmo 6 3 log 6 O logaritmo de 36 na base 6 é: ( ) ( ) 4 x x 2 1 2 6 6 6 6 3 x 6 3 log x 1/2 2 x 6 = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = Exemplo 4: Calcule o logaritmo 5 log 5 O logaritmo de 5 na base 5 é: 1 x 5 5 5 5 x 5 log x 1 x 5 = ⇒ = ⇒ = ⇒ = Exemplo 5: Calcule o logaritmo 100 log O logaritmo decimal de 100 é: 2 x 10 10 0 1 100 x 100 log x 2 x = ⇒ = ⇒ = ⇒ = b a x b log x a = ⇔ = 1 a loga = Logaritmos decimais são aqueles cuja base é 10. Nos logaritmos decimais normalmente a base é omitida: b log b log10 = Logaritmos neperianos ou naturais são aqueles cuja base é “e ”. Os logaritmos naturais são representados da seguinte forma: b n l b loge = 33
  34. 34. Propriedades dos Logaritmos Resultantes da Definição Para 0 a > , 0 b > e 1 a ≠ : Exemplo 1: Calcule o logaritmo 4 2 2 log O logaritmo de 4 2 na base 2 é: 4 x 2 2 x 2 log x 4 4 2 = ⇒ = ⇒ = Exemplo 2: Calcule o logaritmo 1 log 9 O logaritmo de 1 na base 9 é: 0 x 9 9 9 1 x 1 log x 0 x 9 = ⇒ = ⇒ = ⇒ = Exemplo 3: Calcule 9 log3 3 Fazendo x 3 9 log3 = e aplicando logaritmo na base 3 nos dois lados da equação: x log 9 log x log 3 log x 3 3 3 3 9 log 3 9 log 3 3 = ⇒ = ⇒ = 9 x x 3 x log 2 x log 3 log x log 9 log 2 3 3 2 3 3 3 = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = Exemplo 4: Calcule o seguinte logaritmo 5 log 5 O logaritmo de 5 na base 5 é: 1 x 5 5 5 5 x 5 log x 1 x 5 = ⇒ = ⇒ = ⇒ = Exemplo 4: Calcule o seguinte logaritmo 3 e n l O logaritmo neperiano de 3 e é: 3 x e e x e g o l x e n l x 3 3 e 3 = ⇒ = ⇒ = ⇒ = Propriedades Operatórias dos Logaritmos n log m log ) n m ( log a a a + = × n log m log n m log a a a − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ m log p m log a p a × = Para 0 m > , 0 n > , 0 a > , 1 a ≠ e IR p ∈ : m a log m a = 0 1 loga = b a b log a = 34
  35. 35. Propriedades Operatórias dos Logaritmos Exemplo 1: Dado 0,477 3 log e 0,301 2 log = = calcule 6 log O logaritmo decimal de 6 é: 778 , 0 477 , 0 301 , 0 3 log 2 log ) 3 2 ( log 6 log = + = + = × = Exemplo 2: Dado 0,477 3 log e 0,301 2 log = = calcule 4 log 12 log − 0,477 3 log 4 12 log 4 log 12 log = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − Exemplo 3: Dado 0,477 3 log e 0,301 2 log = = calcule 36 log 556 , 1 477 , 0 2 301 , 0 2 3 log 3 2 log 2 3 log 2 log ) 3 2 ( log 36 log 2 2 2 2 = × + × = × + × = + = × = Exemplo 4: Dado x 3 p log e x n log , x 2 m log = = = , calcule 3 2 2 5 p n m log ( ) p log 3 2 n log 2 m log 5 p log n log m log p log n m log p n m log 3 / 2 2 5 3 2 2 5 3 2 2 5 − + = − + = − = x 10 x 2 x 2 x 10 x 3 3 2 x 2 x 2 5 p log 3 2 n log 2 m log 5 = − + = × − × + × = − + Exemplo 1: Dado 0,477 3 log e 0,301 2 log = = , calcule 3 log 2 O logaritmo de 3 na base 2 é: 585 , 1 0,301 0,477 2 log 3 log 3 log 2 = = = Exemplo 2: Calcule 5 log 4 log 3 log 8 log 2 5 4 3 × × × 2 log 5 log 5 log 4 log 4 log 3 log 3 log 8 log 5 log 4 log 3 log 8 log 2 5 4 3 × × × = × × × Simplificando: 3 2 log 3 2 log 8 log 2 log 8 log 5 log 4 log 3 log 8 log 2 3 2 2 2 5 4 3 = × = = = = × × × Mudança de Base Para resolver operações que envolvam Logaritmos com bases diferentes. n log m log m logn = 35
  36. 36. Funções Logarítmicas Uma função logarítmica é definida como x log ) x ( f a = , onde 1 a ≠ e 0 a > . A base do logaritmo x é a e o domínio da função logarítmica é composto pelos * IR+ . Exemplos: x log ) x ( f 3 = x log ) x ( f 3 / 1 = Gráfico de Uma Função Logarítmica Exemplo 1: x log ) x ( f 2 = 1 a 2 a > ⇒ = Em 0 y = , o gráfico corta o eixo x no ponto ) 0 , 1 ( Analisando a tendência dos valores de y com relação à x tem-se que: ⎩ ⎨ ⎧ −∞ → ⇒ → +∞ → ⇒ +∞ → y 0 x y x Exemplo 2: x log ) x ( f 2 / 1 = 1 a 0 2 / 1 a < < ⇒ = Em 0 y = , o gráfico corta o eixo x no ponto ) 0 , 1 ( Analisando a tendência dos valores de y com relação à x tem-se que: ⎩ ⎨ ⎧ +∞ → ⇒ → −∞ → ⇒ +∞ → y 0 x y x x ) x ( f y = ) y , x ( Par 1/8 -3 (1/8, -3) 1/4 -2 (1/4, -2) 1/2 -1 (1/2, -1) 1 0 (1, 0) 2 1 (2, 1) 4 2 (4, 2) 8 3 (8, 3) Função logarítmica crescente Função logarítmica decrescente x log ) x ( f 2 = 3 2 log ) 8 / 1 ( log ) 8 / 1 ( f 3 2 2 − = = = − 2 2 log ) 4 / 1 ( log ) 4 / 1 ( f 2 2 2 − = = = − 1 2 log ) 2 / 1 ( log ) 2 / 1 ( f 1 2 2 − = = = − 0 2 log 1 log ) 1 ( f 0 2 2 = = = 1 2 log ) 2 ( f 2 = = 2 2 log 4 log ) 4 ( f 2 2 2 = = = 3 2 log 8 log ) 8 ( f 3 2 2 = = = x ) x ( f y = ) y , x ( Par 1/8 3 (1/8, -3) 1/4 2 (1/4, -2) 1/2 1 (1/2, -1) 1 0 (1, 0) 2 -1 (2, 1) 4 -2 (4, 2) 8 -3 (8, 3) x log ) x ( f 2 / 1 = 3 2 log ) 8 / 1 ( log ) 8 / 1 ( f 3 2 / 1 2 / 1 = = = − 2 2 log ) 4 / 1 ( log ) 4 / 1 ( f 2 2 / 1 2 / 1 = = = − 1 2 log ) 2 / 1 ( log ) 2 / 1 ( f 1 2 / 1 2 / 1 = = = − 0 2 log 1 log ) 1 ( f 0 2 / 1 2 / 1 = = = 1 2 log ) 2 ( f 2 / 1 − = = 2 2 log 4 log ) 4 ( f 2 2 / 1 2 / 1 − = = = 3 2 log 8 log ) 8 ( f 3 2 / 1 2 / 1 − = = = 36
  37. 37. Gráfico de Uma Função Logarítmica Outros Exemplos Exemplo 1: Faça o gráfico da função ) x 1 ( log ) x ( f 5 + = Em 0 y = , o gráfico corta o eixo x no ponto ) 0 , 0 ( : 0 x x 1 1 x 1 5 ) x 1 ( log 0 ) x 1 ( log ) x ( f y 0 5 5 = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = = Na função dada, o logaritmando é diferente de x ( x b ≠ ). Para avaliar os valores que x pode assumir na função, utiliza-se a condição de que b é positivo ( 0 b > ). Assim: 1 x 0 x 1 − > ⇒ > + Desta forma, tem-se que x pode assumir valores dentro do intervalo: [ , 1 ] ∞ + − Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: ⎩ ⎨ ⎧ −∞ → ⇒ − → +∞ → ⇒ +∞ → y 1 x y x ) x 1 ( log y 5 + = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −∞ → ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ − = − + = − → +∞ → ⇒ = ⇒ +∞ = ⇒ +∞ = ⇒ ∞ + = +∞ → ∞ − ∞ + y 5 5 0 5 ) 0 ( log y ) 1 1 ( log )] 1 ( 1 [ log y : 1 x Para y 5 5 5 ) ( log y ) 1 ( log y : x Para y y 5 5 5 y y 5 5 Se 0 < a < 1 ⇒ Função logarítmica decrescente Para x log ) x ( f a = Para x log ) x ( f a = Se a > 1 ⇒ Função logarítmica crescente 37
  38. 38. Gráfico de Uma Função Logarítmica Exemplo 2: Faça o gráfico da função x log 1 ) x ( f 3 + = Rearranjando a função: ) x 3 ( log ) x ( f x log 3 log x log 1 ) x ( f 3 3 3 3 = ⇒ + = + = Em 0 y = , o gráfico corta o eixo x no ponto ) 0 , 3 / 1 ( : 3 / 1 x x 3 1 x 3 3 ) x 3 ( log 0 ) x 3 ( log ) x ( f y 0 3 3 = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = Como 0 b > , tem-se: 0 x 0 x 3 > ⇒ > . Assim, o intervalo de valores que x pode assumir é [ , 0 ] ∞ + . Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: ⎩ ⎨ ⎧ −∞ → ⇒ → +∞ → ⇒ +∞ → y 0 x y x ) x 3 ( log y 3 = +∞ → ⇒ = ⇒ +∞ = ⇒ +∞ = +∞ × = = +∞ → +∞ y 3 3 3 ) ( log )] ( 3 [ log ) x 3 ( log y : x Para y y 3 3 3 −∞ → ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = × = → −∞ y 3 3 0 3 ) 0 ( log y ) 0 ( log ) 0 3 ( log y : 0 x Para y y 3 3 3 Exemplo 3: Faça o gráfico da função ) x 2 ( log ) x ( f 4 / 1 + = Em 0 y = , o gráfico corta o eixo x no ponto ) 0 , 1 (− 1 x x 2 1 x 2 ) 4 / 1 ( ) x 2 ( log 0 ) x 2 ( log ) x ( f y 0 4 / 1 4 / 1 − = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = = Como 0 b > , tem-se: 2 x 0 x 2 − > ⇒ > + . O intervalo de valores que x pode assumir é [ , 2 ] ∞ + − . Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: ⎩ ⎨ ⎧ +∞ → ⇒ − → −∞ → ⇒ +∞ → y 2 x y x ) x 2 ( log y 4 / 1 + = −∞ → ⇒ = ⇒ +∞ = ⇒ +∞ = ⇒ ∞ + = +∞ → +∞ − y 4 4 ) 4 / 1 ( ) ( log y ) 2 ( log y : x Para y y 4 / 1 4 / 1 +∞ → ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ − + = − → −∞ − − y 4 4 0 4 0 ) 4 / 1 ( ) 0 ( log y )] 2 ( 2 [( log y : 2 x Para y y y 4 / 1 4 / 1 38
  39. 39. Gráfico de Uma Função Logarítmica Exemplo 4: Faça o gráfico da função x log 1 ) x ( f 3 − = Rearranjando a função: x 3 log x log 3 log x log 1 ) x ( f 3 3 3 3 = − = − = ) x / 3 ( log x log 3 log x log 1 ) x ( f 3 3 3 3 = − = − = ) 3 / x ( log ) 1 ( ) 3 / x ( log ) x / 3 ( log ) x ( f 3 1 3 3 × − = = = − Fazendo uma mudança de base: 3 log ) 3 / x ( log ) 1 ( ) 3 / x ( log ) 1 ( ) x ( f 3 × − = × − = 1 3 log ) 3 / x ( log 3 log ) 1 ( ) 3 / x ( log 3 log ) 3 / x ( log ) 1 ( ) x ( f − = × − = × − = ) 3 / x ( log 3 log ) 3 / x ( log ) x ( f 1 3 1 − = = − ) 3 / x ( log ) x ( f 3 / 1 = Em 0 y = , o gráfico corta o eixo x no ponto ) 0 , 3 ( 3 x 3 / x 1 3 / x ) 3 / 1 ( ) 3 / x ( log 0 ) 3 / x ( log ) x ( f y 0 3 / 1 3 / 1 = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = Para 0 x 0 3 / x > ⇒ > . O intervalo de valores que x pode assumir é [ , 0 ] ∞ + . Analisando a tendência dos valores de y em relação à x tem-se que: ⎩ ⎨ ⎧ +∞ → ⇒ → −∞ → ⇒ +∞ → y 0 x y x ) 3 / x ( log y 3 / 1 = −∞ → ⇒ = ⇒ +∞ = ⇒ +∞ = ⇒ +∞ = +∞ → +∞ − y 3 3 ) 3 / 1 ( ) ( log y ) 3 / ( log y : x Para y y 3 / 1 3 / 1 +∞ → ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = → −∞ − − y 3 3 0 3 0 ) 3 / 1 ( ) 0 ( log y ) 3 / 0 ( log y : 0 x Para y y y 3 / 1 3 / 1 39
  40. 40. REVISÃO: FUNÇÕES E EQUAÇOES MODULARES Conceito O conceito de módulo pode ser associado à distância de um ponto na reta dos reais em relação à origem: Apesar do bloco “A” estar na posição -10 unidades e o bloco “B”, 10 unidades, ambos estão à mesma distância: 10 unidades. Módulo ou Valor Absoluto Definição: Módulo ou valor absoluto de um número real é o próprio número se este for positivo ou nulo, e seu oposto, caso seja negativo. Assim: ⎩ ⎨ ⎧ < − ≥ = 0 x se , x 0 x se , x | x | Exemplos: 5 | 5 | = 5 ) 5 ( | 5 | = − − = − 1 10 | 1 10 | − = − 4 6 ) 4 6 ( | 4 6 | + − = − − = − ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ⇒ < − + − = − − ≥ ⇒ ≥ − − = − 2 x 0 2 x se , 2 x ) 2 x ( 2 x 0 2 x se , 2 x | 2 x | ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < < ⇒ < + − − + − = + − − ≥ ≤ ⇒ ≥ + − + − = + − 3 x 1 0 3 x 4 x se , 3 x 4 x ) 3 x 4 x ( 3 x ou 1 x 0 3 x 4 x se , 3 x 4 x | 3 x 4 x | 2 2 2 2 2 2 Outros exemplos Somar -4 ⇔ subtrair 4 ⇒ 4 a ) 4 ( a − ⇔ − + -13ºC ⇔ 13ºC abaixo de zero Lembrar que: 0 | x | ≥ 2 2 x | x | = | x | x 2 = Se 0 a ≥ e a | x | = , então a x − = ou a x = 40
  41. 41. Gráfico de Uma Função Modular Exemplo 1: | x | ) x ( f = Exemplo 2: | 2 x | ) x ( f + = x ) x ( f y = ) y , x ( Par -3 3 (-3, 3) -2 2 (-2, 2) -1 1 (-1, 1) 0 0 (0, 0) 1 1 (1, 1) 2 2 (2, 2) 3 3 (3, 3) | x | ) x ( f = 3 | 3 | ) 3 ( f = − = − 2 | 2 | ) 2 ( f = − = − 1 | 1 | ) 1 ( f = − = − 0 | 0 | ) 0 ( f = = 1 | 1 | ) 1 ( f = = 2 | 2 | ) 2 ( f = = 3 | 3 | ) 3 ( f = = x ) x ( f y = ) y , x ( Par -5 3 (-5, 3) -4 2 (-4, 2) -3 1 (-3, 1) -2 0 (-2, 0) -1 1 (-1, 1) 0 2 (0, 2) 1 3 (1, 3) | 2 x | ) x ( f + = 3 | 3 | | 2 5 | ) 5 ( f = − = + − = − 2 | 2 | | 2 4 | ) 4 ( f = − = + − = − 1 | 1 | | 2 3 | ) 3 ( f = − = + − = − 0 | 0 | | 2 2 | ) 2 ( f = = + − = − 1 | 1 | | 2 1 | ) 1 ( f = = + − = − 2 | 2 | | 2 0 | ) 0 ( f = = + = 3 | 3 | | 2 1 | ) 1 ( f = = + = Função Modular Definição: É a função real | x | ) x ( f = onde ⎩ ⎨ ⎧ < − ≥ = 0 x se , x 0 x se , x ) x ( f Exemplos: | x | ) x ( f = 2 | x | ) x ( f + = | 1 x | ) x ( f 2 − = 10 | x 2 | ) x ( f + − = Gráfico de Uma Função Modular Se a função modular for do tipo f(x) = | g(x) | é possível usar o seguinte procedimento: 1º - Identificar g(x) e fazer seu gráfico 2º - Girar a parte negativa do gráfico de g(x) em 180 graus em torno do eixo x 41
  42. 42. Gráfico de Uma Função Modular do Tipo f(x) = | g(x) | Exemplo 1: | 2 x 2 | ) x ( f − = 2 x 2 ) x ( g | ) x ( g | ) x ( f − = → = Exemplo 2: | 6 x 5 x | ) x ( f 2 + − = 6 x 5 x ) x ( g | ) x ( g | ) x ( f 2 + − = → = Exemplo 3: | 2 4 | ) x ( f x 1− + − = x 1 2 4 ) x ( g | ) x ( g | ) x ( f − + − = → = Gráfico de 2 x 2 ) x ( g − = Gráfico de | 2 x 2 | | ) x ( g | ) x ( f − = = Gráfico de 6 x 5 x ) x ( g 2 + − = Gráfico de | 6 x 5 x | | ) x ( g | ) x ( f 2 + − = = Gráfico de x 1 2 4 ) x ( g − + − = Gráfico de | 2 4 | | ) x ( g | ) x ( f x 1− + − = = 42
  43. 43. Gráfico de Uma Função Modular Outros tipos de funções modulares e suas representações gráficas: Exemplo 1: | x | x 2 ) x ( f = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = ⇒ − = ⇒ < = = ⇒ = ⇒ ≥ = = 2 2 x 2 ) x ( x 2 ) x ( f x | x | 0 x Para x 2 ) x ( x 2 ) x ( f x | x | 0 x Para | x | x 2 ) x ( f Exemplo 2: | 1 x | | 1 x | ) x ( f − + + = 3 2 1 3 2 1 2 1 ) x ( f ) x ( f | 1 x | | 1 x | ) x ( f − + + = 1 x raiz | 1 x | ) x ( f 1 − = ⇒ ⇒ + = 1 x raiz | 1 x | ) x ( f 2 = ⇒ ⇒ − = assim: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < < − − ≤ − = − + + = 1 x para , x 2 1 x 1 para , 2 1 x para , x 2 | 1 x | | 1 x | ) x ( f 43
  44. 44. Equações Modulares Definição: São equações que envolvem funções modulares. Exemplo 1: 1 | 1 x 2 | = + É necessário analisar as duas condições. Resolvendo: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⇒ = − − ⇒ < + = ⇒ = + ⇒ ≥ + 1 x 1 1 x 2 0 1 x 2 Para 0 x 1 1 x 2 0 1 x 2 Para A solução da equação } 0 , 1 { S − = Exemplo 2: | 5 x | | 3 x 3 | − = − É necessário analisar as duas condições escolhendo apenas uma das funções modulares para inverter o sinal. Resolvendo: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⇒ − = + − ⇒ < − − = ⇒ − = − ⇒ ≥ − 2 x 5 x 3 x 3 0 3 x 3 Para 1 x 5 x 3 x 3 0 3 x 3 Para A solução da equação } 2 , 1 { S − = Exemplo 3: 4 x | 1 x 2 | − = − É necessário garantir a existência do módulo, pois 0 | x | ≥ , assim: 4 x 0 4 x ≥ ⇒ ≥ − Resolvendo: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⇒ − = + − ⇒ < − − = ⇒ − = − ⇒ ≥ − 3 / 5 x 4 x 1 x 2 0 1 x 2 Para 3 x 4 x 1 x 2 0 1 x 2 Para A solução da equação = S ∅ Testes Para 0 x = : 1 | 1 | 1 | 1 0 2 | 1 | 1 x 2 | = ⇒ = + × ⇒ = + Para 1 x − = : 1 | 1 | 1 | 1 2 | 1 | 1 ) 1 ( 2 | 1 | 1 x 2 | = − ⇒ = + − = + − × ⇒ = + Testes Para 1 x − = : | 6 | | 6 | | 5 1 | | 3 3 | | 5 ) 1 ( | | 3 ) 1 ( 3 | | 5 x | | 3 x 3 | − = − ⇒ − − = − − − − = − − × ⇒ − = − Para 2 x = : | 3 | | 3 | | 3 | | 3 6 | | 5 2 | | 3 2 3 | | 5 x | | 3 x 3 | − = ⇒ − = − − = − × ⇒ − = − Testes Para 3 x − = : 0 | x | pois , serve não 7 | 7 | 7 | 1 6 | 4 3 | 1 ) 3 ( 2 | 4 x | 1 x 2 | ≥ ⇒ − = − − = − − − − = − − × ⇒ − = − Para 3 / 5 x = : 0 | x | pois , serve não 3 / 7 | 3 / 7 | 3 / 7 | 1 3 / 10 | 4 3 / 5 | 1 ) 3 / 5 ( 2 | 4 x | 1 x 2 | ≥ ⇒ − = − = − − = − × ⇒ − = − 44
  45. 45. Equações Modulares Exemplo 4: x 3 | 4 x | 2 = − É necessário garantir a existência do módulo: 0 x 0 x 3 ≥ ⇒ ≥ Resolvendo: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ = − = ⇒ = + − − ⇒ = + − ⇒ < − ⎩ ⎨ ⎧ = − = ⇒ = − − ⇒ = − ⇒ ≥ − 1 x 4 x raízes 0 4 x 3 x x 3 4 x 0 4 x Para 4 x 1 x raízes 0 4 x 3 x x 3 4 x 0 4 x Para 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 A solução da equação } 4 , 1 { S = Exemplo 5: 0 2 | x | | x | 2 = − + Fazer a | x | = e substituir na equação modular: ⎩ ⎨ ⎧ = − = ⇒ = − + ⇒ = − + 1 x 2 x raízes com grau º 2 do equação 0 2 a a 0 2 | x | | x | 2 1 2 2 Substituindo novamente: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − = = − = = ≥ − = ⇒ = 1 | 1 | pois , 1 x 1 | 1 | pois , 1 x 1 | x | 0 | x | pois , serve não 2 | x | a | x | A solução da equação } 1 , 1 { S − = Testes Para 4 x − = : 0 | x | pois , serve não 12 | 12 | 12 | 4 16 | ) 4 ( 3 | 4 ) 4 ( | x 3 | 4 x | 2 2 ≥ ⇒ − = ⇒ − = − ⇒ − × = − − ⇒ = − Para 1 x − = : 0 | x | pois , serve não 3 | 3 | 3 | 4 1 | ) 1 ( 3 | 4 ) 1 ( | x 3 | 4 x | 2 2 ≥ ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ − × = − − ⇒ = − Para 1 x = : 0 | x | pois , serve 3 | 3 | 3 | 4 1 | 1 3 | 4 ) 1 ( | x 3 | 4 x | 2 2 ≥ ⇒ = − ⇒ = − ⇒ × = − ⇒ = − Para 4 x = : 0 | x | pois , serve 12 | 12 | 12 | 4 16 | 4 3 | 4 ) 4 ( | x 3 | 4 x | 2 2 ≥ ⇒ = ⇒ = − ⇒ × = − ⇒ = − 45
  46. 46. Equações Modulares Exemplo 6: 10 | 1 x | | 3 x | = + + − ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⇒ ⇒ + = = ⇒ ⇒ − = ⇒ = + + − 1 x raiz | 1 x | ) x ( f 3 x raiz | 3 x | ) x ( f 10 | 1 x | | 3 x | 2 1 ) x ( f ) x ( f 2 1 3 2 1 3 2 1 assim, para 10 | 1 x | | 3 x | = + + − a solução pode ser: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⇒ = − ⇒ ≠ − = ⇒ = + − 6 x 10 2 x 2 : Caso º 3 solução tem Não 10 4 : Caso º 2 4 x 10 2 x 2 : Caso º 1 A solução da equação } 6 , 4 { S − = Exemplo 7: 2 | 1 x | | 3 x | − = + − − ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⇒ ⇒ + = = ⇒ ⇒ − = ⇒ − = + − − 1 x raiz | 1 x | ) x ( f 3 x raiz | 3 x | ) x ( f 2 | 1 x | | 3 x | 2 1 ) x ( f ) x ( f 2 1 3 2 1 3 2 1 assim, para 2 | 1 x | | 3 x | − = + − − a solução pode ser: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⇒ − ≠ − = ⇒ − = + − ⇒ − ≠ solução tem Não 2 4 : Caso º 3 2 x 2 2 x 2 : Caso º 2 solução tem Não 2 2 : Caso º 1 A solução da equação } 2 { S = Testes Para 4 x − = : Para 6 x = : 10 3 7 10 | 3 | | 7 | 10 | 1 4 | | 3 4 | 10 | 1 x | | 3 x | = + = − + − = + − + − − = + + − 10 7 3 10 | 7 | | 3 | 10 | 1 6 | | 3 6 | 10 | 1 x | | 3 x | = + = + = + + − = + + − Teste Para 2 x = : 2 3 1 2 | 3 | | 1 | 2 | 1 2 | | 3 2 | 2 | 1 x | | 3 x | − = − − = − − = + − − − = + − − 46
  47. 47. REVISÃO: INEQUAÇÕES Função de Primeiro Grau Definição: Uma inequação se caracteriza pela presença dos seguintes sinais de desigualdade: Exemplos: 0 1 x 3 x 1 x 4 ) 1 x ( 2 x 10 4 5 x 0 1 x 2 ≥ − + − < − + + < − ≤ + 0 3 1 x 2 x 3 0 1 x 2 x 0 1 x 5 x 6 0 6 x 8 x 2 2 2 2 2 ≥ + + < − − ≤ + − > + − Inequações Produto e Quociente Uma inequação do tipo produto ou quociente é resolvida através do estudo dos sinais das funções que fazem parte da inequação. Inicialmente, são determinados os sinais de cada função, separadamente, na reta dos reais. Efetua-se o produto desses sinais e assim, determinam-se os valores de x que satisfazem a inequação. ≤ ≥ < > ou , , Inequações do 1º Grau Produto 0 ) x 3 2 ( ) 4 x 2 ( < − − Quociente 0 x 2 5 x ≥ − − Inequações do 2º Grau 47
  48. 48. Inequações Produto e Quociente Exemplo 1: Resolva a inequação 0 ) 8 x 2 ( ) 6 x 3 ( < − + − Primeiramente, estudam-se os sinais de cada função 0 ) 8 x 2 ( ) 6 x 3 ( 2 1 ) x ( f ) x ( f < − + − 4 3 4 2 1 4 3 4 2 1 separadamente: Sinal de 1 ) x ( f Sinal de 2 ) x ( f 2 x 0 6 x 3 6 x 3 ) x ( f 1 = = + − + − = 4 x 0 8 x 2 8 x 2 ) x ( f 2 = = − − = Na reta dos reais: Exemplo 2: Resolva a inequação 0 x 1 3 x ≥ − + Estudando os sinais de } { 0 x 1 3 x 2 1 ) x ( f ) x ( f ≥ − + tem-se: Sinal de 1 ) x ( f Sinal de 2 ) x ( f 3 x 0 3 x 3 x ) x ( f 1 − = = + + = 1 x 0 x 1 x 1 ) x ( f 2 = = − − = Na reta dos reais: Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo com que o produto ) 8 x 2 ( ) 6 x 3 ( − + − seja menor que zero, são: } 4 x ou 2 x / IR x { S > < ∈ = Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo com que o quociente de x 1 3 x − + seja maior ou igual à zero, são: } 1 x 3 / IR x { S < ≤ − ∈ = . O valor 1 foi excluído da solução, pois torna o denominador igual à zero: 3 3 1 3 Muito cuidado com inequações do tipo quociente! Nunca cancele o denominador se nele aparecer uma incógnita. Se na inequação aparecer ≥ ou ≤ , lembrar que a raiz da função no denominador não faz parte da solução, pois não existe divisão por zero! 48
  49. 49. Inequações Produto e Quociente Exemplo 3: Resolva a inequação 0 4 x 3 < − Na inequação, o numerador é positivo. Para que o quociente seja negativo é necessário que o denominador seja negativo 0 ) ( ) ( ) ( < − = − + ⇒ . Assim, determinam-se os valores de x que tornam o denominado negativo: Resolvendo a inequação 0 4 x < − : 4 x 0 4 x < < − Exemplo 4: Resolva a inequação 1 2 x 1 x 2 − ≤ + − Exemplo 5: Resolva a inequação 0 ) 5 x ( 4 ≥ + Para qualquer valor real de x a função 4 ) 5 x ( ) x ( f + = é positiva. Isso ocorre porque independente do valor de ) 5 x ( + , essa soma tem expoente par, fazendo com que ) x ( f seja sempre positiva ou igual a zero. Assim: Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo com que o quociente 4 x 3 − seja menor que zero, são: } 4 x / IR x { S < ∈ = Sinal de 1 ) x ( f Sinal de 2 ) x ( f 3 1 x 0 1 x 3 1 x 3 ) x ( f 1 − = = + + = 2 x 0 2 x 2 x ) x ( f 2 − = = + + = Na reta dos reais: { 0 2 x 1 x 3 0 2 x ) 2 x ( 1 x 2 0 1 2 x 1 x 2 1 2 x 1 x 2 2 ) x ( f 1 ) x ( f ≤ + + ≤ + + + − ≤ + + − − ≤ + − 8 7 6 Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo com que o quociente de 2 x 1 x 2 + − seja menor ou igual à -1, são: { } 3 1 x 2 / IR x S − ≤ < − ∈ = . O valor -2 foi excluído da solução, pois torna o denominador nulo. Os valores de x que satisfazem a inequação 0 ) 5 x ( 4 ≥ + , fazendo com que seu resultado seja maior ou igual a zero, são os reais: } IR { S = 49
  50. 50. Inequações Produto e Quociente e Sistemas de Inequações Exemplo 6: Resolva a inequação 0 ) 5 x ( 3 < + Para que a função 3 ) 5 x ( ) x ( f + = seja negativa, é necessário que a valor de ) 5 x ( + seja negativo, pois essa soma tem expoente ímpar. Bases negativas de expoente ímpar resultam em valores negativos. Assim: 5 x 0 5 x − < < + Exemplo 7: Resolva a inequação 13 7 x 2 1 ≤ + < − Para se resolver inequações do primeiro grau do tipo simultânea (com duas desigualdades) deve-se isolar x na desigualdade: 3 x 4 2 6 x 2 8 6 x 2 8 7 13 x 2 7 1 13 7 x 2 1 ≤ < − ≤ < − ≤ < − − ≤ < − − ≤ + < − Exemplo 8: Resolva a inequação 5 3 x 1 ≤ + − < Isolando x na desigualdade: 2 x 2 3 5 x 3 1 5 3 x 1 ≤ − < − − ≤ − < − ≤ + − < Exemplo 9: Resolva o sistema ⎩ ⎨ ⎧ + ≤ − + > + 5 x 1 x 2 7 x 10 x 2 Cada inequação é resolvida separadamente: 3 x 10 7 x x 2 7 x 10 x 2 ) x ( f 1 − > − > − + > + = 6 x 1 5 x x 2 5 x 1 x 2 ) x ( f 2 ≤ + ≤ − + ≤ − = Os valores de x que satisfazem a inequação 0 ) 5 x ( 3 ≥ + , fazendo com que seu resultado seja menor que zero, são: } 5 x / IR x { S − < ∈ = . Os valores de x que satisfazem a inequação simultânea, fazendo com que a substituição de “x” em 7 x 2 + resulte em um valor pertencente ao intervalo ] ] 13 , 1 − , são: } 3 x 4 / IR x { S ≤ < − ∈ = . O sentido da desigualdade é invertido quando a inequação é multiplicada por (-1). Os valores de x que satisfazem a inequação simultânea 5 3 x 1 ≤ + − < , fazendo com que seu resultado pertença ao intervalo ] ] 5 , 1 , são: } 2 x 2 / IR x { S < ≤ − ∈ = . Multiplicando por 1) (− : 2 x 2 ou 2 x 2 < ≤ − − ≥ > + Os valores de x devem satisfazer as duas inequações do sistema. Para tal, é feita uma intersecção das soluções encontradas para cada inequação. Os valores de x que satisfazem o sistema de inequações, fazendo com que 7 x 10 x 2 + > + e 5 x 1 x 2 + ≤ − , são: } 6 x 3 / IR x { S ≤ < − ∈ = . 50
  51. 51. Inequações do Segundo Grau Definição: Qualquer inequação do tipo 0 c bx ax2 > + + , 0 c bx ax2 < + + , 0 c bx ax2 ≥ + + ou 0 c bx ax2 ≤ + + , onde a, b e c são constantes com 0 a ≠ , é chamada de inequação do segundo grau. Exemplos: 0 25 x 10 x 0 10 x 3 x 2 2 ≥ + − ≤ + + − 0 1 x 2 x 0 1 x 2 x 2 2 > + + < − − Uma inequação do 2º Grau é resolvida através do estudo do sinal da função. Exemplo 1: Resolva a inequação 0 2 x x2 < − − Gráfico: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⇒ > = − = ⇒ − = = = − = − = − = = cima para e concavidad com Parábola 0 a 2 x e 1 x 2 a c Produto e 1 a b Soma 2 c e 1 b 1, a 2 1 Exemplo 2: Resolva a inequação 0 10 x 3 x2 ≥ + + − Gráfico: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⇒ < = − = ⇒ − = = = − = = = − = baixo para e concavidad com Parábola 0 a 5 x e 2 x 0 1 a c Produto e 3 a b Soma 10 c e 3 b 1, a 2 1 Exemplo 3: Resolva a inequação 0 6 x 5 x2 ≥ + − Gráfico: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⇒ > = = ⇒ = = = − = = − = = cima para e concavidad com Parábola 0 a 3 x e 2 x 6 a c Produto e 5 a b Soma 6 c e 5 b 1, a 2 1 A solução de 2 x x ) x ( f 2 − − = deve ser menor que zero: Os valores de x que satisfazem a inequação 0 2 x x2 < − − , fazendo com que seu resultado seja menor que zero, são: } 2 x 1 / IR x { S < < − ∈ = A solução de 10 x 3 x ) x ( f 2 + + − = deve ser menor ou igual à zero: Os valores de x que satisfazem a inequação 0 10 x 3 x2 ≤ + + − , fazendo com que seu resultado seja menor ou igual à zero, são: } 5 x 2 / IR x { S ≤ ≤ − ∈ = A solução de 6 x 5 x ) x ( f 2 + − = deve ser maior ou igual à zero: Os valores de x que satisfazem a inequação 0 6 x 5 x2 ≥ + − , fazendo com que seu resultado seja maior ou igual à zero, são: } 3 x ou 2 x / IR x { S ≥ ≤ ∈ = 51
  52. 52. Inequações do Segundo Grau Exemplo 4: Resolva a inequação 0 4 x 4 x2 ≤ + − Gráfico: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⇒ > = = ⇒ = = = − = = − = = cima para e concavidad com Parábola 0 a 2 x e 2 x 4 a c Produto e 4 a b Soma 4 c e 4 b 1, a 2 1 Exemplo 5: Resolva a inequação 0 5 x 2 x2 ≥ − + − Gráfico: ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⇒ < − − = + − = ⇒ ± − = ± − = − ± − = − ± − = Δ ± − = ⇒ − = − = Δ − = = − = baixo para e concavidad com Parábola 0 a i 2 1 x e i 2 1 x i 2 1 x 2 i 4 2 2 1 16 2 1 . 2 16 2 x a 2 b x 16 ac 4 b 5 c e 2 b 1, a 2 1 2 Exemplo 6: Resolva a inequação 0 2 x 4 x 3 2 ≥ + − Gráfico: ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⇒ > − = + = ⇒ ± = ± = − ± = − ± − − = Δ ± − = ⇒ − = − = Δ = − = = cima para e concavidad com Parábola 0 a 6 i 2 2 x e 3 i 2 2 x 3 i 2 2 x 6 i 2 2 4 6 1 8 4 3 . 2 8 ) 4 ( x a 2 b x 8 ac 4 b 2 c e 4 b , 3 a 2 1 2 A solução de 4 x 4 x ) x ( f 2 + − = deve ser menor ou igual à zero: Os valor de x que satisfaz a inequação 0 4 x 4 x2 ≤ + − , fazendo com que seu resultado seja menor ou igual à zero, é: } 2 { S = A solução de 5 x 2 x ) x ( f 2 − + − = deve ser maior ou igual à zero: Não existem valores de x que satisfazem a inequação 0 5 x 2 x2 ≥ − + − . Isso ocorre porque a parábola tem concavidade voltada para baixo e a função 5 x 2 x ) x ( f 2 − + − = . Paralelo a isso, a função tem raízes imaginárias e, portanto, seu gráfico não corta o eixo real x. Sendo assim, a solução é: ou } { S = = S ∅. A solução de 2 x 4 x 3 ) x ( f 2 + − = deve ser maior ou igual à zero: Os valores de x que satisfazem a inequação 0 2 x 4 x 3 2 ≥ + − , fazendo com que seu resultado seja maior ou igual a zero, são os reais: } IR { S = Lembrar que: 1 i − = 52
  53. 53. Inequações do Segundo Grau Exemplo 7: Resolva a inequação 14 x 5 x 0 2 ≤ − < Primeiramente, resolve-se o sistema: ⎩ ⎨ ⎧ − − = − = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ − − > − ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ − > − 14 x 5 x ) x ( f x 5 x ) x ( f 0 14 x 5 x 0 x 5 x 14 x 5 x 0 x 5 x 2 2 2 1 2 2 2 2 Solução de 1 ) x ( f : x 5 x ) x ( f 2 1 − = Gráfico: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⇒ > = = ⇒ = = = − = = − = = cima para e concavidad com Parábola 0 a 5 x e 0 x 0 a c Produto e 5 a b Soma 0 c e 5 b 1, a 2 1 Solução de 2 ) x ( f : 14 x 5 x ) x ( f 2 2 − − = Gráfico: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⇒ > = − = ⇒ − = = − = − = − = = cima para e concavidad com Parábola 0 a 7 x e 2 x 14 Produto e 5 a b Soma 14 c e 5 b 1, a 2 1 Na reta dos reais e fazendo a intersecção: Exemplo 8: Resolva a inequação ( )( ) 0 6 x 7 x 7 x 2 x 2 2 ≤ + − + + Estudam-se os sinais de cada função ( ) ( ) 0 6 x 7 x 7 x 2 x 2 2 1 2 ) x ( f ) x ( f ≤ + − + + 4 43 4 42 1 4 43 4 42 1 separadamente: Solução de 1 ) x ( f : 7 x 2 x ) x ( f 2 1 + + = Gráfico: ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⇒ > − = + = ⇒ ± = ± = × ± − = − ± − = − ± − = Δ ± − = ⇒ − = − = Δ = = = cima para e concavidad com Parábola 0 a i 6 1 x e i 6 1 x i 6 1 x 2 i 6 2 2 2 i 6 4 2 x 2 1 24 2 1 . 2 24 2 x a 2 b x 24 ac 4 b 7 c e 2 b , 1 a 2 1 2 A solução de x 5 x ) x ( f 2 1 − = deve ser maior que zero: A solução de 14 x 5 x ) x ( f 2 2 − − = deve ser maior que zero: Os valores de x que satisfazem a inequação 14 x 5 x 0 2 ≤ − < , fazendo com que o resultado da função x 5 x ) x ( f 2 − = pertença ao intervalo ] ] 14 , 0 , são: } 7 x 5 ou 0 x 2 / IR x { S ≤ < < ≤ − ∈ = A solução de 7 x 2 x ) x ( f 2 1 + + = deve ser menor ou igual à zero: 53
  54. 54. Inequações do Segundo Grau Solução de 2 ) x ( f : 6 x 7 x ) x ( f 2 2 + − = Gráfico: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⇒ > = = ⇒ = = = − = = − = = cima para e concavidad com Parábola 0 a 6 x e 1 x 6 a c Produto e 7 a b Soma 6 c e 7 b 1, a 2 1 Na reta dos reais e fazendo a intersecção: Exemplo 9: Resolva a inequação 0 3 x 2 x x x 2 2 ≥ − + − Estudando os sinais de cada função 0 3 x 2 x x x 2 ) x ( f 1 ) x ( f 2 2 ≥ − + − 4 3 4 2 1 8 7 6 separadamente: Solução de 1 ) x ( f : 2 1 x x ) x ( f − = Gráfico: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⇒ < = = ⇒ = = = − = = = − = aixo b para e concavidad com Parábola 0 a 1 x e 0 x 0 a c Produto e 1 a b Soma 0 c e 1 b 1, a 2 1 Solução de 2 ) x ( f : 3 x 2 x ) x ( f 2 2 − − = Gráfico: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⇒ > = − = ⇒ − = = = − = − = − = = cima para e concavidad com Parábola 0 a 3 x e 1 x 3 a c Produto e 2 a b Soma 3 c e 2 b 1, a 2 1 Na reta dos reais e fazendo a intersecção: A solução de 6 x 7 x ) x ( f 2 2 + − = deve ser menor ou igual à zero: Os valores de x que satisfazem a inequação do segundo grau, fazendo com que o produto ( )( ) 0 6 x 7 x 7 x 2 x 2 2 ≤ + − + + seja menor ou igual à zero, são: } 6 x 1 / IR x { S ≤ ≤ ∈ = A solução de 2 1 x x ) x ( f − = deve ser maior ou igual à zero: A solução de 3 x 2 x ) x ( f 2 2 − + = deve ser maior ou igual à zero: Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo com que o quociente 3 x 2 x x x 2 2 − + − seja maior ou igual à zero, são: } 0 x 1 ou 0 x 1 / IR x { S < ≤ ≤ < − ∈ = . Os valores -1 e 3 foram excluídos da solução, pois tornam o denominador nulo. 54
  55. 55. Inequações do Segundo Grau Exemplo 10: Resolva a inequação 0 45 x 14 x 2 2 > + − − Como o numerador é negativo e o quociente deve ser positivo, é necessário que o denominador também seja negativo 0 ) ( ) ( ) ( > + = − − ⇒ . Assim: Resolvendo a inequação 0 45 x 14 x2 < + − Gráfico: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⇒ > = = ⇒ = = = − = = − = = cima para e concavidad com Parábola 0 a 9 x e 5 x 45 a c Produto e 14 a b Soma 45 c e 14 b 1, a 2 1 Exemplo 11: Resolva o sistema ⎩ ⎨ ⎧ < − < − 0 x 3 x 0 4 x 2 2 Cada inequação deve ser resolvida separadamente: 4 x ) x ( f 2 1 − = Gráfico: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⇒ > = − = ⇒ − = = = − = − = = = cima para e concavidad com Parábola 0 a 2 x e 2 x 4 a c Produto e 0 a b Soma 4 c e 0 b 1, a 2 1 Como 0 b = , outra forma de se determinar as raízes é: 2 x 4 x 0 4 x2 ± = ⇒ = ⇒ = − x 3 x ) x ( f 2 2 − = Gráfico: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⇒ > = = ⇒ = = = − = = − = = cima para e concavidad com Parábola 0 a 3 x e 0 x 0 a c Produto e 3 a b Soma 0 c e 3 b 1, a 2 1 Como 0 c = , outra forma de se determinar as raízes é: 3 x e 0 x 0 ) 3 x ( x 0 x 3 x 2 1 2 = = ⇒ = − ⇒ = − A solução de 45 x 14 x ) x ( f 2 + − = deve ser menor que zero: Os valores de x que satisfazem a inequação, fazendo com que o quociente 0 45 x 14 x 2 2 > + − − seja maior que zero, são: } 9 x 5 / IR x { S ≤ < ∈ = . A solução de 4 x ) x ( f 2 1 − = deve ser menor que zero: A solução de x 3 x ) x ( f 2 2 − = deve ser menor que zero: Para determinar os valores de x que satisfazem as duas inequações é feita uma intersecção. Os valores de x que satisfazem o sistema de inequações, fazendo com que 0 4 x2 < − e 0 x 3 x2 < − , são: } 2 x 0 / IR x { S < < ∈ = . 55
  56. 56. Inequações Exponenciais Definição: Qualquer inequação que apresente funções exponenciais. Exemplos: 0 6 7 5 79 21 3 3 3 15 1 5 1 3 3 x x x 1 x 2 x x 2 3 1 x 3 > + × − ≥ + − < ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ + + + Exemplo 1: 8 2 2 x < − Inicialmente é necessário deixar na mesma base os dois lados da inequação e identificar a função exponencial. { 3 ) x ( f 2 x 3 2 x 2 2 2 2 < ⇒ < − − Como a função 2 x 2 ) x ( f − = é uma função crescente, o sinal da desigualdade será mantido. { 0 5 x 3 2 x ) x ( g < − ⇒ < − A inequação resultante é uma inequação do primeiro grau crescente. O conjunto solução deve apresentar os valores de x que substituídos em ) x ( g resulte em um valor negativo, assim: { 5 x raiz com grau 1º do Função 5 x g(x) = ⇒ − = Solução: } 5 x / IR x { < ∈ Se a Inequação Exponencial for: Crescente ⇒ Manter o sinal da desigualdade Decrescente ⇒ Inverter o sinal da desigualdade Testes Um valor para 5 x < pode ser 3 x = , substituindo na inequação: solução à pertence 3 que indicando , Verdadeiro 8 2 8 2 8 2 8 2 1 2 3 2 x ⇒ < < ⇒ < ⇒ < − − Um valor para 5 x > pode ser 6 x = , substituindo na inequação: solução à pertence não 6 que indicando , Falso 8 16 8 2 8 2 8 2 4 2 6 2 x ⇒ < < ⇒ < ⇒ < − − 56
  57. 57. Inequações Exponenciais Exemplo 2: 008 , 0 04 , 0 2 1 x 4 < − Inicialmente é necessário deixar na mesma base os dois lados da inequação e identificar a função exponencial. 3 ) x ( f 1 x 4 3 1 x 4 3 2 1 x 4 2 2 1 x 4 2 1 x 4 10 2 10 2 10 2 10 2 10 2 10 2 1000 8 100 4 008 , 0 04 , 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ < − − − − − 4 3 4 2 1 Como a função 1 x 4 10 2 ) x ( f − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = é uma função decrescente, o sinal da desigualdade será invertido. 0 4 x 4 3 1 x 4 ) x ( g > − ⇒ > − 3 2 1 A inequação resultante é uma inequação do primeiro grau crescente. O conjunto solução deve apresentar os valores de x que substituídos em ) x ( g resulte em um valor positivo, assim: { 1 x raiz com grau 1º do Função 4 4x g(x) = ⇒ − = Solução: } 1 x / IR x { > ∈ Testes Um valor para 1 x > pode ser 2 x = , substituindo na inequação: solução à pertence 2 que indicando , Verdadeiro 008 , 0 0000128 , 0 008 , 0 10 2 008 , 0 10 2 008 , 0 04 , 0 7 2 7 2 2 1 2 4 ⇒ < < ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ < ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ < − × Um valor para 1 x < pode ser 0 x = , substituindo na inequação: solução à pertence não 0 que indicando , Falso 008 , 0 5 008 , 0 10 2 008 , 0 10 2 008 , 0 04 , 0 1 2 1 2 2 1 0 4 ⇒ < < ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ < ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ < − − − × 57
  58. 58. Inequações Exponenciais Outros exemplos: Exemplo 3: 1 9 2 x x 2 ≥ − [ ] 0 x x 3 3 3 ) 3 ( 1 9 2 0 x x 0 2 x x 2 2 x x 2 2 2 ≥ − ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ − − − ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇒ − = 1 x 0 x raízes com grau º 2 do Função x x ) x ( g 2 1 2 Solução: } 1 x ou 0 x / IR x { ≥ ≤ ∈ Exemplo 4: x 4 x x 2 64 2 2 2 − − ⋅ > ⋅ 0 6 x 5 x x 4 6 x x 2 2 2 2 2 2 64 2 2 2 2 x 4 6 x x x 4 6 x x x 4 x x 2 2 2 > − + − ⇒ − > + − ⇒ > ⇒ ⋅ > ⇒ ⋅ > ⋅ − + − − + − − − ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇒ − + − = 3 x 2 x raízes com grau º 2 do função 6 x 5 x ) x ( g 2 1 2 Solução: } 3 x 2 / IR x { < < ∈ Exemplo 5: 90 3 3 x 2 x ≤ + + 0 2 x 2 x 3 3 3 10 10 3 3 10 ) 1 9 ( 3 3 10 3 9 3 9 10 3 3 3 90 3 3 2 x 2 x 2 x 2 x x x 2 x x 2 x ≤ − ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⋅ ≤ ⋅ ⇒ ⋅ ≤ + ⇒ ⋅ ≤ + ⋅ ⇒ ⋅ ≤ + ⋅ ⇒ ≤ + + { 2 x raiz com grau 1º do Função 2 x g(x) = ⇒ − = Solução: } 2 x / IR x { ≤ ∈ Exemplo 6: 4 x 2 x 4 27 8 2 3 + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 2 x 2 x 14 x 7 12 x 3 2 x 4 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 2 3 27 8 2 3 12 x 3 2 x 4 4 x 3 2 x 4 4 x 3 2 x 4 4 x 2 x 4 > + ⇒ − > ⇒ − > ⇒ − − > + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ > ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + + − + + + + + { 2 x raiz com grau 1º do Função 2 x g(x) − = ⇒ + = Solução: } 2 x / IR x { − > ∈ 58
  59. 59. Inequações Logarítmicas Definição: Qualquer inequação que apresente funções logarítmicas. Exemplos: 1 ) 1 x ( log ) 1 x ( log 3 x log ) x 3 ( log ) 1 x ( log 5 log x log 3 / 1 3 / 1 5 2 / 1 2 / 1 2 2 − > + + − − ≤ − ≥ + < Exemplo 1: 5 log x log 2 2 < Como a função x log ) x ( f 2 = é uma função crescente, o sinal da desigualdade será mantido. de desigualda da sinal o manter crescente Função 1 a 2 a ⇒ ⇒ > ⇒ = Assim, para satisfazer a inequação o valor de “x” deve ser menor que 5 ( 5 x < ). Por outro lado, o logaritmando “b” deve ser positivo ( b loga ) para que a função ) x ( f exista (condição de existência) { { ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⇒ > = ⇒ < − ⇒ < ⇒ < 0 x raiz com crescente grau 1º do Função 0 x e 5 x raiz com crescente grau 1º do Função 0 5 x 5 x 5 log x log 2 2 Como as duas condições devem ser satisfeitas ao mesmo tempo ( 0 x e 0 5 x > < − ), um sistema de inequações deve ser resolvido. O conjunto solução deve apresentar os valores de x que substituídos em ) x ( f resulte em um valor menor que 5 log2 . Assim: { { ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > < − 0 x 0 5 x ) x ( h ) x ( g Solução: } 5 x 0 / IR x { < < ∈ Se a Inequação Logarítmica for: Crescente ⇒ Manter o sinal da desigualdade (a > 1) Decrescente ⇒ Inverter o sinal da desigualdade (0 < a < 1) 59
  60. 60. Inequações Logarítmicas Exemplo 2: 3 log ) 1 x ( log 2 / 1 2 / 1 ≥ + Como a função ) 1 x ( log ) x ( f 2 + = é uma função decrescente, o sinal da desigualdade será invertido. de desigualda da sinal o nverter i crescente de Função 1 a 0 2 / 1 a ⇒ ⇒ < < ⇒ = Assim, para satisfazer a inequação o valor de “ ) 1 x ( + ” deve ser menor ou igual a 3 ( 5 1 x < + ) e o logaritmando “b” deve ser positivo para que a função ) x ( f exista. Assim: { { ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⇒ > + = ⇒ ≤ − ⇒ ≤ + ⇒ ≥ + 1 - x raiz com crescente grau 1º do Função 0 1 x e 2 x raiz com crescente grau 1º do Função 0 2 x 3 1 x 3 log 1) (x log 1/2 1/2 Um sistema de inequações deve ser resolvido, pois duas condições devem ser satisfeitas simultaneamente. O conjunto solução deve apresentar os valores de x que substituídos em ) x ( f resulte em um valor maior ou igual a 3 log 2 / 1 . { { ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > + ≤ − 0 1 x 0 2 x ) x ( h ) x ( g Solução: } 2 x 1 / IR x { ≤ < − ∈ Testes Um valor para 5 x 0 < < pode ser 1 x = , substituindo na inequação: solução à pertence 1 que indicando , Verdadeiro 322 , 2 0 322 , 2 2 log 0 2 log 5 log 2 log 5 log 1 log 5 log x log 1 0 2 2 2 2 2 2 ⇒ < < × ⇒ < ⇒ < ⇒ < 3 2 1 Um valor para 5 x > pode ser 16 x = , substituindo na inequação: solução à pertence não 16 que indicando , Falso 322 , 2 4 322 , 2 2 log 4 2 log 5 log 2 log 5 log 16 log 5 log x log 1 4 2 2 2 2 2 2 ⇒ < < × ⇒ < ⇒ < ⇒ < 3 2 1 60
  61. 61. Inequações Logarítmicas Outros exemplos: Exemplo 3: ) x 3 ( log ) 1 x ( log 3 / 1 3 / 1 − > + de desigualda da sinal o nverter i 1 a 0 2 / 1 a ⇒ < < ⇒ = Para satisfazer a inequação o valor de ) 1 x ( + deve ser menor que o valor de ( x 3 − ). Porém, para que as funções logarítmicas existam, é necessário que e o logaritmando “b” de ambas seja positivo. Se ) x 3 1 x ( − < + , fazendo ) 0 1 x ( > + garante um valor positivo para “b” nos lados da desigualdade. { { ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⇒ > + = ⇒ < − ⇒ − < + ⇒ − > + 1 x raiz com crescente grau 1º do Função 0 1 x e 1 x raiz com crescente grau 1º do Função 0 2 x 2 x 3 1 x ) x 3 ( log ) 1 x ( log 3 / 1 3 / 1 Resolvendo o sistema: { ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > − < − 0 x 3 0 2 x 2 ) x ( h ) x ( g 3 2 1 Solução: } 1 x 1 / IR x { < < − ∈ Testes Um valor para 2 x 1 ≤ < − pode ser 0 x = , substituindo na inequação: solução à pertence 0 que indicando , Verdadeiro 585 , 1 0 585 , 1 1 log ) 2 / 1 ( log 3 log 1 log 3 log ) 1 0 ( log 3 log ) 1 x ( log 0 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 ⇒ − ≥ − ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ + ⇒ ≥ + 3 2 1 Um valor para 2 x > pode ser 3 x = , substituindo na inequação: solução à pertence não 3 que indicando , Falso 585 , 1 2 585 , 1 ) 2 / 1 ( log ) 2 ( 585 , 1 ) 2 / 1 ( log 585 , 1 2 log ) 2 / 1 ( log 3 log 4 log 3 log ) 1 3 ( log 3 log ) 1 x ( log 1 2 2 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 ⇒ − ≥ − − ≥ × − ⇒ − ≥ − ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ + ⇒ ≥ + − 4 3 4 2 1 61
  62. 62. Inequações Logarítmicas Exemplo 4: 2 x log3 − ≤ de desigualda da sinal o manter 1 a 3 a ⇒ > ⇒ = Rearranjando 9 1 log x log 3 1 log x log 3 log x log 3 log ) 2 ( x log 2 x log 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 1 ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ × − ≤ ⇒ − ≤ − 3 2 1 O sistema de inequações resultante é: { { ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⇒ > = ⇒ ≤ − ⇒ ≤ ⇒ ≤ 0 x raiz com crescente grau 1º do Função 0 x e 1/9 x raiz com crescente grau 1º do Função 0 9 / 1 x 9 / 1 x 9 1 log x log 3 3 Resolvendo o sistema: { ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ − 0 x 0 9 / 1 x ) x ( h ) x ( g 3 2 1 Solução: } 9 / 1 x 0 / IR x { ≤ < ∈ Exemplo 5: 1 ) 1 x ( log ) 1 x ( log 3 / 1 3 / 1 − > + + − de desigualda da sinal o nverter i 1 a 0 2 / 1 a ⇒ < < ⇒ = Rearranjando 3 log ) 1 x ( ) 1 x ( log ) 3 / 1 ( log ) 1 x ( ) 1 x ( log ) 3 / 1 ( log ) 1 ( ) 1 x ( ) 1 x ( log 1 ) 1 x ( log ) 1 x ( log 3 / 1 3 / 1 3 / 1 3 / 1 3 / 1 3 / 1 3 / 1 3 / 1 1 1 > + − ⇒ > + − × − > + − ⇒ − > + + − − 4 3 4 2 1 O sistema de inequações resultante é: { { ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⇒ > + = ⇒ > − ⎩ ⎨ ⎧ = − = ⇒ < − ⇒ < + − ⇒ > + − 1 x raiz com crescente grau 1º do Função 0 1 x e 1 x raiz com crescente grau 1º do Função 0 1 x e 2 x 2 x raízes com grau º 2 do Função 0 4 x 3 ) 1 x ( ) 1 x ( 3 log ) 1 x ( ) 1 x ( log 2 1 2 3 / 1 3 / 1 62
  63. 63. Inequações Logarítmicas Resolvendo o sistema: { { ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > + > − < − 0 1 x 0 1 x 0 4 x ) x ( i ) x ( h ) x ( g 2 3 2 1 Solução: } 2 x 1 / IR x { < < ∈ Inequações Modulares Definição: São inequações que envolvem funções modulares. Exemplos: 3 | x | ≤ 2 | 1 x | < + 3 | 1 x | 2 ≥ − 4 | x | > Exemplo 1: 3 | x | ≤ Os valores de x que satisfaz a inequação são: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ − − ⇒ ≤ − ≤ ⇒ ≤ 0 3 x 3 x ou 3 x 3 | x | Solução: } 3 x 3 / IR x { ≤ ≤ − ∈ Exemplo 2: 4 | x | > Os valores de x que satisfaz a inequação são: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < ⇒ > − > ⇒ > 4 x 4 x ou 4 x 4 | x | Solução: } 4 x ou 4 x / IR x { > − < ∈ 63
  64. 64. Inequações Modulares Para 0 a > Outros exemplos: Exemplo 3: 3 | 1 x | 2 ≥ − ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⇒ − ≥ ⇒ ≥ − ⇒ ≥ + − ⎩ ⎨ ⎧ = − = ⇒ ≥ − ⇒ ≥ ⇒ ≥ − ⇒ ≥ − real solução tem Não 2 x 2 x 3 1 x 2 x 2 x raízes com grau º 2 do Função 0 4 x 4 x 3 1 x 3 | 1 x | 2 2 2 1 2 2 2 2 Solução: } 2 x ou 2 x / IR x { ≥ − ≤ ∈ Exemplo 4: 5 2 3 x ≤ − ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − ≥ ⇒ ≤ + − ⇒ ≤ + − ≤ ⇒ ≤ − ⇒ ≤ − ⇒ ≤ − 7 x 10 3 x 5 2 3 x 13 x 10 3 x 5 2 3 x 5 2 3 x Solução: } 13 x 7 / IR x { ≤ ≤ − ∈ Se a Inequação Modular for: | f(x) | < a ⇒ - a < f(x) <a | f(x) | > a ⇒ f(x) < - a ou f(x) > a Lembrar que: Só é possível multiplicar em cruz se no denominado não houver a variável “x”. 64

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