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Proposta de resolução do exame de Matemática do 9.º ano 2011

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SOCIEDADE PORTUGUESA DE MATEMÁTICA
 Proposta de resolução do Exame Nacional de Matemática
               do Ensino Básico – 3.º Ciclo
          Prova 23, 1.ª chamada – 22 de Junho de 2011


1. Número total de bolas: 331213=13
  Número de bolas que tem inscrito um número par superior a 3: 23=5

                 5
   Resposta:
                 13



                                                                    2
2. A probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser um rapaz é 3       . Então a

                                                                        1
  probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser uma rapariga é         .
                                                                        3

   1                              2                     1
     corresponde a 6 alunos. Logo         (o dobro de     ) corresponderá a 12 alunos.
   3                              3                     3

  Resposta: 12



      4×1,251,23
3. x=      5
                  =1,246

   Resposta: a média das alturas dos cinco irmãos é 1,246 metros.



4. Resposta: −2, −1, 0


5. a 6=a 4×a 2

                  4     2
   Resposta:     a ×a
6. Se o número é múltiplo de 3 e de 5, então o número pedido tem de ser múltiplo de 15 e
    menor do que 50. Assim as únicas possibilidades são: 15, 30 e 45.

    Destes números o único que dividido por 4 dá resto 1 é o 45.

    Resposta: A caixa de fósforos que a Catarina encontrou tinha 45 fósforos.



7.  x−12−x 2 =x 2−2 x1− x 2=−2 x1
     Resposta: −2 x1



8. Resposta: Gráfico A



9.1. A quantidade de gasóleo necessário para encher o depósito é 71−5=66
    Para determinar o tempo necessário para encher o depósito resolve-se a seguinte equação:

                                                66
                                  66=33t ⇔ t=      ⇔t =2
                                                33

    Resposta: 2 minutos



9.2. Representa a quantidade, em litros, de gasolina introduzida no depósito por minuto.
.



10. x  x−12 x=6−4 x 2 ⇔ x 2−x2 x=6−4 x 2 ⇔
          2        2                     2
      ⇔ x 4 x −x2 x−6=0 ⇔5 x x −6=0⇔

              −1± 12 −4×5×−6      −1± 121
      ⇔x=                       ⇔ x=
                      2×5              10

              −111      −1−11            6
      ⇔x=           ∨x =       ⇔ x=1∨ x=−
                10         10             5



      C. S = − {       6
                       5
                         ,1   }
11.


       {
            x y
              3
                 = 1 ⇔ x y= 3 ⇔
           2 x3 y = 8
                         {
                       ----------    {x= 3− y
                                  2 3− y 3 y=8
                                                  ⇔



       {------------------ ⇔ {------ ⇔ {---------- ⇔ {x=1
        6−2 y3 y=8           y=2
                                        x =3−2
                                                      y=2


       Resposta: 1, 2



12.1. O ponto O, centro da circunferência, está a igual distância dos extremos de [BC]
        Assim a opção correcta é: “O ponto O pertence à mediatriz do segmento [BC].”



12.2. O arco ABD tem amplitude 180º.
       A amplitude do arco CD é 80º, o dobro do ângulo inscrito CAD;

        O arco AC tem amplitude 180º−80º = 100º.

        Resposta: A amplitude em graus do arco AC é 100º.



12.3. Pelo Teorema de Pitágoras AD 2= AE 2ED 2
        Logo AD = 6,82 3,22 =  56,48 ≃7,52

        O perímetro da circunferência é:   ×AD ≃23,6

        Resposta: O perímetro da circunferência é 23,6 cm.



13. V cilindroV cone = V total   Logo

           1                                           34      17
      12×h ×12×h = 34 ⇔12 h4 h = 34 ⇔16 h = 34 ⇔ h =    ⇔h =
           3                                           16       8

      Resposta: A altura do cilindro é 2,125 m.



14.1. Resposta: “As rectas DP e BC são concorrentes.”
14.2.
                    DH
        tg 32º =´      ⇔ DH = 5×0,625⇔ DH = 3,125
                     5

                                                 5×3,125
        A área do triângulo rectângulo [DPH] é           ≃7,8
                                                   2

        Resposta: 7,8 cm2.



14.3. A[CDP ] = A[ BCD]
                                                   BC ×CD
                                                          ×DH
                     A[CDP ] × DH   A[ BCD] × DH      2         BC × CD × DH
        V [ HDCP ] =              =              =            =
                            3              3            3             6

        Logo   V [ ABCDEFGH ] = 6×10 =60

        Resposta: 60 cm3.
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Proposta de resolução do exame de Matemática do 9.º ano 2011

  • 1. SOCIEDADE PORTUGUESA DE MATEMÁTICA Proposta de resolução do Exame Nacional de Matemática do Ensino Básico – 3.º Ciclo Prova 23, 1.ª chamada – 22 de Junho de 2011 1. Número total de bolas: 331213=13 Número de bolas que tem inscrito um número par superior a 3: 23=5 5 Resposta: 13 2 2. A probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser um rapaz é 3 . Então a 1 probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser uma rapariga é . 3 1 2 1 corresponde a 6 alunos. Logo (o dobro de ) corresponderá a 12 alunos. 3 3 3 Resposta: 12 4×1,251,23 3. x= 5 =1,246 Resposta: a média das alturas dos cinco irmãos é 1,246 metros. 4. Resposta: −2, −1, 0 5. a 6=a 4×a 2 4 2 Resposta: a ×a
  • 2. 6. Se o número é múltiplo de 3 e de 5, então o número pedido tem de ser múltiplo de 15 e menor do que 50. Assim as únicas possibilidades são: 15, 30 e 45. Destes números o único que dividido por 4 dá resto 1 é o 45. Resposta: A caixa de fósforos que a Catarina encontrou tinha 45 fósforos. 7.  x−12−x 2 =x 2−2 x1− x 2=−2 x1 Resposta: −2 x1 8. Resposta: Gráfico A 9.1. A quantidade de gasóleo necessário para encher o depósito é 71−5=66 Para determinar o tempo necessário para encher o depósito resolve-se a seguinte equação: 66 66=33t ⇔ t= ⇔t =2 33 Resposta: 2 minutos 9.2. Representa a quantidade, em litros, de gasolina introduzida no depósito por minuto. . 10. x  x−12 x=6−4 x 2 ⇔ x 2−x2 x=6−4 x 2 ⇔ 2 2 2 ⇔ x 4 x −x2 x−6=0 ⇔5 x x −6=0⇔ −1± 12 −4×5×−6 −1± 121 ⇔x= ⇔ x= 2×5 10 −111 −1−11 6 ⇔x= ∨x = ⇔ x=1∨ x=− 10 10 5 C. S = − { 6 5 ,1 }
  • 3. 11. { x y 3 = 1 ⇔ x y= 3 ⇔ 2 x3 y = 8 { ---------- {x= 3− y 2 3− y 3 y=8 ⇔ {------------------ ⇔ {------ ⇔ {---------- ⇔ {x=1 6−2 y3 y=8 y=2 x =3−2 y=2 Resposta: 1, 2 12.1. O ponto O, centro da circunferência, está a igual distância dos extremos de [BC] Assim a opção correcta é: “O ponto O pertence à mediatriz do segmento [BC].” 12.2. O arco ABD tem amplitude 180º. A amplitude do arco CD é 80º, o dobro do ângulo inscrito CAD; O arco AC tem amplitude 180º−80º = 100º. Resposta: A amplitude em graus do arco AC é 100º. 12.3. Pelo Teorema de Pitágoras AD 2= AE 2ED 2 Logo AD = 6,82 3,22 =  56,48 ≃7,52 O perímetro da circunferência é: ×AD ≃23,6 Resposta: O perímetro da circunferência é 23,6 cm. 13. V cilindroV cone = V total Logo 1 34 17 12×h ×12×h = 34 ⇔12 h4 h = 34 ⇔16 h = 34 ⇔ h = ⇔h = 3 16 8 Resposta: A altura do cilindro é 2,125 m. 14.1. Resposta: “As rectas DP e BC são concorrentes.”
  • 4. 14.2. DH tg 32º =´ ⇔ DH = 5×0,625⇔ DH = 3,125 5 5×3,125 A área do triângulo rectângulo [DPH] é ≃7,8 2 Resposta: 7,8 cm2. 14.3. A[CDP ] = A[ BCD] BC ×CD ×DH A[CDP ] × DH A[ BCD] × DH 2 BC × CD × DH V [ HDCP ] = = = = 3 3 3 6 Logo V [ ABCDEFGH ] = 6×10 =60 Resposta: 60 cm3.