álgebra linear lista de exercicios e respostas

1. Primeira Lista de Exerc´ıcios
´Algebra Linear Aplicada
Prof. Flausino Lucas
Quest˜ao 1. Dˆe dois exemplos de cada tipo de ma-
triz descrito a seguir:
a) Matriz Quadrada.
b) Matriz Nula n˜ao Quadrada.
c) Matriz Coluna.
d) Matriz Linha.
e) Matriz Diagonal.
f) Matriz Identidade.
g) Matriz Triangular Superior.
h) Matriz Triangular Inferior.
Quest˜ao 2. Construa as matrizes descritas pelas
regras abaixo:
a) A2×3 = (aij) onde
aij =
1, se i = j
2, se i = j
b) B5×2 = (bij) onde
bij =
1, se i = j
i
j , se i = j
c) C4×3 = (cij) onde
cij =



2j − i, se i > j
2j + i, se i < j
0, se i = j
d) D3×3 = (dij) onde dij =
√
i + j
e) E4×4 = (eij) onde eij ´e o resto inteiro da divis˜ao
de j por i.
f) F4×2 = (fij) onde fij ´e o resto inteiro da divis˜ao
de i por j.
Quest˜ao 3. Considere a matriz A do tipo 4 × 5
onde o elemento aij dessa matriz ´e obtido pela se-
guinte express˜ao 3i + 3j. Qual das op¸c˜oes abaixo
representa o valor da soma dos elementos a31 e a33
dessa matriz?
(A) 40
(B) 30
(C) 20
(D) 24
(E) 26
Quest˜ao 4. A matriz A2×2 ´e tal que aij = 2i+3j.
qual a soma dos elementos dessa matriz?
Quest˜ao 5. Considere A e B duas matrizes de or-
dem 2 × 2 e 2 × 1, respectivamente. ´E poss´ıvel
afirmar de modo verdadeiro que:
(A) a matriz resultado do produto de A · B ser´a
a mesma de B · A.
(B) a matriz resultado da soma A + B ser´a a
mesma de B + A.
(C) ´e poss´ıvel calcular a adi¸c˜ao dessas matrizes.
(D) ´e poss´ıvel calcular a diferen¸ca dessas matri-
zes.
(E) ´e poss´ıvel calcular o produto dessas matrizes.
Quest˜ao 6. Determine valores de a e b de modo
que as matrizes:
A =
a + b a − b
1 3
e
B =
3 −1
1 3
sejam iguais
Quest˜ao 7. Dar solu¸c˜ao para a igualdade de ma-
trizes:
2x + 4 6 + 4y
2x + 4z 2y − 1
=
6 14
14 3
Quest˜ao 8. Dadas as matrizes:
A =
2 0 1
−2 1 3
B =
−2 0 1
1 1 2
1

2. C =
1 0 1
3 1 0
Determine:
a) A + B
b) A − 2B
c) A − B
d) 3A − 2B + C
e) A · Bt
f) B · Ct
g) A · (Bt
· C)
h) (A · Bt
) · C
Quest˜ao 9. Efetue as seguintes multiplica¸c˜oes:
a)
0 1 2 ·


1
2
3


b) 

1 1 1
0 1 1
2 1 1

 ·


1 −1 1
2 0 2
3 −1 1


c)
3 2
2 3
·
1/2 −2
5 3/4
d) 

1/2 −1/2 1
2 3/4 2
3 −1/3 1

 ·
·


0 −2 1 −7
3
1
8
2
3 −2 2 1
4 2
3 −1 1
2 3 0


Quest˜ao 10. Considere as matrizes:
A =
0 0
−2 x
B =
1 x
0 2x
C = A · B =
0 0
−2 4
Nesse caso, o conjunto de valores poss´ıveis para x
ser´a:
(A) {−1, −2}
(B) {−1, 2}
(C) {1, −2}
(D) {1, 2}
(E) {2}
Quest˜ao 11. Uma empresa monta diferentes cai-
xas de bombons, com diferentes propor¸c˜oes de tipos
de bombons, conforme a tabela A:
A tabela B abaixo indica os pre¸cos de cada bom-
bom em 2009, 2010 e 2011. Os pre¸cos das caixas
refletem exatamente os pre¸cos dos bombons indivi-
duais.
Chamamos de A a matriz 3 × 3 com as quanti-
dades definidas na tabela A, e de B a matriz 3 × 3
dos pre¸cos definidos na tabela B. Sendo C = A · B,
o pre¸co da Caixa 3 em 2010 ´e obtido por meio do
seguinte elemento de C:
(A) c32 = 27, 30
(B) c32 = 25, 40
(C) c23 = 27, 30
(D) c23 = 25, 40
(E) c33 = 35, 60
Quest˜ao 12. Um restaurante, no centro da cidade,
oferece trˆes tipos de refei¸c˜oes (A, B e C), cada uma
2

3. com uma composi¸c˜ao diferente entre arroz, salada
e carne. A matriz a seguir representa o custo das
por¸c˜oes de arroz, salada e carne servidas neste res-
taurante:
Essa outra matriz indica o n´umero de por¸c˜oes de
arroz, salada e carne servidas em cada prato:
A partir dessas informa¸c˜oes, podemos considerar
a matriz linha U, com os custos de cada por¸c˜ao, e
a matriz quadrada Q, com as quantidades de cada
por¸c˜ao em cada refei¸c˜ao. A partir do produto de Q
e U, ´e poss´ıvel obter a matriz que fornece o custo
das refei¸c˜oes A, B e C. A transposta dessa matriz
´e:
a) 12 13 15
b)


12
15
14


c)


12
13
15


d) 12 15 14
e) 12 15 17
Quest˜ao 13. Diga se as afirma¸c˜oes abaixo a res-
peito de matrizes s˜ao verdadeiras ou falsas. Se ver-
dadeira, prove. Caso contr´ario, exiba um contra-
exemplo:
a) Se A · B = 0 ent˜ao A = 0 ou B = 0.
b) Se In ´e a matriz identidade n × n, ent˜ao, to-
mando qualquer matriz An×m, temos que I·A =
A.
c) Se In ´e a matriz identidade n × n, ent˜ao, to-
mando qualquer matriz An×m, temos que A·I =
A.
d) A = At
.
e) (A · B)t
= At
· Bt
.
f) At
· B = Bt
· A.
g) Se A ´e uma matriz n×n e A2
= 0, ent˜ao A = 0.
h) Se A ´e uma matriz n × n e A2
= I, ent˜ao A = I
i) A · B = B · A para quaisquer matrizes A, B do
tipo n × n.
j) Se A·B = B·A, ent˜ao (A+B)2
= A2
+2AB+B2
k) Se An×n ´e uma matriz diagonal, ent˜ao At
tamb´em ´e diagonal.
l) Se An×n ´e uma matriz triangular superior, ent˜ao
At
´e triangular inferior.
m) Se A, B, C s˜ao matrizes n × n tais que A · B =
A · C ent˜ao B = C.
Quest˜ao 14. Uma matriz 2 × 2 ´e chamada matriz
de rota¸c˜ao de ˆangulo θ se
Rθ =
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
Mostre que:
a) R0 = I2
b) Rπ = −I2
c) Rt
θ = R−θ
d) R2
θ = 2Rθ
e) Rθ · Rt
θ = I2
Quest˜ao 15. O tra¸co de uma matriz An×n ´e defi-
nido como a soma dos elementos da diagonal prin-
cipal, ou seja, se
A =


a11 ... a1n
... ... ...
an1 ... ann


n×n
3

4. Ent˜ao tr(A) = a11 + ... + ann =
n
i=1 aii. Mostre
que:
a) tr(A) = tr(At
)
b) tr(k · A) = k · tr(A), onde k ∈ R
c) tr(A + B) = tr(A) + tr(B), sendo A, B do tipo
n × n.
d) tr(A · B) = tr(B · A), sendo A, B do tipo 2 × 2.
Quest˜ao 16. Mostre que, se tr(A · At
) = 0, ent˜ao
A = 0.
Quest˜ao 17. Mostre que n˜ao h´a matrizes A, B am-
bas 2 × 2 tais que:
AB − BA =
1 0
0 1
Quest˜ao 18. Uma matriz An×n ´e dita anti-
sim´etrica se At
= −A, ou seja aij = −aji. Mostre
que toda matriz anti-sim´etrica tem tra¸co nulo.
Quest˜ao 19. Mostre que se A ´e anti-sim´etrica,
ent˜ao Ak
´e anti-sim´etrica para todo inteiro posi-
tivo ´ımpar k. Encontre contra-exemplo de que esta
afirmativa n˜ao vale quando k ´e par.
Quest˜ao 20. Uma matriz An×n ´e dita sim´etrica
se At
= A, ou seja aij = aji. Verifique que uma
matriz que ´e ao mesmo tempo sim´etrica e anti-
sim´etrica s´o pode ser a matriz nula.
Quest˜ao 21. Mostre que toda matriz triangular
superior (ou inferior) sim´etrica ´e diagonal.
Quest˜ao 22. Uma matriz quadrada An×n ´e cha-
mada idempotente se A2
= A.
a) Verifique que In e 0 s˜ao idempotentes.
b) Encontre uma matriz idempotente diferente de
In e 0.
c) Mostre que a ´unica matriz idempotente in-
vert´ıvel n × n ´e In.
Quest˜ao 23. Uma matriz quadrada An×n ´e cha-
mada nilpotente se Ak
= 0, para algum inteiro po-
sitivo k.
a) Mostre que toda matriz nilpotente ´e singular.
b) Verifique que
A =


0 1 1
0 0 1
0 0 0


´e nilpotente.
c) Se A ´e nilpotente, mostre que (In − A) ´e in-
vert´ıvel.
Sugest˜ao: Encontre (In − A)−1
nos casos em
que Ak
= 0, k = 1, 2, ... e verifique o padr˜ao.
Quest˜ao 24. Sejam A, B matrizes n × n idempo-
tentes
a) Mostre que, se A e B comutam (AB = BA),
ent˜ao AB ´e idempotente.
b) Verifique que AB nem sempre ´e idempo-
tente caso A e B n˜ao comutem.(exiba contra-
exemplo)
c) Mostre que, se A ´e idempotente, ent˜ao At
´e
idempotente.
d) A + B ´e idempotente? justifique sua resposta.
e) Encontre todos os valores de k para que kA
tamb´em seja idempotente.
Quest˜ao 25 (Matriz de Cˆambio). No dia 28 de
fevereiro de 2014, a cota¸c˜ao do d´olar no Brasil foi
R$2,35 e do euro R$ 3,22. `As 12 horas desse dia,
Pedro dispunha dos seguintes valores: 10.000 reais,
5.000 d´olares, 2.000 euros.
a) Construa uma matriz de convers˜ao de moedas
para este problema.
b) Desenhe um mecanismo matricial que permita
saber, em cada moeda, o valor das reservas to-
tais de Pedro.
c) Quais os valores, convertidos em cada moeda?
Quest˜ao 26. No dia 28 de fevereiro de 2014, a
cota¸c˜ao do d´olar no Brasil foi R$2,35, do euro R$
3,22 e do peso argentino R$ 0,30 . Considere trˆes
pequenos investidores que dispunham, `as 12 horas
desse dia dos seguintes valores:
Investidor 1: 10.000 reais, 5.000 d´olares, 2.000
euros, 15.000 pesos.
4

5. Investidor 2: 8.000 reais, 6.000 d´olares, 1.000 eu-
ros, 18.000 pesos
Investidor 3: 2.500 reais, 5.000 d´olares, 4.500 eu-
ros, 7300 pesos.
a) Construa uma matriz de convers˜ao de moedas
para este problema.
b) Desenhe um mecanismo matricial que permita
saber o valor que cada investidor tem em cada
uma das moedas.
c) Qual deles ´e o que det´em mais capital?
Quest˜ao 27. No dia 08 de mar¸co de 2013, a
cota¸c˜ao do d´olar no Brasil foi R$1,95, do euro R$
2,55 e do libra R$ 2,92 . Considere dois pequenos
investidores que dispunham, `as 15 horas desse dia
dos seguintes valores:
Investidor 1: 3000 reais, 2000 d´olares, 850 euros,
400 libras.
Investidor 2: 1000 reais, 1700 d´olares, 675 euros,
380 libras.
a) Construa uma matriz de convers˜ao de moedas
para este problema.
b) Desenhe um mecanismo matricial que permita
saber o valor que cada investidor tem em cada
uma das moedas.
c) Qual deles ´e o que det´em mais capital?
5

6. Respostas ou Sugest~oes
As respostas s˜ao para os exerc´ıcios objetivos.
Exerc´ıcios te´oricos de demonstra¸c˜ao n˜ao apresen-
tam resolu¸c˜ao.
Quest˜ao 2
a)
A =
1 2 2
2 1 2
b)
B =






1 1/2
2 1
3 3/2
4 2
5 5/2






c)
C =




0 5 7
0 0 8
−1 1 0
−2 0 2




d)
D =


√
2
√
3 2√
3 2
√
5
2
√
5
√
6


e)
E =




0 0 0 0
1 0 1 0
1 2 0 1
1 2 3 0




f)
F =




0 1
0 0
0 1
0 0




Questao 3 (B) 30
Questao 4 30
Questao 5 (E) ´e poss´ıvel calcular o produto des-
sas matrizes.
Questao 6 a = 1, b = 2.
Questao 7 x = 1, y = 2, z = 3
Questao 8
a)
0 0 2
−1 2 5
b)
6 0 −1
−4 −1 −1
c)
4 0 0
−3 0 1
d)
11 0 2
−5 2 5
e)
−3 4
7 5
f)
−1 −6
3 4
g)
9 4 −3
22 5 7
h)
9 4 −3
22 5 7
Questao 9
a) 8
b)


6 −2 4
5 −1 3
7 −3 5


c)
23/2 15/2
16 25/4
d)


8/3 −1 0 41/24 −15/16
13/2 −15/2 9/2 72/48 7/4
25/9 −19/3 17/6 −49/12 −7/24


Quest˜ao 10 (B) {−1, 2}
Quest˜ao 11 (A) c32 = 27, 30
Quest˜ao 12 (D)
Quest˜ao 25
a) A matriz de convers˜ao ´e:


1, 00 2, 35 3, 22
0, 43 1, 00 1, 37
0, 31 0, 73 1, 00


b) O mecanismo consiste no produto:


1, 00 2, 35 3, 22
0, 43 1, 00 1, 37
0, 31 0, 73 1, 00

 ·


10000
5000
2000


c) Em reais, ele possui R$ 28190,00. Em d´olares,
US$ 12040,00. Em euros, $ 8750,00.
6