Resolução de uma equação biquadrática

1. Para resolver uma equação biquadrada deve se mudar a variável
através da substituição.
Exemplos:
1.9x4 - 13x2 + 4 = 0
Sabe-se que x4 = (x2)2. Portanto, poderás substituir x2 por t, e ao
substituir x2 por t, ter-se-á uma equação de 2º grau na incógnita t.
Como é familiar a resolução de equações de grau 2, facilita-se a
solução da equação biquadrada em questão.
9x4 - 13x2 + 4 = 0
9t2 – 13t – 4 = 0 → fazendo x2 = t
a = 9, b = – 13 e c = – 4 → valores dos coeficientes
Δ = b2 – 4ac → procure o valor do discriminante
Δ = (–13)2 – 4 . 9 . 4
Δ = 169 -144 = 25
t1,2=
-b±√∆
2a
→ fórmula resolvente para determinar t1,2
t1=
-(-13)+√25
2×9
=
13+5
18
=
18
18
=1
t2=
-(-13)-√25
2×9
=
13- 5
18
=
8
18
=
4
9
Solução da equação de 2° grau em função do t: S={
4
9
;1}
Como x2 = t, faz se a substituição das raízes encontradas em função
de t para encontrar as raízes da equação biquadrada.
Para t=
4
9
tem-se: x2 =
4
9
→ x=√
4
9
→ x=±
2
3
para t = 1, tem-se: x2 = 1 → x =±√1 =±1
Solução da equação biquadrada: S = {−
2
3
;-1;
2
3
;1}
Nota:Conforme o grau da equação temos 4 soluções.

2. b) m4 – 4m2 + 3 = 0
t2−4t+3=0 → fazendo m² = t
a=1,b=−4 e c=3 → valores dos coeficientes
Δ=b2−4ac → procure o valor do discriminante
Δ=(−4)2−4×1×3 Δ=4
t=−b±Δ√2a → fórmula resolutiva (Fórmula de Bhaskara)
t=−(−4)±4√2×1 t1=4+4√2
t1=4+22=62=3 → primeira raiz.
t2=4−4√2
t2=4−22=22=1 → segunda raiz
Solução da equação de 2° grau: S = {1, 3}
Lembre-se de que m2 = t ou t = m2. Substitua as raízes encontradas.
Para t = 1, tem-se:
t=m2=1→m=±1–√m=±1
Para t = 3, tem-se:
t=m2=3→m=±3–√
Solução da equação biquadrada: S={−3–√,−1,1,3–√}
c) 2x4 – 2x2 = 0
2t2 – 2t = 0 → fazendo x2 = t
t(2t – 2) = 0 → método da fatoração
t1 = 0 → "se x.y = 0, então x e/ou y = 0" → primeira raiz
2t – 2 = 0
2t = 2 → t2 = 1 → segunda raiz
Solução da equação de 2° grau: S = {0, 1}

3. Como fez-se x2 = t, substitua as raízes encontradas por t.
Para t = 0, tem-se:
t = x2 = 0 → x=±0–√
x = 0
Para t = 1, tem-se:
t = x2 = 1 → x=±1–√
x = ± 1
Solução da equação biquadrada: S = {– 1, 0, 1}
Para resolver esse tipo de equação é preciso substituir as incógnitas,
tornando-a uma equação do segundo grau, veja os exemplos abaixo
e compreenda como resolver passo a passo uma equação
biquadrada.
Exemplo 1:
Resolva a equação biquadrada (x2 – 1) (x2 – 12) + 24 = 0. Devemos
organizá-la primeiro, ou seja, tirar os parênteses e unir os termos
semelhantes.
(x2 – 1) (x2 – 12) + 24 = 0
x4 – 12x2 – x2 + 12 + 24 = 0
x4 – 13x2 + 36 = 0
Agora devemos substituir a incógnita x2 por y.
x2 = y
x4 – 13x2 + 36 = 0
x2 . x2 – 13x2 + 36 = 0
y2 – 13y + 36 = 0
Resolvendo essa equação do segundo grau encontraremos como
resultados de y’ e y’’ respectivamente os valores 9 e 4, como a
incógnita da equação biquadrada é x, substituímos os valores de y na
igualdade x2 = y e obteremos os respectivos valores de x.
Para y = 9
x2 = y
x2 = 9

4. x = ±√9
x = ± 3
Para y = 4
x2 = y
x2 = 4
x = ±√4
x = ±2
Portanto, a solução dessa equação biquadrada será {-3, -2, 2, 3}.
Exemplo 2:
Resolva a equação x4 – 5x2 + 10 = 0
Substituindo a incógnita x2 por y.
x2 = y
y2 – 5y + 10 = 0
Resolvendo essa equação do segundo grau o valor do discriminante ∆
será negativo, assim a solução será vazia.