1.
Testes de Matrizes
1. Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se A = At
. Se













234
1z0x
2y12
A é simétrica então x + y + z é igual a
2 1 2 2 4
0 1 1 0 3
4 3 2 2 1 2
t
y x
A x z A
y z
   
   
      
      
2 1 2 2 4
0 1 1 0 3
4 3 2 2 1 2
y x
x z
y z
   
   
     
      
1
2 4 2
1 3 4
x
y y
z z
 
  
   
1 2 4 5
x y z 
   
2. Sejam A e B, matrizes quadradas de ordem dois, definidas por
e 






19
13
B . Então a igualdade A = Bt
será
satisfeita pelo par ordenado (x , y)
3 2 3 3 1
, ,
2 1 9 1
1 1
9 3
t
x y
A B
x y
B
   
    
   
 
  
 
t
A B
3 2 3 3 9
2 1 1 1
x y
x y
   
   
   
2 3 9
2ª
2 1
2,
x y
multiplicando a linha
x y
por temos
 

 

2 3 9
2 4 2
,
x y
somando as duas
x y
linhas obtemos
 

   
7 7 1 1ªy y substituindo na linha
encontramos
     
2 3 9x y 
 2 3 1 9x  
2 3 9x 
2 6x 
3x 
Logo encontramos o par (3 , 1)









12yx
3y2x3
A

2.
3. Sejam 







12
01
A , 







10
32
B e 






30
12
C , então X = 3A + Bt
– 2C
é
3
1 0 3 0
A
2 1 6 3
A
   
     
    
2 3 2 0
B
0 1 3 1
t
B
   
     
    
2
2 1 4 2
C
0 3 0 6
C
   
     
   
–
3 0 2 0 4 2
6 3 3 1 60
X
     
     
  

   

2
9
1
10
X
 
 
 

4. O valor de y – x, para que , e
solucionem PN
3
2
M
2
3
 é?
3
12
8 3 2
10 32
15
2
x
x
M M
y y
 
  
     
   
 
 
2
4
6 2 3
12 4 2 83
8
3
y
y
N N
x x
 
  
     
   
 
 
23
412
7 1632
3 2 8 23 13
15 8
2 3
yx
y x
  
    
     
    
   
   
3 2 9 4
7 7
2 3 6
2 8 3 4 16 9
13 13
3 2 6
9 4 42
4 9 62
x y x y
x y x y
x y
x y
 
    
  
     
  
 
 
 
9 4 42 81 36 378
4 9 62 16 36 248
x y x y
x y x y
    
 
      
65 130
130
2
65
x
x x

  
 
9 4 42
9 2 4 42
18 4 42
4 42 18
24
4
6
x y
y
y
y
y
y
 
 
 
 


6 2 4
y x
 







y10
8x
M 







4x12
6y
N 






1323
167
P

3.
5. Se  X 2 0 1 ,  Y 1 1 0  ,











1
0
3
P e











3
1
1-
Q , então o valor de
  X Y P Q  é
     2 0 1 1 1 0 1 1 1
X Y
  
3 1 4
0 1 1
1 3 2
P Q
     
     
       
          
  
   
 
4
1 4 1 2
2
1
1 1 1
X Y P Q 
 
 
     
  

6. A matriz (At
)t
, quadrada de ordem 2 tal que A = (aij)/ aij = 3j – 4i
é
Lembre que a transposta da transposta é a própria matriz dada.
Logo:
11 12
21 22
3 4
3 1 4 1 3 1 4 2 1 5
3 2 4 1 3 2 4 2 2 2
ij
a a
a j i
a a
 
   
 
          
            
7. Sejam as matrizes M = (mij), 2x3, definida por mij = i² + j, N =
(nij), 3x1, definida por nij = 3j – i, P = (pij), P = M x N. O
elemento P21 é
Para calcular a solução preciso
apenas dos valores da
segunda linha de M e da
primeira coluna de N
A segunda linha de M2x3 é
2² 1 2
___ ___ ___ __ __ __
6² 2 2² 3 5 7

 
  
 

 
  
A primeira coluna de N3x1 é
3 1 1 2
3 1 2 1
3 1 3 0
    
   
     
       
Multiplicando a segunda linha de M
pela primeira coluna de N temos o
elemento solicitado.

4.
   
2
5 6 7 1 10 6 0 16
0
 
 
    
 
 
8. Dadas as matrizes











43
01-
12
A e 







010
201
B , a matriz
resultante de At
– 2B deve ser
2 1
2 1 3
-1 0
1 0 4
3 4
t
A A
 
       
   
4
2
1 0 2 2 0
B B
0 1 0 0 2 0
   
         
2 1 3 2 0 4 0 1 1
1 0 4 0 2 0 1 2 4
       
           