1. O documento discute conceitos de matemática financeira como juros compostos, taxas equivalentes, séries uniformes e sistemas de amortização. 2. Inclui definições, fórmulas e exemplos para cada um desses tópicos, além de exercícios relacionados. 3. Aborda desde cálculos simples de juros compostos até sistemas complexos de amortização de dívidas com pagamentos parcelados.

1. Sum´ario
MATEM ´ATICA FINANCEIRA
Luciana Santos da Silva Martino
PROFMAT - Col´egio Pedro II
10 de abril de 2015

2. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Sum´ario
1 Juros Compostos
2 A F´ormula de Taxas Equivalentes
3 S´eries Uniformes
4 Sistemas de Amortizac¸ ˜ao

3. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Outline
1 Juros Compostos
2 A F´ormula de Taxas Equivalentes
3 S´eries Uniformes
4 Sistemas de Amortizac¸ ˜ao

4. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Juros Compostos
Operac¸ ˜ao de empr´estimos
Algu´em que disp˜oe de um capital C (chamado de principal),
empresta-o a outrem por um certo per´ıodo de tempo, e ap´os
esse per´ıodo, recebe seu capital C de volta, acrescido de uma
remunerac¸ ˜ao J pelo empr´estimo. Essa remunerac¸ ˜ao ´e
chamada de juro. A soma C + J ´e chamada de montante e
ser´a representada por M. A raz˜ao i = J
C que ´e a taxa de
crescimento do capital, ser´a sempre referida ao per´ıodo da
operac¸ ˜ao e chamada de taxa de juros

5. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Juros Compostos
Teorema:
No regime de juros compostos de taxa i, um principal C0
transforma-se, depois de n per´ıodos de tempo, em um montante
Cn = C0(1 + i)
n
Os valores de Cn formam uma progress˜ao geom´etrica de raz˜ao 1 + i
O valor de uma quantia depende da ´epoca `a qual ela est´a referida
Um ´unico problema de Matem´atica Financeira: deslocar quantias no
tempo

6. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
F´ormula fundamental da equivalˆencia de capitais: Para obter o
valor futuro, basta multiplicar o atual por (1 + i)n
. Para obter o
valor atual basta dividir o futuro por (1 + i)n
Exerc´ıcio p.105 n.5.9: O Foto Studio Sonora convidou, em
dezembro de 1992, os seus clientes a liquidarem suas
prestac¸ ˜oes mensais vincendas, oferecendo-lhes em troca um
desconto. O desconto seria dado aos que pagassem, de uma
s´o vez, todas as prestac¸ ˜oes a vencer em mais de 30 dias, e
seria de 30%, 40% ou 50%, conforme fossem pagas uma, duas
ou trˆes prestac¸ ˜oes. Supondo que o dinheiro valia 27% ao mˆes,
a oferta era vantajosa ?

7. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio p.104 n.5.8: A Mesbla, em v´arios Natais, ofereceu a seus clientes duas
alternativas de pagamento:
a) pagamento de uma s´o vez, um mˆes ap´os a compra
b) pagamento em trˆes prestac¸ ˜oes mensais iguais, vencendo a primeira no ato da
compra
Se vocˆe fosse cliente da Mesbla, qual seria a sua opc¸ ˜ao?
Exerc´ıcio p.105 n.5.10: L´ucia comprou um exaustor, pagando R$180, 00, um mˆes
ap´os a compra e R$200, 00, dois meses ap´os a compra. Se os juros s˜ao de 25%
sobre o saldo devedor, qual o prec¸o `a vista?
Exerc´ıcio p.105 n.5.12: ˆAngela tomou um empr´estimo de R$400, 00 por dez meses.
Os juros foram de 3% ao mˆes durante os quatro primeiros meses, de 5% ao mˆes
durante os cinco meses seguintes e de 9% no ´ultimo mˆes. Calcule:
a) a taxa m´edia de juros
b) o montante pago

8. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Outline
1 Juros Compostos
2 A F´ormula de Taxas Equivalentes
3 S´eries Uniformes
4 Sistemas de Amortizac¸ ˜ao

9. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
A F´ormula de Taxas Equivalentes
F´ormula das taxas equivalentes
Se a taxa de juros relativamente a um determinado per´ıodo de
tempo ´e igual a i, a taxa de juros relativamente a n per´ıodos de
tempo ´e I tal que 1 + I = (1 + i)n
Um erro muito comum ´e achar que juros de 4% ao mˆes
equivalem a juros anuais de 12x4% = 48% ao ano. Taxas
como 4% ao mˆes e 48% ao ano s˜ao chamadas de taxas
proporcionais, pois a raz˜ao entre elas ´e igual a raz˜ao dos
per´ıodos as quais elas se referem.

10. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
A F´ormula de Taxas Equivalentes
Exemplo 9: A taxa anual de juros equivalente a 4% ao mˆes ´e I
tal que 1 + I = (1 + 0, 04)12
. Da´ı, I ∼= 0, 60 = 60% ao ano
A taxa de 48% ao ano ´e chamada de taxa nominal e a taxa de
60% ao ano ´e chamada de taxa efetiva
Exerc´ıcio p.104 n.5.4: Determine as taxas efetivas anuais
equivalentes a:
a) 30% ao ano, com capitalizac¸ ˜ao mensal
b) 30% ao ano, com capitalizac¸ ˜ao trimestral
c) i ao ano, capitalizados k vezes ao ano

11. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Exerc´ıcio p.104 n.5.5: Qual o limite, quando k tende para o
infinito, da resposta ao item c) do problema anterior? Neste
caso diz-se que os juros est˜ao sendo capitalizados
continuamente e i ´e chamada de taxa instantˆanea de juros
Exerc´ıcio p.104 n.5.6: Use a resposta do problema anterior
para dar uma definic¸ ˜ao financeira do n´umero e

12. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
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1 Juros Compostos
2 A F´ormula de Taxas Equivalentes
3 S´eries Uniformes
4 Sistemas de Amortizac¸ ˜ao

13. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
S´eries Uniformes
Um conjunto de quantias (chamadas usualmente de
pagamentos ou termos), referidas a ´epocas diversas, ´e
chamada de s´erie. Se esses pagamentos forem iguais e
igualmente espac¸ados no tempo, a s´erie ´e dita uniforme.
Teorema: O valor de uma s´erie uniforme de n pagamentos
iguais a P, um tempo antes do primeiro pagamento, ´e, sendo i
a taxa de juros, igual a A = P 1−(1+i)−n
i

14. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Rendas perp´etuas
O corol´ario seguinte trata do valor de uma renda perp´etua.
Rendas perp´etuas aparecem em locac¸ ˜oes. Com efeito, quando
se aluga um bem, cede-se a posse do mesmo em troca de um
aluguel, digamos, mensal. Ent˜ao, o conjunto dos alugu´eis
constitui uma renda perp´etua ou perpetuidade
Corol´ario: O valor de uma perpetuidade de termos iguais a P,
um tempo antes do primeiro pagamento, ´e, sendo i a taxa de
juros, igual a AP = P
i

15. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Exerc´ıcio
Exerc´ıcio p.105 n. 5.11: Uma geladeira custa R$1000, 00 `a
vista e pode ser paga em trˆes prestac¸ ˜oes mensais iguais. Se
s˜ao cobrados juros de 6% ao mˆes sobre o saldo devedor,
determine o valor da prestac¸ ˜ao, supondo que a primeira
prestac¸ ˜ao ´e paga:
a) no ato da compra;
b) um mˆes ap´os a compra;
c) dois meses ap´os a compra.
Exerc´ıcio p.113 n.5.25: Se a taxa corrente de juros ´e de 0, 6%
ao mˆes, por quanto se aluga um im´ovel cujo prec¸o `a vista ´e
R$50000, 00, supondo:
a) o aluguel mensal pago vencido?
b) o aluguel mensal pago adiantadamente?

16. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
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1 Juros Compostos
2 A F´ormula de Taxas Equivalentes
3 S´eries Uniformes
4 Sistemas de Amortizac¸ ˜ao

17. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Quando um banco empresta dinheiro (cr´edito pessoal ou desconto
de duplicatas), o tomador do empr´estimo emite uma nota
promiss´oria, que ´e um papel no qual o tomador se compromete a
pagar ao banco, em uma data fixada, uma certa quantia, que ´e
chamado valor de face da promiss´oria.
O banco ent˜ao desconta a promiss´oria para o cliente, isto ´e, recebe a
promiss´oria de valor de face F e entrega ao cliente uma quantia A
(menor que F, naturalmente). A diferenc¸a F − A ´e chamada de
desconto.
Os bancos efetuam o desconto de acordo com a f´ormula
A = F(1 − d.t), onde d ´e uma taxa fixada pelo banco e chamada de
taxa de desconto banc´ario (ou taxa de desconto simples por fora) e t
´e o prazo da operac¸ ˜ao, medido na unidade de tempo a que se refere
a taxa.

18. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Exemplo 17: Pedro desconta uma promiss´oria de valor 100,
com vencimento em 60 dias, em um banco cuja taxa de
desconto ´e de 12% ao mˆes.
a) Quanto Pedro receber´a?
b) Qual a taxa mensal de juros que Pedro est´a pagando?
Observe que anunciar a taxa de desconto e n˜ao a taxa de juros
´e um modo sutil de fazer crer aos mais ingˆenuos estarem eles
pagando juros menores que os que realmente lhes est˜ao
sendo cobrados.

19. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Quando se paga parceladamente um d´ebito, cada pagamento
efetuado tem dupla finalidade. Uma parte do pagamento quita
os juros e outra parte amortiza (abate) a d´ıvida.
Exemplo 18: Pedro tomou um empr´estimo de 100, a juros
mensais de taxa 10%. Quitou-o em trˆes meses, pagando a
cada mˆes os juros devidos e amortizando 30% da d´ıvida no
primeiro mˆes e 30% e 40% nos dois meses seguintes

20. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Os sistemas usuais de amortizac¸ ˜ao s˜ao o sistema de
amortizac¸ ˜ao constante (SAC) e o sistema francˆes de
amortizac¸ ˜ao, tamb´em chamado de Tabela Price. O sistema
francˆes ´e caracterizado por prestac¸ ˜oes constantes.

21. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Teorema: No SAC, sendo n o n´umero de pagamentos e i a taxa de
juros, temos
Ak =
D0
n
, Dk =
n − k
n
D0, Jk = iDk−1, Pk = Ak + Jk
Teorema: No sistema francˆes de amortizac¸ ˜ao, sendo n o n´umero de
pagamentos e i a taxa de juros, temos
Pk = D0
i
1 − (1 + i)
−n
Dk = D0
1 − (1 + i)
−(n−k)
1 − (1 + i)
−n
Jk = iDk−1, A = Pk − Jk

22. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Exerc´ıcio p.113 n.5.28: Fac¸a as planilhas de amortizac¸ ˜ao de uma
d´ıvida de R$3000, 00, em 8 pagamentos mensais, com juros de 10%
ao mˆes:
a) pela tabela Price
b) pelo SAC
Exerc´ıcio p.113 n.5.29: Considere a amortizac¸ ˜ao de uma d´ıvida de
R$35000, 00, em 180 meses, com juros de 1% ao mˆes, pelo sistema
francˆes. Determine:
a) o valor da cent´esima prestac¸ ˜ao
b) o estado da d´ıvida nessa ´epoca
Exerc´ıcio p.113 n.5.30: Refac¸a o problema anterior pelo SAC

23. Juros Compostos A F´ormula de Taxas Equivalentes S´eries Uniformes Sistemas de Amortizac¸ ˜ao
Juros Simples
Em algumas situac¸ ˜oes
(prozos pequenos, juros de
mora) s˜ao usados juros
simples e n˜ao juros
compostos.
Cn = C0 + niC0
Os valores de Cn,nos juros
simples, formam uma
progress˜ao aritm´etica
Cn = C0(1 + i)n
Os valores de Cn, nos juros
compostos, formam uma
progress˜ao geom´etrica