juro composto

1. Curso Profissional : Técnico de Gestão
Modulo 2 – Sistema juro composto
Ano letivo 2023/2043
Professor: Alcides Marques
Setembro 2023 12º Ano
Disciplina: Cálculo financeiro e estatística aplicada

2. Calculo Financeiro /Introdução
São inúmeras as situações do nosso quotidiano em que estão
presentes conceitos de Cálculo Financeiro. Podem ser
abordadas:
•numa ótica de investimento
•numa ótica de financiamento
A essência do CF reside no Valor Temporal do Dinheiro que
é um conceito intuitivo.
Um euro, seja investido ou seja emprestado, não tem para
nós, o mesmo valor consoante fique disponível imediatamente
ou apenas daqui a algum tempo

3. Esta atitude racional é a chamada preferência pela liquidez
pois relativamente a uma determinada quantia, preferimos
dispor dela imediatamente a dispor dela apenas daqui a algum
tempo.
Dispondo imediatamente dessa quantia ficamos com liberdade
para decidir que destino lhe dar:
•Consumo
•Poupança
•Parte Consumo, parte poupança
Calculo Financeiro /Introdução

4. De um modo geral, podemos considerar que há dois grandes
tipos de problemas de Calculo Financeiro:
Problemas de Capital único em que se pretende estabelecer
uma equivalência entre dois ou mais capitais, um a um, ou
seja um de cada vez.
Problemas de Conjuntos de capitais em que se pretende
estabelecer uma equivalência entre um capital e um conjunto
de capitais ou entre dois conjuntos de capitais
Calculo Financeiro /Introdução

5. Exemplos de problemas de Capital Único
Quanto receberei, daqui a 1 ano, se efetuar hoje um
depósito de 1.000€ , á taxa de juro anual de 3% ?
Quanto terei de pagar ao Banco daqui a 6 meses se contrair
hoje um empréstimo de 5.000€, à taxa de Juro anual de 5%
Quanto deverei pagar hoje se quiser antecipar o pagamento
de uma divida de 800€ com vencimento daqui a 200 dias
considerando uma taxa de juro anual de 6% ?

6. Exemplos de problemas de Conjunto de Capitais
Quanto receberei, daqui a 1 ano, se todos os meses
depositar 100€ e a taxa de juro for de 2.5% ao ano ?
Quanto terei de pagar mensalmente , durante 20 anos, por
um empréstimo de 100.000€ de empréstimo á habitação, à
taxa de Juro anual de 4%
Quanto terei de pagar hoje se quiser antecipar o pagamento
de uma divida que era suposto ser paga em 10 mensalidades
de 100€ cada, á taxa de juro anual de 4% ?

7. Calculo Financeiro
Atendendo ao valor temporal do dinheiro, para comparar
capitais é necessário que estejam reportados a um mesmo
momento.
Esta é a chamada Regra de Ouro do Cálculo
Financeiro e é o âmago de todo e qualquer
problema financeiro

8. Capital, Tempo e Juro
Em qualquer problema de Cálculo Financeiro existem três
variáveis fundamentais:
Capital
Tempo
Taxa de Juro
Elas estão presentes em qualquer operação financeira e têm
de coexistir em simultâneo.
Capital Tempo
Tx Juro
Só nesta situação é que se está no
âmbito de uma operação financeira

9. Operações Financeira / Intervenientes
E usual dividir as operações financeiras em operações de:
Curto Prazo
Médio Prazo
Longo Prazo
< 1 Ano
1< Ano <5
> 5 Ano
Numa operação financeira intrevêm pelo menos, duas
partes: o Mutuário e o Mutuante.
Mutuário – é aquele que pede emprestado, o devedor
Mutante – é aquele que empresta, o credor

10. Nas operações financeiras intrevêm com frequência a Banca.
Os bancos realizam tradicionalmente dois grandes tipos de
operações: por um lado, aceitam e remuneram depósitos de
valores de particulares e empresas; por outro, concedem
crédito, emprestando dinheiro a particulares e empresas,
que pode assumir diferentes formas, sendo remuneradas e
cobradas diferentes taxas.
As operações bancárias dividem-se em:
Operações Ativas
Operações Passivas
Operações Financeira / Intervenientes

11. Operações Ativas / Passivas
São operações ativas aquelas que têm subjacente o
recebimento de juros por parte das instituições bancárias
(tipicamente, empréstimos concedidos).
Taxas de juro ativas
São operações passivas aquelas que têm implícito o
pagamento de juros por parte das instituições bancárias
(tipicamente, depósitos).
Taxas de juro passivas

12. A lógica da atividade bancária consiste , grosso modo, em
remunerar os capitais depositados a determinada taxa de
juro e cobrar pelos capitais emprestados a uma taxa
superior. Esta diferença, genericamente entre taxas ativas e
taxas passivas designa-se habitualmente por “spread”, sendo
uma das principais receitas das instituições Financeiras.
Muitas vezes utiliza-se o termo spread com outro significado
o acréscimo que as instituições bancárias aplicam a uma
determinada taxa de referência par obter a taxa de juro que
será utilizada em determinada operação bancária.
São as chamadas taxas indexadas, ou seja associadas a
outras taxas, tidas como referência.
Operações Ativas / Passivas

13. A taxa indexante mais utilizada atualmente é a Euribor,
geralmente a 6 meses, habitualmente representada por:
EURIBOR 6M
Se o banco um spread á taxa de juro da Euribor, essa taxa
será revista, salvo convenção em contrário, no final de cada
semestre.
Taxas Indexantes

14. Euribor – Euro Interbank Rate – é calculada com base nas
taxas praticadas por 49 Bancos, dos quais 42 de EU , 3 de
bancos europeus fora da zona Euro e 4 não Europeus, (EUA e
Japão)
Euribor
A única Instituição Portuguesa representada é a Caixa Geral
de Depósitos.

15. Juro – conceito e cálculo
Em síntese, relativamente a uma mesma quantia, a preferência
é receber o mais cedo possível e pagar o mais tarde possível.
É, pois, intuitiva a importância do fator tempo em qualquer
análise que envolva capitais. Vamos então atribuir-lhe um valor:

16. Juro-Remuneração do Capital durante determinado prazo.
É, no fundo, o valor do dinheiro tendo em conta o fator
tempo.
Justifica-se por 3 razões:
1.Privação da liquidez
2.Perda do poder de compra
3.Risco (dependendo da aplicação)
Juro – conceito e cálculo

17. Juro – conceito e cálculo
Vimos então que o juro depende de três fatores: o capital, o
tempo e a taxa de juro.
Sendo assim, o cálculo matemático do juro é muito simples:
basta multiplicar as três variáveis entre si estabelecendo a
forma fundamental do juro simples.
j = c x n x i
Convencionando-se que
j = juro c = capital n = tempo i = taxa de juro

18. Juro – conceito e cálculo / Regras Básicas
 O juro varia diretamente em relação a qualquer uma da
variáveis
 O juro nunca é negativo.
 Para c = 0, n = 0 ou i = 0 , vem j =0
A contagem do tempo pode ser efetuada de vários modos:
 Em anos
 Em meses
 Em dias

19. Juro – conceito e cálculo / Regras Básicas
Ao se efetuar o cálculo do juro é imprescindível e evidente
que as variáveis n (tempo) e i (taxa de juro) sejam
referidas á mesma unidade de tempo, isto é, se a taxa de
juro é anual o tempo deve ser expresso em anos: se a taxa
de juro é semestral, o tempo deve ser expresso em
semestre e assim sucessivamente.
Pelo que:
j = c x n x i ano
j = c x n/12
j
x i meses
= c x n/365 x i Dias ano civil

20. Juro – conceito e cálculo / Regras Básicas
No fundo a taxa de juro representa o preço do dinheiro no
tempo, mais concretamente ela é o preço de uma unidade de
capital, durante uma unidade de tempo.
Exemplo:
Calcule o juro produzido por um capital de 1.000€, á
taxa anual de 6%, após
a) 1 ano
b) 4 meses
c) 112 dias ano civil
d) 112 dias ano comercial

21. O processo de produção do juro designa-se por processo de
capitalização.
A frequência com que em determinada operação se processa
o juro designa-se por frequência ou periodicidade de
capitalização.
Regimes de capitalização

22. JURO
Não
capitaliza
É pago
Regime de juro
simples Puro
É retido
Regime de juro
dito simples
Capitaliza
Regime de juro
composto
Juro reproduzido

23. Exemplo
Determine o juro produzido por um capital de 100€, após 1 ano
à taxa anual de 20%, nas quatro situações seguintes:
1. Regime de juro simples
2. Regime de juro simples, semestral
3. Regime de juro composto, capitalização anual
4. Regime de juro composto, capitalização semestral

24.  Taxas Nominais / Taxas Efetivas
 Taxas Proporcionais / Taxas Equivalentes
 Taxas Ilíquidas / Taxas Líquidas
 Taxas Correntes / Taxas Reais
Taxas de Juro / Diferentes Conceitos

25. Como vimos, em regime de juro composto e quando simultanea-
mente, a taxa é anual mas as capitalizações são feitas em sub-
períodos do ano, o juro obtido após um ano dessas
capitalizações é superior ao que seria obtido se houvesse
apenas uma capitalização no ano.
Quando a taxa de 20% ao ano é capitalizada duas vezes,
conduz a uma taxa anual efetiva de 21%
A primeira é a taxa nominal e a segunda a taxa efetiva
Taxas nominais / Taxas efetivas

26. Taxas Proporcionais / Taxas Equivalentes
Quando a razão entre duas taxas é a mesma que existe entre
períodos de tempo que elas se referem, essas taxas dizem-se
proporcionais.
Duas taxas dizem-se equivalentes quando reportando-se a períodos
de tempo diferentes, fazem com que um mesmo capital produza o
mesmo juro após um mesmo intervalo de tempo, sendo as
capitalizações efetuadas de acordo com o período a que cada uma
das taxas está referida,

27. Classificação Taxas de Juro
Exemplo:
i =12% anual
i(1/12) = 6% semestral
i(1/4) = 3% trimestral
i(1/3) = 4% quadrimestral
i(1/12) = 1% mensal
i(1/24) = 0,5 bimensal
i(1/6) = 2% bimestral

28. Taxas Ilíquidas / Taxas liquidas,
Uma outra distinção entre taxas de juro tem a ver com o facto de
refletirem ou não o efeito fiscal sobre os juros suportados.
De um modo geral os juros produzidos em qualquer processo de
capitalização estão sujeitos a imposto (IRS). Este imposto ´e
normalmente calculado aplicando uma taxa de 28 % ao montante do
juro produzido, o que significa que, para o aforrador, ficam
apenas os restantes 72% do juro produzido em cada período da
capitalização.

29. Taxas Ilíquidas / Taxas liquidas,
Chama-se Taxa ilíquida ou bruta à taxa que não leva em
consideração o efeito fiscal e taxa líquida à taxa que já reflete o
efeito fiscal.
genericamente, considerando
liq : Taxa de juro líquida
iiliq : Taxa de juro ilíquida
timp : Taxa de imposto
teremos
liq = (1- timp).iiliq

30. Formulário juro simples e composto
J = juro
Co = capital
n = tempo
i = taxa de juro
Cn= capital futuro
30

31. Formula fundamental do juro e capital acumulado
Em regime de Juro Simples
j = c x n x i
S = c ( 1 + ni )
Juro acumulado
Capital acumulado

32. Regime de juro Simples
sai do processo de capitalização (sendo pago ouretido)
0 1 3
J3=ci
……..
……..
2 n
c J1=ci J2=ci Jn=ci
Juro Simples

33. Juro Simples - Formulário
J = Co * n * i
Cn = Co ( 1 + n*i)
Co = j /n*i
N = j /Co*i
I = j /Co*i

34. Juro Simples
As principais características do Juro Simples são:
O capital inicial permanece o mesmo durante toda a
operação.
O juro é o mesmo para cada um dos períodos da operação.
A taxa de juros é aplicada sobre o capital investido ou
capital inicial.
Juro Simples

35. Juro Simples
O juro simples corresponde ao juro obtido pela aplicação de
um montante de capital num depósito durante um
determinado período de tempo; o juro no final de cada
período de capitalização é constante;
Cn = C0*(1+n*i)
O juro denomina-se por i e tem de ser um valor decimal, Por
exemplo uma taxa de 5%, representa
i = 0,05.
Juro Simples

36. Período
Capital
Inicial (C0) Juro(Jt)
Juro
acumulado
Capital
acumulado ( Cn)
1 1 000,00 € 40,00 € 40,00 € 1 040,00 €
2 1 000,00 € 40,00 € 80,00 € 1 080,00 €
3 1 000,00 € 40,00 € 120,00 € 1 120,00 €
4 1 000,00 € 40,00 € 160,00 € 1 160,00 €
5 1 000,00 € 40,00 € 200,00 € 1 200,00 €
6 1 000,00 € 40,00 € 240,00 € 1 240,00 €
7 1 000,00 € 40,00 € 280,00 € 1 280,00 €
Juro Simples

37. Formula fundamental do juro e capital acumulado
Em regime de Juro Composto
Juro acumulado
Capital acumulado
j = c [ (1+i)
n
– 1]
S = c ( 1 + i )
n

38. • J = Cn - Co
• Cn = Co (1+i)^n
• Co = Cn/(1+i)^n
• I = (Cn/co)^1/n- 1
• N = log (Cn/co)/ log (1+i)
Juro composto - Formulário

39. Juro Composto
Neste regime, os juros devidos no final do período são
geradores de outros juros nos períodos seguintes.
O juro composto corresponde a considerar-se a capitalização
dos juros simples que vão sendo vencidos pelo depósito. No juro
composto, o juro devido em cada período é adicionado ao capital
inicial, constituindo um novo capital. Capitalização significa,
portanto, a incorporação do juro simples no capital, obtendo-se
um novo capital (maior que o inicial), o qual vai ser também ele
remunerado.
Juro composto

40. Juro Composto
Desta forma, num depósito com juro composto são obtidos juros
sobre juros e um capital crescente ao longo do tempo. A grande
diferença entre os juros simples e juros compostos é que
enquanto o primeiro cresce proporcionalmente com o tempo,
segundo cresce mais do que proporcionalmente com o tempo.
As principais características do Juro Composto são:
O capital inicial aumenta em cada período devido ao fato de que
os juros são adicionados
A taxa de juros é aplicada a um capital que varia.
Os juros vão aumentando.
Juro composto

41. Regimes de Equivalência
Exemplo
O Marco vai depositar 3000€, em regime de juros
composto, a uma taxa de 2% anual. Determina do capital
acumulado ao fim de 8 anos.
2% = 0,02
C = 3000(1+0,02)8 = 3514,98€
R: O Marco ao fim de 8 anos terá 3514,98€.

42. Capitalização Juro Composto

43. Capitalização Juro Composto
Exercício
A Marta vai depositar 2500€ num banco a uma taxa anual de 2%
por 6 anos, aplicado a mesma quantia taxa de juro composto e a
uma taxa de juro simples.
a) elabora uma tabela que indique a evolução do capital nos
primeiros seis anos para os dois regimes.
b) qual a diferença do lucro entre os regimes de juro simples e o
regime de juros compostos?