Aula 2

1. Sum´ario
O M ´ETODO DA INDUC¸ ˜AO
Luciana Santos da Silva Martino
PROFMAT - Col´egio Pedro II
13 de marc¸o de 2015

2. Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao
Sum´ario
1 Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia
2 Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao

3. Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao
Outline
1 Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia
2 Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao

4. Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao
Sequˆencias
Definic¸ ˜ao:
Uma sequˆencia real ´e uma func¸ ˜ao s : N → R
Definic¸ ˜ao de cada termo sn = s(n) a partir de n, ou por
recorrˆencia
O fatorial de um n´umero n
1! = 1
(n + 1)! = n!(n + 1), para todo n ∈ N
A raiz quadrada de um n´umero real positivo a
x1 = condic¸ ˜ao inicial
xn+1 = 1
2 xn + a
xn

5. Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao
O m´etodo de Newton para calcular a raiz quadrada
de um n´umero real positivo a, por aproximac¸ ˜oes
sucessivas
. x1 = 1
. xn+1 = 1
2 xn + a
xn
, para todo n ∈ N
Exerc´ıcio p.25 n. 2.3:
. Mostre que 1 ≤ xn ≤ 3
2 , para todo n
. Mostre que xn+1 −
√
2 = 1
2xn
(xn −
√
2)2
O erro no c´alculo de
√
2 cai muito rapidamente no m´etodo de Newton

6. Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao
Somat´orio e Produt´orio
Somat´orio
Σn
i=1ai = a1
Σn+1
i=1 ai = (Σn
i=1ai) + an+1, para todo n ∈ N
Produt´orio
Πn
i=1ai = a1
Πn+1
i=1 ai = (Πn
i=1).an+1, para todo n ∈ N

7. Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao
Demonstrando igualdades e desigualdades
Exerc´ıcio p.25 n. 2.1 letra d:
1 + 1
1 · 1 + 1
2
2
· ... · 1 + 1
n−1
n−1
= nn−1
(n−1)!
A desigualdade de Bernoulli
(1 + h)n ≥ 1 + nh, para todo n natural e todo h > −1
Outra desigualdade: 1
2 · 3
4 · 5
6 · ... · 2n−1
2n ≤ 1√
2n+1
, para todo
n ∈ N

8. Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao
Aplicac¸ ˜oes em aritm´etica
Exemplo: Mostre que, para todo n ∈ N, 4n + 6n − 1 ´e divis´ıvel
por 9
Exerc´ıcio p.25 n.2.4 letra d: Mostre que, para todo n ∈ N,
11n+2 + 122n+1 ´e divis´ıvel por 133

9. Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao
Resolvendo problemas com o m´etodo da induc¸ ˜ao
A Torre de Hanoi - Franc¸ois ´Edouard Anatole
Lucas(1842-1891):
Qual o n´umero m´ınimo de movimentos para
transferir todos os discos para uma outra base,
respeitando sempre a restric¸ ˜ao de que um disco
nunca seja colocado sobre um disco de
diˆametro menor?
Definic¸ ˜ao por recorrˆencia:
h1 = 1
hn = hn−1 + 1 + hn−1 = 2hn−1 + 1, ∀n > 1
Definindo o termo geral:
hn = 2n
− 1, ∀n ∈ N

10. Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao
Resolvendo problemas com o m´etodo da induc¸ ˜ao
A Pizza de Steiner - Jakob
Steiner(1796-1863):
Qual ´e o n´umero m´aximo de regi˜oes em que o
plano pode ser dividido por n retas?
O n´umero de regi˜oes ´e m´aximo quando cada
reta intersecta todas as demais em pontos
distintos
Definic¸ ˜ao por recorrˆencia:
r1 = 2
rn = rn−1 + n, ∀n > 1
rn+1 = rn + (n + 1), ∀n ∈ N
Definindo o termo geral:
rn = 1 + n(n+1)
2 = n2
+n+2
2 , ∀n ∈ N

11. Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao
Outline
1 Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia
2 Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao

12. Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao
Propriedades v´alidas para n´umeros naturais a
partir de um certo natural n0
Teorema:
Seja P(n) uma propriedade relativa ao n´umero natural n.
Suponhamos que
i) P(n0) ´e v´alida
ii) Para todo n ≥ n0, a validez de P(n) implica na validez de
P(n + 1)
Ent˜ao P(n) ´e v´alida para todo n ≥ n0
O Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao ´e um caso particular do acima, para
n0 = 1

13. Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao
Propriedades v´alidas para n´umeros naturais a
partir de um certo natural n0
Exemplo: Mostre que 2n > n2, ∀n ≥ 5
Uma outra variante do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao ocorre, quando
conv´em, no passo de induc¸ ˜ao, considerar a validez n˜ao
somente do antecessor direto, mas de dois ou mais
antecessores
Exemplo:
a1 = 1
a2 = 2
an+2 = 2an+1 − an, ∀n ∈ N
Definic¸ ˜ao pelo termo geral: an = n

14. Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao
O Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao generalizado
Teorema:
Seja P(n) uma propriedade relativa ao n´umero natural n.
Suponhamos que
i) P(1), P(2), ..., P(k) s˜ao verdadeiras
ii) Para todo n ∈ N, a validez de P(n), P(n + 1), ...,
P(n + k − 1) implica na validez de P(n + k)
Ent˜ao P(n) ´e v´alida para todo n ∈ N

15. Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao
A Sequˆencia de Fibonacci
Leonardo de Pisa(1170-1250):
Suponha que um casal de coelhos demore dois
meses para procriar. A partir da´ı, a cada mˆes
produz um novo casal de coelhos. Comec¸ando
no mˆes 1 com um ´unico casal, qual ´e o n´umero
de casais de coelhos no mˆes n?
(Fn)n∈N = 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
Fn = Fn−1 + Fn−2, ∀n ≥ 3
A F´ormula de Binet: Fn =
1+
√
5
2
n
− 1−
√
5
2
n
√
5

16. Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao
A raz˜ao ´aurea
limn→∞ Fn = rn
√
5
Os n´umeros de Fibonacci crescem exponencialmente e,
quando n cresce, eles se aproximam dos termos da
progress˜ao geom´etrica
r√
5
, r2
√
5
, r3
√
5
, ...
O n´umero
φ =
1 +
√
5
2
= 1, 61803398...
soluc¸ ˜ao positiva da equac¸ ˜ao x2 − x − 1 = 0, ´e chamado raz˜ao
´aurea ou n´umero de ouro

17. Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao
O Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao Completa ou Induc¸ ˜ao Forte
A hip´otese de induc¸ ˜ao ´e a validez da propriedade para todos
os naturais menores que ou iguais a um natural n
Teorema:
Seja P(n) uma propriedade relativa ao n´umero natural n.
Suponhamos que
i) P(1) ´e v´alida
ii) Para todo n ∈ N, a validez de P(k), ∀k ≤ n implica na validez
de P(n + 1)
Ent˜ao P(n) ´e v´alida para todo n ∈ N

18. Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao
Exemplo: Seja (an)n∈N uma sequˆencia definida por a0 = 2 e
an+1 =
Σn
k=0ak
n+2 , para cada natural n. Qual o termo geral de (an)?
Exerc´ıcio p.33 n.2.17: Use induc¸ ˜ao completa para demonstrar
o Teorema Fundamental da Aritm´etica
Todo n´umero natural n ≥ 2 ´e primo ou ´e um produto de primos

19. Definic¸ ˜oes por induc¸ ˜ao ou recorrˆencia Outras formas do Princ´ıpio da Induc¸ ˜ao
A Propriedade da Boa Ordenac¸ ˜ao
Todo subconjunto n˜ao vazio de N tem um menor elemento
Poder´ıamos ter feito o caminho contr´ario, demonstrando a
Propriedade da Boa Ordenac¸ ˜ao a partir do Axioma da Induc¸ ˜ao
e da´ı demonstrando o Pr´ıncipio da Induc¸ ˜ao Completa