Aula 7 do Profmat da UERJ - Números primos e números especiais - 06 10-17

1. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
Aritm´etica - MA14
AULA 7 - N´UMEROS PRIMOS E
N´UMEROS ESPECIAIS
Aline de Lima Guedes Machado
PROFMAT - IME/UERJ
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
aline.guedes@ime.uerj.br
06 de Outubro 2017
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2. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
Sum´ario
1 Pequeno Teorema de Fermat
2 Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
3 N´umeros perfeitos
4 Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
5 A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
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3. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
Sum´ario
1 Pequeno Teorema de Fermat
2 Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
3 N´umeros perfeitos
4 Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
5 A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
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4. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
Pequeno Teorema de Fermat
Desde, pelo menos, 500 anos antes de Cristo, os chineses sabiam
que, se p ´e um n´umero primo, ent˜ao, p|2p − 2.
Pierre de Fermat - s´eculo XVII - generalizou esse resultado.
O lema a seguir ser´a utilizado na demonstra¸c˜ao do Teorema:
Lema 7.15: Seja p um n´umero primo. Os n´umeros p
i , onde
0 < i < p s˜ao todos divis´ıveis por p.
Demonstra¸c˜ao:
Para i = 1, o resultado ´e v´alido: p
i = p
1 = p!
1!(p−1)! = p e p|p.
Para 1 < i < p, temos que i!|p(p − 1)...(p − i + 1) por serem i
n´umeros consecutivos. Como p > i, (i!, p) = 1, j´a que eles n˜ao
possuem fatores comuns.Pelo Lema de Gauss (teorema 5.11),
ent˜ao i!|(p − 1)...(p − i + 1) .
Pela defini¸c˜ao de n´umeros binomiais, p
i = p(p−1)(p−2)...(p−i+1)
i! ,
ent˜ao p| p
i , j´a que p(p−1)(p−2)...(p−i+1)
i! ´e um n´umero inteiro. 4 / 27

5. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
Pequeno Teorema de Fermat
Pequeno Teorema de Fermat: Dado um n´umero primo p, tem-se
que p|ap − a, ∀a ∈ Z.
Demonstra¸c˜ao:
Se p = 2,o resultado ´e v´alido: a2 − a = a(a − 1) ´e um n´umero par,
j´a que ´e produto de dois n´umeros consecutivos.
Se p for ´ımpar, pode-se considerar apenas os casos a ≥ 0, pois os
casos onde a < 0 seriam an´alogos.
Indu¸c˜ao sobre a.
Base: a = 0. p|0, ok.
Hip´otese: supor verdadeiro para a, ou seja, p|ap − a
Passo de indu¸c˜ao: provar que vale para a + 1: p|(a + 1)p − (a + 1)
De fato:
(a+1)p −(a+1) = ap + p
1 ap−1 + p
2 ap−2 +...+ p
p−1 a+1−a−1
= (ap − a) + p
1 ap−1 + p
2 ap−2 + ... + p
p−1 a.
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6. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
Pequeno Teorema de Fermat
Corol´ario: Se p ´e um n´umero primo e se a ´e um n´umero natural
n˜ao divis´ıvel por p, ent˜ao p|ap−1 − 1.
Demonstra¸c˜ao:
Pelo Pequeno Teorema de Fermat, p|ap − a = a(ap−1 − 1).
Como p |a ou (a, p) = 1, p|(ap−1 − 1).
OBS: Esse corol´ario tamb´em ´e chamado de Pequeno Teorema de
Fermat.
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7. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
Pequeno Teorema de Fermat
Exemplo: Dado n ∈ N, mostre que n5 e n, quando escritos na base
10, possuem o mesmo algarismo da unidade, al´em de que n5 − n ´e
sempre um n´umero m´ultiplo de 30.
Demonstra¸c˜ao:
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8. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
Pequeno Teorema de Fermat
Exemplo 2: Mostre que 5|a12 − 1 se a ∈ Z e (a, 5) = 1.
Demonstra¸c˜ao:
Exemplo 3: Mostre que 7|a6 − b6, se a e b s˜ao primos com 7.
Demonstra¸c˜ao:
Exemplo 4: Mostre que 21|a6 − b6, se a e b s˜ao primos com 21.
Demonstra¸c˜ao:
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9. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
Sum´ario
1 Pequeno Teorema de Fermat
2 Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
3 N´umeros perfeitos
4 Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
5 A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
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10. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
N´umeros de Fermat
A procura por n´umeros primos tornou-se um neg´ocio lucrativo, uma vez
que sistemas criptogr´aficos (conjunto de princ´ıpios e t´ecnicas empregadas
para tornar a escrita inintelig´ıvel para aqueles que n˜ao possam ter acesso a
tais informa¸c˜oes) mais usados na atualidade fazem uso de n´umeros primos
grandes. Exemplo: criptografia RSA.
OBS: A busca por n´umeros primos ´e constante e n˜ao ´e tarefa f´acil.
Proposi¸c˜ao: Sejam a e n n´umeros naturais maiores do que 1. Se an
+ 1 ´e
primo, ent˜ao a ´e par e n = 2m
, com m ∈ N
Demonstra¸c˜ao:
Seja an
+ 1 primo, a>1 e n>1. a tem que ser par, pois caso constr´ario,
an
+ 1 seria par maior que 2 e n˜ao seria primo. Se n n˜ao fosse potˆencia
de 2, ou seja, se n tivesse outros divisores primos p que n˜ao o 2, ter´ıamos
n = n p, n ∈ N. Da´ı, por proposi¸c˜ao anterior (3.8), com p ´ımpar
ter´ıamos: an
+ 1|(an
)
p
+ 1 = an p
+ 1 = an
+ 1 . Ou seja, encontrar´ıamos
um divisor de an
+ 1 diferente dele e 1, mas ele ´e primo. Absurdo.
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11. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
N´umeros de Fermat
N´umeros de Fermat:
Eles s˜ao da forma Fn = 22n
+ 1, n = 0, 1, 2....
Fermat (1640) achava que esses n´umeros eram todos primos. De
fato:
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65.537. Mas Euler (1732)
mostrou que F5 = 4.294.967.297 = 641x6.700.417 era composto.
Primos de Fermat:
Os n´umeros de Fermat que s˜ao primos s˜ao chamados de primos
de Fermat. At´e hoje n˜ao se sabe se existem outros primos de
Fermat al´em desses cinco.
OBS: No exemplo 6.18: (22n
+ 1, 22m
+ 1) = 1, se n = m.
Resultados como esse podem ter feito Fermat pensar
que seus n´umeros eram todos primos. 11 / 27

12. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
N´umeros de Mersenne
Outros n´umeros primos famosos.
Proposi¸c˜ao: Sejam a > 1 e n > 1 naturais. Se an
− 1 ´e primo, ent˜ao a = 2 e n
´e primo.
Demonstra¸c˜ao:
Suponha, por absurso, a > 2. Ent˜ao, a − 1 > 1 e a − 1|an
− 1 (proposi¸c˜ao 3.7).
Logo, an
− 1 n˜ao ´e primo, j´a que a − 1 = 1. Absurdo. Logo a=2. Suponha,
por absurdo, n n˜ao primo. Ent˜ao, n = rs, r > 1, s > 1. Como
2r
− 1|(2r
)s
− 1 = 2rs
− 1 = 2n
− 1, segue que 2n
− 1 n˜ao ´e primo. Absurdo.
Logo n ´e primo.
N´umeros de Mersenne:
Eles s˜ao da forma Mp = 2p
− 1, onde p ´e primo.
OBS: Nem todo n´umero de Mersenne ´e primo.
211
− 1 = 2047 = 23x89 n˜ao ´e primo.
Os n´umeros de Mersenne obtidos que s˜ao primos s˜ao chamados Primos de
Mersenne. Novo recorde em 2016: Primo M74.207.281 com 22 bilh˜oes de d´ıgitos
- ocuparia 7000 folhas de papel!!!!!!!
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13. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
Primos em PA
Teorema de Dirichlet:
Em um PA de n´umeros naturais, com primeiro termo e raz˜ao primos entre si,
existem infinitos n´umeros primos.
Caso particular: Na PA 3,7,11,15,...,4n+3 existem infinitos n´umeros primos.
Demonstra¸c˜ao:
Todo primo ´ımpar ´e da forma 4n + 1 ou 4n + 3.
Os n´umeros do tipo 4n + 1 s˜ao fechados em rela¸c˜ao `a multiplica¸c˜ao:
(4n + 1)(4n + 1) = 4(4nn + n + n ) + 1. Supor, por absurdo, que os primos da
forma 4n + 3 s˜ao finitos: 3 < p1 < p2 < ... < pk . Seja a = 4(p1 · p2 · · · pk ) + 3.
a n˜ao ´e divis´ıvel por nenhum desses primos. De fato, 3 n˜ao divide a, pois 3 teria
que dividir o produto dos pi s, mas nenhum deles ´e o 3. p1 n˜ao divide a, pois p1
divide o produto, mas p1 n˜ao divide 3, pois p1 = 3. Logo a decomposi¸c˜ao em
fatores primos de a teria que ser formada por primos da forma 4n + 1. Mas o
produto 4n + 1 s´o gera 4n + 1, absurdo, j´a que a ´e da forma 4n + 3.
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14. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
Sum´ario
1 Pequeno Teorema de Fermat
2 Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
3 N´umeros perfeitos
4 Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
5 A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
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15. Pequeno Teorema de Fermat
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N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
N´umeros perfeitos
Soma dos Divisores de um N´umero
Seja n natural. Define-se S(n) a soma de todos os seus divisores naturais.
S(1)=1.
Exemplo: Seja n natural. S(n) = n + 1 se e somente se n ´e um n´umero
primo.
Demonstra¸c˜ao:
De fato, se n ´e primo, n s´o tem como divisores n e 1. Logo, S(n)=n+1.
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16. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
N´umeros perfeitos
Sendo n ≥ 2, temos uma f´ormula especial para a soma dos divisores.
Soma dos divisores de um n´umero em fun¸c˜ao da sua decomposi¸c˜ao em
fatores primos.
Seja n = pα1
1 pα2
2 ...pαr
r a decomposi¸c˜ao de n em fatores primos. Ent˜ao:
S(n) =
p
α1+1
1 −1
p1−1
p
α2+1
2 −1
p2−1 ...
pαr +1
r −1
pr −1
Corol´ario: A fun¸c˜ao S(n) ´e multiplicativa;
Se (m, n) = 1, ent˜ao S(nm) = S(n)S(m).
Exemplos:
S(3) = 32
−1
3−1 = 4
S(6) = S(2.3) = 22
−1
2−1 · 32
−1
3−1 = 12
S(18) = S(2.32
) = 22
−1
2−1 · 33
−1
3−1 = 39
S(28) = S(22
.7) = 23
−1
2−1 · 72
−1
7−1 = 56
OBS: S(18) = 39 = 48 = S(3)S(6). Logo n˜ao vale se (n, m) = 1.
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17. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
N´umeros perfeitos
Os n´umeros 6 e 28 com a propriedades de serem iguais `a metade
da soma de seus divisores, tiveram o poder de fascinar os gregos
antigos, que os chamaram de n´umeros perfeitos.
N´umero perfeito
n ´e um n´umero perfeito se S(n) = 2n.
At´e a Idade M´edia s´o conheciam os seguintes n´umeros perfeitos:
6, 28, 496, 8128, 33.550.336. Hoje s˜ao conhecidos mais alguns.
Um fato curioso ´e que todos os n´umeros perfeitos conhecidos
s˜ao pares. N˜ao se sabe se n˜ao existem n´umeros perfeitos ´ımpares.
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18. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
N´umeros perfeitos
Caracteriza¸c˜ao de n´umeros perfeitos pares e n´umeros de Mersenne.
Teorema Euclides: Todo n´umero natural n da forma n = 2p−1
(2p
− 1),
onde 2p
− 1 ´e um n´umero primo de Mersenne ´e perfeito.
Demonstra¸c˜ao:
Seja n = 2p−1
(2p
− 1) e 2p−1
primo. Logo, p > 1, pois caso contr´ario
21
− 1 = 1 n˜ao seria primo. Da´ı, n ´e par, pois 2p−1
´e par. Como 2p
− 1 ´e
´ımpar, (2p−1
, 2p
− 1) = 1. Ent˜ao podemos usar o corol´ario anterior:
S(n) = S((2p−1
)(2p
− 1)) = S(2p−1
) · S(2p
− 1) = 2p−1+1
−1
2−1 2p
=
2p
−1
2−1 2p
= (2p
− 1)2 · 2p−1
= 2 · 2p−1
(2p
− 1) = 2n. n ´e perfeito.
Teorema Euler: Se um n´umero natural n ´e um n´umero perfeito, ent˜ao ele
´e da forma n = 2p−1
(2p
− 1), onde 2p
− 1 ´e um n´umero primo de
Mersenne.
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19. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
Sum´ario
1 Pequeno Teorema de Fermat
2 Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
3 N´umeros perfeitos
4 Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
5 A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
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20. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
Lembrete: Se a e b s˜ao n´umeros naturais, a
b representa o quoci-
ente da divis˜ao euclidiana de a por b. Se b > a > 0, ent˜ao a
b = 0.
Propriedade relacionada com os quocientes da divis˜ao euclidiana.
a
b
c
=
a
bc
Lembrete: Dado um n´umero primo p e um n´umero natural m,
Ep(m) ´e o expoente da maior potˆencia de p que divide m ou seja, o
expoente da potˆencia de p que aparece na fatora¸c˜ao de m.
Exemplo: E2(12) = E2(22.3) = 2.
Note que Ep(m.n) = Ep(m) + Ep(n).
Exemplo: Ep(6.12) = 3 = Ep(6) + Ep(12)
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21. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
Teorema de Legendre:
Sejam n um n´umero natural e p um n´umero primo. Ent˜ao:
Ep(n!) =
n
p
+
n
p2
+
n
p3
+ ...
Demonstra¸c˜ao:
Note que a soma acima ´e finita, pois a partir de um certo r, pi
> n ∀i ≥ r.
Portanto, n
pi = 0 se i ≥ r. Indu¸c˜ao sobre n.
Base n = 1 verdadeira:Ep(1) = 1
p
= 0, j´a que p0
= 1.
Supor v´alida para qualquer natural m, com m < n.
Sabemos que os m´ultiplos de p entre 1 e n s˜ao: p, 2p, 3p, ..., n
p
p. Logo, os
´unicos termos de n! que cont´em o fator p s˜ao esses acima. Da´ı:
Ep(n!) = Ep(p, 2p, 3p, ..., n
p
p) = Ep( n
p
!p
n
p ) = Ep( n
p
!) + n
p
. Pela
hip´otese de indu¸c˜ao, j´a que n
p
! < n: Ep( n
p
!) = [
n
p
p
] + [
n
p
p2 ] + ... e o
resultado segue da proposi¸c˜ao anterior. 21 / 27

22. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
Na pr´atica, para calcular Ep(n!), basta dividir n por p, p2, p3, ... at´e
pi < n e somar os quocientes dessas divis˜oes.
Exemplo 1:E2(10!) =?
E2(10!) = 5 (quociente da divis˜ao de 10 por 2)+2(quociente da
divis˜ao de 10 por 22 = 4)+1(quociente da divis˜ao de 10 por
23 = 8)=8
Exemplo 2:Determinar a decomposi¸c˜ao de 10! em fatores primos.
Encontrar Ep(10!) para todo primo p ≤ 10.
E2(10!) = 8
E3(10!) = 3 + 1 = 4
E5(10!) = 2
E7(10!) = 1
Da´ı: 10! = 28345271. 10! termina em dois zeros! 22 / 27

23. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
O pr´oximo resultado relacionar´a Ep(n!) com a representa¸c˜ao p-´adica
de n, ou seja, a representa¸c˜ao relativa `a base p de n
Teorema:
Sejam p, n ∈ N, p primo. Se n = nr pr + nr−1pr−1 + ... + n1p + n0
´e a representa¸c˜ao p-´adica de n, ent˜ao:
Ep(n!) =
n − (n0 + n1 + n2 + ... + nr−1 + nr )
p − 1
Exemplo:E2(10!).
10 = (1010)2
E2(10!) = 10−(0+1+0+1)
2−1 = 8
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24. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
Sum´ario
1 Pequeno Teorema de Fermat
2 Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
3 N´umeros perfeitos
4 Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
5 A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
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25. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
Vamos determinar quando a equa¸c˜ao Ep(x!) = α tem solu¸c˜ao em
x ∈ N e, nesse caso, determinar todas as solu¸c˜oes.
α ´e a maior quantidade do fator p existente em x!.
Os ´unicos termos de x! que cont´em o fator p s˜ao os m´ultiplos
de p menores ou iguais a x.
Ent˜ao resolver Ep(x!) = α ´e o mesmo que resolver
Ep((mp)!) = α, onde x = mp + r, 0 ≤ r < p.
Se existir solu¸c˜ao de Ep(x!) = α, ent˜ao as solu¸c˜oes ser˜ao da
forma: x = mp, mp + 1, mp + 2, ..., mp + (p − 1), m ∈ N.
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26. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
Algoritmo para resolver a equa¸c˜ao Ep(x!) = α:
1 Escrever α em expans˜ao na base p, ou seja, escrever a
expans˜ao p-´adica de α;
2 Verificar se α se escreve exatamente como:
α = ps + ps−1 + ... + p1 + p0 ou α = ps + ps−1 + ... + p1.
Se isso ocorrer, a equa¸c˜ao Ep(x!) = α n˜ao tem solu¸c˜ao.
Se n˜ao ocorrer o que foi citado acima, partir para a
busca da solu¸c˜ao.
3 Calcular ms = α(p−1)
ps+1−1
. Se ms for igual zero, calcular os
pr´oximos ms−1, ms−2 at´e que ml = 0, onde ml = α(p−1)
pl+1−1
;
4 Calcular m tal que m = m − ml pl ;
5 Calcular α tal que α = α − ml (pl + pl−1 + ... + p1 + p0);
6 Resolver Ep((m p)!) = α , onde m < m e
α < α, usando as etapas do algoritmo novamente. 26 / 27

27. Pequeno Teorema de Fermat
Primos de Fermat, de Mersenne e em PA
N´umeros perfeitos
Decomposi¸c˜ao do Fatorial em Primos
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
A equa¸c˜ao Ep(x!) = α
Resolver E7(x!) = 700
N˜ao tem solu¸c˜ao pois 400 = 73
+ 72
+ 71
+ 70
.
Resolver E7(x!) = 855
Esse ´e um caso em que, apesar de α = ps
+ ps−1
+ ... + p1
+ p0
ou , a equa¸c˜ao
Ep(x) = α n˜ao tem solu¸c˜ao. Esse ´e s´o o primeiro passo do algoritmo. Ao passar
novamente por essa linha do algoritmo e ela falhar, a equa¸c˜ao n˜ao tem solu¸c˜ao.
Resolver E5(x!) = 148
Solu¸c˜oes: x = 600, 601, 602, 603, 604.
Verificando: E5(600!) = 600
5
+ 600
25
+ 600
125
+ 600
625
=
=120 + 24 + 4 + 0 = 148 = E5(601!) =
=E5(602!) = E5(603!) = E5(604!)
J´a E5(605!) = 605!
5
+ 605
25
+ 605
125
+ 605
625
=
=121 + 24 + 4 + 0 = 149
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