1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo sistemas de coordenadas cartesianas, distância entre pontos, equações de retas e posições relativas entre retas. 2) Também aborda cálculo de distâncias, áreas de triângulos e outros conceitos geométricos representados no plano cartesiano. 3) Fornece as fórmulas e procedimentos para resolver problemas analíticos 2D relacionados a esses conceitos.

1. RReessuummoo ddee GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa –– PPaarrttee II Pré/3º Ano
profalexandreassis@hotmail.com 1
   
2 2
B A B Ad(A,B) x x y y   
d(A,B) b a 
 Sistema cartesiano ortogonal
É constituído por duas retas, x e y, perpendiculares entre si.
Em que:
- A reta x é chamada eixo das abscissas;
- A reta y é a chamada eixo das ordenadas;
- O ponto O é chamado origem;
- O número a é denominado abscissa de P;
- O número real b é denominado ordenada de P;
- O par ordenado (a, b) representa as coordenadas de P.
 Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos A e B de coordenadas a e b, respectivamente é dado por:
Em que d(A, B) é a distância entre A e B. O número real não-negativo d(A,B) é denominado, também,
comprimento do segmento AB.
 Distância entre dois pontos no plano
A distância entre os pontos  A AA x ,y e  B BB x ,y é dada por:

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 
2 2
A B A B
M M
x x y y
M x ,y M ,
  
  
 
 
3 3
A B C A A A
G G
x x x y y y
G x ,y G ,
    
  
 
 
 
 
1
1
1
A A A A
B B B B
C CC C
A x ,y x y
B x ,y D x y
x yC x ,y


 


 Ponto Médio de um segmento
O ponto médio do segmento AB, sendo  A AA x ,y e  B BB x ,y é dado por:
 Coordenadas do baricentro de um triângulo
O baricentro de um triângulo ABC de coordenadas  A AA x ,y ,  B BB x ,y e  C CC x ,y é dado por:
 Alinhamento de três pontos
Sejam os pontos da figura:
- D = 0 A, B e C são colineares, isto é, estão alinhados.
- D 0 A, B e C são os vértices de um triângulo.

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 Estudo da reta
(i) Equação geral
1
1 0
1
A A
B B
x y
x y ax by c
x y
   
Em que:
A B
A B
A A B B
a y y
b x x
c x y x y
 

 
  
Observações:
0
0
0 0
c
a y reta horizontal
b
c
b y reta vertical
a
c ax by reta passa pela origem

   


   

    


`
O coeficiente angular ou declividade m da reta é dado por:
B A
B A
y y a
tg m m
x x b

     

(ii) Reta que passa por um ponto dado e a declividade conhecida
Seja a reta r que passa por  A AA x ,y e com declividade m; então:
 A Ay y m x x  
(iii) Equação reduzida
A equação reduzida da reta r da figura é dada por:
y mx b 
b é o chamado coeficiente linear.

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(iv) Equação segmentária
A equação segmetária da reta r que passa pelos pontos A(a, 0) e B(0, b) da figura é dada por:
1
x y
a b
 
(v) Equação paramétrica
São equações que não relacionam diretamente entre si as coordenadas x e y. Essas equações são
dadas em função de uma terceira variável t, chamada parâmetro.
 Posição relativas entre duas retas
Sejam as retas :
r r r
s s s
reta r : y m x b
reta s : y m x b
 

 
1
r s
r s r s
r s r s
r
s
m m r e s são concorrentes.
m m e b b r e s são paralelas e distintas.
m m e b b r e s são paralelas e coincidentes.
m r e s são perpendiculares.
m
 
  
  
  

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 Ângulos entre duas retas
Sejam as retas r1 e r2 indicadas nas figuras seguintes. O ângulo agudo  entre elas é tal que:
2 1
1 21
m m
tg
m m

 
 
1
1
tg
m
 
 Distância entre ponto e reta
Dados um ponto P(xP, yP) e uma reta r de equação ax + by + c = 0, a distância entre P e r é dada por:
  2 2
P Pax by c
d P,r
a b
 


 Área de um triângulo
1
2
S D  com
1
1
1
A A
B B
C C
x y
D x y
x y
