Slides com explicações de forma didática sobre o conteúdo circunferência.

1. CIRCUNFERÊNCIA
ISABELA COELHO MALAQUIAS

2. CONCEITO
▪ É um lugar geométrico na qual há infinitos pontos equidistantes de um ponto
dado, chamado de centro.

3. DIFERENÇA CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA
▪ Círculo: É formado pela circunferência e todos os pontos no interior dela, ou
seja, é onde estão localizados todos os pontos na qual a distância até o centro é
menor ou igual ao raio

4. RAIO, DIÂMETRO E CORDA
▪ Raio: Distância de um ponto da circunferência até o centro.
▪ Corda: Segmento de reta que une dois pontos da circunferência.
▪ Diâmetro: Uma corda que passa pelo centro.
●Todo diâmetro é uma corda mas nem toda corda é um diâmetro!

5. MEDIATRIZ E CORDA
▪ Mediatriz: uma reta perpendicular a um segmento de reta e que passa pelo ponto médio.
▪ Traçando as mediatrizes das cordas de uma circunferência, o ponto de encontro é o centro!

6. EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA
▪ A equação da circunferência está ligada ao conceito de circunferência, já que a distância de um
ponto da circunferência até o centro é igual ao raio
D= ∆𝑥2 + ∆𝑦2
∆𝑥2 + ∆𝑦2 = R
∆𝑥2+∆𝑦2= 𝑅2
(𝒙 − 𝒙𝒄) 𝟐
+ (𝒚 − 𝒚𝒄) 𝟐
= 𝑹 𝟐
-------- EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA
▪ Xc = x do centro ; Yc = y do centro ; R = Raio

7. COMO DESCOBRIR A EQUAÇÃO REDUZIDA
▪ Pode-se descobrir a equação tendo o centro e o raio ou o centro e um ponto
● Centro e raio:
Centro (-2,4) Raio: 5
(𝒙 + 𝟐) 𝟐
+ (𝒚 − 𝟒) 𝟐
= 25
● Centro e um ponto
Centro (3,2) Ponto (1,5)
(1 − 3)2 + (5 − 2)2 = 𝑅2
4 + 9 = 𝑅2
R = 13 ---------- (𝒙 − 𝟑) 𝟐
+ (𝒚 − 𝟐) 𝟐
= 13

8. EQUAÇÃO REDUZIDA A PARTIR DA REPRESENTAÇÃOGEOMÉTRICA
É possível visualizar que o centro é (3,3) e o raio 4 então:
(𝒙 − 𝟑) 𝟐
+ (𝒚 − 𝟑) 𝟐
= 16

9. EQUAÇÃO GERAL DA CIRUNFERÊNCIA
▪ Basta desenvolver a equação reduzida
▪ Pegando o exemplo anterior:
(𝑥 − 3)2
+ (𝑦 − 3)2
= 16
𝑥2
- 6x + 9 + 𝑦2
- 6y + 9 – 16 = 0
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 - 6x – 6y + 2 = 0 --------- EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA!

10. DESCOBRIR O CENTRO E O RAIO PELA EQUAÇÃO GERAL
Equação: 𝑥2
+ 𝑦2
- 6x – 6y + 2 = 0
▪ As coordenadas do centro são a metade do oposto do número que está com o X e com
o Y
Quem está com x = -6 ---- Metade = -3 ---- Oposto = 3 Coordenadas do Centro:
Quem está com y = -6 ---- Metade = -3 ---- Oposto = 3 (3,3)
▪ Raio --- 𝑎2
+ 𝑏2
- k = 𝑅2
“a” e “b” = Coordenadas do centro
9 + 9 – 2 = 𝑅2
K = Termo independente na equação geral
R = 4

11. POSIÇÃO RELATIVA PONTO E CIRCUNFERÊNCIA
▪ Ponto sobre a circunferência = Distância do centro até o ponto é igual ao raio
▪ Ponto externo = Distância do centro até o ponto é maior que o raio
▪ Ponto interno = Distância do centro até o ponto é menor que o raio

12. EXEMPLO
▪ Ponto (P) (-1,2) ; Centro (C) (2,6) ; Raio = 6
D (c,p)= ∆𝑥2 + ∆𝑦2
D(c,p) = 32 + 42
D (c,p) = 25
D (c,p) = 5
5 < 6 =É menor que o raio, ou seja, é um ponto interno a circunferência!

13. POSIÇÃO RELATIVA RETA E CIRCUNFERÊNCIA
▪ Reta secante = Possui dois pontos em comum com a circunferência (Distância do centro
até a reta é menor que o raio)
▪ Reta externas/exterior = Não possui nenhum ponto em comum com a circunferência
(Distância do centro até a reta é maior que o raio)
▪ Reta Tangente = Possui um ponto em comum com a circunferência (Distância do centro
até a reta é igual ao raio)

14. EXEMPLO
▪ Reta: x – y – 1 = 0 ; Centro (5,0) ; Raio = 2
D (c,r) =
|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|
𝑎2+𝑏2
D (c,r) = =
|1(5)+(−1)(0)+(−1)|
12+(−1)2
D (c,r) =
|4|
2
D (c,r) =
4 2
2
= 2 2
Para saber se é maior, menor ou igual ao raio, eleva-se os dois
ladosao quadrado
(2 2)2
> 22
8 > 4 É maior que o raio,ou seja, reta externa!
a = Quem está com o x na reta
b = Quem está com o y na reta
x e y = Coordenadas do centro

15. RETA TANGENTE – PROPRIEDADE RELATIVA
▪ A reta que passa pelo centro e pelo ponto de tangência é perpendicular a reta
tangente!!

16. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE CIRCUNFERÊNCIAS
▪ Tangente = Possuem 1 ponto em comum
Externas = d(c1,c2) = R + r ; Internas = d(c1,c2) = R – r
▪ Disjuntas = Não possuem nenhum ponto em comum
Externas = d(c1,c2) > R + r ; Internas = d(c1,c2) < R – r
▪ Secantes = Possuem dois pontos em comum
R – r < d(c1,c2) < R + r
● c1 = Centro 1 ; c2 = Centro 2

17. REPRESENTAÇÃO

18. EXEMPLO
▪ (𝑥 − 2)2
+ 𝑦2
= 16 ; (𝑥 + 2)2
+ (𝑦 + 2)2
= 25
c1 (2,0) Raio =4 ; c2 (-2,-2) Raio = 5
D (c1,c2)= ∆𝑥2 + ∆𝑦2 Soma dos raios = 9 ; Diferença dos raios = 1
D (c1,c2) = 42 + 22 (2 5)
2
> 92
(2 5)
2
> 12
D (c1,c2) = 20 20 < 81 20 > 1
D (c1,c2) = 2 5 R – r < d(c1,c2) < R + r ----- São Secantes!

19. REPRESENTAÇÃODO EXEMPLO ANTERIOR

20. CALCULAR O COMPRIMENTO DE UMA CORDA
▪ Reta suporte da corda: x – y – 1 = 0 ; circunferência = 𝑥2
+ 𝑦2
- 2x – 7 = 0
x – y – 1 = 0 ------------------ x = 1 + y
𝑥2
+ 𝑦2
- 2x – 7 = 0
(1 + 𝑦)2
+ 𝑦2
- 2(1 + y) – 7 = 0
𝑦2 + 2y + 1 + 𝑦2 - 2 – 2y – 7 = 0
2𝑦2 - 8 = 0
𝑦2 = 4
Y = +- 2 x = 1 + y x = 1 + y
x = 1 -2 x = 1 + 2
x = -1 (-1,-2) x = 3 (3,2)
A(-1,-2) B(3,2)
D= ∆𝑥2 + ∆𝑦2
D = 42 + 42
D = 32
D = 4 2 ---- Comprimentoda
corda!

21. REPRESENTAÇÃODO EXEMPLO ANTERIOR