O documento descreve: 1) Os eixos de coordenadas no espaço (x, y, z) e planos coordenados. 2) Interseções de planos, que resultam em retas. 3) Exemplos de representação analítica de objetos geométricos no espaço como paralelepípedos, esferas e retas.

1. z
ox – eixo das abcissas
oy – eixo das ordenadas
oz – eixo das cotas
o y
x
Z Plano Z=K
Z=K
K
Y
X
Plano XOY ou Z=0
1 – Referenciais no Espaço
2- Planos Coordenados e Intersecção de Planos
num
erosnam
ente
1
P L A N O S

2. PLANO Y=K
K
Y=K
PLANO XOZ
Y=0
Z
Y
X
Plano YOZ ou X=0
Plano X=KK
Z
Y
X
num
erosnam
ente
2
QUADRO RESUMO:
YOZ XOY
XOZ
xoz
yoz
xoz

3. Intersecção do plano Z=K com Z
o plano Y=C é uma recta Recta
Z =K ∧Y =C
A recta a paralela a XX’
C Y
K
X
Intersecção do plano Z=K com
o plano X=C é uma recta
Z
C
K
X
Y
Recta
Z =K ∧ X =C
A recta é paralela a YY’
Intersecção do plano Y=C com Z
o plano X=K é uma recta
A recta é paralela a ZZ’
Recta
X =K ∧Y =C
K
C Y
X
num
erosnam
ente
3
3 - Retas no espaço

4. Modos de definir um plano
Três pontos não Uma recta e um ponto Duas rectas paralelas Duas rectas
colineares exterior à recta não coincidentes concorrentes
Posições relativas de duas rectas no espaço
Complanares Não complanares
Paralelas Concorrentes
Coincidentes Não Coincidentes
a b
a
a
P
b a
bb
a ≡ b a ∩ b = ∅ a ∩ b = {P} a ∩ b = ∅
Posições relativas de dois planos no espaço
Paralelos Concorrentes
Coincidentes Não Coincidentes
α
α
ββ
α rβ
α ≡ β α ∩ β = ∅ α ∩ β = r
Posições relativas de uma recta e um plano no espaço
Paralelos Concorrentes
Recta contida no plano Recta exterior ao plano
r
r
r P
α α α
r ⊂ α r ∩ α = ∅ r ∩ α = {P}
4 – Quadro - Resumo
num
erosnam
ente
4

5. Paralelismo entre uma recta e um plano
Se uma recta é paralela a outra recta contida num plano então é
paralela a esse plano.
Paralelismo entre dois planos
Se um plano contém duas rectas concorrentes paralelas a outro
plano, então os planos são paralelos.
Perpendicularidade entre uma recta e um plano
Se uma recta é perpendicular a duas rectas secantes dum plano
Perpendicularidade entre dois planos
Se um plano contém uma recta perpendicular a outro plano
então os planos são perpendiculares.
Um plano corta planos paralelos segundo rectas paralelas
Dois planos distintos paralelos a um terceiro são paralelos
entre si
Dois planos perpendiculares à mesma recta são paralelos
entre si
então é perpendicular a esse plano.
num
erosnam
ente
5

6. Equação da superfície esférica de centro (a,b,c) e raio r:
Equação da esfera de centro (a,b,c) e raio r:
Z
D
(0,0,2) C
A
B
H G
E F
(3,0,0)
X
Represente analiticamente :
- o Paralelipípedo:
3 ≤ x ≤ 0 ˄ −3≤ y ≤ 3 ˄ 0 ≤ z ≤ 2
ou 3 ≤ x ≤ 0 ˄ │y │ ≤ 3 ˄ 0 ≤ z ≤ 2
- A face [ABFE]:
x = 3 ˄−3 ≤ y ≤ 3 ˄ 0 ≤ z ≤ 2
- A face [ADHE]:
y = −3 ˄ 0 ≤ x ≤ 3 ˄ 0 ≤ z ≤ 2
- A aresta [AB]:
x = 3 ˄ z = 2 ˄ −3 ≤ y ≤ 3
- A recta BC:
y = 3 ˄ z = 2
- A recta AE:
x = 3 ˄ y = −3
A(3,0,2)
B(3,3,2)
C(0,3,2)
D(0,-3,2)
E(3,-3,0)
F(3,3,0)
Y
G(0,3,0)
H(0,-3,0)
(x  a)2
 (y b)2
 (z  c)2
 r2
(x  a)2
 (y b)2
 (z  c)2
 r2
5 – Superfície Esférica e Esfera
6 – Exemplo nº1
O paralelepípedo da figura tem as faces inferior e posterior contidas nos planos XOY e YOZ
num
erosnam
ente
6

7. Exemplo nº2
num
erosnam
ente
7
No referencial ortonormado está representado um prisma triangular reto cuja base [AOE] está
contida no plano XOZ. A aresta [BC] mede 5 unidades e o ponto D tem as coordemnadas
(0,2,3).
a) Determine as coordenadas do ponto A e do vetor CE
O=(0,0,0) ; D=(0,2,3) ; C=(0,2,0) ; B=(5,2,0) ; A=(5,0,0) ; E=(0,0,3)
Vetor CE = E-C =(0-0,0-2,3-0)=(0,-2,3)
b) Calcule a área do triângulo [BED] 
[BD] obtem-se pelo T. Pitágoras (Triangulo[DCB]) = 5,83 unidades
Área do triângulo [BED]= [ED]x[CB]/2= 14,58 unidades quadradas
c) Caracterize o plano BCD por uma condição cartesiana.
BCD: y=2