1) O documento apresenta conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo definições de seno, cosseno e tangente.
2) São descritas as variações dessas funções trigonométricas nos diferentes quadrantes do ciclo trigonométrico.
3) Incluem-se também fórmulas para adição e subtração de arcos trigonométricos, assim como propriedades dessas funções.
3. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
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4. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
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5. 1
EM_V_MAT_025
Funções
trigonométricas,
equações e
inequações
trigonométricas
A redução ao 1.° quadrante facilita o aluno à
reflexão e ao estudo sobre os âgulos agudos, partindo
somente da variação nos sinais.
Redução do 2.° ao 1.°
quadrante
Seja um arco AP = x, com
2
< x < , observe
que:
AP’ = PA’
AP’ + PA’ =
AP + AP’ = AP’ = – AP AP’ = – x
É imediato que:
sen x = sen( – x)
cos x = – cos( – x)
tg x = sen x
cos x
= sen x ( – x)
– cos x ( – x)
= – tg ( – x)
cotg x = – cotg( – x)
sec x = – sec( – x)
cossec x = cossec( – x)
Exemplos:``
sen
2
3
= sen ( –
2
3
) = sen
3
= 3
2
cos
2
3
= – cos ( –
2
3
) = – cos
3
=
–1
2
sen 150º = sen(180º –150º) = sen 30º =
1
2
cos 150º = – cos(180º –150º) = – cos 30º = 3
2
–
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6. 2
EM_V_MAT_025
Redução do 3.º ao 1.º
quadrante
Seja um arco AP = x, tal que < x < 3
2
e P’ o
ponto do ciclo, simétrico de P em relação ao centro.
Temos:
AP – AP’ = x –
É imediato que:
sen x = – sen(x – )
cos x = – cos(x – )
tg x = sen x
cos x
= – sen x (x – )
– cos x (x – )
= tg (x – )
cotg x = cotg(x – )
sec x = – sec(x – )
cossec x = – cossec(x – )
Redução do 4.º ao 1.º
quadrante
Seja o arco AP = x, tal que
3
2 < x < 2 e P’ o
ponto do ciclo, simétrico de P em relação ao eixo dos
cossenos. Temos:
AP + PA = 2
PA = AP’
x + AP’ = 2 AP’ = 2 – x
É imediato que:
sen x = – sen (2 – x)
cos x = cos (2 – x)
tg x = – tg (2 – x)
cotg x = – cotg (2 – x)
sec x = sec (2 – x)
cossec x = – cossec (2 – x)
Fórmulas
de adição e diferença
Conhecidas as funções trigonométricas de dois
arcos de medidas a e b, vamos obter fórmulas para
calcular as funções trigonométricas da soma (a + b)
e da diferença (a – b).
Cosseno da soma
No ciclo, construímos dois arcos AC e BD que
possuem a mesma medida, portanto, as cordas
AC e BD são iguais.
As coordenadas dos pontos A, B, C e D em rela-
ção ao sistema cartesiano mOn são: A(1; 0),
B(cos a; sen a), C(cos(a + b); sen(a + b) e
D[cos(–b); sen(–b)] = D(cos b; –sen b).
Aplicando a fórmula da distância entre dois
pontos da geometria analítica, temos:
d2
= (xC
– xA
)2
+(yC
– yA
)2
=AC
= [cos(a + b) – 1]2
+ [sen(a + b) – 0]2
= cos2
(a + b) – 2 cos(a + b) + 1 sen2
(a + b) =
= 2 – 2 cos(a + b)
d2
= (xD
– xB
)2
+(yD
– yB
)2
=BD
= (cos b – cos a)2
+ (–sen b – sen a)2
=
= cos2
– 2 cos a . cos b + cos2
a + sen2
b +
+ 2 sen a . sen b + sen2
a = 2 – 2 cos a . cos b +
+ 2 sen a . sen b
dAC = dBD ⇒ 2 – 2cos(a+b) = 2 – 2cos a . cos b
+ 2sen a . sen b
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7. 3
EM_V_MAT_025
então, vem a fórmula:
cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
Cosseno da diferença
cos(a – b) = cos[a + (–b)] =
= cos a . cos(–b) – sen a . sen(–b)
então:
cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
Seno da soma
sen(a + b) = cos[ π
2
– (a + b)] =
cos[(
π
2
– a)] = cos ( π
2
– a) . cos b +
+ sen (
π
2
– a) . sen b
então:
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
Seno da diferença
Analogamente, temos:
sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a
Tangente da soma
tg(a+b) =
sen(a+b)
cos(a+b)
Desenvolvendo, encontramos:
tg(a+b) =
tg a+tg b
1– tg a . tgb
a, b e (a+b) devem ser diferentes de
π
+ kπ
2
Tangente da diferença
Analogamente, temos:
tg(a – b) =
tg a – tg b
1+ tg a . tgb
com a, b e (a – b) diferente de
π
kπ
2
Arco duplo
Cos 2a
cos 2a = cos(a + a) = cos a, cos a – sen a . sen a
então: cos 2a = cos2
a – sen2
a
Sen 2a
sen 2a = sen (a + a) = sen a . cos a + sen a .
cos a
então: sen 2a = 2 sen a . cos a
Tg 2a
tg 2a = tg(a+a) =
tg a + tg a
1– tg a . tg a
então:
tg 2a =
2 tg a
1 – tg2
a
Transformação em produto
O objetivo é transformar uma soma algébrica de
funções trigonométricas de arcos em um produto de
funções trigonométricas dos mesmos arcos.
Vimos que:
cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b (I)
cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b (II)
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a (III)
sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a (IV)
Somando ou subtraindo, temos:
(I) + (II) cos (a + b) + cos (a – b) =
2 cos a . cos b
(I) – (II) cos (a + b) – cos (a – b) =
– 2sen a . sen b
+
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8. 4
EM_V_MAT_025
(III) + (IV) sen (a + b) + sen (a – b) =
2 sen a . cos b
(III) – (IV) sen (a + b) – sen (a – b) =
2 sen b . cos a
Fazendo-se:
a+b=p
⇒
a–b=q
a =
p+q
2
b =
p – q
2
Substituindo, obtemos:
Função seno
Definição
Consideremos um arco AP = x e seja N a proje-
ção ortogonal de P sobre o eixo (n) dos senos.
Por definição, chama-se seno do arco AP a me-
dida algébrica do segmento ON.
sen x =
ON
OP
ON
1
sen x =ON
Observe que a um arco AP qualquer de determi-
nação x corresponde a um único segmento ON, cuja
medida algébrica representaremos por y.
Portanto, podemos definir uma função de R em
R, tal que a cada x associa um y = sen x = ON.
Variação da função seno
x sen x
x = 0º sen x = 0
0º < x < 90º sen x > 0
x = 90º sen x = 0
90º < x < 180º sen x > 0
x = 180º sen x = 0
180º < x < 270º sen x < 0
cos p + cos q = 2 cos
p + q
. cos
p – q
2 2
cos p – cos q = – 2 sen
p + q
. sen
p – q
2 2
sen p + sen q = 2 sen
p + q
. cos
p – q
2 2
sen p – sen q = 2 sen
p – q
. cos
p + q
2 2
Quadrantes
Consideremos um ciclo trigonométrico de ori-
gem A e os eixos m e n que dividem a circunferência
em quatro arcos: AB, BA, A’B’ e B’A. Dado um arco AP
ou ângulo central AÔP (AP = AÔP = x), temos:
x está no 1.º quadrante ⇔ P AB
x está no 2.º quadrante ⇔ P BA’
x está no 3.º quadrante ⇔ P A’B’
x está no 4.º quadrante ⇔ P B’A
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9. 5
EM_V_MAT_025
x = 270º sen x = –1
270º < x < 360º sen x < 0
x = 36º sen x = 0
Observe que o ponto P, numa volta completa no
ciclo trigonométrico, faz o valor do seno (ON) variar
entre –1 e +1. A cada volta esse comportamento se
repete. A função seno é uma função periódica e seu
período é 2π.
Gráfico
Propriedades
A função seno (y – sen x) é periódica e seua)
período é 2π.
A função y = sen x é ímpar [sen(–x) = – sen x].b)
A função y = sen x é crescente no 1.º e 4.ºc)
quadrantes e decrescentes no 2.º e 3.º qua-
drantes.
Sinaisd)
D(f) = Re)
Função cosseno
Definição
1
Consideremos um arco AP = x e seja M a proje-
ção ortogonal de P sobre o eixo (m) dos cossenos.
Por definição, chama-se cosseno do arco AP a
medida algébrica de OM .
Variação da função cosseno
x sen x
x = 0º cos x = 1
0º < x < 90º cos x > 0
x = 90º cos x = 0
90º < x < 180º cos x < 0
x = 180º cos x = –1
180º < x < 270º cos x < 0
x = 270º cos x = 0
270º < x < 360º cos x > 0
x = 360º cos x = 1
Observe que o ponto P, numa volta completa no
ciclo trigonométrico, faz o valor do seno (OM) variar
entre –1 e +1. A cada volta esse comportamento se
repete. A função cosseno é uma função periódica e
seu período é 2π.
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10. 6
EM_V_MAT_025
Propriedades
A função cosseno (y = cos x) é periódica ea)
seu período é 2π.
A função y = cos x é par [cos(–x) = cos x].b)
É crescente no 3.º e 4.º quadrantes e decres-c)
centes no 1.º e 2.º quadrantes.
Sinaisd)
D(f) = Re)
Função tangente
Definição
Dado um arco AP = x, com x real e x = 90º + k .
180º (k ∈ Z). Consideremos a reta 2OP e seja T a inter-
seção com das tangentes (t). Denominamos tangente
de AP a medida algébrica do segmento AT.
OA = R = 1
AT
tg x =
OA
tg x = AT
1
tg x =AT
De forma análoga,
teremos: y = tg x (função tangente)
Variação da função tangente
180º < x < 270º
Gráfico
Propriedades
A função tangente é periódica e seu período éa)
π. De fato, a cada meia volta verificamos que
os valores da função y = tg x se repetem.
A função y = tg x é ímpar [tg(–x) = – tg x].b)
A função y = tg x é crescente quando x per-c)
corre qualquer um dos quatro quadrantes.
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11. 7
EM_V_MAT_025
Sinaisd)
D(f) =e) {x ∈ R/x ≠ π + kπ, k ∈ Z}
2
Equações trigonométricas
Na resolução de uma equação (ou inequação)
trigonométrica é importante saber:
sen sen
= + 2k
ou,
= ( – ) + 2k
k Z
Exemplos:``
a) sen x = sen 60º
x = 60º + 360º . k ou x = 120º + 360 . k; k Z
b) sen x = sen 5
3
x = 5
3
+2k ou x = – 2
3
+ 2k ; k Z
c) sen x = 1
2
sen x = sen 30º
x = 30º + 360º . k ou x = 150º + 360º . k; k Z
cos = cos
= + 2k
ou,
= (2 – ) + 2k
k Z
Exemplos:``
a) cos x = cos 45º
x = 45º + 360º . k ou x = 315º + 360º . k; k Z
b) cos x = cos 2
3
x = 2
3
2k ou x = 4
3
+ 2k ; k Z
c) cos x = –1
cos x = cos 180º
x = 180º + 360º . k, k Z
tg = tg { = + k , k Z
Exemplos:``
a) tg x = tg 30º
x = 30º + 180º . k, k Z
b) tg x = –1
tg x = tg 135º
x = 135º + 180 . k; k Z
c) tg x = tg
2
Como tg
2
não existe, não existe x.
Inequações trigonométricas
Nas inequações trigonométricas, devemos
achar o intervalo satisfatório.
Exemplos:``
Ache as soluções das inequações para x [0, 2 ].
a) sen x 1
2
sen x
sen 30o
sen 150o
S = [30º, 150º]
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12. 8
EM_V_MAT_025
b) cos x < – 1
2
cos x <
cos 120o
cos 240o
S = ]120º, 240º[
c)
tg x 1
tg x
tg 45°
tg 225°
S =
4
,
2
5
4
, 3
2
Se sen1. =
1
3
, então o valor de sen (25 + ) –
sen (88 – ) é:
–a)
1
3
1
3
b)
–c) 3
2
0d)
2
3
e)
Solução:`` D
sen (25 + ) – sen (88 – ) =
sen ( + ) – sen (2 – ) =
– sen – (– sen ) =
– sen + sen = 0
Para x =2. 3 , determine o valor da expressão:
E =
cos sec (2 + x)
cotg x + 2 . sec x + 2
Solução:``
1
sen (2p + x)
E =
1
tg x + p
2
. 1
cos x + p
2
1
sen x
E =
1
sen x + p
2
E =
sen x + p
2
sen x
=
sen x
cos x
3
E =
2
1
2
3=
O seno de um dos ângulos de um losango é igual a3.
1
2
,
portanto a tangente do maior ângulo interno é:
–1a)
–b) 3
2
–c) 3
3
d) 3
3
3
2
e)
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13. 9
EM_V_MAT_025
Solução:`` C
Se sen =
1
2
e + = 180º
= 180º – (θ > )
sen = sen (180º – )
sen = sen
1
2
= sen
sen2
+ cos2
= 1
1
2
2
+ cos2
= 1 cos = 3
2
,
como > tg = – 3
3
Simplifique a expressão:4.
sen(a+b) – sen(a – b)
cos(a+b) – cos(a – b)
Solução:``
sen a cos b + sen b cos a – (sen a cos b – sen b cos a)
cos a cos b – sen a sen b – (cos a cos b + sen a sen b)
sen a cos b + sen b cos a - sen a cos b+sen b cos a
cos a cos b – sen a sen b – cos a cos b – sen a sen b
2 . sen b . cos a
= –
cos a
= – cot g a
–2 . sen a . sen b sen a
Calcule cos 22º 30’.5.
Solução:``
cos 2 = cos2
– sen2
cos 2 = 2 cos2
– 1
cos2
= 1 + cos2
2
1 + cos2
2
cos = ±
cos 22,5°= +
2
1+
2
2
cos 22,5° =
2 2
2
Calcular y = sen6. 2
24º – sen2
6º, dado sen 18º = 5 – 1
4
.
Solução:``
sen2
24º – sen2
6º = (sen 24º+sen 6º)(sen 24º – sen 6º) =
2.sen 30°
2
. cos 18°
2
2.sen 18°
2
. cos 30°
2
=
2 . sen 15º . cos 9º . 2 . sen 9º . cos 15º =
2 . sen 15º . cos 15º . 2 . sen 9º . cos 9º =
sen 30º . sen 18º =
1
2
=. 5 – 1
4
5 – 1
8
O valor máximo assumido por7. y =
5 cos x + 3
2
é igual a:
4a)
3b)
2c)
6d)
5e)
Solução:``
Como –1 ≤ cos x ≤ 1 temos
y =
5 . 1 + 3
→ y = 4
2
Obter o domínio da função:8. f(x) =
1 + tg x
sen 2x
.
Solução:``
Dom
tg x
sen x
tg x x k k Z
sen x x k k
.
,
,
≠
≠
≠ → ≠ + ∈
≠ → ≠ ∈
0
2 0
0
2
2 0 2
π
π
π ZZ x k k Z
Dom x R x k k Z
→ ≠ ∈
= ∈ ≠ ∈
π
π
2
2
,
. { / , }
Um professor de eletricidade mostrou para seus alunos9.
um dispositivo eletrônico que transforma as correntes
alternadas em um único polo e o seu gráfico fica parecido
com o da função
f x
sen x
( ) = +2
2
Esboce o gráfico desta função.
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14. 10
EM_V_MAT_025
Solução:``
f x
sen x
'( ) = +2
2
f x
sen x
( ) = +2
2
O número de raízes da equação sen x + cos x = 0, no10.
intervalo [0, 2 ], é:
0a)
1b)
2c)
3d)
4e)
Solução:``
sen x + cos x = 0 sen x = – cos x
sen x
cos x
= –1 ⇒ tg x = –1 . S = 3
4
, 7
4
O número de soluções serão duas.
Determine o conjunto solução da inequação sen x . cos11.
x > 0, para x [0, 2 ].
Solução:``
Serão os quadrantes onde sen x e cos x possuam o
mesmo sinal.
S = 0,
2
, 3
2
Pedro foi ao parque e observou que a roda12. gigante
tinha 2m de raio e o ponto mais baixo fica a 1m do solo.
Considerando a roda gigante como um círculo trigo-
nométrico e o ponto mais baixo como início, quantos
graus a roda gigante rotaciona para uma pessoa atingir
a altura exata de 4m?
Solução:``
A roda rotaciona 120º ou 240º.
(PUC-SP)1. O valor de sen 1 200o
é igual a:
cos 60a) o
– sen 60b) o
cos 30c) o
– sen 30d) o
cos 45e) o
(Cescea-SP) O valor da expressão 2.
cos 150o
+ sen 300o
– tg 225o
– cos 90o
é:
− −3 1a)
− +3 1b)
3 1+c)
− −3 3
2
d)
(Uberlândia) Simplificando-se a expressão:3.
2cos
86
3
3
11
4
π π
− tg , obtém-se:
–4a)
−2 3b)
2c)
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15. 11
EM_V_MAT_025
1 3+d)
4e)
(UFF)4. cos sen cotx x tg x gx+ + + − − +( )
( )π
π
2
, em
que 0
2
< <x
π
, é equivalente a:
2
2sen x
a)
xb)
2 cos 2xc)
tgx
x
d)
x cotg xe)
(Unificado) Se x é um ângulo agudo, tg(90° + x) é5.
igual a:
tga) x
cotgb) x
– tgc) x
– cotgd) x
1+ tge) x
Sendo dado que:6.
sen cos
cos
180 90
360 180
3
2
° − ⋅ ° −
° − ⋅ ° +
=
( ) ( )
( ) ( )
x x
tg x x
. Tem-se neces-
sariamente:
cos x =
1
2
a)
x
o
= 60b)
90° < x < 180°c)
tgx = − 3d)
x = 45e) O
Para todo x real, podemos afirmar que:7.
cos cosx x= − +( )πa)
cos cosx x= + −( )πb)
cos senx x= − −( )π 2c)
− = −( )cos cosx x2πd)
cos senx x= +( )2πe)
(Fuvest)8. Sendo sen ,α =
9
10
com 0
2
< <α
π
, tem-se:
sen sen senα
π
α< <
3
2a)
sen sen sen
π
α α
3
2< <b)
sen sen senα α
π
< <2
3
c)
sen sen sen2
3
α
π
α< <d)
sen sen sen2
3
α α
π
< <e)
(PUC) Se sen9. x =
3
5
, um possível valor de sen 2x é:
4
5
a)
6
5
b)
5
12
c)
24
25
d)
12
13
e)
(UERJ)10. Lembrandoquecos (a+b)=cosa.cosb–sena
. sen b sen (a + b) = sen a . cos b + sen b cos a
demonstre as identidades:a)
cos1) 2 2 12
θ θ( ) = −cos
cos2) 3 4 3
3
θ θ θ( ) = −cos cos
Sabendo-se que11. x y− = °60 , assinale a alter-
nativa que corresponde ao valor da expressão
cos cos sen senx y x y+ + +( ) ( )2 2
1a)
1
2
b)
2c)
3d)
3
2
e)
(Unificado)12. Considerando-se sen . sen ,x =
1
2
25
6
π
o valor de cos 2x será:
7
8
a)
5
8
b)
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16. 12
EM_V_MAT_025
3
8
c)
3
4
d)
1
2
e)
(PUC)13. Os ângulos agudos a e b são tais que tg a =
1
3
e tg b =
1
2
. O ângulo a + b é igual a:
arctg
1
2
a)
30°b)
45°c)
60°d)
90°e)
(UFRJ) Seja x tal que sen x + cos x = 1. Determine todos14.
os valores possíveis para sen2x + cos2x.
O domínio máximo da função dada por15.
f x x( )
= −sec 2
3
π
é o conjunto:
x R x k∈ ≠ +
{ }| ,
π
π
2
a) onde k ∈Ζ
x R x k∈ ≠ +
{ }| ,
5
12 2
π π
b) onde k ∈Ζ
x R x k∈ = +
{ }| ,
5
12 2
π π
c) onde k ∈Ζ
x R x k∈ = +
{ }| ,
π π
6 2
d) onde k ∈Ζ
x R x k∈ ≠ +
{ }| ,
π π
6 2
e) onde k ∈Ζ
(Unificado)16. Assinale o gráfico que representa a função
real definida por y x= −2 sen .
a)
2
1
3
x0
y
π/2 π 3π/2 2π
b)
1
-1
2
-2
0
y
xπ/2
π 3π/2
2π
c)
0
1
y
-1
x
π/2
π 3π/2 2π
d)
0
-1
-2
-3
y
x
π/2 π 3π/2 2π
e)
0
1
2
3
Y
xπ/2 π 3π/2 2π
(Rural) Analise o gráfico abaixo:17.
f(x)
2
0 π 2π 3π 4π
-2
x
A função f R: ,0 4π[ ]→ que pode ter como gráfico o
desenho acima é f ( x ) igual a:
− ( )2 2sen xa)
4 3sen x( )b)
− ( )3 2sen xc)
−
2
2
sen
x
d)
2
2
sen
x
e)
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17. 13
EM_V_MAT_025
Construa o gráfico da função18. f R: , ,− →
3
2
4
π
defi-
nida por f x
se x
x se x
( )
=
≤ ≤
− ≤ <
1 0 4
3
2
0
,
cos ,
π
(PUC) Seja19. f x x x( ) ( )= 2
. cos π função definida em
R. Então, f f2 2( ) ( )− − vale:
16a)
8b)
4c)
2d)
0e)
A função que melhor se adapta ao gráfico é:20.
2
1
0 ππ 3π 2π
2 2
x
y
y x= +1 sena)
y
x
= cos
2
b)
y x= +1 senc)
y x x= +sen cosd)
y x= +1 2sene)
(Unificado) Se cos21. 2
1
4
x = , então tg x
2
é igual a:
3
5
a)
5
8
b)
8
5
c)
5
3
d)
8
3
e)
(Unirio)22. Oconjunto-soluçãodaequação sen cos ,x x=
sendo 0 2≤ <x π, é:
π
4
{ }a)
π
3
{ }b)
5
4
π
{ }c)
π π
3
4
3
,
{ }d)
π π
4
5
4
,
{ }e)
(UFRJ)23. Resolva a equação para x [0,2p]:
sen . . sec cos . cot . cos sec .x tg x x x g x x=
(Unirio) O conjunto-solução da equação24. cos ,2
1
2
x =
onde x é um arco da 1.ª volta positiva, é dado por:
60 300° °{ },a)
30 300° °{ },b)
30 150° °{ },c)
30 150 210 330° ° ° °{ }, , ,d)
15 165 195 345° ° ° °{ }, , ,e)
(UFF)25. Determine o valor do número real m na equação
m = sen cos cos ,2 2 2
2 2x x x m− + + =( )
(UCBA)26. Se θ
π
π∈
2
; , os valores reais de m, para os
quais cos ,θ =
−3 1
4
m
são tais que:
m >
1
3
a)
m < 3b)
− < <1
1
3
mc)
− < <
1
3
1md)
m ou m> < −
5
3
1e)
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18. 14
EM_V_MAT_025
(Unirio) O valor numérico da expressão1.
sen cos
sec cos sec cot
π
π
4
240 750
2
1200
9
4
5
+
+
o
tg
o
o
g
π
6
2
3 2
6
+( )a)
−
+( )3 2
6
b)
3 2
6
−( )c)
−
−( )3 2
6
d)
0e)
Dados: tg 252. o
= a e m=
-
+
tg
o
tg
o
tg
o
tg
o
205 115
245 335
, o valor de
m é:
1
1
+
-
a
a
2
2
a)
a
a
+
−
1
1
b)
ac)
0d)
1 + ae) 2
(Cesgranrio) O valor de cos3. 29 4 16 3π π( ) ( )+ tg é:
3 2
2
−
a)
3 2
2
+
b)
− −3 2 2 3
6
c)
1
1
+
-
a
a
2
2
d)
+ +3
2
2
e)
Simplificando a expressão:4.
( )( )
( )( ) ( )cos
cos
sen
sen
sec
cos sec
90
270
180 90
o
x
o
x
o
x
x
o
x+
+ +
–
+
–
+
–xx
cos xa)
– 1b)
1c)
0d)
3e)
Simplificando a expressão:5.
y
x x
x x
=
+ ⋅ +
+ ⋅ −
( ) ( )
( ) ( )
sen sen
cos cos
3 2 3 2
2
π π
π π
y = tg xa)
y = cotg xb)
y = sen xc)
y = cos xd)
y =1e)
(Unificado) Sendo6.
A
x x
x
=
− − +
−
( ) ( )
7 5 3 3
8
2
cos cos
sen
π π
π
com x k≠ +
π
π
2
, k Z∈ , então:
A = -1a)
2A = 1b)
2A + 1 = 0c)
4A + 5 = 0d)
5A – 4 = 0e)
(UEPG) O quadrante em que a tangente, a co-tangente,7.
a secante e o cosseno são negativos é o:
1ºa)
2ºb)
3ºc)
4ºd)
n.d.a.e)
SendoA8. = + + + +cos cos cos cos12 25 38 168
o o o o
K .
Calcular o valor de 1 + 2A
.
(Fuvest) No quadrilátero ABCD onde os ângulos B e D9.
são retos e os lados têm as medidas indicadas, o valor
de sen  é:
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19. 15
EM_V_MAT_025
A
2x
2x x
x
B
C
D
5
5
a)
2 5
5
b)
4
5
c)
2
5
d)
1
2
e)
(Cesgranrio) No retângulo ABCD da figura AB = 5,10.
BC = 3 e CM = MN = NB. Determine tg MÂN.
D
A
C
B
N
M
(UFF)11. Sendo k Z∈ , n N e x R∈ ∈* , a expressão
sen cos senx x x
n
+ −( ) ( )
2
2 é equivalente a:
sen 2k
n
π( )[ ]a)
cos 2k
n
π π+( )[ ]b)
cos nkπ( )c)
sen 2
2
k
n
π
π
+
d)
sen nkπ( )e)
(UFF)12. Se ˆ ,M ˆ ˆN e P são ângulos internos de um triângulo
não-retângulo, pode-se afirmar que tgM tgN tgPˆ ˆ ˆ+ +
é:
–1a)
0b)
1
tgM tgN tgPˆ ˆ ˆ+ +
c)
tgM tgN tgPˆ . ˆ . ˆd)
tgM tgN tgPˆ . ˆ ˆ+e)
(PUC) A soma das soluções de sen 2x = cos x contidas13.
no intervalo fechado 0 2, π[ ] é:
3
2
π
a)
2πb)
5
2
π
c)
3πd)
7
2
π
e)
O valor de14. sen , cos ,22 5 22 5
2
° + °( ) é:
1 2
2
−
a)
1 2
2
+
b)
2 2
2
+
c)
2 2
2
−
d)
1e)
Simplificando-se15. y = ° + ° − °cos cos cos ,80 40 20
obtém-se:
0a)
sen 20°b)
1c)
1
2
d)
-1e)
(UFRRJ) Em um triângulo ABC, cujos ângulos são16.
designados por A, B e C supõe-se que:
2 0
2
tg A tg B tg C e A= + < <
π
. A relação que vale
neste triângulo é:
tg B tg C. = 3a)
cos cosB C A+ =( ) 2b)
cos secB C A− =( ) 2c)
tg B tg C tg. = 3d)
tg B tg C tg A. =e)
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20. 16
EM_V_MAT_025
(Fuvest) O valor de17. tg g10 10 20° + ° °( )cot sen é:
1
2
a)
1b)
2c)
5
2
d)
4e)
(UERJ)18. Considere a função real, de variável real x,
definida por f x x x x( ) [ ]= − + ∈1 0 2
2
sen cos , , .π
Utilizando esses dados, responda aos itens A e B.
Calculea) f π( ).
Esboce o gráfico cartesiano e f.b)
(Unirio) Assinale o gráfico que melhor representa a19.
função real definida por y x= −cos .1
a)
0,6
0
y
1,2
1,8
2,4
3,14
3,7
4,3
4,9
5,5
6,3
1
x
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
b)
0,6
0
y
1,2
1,8
2,4
3,14
3,7
4,3
4,9
5,5
6,3
1
x
0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
c)
0,6
0
y
1,2
1,8
2,4
3,14
3,7
4,3
4,9
5,5
6,3
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,2
x
d)
0,6
0
y
1,2
1,8
2,4
3,14
3,7
4,3
4,9
5,5
6,3
0,2
0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-1,2
x
e)
0,6
0
y
1,2
1,8
2,4
3,14
3,7
4,3
4,9
5,5
6,3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
x
(Fuvest) A figura abaixo mostra parte do gráfico da20.
função
2π 4π
-2
2
sen xa)
2 sen xb)
2
2
sen
x
c)
2 sen 2xd)
sen 2xe)
(UFF)21. A figura abaixo representa parte do gráfico das
funções y senxey x= =cos .
−2π −π π x
P
Q
R
y
− 3π
2
−
π
2
π
2
Sobre os pontos P, Q e R são feitas as afirmações:
O pontoI) P(x, y) é tal, que x é um arco do 2.º qua-
drante.
O pontoII) Q(x, y) é tal, que x é um arco do 3.º qua-
drante.
O pontoIII) R(x, y) pertende à reta y = x.
Destas afirmações, é(são) verdadeira(s) apenas a(s)
de número(s):
Ia)
IIb)
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21. 17
EM_V_MAT_025
IIIc)
I e IId)
II e IIIe)
(UERJ)22. O aluno que estudar Cálculo poderá provar
com facilidade que a área da superfície plana limitada
pelos gráficos de f(x) = sen x e f(x) = 0, no intervalo
0
2
≤ ≤x
π
, como ilustra o gráfico abaixo, é igual a 1.
y
x
0
1 Área = 1
2
π
A partir dessa informação, pode-se concluir que a área
limitada pelos gráficos de f(x) = cos x e f(x) = 0, no
intervalo
−
≤ ≤
π π
2
3
2
x , é:
0a)
3b)
4c)
5d)
6e)
(Unirio) Considerando que o movimento de um23.
determinado pêndulo é definido pela equação
x t= +
3
2 6
cos ,
π π
em que x é a posição da mas-
sa do pêndulo (em m) no instante t (em s) em relação à
posição de equilíbrio (x = 0) e convencionando o deslo-
camento à direita como positivo, e negativo à esquerda,
como mostra a figura, determine:
x = 0 x > 0x < 0
o gráfico do deslocamento em função do tempo,a)
equivalente a um período completo da função.
a distância máxima do corpo à posição de equilí-b)
brio.
o período do pêndulo.c)
a posição do corpo em t = 1s.d)
(Unirio)24. O menor valor real e positivo de x tal que
4
1
2
−
=
senx
é:
πa)
π
2
b)
π
3
c)
π
4
d)
π
6
e)
(PUC)25. Resolva a equação sen cos .
2 2 1
2
x x− =
(Cesgranrio)26. Se 0
2
< <x
π
, a equação sen :
1
0
x
=
tem uma infinidade de soluções.a)
não tem solução.b)
tem somente uma solução.c)
tem exatamente quatro soluções.d)
tem um número finito, maior do que quatro, de so-e)
luções.
(Unicamp) Ache todos os valores de x, no intervalo27.
0 2, ,π[ ] para os quais sen cos .x x+ =
+2 3
2
Determine os valores de28. x ∈[ ]0, π tais que
4 3cos secx x=
Resolvendo a equação29. cos sen ,θ( )= 1 obtém-se:
θ = 0a)
θ
π
=
2
b)
θ π= ∈k k, Ζc)
θ π= ∈2k k, Ζd)
θ π= + ∈( )2 1k k, Ζe)
(Cesgranrio)30. Das equações abaixo, aquela que tem
maior número de raízes no intervalo 0 10
6
≤ ≤x é:
sen x3
0=a)
sen x
2
0=b)
sen x = 0c)
sen x
1
2
0=d)
sen x3
0=e)
(Unirio)31. Obtenha o conjunto solução da inequação
sen , ,2
0 5x = sendo 0 2≤ <x π.
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22. 18
EM_V_MAT_025
(UFF)32. Determine o(s) valor(es) de x IR∈ que
satisfaz(em) a desigualdade: cos sen2
2 1x x≥ +( )
No intervalo 0 < x < 233. π, a equação trigonométrica:
sen sen sen ... sen :9 8 7
1 0x x x x+ + + + + =
Não tem soluçãoa)
Tem uma soluçãob)
Tem duas soluçõesc)
Tem três soluçõesd)
Tem infinitas soluçõese)
(Unicamp) Encontre todas as soluções o sistema:34.
sen
sen
x y
x y
+ =
− =
( )
( )
0
0
que satisfazem
0 0≤ ≤ ≤ ≤x e yπ π.
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