Conjunto1

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Exercícios resolvidos sobre conjuntos

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Conjunto1

  1. 1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOSProf. Carlos Alberto G. de AlmeidaDEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB27 de abril de 2013Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  2. 2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSINTRODUÇÃONeste material de apoio estudaremos os seguintes assuntos:Teoria dos Conjuntos.Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre oassunto descrito acima, porém, é interessante que você estudeantes a teoria no Nos livros indicados na Bibliografia.BOM ESTUDO!Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  3. 3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSCONJUNTO - ELEMENTO - PERTINÊNCIANa teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definição,isto é, são consideradas noções primitivas:1 conjunto;2 elemento;3 pertinência entre elemento e conjunto.Um Conjunto é uma coleção, ou agrupamento, ou uma classede elementos.1 conjunto de vogais: a, e, i, o, u;2 conjunto dos algarismos romanos: I, V, X, L, C, D, M;3 conjunto dos números ímpares positivos: 1, 3, 5, 7, 9, ...;4 conjuntos dos núumeros primos positivos: 2, 3, 5, 7, 11, ....Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  4. 4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSCONJUNTO - ELEMENTO - PERTINÊNCIAUm elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número,um nome, etc. É importante notar que um conjunto pode serelemento de outro conjunto. Por exemplo, o conjunto dasseleções que disputam um campeonato mundial de futebol éum conjunto formado por equipes que, por sua vez, sãoconjuntos de jogadores.Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula,A, B, C, ..., e um elemento com uma letra minúscula, a, b, c,d, x, y, ... .Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence aoconjunto A, escrevemos: x ∈ A.Para indicar que x não é elemento do conjunto A, escrevemos:x ∈ A.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  5. 5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSCONJUNTO - ELEMENTO - PERTINÊNCIAÉ habitual representar um con-junto pelos interiores a umalinha fechada e não entrela-çada. Assim, na representaçãoao lado temos:a ∈ A, b ∈ A, d ∈ A.Figura: Diagrama de Euler-Venn.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  6. 6. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSDESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO: Pela citação dos elementosQuando um conjunto é dado pela enumeração de seuselementos, devemos indicá-lo escrevendo seus elementosentre Chaves.1 conjunto de vogais: {a, e, i, o, u};2 conjunto dos algarismos romanos: {I, V, X, L, C, D, M}.3 conjunto dos números ímpares positivos: 1, 3, 5, 7, 9, ...;4 conjuntos dos núumeros primos positivos: 2, 3, 5, 7, 11, ....Esta notação também é empregada quando o conjunto éinfinito: escrevemos alguns elementos que evidenciem a leide formação e em seguida colocamos reticências.1 conjunto dos números ímpares positivos: {1, 3, 5, 7, 9, · · · };2 conjuntos dos núumeros primos positivos:{2, 3, 5, 7, 11, · · · }.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  7. 7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSDESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO: Por uma propriedadeQuando queremos descrever um conjunto A por meio de umapropriedade de característica P de seus elementos x,escrevemos:A = {x|x tem a propriedade P}e lemos: "A é o conjunto dos elementos x tal que x tem apropriedade P".Exemplos:1 {x|x e Estado da Regiao Nordeste Brasil} é uma maneirade indicar o conjunto: {Paraiba, Pernambuco, Bahia}2 {x|x e divisor inteiro de 3} é uma maneira de indicar oconjunto: {1, −1, 3, −3}Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  8. 8. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSCONJUNTO UNITÁRIO - CONJUNTO VAZIOChama-se Conjunto Unitário aquele que possui um únicoelemento. Exemplos:conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: {1};conjunto das soluções da equação: 3x + 1 = 10: {3};conjunto dos Estados brasileiros que fazem fronteira como Uruguai: { Rio Grande do Sul }.Chama-se Conjunto Vazio aquele que não possui elementoalgum. O símbolo usual para o conjunto vazio é: { } ou ∅.Obtemos um conjunto vazio quando descrevemos um conjuntopor meio de uma propriedade P logicamente falsa.Exemplos:{x|x = x} = ∅;{x|x é impar e múltiplo de 2} = ∅Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  9. 9. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSCONJUNTO UNIVERSO - UQuando vamos desenvolver um certo assunto de Matemática,admitimos a existência de um conjunto U ao qual pertencemtodos os elementos utilizados no tal assunto. Esse conjunto Urecebe o nome de Conjunto Universo. Assim, se procurarmosas soluções reais de uma equação, nosso conjunto universo éR (conjunto dos números reais); se estamos resolvendo umproblema cuja solução vai ser um número inteiro, nossoconjunto universo é Z (conjunto dos números inteiros). Quasesempre a resposta para algumas questões depende douniverso U em que estamos trabalhando.Portanto, quando vamos descrever um conjunto A através deuma propriedade P, é essencial fixarmos o conjunto universo Uem que estamos trabalhando, escrevendo:A = {x ∈ U|x tem a propriedade P}Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  10. 10. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSEXERCÍCIOS: Dê os elementos dos seguintes conjuntos:1 A = {x|x é letra da palavra matemática}2 B = {x|x é cor da bandeira brasileira}3 C = {x|x é nome de Estado que começa com a}Solução:1. A = {m, a, t, e, i, c}2. B = {branco, azul, amarelo, verde}3. C = {Amazonas, Amapá, Acre, Alagoas}.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  11. 11. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSEXERCÍCIOS: Descreva por meio de uma propriedadecaracterística dos elementos cada um dos conjuntos seguintes:1 A = {0, 2, 4, 6, 8, ...}2 B = {I, II, III, X, IX, XV, ..., L}3 C = {Brasília, Rio de Janeiro, Salvador }Solução:1. A = {x| é inteiro, par e não negativo}2. B = {x| x é algarismo romano}3. C = {x| x é nome de cidade que já foi capital do Brasil}Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  12. 12. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSCONJUNTOS IGUAISDois conjuntos A e B são conjuntos iguais quando todoelemento de A pertence a B, reciprocamente, todo elemento deB petence a A. Em símbolos:A = B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B)Exemplos:{a, b, c, d} = {d, c, b, a}{1, 3, 5, 7, 9, ...} = {xvert x é inteiro, positivo e ímpar}{x|2x + 1 = 5} = {2}Observemos que na definição de igualdade entre conjuntosnão intervém a noção de ORDEM entre elementos; portanto:{a, b, c, d} = {d, c, b, a} = {b, a, c, d}Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  13. 13. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSSUBCONJUNTOSUm subconjunto A é subcon-junto de um conjunto B, se e so-mente se, todo elemento de Apertence também a B. Com anotação A ⊂ B indicamos que"A é subconjunto de B"ou "Aestá contido em B"ou "A é partede B". O símbolo ⊂ é denomi-nado sinal de inclusão.Em símbolos, a definição fica:A ⊂ B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A =⇒ x ∈ B)Exemplos:{a, b} ⊂ {a, b, c, d}{x|x é inteiro e par} ⊂ {x|x é inteiro}Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  14. 14. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSSUBCONJUNTOSQuando A ⊂ B indicamos que"A não está contido em B", istoé, a negação de A ⊂ B.É evidente que A ⊂ B somentese existe ao menos um ele-mento de A que não pertence aB.Exemplos:{a, b, c} ⊂ {b, c, d, e}{x|x é inteiro e par} ⊂ {x|x é inteiro e primo}Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  15. 15. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSPROPRIEDADES DA INCLUSÃOSendo A, B e C três conjuntos arbitrários, valem as seguintespropriedades:1 ∅ ⊂ A2 A ⊂ A (reflexiva)3 (A ⊂ B e B ⊂ A) =⇒ A = B (anti-simétrica)4 (A ⊂ B e B ⊂ C) =⇒ A ⊂ C (transitiva)Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  16. 16. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSCONJUNTO DAS PARTESDado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A -notação P(A) - aquele que é formado por todos ossubconjuntos de A. Em símbolosP(A) = {X|X ⊂ A}Exemplos:Se A = {a}, os elementos de P(A) são ∅ e {a}, isto é:P(A) = {∅, {a}}.Se A = {a, b}, os elementos de P(A) são ∅, {a}, {b} e {a, b},isto é: P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.Se A = {a, b, c}, os elementos de P(A) são∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} e {a, b, c}, isto é:P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, {a, b, c}}.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  17. 17. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSEXERCÍCIOS: Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4}.1 escreva com os símbolos da teoria dos conjuntos asseguintes sentenças:1 3 é elemento de A2 1 não está em B3 B é parte de A4 B é igual a A5 4 pertence a B2 classifique as sentenças anteriores em falsa ouverdadeira.Solução:1 3 ∈ A (V)2 1 ∈ B (V)3 B ⊂ A (V)4 B = A (F)5 4 ∈ B (V)Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  18. 18. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSEXERCÍCIO: Sendo A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3, 4} eD = {1, 2, 3, 4}, classifique em V ou F cada sentença abaixo ejustifique.1 A ⊂ D2 A ⊂ B3 B ⊂ C4 D ⊃ B5 C = D6 A ⊂ CSolução:1 V, pois 1 ∈ A, 1 ∈ D, 2 ∈ A e2 ∈ D;2 F, pois 1 ∈ A e 1 ∈ B;3 F, pois 2 ∈ B e 2 ∈ C;4 V, pois 2 ∈ B, 2 ∈ D, 3 ∈ Be 3 ∈ D;5 F, pois 2 ∈ D e 2 ∈ C;6 V, pois 2 ∈ A e 2 ∈ C.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  19. 19. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSREUNIÃO DE CONJUNTOSDados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B oconjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.A ∪ B = {x|x ∈ A ou x ∈ B}O conjunto A ∪ B (lê-se "A reu-nião B"ou "A u B") é formadopelos elementos que perten-cem a pelo menos um dos con-juntos A e B. Notemos que x éelemento de A∪B se ocorrer aomenos uma das condições se-guintes:x ∈ A ou x ∈ BProf. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  20. 20. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSINTERSEÇÃO DE CONJUNTOSDados dois conjuntos A e B, chama-se Interseção de A e B oconjunto formado pelos elementos que pertencem a A e B.A ∩ B = {x|x ∈ A e x ∈ B}O conjunto A ∩ B (lê-se "A interB") é formado pelos elementosque pertencem aos dois conjun-tos A e B simultaneamente.Se x ∈ A ∩ B, isso significa quex pertence a A e também x per-tence a B. O conectivo e colo-cado entre as duas condiçõessignifica que elas devem ser ob-decidas ao mesmo tempo.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  21. 21. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSDIFERENÇA DE CONJUNTOSDados conjuntos A e B, chama-se Diferença entre A e B oconjunto formado pelos elementos de A que não pertencem aB.A − B = {x|x ∈ A e x ∈ B}EXEMPLOS{a, b, c} − {b, c, d, e} = {a}{a, b, c} − {b, c} = {a}{a, b} − {c, d, e, f} = {a, b}{a, b} − {a, b, c, d, e} = ∅Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  22. 22. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSCOMPLEMENTAR DE B EM ADados dois conjuntos A e B, taisque B ⊂ A, chama-se Comple-mentar de B em relação a A oconjunto A − B, isto é, o con-junto dos elementos de A quenão pertencem a B.Com o símbolo BA ou B indicamos o complementar de B emrelação a A. Notemos que BA só é definido para B ⊂ A, e aítemos: BA = A − BEXEMPLOS:Se A = {a, b, c, d, e} e B = {c, d, e}, então: BA = {a, b}Se A = {a, b, c, d} = B, então: BA = ∅Se A = {a, b, c, d} e B = ∅, então: BA = {a, b, c, d} = AProf. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  23. 23. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSQuestão 01: Dados os conjuntos A = {3, 5, 7, 9}, B = {7, 9} eC = {5, 7, 9}, determine (A ∩ B) ∪ C, (B ∪ C) ∩ A, ( BC) ∩ A e(B∩C)A .Solução:(A ∩ B) = {7, 9}.Daí, teremos (A ∩ B) ∪ C = {7, 9} ∪ {5, 7, 9} = {5, 7, 9} = C(B ∪ C) = {5, 7, 9}, logo(B ∪ C) ∩ A = {5, 7, 9} ∩ {3, 5, 7, 9} = {5, 7, 9} = CSabemos que BC = C − B = {5}. Assim, temos que( BC) ∩ A = {5} ∩ {3, 5, 7, 9} = {5}.B∩CA = A − (B ∩ C) = {3, 5, 7, 9} − {7, 9} = {3, 5}Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  24. 24. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSQuestão 02: Determine o conjunto A tal queA ∪ {a, b, c, d} = {a, b, c, d, e}, A ∪ {c, d} = {a, c, d, e} eA ∩ {b, c, d} = {c}.Solução:De acordo com a primeira igualdade, podemos concluirque os possíveis elementos do conjunto A são a,b,c,d oue. Porém, a única certeza é que e ∈ ADa segunda igualdade, concluimmos que b /∈ A e tambémque a ∈ ADa terceira igualdade, segue que c ∈ A e d /∈ APortanto, o conjunto A = {a, c, e}Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  25. 25. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSQuestão 03: Dados os conjuntos A = {n, u, m, e, r, o} eB = {z, e, r, o}, quantos são os subconjuntos de(A ∪ B) − (A ∩ B)?Solução: Observe que:(A ∪ B) = {n, u, m, e, r, o, z} e(A ∩ B) = {e, r, o}. Então(A ∪ B) − (A ∩ B) = {n, u, m, z} possui quatro elementos.Portanto, o número de subconjuntos de (A ∪ B) − (A ∩ B)será 24 = 16 subconjuntos.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  26. 26. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSBIBLIOGRAFIA UTILIZADAFundamentos de matemática elementar - vol 1: conjuntos,funções. Iezzi, Gelson - 8. ed. - São Paulo: Saraiva, 2008.Pré-Cálculo. Boulos - São Paulo: MAKRON Books, 1999.Cálculo Diferencial e Integral - Volume 1. Boulos - SãoPaulo: MAKRON Books, 1999.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  27. 27. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSOBSERVAÇÕES:Caros alunos e alunas, é de extrema importância quevocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,estarem em dia com o conteúdo.Sugerimos que estudem os conteúdos apresentadosnesta semana, e coloquem as dúvidas que tiverem nofórum de nosso curso, para que possamos esclarecê-las.O assunto exposto acima servirá de suporte durante todoo curso. Portanto aproveitem este material!BOM ESTUDO!Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS

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