Prova de matemática do ITA.

1. ITA 2019 - ABERTA
1
01. (Ita 2019) Sejam a, b e c três números reais em progressão aritmética crescente, satisfazendo
cos a cos b cos c 0
+ + =
e sen a sen b sen c 0.
+ + =
Encontre a menor razão possível para essa progressão aritmética.
02. (Ita 2019) Escolhem-se aleatoriamente três números distintos no conjunto {1, 2, 3, , 29, 30}.
 Determine a
probabilidade da soma desses três números ser divisível por 3.
03. (Ita 2019) Um cone circular reto, de altura h, e um cilindro circular reto têm bases de mesmo raio. O volume do cone
é metade do volume do cilindro, e a área lateral do cone é igual à área lateral do cilindro. Determine, em função de h, o
raio da esfera inscrita no cone.

2. ITA 2019 - ABERTA
2
04. (Ita 2019) Seja F o foco da parábola de equação 2
(y 5) 4(x 7),
− = − e sejam A e B os focos da elipse de equação
2 2
(x 4) (y 2)
1.
9 8
− −
+ =
Determine o lugar geométrico formado pelos pontos P do plano tais que a área do triângulo ABP
seja numericamente igual ao dobro da distância de P a F.
05. (Ita 2019) Sabendo que x pertence ao intervalo fechado [1, 64], determine o maior valor da função
4 2
2 2 2
8
f(x) (log x) 12(log x) log .
x
 
= + ⋅  
 
06. (Ita 2019) Determine o número complexo z de menor argumento que satisfaz | z 25i | 15.
− ≤

3. ITA 2019 - ABERTA
3
07. (Ita 2019) Determine os valores reais de a e b para os quais as equações 3 2
x ax 18 0
+ + =
e 3
x bx 12 0
+ + =
possuam
duas raízes em comum e, a seguir, determine essas raízes.
08. (Ita 2019) Sejam A, B, C os vértices de um triângulo. Determine ˆ
sen B, sabendo que
4 ˆ
ˆ ˆ ˆ
sen (A B) sen (A C).
5
+ = = −
09. (Ita 2019) Determine todas as soluções da equação 6 6 7
sen x cos x .
12
+ =

4. ITA 2019 - ABERTA
4
10. (Ita 2019) Um número natural n, escrito na base 10, tem seis dígitos, sendo 2 o primeiro. Se movermos o dígito 2
da extrema esquerda para a extrema direita, sem alterar a ordem dos dígitos intermediários, o número resultante é três
vezes o número original. Determine n.

5. ITA 2019 - ABERTA
5
Resposta da questão 1:
A menor razão da PA nas
condições dadas é
2
.
3
π
Resposta da questão 2:
( )
( )
( )
( )
( )
n E
P E
n
1360
P E
4060
68
P E
203
π
=
=
=
Resposta da questão 3:
O raio da esfera inscrita no cone é
( )
h 4 7 7
R .
9
−
=
GABARITO
Resposta da questão 4:
O lugar geométrico dos pontos
formado pelos pontos P do plano
tais que a área do triângulo ABP
seja numericamente igual ao
dobro da distância de P a F é
dado pela equação
( ) ( )
2 2
x 8 y 6
1,
3 4
− −
+ =
ou seja, é
uma elipse.
Resposta da questão 5:
máximo
f 81.
=
Resposta da questão 6:
z 12 16i
= +
Resposta da questão 7:
a 1, b 2
= = e as raízes em comum
são 1 5 i
+ ⋅ e 1 5 i.
− ⋅
Resposta da questão 8:
44
ˆ
senB .
125
=
Resposta da questão 9:
x =
1
2
arcsen �±
√5
3
� +
kπ
2
, k ∈ ℤ
Resposta da questão 10:
n 285714.
=