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3a
SÉRIE
ENSINO MÉDIO
Caderno do Aluno
Volume1
MATEMÁTICA
MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO ALUNO
MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
3a
SÉRIE
VOLUME 1
Nova edição
2014-2017
GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
São Paulo
Governo do Estado de São Paulo
Governador
Geraldo Alckmin
Vice-Governador
Guilherme Afif Domingos
Secretário da Educação
Herman Voorwald
Secretário-Adjunto
João Cardoso Palma Filho
Chefe de Gabinete
Fernando Padula Novaes
Subsecretária de Articulação Regional
Rosania Morales Morroni
Coordenadora da Escola de Formação e
Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Silvia Andrade da Cunha Galletta
Coordenadora de Gestão da
Educação Básica
Maria Elizabete da Costa
Coordenadora de Gestão de
Recursos Humanos
Cleide Bauab Eid Bochixio
Coordenadora de Informação,
Monitoramento e Avaliação
Educacional
Ione Cristina Ribeiro de Assunção
Coordenadora de Infraestrutura e
Serviços Escolares
Ana Leonor Sala Alonso
Coordenadora de Orçamento e
Finanças
Claudia Chiaroni Afuso
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Barjas Negri
Caro(a) aluno(a),
Para viver no mundo atual com qualidade de vida é preciso ter cada vez mais conhecimentos, res-
peitar valores e desenvolver atitudes positivas em relação a si e aos outros. Os conhecimentos que a hu-
manidade construiu ao longo do tempo é um valioso tesouro, que nos permite compreender o mundo
que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decisões... Ler, observar, registrar, analisar, comparar,
refletir e expressar-se são algumas formas de compartilhar esse tesouro. Sendo assim, este material foi
elaborado especialmente para ajudar você a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos.
O objetivo das Situações de Aprendizagem deste Caderno é apresentar conhecimentos matemáti-
cos de forma contextualizada, para que a aprendizagem seja construída como parte de sua vida cotidi-
ana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas não devem ser consideradas simplesmente
exercícios ou problemas a serem resolvidos com técnicas transformadas em rotinas automatizadas. Pelo
contrário, muitas dessas situações podem ser vistas como ponto de partida para estudar ou aprofundar
uma noção ou propriedade matemática.
Aprender exige esforço e dedicação, mas também envolve curiosidade e criatividade, que estimu-
lam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que você participe das aulas, observe as
explicações do professor, faça anotações, exponha suas dúvidas; além disso, é importante que você não
se intimide em fazer perguntas e que procure respostas aos seus questionamentos, e que também dê
sua opinião.
Você estudará neste Caderno os seguintes assuntos: a geometria e o método das coordenadas, a
reta (inclinação constante e proporcionalidade), problemas lineares (máximo e mínimo), circunferên-
cias e cônicas (significados, equações e aplicações), equações algébricas de 2o
e 3o
graus, polinômios e
números complexos.
Se precisar, peça ajuda ao professor, pois ele pode orientá-lo sobre o que estudar e pesquisar, como
organizar os estudos e onde buscar mais informações sobre um assunto. Reserve todos os dias um
horário para fazer as tarefas e rever os conteúdos, porque assim você evita que eles se acumulem. Ajude
e peça ajuda aos colegas, pois partilhar ideias é fundamental para construção do conhecimento.
Aprender pode ser muito prazeroso, e temos certeza de que você vai descobrir isso.
Equipe Curricular de Matemática
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB
Secretaria da Educação do Estado de São Paulo
Matemática – 3a
série – Volume 1
5
VOCÊ APRENDEU?
1. Na Geometria Analítica Plana, representamos os pontos de um plano por coordenadas (x; y) e
fazemos cálculos relativos a figuras geométricas por meio de operações algébricas sobre os
pares de coordenadas. Partindo dessa ideia, considere os pontos A (2; 3) e B (5; 7), e calcule:
a) A distância entre esses dois pontos.
b) A inclinação do segmento AB.
2. Como você escreveria a equação da reta paralela ao eixo x que cruza o eixo y no ponto (0; 5)?
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
A GEOMETRIA E O MÉTODO DAS COORDENADAS
Matemática – 3a
série – Volume 1
6
3. Qual é a equação da reta paralela ao eixo y, que cruza o eixo x no ponto (–2; 0)?
4. Compare se o que você fez nas três primeiras atividades corresponde ao apresentado a seguir:
y
0
yB
xA
xB
x
yA
B
A
dAB
y
0
yB
xA
xB
x
yA
B
A
1
mAB
y
0
y = h (h > 0)
y = h (h < 0)
x
h
h
y
0
(h < 0)
x = h
(h > 0)
x
x = h
A, B, C não alinhados: mAB
≠ mBC
BC paralelo a DE: mBC
= mDE
dAB
= distância entre A e B mAB
= inclinação de AB
m
y y
x x
AB
B A
B A
–
–
y
0 x
A D
E
B
C
Matemática – 3a
série – Volume 1
7
Registre as semelhanças e as diferenças entre as soluções que você propôs e as figuras
apresentadas.
5. Observe os gráficos a seguir e busque uma equação que represente a reta r, em cada item:
b)r
y
x0
3
2
1
5
4
6
7
21 3 54
y
0
3
4
5
x
r
6
7
2
1
21 3 54
a)
6. De forma geral, para as retas inclinadas em relação aos eixos, lembrando dos gráficos das fun-
ções de 1o
grau, temos as equações indicadas a seguir:
0
y = mx + h
(m > 0)
m
h
1
x
y
0
y = mx + h
(m < 0)
m
h
1
x
y
b)a)
b)a)
Matemática – 3a
série – Volume 1
8
Compare-as com as equações encontradas na atividade 5 e identifique, em cada uma, os valores
de m e h.
7. Comparando as inclinações das retas, podemos identificar as que são paralelas e as que são
concorrentes e, particularmente, a relação entre as inclinações de retas perpendiculares:
r1
: y = m1
x + h1
r2
: y = m2
x + h2
m1
≠ m2
r1
e r2
concorrentes
x
y
r2
: y = m2
x + h2
r1
: y = m1
x + h1
m1
= m2
r1
e r2
paralelas
x
y
Considerando isso, responda às questões seguintes:
a) Qual é a posição relativa entre as retas y = 2x + 5 e y = –4x + 1?
b) Qual é a posição relativa entre as retas y = 3x + 4 e y = 3x – 2?
Matemática – 3a
série – Volume 1
9
Localize nesse sistema o ponto (2; 15) e determine a distância desse ponto a cada uma
das retas indicadas anteriormente.
No sistema cartesiano a seguir foram representadas retas de equações:
Desafio!
Para calcular a distância de um ponto a uma reta, deixando de lado o caso mais
simples, em que a reta é paralela a um dos eixos, podemos explorar a semelhança de
triângulos indicada na figura a seguir:
yP
y
P
yr
h
xP
x
(yr
= mxP
+ h)
r: y = mx + h
yP
– yr
dPr
1
m1
2
m d
y y mP r
Pr
–
=
+
1
1 2
⇒
d
y y
m
P r
Pr
–
=
+1 2
⇒
d
y m x h
m
P p
Pr
– –
=
+1 2
⋅
⇒
⇒
y ts
x
16
14
12
10
8
4
2
0 2 64 8–2–4–6–8
r
r : y = 3
s : x = 4
t : y = 3x + 1
Matemática – 3a
série – Volume 1
10
8. O hexágono regular ABCDEF tem centro M, como mostra a figura a seguir, e cada lado tem 10
unidades de comprimento. Utilizando os sistemas de coordenadas XOY e X’YM’, determine:
a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e M;
b) a inclinação dos segmentos FE, DC, BC, AM, FA, ED, AC e FB;
c) as coordenadas do ponto médio dos segmentos AB, FC, FM, AE, BC, DC e AD.
y
F
D
B
E
A
x
M C
Y
X
Matemática – 3a
série – Volume 1
11
9. Observe o hexágono regular ABCDEF, apresentado na atividade anterior, agora com o
vértice F coincidente com um ponto do eixo das ordenadas, e com o lado AB apoiado sobre
o eixo das abscissas.
Determine:
a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E e F;
b) as coordenadas do ponto M, centro do hexágono;
c) a inclinação dos segmentos AD e BE;
d) as coordenadas do ponto médio dos segmentos: AE e BD;
e) as medidas AD, BE e FC, diagonais do hexágono.
Y
F
O B
DE
A X
M C
Matemática – 3a
série – Volume 1
12
10. No sistema de coordenadas desenhado no papel quadriculado, represente os pontos: A (1; 2),
B (3; 8), C (–2; 8) e D (–4; 2).
x
y
0 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8
–1
–1–2–3–4
a) Mostre que os pontos A, B, C e D são os vértices de um paralelogramo.
b) Calcule o comprimento do lado maior do paralelogramo ABCD.
Matemática – 3a
série – Volume 1
13
c) Calcule o comprimento da diagonal menor de ABCD.
d) Trace, em seu desenho, as diagonais do paralelogramo ABCD. Identifique pela letra M o ponto
em que as diagonais se cruzam. Determine as coordenadas do ponto M.
e) Calcule a área do triângulo AMD.
Matemática – 3a
série – Volume 1
14
LIÇÃO DE CASA
11. Represente os pontos A (0; 0), B (3; 7) e C (–2; 13) em um sistema de coordenadas, sendo M
o ponto médio de AC e N o ponto médio de BC.
a) Determine as coordenadas de M e N.
Matemática – 3a
série – Volume 1
15
b) Calcule as inclinações dos segmentos AB e MN, verificando que tais segmentos são
paralelos.
c) Calcule as distâncias dAB
e dMN
, verificando que dAB
= 2dMN
.
VOCÊ APRENDEU?
12. Para que três pontos A, B e C estejam alinhados, é necessário e suficiente que as inclinações dos
segmentos AB, BC (e, consequentemente, AC) sejam iguais, isto é, que os três pontos constituam
uma única rampa ABC.
0 x
y
yB
yC
yA
xA
xB
xC
A
B
C
mAB
5 mBC
5 mAC
0 x
y
yC
yB
yA
xA
xB
xC
A
B
C
mAB
϶ mBC
Matemática – 3a
série – Volume 1
16
Dados os pontos A (1; 3), B (3; 7) e C (4; k):
a) Determine o valor de k para que esses pontos estejam alinhados.
b) Determine o valor de k para que a área do triângulo ABC seja igual a zero.
c) Sendo k = 3, desenhe o triângulo ABC e calcule sua área.
Matemática – 3a
série – Volume 1
17
13. No sistema de coordenadas a seguir, represente quatro pontos de modo a formar um quadrilá-
tero ABCD. Escolha as coordenadas à vontade.
y
x
6
4
–1
–4 –3 –2 –1 1 32 4 5
–2
–3
–4
2
5
3
1
0
Analisando o quadrilátero formado:
a) calcule os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA;
b) mostre que os quatro pontos médios obtidos formam um paralelogramo.
Matemática – 3a
série – Volume 1
18
14. Com base na figura, calcule a distância do ponto P de coordenadas (2; 15) à reta r nos casos
indicados a seguir:
a) r: y = 3 b) r: x = 9 c) y = 3x + 1
Vamos fazer uma figura para orientar a solução:
N
3
M
Q
P
y
A
x
B
d
15
7
3
1
0 2 9
15–7=8
y2
= 3 2 + 1 = 7
y = 3
x = 9
y = 3x + 1
1
ÎW10
Matemática – 3a
série – Volume 1
19
VOCÊ APRENDEU?
1. Na equação y = 473,5x + 12,879, se x variar uma unidade, passando, por exemplo, de 2008 para
2009, de quanto será o aumento de y? Tente responder a essa questão sem efetuar cálculos.
2. Represente no plano cartesiano as retas r1
a r9
de equações do tipo y = mx + h, correspondentes
aos valores de h e m registrados na tabela a seguir.
r1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
r8
r9
h 0 3 –3 –1 3 – 5 π –0,5 –0,8
m 5 –2 –2 5 –7 6,4 0 – 7 π
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
A RETA, A INCLINAÇÃO CONSTANTE E A PROPORCIONALIDADE
y
6
7
–1 4 62 3 51
–3
–5
–2
–4
–6
–7
4
2
5
3
1
0
–1–3 –2–4
x
Matemática – 3a
série – Volume 1
20
3. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A (2; 5) e tem inclinação m = 3.
4. Escreva a equação da reta que passa pelos pontos A (1; 7) e B (4; 16).
5. Considere o quadrado ABCD cujo lado mede 5 unidades e o triângulo equilátero EFG cujo
lado mede 10 unidades, representados no sistema cartesiano:
y
BA
D 5
x
C
y
xF
M
G
10
E
O
a) Escolha um sistema de coordenadas que considere mais adequado e escreva as equações das
retas AB, BC, CD, DA, AC e BD.
b) Escolha um sistema de coordenadas que considere mais adequado e escreva as equações das retas
EF, FG, GE e OM, onde M é o ponto médio do lado EF e O é o ponto médio do lado GF.
Matemática – 3a
série – Volume 1
21
6. Se duas retas inclinadas em relação aos eixos coordenados r1
e r2
são perpendiculares, então
suas inclinações m1
e m2
têm sinais opostos e são inversas, isto é, m1
. m2
= –1, como é possível
perceber pela análise da figura a seguir:
y
0
x
1
h2
h1
y = m2
x + h2
y = m1
x + h1
m1
m2
Os ângulos assinalados nos dois triângulos retângulos são congruentes. Isso nos permite afirmar
que
m
1
=
1
– m
1
2
(note que, como m2
< 0, o segmento que corresponde ao lado do triângulo
tem comprimento igual a – m2
). Sendo assim, concluímos que m1
m2
= –1.
Considerando esse resultado, determine a equação da reta t que passa pelo ponto A e é perpen-
dicular à reta r, nos seguintes casos:
A (0; 0) (0; 4) (0; –3) (0; 7) (1; 2)
r y = 4 – 3x y = 2x – 5 y = 0,2x + 7 y = – 3x + 2 y = 3x + 7
Matemática – 3a
série – Volume 1
22
7. Como observado anteriormente, a equação y = mx + h representa os pontos de uma reta incli-
nada em relação aos eixos coordenados. Uma reta divide o plano em dois semiplanos. Em um
deles, o que se situa acima da reta, os pontos são tais que y > mx + h; no outro, abaixo da reta,
temos y < mx + h. Se os semiplanos incluem os pontos da reta, temos y ≥ mx + h para os pontos
acima da reta ou na reta, e y ≤ mx + h para os pontos abaixo dela ou na reta.
y
x0
y > mx + h
y < mx + h
y = mx + h y
x0
y ≥ mx + h
y ≤ mx + h
y = mx + h
Partindo dessa ideia, associe cada uma das regiões coloridas A, B, C, D, E e F a uma inequação
ou a um sistema de inequações do tipo y > mx + h, ou, então, y < mx + h, considerando-se a
continuidade ou não da região solicitada.
A
y = 3x + 5
x
y
0
C
y = 5 + 2x
x
y
0
D
y = 7 – 0,5x
y = 4 – 0,9x
x
y
y = –3 + 2x
B
y = 5 – 0,5x
y
x0
0
Matemática – 3a
série – Volume 1
23
E
7 x
y
0
F
5 x
y
0
8. Uma pessoa deve fazer uma dieta em que deve ingerir, no mínimo, 75 g de proteínas por dia,
servindo-se apenas de certo alimento A.
a) Se cada grama de A fornece 0,15 g de proteína, quantos gramas de A deverão ser ingeridos
por dia, no mínimo?
b) Represente algebricamente a relação entre a quantidade x de A em gramas a ser ingerida e
a quantidade y de proteínas correspondente.
c) Represente no plano cartesiano os pontos correspondentes aos pares (x; y) para os quais a
prescrição da dieta é atendida.
y = – 2xπ
y = π
x
y
0
y = 4 + x
y = 4
Matemática – 3a
série – Volume 1
24
d) Represente no plano cartesiano a região em que a dieta estaria igualmente satisfeita, porém
com alimentos mais ricos em proteínas do que o alimento A.
LIÇÃO DE CASA
9. Um fazendeiro dispõe de 18 alqueires para plantar milho e alfafa. Chamando de x a área a ser plan-
tada de milho, e y a área a ser plantada de alfafa, e sabendo-se que o fazendeiro pode optar por deixar
uma parte das terras sem plantar nenhuma das culturas, responda às questões a seguir:
a) Represente a relação algébrica que deve existir entre os valores x e y.
x
y
0
Matemática – 3a
série – Volume 1
25
b) Represente a região A do plano cartesiano que corresponde à relação entre x e y anterior-
mente referida.
c) Sabendo-se que devem ser plantados, no mínimo, 5 alqueires de milho, qual a região B do
plano que corresponde aos pares (x; y) que satisfazem as condições formuladas?
x
y
0
x
y
0
Matemática – 3a
série – Volume 1
26
d) Sabendo-se que devem ser plantados, no mínimo, 5 alqueires de milho e, no mínimo,
3 alqueires de alfafa, qual a região C do plano que corresponde aos pares (x; y) que satisfa-
zem as condições formuladas?
x
y
0
Matemática – 3a
série – Volume 1
27
VOCÊ APRENDEU?
1. Em uma fábrica que produz um só tipo de produto, o custo C da produção de x unidades é a
soma de um custo fixo C0
com um custo variável C1
, que é proporcional a x. Se o processo de
produção for tal que cada unidade produzida a mais tenha sempre o mesmo custo, independen-
temente do valor de x, então C1
= kx, onde k representa o custo de cada unidade do produto.
Em uma fábrica como a descrita acima, tem-se: C = 3000 + 150x (x é o número de artigos;
C é o custo da produção em reais).
a) Esboce o gráfico de C em função de x.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
PROBLEMAS LINEARES – MÁXIMOS E MÍNIMOS
b) Para qual valor de x o custo fixo se iguala ao custo variável?
c) A partir de qual valor de x o custo fixo passa a representar menos de 10% do custo total da
produção?
x
y
0
Matemática – 3a
série – Volume 1
28
2. Uma fábrica produz dois tipos de produtos: A e B. A quantidade produzida diariamente de A
é igual a x, e a quantidade diária de B é igual a y. O processo de produção é tal que cada uni-
dade produzida de A custa sempre 5 reais e cada unidade de B custa 8 reais, sendo, portanto,
o custo da produção conjunta de A e B igual a C = 5x + 8y (C em reais).
a) Sendo o valor de C, em determinado dia, igual a R$ 2400,00, determine dois pares de
valores possíveis para x e y.
b) Sendo o máximo valor admissível para C igual a R$ 3200,00, qual é o valor máximo possível
para x? E qual é o valor máximo possível para y? (Observação: x ≥ 0, y ≥ 0.)
c) Represente em um sistema de coordenadas no plano os pares (x; y) para os quais se tem
C ≤ 3200.
x
y
0
Matemática – 3a
série – Volume 1
29
3. Uma pessoa deve fazer uma dieta que forneça pelo menos 6 mg de vitamina B2
, alimentando-se
exclusivamente dos alimentos I e II, oferecidos em pacotes de 100 g. Cada pacote do alimento I
fornece 1,2 mg de B2
, e cada pacote do alimento II fornece 0,15 mg de B2
. Sendo x o número
de pacotes do alimento I a serem ingeridos, e y o número de pacotes do alimento II:
a) Escreva a relação que deve existir entre x e y para que a dieta seja satisfeita.
b) Represente graficamente os pares (x; y) que satisfazem essa relação.
(Lembre-se de que devemos ter, naturalmente, x ≥ 0, y ≥ 0.)
4. Retome o enunciado da atividade anterior. Considere que cada pacote de 100 g do alimento I
custa 5 reais e cada pacote de II custa 2 reais.
a) Expresse o custo C da alimentação, se forem utilizados x pacotes de I e y pacotes de II.
x
y
0
Matemática – 3a
série – Volume 1
30
b) Represente graficamente no plano cartesiano os pares (x; y) que correspondem ao custo
C1
= 40 reais, notando que eles correspondem a uma reta r1
.
c) Represente os pontos que correspondem ao custo de C2
= 60 reais e C3
= 80 reais, notando
que eles correspondem às retas r2
e r3
, paralelas à reta r1
do item anterior.
x
y
0
x
y
0
Matemática – 3a
série – Volume 1
31
d) Mostre que, quanto menor o custo, menor a ordenada do ponto em que a reta que o repre-
senta intercepta o eixo y.
e) Para qual dos pares (x; y) tem-se a dieta satisfeita e o custo da alimentação o menor
possível?
LIÇÃO DE CASA
5. Um pequeno fazendeiro dispõe de 8 alqueires para plantar milho e cana. Ele deve decidir
quanto plantar de milho e quanto de cana, em alqueires, de modo que seu rendimento total
seja o maior possível. Cada alqueire de milho plantado deve resultar em um rendimento
líquido de R$ 20 mil e cada alqueire de cana deverá render R$ 15 mil. No entanto, cada al-
queire de milho requer 20000 L de água para irrigação e cada alqueire de cana requer somen-
te 10000 L de água, sendo que, no período correspondente, a quantidade de água disponível
para tal fim é 120000 L.
Considere x e y as quantidades de alqueires plantados de milho e cana, respectivamente.
a) Como se pode representar, em termos de x e y, o rendimento total R a ser recebido pelo
fazendeiro, supondo que venda a totalidade de sua produção?
b) Qual é a relação entre x e y que traduz a exigência
de que o total de alqueires plantados não pode ser
maior do que 8? Represente no plano cartesiano os
pontos (x; y) que satisfazem essa relação.
x
y
0
Matemática – 3a
série – Volume 1
32
c) Qual é a relação entre x e y que traduz a exigência de que o total de água a ser utilizado
não pode superar os 120 000 L? Represente no plano cartesiano os pontos (x; y) que
satisfazem essa relação.
e) Determine o conjunto dos pontos (x; y) do plano que correspondem ao rendimento
R1
= 75 mil e os que correspondem ao rendimento R2
= 120 mil.
x
y
0
x
y
0
x
y
0
d) Represente no plano cartesiano o conjunto dos pontos que satisfazem simultaneamente as
duas exigências expressas nos itens b e c (lembrando que devemos ter x ≥ 0, y ≥ 0).
Matemática – 3a
série – Volume 1
33
f) Mostre que, quanto maior o rendimento R, maior a ordenada do ponto em que a reta que
o representa intercepta o eixo OY.
g) Determine o ponto da região do item d que corresponde ao rendimento total máximo.
Desafio!
Uma fábrica utiliza dois tipos de máquinas, M1
e M2
, para produzir dois tipos de
produtos, P1
e P2
. Cada unidade de P1
exige 2 horas de trabalho de M1
e 2 horas de M2
; cada
unidade de P2
exige 1 hora de M1
e 4 horas de M2
. Sabe-se que as máquinas M1
e M2
po-
dem trabalhar, no máximo, 10 horas por dia e 16 horas por dia, respectivamente, e que o
lucro unitário, na venda de P1
, é igual a 40 reais, enquanto na venda de P2
, o lucro unitário
é de 60 reais. Representando por x a quantidade diária a ser produzida de P1
e y a quanti-
dade a ser produzida de P2
, responda às questões seguintes.
x
y
0
Matemática – 3a
série – Volume 1
34
a) Qual é a relação entre x e y de modo que o tempo de utilização da máquina M1
não ultrapasse
as horas diárias permitidas? Represente os pontos correspondentes no plano cartesiano.
b) Qual é a relação entre x e y de modo que o tempo de utilização da máquina M2
não ultrapasse
as horas diárias permitidas? Represente os pontos correspondentes no plano cartesiano.
c) Represente a região do plano cartesiano que corresponde aos pontos (x; y) que satisfazem
simultaneamente às duas restrições dos itens a e b.
x
y
0
x
y
0
x
y
0
Matemática – 3a
série – Volume 1
35
d) Qual é a expressão do lucro total L que resulta da venda de todas as unidades produzidas
de P1
e P2
?
e) Represente os pontos do plano que correspondem a um lucro total igual a 120 reais.
f) Qual é o ponto da região do item c que corresponde ao lucro total máximo?
x
y
0
Matemática – 3a
série – Volume 1
36
As circunferências e as cônicas (elipses, hipérboles e parábolas) são curvas que também
podem ser representadas no plano cartesiano e cuja propriedade obedecida pelos seus pon-
tos pode ser descrita por meio de uma equação de duas variáveis.
A circunferência e a elipse podem ser vistas a partir de seções de um cilindro circular;
a elipse não passa de uma circunferência alongada em uma das duas direções.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
CIRCUNFERÊNCIAS E CÔNICAS: SIGNIFICADOS,
EQUAÇÕES, APLICAÇÕES
circunferência elipse
elipse
Os quatro tipos de curvas podem ser vistos como seções de uma superfície cônica.
Também é possível observar superfícies cônicas colocando-se água em recipientes cilín-
dricos ou cortando-se adequadamente uma peça de salame.
circunferência
Leitura e análise de texto
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Matemática – 3a
série – Volume 1
37
VOCÊ APRENDEU?
1. Sabendo que uma circunferência de centro C (x0
; y0
) e raio r tem equação (x – x0
)2
+ (y – y0
)2
= r2
,
considere a circunferência de centro (4; 4) e de raio 4.
a) Represente-a no plano cartesiano a seguir e determine sua equação.
b) Determine a equação da reta s que passa pela origem e pelo centro da circunferência.
c) Calcule as coordenadas dos pontos P1
e P2
, de interseção da reta s com a circunferência dada.
x
y
0
Matemática – 3a
série – Volume 1
38
d) Calcule a distância entre P1
e P2
.
Elipse
As curvas chamadas cônicas – a elipse, a hipérbole e a parábola – ocorrem com mui-
ta frequência na natureza e no dia a dia. Vamos conhecer suas principais características,
começando pela elipse.
Quando inclinamos um recipiente cilíndrico aberto, de seção circular, contendo água
em repouso, o contorno da superfície da água é uma elipse. Também é uma elipse a sombra
projetada de uma circunferência situada em um plano vertical, quando a luz do Sol, ou
outra luz, incide obliquamente.
Foi Johannes Kepler (1571–1630), em seus estudos de Astronomia, quem associou às
trajetórias dos planetas ao redor do Sol não mais circunferências, mas sim elipses, ou seja,
circunferências “achatadas”.
Leitura e análise de texto
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Matemática – 3a
série – Volume 1
39
Nessas elipses, Kepler destacou a existência de dois pontos simetricamente opostos
em relação ao centro, chamados focos, em um dos quais o Sol se situava.
A partir desses dois pontos, uma propriedade funda-
mental pode ser utilizada para caracterizar uma elipse: qual-
quer ponto da elipse é tal que a soma das distâncias até esses
dois pontos fixados, que são os focos, é constante. Jardin-
eiros utilizam frequentemente essa propriedade para construir
canteiros elípticos: fincando-se duas estacas, uma em cada
foco, e deslocando-se um estilete, com um barbante de
comprimento L (maior do que a distância entre os focos)
esticado, obtém-se uma elipse.
Um coador de café de plástico pode ilustrar o fato de que as elipses podem ser considera-
das curvas intermediárias entre a circunferência e o segmento de reta:
0 x
y
Semieixos
a–a
–b
b
Uma elipse apresenta dois eixos de simetria: o semieixo maior costuma ser represen-
tado por a, o menor por b. Assim, os dois eixos são 2a e 2b.
F1
F2
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Matemática – 3a
série – Volume 1
40
y
0 x
x2
+(y')2
= a2
(x; y')
(x; y)
Elipse
Circunferência
–a
–a
l
a
–b
a
b
x2
a2
b2+ = 1
y2
VOCÊ APRENDEU?
2. Usando o fato de que a elipse é uma circunferência “achatada”, ou seja, é a curva obtida quando re-
duzimos (ou ampliamos) na mesma proporção todas as cordas perpendiculares a um diâmetro dado,
mostre que a equação da elipse de centro na origem e com os semieixos a e b é
x
a
y
b
2
2
2
2
+ = 1.
3. Em uma elipse com centro na origem e semieixo maior a no eixo OX, os pontos (0; b) e (0; –b)
distam do centro menos do que a. Os pontos do eixo OX que estão a uma distância a de (0; b) e
(0; –b) têm coordenadas (c; 0) e (–c; 0). Eles são particularmente importantes, sendo chamados
focos da elipse. O valor c é chamado dis-
tância focal da elipse. Por construção, a
soma das distâncias dos pontos (0; b) e
(0; –b) até os focos é igual a 2a. É possí-
vel mostrar que para todo ponto P (x; y)
do plano, se
x
a
y
b
2
2
2
2
+ = 1, então, a soma
das distâncias de P até os focos (c; 0) e
(–c; 0) é igual a 2a. A razão c
a
é chamada
excentricidade da elipse, sendo represen-
tada pela letra e.
0–a a
–b
b
–c c
a a
y
x
Matemática – 3a
série – Volume 1
41
a) Mostre que, entre a, b e c vale a relação a2
= b2
+ c2
.
b) Mostre que, fixado o valor de a, quanto menor for o valor de b, mais a excentricidade
se aproxima de 1 e a elipse se aproxima de um segmento de reta; quanto mais próximo
de a for o valor de b, mais a excentricidade se aproxima de zero e a elipse se aproxima de
uma circunferência.
4. Considere a elipse representada a seguir de centro na origem e semieixos a = 13 e b = 5.
y
x
F2
F1
5
13
13
c
Determine:
a) a equação da elipse;
b) a excentricidade da elipse;
Matemática – 3a
série – Volume 1
42
c) os focos da elipse;
d) o valor de k para que o ponto P (5; k), do primeiro quadrante, pertença à elipse;
e) a soma das distâncias de P aos focos da elipse.
Hipérbole
Quando representamos graficamente pares (x; y) de grandezas que são inversamente pro-
porcionais, isto é, cujo produto x y é constante e não nulo, a curva obtida é uma hipérbole.
x1
. y1
= x2
. y2
= x3
. y3
= constante = k ≠ 0
eixos perpendiculares/
sistema ortogonal eixos oblíquos
Leitura e análise de texto
x
y
0
y2
y1
x3
x2
x y = k
x1
y3
0
y1
y2
x y = k
x1
x2
x3
x
y
y3
Matemática – 3a
série – Volume 1
43
Como já vimos anteriormente, a hipérbole surge, ainda, quando seccionamos um cone
circular reto com um plano que forma com o plano da base um ângulo maior do que aquele
formado por uma geratriz do cone com a base.
Quando um avião se desloca a certa altura com velocidade maior do que a do som, um
problema importante consiste em deter-
minar a região da superfície da Terra de
onde se pode escutar o barulho de seus
motores. Essa região é chamada zona de
audibilidade e se desloca com o avião. É
possível mostrar que, em cada instante,
seu contorno é uma hipérbole.
Uma propriedade característica da hipérbole é a seguinte: existem dois pontos fixados
F1
e F2
tais que a diferença entre as distâncias de qualquer ponto da curva até esses dois
pontos é constante. A partir dessa propriedade, é possível traçar hipérboles da forma in-
dicada na figura a seguir:
hipérbole
d(P, F2
) – d(P, F1
) = constante
Para escrever a equação da hipérbole, podemos partir da representação de grandezas
inversamente proporcionais. No caso de um sistema XOY em que os eixos cartesianos são
ortogonais, a hipérbole é chamada equilátera e os dois ramos da curva aproximam-se in-
definidamente dos eixos coordenados, nunca os tangenciando. A origem é um centro de
simetria e os eixos coordenados são chamados, nesse caso, assíntotas da hipérbole.
Por exemplo, as curvas formadas pelos pontos cujas coordenadas satisfazem as relações
a seguir são hipérboles tendo como assíntotas os eixos coordenados (ver figuras).
x
y
x ∙ y = 7
0 x
y
x ∙ y = –5
0
F1
F2
P
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7 5
2,5
–2
–1
–7
1
–1
Matemática – 3a
série – Volume 1
44
VOCÊ APRENDEU?
5. A equação 4x2
– 9y2
= 36 pode ser vista como uma hipérbole. Fatore o primeiro membro e
obtenha X e Y tal que X Y = 36. Em seguida, determine as assíntotas e faça uma representação
gráfica da hipérbole, obtendo (2x – 3y) (2x + 3y) = 36, ou seja, X Y = 36.
6. A equação de uma hipérbole representada no plano cartesiano, com centro na origem, é do tipo
x
a
y
b
2
2
2
2
– = 1, em que a é a abscissa do vértice da hipérbole, nas condições representadas na
figura seguinte:
– a a
y
b
x
– b
y xb
a
=
b
–y x
a
=
x2
a2
–
y2
b2
= 1
Matemática – 3a
série – Volume 1
45
a) Sabendo isso, determine a equação da hipérbole que passa pelo ponto (3; 0) e tem como
assíntotas as retas y = 4
3
x e y = – 4
3
x.
b) Faça a representação gráfica da hipérbole e de suas assíntotas.
Matemática – 3a
série – Volume 1
46
7. Obtenha a equação da hipérbole com centro na
origem, representada na figura, sabendo que ela
passapeloponto(a;0)equetemcomoassíntotas
as retas = –൬ ൰ ൬ ൰y = e y
b
a
x
b
a
x .
8. Sendo y = e y = –
b
a x
b
a x, com a e b positivos, as assíntotas de uma hipérbole que passa por
(a; 0), os pontos F1
(c; 0) e F2
(–c; 0), tais que c2
= a2
+ b2
, são chamados focos da hipérbole.
Na figura a seguir, são apresentados os focos da hipérbole. É possível mostrar que a diferença
entre as distâncias de um ponto qualquer da hipérbole até F1
e até F2
é constante e igual a 2a.
x
b
y
c
ca
0
– a–c
F2
(–c; 0) (c; 0)F1
y =
b
a
x
y = –
b
a
x
X
Y
– a a
0
y
x
y = – x
b
a
y = x
b
a
Matemática – 3a
série – Volume 1
47
Para cada uma das hipérboles a seguir, determine os focos e calcule o valor constante da dife-
rença das distâncias entre um ponto qualquer da hipérbole e os focos. Confira o valor obtido
fazendo os cálculos diretamente para um ponto da hipérbole arbitrariamente escolhido.
a)
x
y
4
3
0
b)
0
x
y
5
12
c)
x
y
5
–5
0
Matemática – 3a
série – Volume 1
48
Parábola
Em geral, quando representamos
graficamente pares (x; y) de grandezas
tais que y é diretamente proporcional
ao quadrado de x (y = kx2
, k constante e
k ≠ 0), a curva correspondente no plano
cartesiano é uma parábola.
É o que ocorre, por exemplo, quando
uma pedra é abandonada e registramos
a relação entre a distância percorrida
verticalmente e o tempo de queda livre.
Também é uma parábola a trajetória de
todos os projéteis lançados obliquamente
em relação à superfície da Terra, descon-
siderados os efeitos do ar.
Além disso, quando, de um ponto fixado no solo, lançamos projéteis sempre com a
mesma velocidade inicial v0
, em todas as direções possíveis, em um plano vertical dado,
o contorno da região determinada pelos pontos que podem ser atingidos pelos projéteis é
também uma parábola, chamada parábola de segurança.
0
y
0
y = kx2
x
Leitura e análise de texto
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Matemática – 3a
série – Volume 1
49
A parábola tem certas propriedades características que podem ser utilizadas para
defini-la. Uma delas é a existência de um ponto F, fixado, e de uma reta r, fixada, tais
que a distância de cada ponto P da parábola até F é igual à distância de P até r. F é o
foco da parábola e r é sua diretriz.
F
Quando seccionamos um cone circular reto por um plano que forma com a base um
ângulo exatamente igual ao que uma geratriz do cone forma com a base, obtemos também
uma parábola.
Uma propriedade interessante das parábolas é a seguinte: sendo P um ponto qualquer
da parábola, a reta que passa pelo foco F e por P forma com a tangente à parábola em P
um ângulo igual ao formado pela tangente com a reta paralela ao eixo da parábola passando
por P (veja a figura).
PII
d(P, F) = d(P,r)
d(P', F) = d(P',r)
d(PII
, F) = d(PII
,r)P'
P
F
Matemática – 3a
série – Volume 1
50
Isso explica a razão de os faróis dos automóveis serem envolvidos por uma superfície
cuja seção é um paraboloide, ou seja, é a superfície gerada por uma parábola que dá uma
volta completa em torno de seu eixo. Se a lâmpada situar-se exatamente no foco, os raios
de luz formarão um feixe paralelo ao eixo, como é desejável.
VOCÊ APRENDEU?
9. Determine o foco e a diretriz das parábolas que podem ser representadas no plano cartesiano
por equações do tipo:
a) y = kx2
b) x = ky2
c) y = kx2
+ h
PESQUISA INDIVIDUAL
Verifique, por meio da construção de uma superfície parabólica com uma lâmina de
alumínio, fixada em uma tábua, com uma pequena lanterna no foco da parábola, a proprie-
dade citada das parábolas nas superfícies cromadas dos faróis dos automóveis.
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51
Matemática – 3a
série – Volume 1
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5
A EQUAÇÃO DE 3o
GRAU E O APARECIMENTO NATURAL
DOS NÚMEROS COMPLEXOS
VOCÊ APRENDEU?
1. Já sabemos resolver todos os tipos de equações de 2o
grau, obtendo as soluções por meio da
fórmula de Bhaskara. Resolveremos, agora, a equação de 2o
grau ax2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) se-
guindo um processo diferente. Esse processo poderá também nos ajudar a resolver equações
de 3o
grau.
a) Divida os dois membros da equação ax2
+ bx + c = 0 por a, obtendo:
a__
a x2
+ b__
a x + c__
a = 0
b) Substitua b__
a por B, c__
a por C e escreva x2
+ Bx + C = 0.
c) Substitua x por y – B__
2
, faça os cálculos (o denominador 2 corresponde ao grau da equação)
e verifique que a equação se transforma em y2
– B2
___
4
+ C = 0.
52
Matemática – 3a
série – Volume 1
d) Mostre que, em consequência, y = ±
®
_______
B2
– 4C_________
2
.
e) Substitua, agora, os valores de y, de B e de C em x = y – B__
2
, obtendo os valores de x.
(Você identifica, nos cálculos, a fórmula de Bhaskara?)
f) Resolva a equação 3x2
+ 15x + 18 = 0, seguindo os passos descritos nos itens anteriores.
2. Já sabemos que, se uma equação de 2o
grau ax2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) tiver duas raízes distintas,
x1
e x2
, então ela pode ser escrita na forma x2
– Sx + P = 0, onde:
S = x1
+ x2
= –b___
a e P = x1
. x2
= c__
a
53
Matemática – 3a
série – Volume 1
a) Verifique que, nesse caso, as raízes x1
e x2
podem ser obtidas por x = S ± ®
______
S2
– 4P___________
2
.
Em seguida, mostre que não existem dois números reais cuja soma seja 10 e cujo produto
seja 40. Ou seja, mostre que a equação x2
– 10x + 40 = 0 não tem raízes reais.
Para isso, você pode utilizar a fórmula x = S ± ®
______
S2
– 4P___________
2
.
b) Mostre que não existem dois números reais cujo quadrado de sua soma seja menor do que
o quádruplo do produto dos dois números.
54
Matemática – 3a
série – Volume 1
3. Responda às questões a seguir:
a) Considere a equação x3
+ 15x2
+ 11x + 7 = 0. Substitua x por y – 5, ou seja, x = y – 5, e
mostre que a nova equação em y não apresenta o termo em y2
(o denominador 3 corresponde ao
grau da equação).
b) Mostre que, na equação x3
+ Bx2
+ Cx + D = 0, substituindo x por y – ,
B
3
a nova equação
em y não apresenta o termo em y2
.
55
Matemática – 3a
série – Volume 1
Leitura e análise de texto
A fórmula de Tartaglia e Cardano para resolver uma equação de 3o
grau
Dois matemáticos do século XVI, Tartaglia e Cardano, elaboraram uma sequência
de passos para resolver a equação incompleta de grau 3 resultante da eliminação do termo de
2o
grau, isto é, uma equação do tipo y3
+ My + N = 0. Vamos seguir essa sequência de passos
para resolver a equação y3
+ 3y + 6 = 0. Acompanhe:
Se você nunca desenvolveu o binômio (p + q)3
, poderá fazê-lo agora e obter:
(p + q)3
= p3
+ 3p2
q + 3pq2
+ q3
Podemos rearranjar a igualdade anterior escrevendo:
(p + q)3
– p3
– 3p2
q – 3pq2
– q3
= 0
Colocando em evidência –3pq, temos:
(p + q)3
– 3pq(p + q) – (p3
+ q3
) = 0
Faremos, agora, uma comparação entre a equação anterior e a equação que nos propo-
mos resolver: y3
+ 3y + 6 = 0.
(p + q)3
– 3pq(p + q) – (p3
+ q3
) = 0
y3
+ 3y + 6 = 0
Dessa comparação, concluímos:
–3pq = 3 ou pq = –1, ou, ainda, p3 . q3
= –1
–(p3
+ q3
) = 6 ou p3
+ q3
= – 6
Vamos considerar, agora, que determinada equação de 2o
grau tenha uma raiz igual a
p3
e outra raiz igual a q3
. Se assim for, teremos a seguinte soma S e o seguinte produto P
das raízes dessa equação:
S = p3
+ q3
P = p3. q3
Concluímos, há pouco, que p3
+ q3
= –6 e que p3. q3
= –1. Assim, para a equação de 2o
grau imaginada, com raízes p3
e q3
, temos S = –6 e P = –1. Lembrando que uma equação
de 2o
grau pode ser escrita na forma x2
– Sx + P = 0, temos:
x2
+ 6x – 1 = 0
56
Matemática – 3a
série – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
4. Responda às seguintes questões:
a) Aplique a fórmula de Bhaskara para resolver a equação x2
+ 6x – 1 = 0, determinando as
raízes x1
e x2
.
b) Lembrando que as raízes da equação anterior são p3
e q3
, determine os valores de p e de q.
c) Se você acompanhou todos os passos da explicação, repetindo os mesmos procedimentos,
obtém-se a fórmula de Cardano-Tartaglia, que possibilita encontrar as raízes da equação de
3o
grau do tipo y3
+ My + N = 0. É essa a fórmula:
y =
3
®
________________
– N___
2
+ ®
________
N2
___
4
+ M3
___
27
+
3
®
________________
– N___
2
– ®
________
N2
___
4
+ M3
___
27
57
Matemática – 3a
série – Volume 1
5. Encontre uma raiz da equação y3
– 3y – 2 = 0.
58
Matemática – 3a
série – Volume 1
6. Um marceneiro quer construir duas caixas, uma com a forma de um cubo de aresta x, outra
com a forma de um paralelepípedo com a base retangular, de lados 3 m e 5 m, e de altura igual à
altura do cubo. O valor de x deve ser escolhido de tal forma que o volume do cubo seja 4 m3
maior que o do paralelepípedo.
a) Escreva a equação que traduz a exigência a ser satisfeita pelo valor de x.
b) Use a fórmula de Cardano-Tartaglia para determinar as raízes da equação do item a. A que
conclusão você chega?
c) Verifique diretamente na equação apresentada que x = 4 é uma raiz, ou seja, fazendo x = 4 m,
temos o cubo com volume de 64 m3
e o paralelepípedo com volume de 60 m3
.
Como podemos interpretar o resultado do item b? Será que a fórmula de Cardano-Tartaglia
não funciona sempre? Você verá, na situação seguinte, um modo de prosseguir nos cálculos e en-
contrar o resultado x = 4.
Observação!
59
Matemática – 3a
série – Volume 1
7. Sabemos que o quadrado de qualquer número real não nulo, positivo ou negativo, é sempre
positivo. Até aqui, em nosso percurso escolar, sempre que nos deparamos com a extração da
raiz quadrada de um número negativo, dizemos que ela não existe. Na atividade 5 desta seção,
tal decisão nos impediu de chegar a uma das raízes da equação, uma vez que teríamos de extrair
a raiz quadrada de –121. Faremos, agora, uma atividade de imaginação: suponha que existam
números estranhos (certamente, não seriam números da reta real) cujo quadrado seja negativo.
a) Podemos verificar que, na verdade, bastaria existir um número estranho desses, como a raiz
quadrada de –1, para que dele decorressem todas as outras raízes de negativos. De fato,
como –121 = 121.(–1), bastaria sabermos quanto vale a raiz quadrada de –1. Como –1 não
tem raiz real, vamos considerar que sua raiz é um número imaginário e o representaremos
por i. Assim, i é um número tal que i2
= –1.
b) Retorne ao item b da atividade 6 desta seção. Considere – – –121 121 1 11 1= =. .
Denominando –1 i, escreva 11i no lugar de –121 e indique a solução da equação
x3
– 15x – 4 = 0.
c) Usando o fato de que a raiz cúbica de um número é outro número que, elevado ao cubo,
reproduz o primeiro, mostre que 2 + i é uma raiz cúbica de 2 + 11i. Ou seja, mostre que
(2 + i)3
= 2 + 11i . Para isso, lembre-se de que i² = –1.
60
Matemática – 3a
série – Volume 1
d) Retorne à atividade 6 desta seção. Mostre que a solução x = 4 pode ser obtida a partir da
fórmula para as raízes cúbicas da equação x3
– 15x – 4 = 0.
LIÇÃO DE CASA
8. Resolva a equação 2x2
– 10x + 12 = 0.
9. Determine uma raiz das seguintes equações de 3o
grau:
a) x3
– x – 6 = 0
61
Matemática – 3a
série – Volume 1
b) x3
– 2x2
– x + 2 = 0
VOCÊ APRENDEU?
10. Supondo que são válidas as propriedades das operações com números reais para os números
formados por uma parte real x e uma parte imaginária yi, sendo i –1, efetue as operações
indicadas, apresentando o resultado mais simples possível:
a) (3 – 4i) + (–5 + 3i) b) (–11i + 7) – (–5 – 8i)
c) (2i – 13) . (7 – 5i) d) (13 – i) . (13 + i)
e) i3
+ i5
+ i7
f) i13
62
Matemática – 3a
série – Volume 1
Leitura e análise de texto
Uma equação de 1o
grau com uma raiz igual a p pode ser assim escrita:
x – p = 0
Uma equação de 2o
grau com uma raiz igual a p e outra raiz igual a m pode ser
assim escrita:
(x – p).(x – m) = 0
Escrita dessa maneira, dizemos que a equação está em sua forma fatorada. Aplicando a
propriedade distributiva nessa expressão, obtemos algo que já conhecemos na Situação de
Aprendizagem anterior, ou seja:
x2
– (p + m)x + pm = 0
Soma
das raízes
Produto
das raízes
VOCÊ APRENDEU?
1. Nesta Situação de Aprendizagem, você obterá expressões semelhantes às do quadro anterior,
de soma e produto das raízes, para equações de graus maiores do que 2. Começaremos com
equações de 3o
grau.
a) Escreva na forma fatorada uma equação de 3o
grau com raízes m, p e k.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6
DAS FÓRMULAS À ANÁLISE QUALITATIVA:
RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES
63
Matemática – 3a
série – Volume 1
b) Escreva a forma fatorada de uma equação de 3o
grau com raízes 2, 3 e 4.
c) Desenvolva a equação do item anterior, aplicando a propriedade distributiva, e identifique
a soma e o produto das raízes na equação final.
d) Uma equação de 3o
grau pode ser assim escrita: ax3
+ bx2
+ cx + d = 0.
Ou também dividindo toda a equação por a: x3
+ b__
a x2
+ c__
ax + d__
a = 0.
Retome a equação do item c e responda quanto é, nessa equação:
b__
a ?
c__
a ?
d__
a ?
64
Matemática – 3a
série – Volume 1
2. Já vimos que uma equação de 3o
grau ax3
+ bx2
+ cx + d = 0 pode ser escrita na forma:
x3
+ b__
a x2
+ c__
ax + d__
a = 0
e também que, se essa equação tiver como raízes r1
, r2
e r3
, ela pode ser fatorada e escrita na forma:
(x – r1
).(x – r2
).(x – r3
) = 0
Efetuando as multiplicações indicadas e ordenando, obtemos a forma equivalente:
S1
S2
P
x3
– (r1
+ r2
+ r3
)x2
+ (r1
r2
+ r1
r3
+ r2
r3
)x – r1
r2
r3
= 0
onde S1
= r1
+ r2
+ r3
é a soma das raízes, S2
= r1
. r2
+ r1
. r3
+ r2
. r3
é a soma dos produtos das
raízes tomadas duas a duas e P = r1
. r2
. r3
é a soma dos produtos das raízes tomadas três a três,
ou seja, é o produto das raízes.
a) Se uma equação de 3o
grau tem raízes –2, 3 e 4, calcule S1
, S2
e P.
b) Escreva a equação na forma fatorada.
c) Se você aplicar a propriedade distributiva e eliminar os parênteses na equação do item
anterior, qual será a forma final da equação obtida?
65
Matemática – 3a
série – Volume 1
3. Uma equação de 3o
grau tem raízes 2, 3 e 5. Escreva essa equação na forma ax3
+ bx2
+ cx + d = 0.
LIÇÃO DE CASA
4. Escreva na forma x3
– S1
x2
+ S2
x – P = 0 uma equação algébrica de grau 3 cujas raízes são:
a) 3, 5 e 1
b) 2, 7 e –3
66
Matemática – 3a
série – Volume 1
c) –2, –3 e 4
5. Escreva na forma fatorada uma equação algébrica de grau 4 cujas raízes são:
a) 2, 3, 4 e 5
b) –2, 3, 4, –5
c) 1, 0, 3, 7
67
Matemática – 3a
série – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
6. Escreva todas as equações da atividade 5 da seção Lição de casa, na forma ax4
+ bx3
+ cx2
+ dx +
+ e = 0. Para isso, faça as multiplicações que foram indicadas.
7. Dada a equação x3
– 8x2
+ kx – 24 = 0, responda:
a) Quais são as possíveis raízes inteiras da equação?
b) Se a equação tiver duas raízes simétricas, qual será a terceira raiz?
68
Matemática – 3a
série – Volume 1
c) Se uma das raízes for o inverso da outra, qual será a terceira raiz?
d) É possível que a equação tenha uma raiz nula?
8. Considere a equação 3x4
– 12x3
+ kx2
– 6x + 3 = 0.
a) Quais as possíveis raízes inteiras da equação?
b) Quais os valores de k que fazem com que a equação proposta anteriormente tenha raízes inteiras?
69
Matemática – 3a
série – Volume 1
9. Sabendo que 1 é raiz da equação x3
+ 7x2
+ kx – 15 = 0, determine o valor de k e encontre as
outras duas raízes.
70
Matemática – 3a
série – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
1. Considere os polinômios A(x) = x2
– 3x + 2 e B(x) = x3
– 2x2
– 3x + 2.
a) Calcule A(1) e B(1).
b) Calcule x para que A(x) = 0.
c) Se a, b e c forem as raízes de B(x), quanto é o produto de a . b . c?
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7
EQUAÇÕES E POLINÔMIOS: DIVISÃO POR
x – k E REDUÇÃO DO GRAU DA EQUAÇÃO
71
Matemática – 3a
série – Volume 1
d) É possível termos A(x) = B(x)?
e) É possível termos A(x) B(x)?
2. Considere os polinômios A(x) = x3
– 3x + 2 e B(x) = x3
– 2x2
– 3x + 10.
a) É possível termos A(x) = B(x)?
72
Matemática – 3a
série – Volume 1
b) É possível termos A(x) B(x)?
LIÇÃO DE CASA
3. Considere os polinômios:
P1
(x) = ax5
– 11x4
– 2x3
+ 7x2
+ bx + d e P2
(x) = bx5
+ cx4
– 2x3
+ 7x2
– ®
__
3x + d
a) Determine os valores de a, b e c, de modo que os polinômios sejam idênticos.
b) Calcule o valor de d sabendo que –1 é raiz da equação P1
(x) = 0.
73
Matemática – 3a
série – Volume 1
4. Considere o polinômio P(x) = 3x5
– 2x4
+ 5x3
– 11x2
– 7x + 12.
a) Mostre que x = 1 é raiz da equação P(x) = 0.
b) Calcule o quociente da divisão de P(x) pelo binômio x – 1.
74
Matemática – 3a
série – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
5. Considere o polinômio P(x) = 3x5
– 2x4
+ 5x3
– 11x2
– 7x – 46.
a) Mostre que x = 2 é raiz da equação P(x) = 0.
b) Calcule o quociente da divisão de P(x) pelo binômio x – 2.
75
Matemática – 3a
série – Volume 1
Leitura e análise de texto
Algoritmo de Briot-Ruffini
Retome o enunciado da atividade 5 da seção Você aprendeu?. Existe uma maneira prática
para obter o quociente de P(x) = 3x5
– 2x4
+ 5x3
– 11x2
– 7x – 46 pelo binômio x – 2.
Observando os cálculos efetuados, notamos que, sendo Q(x) = ax4
+ bx3
+ cx2
+ dx + e:
a é igual ao coeficiente de x5
em P(x): a = 3;
b é obtido somando-se ao coeficiente de x4
em P(x) o produto de 2 por
a: b = –2 + 2a;
c é obtido somando-se ao coeficiente de x3
em P(x) o produto de 2 por
b: c = 5 + 2b;
d é obtido somando-se ao coeficiente de x2
em P(x) o produto de 2 por
c: d = –11 + 2c;
e é obtido somando-se ao coeficiente de x em P(x) o produto de 2 por
d: e = –7 + 2d.
Esses cálculos podem ser organizados no algoritmo seguinte, conhecido como algo-
ritmo de Briot-Ruffini, para a divisão de um polinômio por um binômio da forma x–k:
coeficientes de P(x)
coeficientes de Q(x)
Q(x) = 3x4
+ 4x3
+ 13x2
+ 15x + 23
resto da divisão
raiz 2
3 –2 5 –11 –46
3.2
3
4.2
4 13 15 23 0
13.2 15.2 23.2
–7
76
Matemática – 3a
série – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
6. Responda às questões a seguir:
a) Para verificar o entendimento do apresentado no texto, construa o algoritmo Briot-Ruffini
para determinar o quociente de P(x) = x5
– 2x4
– 7x3
+ 3x2
+ 8x + 57 por x – 3.
b) Dado o polinômio P(x) = a0
xn
+ a1
xn–1
+ a2
xn–2
+ a3
xn–3
+...+ an–1
x + an
, mostre que o resto da
divisão de P(x) por x – k é P(k).
c) Calcule o resto da divisão de P(x) = 3x5
+ x4
+ 3x3
– 7x + π pelo binômio x + 3.
77
Matemática – 3a
série – Volume 1
7. Responda às seguintes questões:
a) Mostre que a equação 2x4
– 9x3
+ 6x2
+ 11x – 6 = 0 apresenta raízes inteiras.
b) Resolva a equação do item anterior.
78
Matemática – 3a
série – Volume 1
Leitura e análise de texto
Complexos, para quê?
É muito frequente ouvir falar “mal” dos números complexos – aqueles números “estra-
nhos”, formados por uma parte real x e uma parte “imaginária” yi, em que i é um número
tal que seu quadrado é igual a –1, ou seja, i2
= –1. Os números complexos são, efetivamente,
“estranhos” ao primeiro olhar. Mas eles podem ser interpretados de modo significativo,
bem como as operações que realizamos sobre eles, e, ao sermos apresentados a tais temas,
ampliamos nossa capacidade de expressão, de compreensão de fenômenos que a realidade
nos apresenta. Querer limitar o estudo da Matemática ao de conteúdos de aplicação ime-
diata, sem levar em consideração seu valor expressivo, é como querer limitar o ensino da
língua ao da redação de cartas, de memorandos, de relatórios, desprezando, por exemplo, a
apreciação de um poema; afinal, “Para que serve um poema?”. A aprendizagem da língua,
no entanto, não pode prescindir de recursos expressivos que deem força ao texto, da
construção de imagens metafóricas etc. Não se trata apenas de ensinar regras de reda-
ção, mas de desenvolver instrumentos e formas pessoais de expressão, e a literatura, de
modo geral, é fundamental para isso.
Também no estudo de Matemática existem assuntos para os quais não vislumbramos
“aplicações práticas” diretas, mas que se compõem com os outros, contribuindo para a
construção de uma forma consistente de expressão, de compreensão dos fenômenos que
observamos. Às vezes, um tema de Matemática serve apenas de apoio a outro tema, este,
sim, com uma ligação direta com a prática; ambos, tanto o apoiador quanto o apoiado,
precisam ser estudados. Como será visto a seguir, os números complexos e as operações
sobre eles podem ser associados à realização de movimentos de translação, de rotação, de
ampliação etc. Para que isso seja possível, será preciso conhecer um novo sistema de repre-
sentação de números: o plano complexo, ou plano de Argand-Gauss.
Plano complexo – significado dos complexos e das operações sobre eles
Representa-se um número real em uma reta numérica, como você já deve ter feito inúmeras
vezes em sua vida escolar.
– 3 – 2
– 2,333...
– 1 0 1 2 3
π
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8
NÚMEROS COMPLEXOS: REPRESENTAÇÃO NO PLANO
E SIGNIFICADO DAS OPERAÇÕES (TRANSLAÇÕES,
ROTAÇÕES, AMPLIAÇÕES)
– 2
1
4
3
2
79
Matemática – 3a
série – Volume 1
Um número imaginário como i não pode ter as mesmas propriedades de um número real porque
não é um número real, ou seja, não se encontra na reta real ou entre os reais representados na reta.
A reta real IRencontra-se inteiramente preenchida com os números racionais e os irracionais. Como
representar, então, tal número i e seus “derivados”, como toda a família de imaginários yi, onde y é
um número real, bem como os números “mistos” ou “complexos”, resultantes da soma dos reais x
com os imaginários yi? Como representar os números complexos de modo a dar significado às
operações realizadas com eles?
A ideia de representar os números na forma z = x + yi como pontos de um plano pode parecer
natural, mas permaneceu latente desde os trabalhos de John Wallis (1616-1703), durante muitas
décadas. Wessel e Argand trabalharam com tal ideia em situações concretas, mas somente quando foi
apresentada por Gauss, em 1799, como parte de sua tese de doutorado, tal representação ganhou força
e foi divulgada de modo amplo. Em resumo, a inspiração fundamental é a seguinte:
NN.(–1)
0
N
N.i
0
Ni
N
Ni.i = N.(–1) = –N
0
um arco de 180o
, passando da semirreta positiva para a negativa, e vice-versa: N.(–1) = –N
(resultado: rotação de 180o
);
i2
, ou seja, por –1, é como se tivéssemos multiplicado o
número real por i e multiplicássemos o resultado novamente por i: N.(–1) = N.i.i = –N;
o
, seria natural
considerar o resultado de cada uma das multiplicações parciais por i como resultado de uma rota-
ção de 90o
: N.i = Ni (rotação de 90o
);
80
Matemática – 3a
série – Volume 1
i corresponderia a representar tal número em um eixo
perpendicular ao eixo real.
Essa pode ter sido a inspiração para a representação do número imaginário i no eixo perpendicular
ao eixo real, o que conduziu à representação de todo complexo z = x + yi como um ponto do plano
gerado pelas unidades real 1 e imaginária i. O plano em que os complexos são representados
constitui uma extensão da reta real e é conhecido como plano complexo, ou plano de Argand-Gauss.
y
z = x + yi
x eixo Real
eixo Imaginário
–N
0 1
Ni
N
i
VOCÊ APRENDEU?
1. Dados os números complexos z1
= 3 + 4i; z2
= 7; z3
= 7i e z4
= 3 – 4i, calcule o número
complexo a + bi resultado de:
a) z1
+ z2
b) z1
+ z3
c) z1
+ z4
81
Matemática – 3a
série – Volume 1
d) z1
– z4
e) z1
. z2
f) z1
. z3
g) z3
. z4
h) (z1
.z4
)2
i) (z1
+ z4
)3
j) (z1
– z4
)3
k) (z3
– z1
+ z4
)3
l) (– z2
+ z1
+ z4
)15
82
Matemática – 3a
série – Volume 1
2. Dados os complexos a seguir, represente-os no plano complexo, determinando o módulo e o
argumento de cada um deles:
a) z1
= 3 + 3i b) z2
= –3 + 3i c) z3
= 3 – 3i d) z4
= –3 – 3i
a) b)
c) d)
Re
Im
Im
Re
Im
Re
Im
Re
83
Matemática – 3a
série – Volume 1
3. Observe os números complexos a + bi representados no plano de Argand-Gauss e determine,
para cada um, a medida do ângulo e do segmento que une o ponto (a; b) à origem do sistema.
a)
Im
Re1
0
1
b)
Im
Re–3 0
3
84
Matemática – 3a
série – Volume 1
c)
3
Im
Re–1
1 2
–2
3
2
1
–1
d)
Im
Re–3 0
– 3
85
Matemática – 3a
série – Volume 1
Leitura e análise de texto
|z| = x y2 2
Forma trigonométrica de um número complexo
Um número complexo z = x + yi também pode ser escrito de outra forma, destacando-se seu
módulo |z| e seu argumento . Sendo |z| = x + y2 2
, basta observarmos na representação plana
dos complexos que
x = |z|cos
y = |z|sen . Substituindo-se na forma algébrica tais expressões,
obtemos z = |z|(cos + isen ), que é chamada forma trigonométrica dos números complexos.
forma trigonométrica
x = |z|cos
y = |z|sen
z = |z|(cos + isen )
eixo Imaginário
eixo Real
forma algébrica
x
y
z = x + yi
z = x + yi
i
1
|z|
VOCÊ APRENDEU?
4. Retorne ao enunciado da atividade 2. Escreva cada um dos complexos de z1
a z4
na forma trigo-
nométrica: z = |z| (cos + isen ).
86
Matemática – 3a
série – Volume 1
5. Retome o enunciado da atividade 3 da seção anterior e escreva na forma trigonométrica cada
um dos complexos lá representados.
6. Represente no plano complexo os números a seguir e, em seguida, escreva-os na forma
trigonométrica.
a) z1
= 0 + 3i
Im
Re
87
Matemática – 3a
série – Volume 1
b) z2
= 3 + 0i
Im
Re
c) z3
= –2 + 0i
Im
Re
88
Matemática – 3a
série – Volume 1
d) z4
= –2i
Im
Re
LIÇÃO DE CASA
7. Represente no plano complexo os números a seguir e, em seguida, escreva-os na forma trigonométrica.
a) z i1 1 3= + b) z i2 1 3= +–
Im
Re
Im
Re
89
Matemática – 3a
série – Volume 1
c) z i3 3= +–
Im
Re
d) z i4 3 –
Im
Re
90
Matemática – 3a
série – Volume 1
8. Observe o módulo |z| e o argumento das imagens dos números complexos representados no
plano de Argand-Gauss. Determine, em cada caso, a parte real (a) e a parte imaginária (b) de
cada número complexo z = a + bi, apresentando também a sua forma trigonométrica.
a)
Im
Re
|z|
= 45o
|z| = 8
b)
Im
Re
= 120o
|z| = 4
|z|
91
Matemática – 3a
série – Volume 1
c)
= 150o
|z| = 6
|z|
Im
Re
d)
= 240o
|z| = 2
|z|
Im
Re
92
Matemática – 3a
série – Volume 1
VOCÊ APRENDEU?
9. Considere o complexo z = 5 + 12i no plano de Argand-Gauss. Represente no plano complexo
as imagens dos seguintes números:
a) z + 9
|z|
0
–2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Im
Re–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18–4–6
b) z + 6i
|z|
0
–2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Im
Re–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18–4–6
93
Matemática – 3a
série – Volume 1
c) z – 9
|z|
0
–2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Im
Re–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18–4–6
d) z – 6i
0
–2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Im
Re–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18–4–6
|z|
94
Matemática – 3a
série – Volume 1
e) z + 9 – 6i
|z|
0
–2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Im
Re–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18–4–6
10. Escolha uma escala adequada para representar no plano de Argand-Gauss a imagem do número
complexo z = 5 + 12i e, no mesmo plano, a imagem do complexo:
a) 2z
95
Matemática – 3a
série – Volume 1
b)
z
2
11. Considere a região do plano complexo indicada na figura a seguir. Cada ponto da região é a imagem
de um complexo e será objeto de uma transformação, indicada nos itens de a a e. Represente no
plano complexo a região resultante após a transformação descrita em cada um desses itens.
6
6
2
2 eixo Real
eixo Imaginário
96
Matemática – 3a
série – Volume 1
a) A cada ponto da região será somado o número real 5.
6
6
2
2 eixo Real
eixo Imaginário
b) A cada ponto da região será somado o número imaginário 3i.
6
6
2
2 eixo Real
eixo Imaginário
97
Matemática – 3a
série – Volume 1
c) A cada ponto da região será somado o número complexo 3 + 4i.
6
6
2
2 eixo Real
eixo Imaginário
d) Cada ponto da região será multiplicado pelo número real 2.
6
6
2
2 eixo Real
eixo Imaginário
98
Matemática – 3a
série – Volume 1
e) Cada ponto da região será multiplicado pelo número real
1
2
.
6
6
2
2 eixo Real
eixo Imaginário
12. Considere a região do plano complexo indicada na figura. Cada ponto da região é a ima-
gem de um complexo e será objeto de uma transformação. Represente no plano complexo
a região resultante após a multiplicação de cada ponto da região pelo imaginário i.
6
6
2
2 eixo Real
eixo Imaginário
99
Matemática – 3a
série – Volume 1
13. Considere a região do plano complexo indicada a seguir. Cada ponto da região é a imagem de
um complexo e será objeto de uma transformação, indicada nas alternativas. Represente no
plano complexo a região resultante, nas seguintes situações:
8
8
2
2 eixo Real
eixo Imaginário
5
100
Matemática – 3a
série – Volume 1
a) for somado ao número real 9;
8
8
2
2 eixo Real
eixo Imaginário
5
b) for somado ao número imaginário 9i;
8
8
2
2 eixo Real
eixo Imaginário
5
101
Matemática – 3a
série – Volume 1
c) for somado ao número complexo 9 + 9i;
8
8
2
2 eixo Real
eixo Imaginário
5
d) for multiplicado pelo número real 2;
8
8
2
2 eixo Real
eixo Imaginário
5
102
Matemática – 3a
série – Volume 1
e) for multiplicado pelo número imaginário 2i.
eixo Real
8
8
2
2
eixo Imaginário
5
CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERAL
NOVA EDIÇÃO 2014-2017
COORDENADORIA DE GESTÃO DA
EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB
Coordenadora
Maria Elizabete da Costa
Diretor do Departamento de Desenvolvimento
Curricular de Gestão da Educação Básica
João Freitas da Silva
Diretora do Centro de Ensino Fundamental
dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação
Profissional – CEFAF
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenadora Geral do Programa São Paulo
faz escola
Valéria Tarantello de Georgel
Coordenação Técnica
Roberto Canossa
Roberto Liberato
S el Cristina de lb er e o
EQUIPES CURRICULARES
Área de Linguagens
Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos
Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli
Ventrela.
Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria
Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt,
Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto
Silveira.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês e
Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire
de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro,
Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes
Nogueira.
Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria
Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos
Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa,
Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli
Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves.
Área de Matemática
Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros,
Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio
Yamanaka, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge
Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley
Aparecido Cornatione.
Área de Ciências da Natureza
Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth
Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e
Rodrigo Ponce.
Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli,
Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e
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Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio
Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade
Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte.
Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos
Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João
Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus.
Área de Ciências Humanas
Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e
Teônia de Abreu Ferreira.
Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso,
Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati.
História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria
Margarete dos Santos e Walter Nicolas Otheguy
Fernandez.
Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de
Almeida e Tony Shigueki Nakatani.
PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO
PEDAGÓGICO
Área de Linguagens
Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine
Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel
Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes
e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali
Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da
Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes,
Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves
Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz.
Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia
Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva,
Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana
Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela
dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba
Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina
dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos,
Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista
Bom m, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia
Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza,
Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena
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José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de
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  • 2. MATERIAL DE APOIO AO CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO CADERNO DO ALUNO MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO 3a SÉRIE VOLUME 1 Nova edição 2014-2017 GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO SECRETARIA DA EDUCAÇÃO São Paulo
  • 3. Governo do Estado de São Paulo Governador Geraldo Alckmin Vice-Governador Guilherme Afif Domingos Secretário da Educação Herman Voorwald Secretário-Adjunto João Cardoso Palma Filho Chefe de Gabinete Fernando Padula Novaes Subsecretária de Articulação Regional Rosania Morales Morroni Coordenadora da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP Silvia Andrade da Cunha Galletta Coordenadora de Gestão da Educação Básica Maria Elizabete da Costa Coordenadora de Gestão de Recursos Humanos Cleide Bauab Eid Bochixio Coordenadora de Informação, Monitoramento e Avaliação Educacional Ione Cristina Ribeiro de Assunção Coordenadora de Infraestrutura e Serviços Escolares Ana Leonor Sala Alonso Coordenadora de Orçamento e Finanças Claudia Chiaroni Afuso Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Barjas Negri
  • 4. Caro(a) aluno(a), Para viver no mundo atual com qualidade de vida é preciso ter cada vez mais conhecimentos, res- peitar valores e desenvolver atitudes positivas em relação a si e aos outros. Os conhecimentos que a hu- manidade construiu ao longo do tempo é um valioso tesouro, que nos permite compreender o mundo que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decisões... Ler, observar, registrar, analisar, comparar, refletir e expressar-se são algumas formas de compartilhar esse tesouro. Sendo assim, este material foi elaborado especialmente para ajudar você a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos. O objetivo das Situações de Aprendizagem deste Caderno é apresentar conhecimentos matemáti- cos de forma contextualizada, para que a aprendizagem seja construída como parte de sua vida cotidi- ana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas não devem ser consideradas simplesmente exercícios ou problemas a serem resolvidos com técnicas transformadas em rotinas automatizadas. Pelo contrário, muitas dessas situações podem ser vistas como ponto de partida para estudar ou aprofundar uma noção ou propriedade matemática. Aprender exige esforço e dedicação, mas também envolve curiosidade e criatividade, que estimu- lam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que você participe das aulas, observe as explicações do professor, faça anotações, exponha suas dúvidas; além disso, é importante que você não se intimide em fazer perguntas e que procure respostas aos seus questionamentos, e que também dê sua opinião. Você estudará neste Caderno os seguintes assuntos: a geometria e o método das coordenadas, a reta (inclinação constante e proporcionalidade), problemas lineares (máximo e mínimo), circunferên- cias e cônicas (significados, equações e aplicações), equações algébricas de 2o e 3o graus, polinômios e números complexos. Se precisar, peça ajuda ao professor, pois ele pode orientá-lo sobre o que estudar e pesquisar, como organizar os estudos e onde buscar mais informações sobre um assunto. Reserve todos os dias um horário para fazer as tarefas e rever os conteúdos, porque assim você evita que eles se acumulem. Ajude e peça ajuda aos colegas, pois partilhar ideias é fundamental para construção do conhecimento. Aprender pode ser muito prazeroso, e temos certeza de que você vai descobrir isso. Equipe Curricular de Matemática Coordenadoria de Gestão da Educação Básica – CGEB Secretaria da Educação do Estado de São Paulo
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  • 6. Matemática – 3a série – Volume 1 5 VOCÊ APRENDEU? 1. Na Geometria Analítica Plana, representamos os pontos de um plano por coordenadas (x; y) e fazemos cálculos relativos a figuras geométricas por meio de operações algébricas sobre os pares de coordenadas. Partindo dessa ideia, considere os pontos A (2; 3) e B (5; 7), e calcule: a) A distância entre esses dois pontos. b) A inclinação do segmento AB. 2. Como você escreveria a equação da reta paralela ao eixo x que cruza o eixo y no ponto (0; 5)? SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 A GEOMETRIA E O MÉTODO DAS COORDENADAS
  • 7. Matemática – 3a série – Volume 1 6 3. Qual é a equação da reta paralela ao eixo y, que cruza o eixo x no ponto (–2; 0)? 4. Compare se o que você fez nas três primeiras atividades corresponde ao apresentado a seguir: y 0 yB xA xB x yA B A dAB y 0 yB xA xB x yA B A 1 mAB y 0 y = h (h > 0) y = h (h < 0) x h h y 0 (h < 0) x = h (h > 0) x x = h A, B, C não alinhados: mAB ≠ mBC BC paralelo a DE: mBC = mDE dAB = distância entre A e B mAB = inclinação de AB m y y x x AB B A B A – – y 0 x A D E B C
  • 8. Matemática – 3a série – Volume 1 7 Registre as semelhanças e as diferenças entre as soluções que você propôs e as figuras apresentadas. 5. Observe os gráficos a seguir e busque uma equação que represente a reta r, em cada item: b)r y x0 3 2 1 5 4 6 7 21 3 54 y 0 3 4 5 x r 6 7 2 1 21 3 54 a) 6. De forma geral, para as retas inclinadas em relação aos eixos, lembrando dos gráficos das fun- ções de 1o grau, temos as equações indicadas a seguir: 0 y = mx + h (m > 0) m h 1 x y 0 y = mx + h (m < 0) m h 1 x y b)a) b)a)
  • 9. Matemática – 3a série – Volume 1 8 Compare-as com as equações encontradas na atividade 5 e identifique, em cada uma, os valores de m e h. 7. Comparando as inclinações das retas, podemos identificar as que são paralelas e as que são concorrentes e, particularmente, a relação entre as inclinações de retas perpendiculares: r1 : y = m1 x + h1 r2 : y = m2 x + h2 m1 ≠ m2 r1 e r2 concorrentes x y r2 : y = m2 x + h2 r1 : y = m1 x + h1 m1 = m2 r1 e r2 paralelas x y Considerando isso, responda às questões seguintes: a) Qual é a posição relativa entre as retas y = 2x + 5 e y = –4x + 1? b) Qual é a posição relativa entre as retas y = 3x + 4 e y = 3x – 2?
  • 10. Matemática – 3a série – Volume 1 9 Localize nesse sistema o ponto (2; 15) e determine a distância desse ponto a cada uma das retas indicadas anteriormente. No sistema cartesiano a seguir foram representadas retas de equações: Desafio! Para calcular a distância de um ponto a uma reta, deixando de lado o caso mais simples, em que a reta é paralela a um dos eixos, podemos explorar a semelhança de triângulos indicada na figura a seguir: yP y P yr h xP x (yr = mxP + h) r: y = mx + h yP – yr dPr 1 m1 2 m d y y mP r Pr – = + 1 1 2 ⇒ d y y m P r Pr – = +1 2 ⇒ d y m x h m P p Pr – – = +1 2 ⋅ ⇒ ⇒ y ts x 16 14 12 10 8 4 2 0 2 64 8–2–4–6–8 r r : y = 3 s : x = 4 t : y = 3x + 1
  • 11. Matemática – 3a série – Volume 1 10 8. O hexágono regular ABCDEF tem centro M, como mostra a figura a seguir, e cada lado tem 10 unidades de comprimento. Utilizando os sistemas de coordenadas XOY e X’YM’, determine: a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e M; b) a inclinação dos segmentos FE, DC, BC, AM, FA, ED, AC e FB; c) as coordenadas do ponto médio dos segmentos AB, FC, FM, AE, BC, DC e AD. y F D B E A x M C Y X
  • 12. Matemática – 3a série – Volume 1 11 9. Observe o hexágono regular ABCDEF, apresentado na atividade anterior, agora com o vértice F coincidente com um ponto do eixo das ordenadas, e com o lado AB apoiado sobre o eixo das abscissas. Determine: a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E e F; b) as coordenadas do ponto M, centro do hexágono; c) a inclinação dos segmentos AD e BE; d) as coordenadas do ponto médio dos segmentos: AE e BD; e) as medidas AD, BE e FC, diagonais do hexágono. Y F O B DE A X M C
  • 13. Matemática – 3a série – Volume 1 12 10. No sistema de coordenadas desenhado no papel quadriculado, represente os pontos: A (1; 2), B (3; 8), C (–2; 8) e D (–4; 2). x y 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 –1 –1–2–3–4 a) Mostre que os pontos A, B, C e D são os vértices de um paralelogramo. b) Calcule o comprimento do lado maior do paralelogramo ABCD.
  • 14. Matemática – 3a série – Volume 1 13 c) Calcule o comprimento da diagonal menor de ABCD. d) Trace, em seu desenho, as diagonais do paralelogramo ABCD. Identifique pela letra M o ponto em que as diagonais se cruzam. Determine as coordenadas do ponto M. e) Calcule a área do triângulo AMD.
  • 15. Matemática – 3a série – Volume 1 14 LIÇÃO DE CASA 11. Represente os pontos A (0; 0), B (3; 7) e C (–2; 13) em um sistema de coordenadas, sendo M o ponto médio de AC e N o ponto médio de BC. a) Determine as coordenadas de M e N.
  • 16. Matemática – 3a série – Volume 1 15 b) Calcule as inclinações dos segmentos AB e MN, verificando que tais segmentos são paralelos. c) Calcule as distâncias dAB e dMN , verificando que dAB = 2dMN . VOCÊ APRENDEU? 12. Para que três pontos A, B e C estejam alinhados, é necessário e suficiente que as inclinações dos segmentos AB, BC (e, consequentemente, AC) sejam iguais, isto é, que os três pontos constituam uma única rampa ABC. 0 x y yB yC yA xA xB xC A B C mAB 5 mBC 5 mAC 0 x y yC yB yA xA xB xC A B C mAB ϶ mBC
  • 17. Matemática – 3a série – Volume 1 16 Dados os pontos A (1; 3), B (3; 7) e C (4; k): a) Determine o valor de k para que esses pontos estejam alinhados. b) Determine o valor de k para que a área do triângulo ABC seja igual a zero. c) Sendo k = 3, desenhe o triângulo ABC e calcule sua área.
  • 18. Matemática – 3a série – Volume 1 17 13. No sistema de coordenadas a seguir, represente quatro pontos de modo a formar um quadrilá- tero ABCD. Escolha as coordenadas à vontade. y x 6 4 –1 –4 –3 –2 –1 1 32 4 5 –2 –3 –4 2 5 3 1 0 Analisando o quadrilátero formado: a) calcule os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA; b) mostre que os quatro pontos médios obtidos formam um paralelogramo.
  • 19. Matemática – 3a série – Volume 1 18 14. Com base na figura, calcule a distância do ponto P de coordenadas (2; 15) à reta r nos casos indicados a seguir: a) r: y = 3 b) r: x = 9 c) y = 3x + 1 Vamos fazer uma figura para orientar a solução: N 3 M Q P y A x B d 15 7 3 1 0 2 9 15–7=8 y2 = 3 2 + 1 = 7 y = 3 x = 9 y = 3x + 1 1 ÎW10
  • 20. Matemática – 3a série – Volume 1 19 VOCÊ APRENDEU? 1. Na equação y = 473,5x + 12,879, se x variar uma unidade, passando, por exemplo, de 2008 para 2009, de quanto será o aumento de y? Tente responder a essa questão sem efetuar cálculos. 2. Represente no plano cartesiano as retas r1 a r9 de equações do tipo y = mx + h, correspondentes aos valores de h e m registrados na tabela a seguir. r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 h 0 3 –3 –1 3 – 5 π –0,5 –0,8 m 5 –2 –2 5 –7 6,4 0 – 7 π SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 A RETA, A INCLINAÇÃO CONSTANTE E A PROPORCIONALIDADE y 6 7 –1 4 62 3 51 –3 –5 –2 –4 –6 –7 4 2 5 3 1 0 –1–3 –2–4 x
  • 21. Matemática – 3a série – Volume 1 20 3. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A (2; 5) e tem inclinação m = 3. 4. Escreva a equação da reta que passa pelos pontos A (1; 7) e B (4; 16). 5. Considere o quadrado ABCD cujo lado mede 5 unidades e o triângulo equilátero EFG cujo lado mede 10 unidades, representados no sistema cartesiano: y BA D 5 x C y xF M G 10 E O a) Escolha um sistema de coordenadas que considere mais adequado e escreva as equações das retas AB, BC, CD, DA, AC e BD. b) Escolha um sistema de coordenadas que considere mais adequado e escreva as equações das retas EF, FG, GE e OM, onde M é o ponto médio do lado EF e O é o ponto médio do lado GF.
  • 22. Matemática – 3a série – Volume 1 21 6. Se duas retas inclinadas em relação aos eixos coordenados r1 e r2 são perpendiculares, então suas inclinações m1 e m2 têm sinais opostos e são inversas, isto é, m1 . m2 = –1, como é possível perceber pela análise da figura a seguir: y 0 x 1 h2 h1 y = m2 x + h2 y = m1 x + h1 m1 m2 Os ângulos assinalados nos dois triângulos retângulos são congruentes. Isso nos permite afirmar que m 1 = 1 – m 1 2 (note que, como m2 < 0, o segmento que corresponde ao lado do triângulo tem comprimento igual a – m2 ). Sendo assim, concluímos que m1 m2 = –1. Considerando esse resultado, determine a equação da reta t que passa pelo ponto A e é perpen- dicular à reta r, nos seguintes casos: A (0; 0) (0; 4) (0; –3) (0; 7) (1; 2) r y = 4 – 3x y = 2x – 5 y = 0,2x + 7 y = – 3x + 2 y = 3x + 7
  • 23. Matemática – 3a série – Volume 1 22 7. Como observado anteriormente, a equação y = mx + h representa os pontos de uma reta incli- nada em relação aos eixos coordenados. Uma reta divide o plano em dois semiplanos. Em um deles, o que se situa acima da reta, os pontos são tais que y > mx + h; no outro, abaixo da reta, temos y < mx + h. Se os semiplanos incluem os pontos da reta, temos y ≥ mx + h para os pontos acima da reta ou na reta, e y ≤ mx + h para os pontos abaixo dela ou na reta. y x0 y > mx + h y < mx + h y = mx + h y x0 y ≥ mx + h y ≤ mx + h y = mx + h Partindo dessa ideia, associe cada uma das regiões coloridas A, B, C, D, E e F a uma inequação ou a um sistema de inequações do tipo y > mx + h, ou, então, y < mx + h, considerando-se a continuidade ou não da região solicitada. A y = 3x + 5 x y 0 C y = 5 + 2x x y 0 D y = 7 – 0,5x y = 4 – 0,9x x y y = –3 + 2x B y = 5 – 0,5x y x0 0
  • 24. Matemática – 3a série – Volume 1 23 E 7 x y 0 F 5 x y 0 8. Uma pessoa deve fazer uma dieta em que deve ingerir, no mínimo, 75 g de proteínas por dia, servindo-se apenas de certo alimento A. a) Se cada grama de A fornece 0,15 g de proteína, quantos gramas de A deverão ser ingeridos por dia, no mínimo? b) Represente algebricamente a relação entre a quantidade x de A em gramas a ser ingerida e a quantidade y de proteínas correspondente. c) Represente no plano cartesiano os pontos correspondentes aos pares (x; y) para os quais a prescrição da dieta é atendida. y = – 2xπ y = π x y 0 y = 4 + x y = 4
  • 25. Matemática – 3a série – Volume 1 24 d) Represente no plano cartesiano a região em que a dieta estaria igualmente satisfeita, porém com alimentos mais ricos em proteínas do que o alimento A. LIÇÃO DE CASA 9. Um fazendeiro dispõe de 18 alqueires para plantar milho e alfafa. Chamando de x a área a ser plan- tada de milho, e y a área a ser plantada de alfafa, e sabendo-se que o fazendeiro pode optar por deixar uma parte das terras sem plantar nenhuma das culturas, responda às questões a seguir: a) Represente a relação algébrica que deve existir entre os valores x e y. x y 0
  • 26. Matemática – 3a série – Volume 1 25 b) Represente a região A do plano cartesiano que corresponde à relação entre x e y anterior- mente referida. c) Sabendo-se que devem ser plantados, no mínimo, 5 alqueires de milho, qual a região B do plano que corresponde aos pares (x; y) que satisfazem as condições formuladas? x y 0 x y 0
  • 27. Matemática – 3a série – Volume 1 26 d) Sabendo-se que devem ser plantados, no mínimo, 5 alqueires de milho e, no mínimo, 3 alqueires de alfafa, qual a região C do plano que corresponde aos pares (x; y) que satisfa- zem as condições formuladas? x y 0
  • 28. Matemática – 3a série – Volume 1 27 VOCÊ APRENDEU? 1. Em uma fábrica que produz um só tipo de produto, o custo C da produção de x unidades é a soma de um custo fixo C0 com um custo variável C1 , que é proporcional a x. Se o processo de produção for tal que cada unidade produzida a mais tenha sempre o mesmo custo, independen- temente do valor de x, então C1 = kx, onde k representa o custo de cada unidade do produto. Em uma fábrica como a descrita acima, tem-se: C = 3000 + 150x (x é o número de artigos; C é o custo da produção em reais). a) Esboce o gráfico de C em função de x. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 PROBLEMAS LINEARES – MÁXIMOS E MÍNIMOS b) Para qual valor de x o custo fixo se iguala ao custo variável? c) A partir de qual valor de x o custo fixo passa a representar menos de 10% do custo total da produção? x y 0
  • 29. Matemática – 3a série – Volume 1 28 2. Uma fábrica produz dois tipos de produtos: A e B. A quantidade produzida diariamente de A é igual a x, e a quantidade diária de B é igual a y. O processo de produção é tal que cada uni- dade produzida de A custa sempre 5 reais e cada unidade de B custa 8 reais, sendo, portanto, o custo da produção conjunta de A e B igual a C = 5x + 8y (C em reais). a) Sendo o valor de C, em determinado dia, igual a R$ 2400,00, determine dois pares de valores possíveis para x e y. b) Sendo o máximo valor admissível para C igual a R$ 3200,00, qual é o valor máximo possível para x? E qual é o valor máximo possível para y? (Observação: x ≥ 0, y ≥ 0.) c) Represente em um sistema de coordenadas no plano os pares (x; y) para os quais se tem C ≤ 3200. x y 0
  • 30. Matemática – 3a série – Volume 1 29 3. Uma pessoa deve fazer uma dieta que forneça pelo menos 6 mg de vitamina B2 , alimentando-se exclusivamente dos alimentos I e II, oferecidos em pacotes de 100 g. Cada pacote do alimento I fornece 1,2 mg de B2 , e cada pacote do alimento II fornece 0,15 mg de B2 . Sendo x o número de pacotes do alimento I a serem ingeridos, e y o número de pacotes do alimento II: a) Escreva a relação que deve existir entre x e y para que a dieta seja satisfeita. b) Represente graficamente os pares (x; y) que satisfazem essa relação. (Lembre-se de que devemos ter, naturalmente, x ≥ 0, y ≥ 0.) 4. Retome o enunciado da atividade anterior. Considere que cada pacote de 100 g do alimento I custa 5 reais e cada pacote de II custa 2 reais. a) Expresse o custo C da alimentação, se forem utilizados x pacotes de I e y pacotes de II. x y 0
  • 31. Matemática – 3a série – Volume 1 30 b) Represente graficamente no plano cartesiano os pares (x; y) que correspondem ao custo C1 = 40 reais, notando que eles correspondem a uma reta r1 . c) Represente os pontos que correspondem ao custo de C2 = 60 reais e C3 = 80 reais, notando que eles correspondem às retas r2 e r3 , paralelas à reta r1 do item anterior. x y 0 x y 0
  • 32. Matemática – 3a série – Volume 1 31 d) Mostre que, quanto menor o custo, menor a ordenada do ponto em que a reta que o repre- senta intercepta o eixo y. e) Para qual dos pares (x; y) tem-se a dieta satisfeita e o custo da alimentação o menor possível? LIÇÃO DE CASA 5. Um pequeno fazendeiro dispõe de 8 alqueires para plantar milho e cana. Ele deve decidir quanto plantar de milho e quanto de cana, em alqueires, de modo que seu rendimento total seja o maior possível. Cada alqueire de milho plantado deve resultar em um rendimento líquido de R$ 20 mil e cada alqueire de cana deverá render R$ 15 mil. No entanto, cada al- queire de milho requer 20000 L de água para irrigação e cada alqueire de cana requer somen- te 10000 L de água, sendo que, no período correspondente, a quantidade de água disponível para tal fim é 120000 L. Considere x e y as quantidades de alqueires plantados de milho e cana, respectivamente. a) Como se pode representar, em termos de x e y, o rendimento total R a ser recebido pelo fazendeiro, supondo que venda a totalidade de sua produção? b) Qual é a relação entre x e y que traduz a exigência de que o total de alqueires plantados não pode ser maior do que 8? Represente no plano cartesiano os pontos (x; y) que satisfazem essa relação. x y 0
  • 33. Matemática – 3a série – Volume 1 32 c) Qual é a relação entre x e y que traduz a exigência de que o total de água a ser utilizado não pode superar os 120 000 L? Represente no plano cartesiano os pontos (x; y) que satisfazem essa relação. e) Determine o conjunto dos pontos (x; y) do plano que correspondem ao rendimento R1 = 75 mil e os que correspondem ao rendimento R2 = 120 mil. x y 0 x y 0 x y 0 d) Represente no plano cartesiano o conjunto dos pontos que satisfazem simultaneamente as duas exigências expressas nos itens b e c (lembrando que devemos ter x ≥ 0, y ≥ 0).
  • 34. Matemática – 3a série – Volume 1 33 f) Mostre que, quanto maior o rendimento R, maior a ordenada do ponto em que a reta que o representa intercepta o eixo OY. g) Determine o ponto da região do item d que corresponde ao rendimento total máximo. Desafio! Uma fábrica utiliza dois tipos de máquinas, M1 e M2 , para produzir dois tipos de produtos, P1 e P2 . Cada unidade de P1 exige 2 horas de trabalho de M1 e 2 horas de M2 ; cada unidade de P2 exige 1 hora de M1 e 4 horas de M2 . Sabe-se que as máquinas M1 e M2 po- dem trabalhar, no máximo, 10 horas por dia e 16 horas por dia, respectivamente, e que o lucro unitário, na venda de P1 , é igual a 40 reais, enquanto na venda de P2 , o lucro unitário é de 60 reais. Representando por x a quantidade diária a ser produzida de P1 e y a quanti- dade a ser produzida de P2 , responda às questões seguintes. x y 0
  • 35. Matemática – 3a série – Volume 1 34 a) Qual é a relação entre x e y de modo que o tempo de utilização da máquina M1 não ultrapasse as horas diárias permitidas? Represente os pontos correspondentes no plano cartesiano. b) Qual é a relação entre x e y de modo que o tempo de utilização da máquina M2 não ultrapasse as horas diárias permitidas? Represente os pontos correspondentes no plano cartesiano. c) Represente a região do plano cartesiano que corresponde aos pontos (x; y) que satisfazem simultaneamente às duas restrições dos itens a e b. x y 0 x y 0 x y 0
  • 36. Matemática – 3a série – Volume 1 35 d) Qual é a expressão do lucro total L que resulta da venda de todas as unidades produzidas de P1 e P2 ? e) Represente os pontos do plano que correspondem a um lucro total igual a 120 reais. f) Qual é o ponto da região do item c que corresponde ao lucro total máximo? x y 0
  • 37. Matemática – 3a série – Volume 1 36 As circunferências e as cônicas (elipses, hipérboles e parábolas) são curvas que também podem ser representadas no plano cartesiano e cuja propriedade obedecida pelos seus pon- tos pode ser descrita por meio de uma equação de duas variáveis. A circunferência e a elipse podem ser vistas a partir de seções de um cilindro circular; a elipse não passa de uma circunferência alongada em uma das duas direções. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 CIRCUNFERÊNCIAS E CÔNICAS: SIGNIFICADOS, EQUAÇÕES, APLICAÇÕES circunferência elipse elipse Os quatro tipos de curvas podem ser vistos como seções de uma superfície cônica. Também é possível observar superfícies cônicas colocando-se água em recipientes cilín- dricos ou cortando-se adequadamente uma peça de salame. circunferência Leitura e análise de texto ©ConexãoEditorial
  • 38. Matemática – 3a série – Volume 1 37 VOCÊ APRENDEU? 1. Sabendo que uma circunferência de centro C (x0 ; y0 ) e raio r tem equação (x – x0 )2 + (y – y0 )2 = r2 , considere a circunferência de centro (4; 4) e de raio 4. a) Represente-a no plano cartesiano a seguir e determine sua equação. b) Determine a equação da reta s que passa pela origem e pelo centro da circunferência. c) Calcule as coordenadas dos pontos P1 e P2 , de interseção da reta s com a circunferência dada. x y 0
  • 39. Matemática – 3a série – Volume 1 38 d) Calcule a distância entre P1 e P2 . Elipse As curvas chamadas cônicas – a elipse, a hipérbole e a parábola – ocorrem com mui- ta frequência na natureza e no dia a dia. Vamos conhecer suas principais características, começando pela elipse. Quando inclinamos um recipiente cilíndrico aberto, de seção circular, contendo água em repouso, o contorno da superfície da água é uma elipse. Também é uma elipse a sombra projetada de uma circunferência situada em um plano vertical, quando a luz do Sol, ou outra luz, incide obliquamente. Foi Johannes Kepler (1571–1630), em seus estudos de Astronomia, quem associou às trajetórias dos planetas ao redor do Sol não mais circunferências, mas sim elipses, ou seja, circunferências “achatadas”. Leitura e análise de texto ©ConexãoEditorial©ConexãoEditorial
  • 40. Matemática – 3a série – Volume 1 39 Nessas elipses, Kepler destacou a existência de dois pontos simetricamente opostos em relação ao centro, chamados focos, em um dos quais o Sol se situava. A partir desses dois pontos, uma propriedade funda- mental pode ser utilizada para caracterizar uma elipse: qual- quer ponto da elipse é tal que a soma das distâncias até esses dois pontos fixados, que são os focos, é constante. Jardin- eiros utilizam frequentemente essa propriedade para construir canteiros elípticos: fincando-se duas estacas, uma em cada foco, e deslocando-se um estilete, com um barbante de comprimento L (maior do que a distância entre os focos) esticado, obtém-se uma elipse. Um coador de café de plástico pode ilustrar o fato de que as elipses podem ser considera- das curvas intermediárias entre a circunferência e o segmento de reta: 0 x y Semieixos a–a –b b Uma elipse apresenta dois eixos de simetria: o semieixo maior costuma ser represen- tado por a, o menor por b. Assim, os dois eixos são 2a e 2b. F1 F2 ©ConexãoEditorial ©ConexãoEditorial©ConexãoEditorial
  • 41. Matemática – 3a série – Volume 1 40 y 0 x x2 +(y')2 = a2 (x; y') (x; y) Elipse Circunferência –a –a l a –b a b x2 a2 b2+ = 1 y2 VOCÊ APRENDEU? 2. Usando o fato de que a elipse é uma circunferência “achatada”, ou seja, é a curva obtida quando re- duzimos (ou ampliamos) na mesma proporção todas as cordas perpendiculares a um diâmetro dado, mostre que a equação da elipse de centro na origem e com os semieixos a e b é x a y b 2 2 2 2 + = 1. 3. Em uma elipse com centro na origem e semieixo maior a no eixo OX, os pontos (0; b) e (0; –b) distam do centro menos do que a. Os pontos do eixo OX que estão a uma distância a de (0; b) e (0; –b) têm coordenadas (c; 0) e (–c; 0). Eles são particularmente importantes, sendo chamados focos da elipse. O valor c é chamado dis- tância focal da elipse. Por construção, a soma das distâncias dos pontos (0; b) e (0; –b) até os focos é igual a 2a. É possí- vel mostrar que para todo ponto P (x; y) do plano, se x a y b 2 2 2 2 + = 1, então, a soma das distâncias de P até os focos (c; 0) e (–c; 0) é igual a 2a. A razão c a é chamada excentricidade da elipse, sendo represen- tada pela letra e. 0–a a –b b –c c a a y x
  • 42. Matemática – 3a série – Volume 1 41 a) Mostre que, entre a, b e c vale a relação a2 = b2 + c2 . b) Mostre que, fixado o valor de a, quanto menor for o valor de b, mais a excentricidade se aproxima de 1 e a elipse se aproxima de um segmento de reta; quanto mais próximo de a for o valor de b, mais a excentricidade se aproxima de zero e a elipse se aproxima de uma circunferência. 4. Considere a elipse representada a seguir de centro na origem e semieixos a = 13 e b = 5. y x F2 F1 5 13 13 c Determine: a) a equação da elipse; b) a excentricidade da elipse;
  • 43. Matemática – 3a série – Volume 1 42 c) os focos da elipse; d) o valor de k para que o ponto P (5; k), do primeiro quadrante, pertença à elipse; e) a soma das distâncias de P aos focos da elipse. Hipérbole Quando representamos graficamente pares (x; y) de grandezas que são inversamente pro- porcionais, isto é, cujo produto x y é constante e não nulo, a curva obtida é uma hipérbole. x1 . y1 = x2 . y2 = x3 . y3 = constante = k ≠ 0 eixos perpendiculares/ sistema ortogonal eixos oblíquos Leitura e análise de texto x y 0 y2 y1 x3 x2 x y = k x1 y3 0 y1 y2 x y = k x1 x2 x3 x y y3
  • 44. Matemática – 3a série – Volume 1 43 Como já vimos anteriormente, a hipérbole surge, ainda, quando seccionamos um cone circular reto com um plano que forma com o plano da base um ângulo maior do que aquele formado por uma geratriz do cone com a base. Quando um avião se desloca a certa altura com velocidade maior do que a do som, um problema importante consiste em deter- minar a região da superfície da Terra de onde se pode escutar o barulho de seus motores. Essa região é chamada zona de audibilidade e se desloca com o avião. É possível mostrar que, em cada instante, seu contorno é uma hipérbole. Uma propriedade característica da hipérbole é a seguinte: existem dois pontos fixados F1 e F2 tais que a diferença entre as distâncias de qualquer ponto da curva até esses dois pontos é constante. A partir dessa propriedade, é possível traçar hipérboles da forma in- dicada na figura a seguir: hipérbole d(P, F2 ) – d(P, F1 ) = constante Para escrever a equação da hipérbole, podemos partir da representação de grandezas inversamente proporcionais. No caso de um sistema XOY em que os eixos cartesianos são ortogonais, a hipérbole é chamada equilátera e os dois ramos da curva aproximam-se in- definidamente dos eixos coordenados, nunca os tangenciando. A origem é um centro de simetria e os eixos coordenados são chamados, nesse caso, assíntotas da hipérbole. Por exemplo, as curvas formadas pelos pontos cujas coordenadas satisfazem as relações a seguir são hipérboles tendo como assíntotas os eixos coordenados (ver figuras). x y x ∙ y = 7 0 x y x ∙ y = –5 0 F1 F2 P ©ConexãoEditorial 7 5 2,5 –2 –1 –7 1 –1
  • 45. Matemática – 3a série – Volume 1 44 VOCÊ APRENDEU? 5. A equação 4x2 – 9y2 = 36 pode ser vista como uma hipérbole. Fatore o primeiro membro e obtenha X e Y tal que X Y = 36. Em seguida, determine as assíntotas e faça uma representação gráfica da hipérbole, obtendo (2x – 3y) (2x + 3y) = 36, ou seja, X Y = 36. 6. A equação de uma hipérbole representada no plano cartesiano, com centro na origem, é do tipo x a y b 2 2 2 2 – = 1, em que a é a abscissa do vértice da hipérbole, nas condições representadas na figura seguinte: – a a y b x – b y xb a = b –y x a = x2 a2 – y2 b2 = 1
  • 46. Matemática – 3a série – Volume 1 45 a) Sabendo isso, determine a equação da hipérbole que passa pelo ponto (3; 0) e tem como assíntotas as retas y = 4 3 x e y = – 4 3 x. b) Faça a representação gráfica da hipérbole e de suas assíntotas.
  • 47. Matemática – 3a série – Volume 1 46 7. Obtenha a equação da hipérbole com centro na origem, representada na figura, sabendo que ela passapeloponto(a;0)equetemcomoassíntotas as retas = –൬ ൰ ൬ ൰y = e y b a x b a x . 8. Sendo y = e y = – b a x b a x, com a e b positivos, as assíntotas de uma hipérbole que passa por (a; 0), os pontos F1 (c; 0) e F2 (–c; 0), tais que c2 = a2 + b2 , são chamados focos da hipérbole. Na figura a seguir, são apresentados os focos da hipérbole. É possível mostrar que a diferença entre as distâncias de um ponto qualquer da hipérbole até F1 e até F2 é constante e igual a 2a. x b y c ca 0 – a–c F2 (–c; 0) (c; 0)F1 y = b a x y = – b a x X Y – a a 0 y x y = – x b a y = x b a
  • 48. Matemática – 3a série – Volume 1 47 Para cada uma das hipérboles a seguir, determine os focos e calcule o valor constante da dife- rença das distâncias entre um ponto qualquer da hipérbole e os focos. Confira o valor obtido fazendo os cálculos diretamente para um ponto da hipérbole arbitrariamente escolhido. a) x y 4 3 0 b) 0 x y 5 12 c) x y 5 –5 0
  • 49. Matemática – 3a série – Volume 1 48 Parábola Em geral, quando representamos graficamente pares (x; y) de grandezas tais que y é diretamente proporcional ao quadrado de x (y = kx2 , k constante e k ≠ 0), a curva correspondente no plano cartesiano é uma parábola. É o que ocorre, por exemplo, quando uma pedra é abandonada e registramos a relação entre a distância percorrida verticalmente e o tempo de queda livre. Também é uma parábola a trajetória de todos os projéteis lançados obliquamente em relação à superfície da Terra, descon- siderados os efeitos do ar. Além disso, quando, de um ponto fixado no solo, lançamos projéteis sempre com a mesma velocidade inicial v0 , em todas as direções possíveis, em um plano vertical dado, o contorno da região determinada pelos pontos que podem ser atingidos pelos projéteis é também uma parábola, chamada parábola de segurança. 0 y 0 y = kx2 x Leitura e análise de texto ©ConexãoEditorial
  • 50. Matemática – 3a série – Volume 1 49 A parábola tem certas propriedades características que podem ser utilizadas para defini-la. Uma delas é a existência de um ponto F, fixado, e de uma reta r, fixada, tais que a distância de cada ponto P da parábola até F é igual à distância de P até r. F é o foco da parábola e r é sua diretriz. F Quando seccionamos um cone circular reto por um plano que forma com a base um ângulo exatamente igual ao que uma geratriz do cone forma com a base, obtemos também uma parábola. Uma propriedade interessante das parábolas é a seguinte: sendo P um ponto qualquer da parábola, a reta que passa pelo foco F e por P forma com a tangente à parábola em P um ângulo igual ao formado pela tangente com a reta paralela ao eixo da parábola passando por P (veja a figura). PII d(P, F) = d(P,r) d(P', F) = d(P',r) d(PII , F) = d(PII ,r)P' P F
  • 51. Matemática – 3a série – Volume 1 50 Isso explica a razão de os faróis dos automóveis serem envolvidos por uma superfície cuja seção é um paraboloide, ou seja, é a superfície gerada por uma parábola que dá uma volta completa em torno de seu eixo. Se a lâmpada situar-se exatamente no foco, os raios de luz formarão um feixe paralelo ao eixo, como é desejável. VOCÊ APRENDEU? 9. Determine o foco e a diretriz das parábolas que podem ser representadas no plano cartesiano por equações do tipo: a) y = kx2 b) x = ky2 c) y = kx2 + h PESQUISA INDIVIDUAL Verifique, por meio da construção de uma superfície parabólica com uma lâmina de alumínio, fixada em uma tábua, com uma pequena lanterna no foco da parábola, a proprie- dade citada das parábolas nas superfícies cromadas dos faróis dos automóveis. ©ConexãoEditorial
  • 52. 51 Matemática – 3a série – Volume 1 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5 A EQUAÇÃO DE 3o GRAU E O APARECIMENTO NATURAL DOS NÚMEROS COMPLEXOS VOCÊ APRENDEU? 1. Já sabemos resolver todos os tipos de equações de 2o grau, obtendo as soluções por meio da fórmula de Bhaskara. Resolveremos, agora, a equação de 2o grau ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) se- guindo um processo diferente. Esse processo poderá também nos ajudar a resolver equações de 3o grau. a) Divida os dois membros da equação ax2 + bx + c = 0 por a, obtendo: a__ a x2 + b__ a x + c__ a = 0 b) Substitua b__ a por B, c__ a por C e escreva x2 + Bx + C = 0. c) Substitua x por y – B__ 2 , faça os cálculos (o denominador 2 corresponde ao grau da equação) e verifique que a equação se transforma em y2 – B2 ___ 4 + C = 0.
  • 53. 52 Matemática – 3a série – Volume 1 d) Mostre que, em consequência, y = ± ® _______ B2 – 4C_________ 2 . e) Substitua, agora, os valores de y, de B e de C em x = y – B__ 2 , obtendo os valores de x. (Você identifica, nos cálculos, a fórmula de Bhaskara?) f) Resolva a equação 3x2 + 15x + 18 = 0, seguindo os passos descritos nos itens anteriores. 2. Já sabemos que, se uma equação de 2o grau ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) tiver duas raízes distintas, x1 e x2 , então ela pode ser escrita na forma x2 – Sx + P = 0, onde: S = x1 + x2 = –b___ a e P = x1 . x2 = c__ a
  • 54. 53 Matemática – 3a série – Volume 1 a) Verifique que, nesse caso, as raízes x1 e x2 podem ser obtidas por x = S ± ® ______ S2 – 4P___________ 2 . Em seguida, mostre que não existem dois números reais cuja soma seja 10 e cujo produto seja 40. Ou seja, mostre que a equação x2 – 10x + 40 = 0 não tem raízes reais. Para isso, você pode utilizar a fórmula x = S ± ® ______ S2 – 4P___________ 2 . b) Mostre que não existem dois números reais cujo quadrado de sua soma seja menor do que o quádruplo do produto dos dois números.
  • 55. 54 Matemática – 3a série – Volume 1 3. Responda às questões a seguir: a) Considere a equação x3 + 15x2 + 11x + 7 = 0. Substitua x por y – 5, ou seja, x = y – 5, e mostre que a nova equação em y não apresenta o termo em y2 (o denominador 3 corresponde ao grau da equação). b) Mostre que, na equação x3 + Bx2 + Cx + D = 0, substituindo x por y – , B 3 a nova equação em y não apresenta o termo em y2 .
  • 56. 55 Matemática – 3a série – Volume 1 Leitura e análise de texto A fórmula de Tartaglia e Cardano para resolver uma equação de 3o grau Dois matemáticos do século XVI, Tartaglia e Cardano, elaboraram uma sequência de passos para resolver a equação incompleta de grau 3 resultante da eliminação do termo de 2o grau, isto é, uma equação do tipo y3 + My + N = 0. Vamos seguir essa sequência de passos para resolver a equação y3 + 3y + 6 = 0. Acompanhe: Se você nunca desenvolveu o binômio (p + q)3 , poderá fazê-lo agora e obter: (p + q)3 = p3 + 3p2 q + 3pq2 + q3 Podemos rearranjar a igualdade anterior escrevendo: (p + q)3 – p3 – 3p2 q – 3pq2 – q3 = 0 Colocando em evidência –3pq, temos: (p + q)3 – 3pq(p + q) – (p3 + q3 ) = 0 Faremos, agora, uma comparação entre a equação anterior e a equação que nos propo- mos resolver: y3 + 3y + 6 = 0. (p + q)3 – 3pq(p + q) – (p3 + q3 ) = 0 y3 + 3y + 6 = 0 Dessa comparação, concluímos: –3pq = 3 ou pq = –1, ou, ainda, p3 . q3 = –1 –(p3 + q3 ) = 6 ou p3 + q3 = – 6 Vamos considerar, agora, que determinada equação de 2o grau tenha uma raiz igual a p3 e outra raiz igual a q3 . Se assim for, teremos a seguinte soma S e o seguinte produto P das raízes dessa equação: S = p3 + q3 P = p3. q3 Concluímos, há pouco, que p3 + q3 = –6 e que p3. q3 = –1. Assim, para a equação de 2o grau imaginada, com raízes p3 e q3 , temos S = –6 e P = –1. Lembrando que uma equação de 2o grau pode ser escrita na forma x2 – Sx + P = 0, temos: x2 + 6x – 1 = 0
  • 57. 56 Matemática – 3a série – Volume 1 VOCÊ APRENDEU? 4. Responda às seguintes questões: a) Aplique a fórmula de Bhaskara para resolver a equação x2 + 6x – 1 = 0, determinando as raízes x1 e x2 . b) Lembrando que as raízes da equação anterior são p3 e q3 , determine os valores de p e de q. c) Se você acompanhou todos os passos da explicação, repetindo os mesmos procedimentos, obtém-se a fórmula de Cardano-Tartaglia, que possibilita encontrar as raízes da equação de 3o grau do tipo y3 + My + N = 0. É essa a fórmula: y = 3 ® ________________ – N___ 2 + ® ________ N2 ___ 4 + M3 ___ 27 + 3 ® ________________ – N___ 2 – ® ________ N2 ___ 4 + M3 ___ 27
  • 58. 57 Matemática – 3a série – Volume 1 5. Encontre uma raiz da equação y3 – 3y – 2 = 0.
  • 59. 58 Matemática – 3a série – Volume 1 6. Um marceneiro quer construir duas caixas, uma com a forma de um cubo de aresta x, outra com a forma de um paralelepípedo com a base retangular, de lados 3 m e 5 m, e de altura igual à altura do cubo. O valor de x deve ser escolhido de tal forma que o volume do cubo seja 4 m3 maior que o do paralelepípedo. a) Escreva a equação que traduz a exigência a ser satisfeita pelo valor de x. b) Use a fórmula de Cardano-Tartaglia para determinar as raízes da equação do item a. A que conclusão você chega? c) Verifique diretamente na equação apresentada que x = 4 é uma raiz, ou seja, fazendo x = 4 m, temos o cubo com volume de 64 m3 e o paralelepípedo com volume de 60 m3 . Como podemos interpretar o resultado do item b? Será que a fórmula de Cardano-Tartaglia não funciona sempre? Você verá, na situação seguinte, um modo de prosseguir nos cálculos e en- contrar o resultado x = 4. Observação!
  • 60. 59 Matemática – 3a série – Volume 1 7. Sabemos que o quadrado de qualquer número real não nulo, positivo ou negativo, é sempre positivo. Até aqui, em nosso percurso escolar, sempre que nos deparamos com a extração da raiz quadrada de um número negativo, dizemos que ela não existe. Na atividade 5 desta seção, tal decisão nos impediu de chegar a uma das raízes da equação, uma vez que teríamos de extrair a raiz quadrada de –121. Faremos, agora, uma atividade de imaginação: suponha que existam números estranhos (certamente, não seriam números da reta real) cujo quadrado seja negativo. a) Podemos verificar que, na verdade, bastaria existir um número estranho desses, como a raiz quadrada de –1, para que dele decorressem todas as outras raízes de negativos. De fato, como –121 = 121.(–1), bastaria sabermos quanto vale a raiz quadrada de –1. Como –1 não tem raiz real, vamos considerar que sua raiz é um número imaginário e o representaremos por i. Assim, i é um número tal que i2 = –1. b) Retorne ao item b da atividade 6 desta seção. Considere – – –121 121 1 11 1= =. . Denominando –1 i, escreva 11i no lugar de –121 e indique a solução da equação x3 – 15x – 4 = 0. c) Usando o fato de que a raiz cúbica de um número é outro número que, elevado ao cubo, reproduz o primeiro, mostre que 2 + i é uma raiz cúbica de 2 + 11i. Ou seja, mostre que (2 + i)3 = 2 + 11i . Para isso, lembre-se de que i² = –1.
  • 61. 60 Matemática – 3a série – Volume 1 d) Retorne à atividade 6 desta seção. Mostre que a solução x = 4 pode ser obtida a partir da fórmula para as raízes cúbicas da equação x3 – 15x – 4 = 0. LIÇÃO DE CASA 8. Resolva a equação 2x2 – 10x + 12 = 0. 9. Determine uma raiz das seguintes equações de 3o grau: a) x3 – x – 6 = 0
  • 62. 61 Matemática – 3a série – Volume 1 b) x3 – 2x2 – x + 2 = 0 VOCÊ APRENDEU? 10. Supondo que são válidas as propriedades das operações com números reais para os números formados por uma parte real x e uma parte imaginária yi, sendo i –1, efetue as operações indicadas, apresentando o resultado mais simples possível: a) (3 – 4i) + (–5 + 3i) b) (–11i + 7) – (–5 – 8i) c) (2i – 13) . (7 – 5i) d) (13 – i) . (13 + i) e) i3 + i5 + i7 f) i13
  • 63. 62 Matemática – 3a série – Volume 1 Leitura e análise de texto Uma equação de 1o grau com uma raiz igual a p pode ser assim escrita: x – p = 0 Uma equação de 2o grau com uma raiz igual a p e outra raiz igual a m pode ser assim escrita: (x – p).(x – m) = 0 Escrita dessa maneira, dizemos que a equação está em sua forma fatorada. Aplicando a propriedade distributiva nessa expressão, obtemos algo que já conhecemos na Situação de Aprendizagem anterior, ou seja: x2 – (p + m)x + pm = 0 Soma das raízes Produto das raízes VOCÊ APRENDEU? 1. Nesta Situação de Aprendizagem, você obterá expressões semelhantes às do quadro anterior, de soma e produto das raízes, para equações de graus maiores do que 2. Começaremos com equações de 3o grau. a) Escreva na forma fatorada uma equação de 3o grau com raízes m, p e k. SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6 DAS FÓRMULAS À ANÁLISE QUALITATIVA: RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES
  • 64. 63 Matemática – 3a série – Volume 1 b) Escreva a forma fatorada de uma equação de 3o grau com raízes 2, 3 e 4. c) Desenvolva a equação do item anterior, aplicando a propriedade distributiva, e identifique a soma e o produto das raízes na equação final. d) Uma equação de 3o grau pode ser assim escrita: ax3 + bx2 + cx + d = 0. Ou também dividindo toda a equação por a: x3 + b__ a x2 + c__ ax + d__ a = 0. Retome a equação do item c e responda quanto é, nessa equação: b__ a ? c__ a ? d__ a ?
  • 65. 64 Matemática – 3a série – Volume 1 2. Já vimos que uma equação de 3o grau ax3 + bx2 + cx + d = 0 pode ser escrita na forma: x3 + b__ a x2 + c__ ax + d__ a = 0 e também que, se essa equação tiver como raízes r1 , r2 e r3 , ela pode ser fatorada e escrita na forma: (x – r1 ).(x – r2 ).(x – r3 ) = 0 Efetuando as multiplicações indicadas e ordenando, obtemos a forma equivalente: S1 S2 P x3 – (r1 + r2 + r3 )x2 + (r1 r2 + r1 r3 + r2 r3 )x – r1 r2 r3 = 0 onde S1 = r1 + r2 + r3 é a soma das raízes, S2 = r1 . r2 + r1 . r3 + r2 . r3 é a soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas e P = r1 . r2 . r3 é a soma dos produtos das raízes tomadas três a três, ou seja, é o produto das raízes. a) Se uma equação de 3o grau tem raízes –2, 3 e 4, calcule S1 , S2 e P. b) Escreva a equação na forma fatorada. c) Se você aplicar a propriedade distributiva e eliminar os parênteses na equação do item anterior, qual será a forma final da equação obtida?
  • 66. 65 Matemática – 3a série – Volume 1 3. Uma equação de 3o grau tem raízes 2, 3 e 5. Escreva essa equação na forma ax3 + bx2 + cx + d = 0. LIÇÃO DE CASA 4. Escreva na forma x3 – S1 x2 + S2 x – P = 0 uma equação algébrica de grau 3 cujas raízes são: a) 3, 5 e 1 b) 2, 7 e –3
  • 67. 66 Matemática – 3a série – Volume 1 c) –2, –3 e 4 5. Escreva na forma fatorada uma equação algébrica de grau 4 cujas raízes são: a) 2, 3, 4 e 5 b) –2, 3, 4, –5 c) 1, 0, 3, 7
  • 68. 67 Matemática – 3a série – Volume 1 VOCÊ APRENDEU? 6. Escreva todas as equações da atividade 5 da seção Lição de casa, na forma ax4 + bx3 + cx2 + dx + + e = 0. Para isso, faça as multiplicações que foram indicadas. 7. Dada a equação x3 – 8x2 + kx – 24 = 0, responda: a) Quais são as possíveis raízes inteiras da equação? b) Se a equação tiver duas raízes simétricas, qual será a terceira raiz?
  • 69. 68 Matemática – 3a série – Volume 1 c) Se uma das raízes for o inverso da outra, qual será a terceira raiz? d) É possível que a equação tenha uma raiz nula? 8. Considere a equação 3x4 – 12x3 + kx2 – 6x + 3 = 0. a) Quais as possíveis raízes inteiras da equação? b) Quais os valores de k que fazem com que a equação proposta anteriormente tenha raízes inteiras?
  • 70. 69 Matemática – 3a série – Volume 1 9. Sabendo que 1 é raiz da equação x3 + 7x2 + kx – 15 = 0, determine o valor de k e encontre as outras duas raízes.
  • 71. 70 Matemática – 3a série – Volume 1 VOCÊ APRENDEU? 1. Considere os polinômios A(x) = x2 – 3x + 2 e B(x) = x3 – 2x2 – 3x + 2. a) Calcule A(1) e B(1). b) Calcule x para que A(x) = 0. c) Se a, b e c forem as raízes de B(x), quanto é o produto de a . b . c? SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7 EQUAÇÕES E POLINÔMIOS: DIVISÃO POR x – k E REDUÇÃO DO GRAU DA EQUAÇÃO
  • 72. 71 Matemática – 3a série – Volume 1 d) É possível termos A(x) = B(x)? e) É possível termos A(x) B(x)? 2. Considere os polinômios A(x) = x3 – 3x + 2 e B(x) = x3 – 2x2 – 3x + 10. a) É possível termos A(x) = B(x)?
  • 73. 72 Matemática – 3a série – Volume 1 b) É possível termos A(x) B(x)? LIÇÃO DE CASA 3. Considere os polinômios: P1 (x) = ax5 – 11x4 – 2x3 + 7x2 + bx + d e P2 (x) = bx5 + cx4 – 2x3 + 7x2 – ® __ 3x + d a) Determine os valores de a, b e c, de modo que os polinômios sejam idênticos. b) Calcule o valor de d sabendo que –1 é raiz da equação P1 (x) = 0.
  • 74. 73 Matemática – 3a série – Volume 1 4. Considere o polinômio P(x) = 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12. a) Mostre que x = 1 é raiz da equação P(x) = 0. b) Calcule o quociente da divisão de P(x) pelo binômio x – 1.
  • 75. 74 Matemática – 3a série – Volume 1 VOCÊ APRENDEU? 5. Considere o polinômio P(x) = 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46. a) Mostre que x = 2 é raiz da equação P(x) = 0. b) Calcule o quociente da divisão de P(x) pelo binômio x – 2.
  • 76. 75 Matemática – 3a série – Volume 1 Leitura e análise de texto Algoritmo de Briot-Ruffini Retome o enunciado da atividade 5 da seção Você aprendeu?. Existe uma maneira prática para obter o quociente de P(x) = 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 pelo binômio x – 2. Observando os cálculos efetuados, notamos que, sendo Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e: a é igual ao coeficiente de x5 em P(x): a = 3; b é obtido somando-se ao coeficiente de x4 em P(x) o produto de 2 por a: b = –2 + 2a; c é obtido somando-se ao coeficiente de x3 em P(x) o produto de 2 por b: c = 5 + 2b; d é obtido somando-se ao coeficiente de x2 em P(x) o produto de 2 por c: d = –11 + 2c; e é obtido somando-se ao coeficiente de x em P(x) o produto de 2 por d: e = –7 + 2d. Esses cálculos podem ser organizados no algoritmo seguinte, conhecido como algo- ritmo de Briot-Ruffini, para a divisão de um polinômio por um binômio da forma x–k: coeficientes de P(x) coeficientes de Q(x) Q(x) = 3x4 + 4x3 + 13x2 + 15x + 23 resto da divisão raiz 2 3 –2 5 –11 –46 3.2 3 4.2 4 13 15 23 0 13.2 15.2 23.2 –7
  • 77. 76 Matemática – 3a série – Volume 1 VOCÊ APRENDEU? 6. Responda às questões a seguir: a) Para verificar o entendimento do apresentado no texto, construa o algoritmo Briot-Ruffini para determinar o quociente de P(x) = x5 – 2x4 – 7x3 + 3x2 + 8x + 57 por x – 3. b) Dado o polinômio P(x) = a0 xn + a1 xn–1 + a2 xn–2 + a3 xn–3 +...+ an–1 x + an , mostre que o resto da divisão de P(x) por x – k é P(k). c) Calcule o resto da divisão de P(x) = 3x5 + x4 + 3x3 – 7x + π pelo binômio x + 3.
  • 78. 77 Matemática – 3a série – Volume 1 7. Responda às seguintes questões: a) Mostre que a equação 2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 = 0 apresenta raízes inteiras. b) Resolva a equação do item anterior.
  • 79. 78 Matemática – 3a série – Volume 1 Leitura e análise de texto Complexos, para quê? É muito frequente ouvir falar “mal” dos números complexos – aqueles números “estra- nhos”, formados por uma parte real x e uma parte “imaginária” yi, em que i é um número tal que seu quadrado é igual a –1, ou seja, i2 = –1. Os números complexos são, efetivamente, “estranhos” ao primeiro olhar. Mas eles podem ser interpretados de modo significativo, bem como as operações que realizamos sobre eles, e, ao sermos apresentados a tais temas, ampliamos nossa capacidade de expressão, de compreensão de fenômenos que a realidade nos apresenta. Querer limitar o estudo da Matemática ao de conteúdos de aplicação ime- diata, sem levar em consideração seu valor expressivo, é como querer limitar o ensino da língua ao da redação de cartas, de memorandos, de relatórios, desprezando, por exemplo, a apreciação de um poema; afinal, “Para que serve um poema?”. A aprendizagem da língua, no entanto, não pode prescindir de recursos expressivos que deem força ao texto, da construção de imagens metafóricas etc. Não se trata apenas de ensinar regras de reda- ção, mas de desenvolver instrumentos e formas pessoais de expressão, e a literatura, de modo geral, é fundamental para isso. Também no estudo de Matemática existem assuntos para os quais não vislumbramos “aplicações práticas” diretas, mas que se compõem com os outros, contribuindo para a construção de uma forma consistente de expressão, de compreensão dos fenômenos que observamos. Às vezes, um tema de Matemática serve apenas de apoio a outro tema, este, sim, com uma ligação direta com a prática; ambos, tanto o apoiador quanto o apoiado, precisam ser estudados. Como será visto a seguir, os números complexos e as operações sobre eles podem ser associados à realização de movimentos de translação, de rotação, de ampliação etc. Para que isso seja possível, será preciso conhecer um novo sistema de repre- sentação de números: o plano complexo, ou plano de Argand-Gauss. Plano complexo – significado dos complexos e das operações sobre eles Representa-se um número real em uma reta numérica, como você já deve ter feito inúmeras vezes em sua vida escolar. – 3 – 2 – 2,333... – 1 0 1 2 3 π SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 8 NÚMEROS COMPLEXOS: REPRESENTAÇÃO NO PLANO E SIGNIFICADO DAS OPERAÇÕES (TRANSLAÇÕES, ROTAÇÕES, AMPLIAÇÕES) – 2 1 4 3 2
  • 80. 79 Matemática – 3a série – Volume 1 Um número imaginário como i não pode ter as mesmas propriedades de um número real porque não é um número real, ou seja, não se encontra na reta real ou entre os reais representados na reta. A reta real IRencontra-se inteiramente preenchida com os números racionais e os irracionais. Como representar, então, tal número i e seus “derivados”, como toda a família de imaginários yi, onde y é um número real, bem como os números “mistos” ou “complexos”, resultantes da soma dos reais x com os imaginários yi? Como representar os números complexos de modo a dar significado às operações realizadas com eles? A ideia de representar os números na forma z = x + yi como pontos de um plano pode parecer natural, mas permaneceu latente desde os trabalhos de John Wallis (1616-1703), durante muitas décadas. Wessel e Argand trabalharam com tal ideia em situações concretas, mas somente quando foi apresentada por Gauss, em 1799, como parte de sua tese de doutorado, tal representação ganhou força e foi divulgada de modo amplo. Em resumo, a inspiração fundamental é a seguinte: NN.(–1) 0 N N.i 0 Ni N Ni.i = N.(–1) = –N 0 um arco de 180o , passando da semirreta positiva para a negativa, e vice-versa: N.(–1) = –N (resultado: rotação de 180o ); i2 , ou seja, por –1, é como se tivéssemos multiplicado o número real por i e multiplicássemos o resultado novamente por i: N.(–1) = N.i.i = –N; o , seria natural considerar o resultado de cada uma das multiplicações parciais por i como resultado de uma rota- ção de 90o : N.i = Ni (rotação de 90o );
  • 81. 80 Matemática – 3a série – Volume 1 i corresponderia a representar tal número em um eixo perpendicular ao eixo real. Essa pode ter sido a inspiração para a representação do número imaginário i no eixo perpendicular ao eixo real, o que conduziu à representação de todo complexo z = x + yi como um ponto do plano gerado pelas unidades real 1 e imaginária i. O plano em que os complexos são representados constitui uma extensão da reta real e é conhecido como plano complexo, ou plano de Argand-Gauss. y z = x + yi x eixo Real eixo Imaginário –N 0 1 Ni N i VOCÊ APRENDEU? 1. Dados os números complexos z1 = 3 + 4i; z2 = 7; z3 = 7i e z4 = 3 – 4i, calcule o número complexo a + bi resultado de: a) z1 + z2 b) z1 + z3 c) z1 + z4
  • 82. 81 Matemática – 3a série – Volume 1 d) z1 – z4 e) z1 . z2 f) z1 . z3 g) z3 . z4 h) (z1 .z4 )2 i) (z1 + z4 )3 j) (z1 – z4 )3 k) (z3 – z1 + z4 )3 l) (– z2 + z1 + z4 )15
  • 83. 82 Matemática – 3a série – Volume 1 2. Dados os complexos a seguir, represente-os no plano complexo, determinando o módulo e o argumento de cada um deles: a) z1 = 3 + 3i b) z2 = –3 + 3i c) z3 = 3 – 3i d) z4 = –3 – 3i a) b) c) d) Re Im Im Re Im Re Im Re
  • 84. 83 Matemática – 3a série – Volume 1 3. Observe os números complexos a + bi representados no plano de Argand-Gauss e determine, para cada um, a medida do ângulo e do segmento que une o ponto (a; b) à origem do sistema. a) Im Re1 0 1 b) Im Re–3 0 3
  • 85. 84 Matemática – 3a série – Volume 1 c) 3 Im Re–1 1 2 –2 3 2 1 –1 d) Im Re–3 0 – 3
  • 86. 85 Matemática – 3a série – Volume 1 Leitura e análise de texto |z| = x y2 2 Forma trigonométrica de um número complexo Um número complexo z = x + yi também pode ser escrito de outra forma, destacando-se seu módulo |z| e seu argumento . Sendo |z| = x + y2 2 , basta observarmos na representação plana dos complexos que x = |z|cos y = |z|sen . Substituindo-se na forma algébrica tais expressões, obtemos z = |z|(cos + isen ), que é chamada forma trigonométrica dos números complexos. forma trigonométrica x = |z|cos y = |z|sen z = |z|(cos + isen ) eixo Imaginário eixo Real forma algébrica x y z = x + yi z = x + yi i 1 |z| VOCÊ APRENDEU? 4. Retorne ao enunciado da atividade 2. Escreva cada um dos complexos de z1 a z4 na forma trigo- nométrica: z = |z| (cos + isen ).
  • 87. 86 Matemática – 3a série – Volume 1 5. Retome o enunciado da atividade 3 da seção anterior e escreva na forma trigonométrica cada um dos complexos lá representados. 6. Represente no plano complexo os números a seguir e, em seguida, escreva-os na forma trigonométrica. a) z1 = 0 + 3i Im Re
  • 88. 87 Matemática – 3a série – Volume 1 b) z2 = 3 + 0i Im Re c) z3 = –2 + 0i Im Re
  • 89. 88 Matemática – 3a série – Volume 1 d) z4 = –2i Im Re LIÇÃO DE CASA 7. Represente no plano complexo os números a seguir e, em seguida, escreva-os na forma trigonométrica. a) z i1 1 3= + b) z i2 1 3= +– Im Re Im Re
  • 90. 89 Matemática – 3a série – Volume 1 c) z i3 3= +– Im Re d) z i4 3 – Im Re
  • 91. 90 Matemática – 3a série – Volume 1 8. Observe o módulo |z| e o argumento das imagens dos números complexos representados no plano de Argand-Gauss. Determine, em cada caso, a parte real (a) e a parte imaginária (b) de cada número complexo z = a + bi, apresentando também a sua forma trigonométrica. a) Im Re |z| = 45o |z| = 8 b) Im Re = 120o |z| = 4 |z|
  • 92. 91 Matemática – 3a série – Volume 1 c) = 150o |z| = 6 |z| Im Re d) = 240o |z| = 2 |z| Im Re
  • 93. 92 Matemática – 3a série – Volume 1 VOCÊ APRENDEU? 9. Considere o complexo z = 5 + 12i no plano de Argand-Gauss. Represente no plano complexo as imagens dos seguintes números: a) z + 9 |z| 0 –2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Im Re–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18–4–6 b) z + 6i |z| 0 –2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Im Re–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18–4–6
  • 94. 93 Matemática – 3a série – Volume 1 c) z – 9 |z| 0 –2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Im Re–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18–4–6 d) z – 6i 0 –2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Im Re–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18–4–6 |z|
  • 95. 94 Matemática – 3a série – Volume 1 e) z + 9 – 6i |z| 0 –2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Im Re–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18–4–6 10. Escolha uma escala adequada para representar no plano de Argand-Gauss a imagem do número complexo z = 5 + 12i e, no mesmo plano, a imagem do complexo: a) 2z
  • 96. 95 Matemática – 3a série – Volume 1 b) z 2 11. Considere a região do plano complexo indicada na figura a seguir. Cada ponto da região é a imagem de um complexo e será objeto de uma transformação, indicada nos itens de a a e. Represente no plano complexo a região resultante após a transformação descrita em cada um desses itens. 6 6 2 2 eixo Real eixo Imaginário
  • 97. 96 Matemática – 3a série – Volume 1 a) A cada ponto da região será somado o número real 5. 6 6 2 2 eixo Real eixo Imaginário b) A cada ponto da região será somado o número imaginário 3i. 6 6 2 2 eixo Real eixo Imaginário
  • 98. 97 Matemática – 3a série – Volume 1 c) A cada ponto da região será somado o número complexo 3 + 4i. 6 6 2 2 eixo Real eixo Imaginário d) Cada ponto da região será multiplicado pelo número real 2. 6 6 2 2 eixo Real eixo Imaginário
  • 99. 98 Matemática – 3a série – Volume 1 e) Cada ponto da região será multiplicado pelo número real 1 2 . 6 6 2 2 eixo Real eixo Imaginário 12. Considere a região do plano complexo indicada na figura. Cada ponto da região é a ima- gem de um complexo e será objeto de uma transformação. Represente no plano complexo a região resultante após a multiplicação de cada ponto da região pelo imaginário i. 6 6 2 2 eixo Real eixo Imaginário
  • 100. 99 Matemática – 3a série – Volume 1 13. Considere a região do plano complexo indicada a seguir. Cada ponto da região é a imagem de um complexo e será objeto de uma transformação, indicada nas alternativas. Represente no plano complexo a região resultante, nas seguintes situações: 8 8 2 2 eixo Real eixo Imaginário 5
  • 101. 100 Matemática – 3a série – Volume 1 a) for somado ao número real 9; 8 8 2 2 eixo Real eixo Imaginário 5 b) for somado ao número imaginário 9i; 8 8 2 2 eixo Real eixo Imaginário 5
  • 102. 101 Matemática – 3a série – Volume 1 c) for somado ao número complexo 9 + 9i; 8 8 2 2 eixo Real eixo Imaginário 5 d) for multiplicado pelo número real 2; 8 8 2 2 eixo Real eixo Imaginário 5
  • 103. 102 Matemática – 3a série – Volume 1 e) for multiplicado pelo número imaginário 2i. eixo Real 8 8 2 2 eixo Imaginário 5
  • 104. CONCEPÇÃO E COORDENAÇÃO GERAL NOVA EDIÇÃO 2014-2017 COORDENADORIA DE GESTÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA – CGEB Coordenadora Maria Elizabete da Costa Diretor do Departamento de Desenvolvimento Curricular de Gestão da Educação Básica João Freitas da Silva Diretora do Centro de Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Profissional – CEFAF Valéria Tarantello de Georgel Coordenadora Geral do Programa São Paulo faz escola Valéria Tarantello de Georgel Coordenação Técnica Roberto Canossa Roberto Liberato S el Cristina de lb er e o EQUIPES CURRICULARES Área de Linguagens Arte: Ana Cristina dos Santos Siqueira, Carlos Eduardo Povinha, Kátia Lucila Bueno e Roseli Ventrela. Educação Física: Marcelo Ortega Amorim, Maria Elisa Kobs Zacarias, Mirna Leia Violin Brandt, Rosângela Aparecida de Paiva e Sergio Roberto Silveira. Língua Estrangeira Moderna (Inglês e Espanhol): Ana Paula de Oliveira Lopes, Jucimeire de Souza Bispo, Marina Tsunokawa Shimabukuro, Neide Ferreira Gaspar e Sílvia Cristina Gomes Nogueira. Língua Portuguesa e Literatura: Angela Maria Baltieri Souza, Claricia Akemi Eguti, Idê Moraes dos Santos, João Mário Santana, Kátia Regina Pessoa, Mara Lúcia David, Marcos Rodrigues Ferreira, Roseli Cordeiro Cardoso e Rozeli Frasca Bueno Alves. Área de Matemática Matemática: Carlos Tadeu da Graça Barros, Ivan Castilho, João dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias e Vanderley Aparecido Cornatione. Área de Ciências da Natureza Biologia: Aparecida Kida Sanches, Elizabeth Reymi Rodrigues, Juliana Pavani de Paula Bueno e Rodrigo Ponce. Ciências: Eleuza Vania Maria Lagos Guazzelli, Gisele Nanini Mathias, Herbert Gomes da Silva e Maria da Graça de Jesus Mendes. Física: Carolina dos Santos Batista, Fábio Bresighello Beig, Renata Cristina de Andrade Oliveira e Tatiana Souza da Luz Stroeymeyte. Química: Ana Joaquina Simões S. de Matos Carvalho, Jeronimo da Silva Barbosa Filho, João Batista Santos Junior e Natalina de Fátima Mateus. Área de Ciências Humanas Filosofia: Emerson Costa, Tânia Gonçalves e Teônia de Abreu Ferreira. Geografia: Andréia Cristina Barroso Cardoso, Débora Regina Aversan e Sérgio Luiz Damiati. História: Cynthia Moreira Marcucci, Maria Margarete dos Santos e Walter Nicolas Otheguy Fernandez. Sociologia: Alan Vitor Corrêa, Carlos Fernando de Almeida e Tony Shigueki Nakatani. PROFESSORES COORDENADORES DO NÚCLEO PEDAGÓGICO Área de Linguagens Educação Física: Ana Lucia Steidle, Eliana Cristine Budisk de Lima, Fabiana Oliveira da Silva, Isabel Cristina Albergoni, Karina Xavier, Katia Mendes e Silva, Liliane Renata Tank Gullo, Marcia Magali Rodrigues dos Santos, Mônica Antonia Cucatto da Silva, Patrícia Pinto Santiago, Regina Maria Lopes, Sandra Pereira Mendes, Sebastiana Gonçalves Ferreira Viscardi, Silvana Alves Muniz. Língua Estrangeira Moderna (Inglês): Célia Regina Teixeira da Costa, Cleide Antunes Silva, Ednéa Boso, Edney Couto de Souza, Elana Simone Schiavo Caramano, Eliane Graciela dos Santos Santana, Elisabeth Pacheco Lomba Kozokoski, Fabiola Maciel Saldão, Isabel Cristina dos Santos Dias, Juliana Munhoz dos Santos, Kátia Vitorian Gellers, Lídia Maria Batista Bom m, Lindomar Alves de Oliveira, Lúcia Aparecida Arantes, Mauro Celso de Souza, Neusa A. Abrunhosa Tápias, Patrícia Helena Passos, Renata Motta Chicoli Belchior, Renato José de Souza, Sandra Regina Teixeira Batista de Campos e Silmara Santade Masiero. Língua Portuguesa: Andrea Righeto, Edilene Bachega R. Viveiros, Eliane Cristina Gonçalves Ramos, Graciana B. Ignacio Cunha, Letícia M. de Barros L. Viviani, Luciana de Paula Diniz, Márcia Regina Xavier Gardenal, Maria Cristina Cunha Riondet Costa, Maria José de Miranda Nascimento, Maria Márcia Zamprônio Pedroso, Patrícia Fernanda Morande Roveri, Ronaldo Cesar Alexandre Formici, Selma Rodrigues e Sílvia Regina Peres. Área de Matemática Matemática: Carlos Alexandre Emídio, Clóvis Antonio de Lima, Delizabeth Evanir Malavazzi, Edinei Pereira de Sousa, Eduardo Granado Garcia, Evaristo Glória, Everaldo José Machado de Lima, Fabio Augusto Trevisan, Inês Chiarelli Dias, Ivan Castilho, José Maria Sales Júnior, Luciana Moraes Funada, Luciana Vanessa de Almeida Buranello, Mário José Pagotto, Paula Pereira Guanais, Regina Helena de Oliveira Rodrigues, Robson Rossi, Rodrigo Soares de Sá, Rosana Jorge Monteiro, Rosângela Teodoro Gonçalves, Roseli Soares Jacomini, Silvia Ignês Peruquetti Bortolatto e Zilda Meira de Aguiar Gomes. Área de Ciências da Natureza Biologia: Aureli Martins Sartori de Toledo, Evandro Rodrigues Vargas Silvério, Fernanda Rezende Pedroza, Regiani Braguim Chioderoli e Rosimara Santana da Silva Alves. Ciências: Davi Andrade Pacheco, Franklin Julio de Melo, Liamara P. Rocha da Silva, Marceline de Lima, Paulo Garcez Fernandes, Paulo Roberto Orlandi Valdastri, Rosimeire da Cunha e Wilson Luís Prati. Física: Ana Claudia Cossini Martins, Ana Paula Vieira Costa, André Henrique Ghel Ru no, Cristiane Gislene Bezerra, Fabiana Hernandes M. Garcia, Leandro dos Reis Marques, Marcio Bortoletto Fessel, Marta Ferreira Mafra, Rafael Plana Simões e Rui Buosi. Química: Armenak Bolean, Cátia Lunardi, Cirila Tacconi, Daniel B. Nascimento, Elizandra C. S. Lopes, Gerson N. Silva, Idma A. C. Ferreira, Laura C. A. Xavier, Marcos Antônio Gimenes, Massuko S. Warigoda, Roza K. Morikawa, Sílvia H. M. Fernandes, Valdir P. Berti e Willian G. Jesus. Área de Ciências Humanas Filosofia: Álex Roberto Genelhu Soares, Anderson Gomes de Paiva, Anderson Luiz Pereira, Claudio Nitsch Medeiros e José Aparecido Vidal. Geografia: Ana Helena Veneziani Vitor, Célio Batista da Silva, Edison Luiz Barbosa de Souza, Edivaldo Bezerra Viana, Elizete Buranello Perez, Márcio Luiz Verni, Milton Paulo dos Santos, Mônica Estevan, Regina Célia Batista, Rita de Cássia Araujo, Rosinei Aparecida Ribeiro Libório, Sandra Raquel Scassola Dias, Selma Marli Trivellato e Sonia Maria M. Romano. História: Aparecida de Fátima dos Santos Pereira, Carla Flaitt Valentini, Claudia Elisabete Silva, Cristiane Gonçalves de Campos, Cristina de Lima Cardoso Leme, Ellen Claudia Cardoso Doretto, Ester Galesi Gryga, Karin Sant’Ana Kossling, Marcia Aparecida Ferrari Salgado de Barros, Mercia Albertina de Lima Camargo, Priscila Lourenço, Rogerio Sicchieri, Sandra Maria Fodra e Walter Garcia de Carvalho Vilas Boas. Sociologia: Anselmo Luis Fernandes Gonçalves, Celso Francisco do Ó, Lucila Conceição Pereira e Tânia Fetchir. Apoio: Fundação para o Desenvolvimento da Educação - FDE CTP, Impressão e acabamento Log Print Grá ca e Logística S. A.
  • 105. A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integri- dade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei no 9.610/98. * Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais. * Nos Cadernos do Programa São Paulo faz escola são indicados sites para o aprofundamento de conhecimentos, como fonte de consulta dos conteúdos apresentados e como referências bibliográficas. Todos esses endereços eletrônicos foram checados. No entanto, como a internet é um meio dinâmico e sujeito a mudanças, a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo não garante que os sites indicados permaneçam acessíveis ou inalterados. * Os mapas reproduzidos no material são de autoria de terceiros e mantêm as características dos originais, no que diz respeito à grafia adotada e à inclusão e composição dos elementos cartográficos (escala, legenda e rosa dos ventos). Ciências Humanas Coordenador de área: Paulo Miceli. Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira. Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo e Sérgio Adas. História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari. Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers. Ciências da Natureza Coordenador de área: Luis Carlos de Menezes. Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo. Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume. Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Puri cação Siqueira, Sonia Salem e Yassuko Hosoume. Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião. Caderno do Gestor Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie. GESTÃO DO PROCESSO DE PRODUÇÃO EDITORIAL 2014-2017 FUNDAÇÃO CARLOS ALBERTO VANZOLINI Presidente da Diretoria Executiva Antonio Rafael Namur Muscat Vice-presidente da Diretoria Executiva Alberto Wunderler Ramos GESTÃO DE TECNOLOGIAS APLICADAS À EDUCAÇÃO Direção da Área Guilherme Ary Plonski Coordenação Executiva do Projeto Angela Sprenger e Beatriz Scavazza Gestão Editorial Denise Blanes Equipe de Produção Editorial: Amarilis L. Maciel, Angélica dos Santos Angelo, Bóris Fatigati da Silva, Bruno Reis, Carina Carvalho, Carla Fernanda Nascimento, Carolina H. Mestriner, Carolina Pedro Soares, Cíntia Leitão, Eloiza Lopes, Érika Domingues do Nascimento, Flávia Medeiros, Gisele Manoel, Jean Xavier, Karinna Alessandra Carvalho Taddeo, Leandro Calbente Câmara, Leslie Sandes, Mainã Greeb Vicente, Marina Murphy, Michelangelo Russo, Natália S. Moreira, Olivia Frade Zambone, Paula Felix Palma, Priscila Risso, Regiane Monteiro Pimentel Barboza, Rodolfo Marinho, Stella Assumpção Mendes Mesquita, Tatiana F. Souza e Tiago Jonas de Almeida. Direitos autorais e iconografia: Beatriz Fonseca Micsik, Érica Marques, José Carlos Augusto, Juliana Prado da Silva, Marcus Ecclissi, Maria Aparecida Acunzo Forli, Maria Magalhães de Alencastro e Vanessa Leite Rios. Edição e Produção editorial: R2 Editorial, Jairo Souza Design Grá co e Occy Design projeto grá co . CONCEPÇÃO DO PROGRAMA E ELABORAÇÃO DOS CONTEÚDOS ORIGINAIS COORDENAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS DOS CADERNOS DOS PROFESSORES E DOS CADERNOS DOS ALUNOS Ghisleine Trigo Silveira CONCEPÇÃO Guiomar Namo de Mello, Lino de Macedo, Luis Carlos de Menezes, Maria Inês Fini coordenadora e Ruy Berger em memória . AUTORES Linguagens Coordenador de área: Alice Vieira. Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins, Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino e Sayonara Pereira. Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira. LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo. LEM – Espanhol: Ana Maria López Ramírez, Isabel Gretel María Eres Fernández, Ivan Rodrigues Martin, Margareth dos Santos e Neide T. Maia González. Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos. Matemática Coordenador de área: Nílson José Machado. Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli.