Relações

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Matemática Discreta. Relações matemáticas.

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Relações

  1. 1. Matemática Discreta Parte 3 • Relações (4.1) • Álgebra de Boole (7.1) • Introdução à Teoria dos Grafos (5.1 e 5.2)
  2. 2. Relações
  3. 3. Sumário • Propriedades de Relações • Fechos de Relações • Ordens Parciais • Relações de Equivalência
  4. 4. Produto Cartesiano • Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano de A e B, denotado por A×B, é o conjunto {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B} • Exemplo: ‣ Sejam A={a, b} e B={c, d} ‣ A×B = {(a,c), (a,d), (b,c), (b,d)}
  5. 5. Produto Cartesiano • Seja um conjunto S = {1,2,3} • Então S×S = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)} ‣ Podemos identificar um subconjunto de pares ordenados de S×S que satisfazem alguma relação específica?
  6. 6. Exemplo 1 • Seja ρ a relação de igualdade em S×S. • A notação x ρ y significa que o par ordenado (x,y) ∈ S×S satisfaz a relação ρ. ‣ Se (x,y) ∈ S×S e x = y , então x ρ y.
  7. 7. Exemplo 1 • Seja ρ a relação de igualdade em S×S. • A notação x ρ y significa que o par ordenado (x,y) ∈ S×S satisfaz a relação ρ. ‣ Se (x,y) ∈ S×S e x = y , então x ρ y. ‣ A relação ρ em S×S é {(1,1), (2,2), (3,3)}.
  8. 8. Relação Binária • Dado um conjunto S, uma relação binária em S é um subconjunto de S×S. ‣ (x,y) ∈ ρ x ρ y • Uma relação é definida explicitamente ou por uma propriedade de pertinência.
  9. 9. Exemplo 2 • Seja S = {1, 2, 3} • Seja ρ uma relação em S tal que ‣ x ρ y x+y é ímpar ((x,y) ∈ ρ x+y é impar)
  10. 10. Exemplo 2 • Seja S = {1, 2, 3} • Seja ρ uma relação em S tal que ‣ x ρ y x+y é ímpar ((x,y) ∈ ρ x+y é impar) • Neste caso, ‣ ρ = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)}
  11. 11. Relações entre Conjuntos Diferentes • Dados dois conjuntos S e T, uma relação binária de S para T é um subconjunto de S×T. • Dados n conjuntos S1, S2, ... , Sn, n>2, uma relação n-ária em S1×S2×...×Sn é um subconjunto de S1×S2×...×Sn.
  12. 12. Tipos de Relações • Seja ρ uma relação binária de S para T ‣ (x,y) ∈ ρ, x ∈ S e y ∈ T. • Um para um: cada x e cada y aparecem apenas uma vez na relação. • Um para muitos: algum x aparece mais de uma vez. • Muitos para um: algum y aparece mais de uma vez. • Muitos para muitos: algum x e algum y aparecem mais de uma vez.
  13. 13. Operações entre Relações • Sejam duas relações ρ e σ em S×S. • Como as relações são conjuntos, podemos definir as operações de união, interseção e complemento entre relações: ‣ x (ρ ∪ σ) y x ρ y ou x σ y ‣ x (ρ ∩ σ) y x ρ y e x σ y ‣ x ρ’ y não x ρ y
  14. 14. Propriedades de Relações • Seja ρ uma relação binária em S. • Então ρ pode ser: ‣ reflexiva ‣ simétrica ‣ transitiva ‣ anti-simétrica
  15. 15. Relação Reflexiva • Seja ρ uma relação binária em S. • ρ é reflexiva se (∀x) (x ∈ S → (x,x) ∈ ρ) • Exemplos de relações reflexivas: ‣ ρ em ℕ, tal que x ρ y x = y ‣ ρ em ℕ tal que x ρ y x ≤ y
  16. 16. Relação Simétrica • Seja ρ uma relação binária em S. • ρ é simétrica se ‣ (∀x) (∀y) ((x, y) ∈ ρ → (y, x) ∈ ρ) • Exemplos ‣ ρ em ℕ, tal que x ρ y x = y, é simétrica ‣ ρ em ℕ, tal que x ρ y x ≤ y, não é simétrica
  17. 17. Relação Transitiva • Seja ρ uma relação binária em S. • ρ é transitiva se ‣ (∀x)(∀y)(∀z) ((x,y)∈ρ ∧ (y,z)∈ρ → (x,z)∈ρ) • Exemplos de relações transitivas: ‣ ρ em ℕ, tal que x ρ y x = y ‣ ρ em ℕ tal que x ρ y x ≤ y
  18. 18. Relação Anti-Simétrica • Seja ρ uma relação binária em S. • ρ é anti-simétrica se ‣ (∀x)(∀y) ((x,y)∈ρ ∧ (y,x)∈ρ → x=y) • Exemplo de relação anti-simétrica: ‣ ρ em ℕ tal que x ρ y x ≤ y
  19. 19. Exemplo • Seja S = ℘(ℕ) e ρ uma relação binária em S, tal que A ρ B A ⊆ B. • Determine as propriedades de ρ.
  20. 20. Exemplo • Seja S = ℘(ℕ) e ρ uma relação binária em S, tal que A ρ B A ⊆ B. • Determine as propriedades de ρ. ‣ ρ é reflexiva, pois qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo.
  21. 21. Exemplo • Seja S = ℘(ℕ) e ρ uma relação binária em S, tal que A ρ B A ⊆ B. • Determine as propriedades de ρ. ‣ ρ é reflexiva, pois qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo. ‣ ρ é transitiva, pois se A⊆B e B⊆C, então A⊆C.
  22. 22. Exemplo • Seja S = ℘(ℕ) e ρ uma relação binária em S, tal que A ρ B A ⊆ B. • Determine as propriedades de ρ. ‣ ρ é reflexiva, pois qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo. ‣ ρ é transitiva, pois se A⊆B e B⊆C, então A⊆C. ‣ ρ é anti-simétrica, pois se A⊆B e B⊆A, então A=B.
  23. 23. • Uma relação pode ser simétrica e, ao mesmo tempo, anti-simétrica. ‣ Exemplo: relação de igualdade • Uma relação pode não ser nem simétrica, nem anti-simétrica. ‣ Exemplo: ρ = {(1,2), (2,1), (1,3)} em S={1,2,3} ‣ ρ não é simétrica, pois (1,3)∈ρ, mas (3,1)∉ρ ‣ ρ não é anti-simétrica, pois (1,2)∈ρ e (2,1)∈ρ, mas 1≠2
  24. 24. Sumário • Propriedades de Relações • Fechos de Relações • Ordens Parciais • Relações de Equivalência
  25. 25. Definição Informal Se uma relação ρ em um conjunto S não tem determinada propriedade, pode ser possível estender ρ a uma relação ρ* que tenha essa propriedade, tal que ρ ⊆ ρ*. Se ρ* é o menor conjunto com essa propriedade, então ele é o fecho de ρ em relação a essa propriedade. Podemos procurar o fecho reflexivo, fecho simétrico ou fecho transitivo de uma relação em um dado conjunto.
  26. 26. Definição Formal Uma relação binária ρ* em um conjunto S é o fecho de uma relação ρ em relação à propriedade P se: 1. ρ* tem a propriedade P; 2. ρ ⊆ ρ*; 3. ρ* é subconjunto de qualquer outra relação em S que inclua ρ (2) e tenha a propriedade P (1).
  27. 27. Exemplo Seja ρ = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)} uma relação em S = {1,2,3}. Determine os fechos reflexivo, simétrico e transitivo.
  28. 28. Exemplo Seja ρ = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)} uma relação em S = {1,2,3}. Determine os fechos reflexivo, simétrico e transitivo. • Fecho reflexivo é ‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)}
  29. 29. Exemplo Seja ρ = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)} uma relação em S = {1,2,3}. Determine os fechos reflexivo, simétrico e transitivo. • Fecho reflexivo é ‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)} • Fecho em relação à simetria é ‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,1), (3,2)}
  30. 30. Exemplo Seja ρ = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)} uma relação em S = {1,2,3}. Determine os fechos reflexivo, simétrico e transitivo. • Fecho reflexivo é ‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)} • Fecho em relação à simetria é ‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,1), (3,2)} • Fecho transitivo é ‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2), (3,3), (2,1), (2,2)}
  31. 31. Sumário • Propriedades de Relações • Fechos de Relações • Ordens Parciais • Relações de Equivalência
  32. 32. Ordens Parciais • Uma relação binária em um conjunto S que seja reflexiva, anti-simétrica e transitiva é chamada uma ordem parcial em S. • Exemplos: ‣ x ρ y x ≤ y em ℕ ‣ A ρ B A ⊆ B em ℘(ℕ) ‣ x ρ y x divide y em ℤ+
  33. 33. • Se ρ é uma ordem parcial em S, então o par ordenado (S, ρ) é chamado um conjunto parcialmente ordenado. • Notação ‣ (S, ≼) é um conjunto parcialmente ordenado. ‣ Se x ≼ y e x ≠ y, então x ≺ y (x é predecessor de y e y é sucessor de x) ‣ Se ∄ z | x ≺ z ≺ y, então x é predecessor imediato de y
  34. 34. Diagrama de Hasse • Representação visual de um conjunto parcialmente ordenado (S, ≼) ‣ Cada elemento de S é um ponto (nó ou vértice) no diagrama ‣ Se x é predecessor imediato de y, então y é posicionado acima de x e os dois pontos são conectados por um segmento de reta.
  35. 35. Exemplo • Desenhe o diagrama de Hasse para (S, ≼) ‣ S = {1, 2, 3, 6,12, 18} ‣ x ≼ y “x divide y”
  36. 36. Exemplo • Desenhe o diagrama de Hasse para (S, ≼) ‣ S = {1, 2, 3, 6,12, 18} ‣ x ≼ y “x divide y” 1 2 3 6 12 18
  37. 37. Ordem Total • Uma ordem total é uma ordem parcial na qual todo elemento do conjunto está relacionado a todos os outros elementos. • Exemplo: ‣ x ρ y x ≤ y em ℕ Diagrama de Hasse para ordens totais.
  38. 38. Elemento Mínimo • Seja (S, ≼) um conjunto parcialmente ordenado. • Se existe m ∈ S tal que (∀x)(m ≼ x), então m é um elemento mínimo. • Se existir um elemento mínimo, ele é único. • Em um diagrama de Hasse, um elemento mínimo está abaixo de todos os outros.
  39. 39. Elemento Minimal • Seja (S, ≼) um conjunto parcialmente ordenado. • Se t ∈ S e (∄x)(x ≺ t), então t é um elemento minimal. • Em um diagrama de Hasse, um elemento minimal não tem elementos abaixo dele. • Um elemento pode ser, ao mesmo tempo, mínimo e minimal. Um elemento mínimo é sempre minimal.
  40. 40. Sumário • Propriedades de Relações • Fechos de Relações • Ordens Parciais • Relações de Equivalência
  41. 41. Relações de Equivalência • Uma relação binária em um conjunto S que é reflexiva, simétrica e transitiva é chamada uma relação de equivalência em S • Exemplos: ‣ x ρ y x+y é par ‣ x ρ y x = y
  42. 42. Teorema • Uma relação de equivalência em um conjunto S determina uma partição de S. • Uma partição de S determina uma relação de equivalência em S.
  43. 43. Partição de um Conjunto • Uma partição de um conjunto S é uma coleção de subconjuntos disjuntos não- vazios de S, cuja união é igual a S. • Exemplo ‣ S = {a, b, c, d, e, f, g} ‣ {{a, b}, {c, d}, {e, f, g}} é uma partição de S
  44. 44. • Uma relação de equivalência divide o conjunto onde ela está definida em uma partição. • Os subconjuntos que compõem a partição são formados agrupando-se os elementos relacionados. • Exemplo ‣ S é o conjunto dos alunos em uma sala ‣ x ρ y “x senta na mesma fila que y” Alunos na fila 1 Alunos na fila 2 ... Alunos na fila n S
  45. 45. Classes de Equivalência • Seja ρ é uma relação de equivalência em um conjunto S e x ∈ S • Denota-se por [x] o conjunto de todos os elementos de S relacionados a x: ‣ [x] = {y | y ∈ S ∧ x ρ y} • Esse conjunto é chamado de classe de equivalência de x.
  46. 46. Exemplo • Sabemos que x ρ y “x+y é par” é um relação de equivalência em ℕ. Quais são as classes de equivalência correspondentes?
  47. 47. Exemplo • Sabemos que x ρ y “x+y é par” é um relação de equivalência em ℕ. Quais são as classes de equivalência correspondentes? ‣ [1] e [2]
  48. 48. Exemplo • Sabemos que x ρ y “x+y é par” é um relação de equivalência em ℕ. Quais são as classes de equivalência correspondentes? Ímpares Pares ℕ ‣ [1] e [2]
  49. 49. Congruência Módulo n • Sejam x e y inteiros e n um inteiro positivo ‣ x ≡ y (mod n) se x-y é um múltiplo inteiro de n • Exemplos ‣ 9 ≡ 1(mod 4), pois 9-1 é múltiplo de 4 • A relação binária “congruência módulo n” é sempre uma relação de equivalência em ℤ • Conceito importante no projeto de arquitetura de computadores.
  50. 50. Resumo Reflexiva Simétrica Anti-simétrica Transitiva Ordem Parcial sim não sim sim Predecessores e sucessores Relação de Equivalência sim sim não sim Determina uma partição

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